有理数的认识

对有理数和无理数的认识摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数一、 有理数1、有理数的由来在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。

也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b ）、自乘(ba )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ba ），减法（a-b ）、开方（b a ）要在只在有限制的条件下成立。

维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。

然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。

若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。

或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。

因此在自然数域中算术运算是全可能的。

那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。

对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。

因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。

（希腊文称为λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。

求
相
2、负数的相反数是正数
反
数
3、0的相反数是0
的
方
4、一个字母的相反数只需要在这个字母前面添一个“-”
法
5、一个式子的相反数只需要将这个式子用括号括起来，在前面添一个“-”
结论
原点
一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 有理数a 的绝对值记
作
。
练习：
|+2|=
;
|-3|=
;
|0|=
;
|1.5|=
.
1、正数的绝对值是它本身
求
相
2、负数的绝对值是它的相反数
反
数
3、0的绝对值是0
的
方
4、任何一个数都有唯一的绝对值
法
5、绝对值相等的两个数（一正一负）互为相反数。
思考： 相反数、绝对值的联系是什么？ 互为相反数的两个数的绝对值相等.
绝对值相等
|+5|=5 |-5|=5
互为相反数，符号相反
绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
;
(2)1.7与
互为相反数;
(3)x的相反数是
.
例2：求下列各数的相反数和绝对值：
-2， ，0，-3.8，30.
解：-2， ，0，-3.8，30的相反数分别为 2， ，0，3.8，-30
认识相反数
一、利用相反数的概念求值。 例1：已知 是-3的相反数， 是最小的正整数，则
① 已知 的相反数是-0.5， 是-2的相反数，则 ② 已知 的相反数是它本身， 是最小的质数，则
结论
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
练习：
1.-5 -4； 2.-2.3 -2.2； 3.-2 2； 4.2021 2022； 5.-2021 0。

第一讲：认识有理数模块一 正数与负数在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数，在小学时，老师给我们说，它们分别是整数、小数、分数，进入初中以后，我们把像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数叫 ；如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“—”，比如像这些数，－3，-2，－1，－0.58，41-......，我们把它们叫 。

把下列具有相反意义的量有用线边起来：（1）收入20元 前进100米 后退100米 支出20元 高于海平面155米 亏损6万元 盈余6万元 低于海平面155米（2）零上10C ︒运出50筐梨高于海平面8848米 低于海平面392米运进80筐梨 零下5C ︒学习与归纳：①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上 号，把另一 个数前面加上 号来进行区分；前面带 号的数叫做正数，前面 的 号经常可以省略不写，前面带 号的数叫做负数，前 面的 号不可以省略；② 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点； ③ 大于零， 小于零，正数 一切负数。

现在我们就把正数与负数的概念总结如下： 像5，2.1，21，⋅⋅⋅这样的数叫做正数，它们都比0大。

在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如：13-，6.1-，32-，⋅⋅⋅ 0既不是正数，也不是负数。

典型例题讲解（理解新知识） 例1：填空：（1）如果收入50元记作50+元，那么支出50元，记作 ，80-元表示 。

（2）手表的指针顺时针旋转︒90记作︒-90，那么逆时针旋转︒60则记作 。

（3）如果比海平面高规定为正，那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作 ，吐鲁番盆地海拨155-米表示 。

变式练习： 判断题：（1）前进100米和前进－30米是两个相反意义的量（ ） （2）前进100米和后退－100米是两个相反意义的量（ ）（3）零上10C ︒和支出20元是两个相的反意义的量（ ）解题方法点拨：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。

谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；m2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且nn≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：m当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）nm时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小n数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）2无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，、e、π等等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四2则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。

2根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数m和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的n等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

认识有理数一、学习目标1.认识正数和负数；2.有理数的定义；3.有理数的分类。

二、知识点讲解1、认识正数和负数①正数：像3，3.5这种大于0的数叫做正数；②负数：像-3，-4.5这样在正数前加上“-”号的叫做负数；③符号：一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号。

知识点解读一般，我们会把上升、运送、零上、收入、前进、高出等规定为正；而它的相反意义的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负。

2、负数和正数①负数：比0小的数。

负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。

负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。

②正数：比0大的数。

正数是数学术语，比0大的数叫正数，0本身不算正数。

正数与负数表示意义相反的量。

正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。

③0既不是正数，也不是负数。

注意事项①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a 是正数；当a表示0时，-a仍是0。

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

典型例题、认识正数和负数五个数中，负数共有（）个。

1.题干：在-5、-2.3、0、0.89、1-43A、2个B、3个C、4个D、5个个人分析：负数的定义是_______。

答案：B、解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，符合条件的有3个，故选B错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂总结：本题主要考察正数和负数的相关概念，需要分清他们的定义。

