三年级奥数专题讲义：速算与巧算(二)

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

（完整版）小学数学三年级速算与巧算技巧第一讲：速算与巧算关键培养孩子的思维习惯：遇到计算题先观察，再思考，然后选择适合的速算方法！所谓“一看”“二想”“三选择”一、分组法适用于有一定规律的加减混合运算，通过加减重新组合，将原有计算转变为较小数或相同数的计算，从而简便计算过程。

观察：1、数字有一定规律2、符号有一定规律方法：看符号，找周期。

根据符号的规律划分周期，进行分组计算。

切记不要忘了第一个数的符号！1、简单分组例：10 －9 ＋8 －7 ＋6 －5 ＋4 －3 ＋2 －1＋－＋－＋－＋－＋－（符号周期为+、-,两个数为一组）则原式=（10－9）＋（8－7)＋（6－5）＋（4－3）＋（2－1）=1＋1＋1＋1＋1=52、分组有剩余例：20 + 19 –18 + 17 –16 + 15 –14 + 13 –12 + 11 –10＋＋－＋－＋－＋－＋－（符号周期为+、-，两个数一组，但第一个数多余出来了）则原式=20 +（19-18）+（17-16）+（15-14）+（13-12）+（11-10）=20+1+1+1+1+1=253、复杂分组例：48 + 47 - 46 -45 + 44 + 43 –42 –41 + 40 + 39 –38 –37 + 36 ＋＋－－＋＋－－＋＋－－＋（符号周期为+、+、-，-，四个数一组）则原式=（48 + 47 - 46 -45）+（44 + 43 –42 –41）+（40 + 39 –38 –37）+ 36 =4+4+4+36=48例：15 + 14 –13 + 12 + 11 –10 + 9 + 8 –7 + 6 + 5 –4 + 3 + 2 - 1＋＋－＋＋－＋＋－＋＋－＋＋－（符号周期为+、+、-，三个数一组）则原式=（15 + 14–13）+（12 + 11–10）+（9 + 8–7）+（6 + 5 –4）+（3 + 2–1）=16+13+10+7+4 （这里提醒孩子也要善于观察，每组后两个数先做运算得1，再加第一个数比较简便）=（16+4）+（13+7）+10=20+20+10=504、重新分组（即符号或数字的规律不好用，需要观察重新“排队”分组）例：1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11经观察，数字和符号都是有规律的，可是按照（1-2）+（3-4）……这样分组的话，每个括号里都不够减。

三年级数学速算和巧算在小学三年级的数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢?店铺在此整理了三年级数学速算和巧算，供大家参阅，希望大家在阅读过程中有所收获!三年级数学速算和巧算方法在熟练掌握计算法则和运算顺序的前提下，可以根据题目本身的特点，运用速算和巧算，化繁为简，化难为易，算得又快又准确。

“凑整”先算1.计算：(1)24+44+56 (2)53+36+47解：(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来。

(2)53+36+47=53+47+36 =(53+47)+36=100+36=136因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来。

2.计算：(1)96+15 (2)52+69解：(1)96+15=96+(4+11)=(96+4)+11=100+11=111把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算。

(2)52+69=(21+31)+69 =21+(31+69)=21+100=121因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算。

3.计算：(1)63+18+19 (2)28+28+28解：(1)63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+(2+18)+(1+19) =60+20+20=100将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算。

(2)28+28+28 =(28+2)+(28+2)+(28+2)-6 =30+30+30-6=90-6=84因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去。

改变运算顺序在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：(1)45-18+19 (2)45+18-19解：(1)45-18+19=45+19-18 =45+(19-18)=45+1=46把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.(2)45+18-19=45+(18-19)=45-1=44加18减19的结果就等于减1。

