立体几何判定定理与性质定理汇总学习资料

高中数学立体几何判定定理及性质-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

ααα⊂⇒∈∈∈∈lBAlBlA,,,①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）llP∈=⋂⇒⋂∈P且βαβα①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线CBACBA,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面αααα⊂∈⇒∉aAA,使，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

baabb∥∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⋂ββαβ（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.βαααββ∥∥∥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂baObaba（5）面面平行的判定如果两个βαβα∥⇒⎭⎬⎫⊥'⊥'OOOO平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

高中数学立体几何证明定理及性质总结高中数学立体几何是数学的一个重要分支，主要研究与三维空间中的几何形体相关的性质和定理。

在学习过程中，我们会遇到许多重要的定理和性质，下面是对其中一些重要的定理和性质进行总结的文章，以便于我们更好地掌握该知识点。

一、三角形的五种中线定理：1.三角形的三条中线交于一点，并且该点离三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的重心。

2.三角形的三条中线外接圆半径为内接圆半径的两倍。

3.三角形的三条中线构成的小三角形，其面积之和等于三角形面积的三分之一4. 中线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条中线长分别为m_a = 0.5*sqrt(2*b^2+2*c^2-a^2)，m_b =0.5*sqrt(2*a^2+2*c^2-b^2)，m_c = 0.5*sqrt(2*a^2+2*b^2-c^2)。

5.中线垂直性质：三角形的三条中线互相垂直，且互相平分。

二、三角形的四种高定理：1.三角形的三条高交于一点，并且该点到三角形三个顶点的距离相等，这个点称为三角形的垂心。

2.高线长与边长的关系：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的三条高线长分别为h_a=2*S/a，h_b=2*S/b，h_c=2*S/c，其中S为三角形的面积。

3.垂心到顶点距离的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有AH/HD=BH/HE=CH/HF=2，其中H为垂心，E,F为垂足。

4.垂心角的关系：设山脚底角为A，垂足为D，有∠BHC=2∠A，∠BHC=2∠A，∠CHB=2∠A。

三、三角形的欧拉定理：设O为三角形的外心，G为重心，H为垂心，则有OG=1/3GH。

四、圆的性质：1.垂径定理：直径AB垂直于弧CD，则弦CD的中点E与弦AB的中点F，以及圆心O在一条直线上，且OE=OF=1/2CD。

2.正接定理：一个直角三角形的斜边上的圆的直径与该斜边上的直角边成正切关系。

3.切线定理：从一个点外切于圆的切线恒垂直于该点至圆心的半径。

立体几何常考定理总结(八大定理)一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行、符号语言：关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、符号语言：关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行、符号语言：关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键：只要是其中一个平面内的直线就行五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面、符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直、（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言公理 1A l ,B l , A, B如果一条直线上的两l点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理 2作用①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行Pl 且 P lA, B, C 不共线A, B,C 确定一个平面A有且只有一个平面，使 A, aa b P有且只有一个平面，使 a,ba ∥ b有且只有一个平面，使 a,ba ∥ ba ∥ cb ∥c ①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

用来证明多点共面，多线共面用来证明线线平行二、平行关系文字语言（1）公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 .符号语言图像语言作用a ∥ ba ∥ cb ∥ ca ∥ ba a ∥bb∥b a ∥ baa ∥b ∥a b O∥ab（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

OOOO∥（6）面面平行的性质定理如果两个∥a a ∥ b平行平面同时和第三b个平面相交 ,那么它们的交线平行。

（ 7）面面平行的性∥质如果两个平面平行 , a ∥那么其中一个平面内a的直线平行于另一个平面。

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言 符号语言图像语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,①用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）ll P ∈=⋂⇒⋂∈P 且βαβα① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面不共线C B A C B A ,,,,⇒用来证明多点共面，多线共面推论1经过一条直线和这αααα⊂∈⇒∉a A A ,使，有且只有一个平面条直线外的一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒=⋂baPba,使，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ααα⊂⊂⇒baba,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行cacbba∥∥∥⇒⎭⎬⎫（2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那ααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄么这条直线和这个平面平行。