2.题干：-5属于（）。

（填正数或者负数）个人分析：负数的定义是_______；正数的定义是______。

答案：负数解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，故为负数。

错因分析：______A.没有理解清楚定义B.看错条件了C.题目没读懂3.题干：-8是正数。

初一数学有理数的要点一、知识要点本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。

有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。

有理数的运算是全章的重点。

在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。

基础知识：1、正数(positionnumber)：大于0的数叫做正数。

2、负数(negationnumber)：在正数前面加上负号"-"的数叫做负数。

3、0既不是正数也不是负数。

4、有理数(rationalnumber)：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

5、数轴(numberaxis)：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度。

6、相反数(oppositenumber)：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。

7、绝对值(absolutevalue)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。

一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小。

8、有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a。

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

5.关注学生的情感态度：关注学生在学习过程中可能遇到的困难和挫折，及时给予鼓励和支持，帮助他们建立自信，形成积极向上的学习态度。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：有理数的概念、性质、运算及其在实际问题中的应用。
2.难点：有理数的性质和运算规律的掌握，特别是负数的运算和数轴上的表示。
（二）教学设想
b.及时对学生的作业进行度与价值观的培养：
a.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们勇于表达、善于倾听的良好习惯。
b.注重培养学生的团队合作精神，让他们在合作中学会互相尊重、互相帮助。
c.培养学生面对困难时，保持积极的心态，勇于克服挫折，追求卓越。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计不同难度和类型的练习题，让学生当堂完成。
a.填空题：有关有理数定义、性质的基础题。
b.选择题：涉及有理数运算的题目。
c.解答题：综合运用有理数性质和运算的题目。
2.教学方法：练习、指导、反馈。
3.教学目的：巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的有理数概念、性质、运算等知识点进行总结。
a.有理数的定义：整数、分数统称为有理数。
b.有理数的性质：符号规律、大小比较、相反数和倒数等。
c.数轴表示：利用数轴表示有理数，理解数轴上的点与有理数之间的对应关系。
d.有理数的运算：加减乘除运算及其运算性质。
2.教学方法：讲授、问答、总结。
3.教学目的：巩固所学知识，培养学生的归纳总结能力，为后续学习打下基础。
7.教学评价：
a.采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习效果。
b.关注学生的成长过程，鼓励他们不断进步，提高自信心。

有理数的意义、数轴、绝对值第一部分：有理数1、正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。

“—”用正数和负数表示相反意义的量Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。

Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。

在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。

2、对“0”的理解：0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。

它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。

3、有理数的概念：整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。

4、有理数的分类：例1：（1）如果把收入50元记做50元，那么下列各数分别表示什么意义？20元 2.5元 -80元 0元（2）如果6摄氏度用6C︒表示，那么零下4摄氏度如何表示？例2：把13121271 2.80734%0.67247--、、、、、、、、、、、、、、-、、分别填在表示正数和负数的圈内。

正数负数巩固练习：1、如果规定向南走为正，那么﹣100米表示向________走100米。

2、某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）：由上表知，星期一收盘时，每股价格是元，星期四收盘时，每股价格是元。

3、下列说法正确的是（）A.一个有理数不是正数就是负数B.一个有理数不是正数就是分数C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数）D.以上说法都正确4、把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }；（4）非负整数集：{ }5、下列判断正确的是( )A.所有的整数都是正数B.正整数，负整数统称为整数C.分数一定是有理数D.有理数包括小数和整数6、某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）Ａ.-10℃ B.-6℃ C.6℃ D.10℃第二部分：数轴的再认识与相反数1、数轴的再认识（1）数轴的三要素：原点、正方向、长度单位。