第二讲 速算与巧算（二）本节课学习根据数的某些特点及运算定律、性质、公式等，把常规的计算转化为简便的计算． 在秋季的学习中，学生已经会正确地熟练地运用加减法的运算规律和性质，选用合理的、灵活的计算方法进行速算．本节课在以前学习的基础上对加减法的速算进行拓展，并初步介绍乘法速算方法．分析：365×9＝365×（10－1）＝3650－365＝3285（天）之前我们已经学习过了一些速算巧算的方法，首先我们对这些知识进行复习巩固．（1） 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变．（2） 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加， 再与第一个数相加，它们的和不变．（3） 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．（4） 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括 号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉你还记得吗？教学目标小亮过九岁生日那天收到了很多礼物，妈妈问小亮： “如果按一年 365 天算，小亮你算算从你出生到现在一共度过了多少天？”小亮很快就口算出来了，同学们你们知道他是怎么算的吗？ 想 挑 战 吗 ？亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？你想拥有更多的时间去做自己喜欢的事吗？那么学习了一些速算技巧后你就可以把这些变成现实.来吧，让我们一起试试吧！括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．（5）在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．1．（1）358＋127＋142＋73（2）（1250＋49＋78）＋（51＋22＋1750）分析：（1）原式＝（358＋142）＋（127＋73）＝500＋200＝700（2）原式＝1250＋49＋78＋51＋22＋1750＝（1250＋1750）＋（49＋51）＋（78＋22）＝3000＋100＋100＝32002．（1）268－56－82－44－18（2）98－53＋102＋63分析：（1）原式＝268－（56＋44）－（82＋18）＝268－100－100＝68（2）原式＝（98＋102）＋（63－53）＝200＋10＝2103．（1）195＋196＋197＋198＋199＋15（2）196＋198－102－97分析：（1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（2）原式＝（200－4）＋（200－2）－（100＋2）－（100－3）＝200＋200－100－100－4－2－2 ＋3＝195专题精讲（一）加、减法中的速算与巧算一、凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果相加．1．移位凑整法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．2．借数凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3．分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．二、找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例1 （全国少年数学夏令营计算竞赛题）计算 376＋385＋391＋380＋377＋389＋383＋374＋366＋378分析：当许多大小不同，但彼此又比较接近的相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、整千的数作为基准数，再找出每个加数与基准数的差，大于基准数的差要加上，小于基准数的差要减去， 使计算简便．本题中的数都接近或等于 380，所以取 380 为基准数，可得下面解法．原式＝(380－4)＋(380＋5)＋(380＋11)＋(380＋0)＋(380－3)＋(380＋9)＋(380＋3)＋(380－6)＋ (380－14)＋（380－2)＝380×10＋(5＋11＋9＋3)－(4＋3＋6＋14＋2)＝3800＋28－29＝3799[巩固]计算 78＋76＋83＋82＋77＋80＋79＋85分析：同学们要注意，当我们把几个比较接近的数相加时，可以先选一个与这些数都比较接近的数作为 “基准数”，把加法转化成乘法，以达到简化运算的目的，然后再把原来每个数与基准数的差距“多退少补”，修正过来．原式＝80×8－2－4＋3＋2－3＋0－1＋5＝640(全国小学数学奥赛计算竞赛题)计算：1234＋2341＋3412＋4123分析：观察所有的加数，可以发现本题中的每一个加数都是由 1，2，3，4 四个数字组成的数，并且每个数位上的数字都是由 1，2，3，4 四个不同的数字组成，这样四个数位上的数字之和都相等，都是 10， 所以，可得下面解法．原式＝(1＋2＋3＋4)×1000＋(1＋2＋3＋4)×100＋(1＋2＋3＋4)×10＋ (1＋2＋3＋4)×1＝10×1000＋10×100＋10×10＋10×1＝10000＋1000＋100＋10＝11110[拓展]计算 1＋22＋333＋4444＋5555＋666＋77＋8．分析： 原式＝(1＋4444＋5555)＋(333＋666＋1)＋(22＋77＋1)＋(8－1－1)＝10000＋1000＋100＋6＝11106．[小结]以上两道例题都是通过观察数，运用数的特征来进行速算与巧算的．加减运算要熟练和准确，不但要会笔算，还要会心算．心算是一种思维能力．心算好，脑子里能盘算的问题就多．这就要求同学们要熟练运用运算性质，并锻炼观察分辨数字特征的本领．(“我爱数学”夏令营计算竞赛试题)计算：(1＋11＋21＋31＋41)＋(9＋19＋29＋39＋49)分析：把第一个括号内的加数与第二个括号内的加数适当配对，1＋49＝50，11＋39＝50，21＋29＝50……每对数的和为 50，共 5 对．