辽宁省沈阳铁路实验中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题

2014-2015学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期初数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共36.0分)1.某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A.25、15、5B.20、15、10C.30、10、5D.15、15、15【答案】B【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=，则高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为400×=20，300×=15，200×=10，故选B．先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．2.已知向量，，，，若向量与垂直，则k的值为（）A. B.7 C. D.【答案】A【解析】解：∵，，，∴=（4-k，3+2k），=（5，1）∵向量与垂直，∴（）•（）=0可得：（4-k）×5+（3+2k）×1=0∴20-5k+3+2k=0⇒k=故选A根据向量坐标运算的公式，结合，，，，可得向量与的坐标．再根据向量与互相垂直，得到它们的数量积等于0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，解之可得k的值．本题根据两个向量垂直，求参数k的值，着重考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标公式和两个向量垂直的充要条件等知识点，属于基础题．3.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：令红球、白球、黑球分别为A，a，b，1，2，3，则从袋中任取两球有（A，a），（A，b），（A，1），（A，2），（A，3），（a，1），（a，2），（a，2），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（1，2），（1，3），（2，3），共15种取法，其中两球颜色相同有（a，b），（1，2），（1，3），（2，3）共4种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得P=1-．故选D．用列举法列出从6个球中任取两个球的所有方法，查出两球颜色相同的方法种数，求出两球颜色相同的概率，然后由对立事件的概率计算公式得答案．本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了互斥事件和对立事件的概率计算公式，解答的关键是列举时做到不重不漏，是基础题．4.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A.12B.18C.24D.42【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，∴2+S6-10=8×2，∴S6=24，故选C．利用等差数列的性质s2，s4-s2，s6-s4成等差数列进行求解．本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n-s n，s3n-s2n，…成等差数列．5.在△ABC中，a=3，b=5，sin A=，则sin B=（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】解：∵a=3，b=5，sin A=，∴由正弦定理得：sin B===．故选B由正弦定理列出关系式，将a，b及sin A的值代入即可求出sin B的值．此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈N*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选D充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，则有如下关系=．7.设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A.d＜0B.a7=0C.S9＞S5D.S6与S7均为S n的最大值【答案】C【解析】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7-a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．利用结论：n≥2时，a n=s n-s n-1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．本题考查了等差数列的前n项和公式和s n的最值问题，熟练应用公式是解题的关键．8.设tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α、β∈（-，），则α+β的值为（）A.-B.C.或-D.-或【答案】A【解析】解：依题意得tanα+tanβ=-3＜0，tanα•tanβ=4＞0，∴tan（α+β）===．易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（-，），∴α∈（-，0），β∈（-，0），∴α+β∈（-π，0），∴α+β=-．故选A．由tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．本题的关键是找出α+β的范围．9.△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2-c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2-c2=4，∴c2=（a+b）2-4=a2+b2+2ab-4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab，∴2ab-4=-ab，∴ab=．故选：A．将（a+b）2-c2=4化为c2=（a+b）2-4=a2+b2+2ab-4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab即可求得答案．本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．10.在△ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又，则t=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵∴∴即P是AB的一个三等分点，过点Q作PC的平行线交AB于D，∵Q是BC中点，∴QD=PC，且D是PB的中点，从而QD=2PM，∴PC=4PM，∴CM=CP，又，则t=故选C．