第一章有理数基本内容结构本章内容：（1）有理数的相关概念，包括数轴、相反数、绝对值等；（2）有理数的运算，包括有理数的加、减、乘、除和乘方运算等；（3）科学记数法和近似数.本章重点：（1）有理数的相关概念，能在数轴上表示有理数，并借助数轴理解相反数和绝对值的意义；（2）有理数的运算，能进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算和简单的混合运算.本章难点：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解.本章考情：本章在中考题中主要考查有理数的有关概念和科学记数法，题型主要以选择题、填空题为主. 本章知识是后续学习的基础，所以在对其他内容的考查中也会包含有理数的知识.学习方法指导1. 有理数的有关概念及运算与小学学过的数的概念及运算联系紧密，因此注意应用类比的方法学习. 例如，对负数的认识离不开对已学过的数的认识；有理数的运算，当符号确定后，就归结为已学过的运算.2. 注重数学思想的应用，体会数形结合、分类讨论、转化、类比等数学思想方法在本章学习中的应用.1.1 正数和负数本节概念与方法：正数和负数是具有相反意义的量．教学要求1．了解正数和负数的产生过程，体会数学与现实生活的联系．2．理解正数、负数和0的意义，会判断一个数是正数还是负数．13．能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．提前预习内容1．自然数的认识：自然数起源于数数，0是最小的自然数，没有最大的自然数．2．自然数与整数的关系：自然数都是整数，但整数不一定是自然数．3．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数．知识点突破知识点1 正数与负数的定义1．像2%，4，3，5这样大于0的数叫做正数. 有时为了明确所表达的意义，要在正数前面加上“＋”（正）号，如＋2，＋0.7，17+，…．2．像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数．提示：小于零的数是负数．3．0既不是正数，也不是负数，不要忽视零的这一特性．注意：（1）一个数前面的“＋”或“－”号叫做这个数的符号，正数前面的“＋”号一般省略不写，负数前面的“－”号不能省略不写．（2）0的意义：0不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界．例1 判断下列各数，哪些是正数，哪些是负数．＋2014，－3.1，12，10.58，－9，＋1，－45.6，0，1100+，－7%，114-．分析：可根据正数、负数的定义判断一个数是正数还是负数．解：正数有：＋2014，12，10.58，＋1，1100+．负数有：－3.1，－9，－45.6，－7%，114-．知识点2 用正数、负数表示具有相反意义的量在生产、生活中常常会遇到一些具有相反意义的量，例如“收入1000元与支出500元”“向东走2 km与向西走3 km”“上升1.5 m与下降0.8 m”等．为了更好地区分这些具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，把另一种和它具有相反意义的量规定为负的．学习具有相反意义的量应注意两点：（1）它们表示的意义相反；（2）它们是同类量．提示：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意选择的，2但习惯把“前进、上升，收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负．例如：若规定收入1000元记作＋1000元，则支出500元记作－500元；若规定上升1.5 m记作＋1.5 m，则下降0.8 m记作－0.8 m．（2）具有相反意义的量一定是具体的数量．（3）具有相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约3吨汽油与浪费1吨水就不是具有相反意义的量．（4）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量．具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量相等，如盈利3000元与亏损400元是具有相反意义的量．例2 （1）天气预报说某地12月某天的最高温度是零上5 ︒C，最低温度是零下3 ︒C，若规定零上温度为正，则零上5 ︒C可记作︒C，零下3 ︒C可记作︒C．（2）如果某蓄水池的水位比标准水位高2 m，记作＋2 m，那么比标准水位低0.8 m应记作；恰好在标准水位应记作．（3）某地区的平均高度高于海平面310 m，记作海拔高度＋310 m，则海拔高度－270 m 表示．解析：（1）因为规定零上温度为正，所以零下温度为负；（2）比标准水位高用正数表示，那么比标准水位低则用负数表示，恰好在标准水位上就用0表示；（3）高于海平面的海拔高度用正数表示，所以负数表示海拔高度低于海平面．答案：（1）＋5（或5），－3；（2）－0.8 m，0 m；（3）低于海平面270 m．点拨：用正数和负数表示具有相反意义的量时，要明确“基准”．例3 长江某水文站的警戒水位为12 m，如果超过警戒水位1 m，记作＋1 m，那么低于警戒水位0.60 m，记作m．观察某年8月1日至8月5日该水文站的水位记录表并回答问题．日期8月1日8月2日8月3曰8月4曰8月5日水位/m －0.80 0 0.38 0.50 0.96（1）哪一天的水位最高？最高水位是多少？（2）哪一天的水位最低？最低水位是多少？（3）在这五天中，有多少天的水位超过警戒水位？分析：在本题中负数表示低于警戒水位，正数表示超过警戒水位，由此可确定每天的水位，再进行比较即可．解：－0.60．（1）8月5日的水位最高，为12.96 m．（2）8月1日的水位最低，为11.20 m．（3）在这五天中，有三天的水位超过警戒水位．34规律总结：当题目中已明确给出“一种意义”的量对应的是正数还是负数时，我们就可判断“与之具有相反意义”的量所对应的是负数还是正数．题型分类剖析题型1 辨别正数和负数例1 在－5，0，2014，123-，13-，＋0.03，154+，－1.23，π中，负数的个数为（ ）． A ．8 B ．6 C ．4 D ．3解析：根据负数的定义进行判断．