《勾股定理的应用》人教版八年级数学下册PPT课件(3篇)
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人教版八年级数学下册《勾股定理的应用》PPT
归类 直角三角 形的问题
13m 8m
12m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树的顶端飞 到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少m?
A
E 13m
B
D
8m C 12m
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
DC
2m
AB
1m
如图，一个2.6m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这 时AO的距离为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端B也外移0.5m吗?
A+ B=90
AC=－1 AB
2
a2+b2=c2
应用
已知一个锐角 求另一个锐角
已知任意 两边求第 三边
勾股定理的应用
直接运用勾股定理求边
B
1.已知直角三角形ABC中,
(1)若AC=8,AB=10,则 S = ABC __2_4_. A
C
(2) 若SABC =30,且BC=5,则AB=__1_3__ (3)若SABC =24,且BC=6,则AB边上的高
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
x2+42=(8-x)2
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
实际问题
抽象
解决
利用勾 股定理
已知两边 求第三边
数学问题
人教版八年级（下）第十七章
直角三角形性质归纳
图形 语言叙述
数学符号表 示
锐 角A 间
13m 8m
12m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树的顶端飞 到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少m?
A
E 13m
B
D
8m C 12m
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
DC
2m
AB
1m
如图，一个2.6m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这 时AO的距离为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端B也外移0.5m吗?
A+ B=90
AC=－1 AB
2
a2+b2=c2
应用
已知一个锐角 求另一个锐角
已知任意 两边求第 三边
勾股定理的应用
直接运用勾股定理求边
B
1.已知直角三角形ABC中,
(1)若AC=8,AB=10,则 S = ABC __2_4_. A
C
(2) 若SABC =30,且BC=5,则AB=__1_3__ (3)若SABC =24,且BC=6,则AB边上的高
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
x2+42=(8-x)2
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
实际问题
抽象
解决
利用勾 股定理
已知两边 求第三边
数学问题
人教版八年级（下）第十七章
直角三角形性质归纳
图形 语言叙述
数学符号表 示
锐 角A 间
勾股定理课件(共19张PPT)人教版初中数学八年级下册
1
+2·
2
ab =
即：在Rt△ABC 中，∠C=90 °
c2 = a2 + b2
1 2
c +ab
2
伽
菲
尔
德
证
法
归纳小结
“赵爽弦图”通过图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证实
了命题的正确性，命题与直角三角形的边有关，我国把它称为
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平
方和，等于斜边c的平方。
即：a2+b2 =c2
谢谢观看
哲学家、数学家、天文学家
新知探究
思考
图17.1-2中三个正方形的面积有什么关系？等腰
直角三角形的三边之间有什么关系？
A
B
a
b
c
C
图17.1-2
三个正方形A、
B、C的面积有
什么关系？
新知探究
探究
等腰直角三角形有上述性质，其他
直角三角形是否也有这个性质？
C
A
B
C'
图1
A'
B'
图17.1-3
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
了解勾股定理文化背景，体验勾股定理的探究过
程。
理解不同勾股定理的证明方法，能够分析
它们的异同。
能够用勾股定理解决直角三角形的相关学习
3
和解决生活中的实际问题。
情景导入
图17.1-1
毕达哥拉斯（Pythagoras,约前
人教版八年级数学下册：勾股定理的应用【精品课件】
在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的 高CD=12，则△ABC的周长为( )
A.32 C.32或42
B.42 D.以上都不对
错解：A或B
正解：C
错因分析：如图①，CD在△ABC内部时，AB=AD +BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15= 42，如图②，CD在△ABC 外部时，AB=AD-BD= 9-5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32.综上所 述，△ABC的周长为32或42.故选C.
AB=17
BC 1，AC 3 BC 2，AC 2
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面 积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，池塘边有两点A，B，点C 是与BA方向成直角的AC方向上的 一点，现测得CB=60m，AC=20m. 求A，B两点间的距离(结果取整数).
观察 1.木板能横着或竖着从门框通过吗？
不能 2.这个门框能通过的最大长度是多少？
3.怎样判定这块木板能否通过木框？ 求出斜边的长，与木板的宽比较.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC= 5 ≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所
以木板能从门框内通过．
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90° 根据勾股定理，得
BC AB2 AC2 ,BC AB2 AC2 .
又AB=A′B′, AC=A′C′， ∴BC=B′C′.∴ △ ABC≌△A′B′C′（SSS）.