原式＝(1＋49)＋(11＋39)＋(21＋29)＋(31＋19)＋(41＋9)＝50×5＝250例 2 例3传说大数学家卡尔·弗里得利希·高斯(1777－1855)在很小的时候，就表现出非凡的数学才能．他 10 岁那一年，还是一个小学生．在一次算术课上，老师给所有的学生出一道题目：1＋2＋3＋…＋100一共等于多少？看谁算得快．老师刚把题目说完，小高斯就举起了手发言：这一百个数的和是 5050．同学们听到小高斯这样快得出结果，都用惊异与怀疑的目光看着他．只有老师心中明白，这个答案 是对的，是 5050．但是小高斯是怎样算出来的呢？连老师也有些惊异和怀疑了．小高斯告诉大家，他发现从 1～100 这一百个数，有一个奇妙的特性，那就是依次把头尾两个加起来都等于 101，而这样的数刚好有 50 对，那么，也就是在 1 到 100 这一百个数中共有 50 对 101，因此，这一百个数的总和就是50×101＝5050．那就让我们看看这一百个数吧：不正是小高斯所发现的情形吗？很多有名的数学家和科学家，他们都是从小就非常细心地观察和注意周围发生的各种现象，从这些现象里得到启示，因而后来有了重大的发现和发明．计 算 ： 1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9分析：这道题用“移位凑整”的方法来速算就简单多了．把题目的 18 个减数移位后凑成 9 个 100，从而达到巧算的目的．1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9＝1000－(91＋1＋92＋2＋93＋3＋94＋4＋95＋5＋96＋6＋97＋7＋98＋8＋99＋9)＝1000－[(91＋9)＋(92＋8)＋(93＋7)＋(94＋6)＋(95＋5)＋(96＋4)＋(97＋3)＋(98＋2)＋(99＋1)] ＝1000－(100×9)＝1000－900＝100在加减法混合算式与连减算式中，将减数先结合起来，集中一次相减，可简化运算．[小结]以上两道例题都是通过用移位凑整的方法来计算的．在秋季我们已经系统全面的学习过凑整的数学方法，当遇到数字比较多的计算题时，千万不要慌张，仔细审题，选择合适的方法进行巧算．计算：1＋2＋3＋…＋18＋19＋20分析：通过观察这道题我们会发现，所有的加数是一些连续的数按顺序排列着，每相邻两数的差都相等，求这列连续数的和．可采用“移位分组”的方法解．我们把 1 和 20，2 和 19，3 和 18……两个数一组；每组两个数的和都是 21；有 20 个数，每两个数一组，共有 10 组．因此，解法有二．（方法一）原式＝(1＋20)＋(2＋19)＋(3＋18)＋…＋(9＋12)＋(10＋11)＝21×10＝210一般地，像这样一类题，一列数的第一个数称为首项，最后一个数称为末项，这列数的个数称为项数．可归纳为一列连续数的和＝(首项＋末项)×项数÷2（方法二）原式＝(1＋20)×20÷2＝21×20÷2＝210[小故事]例4 例5计算：177－2－5－8－11－14－17－20分析：从 177 中连续减去几个数，可以先把所有的减数相加，再从被减数中减去它们的和．而这连续的几个减数，由于相邻两个数相差 3，所以可以把求这几个减数的和看成是求相邻差为 3 的连续数的和， 首项为 2，末项为 20，项数为 7，因此，可以这样解：原式＝177－(2＋5＋8＋11＋14＋17＋20)＝177－(2＋20)×7÷2＝177－77＝100[巩固]计算：4＋6＋8＋10＋…＋32＋34＋36(《小学生数学报》第一届数学竞赛计算试题)分析：这列数的首项是 4，末项是 36．每相邻两数的差都是 2，这列数一共有 17 个数，故项数是 17．这道题是求相邻差为 2 的 17 个连续自然数的和，可以这样解．原式＝(4＋36)×17÷2＝40×17÷2＝340[小结]以上两道例题都是求连续数的和，如果同学们掌握公式，则会给计算带来很大的方便．（二）乘法中的速算与巧算例6在一个晚会上，萧伯纳正在专心地想他的心事．坐在旁边的一个富翁不禁感到好奇，就问道：“萧伯纳先生，我愿出一美元，来打听你在想些什么．”“真抱歉，”萧伯纳回答说：“我想的东西真的不值一块钱．”富翁更加好奇了：“那么，你究竟在想什么呢？”萧伯纳不动声色地回答道：“我正在想着您啊！”乘法的运算律1. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即：a×b＝b×a2. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘；或先把后两个数相 乘后，再与前一个数相乘，积不变．即a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）3. 乘法分配律：两个数之和（或差）与数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减）．即（a ＋b ）×c＝a×c＋b×c（a －b ）×c＝a×c－b×c计算下列各题： (1)17×4×25；(2)125×19×8； (3)125×72；(4)25×125×16．分析：由于 25×4＝100，125×8＝1000，125×4＝500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把 25 与 4、把 125 与 8 或 4 结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算．(1)17×4×25＝17×（4×25）＝1700(2)125×19×8＝（125×8）×19＝19000(3)125×72＝125×8×9（这一步是把 72 分成 8×9，目的是把 125 与 8 结合）＝1000×9＝9000(4)25×125×16＝25×125×2×8＝(25×2)×(125×8)＝50×1000＝50000或 25×125×16＝25×125×4×4＝(25×4)×(125×4)＝100×500＝50000计算下列各题： (1)125×(40＋8)；(2)(100－4)×25； (3)2004×25；(4)125×792．