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天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第六能量法

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船舶结构力学 力法位移法能量法

船舶结构力学 力法位移法能量法
2
0
2
l/2
2A
2 2 v 2 a l v ( 0 ) 2 a l 将 及 1 1
代入可计算出
总应变能为： V 4.5EIa2l 1 (2)计算力函数。此梁的力函数包括集中力F引起U1 及分布荷重引起的U2两部分。 计算U2时，先写出分布荷重的表达式。对图示坐标 有 q( x) 2q0 x q0 , l x l 2 2 因而 l l 2q0 x 1 2 3
(4)列节点平衡方程
4 EI0 8EI 4 EI12 4 EI 1 12 2 1 0 2 l12 l12 l0 l0 2 EI23 4 EI23 6 EI0 12EI0 M 32 2 3 2 3 l23 l23 2.2l0 2.2l0 16EI0 2 EI24 4 EI24 M 42 2 4 2 l24 l24 3l0 M 21
虚位移原理等价于结构的平衡条件，因此基于虚位移 原功方法是位移法。由虚位移原理可导出位能驻值原理， 最小势能原理的计算公式。常用的计算方法是势能驻值原 理的近似法，即里兹法。 虚应力原理等价于结构的变形协调条件，因此基于虚 应力原理的方法是力法。由虚应力原理可导出余能驻值原 理。常用的计算方法是最小功原理及卡氏第二定理。
Q0l0 Q0l0 M , M 21 12 15 10 M Q2 (3l ) Q1 (3l ) 33 Q l 24 0 0 0 0 15 12 10 Q Q 21 Q0l0 M 42 2 (3l0 ) 1 (3l0 ) 10 12 5 M 23 M 32 0
位移法
计算步骤（不可动节点刚架和连续梁）
• 确定未知数（n=N-r）
• 加抗转约束，计算固端弯矩 • 强迫转动，计算转角引起的杆端断面弯矩，计 算杆端总弯矩 • 列节点平衡方程式

船舶结构力学PPT精品文档

船舶结构力学PPT精品文档
船舶结构力学
张娟
1
第一章 绪论
2
第一章 绪论
研究船舶结构力学主要是为了保证船体结构具有一定的强度， 保证船舶在正常的使用过程和一定的年限内具有不破坏或不发 生过大变形的能力。
船体强度包括：总纵强度、局部强度、稳定性、扭转、应力集 中、动力响应等。 船舶结构力学只研究静力响应，包括外力计算、结构在外力作 用下的响应、许用应力的确定等。
（2）骨架
船底交叉杆系
大舱口货船悬臂梁结构 11
基本理论和方法；
结合杆及杆系的强度问题讲述力法、位移法、矩阵法和 能量法；
板的强度； 杆和板的稳定性及薄壁杆件的扭转。
12
计算图形根据计算要求会有所改变，并不固定。
6
1.2 船体结构的计算图形
（1）板
7
1.2 船体结构的计算图形
（1）板 一般考虑受骨架支撑的矩形平板问题；此时骨架支撑很重要。
另外还有矩形平板上的开口问题；此时骨架边界不是很重要，主要考虑开 口的形状、大小。
板的边界根据研究问题的不同而不同。 当研究板受垂向力的弯曲与变形时，此时的边界条件刚性固定； 当研究板的稳定性问题时，此时的边界条件为自由支持。
8
1.2 船体结构的计算图形
（2）骨架 骨架大都为细长的型钢或组合型材，称为杆件或杆。 一般分析时，杆的截面形状如下： 骨架带板
9
1.2 船体结构的计算图形
（2）骨架 实际中的杆件系统简化为规则的简单计算图形。
上甲板纵骨（杆件）
中间有支柱的舱口杆系
舱口杆系（交叉杆系）横Fra bibliotek与肋骨组成的刚架 10
1.2 船体结构的计算图形
3
第一章 绪论
船舶结构力学的任务： ① 阐明结构力学的基本原理和方法，包括力法、位移法