先根据向量关系得即P是AB的一个三等分点，利用平面几何知识，过点Q作PC的平行线交AB于D，利用三角形的中位线定理得到PC=4PM，结合向量条件即可求得t值．本小题主要考查向量在几何中的应用、两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，利用向量的加法的法则，以及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．11.若，则cosα+sinα的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵，∴，故选C题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．12.设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A.2B.C.3D.【答案】C【解析】解：分别取AC、BC的中点D、E，∵，∴，即2=-4，∴O是DE的一个三等分点，∴=3，故选C．根据，变形得∴，利用向量加法的平行四边形法则可得2=-4，从而确定点O的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比．此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．二、填空题(本大题共4小题，共12.0分)13.执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为______ ．【答案】9【解析】解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环a b循环前/12第一圈是32第二圈是52第三圈是72第四圈是92第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14.已知sinα=2cosα，则tan（+α）的值等于______ ．【答案】-3【解析】解：∵sinα=2cosα，∴tanα=2，∴tan（+α）==-3，故答案为：-3．由条件求得tanα=2，再根据tan（+α）=计算求得结果．本题主要考查偷偷能够交三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，属于基础题．15.若函数f（x）=A sin（2x+φ）（A＞0，-＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（0）= ______ ．【答案】-1【解析】解：∵f（x）=A sin（2x+∅）（A＞0），∴由图知，A=2；又f（）=2，∴2×+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ-，k∈Z．又-＜∅＜，∴∅=-．∴f（x）=2sin（2x-），∴f（0）=2sin（-）=-1．故答案为：-1．，由图可求得A=2，再由2×+∅=2kπ+可求得∅，从而可求得f（0）．本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求∅是难点，属于中档题．16.若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|= ______ ．【答案】2【解析】解：∵||=1，||=2，且与的夹角为，∴=4+4•+=4×12+4×1×2×cos+22=4+4+4=12；∴|2|==2；故答案为：2．利用平面向量的数量积求出模长的值，从而求出模长．本题考查了利用平面向量的数量积求模长的问题，是基础题．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知：sinα=，cos（α+β）=-，0＜α＜，π＜α+β＜π，求cosβ的值．【答案】解因为sinα=，0＜α＜，∴cosα==．∵cos（α+β）=-，π＜α+β＜π，∴sin（α+β）=-=-．∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+（-）×=-1．【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系求出cosα、sin（α+β）的值，再根据cosβ=cos[（α+β）-α]，利用两角差的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．18.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一的学生达标的概率；（3）为了分析学生的体能与身高，体重等方面的关系，必须再从样本中按分层抽样方法抽出50人作进一步分析，则体能在[120，130）的这段应抽多少人？【答案】解：（1）第二小组频率为：=0.08，样本容量为：=150．（2）=0.88．（3）×150×=15．【解析】（1）第二小组的频率是第二小组在整体中的比重，样本容量=频数；频率（2）用频率估计概率；（3）求出体能在[120，130）的人数，再用分层抽样抽取体能在[120，130）的这段的人数．本题考查了频率分布直方图的应用及分层抽样的方法，属于基础题．19.已知sinα=，，（1）求sin2α-cos2的值；（2）求函数f（x）=cosαsin2x-cos2x的最小正周期和单调增区间．【答案】解：（1）∵sinα=，，∴cosα=-=-（舍正）∴sin2α-cos2=2sinαcosα-（1+cosα）=2××（-）-（1-）=-．（2）由（1）的结论，可得f（x）=×（-）×sin2x-cos2x=-sin2x-cos2x=-sin（2x+）∴函数f（x）的最小正周期==π，由+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）．∴函数f（x）的增区间为[+kπ，+kπ]．（k∈Z）【解析】（1）由二倍角的三角函数公式化简，得原式=2sinαcosα-（1+cosα）．根据sinα=，利用同角三角函数的关系算出cosα=-，代入化简后的式子即可得到所求式子的值．（2）由（1）知f（x）=-sin2x-cos2x，利用辅助角公式化简得f（x）=-sin（2x+），再根据三角函数的周期公式和单调区间的公式加以计算，即可得出函数f（x）的最小正周期和单调增区间．本题求三角函数式的值，并依此求函数f（x）的最小正周期和单调增区间．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．20.已知△ABC的内角A，满足coa2A-cos A+1≤0．（1）求A的取值范围；（2）求函数f（A）=λ（sin A+cos A）+sin A cos A的最小值．【答案】解：（1）△ABC中，由coa2A-cos A+1≤0，得2cos2A-cos A≤0，求得0≤cos A≤，∴A∈[，]．