分析：什么时候运用乘法分配律巧算呢？一般来说，两个数之和（或差）与一个数相乘，如果两数与这 个数相乘都便于计算，这时往往运用乘法分配律计算．(1)125×(40＋8)＝125×40＋125×8＝5000＋1000＝6000(2)(100－4)×25＝100×25－4×25＝2500－100＝2400(3)2004×25＝(2000＋4)×25＝2000×25＋4×25＝50100(4)125×792＝125×(800－8)＝125×800－125×8＝1000×100－1000＝1000×(100－1)＝99000例8 例7计算：156＋78×1994＋22×1996分析：把 156 拆成 78×2，这样，156＋78×1994＝78×2＋78×1994，可运用乘法分配律巧算了． 原式＝156＋78×1994＋22×1996＝78×2＋78×1994＋22×1996＝78×（2＋1994）＋22×1996＝78×1996＋22×1996＝1996×（78＋22）＝199600[拓展]80×1995－3990＋1995×22分析：把 3990 分解为 1995×2，这样，80×1995、2×1995、22×1995 中都有相同的乘数 1995，可以利用乘法分配律进行巧算原式＝80×1995－2×1995＋1995×22＝1995×（80－2＋22）＝199500计算：99999×22222＋33333×33334分析：把前一个加数中的 99999 分解成 33333×3，然后应用乘法分配律巧算． 原式＝33333×3×22222＋33333×33334＝33333×（66666＋33334）＝33333×100000＝3333300000[巩固]计算：99999×77778＋33333×66666分析：把 66666 分解为 2×33333，然后应用乘法分配律巧算． 原式＝99999×77778＋33333×3×22222＝99999×（77778＋22222）＝9999900000正确、迅速、合理的进行数的运算是同学们学习数学所必需达到的要求．怎样才能达到这个要求呢？ 首先要掌握好运算的性质和定律，才能在实际运算中运用的灵活自如；另外，还要养成“一看、二想、三选择”的良好习惯．“一看”就是仔细观察整个题目的运算符号、数据特点及它们之间的内在联系“二想”就是根据观察结果，联想与此相关的运算定律和性质，想能否运用运算定律和性质进行简便运算“三选择”就是在看和想的基础上，选择最佳的算法，从而达到灵活、合理的目的例9 例10专题展望计算是数学的“地基”，只有打牢这个“地基”，我们的数学大厦才能建高、建好！在数学计算中有许多好的方法技巧和规律，我们如果能理解掌握、灵活运用，“数学大厦”的地基就会为你的成长提供最好的帮助！关于速算与巧算在春季班还会有更精彩的内容，请继续关注吧！练习二1.计算下面各题(1) 1997＋1998＋19999＋2000＋2001＋2002＋2003(2)599996＋49997＋3998＋407＋89分析：（1）原式＝2000×7＝14000（2）原式＝600000－4＋50000－3＋4000－2＋400＋7＋90－1＝654490－3＝6544872.计算下面各题(1) 9998＋998＋99＋9＋6 (2)19＋299＋3999＋49999分析：（1）原式＝（10000－2）＋（1000－2）＋（100－1）＋（10－1）＋6＝10000＋1000＋100＋10＋（6－2－2－1－1）＝11110（2）原式＝（20－1）＋（300－1）＋（4000－1）＋（50000－1）＝54320－4＝543163.计算下面各题(1)1＋2＋3＋…＋29＋30 (2)1＋3＋5＋…＋47＋49＋51分析：（1）原式＝（1＋30）×30÷2＝465（2）原式＝（1＋51）×26÷2＝6764.用简便方法计算（1）12×4×25（2）125×13×8（3）125×56分析：（1）原式＝12×（4×25）＝12×100＝1200（2）原式＝（125×8）×13＝1000×13＝13000（3）原式＝125×8×7＝1000×7＝70005.用简便方法计算（1）125×（80＋4）（2）（100－8）×25（3）18×125分析：（1）原式＝125×80＋125×4＝10000＋500＝10500（2）原式＝100×25－8×25＝2500－200＝2300（3）原式＝（10＋8）×125＝10×125＋8×125＝1250＋1000＝2250推理小故事智破宝石案夏季的一天，女盗梅姑乔装改扮，混进珠宝拍卖会场，盗出 2 颗大钻石．一回到家，她马上将钻石放在水里做成冰块放在了冰箱里．因钻石是透明无色的，所以藏到冰块里，万一有警察来搜查也不易被发现．第二天，矶川侦探来了．“还是把你偷来的钻石交出来吧．珠宝拍卖现场的闭路电视已将化妆后的你偷盗时的情景拍了下来，虽然警察没看出是你化的妆，但你瞒不了我的眼睛，一看就知道是你．”矶川侦探说．“如果你怀疑是我干的，就在我的家搜好了，直到你满意为止．”梅姑若无其事地说．“今天真热呀，来杯冰镇可乐怎么样？”梅姑说着从冰箱里拿出冰块，每个杯子放了 4 块，再倒上可乐，递给矶川侦探一杯．将藏有钻石的冰块放到了自己的杯子里，即使冰块化了，钻石露出来，在喝了半杯的可乐下面是看不出来的，矶川侦探怎么会想到在他眼前喝的可乐中会藏有钻石呢，梅姑暗自盘算着．“那么，我就不客气了．”矶川侦探接过杯子喝了一口，下意识地看了一眼梅姑的杯子．“对不起，能换一下杯子吗？” “怎么！难道怀疑我往你的杯子里投毒了吗？”“不，不是毒．我想尝尝放了钻石的可乐是什么味道．”矶川侦探一下子从梅姑手里夺过杯子．冰块还没融化，那么矶川侦探是怎么看穿梅姑的可乐杯子里藏有钻石呢？答案见第三讲．第一讲“聪明的阿凡提”答案：在现实生活中，任何事情都遵循一个规律，要么是这，要么是那，不可能两者都是，这一规律叫排中律．如果珍珠在红盒子中，自然珍珠便不在黄盒子中，那么红盒子上的话和黄盒子上的话都是真话，这与“只有一句是真话”相矛盾，所以这是不可能的．如果珍珠在蓝盒子中，自然珍珠就不在红盒子和黄盒子中，那么蓝盒子和黄盒子上的话也都是真话．因此，这也是不可能的．因为珍珠在三个盒子中的一个盒子里，既然不在红盒子和蓝盒子里，那么一定在黄盒子里．同学们，你答对了吗？。