结构力学第6章力法3ppt课件

结构力学第6章力法3ppt课件

X1
1P
11
2 2 FP
-FP
FN
X1 F N1 FNP
2 2
FP
FN1
FNP
FP FNP FP
习惯上列表计算
杆件 l
FN1 FNP
01 a -1/√2 0 13 a -1/√2 -FP 23 a -1/√2 -FP 20 a -1/√2 0 03 √2a +1 √2FP 12 √2a +1 0
• （3）超静定结构内力分布与横梁和桁架 的相对刚度有关。下部链杆截面小，弯 矩图就趋向于简支梁的弯矩图；下部链 杆截面大，弯矩图就趋向于连续梁的弯 矩图。
作业：
• P268 6-5 (a)、6-6
2、超静定组合结构
•计算特点：
•梁式杆：
2
2
ii
F Nil EA
M i dx EI
ik
F Ni F Nkl EA
M i M k dx EI
iP
F Nii FNPl EA
M i M P dx EI
•二力杆：只考虑轴向变形对位移的影响
例:
图示加劲式吊车梁， 1.5m FP=74.2kN
FN12l
1/2×a 1/2×a 1/2×a 1/2×a
√2a √2a
FN1FNPl
FN
0 FP·a /√2 FP·a /√2
0 2FP·a
0
+FP /2 - FP /2 - FP /2 +FP /2 √2FP/2 -√2FP/2
∑
2(1+√2)a (√2+2)
讨论：
• 1、桁架中的杆件(EA=常数)不是去掉
例：用力法计算图示桁架，各杆EA=常数

天津大学结构力学课件

天津大学结构力学课件

结构分析
1
静态平衡和弹性体
通过静态平衡和弹性体理论，我们可以分析结构的力学行为和受力情况。
2
杆件和框架分析
杆件和框架分析是分析和计算复杂结构的重要方法。
3
截面力和变形分析
截面力和变形分析是了解结构受力状况和变形情况的重要手段。
结构应用和实例
建筑结构设计
结构力学在建筑结构设计中起着关键的作用，保证建筑的安全和稳定性。
天津大学结构力学课件
本课件旨在介绍天津大学结构力学课程的基本概念、原理和应用。通过丰富 的内容和清晰的解释，帮助学生理解结构力学的重要性和作用。
课程介绍
定义
结构力学是研究结构因外力作用而发生的力学行为和力学性能的学问。
重要性
结构力学是建筑、桥梁和其他工程结构设计和分析的基础。
课程目标和内容概述
本课程旨在让学生了解结构力学的基本概念和原理，并通过实例学习结构分析和应用。课程 内容包括绳索和弹簧模型、牛顿定律、力学分析方法和结构分析。
基本概念和原理
绳索和弹簧模型
通过绳索和弹簧模型，我们可 以理解结构受力和变形的基本 原理。
牛顿第一定律和二பைடு நூலகம் 平衡定律
牛顿第一定律和二力平衡定律 是结构力学中常用的原理，用 于分析物体的平衡状态。
弯曲和扭转
弯曲和扭转是结构受力的重要 方式，对于建筑和桥梁等结构 设计至关重要。
力学分析方法
静力学和动力学的区别 等效力系统和自由体图 牛顿第二定律和运动学方程

结构力学——6力法ppt课件

结构力学——6力法ppt课件

的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平
衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构 上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化
为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。 11
§6—4 力法的典型方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。 P P 1. 三次超静定问题的力法方程 ↓ ↓ 首先选取基本结构（见图b） 基本结构的位移条件为： 原结构 基本结构 △1=0 △2=0 A B X1 A X2 △3=0 → （b） B ↑ （a） X 3 设当X 1 、 X 1 、 X 1 和荷载 P 1 2 3 分别作用在结构上时， 沿X 方向： 、 、 和△ ； 1 11 12 1P 13 A点的位移 沿X2方向：21、22、23和△2P ； 沿X3方向：31、32、33和△3P 。 据叠加原理，上述位移条件可写成 △1=11X1 +12X2+13X3 +△1P=0 △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 （8—2） 12 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。 多余联系与多余未知力的选择。
3. 超静定结构的类型 （1）超静定梁; （2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱； （4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。 4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件: （1）平衡条件； ⑸ （2）几何条件； （3）物理条件。 5 具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移法。
↑
X1