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表
示无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
勾股定理的实际应用人教版八年级数学下册课件
52mm,的那长在么方梯R形子t薄底木A端板BB也能C外否中移从，0门. 框根内通据过勾?为什股么定? 理得
如图，墙A处需要维修，A处距离墙脚C处8米，墙下是一条宽BC为6米的小河，现要架一架梯子维修A处的墙体，现有一架12米长的梯
子，问A这C架2梯子能A否B到2达墙B的CA处2 ？ 12 22 5
解：连接AB AC 8米，BC 6米
AB AC2 BC2
82 62 10(米） 12 10 这架梯子能到达墙的A处。
已知：如图，在RtABC和RtA1B1C1中， C C1 90, AB A1B1, AC A1C1, 求证：ABC A1B1C1 证明：在RtABC和RtA1B1C1中， C C1 90,根据勾股定理得
中点，H是AD上任意一点。
AC 18cm 练习1 如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
米。
利用勾股定理求最短距离
如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内 2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
BC 24cm
玻璃杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
AB AC2 BC2
看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3Cm,宽2.
242 182
如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以
看例作2 是如一图A个，长C一方架体2.去5掉一个2“.半2圆4 柱”而成，中间可供滑行
利中用点勾 ，因股H是定为A理DA求上C最任大短意距一于离点木。 板得宽为2.2m，所以木板能从门框内通过。
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用——立体图形中的最短距离》PPT
8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想
沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬
行的最短距离是多少？ B (1)点A处在几个面 上？ 点B呢？
牛奶盒
A 10cm
8cm (2)蚂蚁从点A到点B至 少要经过几个面？分别
6cm 有哪些情况？ (3)如何展开长方体？
B3 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得
B1 B
AB12 102 6 82
296 2 74
AB2 82 10 62
8
B2
320 8 5
AB3 62 10 82
A
10
360 6 10
6
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短
路程为AB1，长为2 74 cm.
拓展提升
若长方体的长，宽，高分别为a，b 和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A到 Cˊ所走的最短路程是
归纳总结
二、数学思想： 立体图形
转化 展开
转化思想
平面图形
课后作业
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有 一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少. B
A 2.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒 形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如 图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
（2）这条“径路”长 5 米,他们少走了 4
为1米)A？
Байду номын сангаас
别踩我,我怕疼 A
疼
!
步(设两步
C
B
C
B
研学问题
人教版八年级下册数学课件勾股定理的几何应用
＝A7A8＝1.
1 3，2；斜边长 6 D 提示：点击 进入习题
【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求解即可． 提示：点击 进入习题
图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…
【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求解即可．
若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明．
习题链接
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题
13 见习题
答案显示
课堂导练 1. 在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别
证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD. ∴∠BCD＝∠ACE. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
课后训练 10. 如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠
DCE＝90°，D 为 AB 边上一点. 求证： (2)AD2＋AE2＝DE2.
△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置. 若四边形 AECF 的面积为 20，DE＝2，则 AE 的长为( )
A. 4
B. 2 5
C. 6
D. 2 6
课堂导练 【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的 面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求 解即可．
课后训练
12. 如图，AD 是△ABC 的中线. 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2).
1 3，2；斜边长 6 D 提示：点击 进入习题
【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求解即可． 提示：点击 进入习题
图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…
【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求解即可．
若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明．
习题链接
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题
13 见习题
答案显示
课堂导练 1. 在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别
证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD. ∴∠BCD＝∠ACE. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
课后训练 10. 如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠
DCE＝90°，D 为 AB 边上一点. 求证： (2)AD2＋AE2＝DE2.
△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置. 若四边形 AECF 的面积为 20，DE＝2，则 AE 的长为( )
A. 4
B. 2 5
C. 6
D. 2 6
课堂导练 【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的 面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求 解即可．
课后训练
12. 如图，AD 是△ABC 的中线. 求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2).