（2）设sin A+cos A=t，则sin A cos A=，所以原函数化为y=+λt-，它的对称轴t=-λ．又t=sin（A+），由A∈[，]可得A+∈[，]，∴t∈[1，]．当-λ＜1，即λ＞-1时，y min=λ．当1≤-λ≤，即-≤λ≤-1时，y min=-．当-λ＞，即λ＞-时，y min=+λ．【解析】（1）△ABC中，由条件求得0≤cos A≤，可得A的范围．（2）设sin A+cos A=t，则sin A cos A=，所以原函数化为y=+λt-，它的对称轴t=-λ．再根据t的范围（用区间表示），分类讨论对称轴与区间的关系，求出函数的最小值．本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．21.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S3=21，数列b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S3=21解得：∴a n=11-2n当1≤n≤5时，|a n|=a n=11-2nT n=10n-n2当n≥6时|a n|=-a nT n=a1+…+a5-a6-…-a n=2（a1+a5）-（a1+a2+a3+…+a n）=n2-10n+50综上所述：T n=故答案为：【解析】首先根据已知条件建立方程组求得a n=11-2n，然后进行分类讨论当1≤n≤5时，|a n|=a n=11-2nT n=10n-n2当n≥6时|a n|=-a nT n=a1+…+a5-a6-…-a n=2（a1+a5）-（a1+a2+a3+…+a n）=n2-10n+50综上所述：T n=本题考查的知识点：等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及分类讨论问题，恒等变换问题．22.数列{a n}满足a n+1+a n=4n-3（n∈N*）（Ⅰ）若{a n}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{a n}满足a1=2，S n为{a n}的前n项和，求S2n+1．【答案】解：（I）由题意得a n+1+a n=4n-3…①a n+2+a n+1=4n+1…②．…（2分）②-①得a n+2-a n=4，∵{a n}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴．（6分）∴．（7分）（Ⅱ）∵a1=2，a1+a2=1，∴a2=-1．（8分）又∵a n+2-a n=4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）（12分）==4n2+n+2．（14分）【解析】（I）由题意得a n+1+a n=4n-3，a n+2+a n+1=4n+1．所以a n+2-a n=4，由{a n}是等差数列，公差d=2，能求出．（Ⅱ）由a1=2，a1+a2=1，知a2=-1．因为a n+2-a n=4，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，故a2n-1=4n-2，a2n=4n-5．由此能求出S2n+1．本题数列的性质和应用，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．。

辽宁省高二上学期第一次月考数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数y=lnx的定义域A,,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·枣庄模拟) 设集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}，则下列结论正确的是（）A .B . M=NC . M∪∁RN=RD . M∩∁RN=M3. （2分）函数的图象为（）A . 单调递减B . 单调递增C . 关于y轴对称D . 关于x轴对称4. （2分）设集合，集合B=N，则=（）A . {0，1}B . {1}C . 1D . {-1，0，1，2}5. （2分） (2018高二上·济宁月考) 在等差数列等于（）.A . 13B . 18C . 20D . 226. （2分） (2018高一上·武邑月考) 设函数在R上有意义，对给定正数M，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则的值域为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·广州期末) 已知函数f（x），则下列结论正确的是（）A . f（x）是周期函数B . f（x）是奇函数C . f（x）在（0，+∞）是增函数D . f（x）的值域为[﹣1，+∞）8. （2分）设a,b,c都是正数，， N=a+b+c，则M,N的大小关系是（）．A .B . M<NC . M=ND .9. （2分）(2020·湛江模拟) 已知函数，若在为增函数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高一上·雅安期末) 2log510+log50.25=（）A . 0B . 1C . 2D . 411. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知奇函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，则不等式f（）+f（2x﹣1）＞0的解集是（）A . （﹣∞，）B . [﹣，+∞）C . （﹣6，﹣）D . （﹣，）12. （2分） (2016高一上·襄阳期中) 记函数f（x）= 在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·大连模拟) 已知函数，则值为________；若的值为________.14. （1分）将，，按从小到大进行排列为________．15. （1分） (2019高一下·贺州期末) 已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则 ________.16. （1分） (2016高三上·浦东期中) x＞1，则函数y=x+ 的值域是________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2016高一上·辽宁期中) 化简：（1）•（）；（2）（lg2）•[（ln ）﹣1+log 5]．18. （5分） (2019高一上·葫芦岛月考)（1）若，求的取值范围；（2）若（），求关于的不等式的解集.19. （10分）设集合A={x|1﹣a≤x≤1+a}，集合B={x|x＜﹣1或x＞5}，分别就下列条件求实数a的取值范围：（1）A∩B=∅；（2）A∪B=B．20. （15分） (2016高一下·新余期末) 已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式；函数（其中）．（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．21. （10分） (2017高一上·东城期末) 已知函数f（x）=kx2+2x为奇函数，函数g（x）=af（x）﹣1（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、。