注意对于正数和负数，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，如＋(－4)＝－4不是正数，－(－2)＝2不是负数.答案：C题型2 正数和负数的实际应用1．用具有相反意义的量表示行走问题中的量例2 文具店、书店和玩具店依次位于一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20 m 处，玩具店在书店东边100 m 处，小明从书店沿街向东走了40 m ，接着又向东走了－60 m ，此时小明在（ ）．A ．文具店B ．玩具店C ．文具店西40 m 处D ．玩具店西60 m 处解析：把文具店、书店、玩具店的相对位置及小明的行走路线在图上表示出来，小明从书店出发沿街向东走了40 m ，到达M 处，接着又向东走了－60 m ，表示接着向西走了60 m ，所以小明向西走了60 m ，此时小明在文具店．答案：A方法归纳：图示法．图示法是将研究的问题用图表示出来，使其直观形象，便于理解问题内在联系的方法．例如，本题中用直线上的点表示位置，用线段的长表示距离，便可轻松地确定小明的位置．2．用正数、负数记录成绩例3 七年级（1）班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，将超过平均成绩的记为正，得到五名同学的成绩为－15分，－4分，0分，4分，15分．这五名同学的实际成绩分别是多少分？分析：以平均成绩为标准，负数表示该成绩低于平均成绩，0表示该成绩与平均成绩相同，正数表示该成绩高于平均成绩．解：－15分表示比平均成绩85分少15分，即70分；－4分表示比平均成绩少4分，即81分；0分表示和平均成绩相同，即85分；4分表示比平均成绩多4分，即89分；15分表示比平均成绩多15分，即100分．这五名同学的实际成绩分别是70分，81分，85分，89分，100分．方法归纳：为了计算方便，常把高于平均数、标准数或某一基准数的量规定为正，把与它们具有相反意义的量用负数表示．3．用正数、负数表示误差范围例 4 某饮料公司生产了一种瓶装饮料，外包装上印有“(600±30) mL”的字样，那么(600±30) mL表示什么含义？质检局抽查了5瓶该产品，容量分别为603 mL，611 mL，588 mL，568 mL，628 mL，就容量而言，问抽查的产品是否合格？解题关键：“(600±30) mL”隐含着产品合格的范围，即合格产品的容量在(600－30) mL与(600＋30) mL之间，根据这个范围来判断抽查产品是否合格．解：(600±30) mL表示容量在(570～630) mL的产品都合格．抽查的5瓶饮料中只有568 mL比600 mL少了32 mL，属不合格，其余均合格．注意：正数和负数的分界是0，但并不是所有的分界都是0，如本题中的分界为600 mL．题型3 与正数、负数相关的表格信息题例 5 一个病人每天要测量五次体温，该病人某一天五次所测体温的变化情况（与前一次测量的体温比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是38 ︒C）如下表：时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C（1）完成上面的表格；（2）计算该病人这一天的平均体温；（3）用前一天最后一次测量的体温与这天的平均体温比较，你能判断出该病人的体温是上升还是下降吗？分析：（1）根据该病人一天的体温变化情况，结合正数和负数的表示方法，即可求出答案．（2）根据表中所给的数据，结合题意，即可求出该病人这一天的平均体温．（3）用该病人前一天最后一次测量的体温与病人这天的平均体温进行比较，即可得出答案．解：（1）完成表格如下：5时间6：00 10：00 14：00 18：00 22：00 体温变化/︒C ＋1.1 ＋0.4 －1 ＋0.5 －0.1实际体温/︒C ＋39.1 ＋39.5 ＋38.5 ＋39 ＋38.9（2）根据题意，得平均体温＝(39.1＋39.5＋38.5＋39＋38.9)÷5＝195÷5＝39 ︒C．（3）∵前一天最后一次测量的体温是38 ︒C，这天的平均体温是39 ︒C，39 ︒C>38 ︒C，∴该病人的体温上升了．注意：本题中明确每次的基准温度是难点，只有第一次测量体温时的基准温度是38 ︒C，而后几次的基准温度均是前一次所测量的实际温度．题型4 正数、负数的规律探究题例6 观察下面依次排列的两组数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出第15个数、第101个数、第2017个数分别是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，，，，…；（2）－1，12，－3，14，－5，16，－7，18，，，，…．分析：仔细观察每组数的特点，尤其是符号的分布特点，从变化中发现一般规律．由第（1）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n是3的整数倍时，此数为＋n；当n不是3的整数倍时，此数为－n；由第（2）题所给的依次排列的一组数中的前8个数可知：对于第n个数，当n为奇数时，此数为－n；当n为偶数时，此数为1n．解：（1）＋9，－10，－11．这组数中的第15个数为＋15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．（2）－9，110，－11．这组数中的第15个数为－15，第101个数为－101，第2017个数为－2017．点拨：探索规律时，应全面分析题中所给的所有数据，要从符号和数两个方面进行观察，若是分数，还要分别观察分子和分母．要特别注意观察符号的变化规律，这样才能找到这组数的变化规律．中考考点对接考点归纳解读 1：正数和负数的定义，主要考查辨别一个数是正数还是负数，中考题中多以选择题和填空题的形式出现，题目较简单．解读 2：考查运用正数、负数表示具有相反意义的量或考查用正数、负数表示的数的实际意义，题型以选择题、填空题为主．6典型考题中考真题（(2016·山东临沂中考·3分）四个数－3，0，1，2，其中负数是（）．A．－3 B．0 C．1 D．2解析：根据负数的定义来判断．答案：A考题点睛：中考真题和教材练习题均考查了依据正数、负数的定义来辨别正数或负数，需要注意的是0既不是正数也不是负数．