人教版八年级下册数学17.1.3 勾股定理的应用课件 (共16张PPT)
证明：在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′ =90°，根据勾股定理，得
C
B C′ B′
B C =A B 2-A C 2， B ′C ′=A ′B ′2 - A ′C ′2．
∵ AB=A B ， AC=A C ，
∴ BC=B C ．
∴ 2020/6/19
△ABC≌△A
B
C
（SSS）．
结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直 角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明 这一结论吗？
A
A′
2020/6/19
C
B C′ B′
4
知识点1: 证明“HL”
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=
∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′． A
A′
求证：△ABC≌△A′B′C′．
3
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧
与数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。
l
B ∴点C即为表示 13 的点
13
2
0
1
2
A•3 1
3 C4
17 你2020能/6/19 在数轴上画出表示
的点和
15 的点吗？11
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？
5
练习&1 ☞
如图，等边三角形的边长是6，求： （1）高AD的长； （2） 这个三角形的面积
A
2020/6/19
B
D
C
6
知识点2: 在数轴上表示无理数 实数 一一对应 数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数
A
B
数学八年级下册PPT课件勾股定理的实际运用(16张)(人教版)
第十七章 勾股定理
目录
01
学习目标 LEARNING OBJECTIVES
1.利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段。
2.通过学习勾股定理的应用，培养学生基本运算能力和应用意
识。
02
03
重点 A KEY
利用勾股定理画出一条线段 等于已知长度为无理数的线 段。
难点 DIFFICULTY
利用勾股定理解决几何问题。
01 利用勾股定理知识在数轴上 表示长度为无理数的线段
八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
LEARNING OBJECTIVES
利用勾股定理解决几何问题。
LEARNING OBJECTIVES
PA R 利用勾股定理解决几何问题。 T
求证： △ABC ≌ △A ′ B ′ C ′.
LEARNING OBJECTIVES
利用勾股定理知识在数轴上表示长度为无理数的线段
利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段。
利∠C用= ∠勾C股′，定A理B=画A 出′B 一′，条AC线=A段′C等′.于已知长度为无理数的线段。 利LEA用R勾NIN股G定O理BJE知CT识IV在ES数轴上表示长度为无理数的线段 八LEA年R级NIN上G册O中BJE我CT们IV曾ES经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 利∠C用= ∠勾C股′，定A理B=解A 决′B 几′，何AC问=A题′C。′. 八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 求∠C证= ∠：C△′，ABACB=≌A△′BA ′，B A′ C=′.A ′C ′. L利EA用R勾NIN股G定O理BJE解CT决IV几ES何问题 ∠通C过= ∠学C习′，勾A股B=定A 理′B 的′，应AC用=A，′C培′.养学生基本运算能力和应用意识。 ∠LECA=R∠NCIN′G，OABBJ=EACT′BIV′E，SAC=A ′C ′. 学求习证了 ：勾△A股B定C ≌理△后A，′ B你′ C能′.证明这一结论吗？ 利学用习勾 了股勾定股理定知理识后在，数你轴能上证表明示这长一度结为论无吗理？数的线段 ∠LECA=R∠NCIN′G，OABBJ=EACT′BIV′E，SAC=A ′C ′. 八利年用级 勾上股册定中理我知们识曾在经数通轴过上画表图示得长到度结为论无：理斜数边的和线一段条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 利通用过勾 学股习定勾理股知定识理在的数应轴用上，表培示养长学度生为基无本理运数算的能线力段和应用意识。 ∠利C用= ∠勾C股′，定A理B=知A 识′B 在′，数AC轴=A上′C表′.示长度为无理数的线段 L八EA年R级NIN上G册O中BJE我CT们IV曾ES经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 八求年证级 ：上△A册B中C ≌我△们A曾′ B经′ C通′.过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4∠．C=已∠知C ′直，角AB三=A角′B形′，两A边C=的A长′C分′. 别为9和12，则此三角形的周长为_____． 4∠．C=已∠知C ′直，角AB三=A角′B形′，两A边C=的A长′C分′. 别为9和12，则此三角形的周长为_____． L利EA用R勾NIN股G定O理BJE画CT出IV一ES条线段等于已知长度为无理数的线段。 通过学习勾股定理的应用，培养学生基本运算能力和应用意识。 L通EA过R学NIN习G勾O股BJE定CT理IV的ES应用，培养学生基本运算能力和应用意识。
目录
01
学习目标 LEARNING OBJECTIVES
1.利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段。
2.通过学习勾股定理的应用，培养学生基本运算能力和应用意
识。
02
03
重点 A KEY
利用勾股定理画出一条线段 等于已知长度为无理数的线 段。
难点 DIFFICULTY
利用勾股定理解决几何问题。
01 利用勾股定理知识在数轴上 表示长度为无理数的线段
八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
LEARNING OBJECTIVES
利用勾股定理解决几何问题。
LEARNING OBJECTIVES
PA R 利用勾股定理解决几何问题。 T
求证： △ABC ≌ △A ′ B ′ C ′.