沈阳铁路实验中学2015---2016学年度上学期第二次月考高二数学（理）时间：120分钟 分数：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 （ ） A ．不存在01,23≤+-∈x x R x B.存在01,23≤+-∈x x R x C. 存在01,23>+-∈x x R x D. 对任意的01,23>+-∈x x R x 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）． A ．5 B ．7 C ．9 D ．113．已知方程 13922=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ）A.3<k <9B.k >3C.k >9 D .k <34．已知1,,,921--a a 成等差数列，1,,,,9321--b b b 成等比数列 ，则()212a a b +等于（ ） A.30 B.-30 C.±30 D. 15 5．若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为（ ） （A（B ）2 （C ）（D ）4 6．下列说法错误．．的是：（ ） A ．命题“若x 2-4x +3=0,则x =3”的逆否命题是：“若x ≠3,则x 2-4x +3≠0” B ．“x ＞1”是“x ＞0”的充分不必要条件 C ．若p 且q 为假命题，则p ,q 至少有一个假命题D ．命题p ：“存在x R ∈使得210x x ++<，”则p ⌝：“对于任意x R ∈，均有210x x ++>”7．在△ABC 中，已知，则三角形△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形8．若关于x 的不等式2230xa xa --<在区间[1,1]-上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）2cossin sin 2AC B =⋅A ．[1,1]-B ．[1,3]-C ．(1,1)-D ．(1,3)-9．已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ）ABC ．2 D110．设双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点是F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则该双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．12±B．± C ．1± D．11．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为（ ） A ．256B ．83C ．113D ．412．已知直线与抛物线C:相交A 、B 两点，F 为C 的焦点．若，则k = （ ）A ．B ．C ．D ． 第II 卷（非选择题90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题,每小题5分，共计60分）1．已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinB=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，若BC=3,AC=4，AB=,则△ABC的面积等于（）A．3B．6C．8D．103．已知数列｛a n｝满足a n+1=,若a1=,则a2015=（)A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．4．已知等差数列｛a n｝满足a6+a10=20，则下列选项错误的是()A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=205．在等差数列{a n｝中，设公差为d，若S10=4S5，则等于（）A．B．2 C．D．46．已知等比数列{a n},a1=1，a5=，则a2a3a4()A．B．C．±D．7．设等比数列{a n｝的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（)A．3：4 B．2:3 C．1：2 D．1：38．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．119．已知两个等差数列｛a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则使为整数的n值个数为(）A．4 B．5 C．6 D．710．已知数列{a n}{b n｝满足a1=b1=1,a n+1﹣a n==2，n∈N*，则数列｛b｝的前10项和为（)A．（410﹣1) B．（410﹣1）C．（49﹣1）D．（49﹣1）11．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0,则此数列中绝对值最小的项为（) A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项12．已知S n是等差数列｛a n｝n∈N*的前n项和，且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中最大项为S11；⑤｜a6|＞|a7|，其中正确命题的个数（）A．5 B．4 C．3 D．1二、填空题(共4小题，每小题5分，共计20分)13．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．14．已知数列{a n｝的前n项和S n=n2﹣16n，｜a1｜+｜a2|+|a3|+…+|a11｜=．15．数列a n=n2﹣3λn(n∈N*）为单调递增数列，则λ的取值范围是．16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a ij，则数字73在表中出现的次数为．2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …4 7 10 13 16 19 …5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 ……………………三、解答题（共6题,17题10分,18～22每题12分，总计70分）17．已知等差数列{a n｝满足：a5=11，a2+a6=18(Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=a n+3n，求数列｛b n｝的前n项和S n．