中考真题（2016·广州中考·3分）中国人很早开始使用负数，在中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章就正式引入了负数，这在世界数学史上属首次．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（）．A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元解析：在实际问题中，由于“收入”和“支出”的意义相反，因此在用正负数表示具有相反意义的量时，若收入100元记作＋100元，那么－80元表示支出80元，所以选项C正确，答案：C．考题点睛：中考真题与教材练习题都考查了对用正数、负数表示具有相反意义的量的理解，其解决问题的思想方法完全相同，属基础题．小结与警示一、知识结构图示二、前车之鉴易误点1 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数．正数前面的“＋”号有时可以省略，但省略“＋”号后仍是正数；用字母表示数时，带有“＋”号或省略“＋”号的数不一定是正数，带有“－”号的数不一定是负数．提示：例题见“题型分类剖析”例1．易误点2 对“0”的含义理解不准确．例1 下列说法错误的是（）．7A．0是自然数B．0是整数C．0是偶数D．某地海拔高度为0 m表示某地没有海拔高度答案：D注意：小学阶段开始学习数的吋候，0表示没有，学习了负数后，0除了表示“没有”外，还是正数与负数的分界．本题D选项中对海拔高度0 m的理解错误，它并不是表示某地没有海拔高度，而是表示某地与海平面一样高．易误点3 对负数表示的意义理解不清．例2 如果上升3 m记作＋3 m，那么－4 m表示什么意义？解：－4 m表示下降4 m．注意：本题易错答案为下降－4 m．产生错误的原因是用正数、负数表示具有相反意义的量时，对负数表示的意义理解不清．易误点4 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位．例3 如果中午12点记作0时，下午3点记作＋3时，那么上午9点记作．解析：中午12点记作0时，中午12点之后几小时记作正几时，则中午12点之前几小时记作负几时，上午9点是中午12点之前3小时，故用－3时表示．答案：－3时注意：把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不是一个量了．本题易错答案为－3，因漏掉后面的单位而出错．综合练习1．如果规定每天上午10时记为0时，10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个时间单位，如9：15记为－1时，10：45记为1时，那么7：45应记为（）．A．3时B．－3时C．－2.15时D．－7.45时2．在一次跳远测试中，体育老师以达标成绩2.00 m为标准，将高于该成绩的记为正，低于该成绩的记为负．王非跳出了2.12 m，记为＋0.12 m；何叶跳出了1.95 m，记为；张平跳出的成绩记为0 m，他实际跳的距离是．3．一个物体沿着东、西两个方向运动，若向东记为正，向西记为负，则：（1）向东运动2 m，记作，向西运动4 m，记作；（2）＋3 m表示向运动m，－6 m表示向运动m；（3）物体原地不动时，记作m．4.（“典型例题分析”例4变式）如图所示，某食品包装盒上标有“净含量385 g±5 g”，则这盒食品的合格净含量范围是g～390 g．895．教室高3 m ，教室里课桌高0.8 m ，如果把桌面高度记作0 m ，那么教室顶部和地面的高度分别记作什么？如果把教室顶部的高度记作0 m ，那么桌面和地面的高度分别记作什么？6．（“题型分类剖析”例3变式）如果课桌高度比标准高度高2 mm 记作＋2 mm ，那么比标准高度低3 mm 记作什么？现有5张课桌，量得它们的高度比标准高度分别高＋1 mm ，－1 mm ，0 mm ，＋3 mm ，－1.5 mm ，若规定课桌的高度比标准高度高不超过 2 mm ，低不超过 2 mm 就算合格，则上述5张课桌中有几张合格？1.2 有理数本节概念与方法：有理数，有理数的分类，数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较．教学要求1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小，能对有理数按一定标准进行分类．2．借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求一个有理数的相反数、绝对值的方法． 3．知道|a |（a 表示有理数）的含义． 4．初步感悟分类讨论思想和数形结合思想．提前预习内容1．几个定义：10正数：像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数．负数：像－3，－2.7%，－4.5这样在正数前面加上符号“－”（负）的数叫做负数． 非正数包括负数和0； 非负数包括正数和0．2．已学过的几类数：（1）正整数，如1，2，3，…； （2）0；（3）负整数，如 1，－2，－3，…；（4）正分数，如12，13，0.1，35，…； （5）负分数，如－0.5，23-，18-，…．知识点突破知识点1 有理数的有关概念★ 整数包括正整数、0、负整数，如－3，－2，0，1，2，3等． ★ 分数包括正分数、负分数，如＋113，0.18，－1.35，45-等． 分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，同时有限小数和无限循环小数又都可以化为分数，如10.254=，10.33= ，10.1428577= ．所以有限小数和无限循环小数都属于分数，如3.17，0.3- 等都是分数． ★ 整数和分数统称为有理数． ★ 几个常用数学名词的含义．（1）正整数：既是正数，又是整数的数． （2）负整数：既是负数，又是整数的数． （3）正分数：既是正数，又是分数的数． （4）负分数：既是负数，又是分数的数． （5）非负数：正数和0． （6）非正数：负数和0． （7）非负整数：正整数和0． （8）非正整数：负整数和0． 拓展：任何一个有理数都可以写成nm的形式，其中只有当m ，n 同时满足：① m ，n 是互质的整数；② n ≠0，m ≠1时，nm才表示一个最简分数． 注意：（1）有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不能转化成分数，故无限不循环。