LEARNING OBJECTIVES
利用勾股定理知识在数轴上表示长度为无理数的线段
利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段。
利∠C用= ∠勾C股′，定A理B=画A 出′B 一′，条AC线=A段′C等′.于已知长度为无理数的线段。 利LEA用R勾NIN股G定O理BJE知CT识IV在ES数轴上表示长度为无理数的线段 八LEA年R级NIN上G册O中BJE我CT们IV曾ES经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 利∠C用= ∠勾C股′，定A理B=解A 决′B 几′，何AC问=A题′C。′. 八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 求∠C证= ∠：C△′，ABACB=≌A△′BA ′，B A′ C=′.A ′C ′. L利EA用R勾NIN股G定O理BJE解CT决IV几ES何问题 ∠通C过= ∠学C习′，勾A股B=定A 理′B 的′，应AC用=A，′C培′.养学生基本运算能力和应用意识。 ∠LECA=R∠NCIN′G，OABBJ=EACT′BIV′E，SAC=A ′C ′. 学求习证了 ：勾△A股B定C ≌理△后A，′ B你′ C能′.证明这一结论吗？ 利学用习勾 了股勾定股理定知理识后在，数你轴能上证表明示这长一度结为论无吗理？数的线段 ∠LECA=R∠NCIN′G，OABBJ=EACT′BIV′E，SAC=A ′C ′. 八利年用级 勾上股册定中理我知们识曾在经数通轴过上画表图示得长到度结为论无：理斜数边的和线一段条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 利通用过勾 学股习定勾理股知定识理在的数应轴用上，表培示养长学度生为基无本理运数算的能线力段和应用意识。 ∠利C用= ∠勾C股′，定A理B=知A 识′B 在′，数AC轴=A上′C表′.示长度为无理数的线段 L八EA年R级NIN上G册O中BJE我CT们IV曾ES经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 八求年证级 ：上△A册B中C ≌我△们A曾′ B经′ C通′.过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4∠．C=已∠知C ′直，角AB三=A角′B形′，两A边C=的A长′C分′. 别为9和12，则此三角形的周长为_____． 4∠．C=已∠知C ′直，角AB三=A角′B形′，两A边C=的A长′C分′. 别为9和12，则此三角形的周长为_____． L利EA用R勾NIN股G定O理BJE画CT出IV一ES条线段等于已知长度为无理数的线段。 通过学习勾股定理的应用，培养学生基本运算能力和应用意识。 L通EA过R学NIN习G勾O股BJE定CT理IV的ES应用，培养学生基本运算能力和应用意识。
人教版八年级数学下册勾股定理勾股定理的应用ppt
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C′
问题2 你认为选择哪种方法比较好?你能说出你这种方法通过的最大长度是什么?
A 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.
5m,那么梯子底端B也外移吗?
在Rt△COD中，根据勾股定理，
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
提示
直角边长为整数2，3的直
角三角形的斜边长为 1 3
.
01
探究思路：把握题意——找 关键字词——连接相关知识 ——建立数学模型（建模）
23 4
解：
l
B
2
0 1 2 A3•C13•4
利用勾股定理作出长为 2, 3, 5线段.
用同样的方法，你能 否在数轴上画出表示 1 2 3 4 5 ，…
1 12
ac
a2+b2=c2
b
勾股定理在现实生活中有哪些应用呢？
导入新课
问题 在Rt△ABC中，已知BC=6, AC=8,
(1) 则AB= 10 ; B
(2) 则AB边上的高是
;
(3) 它的面积是 24 ; C
A
(4) 它的周长是 24 .
讲授新课
一勾股定理的应用举例
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方 形薄木板能否从门框内通过?为什么?
证明：在Rt△ABC 和
Rt△A ′B ′C ′中，∠C=∠C′
A
A′
=90°，根据勾股定理，得
BC= AB2-AC2 ，
BC AB2AC2.
A B A B ,A C A C ,
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回顾与思考 -----------勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习：
一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,
则BC=13 ( )
2. ABC的a=6,b=8,则c=10
( )
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=__6__,b=_8__.
E
在R t △ABC中，根据勾股定
D
C
理FC2=FB2＋BC2
则有x2=(9－x)2＋32
解得x=5 同理可得DE=4
A
GF
B
∴GF=1
∴以EF为边的正方形的面积
=EG2＋GF2=32＋12=10
11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩
探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆 点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
解：过B点向南作垂线， 连结AB，可得Rt△ABC
由题意可知：AC=6千米， BC=8千米
根据勾股定理 AB2=AC2＋BC2
B 1 6
3
＝62＋82＝100
2
∴AB=10千米
A
8C
11、如图，已知：CD⊥AB于D， 且有 AC 2 AD AB 求证：△ACB为直角三角形
C
AD
B
9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向 东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15 千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港 口2小时后相距多少千米？
10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12， AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
8、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森 林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两个 村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该 森林公园?请通过计算说明.