18．已知数列{a n｝，{b n}分别为等差和等比数列，且a1=1，d＞0，a2=b2，a5=b3,a14=b4（n∈N ＊)．（Ⅰ)求｛a n｝,｛b n｝的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列｛c n｝的前n项和．19．已知数列｛a n}中,a1=1，前n项和S n=a n．（1）求a2，a3，及{a n}的通项公式．（2）求{}的前n项和T n，并证明：1≤T n＜2．20．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a,b,c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2,求△ABC的面积S．21．已知数列｛a n｝中，a n=2﹣(n≥2）,a1=,b n=（n∈N*）（1）求证：数列｛b n}是等差数列；（2）求数列｛a n｝中的最大项和最小项，并说明理由．22．设数列｛a n}的前n项和为S n，已知a1+2a2+3a3+…+na n=（n﹣1）S n+2n（n∈N＊）．（1）求a2，a3的值；（3）求证：数列｛S n+2｝是等比数列;（3）设b n=，数列｛b n}的前n项和为T n，求满足T n＞0的最小自然数n的值．2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二(上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，共计60分）1．已知△ABC中,三内角A、B、C成等差数列，则sinB=(）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由题意可得A+C=2B,结合三角形的内角和可求B,进而可求sinB【解答】解：由题意可得,A+C=2B∵A+B+C=180°∴B=60°，sinB=故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于基础试题2．在△ABC中,若BC=3，AC=4，AB=，则△ABC的面积等于（）A．3B．6C．8D．10【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理可得C，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解:由余弦定理可得:cosC===，C∈（0，π），∴C=．∴S△ABC===3．故选:A．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．3．已知数列{a n}满足a n+1=，若a1=,则a2015=（)A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】通过求出前几项的值得出该数列是以3为周期的周期数列，进而可得结论．【解答】解：∵a n+1=,a1=，∴a2==2,a3=，a4=，∴数列｛a n}是以3为周期的周期数列，∵2015=671×3+2,∴a2015=a2=2，故选：A．【点评】本题考查数列的通项，求出周期是解决本题的关键,注意解题方法的积累，属于中档题．4．已知等差数列{a n｝满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项的性质，可得结论．【解答】解:S15=（a1+a15)=（a6+a10）=150，即A正确；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；a6+a10≠a16，即C错误a4+a12=a6+a10=20，即D正确．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力,正确运用等差数列的通项的性质是关键．5．在等差数列｛a n}中，设公差为d,若S10=4S5，则等于（）A．B．2 C．D．4【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据题意和等差数列的前n项和公式化简S10=4S5，即可求出的比值．【解答】解：∵S10=4S5，∴10a1+45d=4（5a1+10）d,解得d=2a1，则=，故选：A．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．6．已知等比数列{a n｝,a1=1，a5=，则a2a3a4(）A．B．C．±D．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵等比数列｛a n}中，a1=1，a5=,∴，∴，∴a2a3a4=q×q2×q3=q6=（）3=．故选：A．【点评】本题考查等比数列中三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．设等比数列｛a n}的前n项和为S n，若S10:S5=1：2，则S15：S5=(）A．3：4 B．2：3 C．1:2 D．1：3【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】本题可由等比数列的性质,每连续五项的和是一个等比数列求解,由题设中的条件S10:S5=1：2,可得出（S10﹣S5）:S5=1:1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S10:S5=1:2，∴(S10﹣S5）：S5=﹣1:2,由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．【点评】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质﹣﹣S k，S2k﹣S k，S3k﹣S2k，成公比为q k等比数列数列，本题查了利用性质进行运算的能力8．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．【解答】解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=﹣2，所以==﹣11．故选A．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．9．已知两个等差数列{a n｝和{b n｝的前n项和分别为S n和T n,且，则使为整数的n值个数为(）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】①当n=1时，==8；②当n≥2时，====2+，从而判断即可．【解答】解：①当n=1时，==8，故成立；②当n≥2时，====2+故n=2,3，5，11；故使得为整数的正整数的个数是4;故选：B．【点评】本题考查了等差数列前n项和公式的应用及分类讨论的思想应用,属于基础题．10．已知数列｛a n}｛b n}满足a1=b1=1,a n+1﹣a n==2，n∈N*,则数列｛b}的前10项和为()A．