天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第一

天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第一

天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第一目录•课程介绍与背景•弹性力学基础•杆件结构力学•梁板结构力学•船舶结构力学•海洋工程结构力学•结构优化设计方法•课程总结与展望课程介绍与背景船舶与海洋工程概述船舶工程研究船舶设计、建造、试验和运行的工程领域，涉及船舶总体、船体、轮机、电气等多个方面。

海洋工程以开发利用海洋资源为目标的综合性工程，包括海洋油气开发、海底资源开发、海水淡化、海洋能利用等。

发展趋势随着科技的不断进步，船舶与海洋工程领域正朝着大型化、智能化、绿色环保等方向发展。

结构设计与优化运用结构力学原理进行船舶与海洋工程结构的设计和优化，确保结构的安全性和经济性。

结构强度与稳定性分析通过结构力学方法分析船舶与海洋工程结构在复杂环境中的强度、刚度及稳定性。

结构动力学与振动控制研究结构在动力荷载作用下的响应及振动控制，提高结构的抗振性能。

结构力学在船舶与海洋工程中的应用030201课程内容与教学目标课程内容涵盖结构力学基本概念、静力学、动力学、弹性力学等基础理论及其在船舶与海洋工程中的应用。

教学目标培养学生掌握结构力学基本原理和方法，具备分析和解决船舶与海洋工程结构问题的能力，为从事相关领域的研究和实践打下基础。

弹性力学基础弹性体弹性变形应力应变指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后能够完全恢复原来形状的物体。

单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。

弹性体在外力作用下发生的可逆变形。

物体在外力作用下发生的相对变形。

平衡方程表示物体内部各点应力之间必须满足的平衡条件。

几何方程描述物体变形与位移之间的关系。

物理方程表示应力与应变之间的本构关系，即广义胡克定律。

边界条件与圣维南原理边界条件弹性体在边界上必须满足的位移或应力条件。

圣维南原理在弹性力学中，如果外力作用在物体的一小部分边界上，则只在该部分边界附近产生显著的应力集中，而在远离该部分边界的区域，应力分布几乎不受影响。

这一原理为简化复杂弹性力学问题提供了依据。

结构力学第六章第一节精品PPT课件

结构力学第六章第一节精品PPT课件

1
外部一次，内部六次 共七次超静定
不能撤作除支为杆多1后余体约系束成为的瞬是变杆
2
1、2、 5
❖ 力法原理与力法方程
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
一. 1次超静定结构
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
11
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
当Δ1=ΔB=0
X1 =><RB
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
二. 2次超静定结构
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ B
＝
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ B
基本体系 X2 X1
ΔBH=Δ 1 =0 ΔBV=Δ2=0
＝
×X1
δ11 δ21
X1=1
=3×5=15
=3×5－5=10
四、撤除约束时需要注意的几个问题：
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同；
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
举例
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替；
（3）内外多余约束都要撤除；
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系。

船舶与海洋工程结构力学实验课件PPT

船舶与海洋工程结构力学实验课件PPT

1、板的弯曲部分
根据前面同样的分析，不难得到板条梁复杂弯曲的微分方程式及基本关系 为：
Dw IV Tw" q
Dw
''
M
Dw ''' Tw' N
式中为筒形刚度，为板条梁所受的轴向力，若总弯曲应力为 0 ，则 T 0t0 ，前 面的负号用于拉力，正号用于压力。
我们在梁的复杂弯曲中曾经指出，船体中的梁因为刚度较大，故而参数u 的值很小（一般u≤0.5），从而辅助函数接近于1，因此在实验计算中可以不 计轴向力对弯曲要素的影响。对于船体板，因板的厚度不大，板条梁的刚度较 小，使得板条梁在复杂弯曲时的参数u相当大（一般u≥0.5）。对于一般的海 船，数字计算表明，板条梁的u值约比梁的u值大10倍左右，辅助函数于1相差 很大，因此中面力对板的弯曲要素影响很大，不可不计。这一现象说明板的中 面力的作用十分敏感。因此，若板受到中面拉力，它将减少板的弯曲应力，是 有利的，反之若是受到中面压力，它将增大板的弯曲应力，是不利的。
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权
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天津大学船舶与海洋工程结构力学课件课件