QZ （3）第一讲 速算与巧算(二)乘除法中常用的一些运算定律和运算性质： （1） 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ （2） 乘法结合律：()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯ （3） 乘法分配律：()a b c a c b c ±⨯=⨯±⨯（4）商不变性质:被除数和除数同时乘或者除以一个相同的数（零除外），它们的商不变，这叫做商不变性质。

（5）除法的运算性质： ()a b c a b c ÷÷=÷⨯ 、()a b c a b c ÷⨯=÷÷、 ()a b c d e a b c d e ÷÷÷÷=÷⨯⨯⨯1、计算：（1）48×63+48×37 （2）75×233－75×332、巧算：12×3×109+12×672+123、计算：（1）（25+14）×4 （2）（500－125）×84、计算：（1）3800÷25÷4 （2）9000÷8÷1255、（1）44÷9＋28÷9 （2）97÷7－34÷76、计算:（1）4500÷125 （2）9000÷367、巧算。

（1）560×12÷（28÷6）（2）125×（16÷10）÷58、巧算：111×99＋99－112×989、巧算。

117×17－3910、已知1+2+3+……+8+9+10=55，那么5+10+15+……+40+45+50的结果是多少？11、计算：125×459-127×45112、计算：(22×33+33×44+44×55)÷(11×38)。

