10.函数中易混易错的十个问题.doc精编版

函数中易混易错的十个问题函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。

下面就几个易混易错的问题举例说明。

一、复合函数[]()f g x 的定义域与复合函数的外层函数)(x f 的定义域复合函数[]()f g x 的定义域受函数()f x 的定义域的制约，如“已知()f x 的定义域为[],a b ，求[]()f g x 的定义域”是指求满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；而“已知复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ”就是指b x a ≤≤，则()f x 的定义域为()x g 在x ∈[]b a ,上的值域．例1.（1）设函数)(x f 的定义域为[0,2]，求函数)12(-x f 的定义域：解： 由2120≤-≤x 解得21-≤x ≤23. 从而)12(-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21. （2）设函数)12(-x f )的定义域为[0,2]，则)(x f 的定义域为____________.解：)(x f 的定义域即()|12|-=x x g 在[0,2]上的值域.由0≤x ≤2得-1≤2x-1≤3，从而0≤|2x-1|≤3.所以)(x f 的定义域为[0,3].练习：1．已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，求函数()2+x f 的定义域和值域。

答案：[-2，-1] ，[1，2]2．已知函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，求f （-3x ）的定义域由函数)2x 2(f -的定义域是[0，2]，可得2x 0≤≤，有22x 22≤-≤-，故f （x ）的定义域为[－2，2]二、函数的定义域为A 与函数在A 上恒有意义“函数在A 上恒有意义”中的A 是()f x 的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为A ”中的A 是使函数有意义的自变量取值范围。

例2．已知函数m x f x x ⋅++=421)((1)若此函数在]1,(-∞上有意义，求m 的取值范围.(2)若此函数的定义域为]1,(-∞ ，求m 的取值范围.解：（1）因为函数m x f x x ⋅++=421)(在]1,(-∞ 上有意义，即0421≥⋅++m x x 对]1,(-∞∈x 恒成立，xx m )21()41(--≥ 令xx x u )21()41()(--=则)(x u 在]1,(-∞上单调递增 又∵43)1(-=u ∴43-≥m （2）若函数m x f x x ⋅++=421)(的定义域为]1,(-∞ ，则1240x x m ++≥的解集]1,(-∞ 从而有0)21()41(≥++m x x 的解为1≤x 易解得2411)21(m x -+-≥ 即2411log 21m x -+-≤ ∴12411log 21=-+-m 解得43-=m 练习：已知函数()212()log 23f x x ax =-+，解答下列问题：（1）若函数在[)1,-+∞内有意义，求实数a 的取值范围；（2）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；解：记222()23()3u g x x ax x a a ==-+=-+-。

（1）“函数在[)1,-+∞内有意义”等价于“()u g x =0>对[)1,x ∈-+∞恒成立”， 1(1)0a g <-⎧∴⎨->⎩或214120a a ≥-⎧⎨∆=-<⎩，解之得：2a -<< （2）“函数的定义域为()(),13,-∞⋃+∞”等价于“不等式2230x ax -+>的解为1x < 或3x >” 121,3x x ∴==是方程2230x ax -+=的两根，⎩⎨⎧==+∴322121x x a x x 则2=a 三、函数)(x f 的值域为A 与)(x f ∈A“)(x f ∈A ”说明()f x 的值域是A 的一个子集；“函数的值域为A ”中的A 是()f x 的值域，其解法是先求出()f x 的值域，与已知值域相同，通过比较系数建立含参数的方程.例3．已知函数2()426,()f x x ax a x R =-++∈（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求a 的取值范围。

解：（1）Δ=2(4)4(26)0a a -+= 2230a a ⇒--= ∴312a =-或 （2）函数的值均为非负值即),0[)(+∞∈x f∴Δ3012a ≤⇒-≤≤ 练习：已知函数()212()log 23f x x ax =-+（1）若函数的值域为(],1-∞-，求实数a 的值；（2）若)(x f 的值不大于1-，求实数a 的取值范围。

解：（1）由对数函数的性质易得：322+-=ax x u 的值域为[)2,+∞ 又∵2223)(32a a x ax x u -+-=+-= ∴232=-a 即1±=a（2）若)(x f 的值不大于1-， 322+-=ax x u 的值不小于2∴232≥-a 即11≤≤-a四、二次与对数的复合函数的定义域为R 与函数的值域为R上面两个问题建立在函数的定义域与值域不同概念之上，处理的办法是截然不同的，下面结合例题来说明.例4．已知函数()212()log 23f x x ax =-+，解答下列问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；解：（1）由题意知：对一切x R ∈，0u >恒成立，2min 30u a ∴=->，a <<a 的取值范围是：(。

（2）“函数的值域为R ”等价于“()u g x =能取遍()0,+∞的一切值”，∴()u g x =的判别式()()22120,,a a ∆=--≥∴∈-∞⋃+∞。

练习：已知函数]41)1([log )(2+-+=x m mx x f a（1）定义域是R ，求实数m 的取值范围；（2）值域是R ，求实数m 的取值范围。

解：（1）因为函数]41)1([log )(2+-+=x m mx x f a 的定义域是R ，故而对任意R x ∈有 041)1(2>+-+x m mx 恒成立。