天津大学船舶与海洋工程结构力学课件课件

k* x -sink* x
式中：
k* T* EI
q 例 如图受均布荷重q,两
端自由支持并受轴向外 T
Tx
力T作用的梁， 计算其
弯曲要素 .
l
解： 由 v0=0 M0=0
N0=-ql/2
y
v
0shkx
ql 2
1 EIk 3
shkx kx
q EIk
3
x
0
shk
x
k
x
d
令 k x w , 从而 kd dw
bx 2 2
cx d
EI
GAs
f x ax c2
f x EI
GAs
f
x
ax 3 6
bx 2 2
c
EI GAs
a
x
d1
边界条件时注意到：
① 梁的挠度为v=v1+v2;
② 由于剪切变形在中性轴处的两端面仍保持垂直,因此认为剪切 不影响断面的转角，从而梁段面的转角仍用下式表示：
v2
0
GAs
dx
l
0
EIv1'" dx GAs
➢剪切引起的挠度
l
v2
0
EIv1'" dx GAs
v2
EI GAs
v1
c1
v1
f
x ax3
6
bx 2 2
cx d
v1
f x
ax 2 2
bx c
v1 f x ax b
v2
EI GAs
f
x
ax
c2
v
v1 v2
f
x
ax 3 6

天大结构力学课件08

天大结构力学课件08

K C
ห้องสมุดไป่ตู้C a
t1
t2
aK'
a , a , a
C a
A
位移状态
PK =1
虚力原理
B
K C
RK
虚设的力状态
实际位移状态
A
R K
NK， K， K Q M
虚力状态
2、 结构位移计算的一般公式
Ka = NK ads + QK ads + M ads
41 4 = =0.571 结点C： CB = 4 1+3 1 7 31 3 CD = = =0.429 4 1+3 1 7
(2) 计算固端弯矩
Mf = AB
f MCD = f MBA =
PL = 8
80 8 = 80kN m 8
1 2 qL = 8
P=80kN B
K
R K Ca
(5-15)
3、平面杆件结构在荷载作用下的 位移计算公式：
KP =

+
NKNP ds + EA

QK QP k ds GA

MKMP ds EI
(5-17)
(1)梁和刚架：
MKMP KP = ds (5-18) EI
(2)桁架：
NKNPL KP = EA
(5-19)
q
A
C
qL 8 P=1 C
L 4
2
B
MP图
A
1 2
B
1 2
Mk图
A
B
M
M MP图
P=1
A
1 2 1 L L = 2 2 4

船舶结构力学课件-第六章 第三节

船舶结构力学课件-第六章 第三节

第六章 能量法
例1：用余位能驻值原理解图6-8中的静不定桁架。
分析：
1）、计算各杆的余能：
1
2
3
l'
T 2l V = 2 EA
* 2
θ Δ
l T' T T '
T ′2 l ′ T ′2 l = V =V = 2 EA 2 EA cos θ
* 1 * 3
Δ' P
节点o：
∑F
P
图6-8
y
=0
2 cosθ
i
δV * = δW *
δ Pi ≠ 0
∂V * ∂V * δ * δP + δ P2 + ... 余能变分可写为： V = 1 ∂P ∂P2 1
∂V ∂V − Δ1 )δ P + ( − Δ 2 )δ P2 + ... = 0 ( 1 ∂P ∂P2 1
* *
∂V * ∴ = Δi ∂Pi
i = 1, 2,3...
⇒ P − 2T ′ cosθ − T = 0 ⇒ T ′ = ( P − T )
2）、总余位能：
T 2l ( P − T )2 l 结构无发生位移的支座，则： Π* = V * = + 2 EA 4 EA cos3 θ
船舶与海洋工程学院 -6主讲教师：张延昌 Email:zyc0713@
M ( x) Δ i ×1 = ∫ M dθ = ∫ ⋅ M o dx 0 0 EI
l o l
船舶与海洋工程学院
-18-
主讲教师：张延昌 Email:zyc0713@
船舶结构力学——Ship Structural Mechanics
第六章 能量法
复习：本章所有内容 作业：P133 6.12 习题课题目