（410﹣1）B．（410﹣1）C．（49﹣1) D．（49﹣1)【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列｛a n｝与{b n｝的通项公式，进而表达出｛ban｝的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n 项和的公式计算出答案即可．【解答】解:由a n+1﹣a n==2，所以数列{a n｝是等差数列,且公差是2,{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1,所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．=b1•22n﹣2=22n﹣2．所以b=b2n﹣1设c n=b,所以c n=22n﹣2，所以=4,所以数列｛c n｝是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得:其前10项的和为=（410﹣1)．故选A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．11．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【考点】等差数列的前n项和;数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0,进而得出|a6|﹣|a7｜=a6+a7＞0，可得答案．【解答】解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣｜a7｜=a6+a7＞0，∴｜a6｜＞｜a7｜∴数列｛a n}中绝对值最小的项是a7故选C．【点评】本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a7＞0，a7＜0，属中档题．12．已知S n是等差数列｛a n}n∈N＊的前n项和,且S6＞S7＞S5，给出下列五个命题：①d＜0;②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中最大项为S11；⑤｜a6｜＞|a7|，其中正确命题的个数（）A．5 B．4 C．3 D．1【考点】等差数列的性质．【专题】计算题;等差数列与等比数列．【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定．【解答】解：∵等差数列｛a n}中，S6最大，且S6＞S7＞S5,∴a1＞0,d＜0,①正确；∵S6＞S7＞S5，∴a6＞0，a7＜0,∴a1+6d＜0，a1+5d＞0，S6最大，∴④不正确；S11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，S12=12a1+66d=12(a1+a12）=12（a6+a7)＞0,∴②⑤正确，③错误故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值．在等差数列中S n存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分)13．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后,船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30km．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据题意画出相应的图形,求出∠B与∠BAC的度数,再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B=75°﹣30°=45°,在△ABC中,根据正弦定理得：=,即=，∴BC=30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为:30【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．已知数列｛a n}的前n项和S n=n2﹣16n,｜a1｜+|a2｜+|a3｜+…+｜a11｜=73．【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数思想;转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用S n=n2﹣16n,求出a n,然后化简|a1｜+|a2｜+｜a3|+…+｜a11|去掉绝对值，然后求解即可．【解答】解：∵S n=n2﹣16n,∴当n=1时，a1=﹣15；=n2﹣16n﹣[（n﹣1)2﹣16（n﹣1）］=2n﹣17．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1令a n≤0,解得n≤8．令T n=｜a1|+｜a2|+｜a3|+…+｜a11｜=﹣a1﹣a2﹣a3﹣…﹣a8+a9+a10+a11．=15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73．故答案为：73．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列的求和问题,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．数列a n=n2﹣3λn（n∈N*）为单调递增数列，则λ的取值范围是λ＜1．【考点】数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】数列a n=n2﹣3λn（n∈N*）为单调递增数列,可得a n＜a n+1对于∀n∈N＊都成立，化简解出即可．【解答】解:∵数列a n=n2﹣3λn（n∈N*）为单调递增数列,∴a n＜a n+1对于∀n∈N*都成立;∴n2﹣3λn＜（n+1）2﹣3λ（n+1）,化为λ＜，∵数列为单调递增数列，∴当n=1时,取得最小值1．∴λ＜1．故答案为：λ＜1．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．下表中的数阵为“森德拉姆数筛",其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a ij，则数字73在表中出现的次数为12．2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …4 7 10 13 16 19 …5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 ……………………【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】第1行数组成的数列A1j（j=1，2，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，第j 列数组成的数列Aij（i=1，2,…)是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．