设AE=xcm，则EC=(10－x)cm
在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
C E
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－x)2
解得x=6.8
∴EC=10－6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 __2_4__,斜边为上的高为_4_._8___.
3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm
D1 A1 D A4
C1
B1
1 C
B2
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1
C1
D1
①D
C1
1
C
2
A1
②
A
4
B1
C1
1
B2 C
2
③ A 1 A1
4
B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ; AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
B C 20
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况(如图①② ),由勾股定理可求 得图1中AB最短.
15 A 10
5B
① 20
B
5
② 20
A 10 15
A 10 15
AB =√202+152 =√625 AB =√102+252 =√725
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶 点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正 方形面积。
解：由已知AF=FC
设AF=x，则FB=9－x
A
A
B
解：台阶的展开图如图：连结AB
在Rt△ABC中根据勾股定理
AB2=BC2＋AC2
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm C
B
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D A
B
解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE
= DE2- BE2 = (DE+BE)·( DE- BE) = (DE+CE)·( DE- BE) =BD·CD
5、已知：数7和24，请你再写一个整数， 使这些数恰好是一个直角三角形三边的长， 则这个数可以是—25—
6、一个直角三角形的三边长是不大于１ ０的三个连续偶数，则它的周长是—2—4 ——
D. 6 cm
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·CD
A
证明：过A作AE⊥BC于E
∵AB=AC，∴BE=CE
D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 B E
C
在Rt △ABE中， AB2=AE2ჷDE2)-(AE2+BE2)
7 .观察下列表格：
列举
3、4、5
……
5、12、13
7、24、25
13、b、c
猜想
32=4+5 52=12+13 72=24+25
…… 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习：
一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,
则BC=13 ( )
2. ABC的a=6,b=8,则c=10
( )
二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=__6__,b=_8__.
E
在R t △ABC中，根据勾股定
D
C
理FC2=FB2＋BC2
则有x2=(9－x)2＋32
解得x=5 同理可得DE=4
A
GF
B
∴GF=1
∴以EF为边的正方形的面积
=EG2＋GF2=32＋12=10
11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩
探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆 点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
解：过B点向南作垂线， 连结AB，可得Rt△ABC
由题意可知：AC=6千米， BC=8千米
根据勾股定理 AB2=AC2＋BC2
B 1 6
3
＝62＋82＝100
2
∴AB=10千米
A
8C
11、如图，已知：CD⊥AB于D， 且有 AC 2 AD AB 求证：△ACB为直角三角形
C
AD
B
9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向 东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15 千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港 口2小时后相距多少千米？
10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12， AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
8、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森 林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两个 村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该 森林公园?请通过计算说明.
设AE=xcm，则EC=(10－x)cm
在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
C E
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－x)2
解得x=6.8
∴EC=10－6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在 ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则ABC面积为 __2_4__,斜边为上的高为_4_._8___.
3．若等腰三角形中相等的两边长 为10cm,第三边长为16 cm,那么第 三边上的高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm
D1 A1 D A4
C1
B1
1 C
B2
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1
C1
D1
①D
C1
1
C
2
A1
②
A
4
B1
C1
1
B2 C
2
③ A 1 A1
4
B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ; AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
B C 20
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况(如图①② ),由勾股定理可求 得图1中AB最短.
15 A 10
5B
① 20
B
5
② 20
A 10 15
A 10 15
AB =√202+152 =√625 AB =√102+252 =√725
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶 点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正 方形面积。
解：由已知AF=FC
设AF=x，则FB=9－x
A
A
B
解：台阶的展开图如图：连结AB
在Rt△ABC中根据勾股定理
AB2=BC2＋AC2
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm C
B
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D A
B
解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE
= DE2- BE2 = (DE+BE)·( DE- BE) = (DE+CE)·( DE- BE) =BD·CD
5、已知：数7和24，请你再写一个整数， 使这些数恰好是一个直角三角形三边的长， 则这个数可以是—25—
6、一个直角三角形的三边长是不大于１ ０的三个连续偶数，则它的周长是—2—4 ——
D. 6 cm
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·CD
A
证明：过A作AE⊥BC于E
∵AB=AC，∴BE=CE
D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 B E
C
在Rt △ABE中， AB2=AE2ჷDE2)-(AE2+BE2)
7 .观察下列表格：
列举
3、4、5
……
5、12、13
7、24、25
13、b、c
猜想
32=4+5 52=12+13 72=24+25
…… 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着 台阶面爬到B点，最短线路是多少？