学科培优数学速算与巧算二学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点属于计算板块的部分,难度并不大。

要求学生熟记加减法运算规则和运算律,并在计算中运用凑整的技巧。

重点难点：找出题目中可以进行“凑整”的数。

利用运算律或者公式调整运算顺序。

考点：做复杂、多个数的连加计算时,利用运算律或者公式,尽量避免进位。

适当调整运算顺序。

知识梳理一、巧算的几种方法：分组凑整法：就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结果都是整十、整百、整千......的数,再将各组的结果求和（差）加补凑整法1、移位凑整法：先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加,然后再与其它的数相加。

2、借数凑整法：有些算式中直接凑整不明显,这时可“借数”或“拆数”凑整。

其他类型的巧算二、基本运算律及公式：两个运算律：一、加法加法交换律：两个数相加,交换加数的位置,他们的和不变。

即：a＋b＝b＋a其中a,b各表示任意一数．例如,7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加,任意交换相加的次序,其和不变．加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数；或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,他们的和不变。

即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a,b,c各表示任意一数．例如,5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加,也可以把其中的任意两个数或者多个数相加,其和不变。

二、减法在连减或者加减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b,a－b＋c＝a＋c－b,其中a,b,c各表示一个数．在加减法混合运算中,去括号时：如果括号前面是“＋”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“＋”变为“－”,“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、减法混合运算中,添括号时：如果添加的括号前面是“＋”,那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”,那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”,“－”变为“＋”。

加、减法的速算与巧算知识要点：“凑整”先计算，认真审题，灵活分组。

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万...则先计算。

如: 1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。

又如：12+88=100，35+65=100，21+79=100，44+56=100，55+45=100。

在上面算式中，1叫9的“补数”；79叫21的“补数”，44也叫56的“补数”，也就是说两个数互为“补数”。

对于不能直接凑整的数，可以把其中一个数拆分后再凑整。

找基准数几个相接近的数相加，可以用找基准数法，进行移多补少计算。

找基准数的方法：整十、整百、整千等等。

本节课需要掌握：移数凑整法，拆数凑整法，借数凑整法，分组凑整法。

例1：换位凑整，快速计算。

（提示：看个位凑整，巧用小括号）（1）34+53+66 （2）679+27+321 （3）63+294+37+54+9 =34+66+53 =679+321+27 =63+37+（294+6）+3+54 =100+53 =1000+27 =100+300+3+54=153 =1027 =457练习1:（1）491+273+209+27 （2）882+356+18+55+44 （3）49+38+51+62+162+38 =1000 =1355 =400拓展题：（提示：巧用小括号，移数凑整法）（1350+249+468）+（251+332+1650）=1350+1650+（249+251）+（468+332）=3000+500+800=4300（2549+385+739）+（61+15+451）=4200例2: 先观察，再速算。

199999+19999+1999+199+19法1：拆数凑整法=（200000-1）+（20000-1）+（2000-1）+（200-1）+（20-1）= 200000+20000+2000+200+20-（1+1+1+1+1）=222220-5=222215法2：借数凑整法=199999+19999+1999+199+15+1+1+1+1=200000+20000+2000+200+15=222215练习2:28+208+2008+20008+200008=28+200+8+2000+8+20000+8+200000+8=200000+20000+2000+200+20+（8+8+8+8+8）=222220+40=222260例3：先观察，再速算。

整数速算与巧算(二) 知识框架一、整数四则运算定律(1) 加法交换律：a b b a 的等比数列求和2)加法结合律：(a b) ca (b c)3)乘法交换律：a b ba4)乘法结合律：(a b) ca (b c)5)乘法分配律：a (b c) a b a c；(b c) a b a c a6)减法的性质：a b ca (b c)7)除法的性质：a (bc) a b c；8)除法的“左”分配律：(a b) c a c b c；(a b) c a c b c ，这里尤其要注意，除法是没有“右”分配律的，即 c (a b) c a c b 是不成立的！备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．二、利用位值原理思想进行巧算( 1) 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“ 2”,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