【解答】解：第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列Aij（i=1，2，…）是以j+1为首项,公差为j的等差数列,所以Aij=（j+1）+（i﹣1）×j=ij+1．令Aij=ij+1=73，∴ij=72=1×72=2×36=3×24=4×18=6×12=8×9=9×8=12×6=18×4=24×3=36×2=72×1，所以，表中73共出现12次．故答案为：12．【点评】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值,是中档题．三、解答题（共6题，17题10分，18～22每题12分,总计70分）17．已知等差数列｛a n｝满足：a5=11，a2+a6=18(Ⅰ）求数列{a n｝的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n｝的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】(I）利用等差数列的通项公式即可得出；(II)利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ)设等差数列｛a n}的公差为d，∵a5=11,a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n)=+=n2+2n+﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}，{b n}分别为等差和等比数列,且a1=1，d＞0，a2=b2，a5=b3，a14=b4(n∈N ＊)．（Ⅰ）求｛a n},｛b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列｛c n｝的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式;等比数列的通项公式．【专题】计算题;等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知可得,a2，a5，a14成等比数列，结合等比数列的性质及等差数列的通项公式可求公差d,进而可求a n,然后结合已知可求等比数列的公比，代入可求(2）设c n=a n•b n=(2n﹣1）•3n﹣1，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和【解答】解:（1)∵a2=b2，a5=b3，a14=b4，b2，b3，b4成等比数列∴a2，a5，a14成等比数列∵a1=1∴(1+d）（1+13d）=（1+4d）2∵d＞0解可得d=2∴a n=1+2(n﹣1）=2n﹣1∵a2=b2=3，a5=b3=9∴q=3，=3•3n﹣2=3n﹣1(2）设c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n﹣1∴s n=1•30+3•3+5•32+…+(2n﹣1）•3n﹣13s n=1•3+3•32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1)•3n两式相减可得,﹣2s n =1+2(3+32+…+3n ﹣1﹣（2n ﹣1）•3n ==3n ﹣2﹣（2n ﹣1)•3n ∴【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式的应用及数列的错位相减求和方法的应用19．已知数列｛a n }中，a 1=1，前n 项和S n =a n ．（1）求a 2,a 3，及｛a n ｝的通项公式． (2）求｛}的前n 项和T n ，并证明：1≤T n ＜2．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1)根据已知等式确定出a 2，a 3，得出{a n ｝的通项公式即可; （2）表示出｛｝的前n 项和T n ，根据前n 项和T n 为递增数列,确定出T n 的范围,即可得证．【解答】解：(1）由S 2=a 2，a 1=1，得到3（a 1+a 2）=4a 2， 解得:a 2=3a 1=3;由S 3=a 3得3（a 1+a 2+a 3）=5a 3, 解得：a 3=（a 1+a 2）=6． 由题设知a 1=1,当n ＞1时有a n =S n ﹣S n ﹣1=a n ﹣a n ﹣1，整理得：a n =a n ﹣1．于是a 1=1，a 2=a 1，a 3=a 2，…，a n ﹣1=a n ﹣2，a n =a n ﹣1，将以上n 个等式两端分别相乘,整理得a n =，综上，｛a n}的通项公式a n=；(2）∵=，∴T n=2[++…+］=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=2﹣＜2，即T n＜2,又T n+1＞T n，｛T n｝单调增,∴T n＞=T1=1，则1≤T n＜2．【点评】此题考查了数列的求和,确定数列的通项公式，拆项法，以及数列的递推式,熟练掌握数列的性质是解本题的关键．20．在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ)求证：a，b，c成等比数列;(Ⅱ)若a=1,c=2，求△ABC的面积S．【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．【专题】三角函数的求值；解三角形．（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得,sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，【分析】利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC,∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得:b2=ac，所以a，b，c成等比数列．(II）若a=1，c=2，则b2=ac=2,∴,∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．21．已知数列{a n｝中，a n=2﹣（n≥2），a1=，b n=（n∈N＊）(1)求证：数列｛b n｝是等差数列；（2）求数列{a n｝中的最大项和最小项,并说明理由．【考点】数列递推式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的定义,进行证明；（2）依题意有a n﹣1=，求导数，确定函数的单调性,即可得出结论．【解答】(1）证明：b n+1﹣b n=﹣=﹣=1，∵a1=,∴b1=﹣，∴数列｛b n}是以﹣为首项，1为公差的等差数列;（2）解：依题意有a n﹣1=，对于函数y=，在x＞3。