1.有理数的认识知识回顾1、正数和负数的有关概念 （1）正数：比0大的数叫做正数；负数：比0小的数叫做负数； 0既不是正数，也不是负数。

（2）正数和负数表示相反意义的量。

2、有理数的概念及分类有理数是整数和分数的统称。

通常有两种分类：0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正数正分数有理数负整数负数负分数小试牛刀【例题1】下面说法中，错误的是（ ）A ．有理数是正数和负数的总称B ．有理数是整数和分数的总称C ．有理数是非负数和负数的总称D ．有理数是非正数和正数的总称【例题2】判断对错1．无限循环小数不是有理数 ( ) 2．凡小数都是有理数 ( ) 3．凡是有理数，都可以写成分数的形式 ( ) 4．如果a 是有理数，那么a 不是整数，就是分数 ( )5．正数都带“+”号 ( ) 6．小学数学中学过的数都是正有理数 ( ) 7．“-2”既可以看成“负2”，也可以看成“减2”，还可以看成“-1乘以2” ( )【例题3】.多选题．下面说法中，正确的是（ ）A ．在有理数中，零的意义仅表示没有；B ．0不是正数，也不是负数，但是有理数；C ．0是最小的整数；D ．0是偶数．【例题4】把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里．分析：自然数包括正整数和0，非正数的集合包含负数和零．应注意有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，都是有理数．变式训练1.把下列各数分别填在相应的大括号内：(1)正数集合：｛｝；(2)负数集合：｛｝；(3)非负数集合：｛｝；(4)奇数集合：｛｝；3. 有关数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

数轴是一条直线。

（2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。

（3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。

4. 绝对值与相反数（1）绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：a。

七年级上册数学目录第一章有理数认识与运算1.1 有理数的概念与分类1.1.1 整数与分数的认识1.1.2 正数、负数和零的概念1.1.3 有理数的定义与分类1.2 有理数的四则运算1.2.1 有理数的加法运算1.2.2 有理数的减法运算1.2.3 有理数的乘法运算1.2.4 有理数的除法运算1.3 有理数的性质与运算律1.3.1 有理数的运算顺序1.3.2 有理数的交换律与结合律1.3.3 有理数的分配律第二章代数式与方程基础2.1 代数式的概念与表示2.1.1 代数式的定义与表示方法2.1.2 代数式的分类与识别2.2 代数式的运算2.2.1 代数式的合并同类项2.2.2 代数式的化简与求值2.3 方程的概念与解法初步2.3.1 方程的定义与分类2.3.2 一元一次方程的解法第三章图形初步认识与性质3.1 几何图形的基本认识3.1.1 点、线、面的基本概念3.1.2 常见的平面图形与立体图形3.2 图形的性质与关系3.2.1 直线的基本性质3.2.2 角的概念与性质3.2.3 平面内图形的位置与关系第四章分数概念与应用4.1 分数的概念与性质4.1.1 分数的定义与表示方法4.1.2 分数的性质与运算4.2 分数的应用4.2.1 分数的比较与排序4.2.2 分数在生活中的实际应用第五章数据收集与整理5.1 数据的收集方法5.1.1 调查与统计的基本步骤5.1.2 数据收集的常见方法5.2 数据的整理与分析5.2.1 数据的分类与汇总5.2.2 数据的图表表示与解读第六章整式的加减法则6.1 整式的概念与识别6.1.1 整式的定义与分类6.1.2 整式的识别与化简6.2 整式的加减运算6.2.1 整式的加法运算6.2.2 整式的减法运算6.2.3 整式的加减混合运算第七章一元一次方程解法7.1 一元一次方程的概念与表示7.1.1 一元一次方程的定义与特点7.1.2 一元一次方程的表示方法7.2 一元一次方程的解法7.2.1 合并同类项法7.2.2 移项法7.2.3 系数化为1法第八章几何图形变换与对称8.1 几何图形的变换8.1.1 平移变换8.1.2 旋转变换8.1.3 对称变换8.2 图形的对称性质8.2.1 轴对称图形8.2.2 中心对称图形8.2.3 图形对称性的应用以上是我为您整理的七年级上册数学目录，涵盖了您提到的各个方面。