( 2) 位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a 100000 b 10000 c 1000 d 100 e 10 f以具体数字为例：389762 3 100000 8 10000 9 1000 7 100 6 10 2三、提取公因数思想1. 乘法运算中的提取公因数：( 1) 乘法分配律：a (b c) a b a c 或(b c) a b a c a(2) 提取公因数即乘法分配律的逆用：a b a c a (b c) 或b a c a (b c) a2. 除法运算中的提取公因数：例题精讲一、位值原理答案】 4318例 2】 计算： (1234 2341 3412 4123) 5 考点】位值原理 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】 2008年，第 8 届，走美杯， 3年级，决赛，第 1题，8 分解析】 原式中千位数的和除以 5为，(1 2 3 4) 5 2 ，同样百位、十位、个位都为 2 答案】 2222巩固】 计算： (9876+7967+6688+8799) 5考点】 位值原理 【难度】 3 星 【题型】填空解析】 (9876+7967+6688+8799) 5 (9 87 6) 1111 5 6666答案】6666例 3】计算： (123456 234561 345612456123 561234 612345) 3考点】 位值原理 【难度】 3 星【题型】计算解析】仔细观察我们可以发现 1、2、3、4、5、6 分别在个、十、百、千、万、十万例 1】计算： 123223 423 523 723 823 ．考点】位值原理难度】2星 【题型】计算解析】原式 (10023) (20023)(400 23)(500 23) (700 23) (80023)(100 200 400500 700 800) 23 6 2700 1382838答案】2838巩固】 计 算： 853 253 1153 953 653 453考点】位值原理难度】3星【题型】计算解析】 原 式 (8 2 11 96 4) 100 53 6 40 100 50 6 3 6 4000300 18 43181) 除法的“左”分配律： (a b) c a c b c ； (a b) c a c b c2) 除法的“左”提取公因数：a cbc (a b) c，所以结果为 2222。

目录第一讲加减法的巧算（一） (2)第二讲加减法的巧算（二） (7)第三讲乘法的巧算 (12)第四讲配对求和 (16)第五讲找简单的数列规律 (17)第六讲图形的排列规律 (19)第七讲数图形 (23)第八讲分类枚举 (26)能力测试（一） (26)第九讲填符号组算式 (28)第十讲填数游戏 (31)第十一讲算式谜（一） (35)第十二讲算式谜（二） (37)第十三讲火柴棒游戏（一） (39)第十四讲火柴棒游戏（二） (40)第十五讲从数量的变化中找规律 (45)第十六讲数阵中的规律 (45)第17讲时间与日期……………第18讲推理……………能力测试（二） (63)第19讲循环………………第20讲最大和最小…………………………第21讲最短路线…………………………第22讲图形的分与合…………………第23讲格点与面积……………………第24讲一笔画………………………阶段测试（三）……………………第25讲移多补少与求平均数………………第26讲上楼梯与植树………………第27讲简单的倍数问题……………………第28讲年龄问题……………………………第29讲鸡兔同笼问题……………………第30讲盈亏问题…………………第31讲还原问题……………………第32讲周长的计算……………………第33讲等量代换……………………第34讲一题多解……………………能力测试（四）………………………………第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

（完整版）奥数知识点速算与巧算速算与巧算引导：1、计算（凑十法）1+2+3+4+5+6+7+8+9+102、计算（凑整法）1+3+5+7+9+11+13+15+17+192+4+6+8+10+12+14+16+18+202+13+25+44+18+37+56+753、计算（用已知求未知）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+155+6+7+8+9+104、计算（改变运算顺序）10-9+8-7+6-5+4-3+2-15、计算（带着“+”、“-”号搬家）1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11一、凑十法：利用个位数相加之和都等于10的技术题1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。

若是利用凑十法，就能克服这种缺点。

二、凑整法：同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。

像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。

题2、计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：题3、计算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：题4、计算2+13+25+44+18+37+56+75解：用凑整法：三、用已知求未知利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。

题5、计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19 +20 解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。