（3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

baabb∥∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂=⋂ββαβ（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.βαααββ∥∥∥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂=⋂baObaba（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

.lmβααba线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭I ∥∥作用：线线平行⇒面面平行四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,,那么所得的两条交线平行图形语言:符号语言符号语言::////a a bb αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用作用::面面平行⇒线线平行.nmA αaαbaBA l βαaβα五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面 图形语言：图形语言： 符号语言：符号语言： ,a m a n a m n Am n ααα⊥⎫⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言：图形语言： 符号语言：符号语言：//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

行。

8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

立体几何定理1、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭2、直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。

l l l m m αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .3、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面. a m a n m n A a m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭4、直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。

a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭证明过程：书本P375、两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.a b a b A a b ββαβαα⎫⎪⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⊂⎪⊂⎪⎭ 6、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。

a ab b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭7、平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.l l ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭8、平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. l AB AB AB l αβαβαβ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC,平面PAB ⊥平面PBC求证：BC ⊥AB公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

立体几何证明定理及性质总结立体几何是研究空间内物体形态、结构和性质的一门数学学科。

其研究对象一般为立体物体，如点、线、平面等的延伸形成的三维空间中的实体。

立体几何的核心是几何定理和性质的证明，这些定理和性质为我们理解和应用立体几何提供了重要的基础。

1.直线与平面之间的关系(1)平面穿过一条直线，分割直线成两段，这两段相互垂直。

(2)平面与两条垂直直线的交线是水平的。

(3)平面的两条相交线分别与直线的其中一直线相交，则这两条直线在该平面上相交。

(4)平面的两条交线都与直线的其中一直线相交，则两交线在该平面上相交。

(5)平面的两个不同交线都与直线的其中一直线相交，则交线的交点在该平面上。

2.平面之间的关系(1)平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则它也与另一个平面相交。

(2)两平行平面之间的任一直线与一个平面相交，则另一平面上的相交线平行于两给定平面。

(3)平面与两个平行平面相交，交点的连线垂直于两个平行平面。

(4)平面分割直线，则直线在平面上的两个截点在直线的同一侧。

3.空间图形的性质(1)圆柱的轴线与底面圆的圆心在同一直线上，底面平行，生成的侧面平行四边形的对角线相等。

(2)圆锥的轴线垂直于底面，底面与轴线连线的斜率相等，生成的侧面是一个等腰三角形。

(3)球的所有直径相等且是最长的，球面上任意两点相连的线段都在球内。

4.空间多面体的性质(1)正方体的近似球半径与边长之比约为1：1.633(2)正四面体的顶点到底面边心的距离与底面边长之比约为1：1.5(3)正八面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.707(4)正十二面体的顶点到底面中心的距离与底面边长之比约为1：0.612以上只是立体几何中的一部分重要定理和性质，我们通过对这些定理和性质的研究和证明，可以更好地理解和应用立体几何的知识。

在解决实际问题时，我们可以利用这些定理和性质快速推导出结论，同时也可以通过反证法等方法，从不同的角度来理解和证明这些定理和性质。

三、面面平行的判定定理： 线面平行 面面平行 文字语言：如果一个平面内．有两．条相．交．直线都平．行．于另一个 平．面．，那么这两个平面平行．符号语言： aI b A a ∥ b ∥//关．键．点．：．在．要．证．明．面．面．平．行．的．其．中．一．个．面．内．找．两．条．相四、面面平行的性质定理 : 面面平行 线线平行、面面平行 线面平行 文字语言：如果两个平行平面 同时 和第三 个．平面 相．交．,那么所得的两条 交．线．平行 文字语言：如果两个平面平行，那么其中 符号语言 :一个平面内的 任意 一条直线平行于另一个 a//b符号语言 : / / ,aa//关键点 ：找 第三个平面 与已知平面都相关．键．：．只．要．是．其．中．一．个．平．面//关．键．点．：．需．要． 借．助．一．个． 经．过．已．知．直．线． 的．平．面．，．接．着．找．交．线．。