数学有理数知识梳理嘿，小伙伴们，今儿咱们来聊聊数学里的一个挺有意思的家伙——有理数。

别一听数学就皱眉头，有理数其实就像咱们生活中的小伙伴，各有各的性格，各有各的故事。

首先，咱们得明白啥是有理数。

说白了，就是能说得清道得明，能写成两个整数相除的数的家伙。

比如说，你手里有5个苹果，要分给2个朋友，那每个人能分到几个呢？对喽，就是2.5个，这个2.5就是个有理数，因为它可以写成5除以2。

有理数里头，有几个大佬级别的角色，咱们得认识认识。

首先是正整数，它们就像早上的太阳，温暖又光明，总是大于0，比如1、2、3……这些数字，都是正整数的铁杆粉丝。

然后，咱们说说负整数。

负整数就像是冬天的寒风，虽然有点刺骨，但也是生活中不可或缺的一部分。

它们总是小于0，比如-1、-2、-3……这些数字，听起来就让人觉得冷飕飕的。

不过，有理数家族里可不止这两位大佬，还有正分数和负分数这两个小兄弟。

正分数就像是蛋糕上的一小块奶油，甜而不腻，让人回味无穷。

它们总是大于0但小于1，比如1/2、2/3、3/4……这些数字，都是正分数的得力干将。

而负分数呢，就像是被不小心洒了柠檬汁的奶油，味道有点怪，但也能接受。

它们总是小于0，比如-1/2、-2/3、-3/4……这些数字，就是负分数的代表。

当然啦，还有一个特别的存在——0。

0就像是数学世界里的和平使者，它既不属于正数也不属于负数，就像是站在中立国上的哨兵，静静地观察着周围的一切。

现在咱们来聊聊有理数的加减法吧。

这就像是咱们小时候玩的拼图游戏，把相同形状和颜色的拼图放在一起，就能拼出一个完整的图案。

有理数的加减法也是这个道理，只要咱们掌握了“同号相加、异号相减”的法则，就能轻松搞定它们了。

最后啊，我想说有理数其实并不难学，只要咱们用心去体会它们的性格和故事就能和它们成为好朋友了。

而且啊学习数学还能让咱们变得更加聪明和有条理呢！所以小伙伴们别害怕数学啦勇敢地去拥抱它们吧！。

有理数的认识【知识要点】1．正数和负数为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义相反的量规定为负的，正的量用算术数前加“+”号表示，如：6+，133+,……（正号可省略）它们都比0大；负的量用算术数前加“－”号表示，如：4-，162-,……它们都比0小. 2．有理数(1)正整数，0，负整数统称为整数;正分数，负分数统称为分数.整数和分数统称为有理数.(2)有理数还可以这样定义：能够表示成分数mp的形式（m 、p 均为整数，且0≠m ,m,p 互质）的数是有理数．3. 有理数的分类：【典型例题】例1.（1）如果把上升20m 记作+20m ，那么下降15m 记作（2）海平面的高度一般用数 表示，比海平面高8844m 的山峰处，它的高度记作海拔 m ，比海平面低11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m（3）房价上涨12%，记作+12%，则下跌50%记作 例2. 表达出下列语句所表示的意义.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数（1）向东走－100米 （2）气温上升－3℃ （3）支出－100元例3. 数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－4，+11，－7，0. 则这五名同学的实际成绩分别为多少？例4. 把下列各数填在相应的大括号里. －1，0，+0.8，－37， 2.4-，8844，134-，227，80- 正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 正分数集合:{ }；负分数集合:{}.例5. 将下列有理数从尽可能多的角度进行分类，再与同学交流，比一比，看看谁的分类多，谁分得准.3.14，722-，-1，4，32-，0.2，0，1%* 例6. 若b a b a +-是不等于1的有理数，求证：ba为有理数．【初试锋芒】1．（1）如果零上2℃记作+2℃，那么零下4℃记作（2）如果收入50元记作+50元，那么支出30元记作 （3）如果下降10米记作－10米，那么上升20米记作 （4）如果向南走5米记作－5米，那么向北走10米记作 2．说出下列语句的意义.（1）收入－20元 ； （2）支出－120元 ； （3）前进－2米 ．3．一艘潜水艇的高度是－80米，如果它上浮－10米，这时它所在位置是海平面以下 米．4.提供下列数据，请填入相应的大括号内 411-，53-，－2，80，0.001，3.14，722，0，－100正数集合:{ }; 负数集合:{ }; 整数集合:{ };分数集合:{ }．5．判断正确或错误，分别用“√”或“×”填在各题后面的括号内： （1）零是自然数：（ ） （2）零是正数； （ ） （3）零是非负数；（ ） （4）零是偶数． （ ） 6．（1）下列说法正确的是（ ）A.有理数不是正数就是负数B.0是最小的有理数C.正有理数和负有理数统称为有理数D.71是分数也是有理数 （2）下列说法正确的个数有（ ） ① 0既不是正数，也不是负数 ② 34-是负数，但不是分数 ③ 自然数都是正数④ 负分数一定是负有理数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 （3）下列说法正确的是（ ）A. 一个有理数不是正数，就是负数B.整数一定是正数C. 最小的整数是0D.自然数是整数 （4）关于0，下列说法正确的个数有（ ）个① 0既不是正数，也不是负数；② 0既不是整数，也不是分数；③ 0不是自然数，但它是整数A. 0B. 1C. 2D. 3（5）有理数集合是（ ）A.正数与负数的集合B.正整数、负整数与分数的集合C.整数与分数的集合D.整数与负数的集合7．一条笔直的公路，A 、B 两地相距6千米，某同学骑自行车从A 地去B 地， 他骑车走了2千米，却与B 地相距8千米．你能说出这是为什么吗？【大显身手】1．把下列各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）. －8, 0.07,65, －0.3, 1999, －433, －3456, 88.8, 0, 722（1）正整数集合：{ }； （2）负整数集合：{ }； （3）整数集合：{ }； （4）正分数集合：{ }； （5）负分数集合：{}2．冬天某地的某一天，早晨5时的气温是零下2度，记作－2℃， 上午10时，气温上升到零上2度，应记作 ;正午12时比上午10时上升了2度，这时的气温应记作 ; 下午6时比正午12时下降了4度，这时的气温应记作 ; 晚间12时比下午6时又下降了5度，这时的气温应记作 ．3．一种零件的长在图纸上标出为：20±0.01（单位：mm ），表示这种零件的长 应是20mm ，加工要求最大不超过 ，最小不小于 4．非负数为 和 ，非正数为 和 5．下列说法中错误的是（ ）A. 正整数、负整数、零统称为整数B.正分数、负分数统称为分数C.没有最大的有理数D.π是有理数 6．在下列的说法中，正确的是（ ）A. 带“＋”号的数是正数B. 带“－”号的数是负数C. 自然数都大于零D. 负数一定小于正数。