01.当0m =时，不符合题意；02.当0m ≠时，由二次函数的性质可得：{20(1)03322m m m m >∆=--<-+⇔<<综上，实数m 的取值范围为20(1)03322m m m m >∆=--<-+⇔<<；（2）因为函数]41)1([log )(2+-+=x m mx x f a 的值域是R 等价于41)1()(2+-+=x m mx x u 取遍()0,+∞的一切值01.当0m =时，符合题意；02.当0m ≠时，0)1(2≥--=∆m m 解的253253+≥-≤m m 或 综上，实数m 的取值范围为253253+≥-≤m m 或 五、函数)(x f 的单调增（减）区间为A 与)(x f 在区间A 上为单调增（减）函数函数在某区间A 上是增(减)函数，则此区间是函数增(减)区间的子集；函数)(x f 的单调增(减)区间为A ，其解法是先求出)(x f 的单调增(减)区间，与已知单调增(减)区间相同，通过比较系数建立含参数的方程.例5．（1）函数3)(2+-=ax x x g 的增区间是),2[+∞，求实数a 的取值范围。

（2）设函数3)(2+-=ax x x g 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围。

解：（1）函数3)(2+-=ax x x g 的增区间是),2[+∞，则恰有22=a ，可知4=a （2）函数3)(2+-=ax x x g 的对称轴为2a x =，只需22≤a ，解得4≤a ，即]4,(-∞∈a练习：1、若函数)(log 221a ax x y --=在区间(,1-∞-上是增函数，求实数a 的取值范围。

解：令2()u g x x ax a ==--， ∵函数u y 21log =在定义域上为减函数，∴2()u g x x ax a ==--在区间(,1-∞上递减，且满足0u >在区间(,1-∞-上恒成立∴12(10a g ⎧≥-⎪⎨⎪≥⎩，解得22a -≤≤，所以，a的取值范围为[22]-．2、是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在,说明a可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由.解： 设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21x =.(1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2a 21>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤; (2) 当1a 0<<时, 无解⎪⎩⎪⎨⎧>≥0)4(421u a . 综上所述: 1a >六、复合函数)]([x g f 的奇偶性与复合函数的外层函数)(x f 的奇偶性若函数)(a x f +是偶函数，则)()(a x f a x f +=+-即函数)(x f 的图象关于直线a x =对称；若函数)(a x f +是奇函数，则)()(a x f a x f +-=+-即)2()(x a f x f --=，也就是函数)(x f 的图象关于点)0,(a 中心对称；若函数)(x f 是偶函数，则)()(a x f a x f +=--；若函数)(x f 是奇函数，则)()(a x f a x f +-=--例6．已知函数)1(+x f 是偶函数，且1<x 时，1)(2+=x x f ，求1>x 时)(x f 的解析式.解析：关键是理解“)1(+x f 是偶函数”的意义为)1()1(+=+-x f x f 即函数)(x f 的图象关于直线1=x 对称；然后利用对称性将1>x 上)(x f 的解析式求解转化到1<x 上的解析式计算. 解：设1>x ，则12<-x ，由题1)2()2(2+-=-x x f ，由函数)1(+x f 是偶函数有)1()1(+=+-x f x f 即)2()(x f x f -=∴541)2()(22+-=+-=x x x x f 故1>x 时)(x f 的解析式为54)(2+-=x x x f练习：已知函数)(x f 的定义域为R ，且)2(+x f 为偶函数，)4(+x f 为奇函数，则)(x f 是( )A ．奇函数且周期函数 B.奇函数且非周期函数C ．偶函数且周期函数 D.偶函数且非周期函数解析：关键抓住两个已知条件①)2(+x f 为偶函数有)2()2(+=+-x f x f 即)4()(x f x f -=②)4(+x f 为奇函数”即)8()(x f x f --= 在①中令x 为4+x 得)4()(+=-x f x f ，在②中令x 为4+x 得)4()4(x f x f --=+，于是)()4()4()(x f x f x f x f -=--=+=-，从而)(x f 是奇函数.由)()4(x f x f -=+得)()8(x f x f =+从而知函数)(x f 是周期函数七、方程0)(=x f 在A 内有解与方程0)(=x f 的解在A 内方程f(x)＝0在A 内有解，只要求方程0)(=x f 在A 内至少有一解就可以了，并不要求方程的所有解都在A 内；方程0)(=x f 的解在A 内要求方程的所有解均在A 内.例7．(1)关于x 的方程01222=-+-m mx x 在区间(2,5)内有解，求m 的取值范围；(2)关于x 的方程01222=-+-m mx x 的解在区间(2,5)内，求m 的取值范围.解：(1)易求得11-=m x ，12+=m x由题意有512<-<m 或512<+<m 即63<<m 或41<<m ，故61<<m .(2)由题意有512<-<m 且512<+<m ，解得43<<m .练习：1、若关于x 的方程4)lg()lg(2=ax ax 的所有解都大于1，求a 的取值范围． 解：由原方程可化为，变形整理有（*）， ，由于方程（*）的根为正根，则解之得 ，从而说明：方程（*）不是关于 的方程，而是关于的一元二次方程，故求出 的范 围，另外，解得 ，其中a 是真数，不要忽略0>a2、已知函数33log )(+-=x x x f f(x)=log m 33+-x x (1)若)(x f 的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断)(x f 在定义域上的单调性，并加以说明；(2)当10<<m 时，使)(x f 的值域为[])]1([log )],1([log --αβm m m m 的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3. ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f(x)为减函数，当m ＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［log m m(β–1),log m m(α–1)］∵0＜m ＜1, f(x)为减函数. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf mm m m m ∴0＜m ＜432- 故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在. 八、不等式恒成立与有解解决不等式恒成立和有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。