结构力学第六章力法-PPT课件

结构力学第六章力法-PPT课件

D 1P =
2 δ11 0 0 M M M M M 二、力法的典型方程 i i k i P d = ds 0 , d = ds = 0 , D = ds = ↓↓↓↓↓↓↓↓ ii ik iP δ21 0 B EI EI EI q 0 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓
B 主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付 ΔBH=Δ1 =0 ×X1 系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。 ＝ ΔBV=Δ2=0 ＝ ＋
6.2 力法的基本概念
一.力法的基本原理
力法的基本概念 1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基 本体系，然后让基本体系在受 力方面和变形方面与原结构完 全一样。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
〓
RB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B 当ΔB=Δ1=0
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件 （变形协调条件）。
超静定次数 = 多余约束的个数
（ 1）
即: 把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数。
从静力特征来看，超静定次数等于根据平衡方程计算未 知力时所缺少的方程的个数，因此
超静定次数 = 多余未知力的个数 = 未知力个数 - 平衡方程的个数
（ 2）
由 (1) 式确定结构的超静定次数 ，为“解除多余约束 法”。
d
d =l /3 EI 11
l
X1=1 Pl P
Pl
3 D = Pl /2 EI 1 P X 3 P /2 ( ) 1=
M = M X M 1 1 P
MP
1 P l 2
l
M1
M
6.3 超静定结构在荷载作用下的计算

天津大学结构力学课件

天津大学结构力学课件

材料力学基础
01
材料力学基本概念
材料力学是研究材料在力作用下发生变形和破坏的科学。材料力学基本
概念包括应力、应变、弹性模量、泊松比等。
02
材料力学基本定理
材料力学基本定理包括胡克定律、剪切虎克定律、弯曲虎克定律等，这
些定理描述了材料在力作用下的变形规律和应力分布。
03
材料力学中的强度理论
强度理论是材料力学中的重要概念，用于评估材料在力作用下的承载能
03
02
可靠性分析的方法
包括概率法、数理统计法等。
可靠性分析的软件
如SAP2000、Midas等。
04
THANKS
感谢观看
结构抗震设计
地震对结构的影响
地震是一种常见的自然灾害，对结构的安全性和稳定性构成严重 威胁。
抗震设计的基本原则
抗震设计旨在减轻地震对结构的破坏程度，遵循小震不坏、中震 可修、大震不倒的原则。
抗震设计的方法
抗震设计的方法包括基于性能的设计、能力谱法和损伤容限设计 等。
06
结构疲劳与断裂
结构疲劳分析
空间结构优化设计
减轻结构重量，提高结构 的承载能力和稳定性。
05
结构动力学
结构动力学基本概念
结构动力学定义01来自结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应的科学，涉及
结构振动、稳定性、动力特性和动力响应等方面。
振动的基本概念
02
振动是指物体在一定周期内不断重复的位移、速度和加速度变
化的现象。
动力学的基本原理
02
结构力学基础知识
静力学基础
静力学基本概念
静力学是研究物体在力作用下处 于平衡状态的科学。静力学基本 概念包括力的定义、力的三要素 、力的表示方法等。