第一章有理数1正数、负数、有理数、相反数、科学记数法、近似数2数轴：用数轴来表示数3绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零4正负数的大小比较：正数大于零，零大于负数，正数大于负数，绝对值大的负数值反而小。

5有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值；互为相反数的两数相加为零；一个数加上零，仍得这个数。

6有理数的减法（把减法转换为加法）减去一个数，等于加上这个数的相反数。

7有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘，都得零。

乘积是一的两个数互为倒数。

8有理数的除法（转换为乘法）除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。

9有理数的乘方正数的任何次幂都是正数；零的任何次幂都是负数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

10混合运算顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。

第二章整式的加减1 整式：单项式和多项式的统称；2整式的加减（1）合并同类项（2）去括号第三章一元一次方程1 一元一次方程的认识2 等式的性质等式两边加上或减去同一个数或者式子，结果仍然相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

3 解一元一次方程一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一第四章图形认识初步1 几何图形：平面图和立体图2 点、线、面、体3 直线、射线、线段两点确定一条直线；两点之间，线段最短4 角角的度量度数角的比较和运算补角和余角：等角的补角和余角相等初一下册第五章相交线和平行线1 相交线：对顶角相等2 垂线经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短）3 平行线平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；若两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

初一数学有理数的要点归纳初一数学有理数的要点一、知识要点本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两局部。

有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。

有理数的运算是全章的重点。

在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法那么，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。

根底知识：1、正数(positionnumber)：大于0的数叫做正数。

2、负数(negationnumber)：在正数前面加上负号"-"的数叫做负数。

3、0既不是正数也不是负数。

4、有理数(rationalnumber)：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

5、数轴(numbera某is)：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

数轴满足以下要求：(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度。

6、相反数(oppositenumber)：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。

7、绝对值(absolutevalue)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

记做|a|。

由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b 点的距离。

一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数，绝对值大的反而小。

8、有理数加法法那么(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数。

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a。

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

第1讲 有理数的认识一．有理数相关概念1.三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数； （3）0即不是正数也不是负数. 2.有理数的分类（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0（3）通常把正数和0统称为非负数，把负数和0统称为非正数，把正整数和0统称为非负整数（也叫自然数），把负整数和0统称为非正整数。

（4）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数数组成整数集合。

（5）有限小数和无限循环小数也是分数。

二．数轴1.数轴的意义：规定了原点、单位长度、正方向的直线叫数轴（一般规定向右为正方向）。

数轴的三要素“原点、正方向、单位长度”缺一不可。

2.任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的一个点只表示一个有理数．即数轴上的点与有理数是一一对应的。

3.若规定向右为正方向，在数轴上的点所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

三．相反数1.只有符号不同叫做两个数互为相反数，0的相反数是0，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数。

2.互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。

四．绝对值1.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离，记作a 。

2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：1) 对任何有理数a ,总有0a ≥2）零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤. 3）若0a >，则a a = ;若0a <，则a a =- ;若0a =，则0a = ; 3.两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的认识一、相反意义的量：一般情况下，规定收入、增加、上升、零上、高于海平面等为正，另一相反意义的量支出、减少、下降、零下、低于海平面等规定为负，但也可以随意规定，要看实际题目中所给出的标准。

二、正数、负数的概念：大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数。

注意：0既不是正数，也不是负数。

三、有理数的概念：正整数、0、负整数统称为正数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 四、数轴：概念及画法：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的定义包括3层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向。

数轴的画法则是先画一条水平的直线，再在这条直线上画出数轴的三要素即可。

数轴的性质：1、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。

五、相反数的概念：定义：只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数；0的相反数是0.通常情况下，在一个数的前面加上一个负号就得到了这个数的相反数。

即：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数，零的相反数是它本身。

几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，它们分别位于原点的两侧，而且与原点的距离相等。

六、绝对值：几何意义：在数轴上把表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

记作|a|，读作“a 的绝对值”。

代数意义：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，它既可以说成“本身”，又可以说成“相反数”。

七、有理数大小的比较：利用绝对值比较两个负数的法则：（1）两个负数，绝对值大的反而小。