平面 .交．，．则．交．线．平．行．立体几何的八大定理、线面平行的判定定理： 线线平行 线面平行 文字语言：如果平面 外．的一条直线与平面 内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行 符号语言： b a// a//b 关．键．点．：．在．平．面．内．找．一．条．与．平．面．外．的．直．线．平．行．的．线． a 二、线面平行的性质定理： 线面平行 线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行， 经．过．这条直线的平面和这个平面 相．交．，那么这条直线就和 交．线．平行. l // 符号语言： l l //m五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相．交．直线垂．直．，那么这条直线垂直于这个平面符号语言：m nA,n关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内任意一条直线.的lla符号语言：a关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经．过．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）a符号表示：a关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂．直．于它们的交．线．的直线垂直于另个平面.符号语言：I l ABABAB lB l 关．键．点．：．先．找．交．线．，．再．在．其．中．一．个．面．内．找．与．交．线．垂．直．的．线．。

立体几何公式定理大全、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。

范围为0 , 90两异面直线间距离: 公垂线段（有且只有一条） 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面三）平行关系1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

（四）垂直关系1线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理 2如果两个平面有一个公共点 ,那么它们还有其他公共点 ,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行符号语言图像语言A l ,B l , A, BlPl 且 P lA, B, C不共线A, B,C确定一个平面A有且只有一个平面，使A, aa b P有且只有一个平面，使a,ba ∥ b有且只有一个平面，使a,ba ∥ ba ∥ cb ∥ c作用①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

用来证明多点共面，多线共面用来证明线线平行二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（ 1）公理 4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行（ 2）线面平行的判定定理a ∥ bb ∥ ca ∥ c如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（ 3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 ,那么这两个平面平行 .（5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行。

（7）面面平行的性质如果两个平面平行 ,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

（8）面面平行的性a ∥ ba a ∥bb∥b a ∥ b aa ∥b ∥a b O∥abOO∥OO∥a a ∥ bb∥a∥a质如果一条直线 ∥垂直于两个平行平 ll面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：A l, B l,A,B l作用：①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l且P l作用：①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：A, B, C不共线A, B, C确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言： A a 有且只有一个平面，使A a，a推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P 有且只有一个平面，使a ，b推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：a // b 有且只有一个平面，使a ，b公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

a // ba // cc // b符号语言：图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：a // bc // ba // c 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）a符号语言：b a // 图形语言：a // b线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）a //符号语言： a //b图形语言：ab面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）(a ,b),a b O符号语言： a ////图形语言：b //面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何判定定理及性质定理汇总
一线面平行
线面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

线面平行性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

二面面平行
面面平行判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行.
面面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.
三线面垂直
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面平行.
线面垂直性质定理1
如果一条直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线。

线面垂直性质定理２
垂直于同一个平面的两条直线平行．
四面面垂直
面面垂直判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
面面垂直性质定理１
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直性质定理2
两个平面垂直,过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．１。

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言文字语言 符号语言符号语言图像语言图像语言作用作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

aaa ÌÞÎÎÎÎl B A l B l A ,,,①用来验证直线在平面内；在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的面是无限延展的公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）共点的公共直线） ll P Î=ÇÞÇÎP 且b a ba① 用来证明两个平面是相交关系；系；② 用来证明多点共线，多线共点。

点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面只有一个平面 确定一个平面不共线C B A C B A ,,,,Þ用来证明多点共面，多线共面面，多线共面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面有且只有一个平面 a a a a ÌÎÞÏa A A ,使，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面平面 aa a ÌÌÞ=Çb a P b a ,使，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面平面aa a ÌÌÞb a b a ,使，有且只有一个平面∥公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行的两条直线平行c a c b b a ∥∥∥Þþýü用来证明线线平行文字语言文字语言 符号语言符号语言 图像语言图像语言作用作用 （1）公理4 （平行公理） 平行于同一条直线的两条直线平行的两条直线平行c a c b b a ∥∥∥Þþýü（2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。