天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第六能量法共17页

天津大学船舶与海洋工程8结构力学课件第六能量法共17页

W * v 1 P 1 v 2 P 2 v 3 P 3v i P i V*Tdv
i
V
W*V*
虚力原理等价于结构位移连续方程
位能驻值原理
WV
W P i i P i i
i
ห้องสมุดไป่ตู้
i
(VU)0
势能
力函数U
V U
V Pii
i
0
位能驻值原理的近似解法一李兹法
设梁的挠曲线
v (x) a 11 (x) a 22 (x) a 33 (x) a nn (x) a n n (x)
能量法
2
基本概念
外力功:
1
W Pd
0
位移为自变量，力是位移的函数。
应变能：
应变为自变量，应力是位移的函数。 V V 0 dv V 0 Td x,y,z,xy ,y,zzxT
V 0
V 0
dx,y,z,xy ,y,zzxT
能量法
3
拉压杆件的应变能 扭转杆件的应变能
杆件的应变能
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
V1 2LTE 2A dx1 2LEAu''2dx
0
0
V1LM t2dx1LGJ''2dx
2 GJ 2
0
0
弯曲杆件的应变能
剪切变形引起的应变能
V1 2LM E 2Idx1 2LEIv''2dx
0
0
V 1 2 L 0 N G 2 A d s x 1 2 L 0 G A S v 2 ' 2 d x A s I 1 2 A b S 2 2 d A 1
W P 1 v 1 P 2 v 2 P 3 v 3P i v i VTdv
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VU
1
EIL 4n
an 2nL 4qL
(1cosn)
an
n
(V U )
an
an
1 2E ILan n L 4n q L(1cosn)0
2qL4(1cosn )
an n5 EI
几种基函数
Page125 共四种边界条件的基函数
基本概念
外力功: 位移为自变量，力是位移的函数。 应变能：应变为自变量，应力是位移的函数。
nx
n
ansin
L
v1 2L 0E Iv ''2d x1 2 E IL 0 Na n (n L)2sin n L x 2 d x
1 2E I n ka n a k n L 2 k L 2L 0sin n L xsin k L x d x
Lsinnxsinkxdx?
i
V
W* V*
虚力原理等价于结构位移连续方程
位能驻值原理
WV
W P i i P i i
i
i
(VU)0
势能
力函数U
V U
V Pi i
i
0
位能驻值原理的近似解法一李兹法
设梁的挠曲线
v(x)a11(x)a22(x)a33(x) ann(x)
ann(x) n
其中： n ( x基) 函数、 待a n定参数共有n个
* 基函数，具备条件 在边界上满足位移边界条件； 在结构内满足位移连续条件的函数。
*此时:势能： =V-U，是待定参数的函数。
•根据位能驻值原理，梁处于平衡状态 的充分必要条件：
即： =0 0 an
当n=1、2、3…时，得到关于待定参 数的n个方程。
例题：受均布载荷作用的铰支梁
v(x)a1sinL xa2sin2Lxa3sin3Lx ansinnLx
弹性支座：
V1Rv1AR21v2
22
2A
弹性固定端：
V1M 1M 212
22
2
虚功原理
虚位移原理 (1) 设结构在外力作用下处于平衡状态; (2)如果给结构一个可能发生的位移即虚位移; (3)则外力对虚位移的功（虚功）必等于结构因虚变形获得的虚应变能，
W P 1 v 1 P 2 v 2 P 3 v 3 P i v i V Tdv
a
1
基本概念
外力功:
1
W Pd
0
位移为自变量，力是位移的函数。
应变能：
应变为自变量，应力是位移的函数。 VV 0dvV 0 Td x,y,z,xy,yz,zxT
V 0
V 0
d x,y,z,xy,yz,zxT
a
2
拉压杆件的应变能 扭转杆件的应变能
杆件的应变能
V12LTE2A dx12LEAu''2dx
0
0
V12LMGt2Jdx12LGJ''2dx
0
0
弯曲杆件的应变能
剪切变形引起的应变能
V12LME2Idx12LEIv''2dx
0
0
V 1 2L 0N G 2 A d s x 1 2L 0 G A S v 2'2 d x A s I 1 2A b S 22 d A 1
弹性支座及弹性固定端的能量
W pd
0
VV0dv V0Td
V0
V0
余功：力为自变量，位移是力的函数。 余能：应力为自变量，应变是位移的函数。
p1
W * dp
0
V *V *0dvV *0 Td
V 0

V 0
0
L
L
L nx kx l
nk
sin
0
L
sin
L
dx 2
nk L 0sinnLxsinkLxdx0
应变能V、力函数U
V 1 2E Ina n 2 n L 4L 2L 4E ILna n 2 n L 4
L
L
U qv(x)dxq
0
0
nx
ansin
n
dx L
q1 2 na nL 0sinn L xd xq L na n(1cn o sn )
i
V
WV
注意
虚位移原理等价于结构平衡条件。
可能发生的位移：内部位移连续、边界上满足位移边界条件
虚力原理
（1）设结构在外力作用下处于平衡状态； （2）给外力一个不破坏静力平衡条件及静力边界条件的虚变化
并且由此虚力产生的变形是协调的； （3）则外力的虚余功必等于结构虚余能。
W * v 1 P 1 v 2 P 2 v 3 P 3 v i P i V* Tdv