2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2：阶段质量检测(一)导数及其应用-含解析

1.3.2函数的极值与导数目标定位 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.自主预习1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.即时自测1.思考题(1)极大值一定比极小值大吗？提示不一定.由函数的图象容易得出函数的极大值也可能比极小值还小.(2)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况.2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则()A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点解析f(x2)＝0，x＜x2时，f′(x)＞0，x＞x2时，f′(x)＜0；f(x3)＝0，x＜x3时，f′(x)＜0，x＞x3时，f′(x)＞0，所以x2为极大值点，x3为极小值点.答案 A3.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A.极大值5，极小值－27B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大值解析y′＝3x2－6x－9，令y′＝0得x1＝－1，x2＝3，又－2＜x＜2，∴x＝－1，当x＜－1时，y′＞0，x＞－1时，y′＜0，∴x＝－1时，y极大值＝5.答案 C4.函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________.解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x＜2时，f′(x)＜0，当x ＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2时，f(x)取得极小值.答案 2类型一求函数的极值【例1】 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值.解 f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2；由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283. 当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.【训练1】 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－(x －2)23.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6，令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0，解得x ＝12，当x ＞12时，y ′＞0；当x ＜12时，y ′＞0.∴此函数无极值. (2)令y ＝x |x |＝0，则x ＝0，且y ＝⎩⎨⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0），当x ＞0时，y ＝x 2是单调增函数；当x ＜0时，y ＝－x 2也是单调增函数. 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值.另外，∵当x ＞0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解； 当x ＜0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值.(3)当x ≠2时，有y ′＝－23(x －2)－13.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导. 但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在， 当x ＜2时，f ′(x )＞0；当x ＞2时，f ′(x )＜0. 故y ＝f (x )在点x ＝2处取极大值，且极大值为f (2)＝1. 类型二 利用函数极值确定参数的值【例2】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ， ∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)， 当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练2】 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值. 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解之得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 类型三 函数极值的综合应用(互动探究) 【例3】 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3，4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围. [思路探究]探究点一 利用导数求函数的单调区间，其实质是什么？提示 其实质是解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为增区间，解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为减区间.探究点二 当函数的解析式中含有参数时，一般的处理思路是什么？提示 解决含参数的函数问题时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域，通过分类讨论把问题划分为若干个局部问题解决. 探究点三 函数f (x )在R 上有三个零点的实质是什么？ 提示 其实质是f (x )极大值＞0且f (x )极小值＜0. 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， 所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 3.当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，令f ′(x )＞0，即－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 3＞0，解得0＜x ＜2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3；当a ＜0时，令f ′(x )＞0，即－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 3＞0，解得2a 3＜x ＜0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，0.(2)由(1)知，a ∈[3，4]时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞.所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝4a327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b .由于对任意a ∈[3，4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎨⎧f （x ）极大值＞0，f （x ）极小值＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b ＞0，b ＜0，解得－4a 327＜b ＜0.因为对任意a ∈[3，4]，b ＞－4a 327恒成立，所以b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 327max ＝－4×3327＝－4.所以实数b 的取值范围为(－4，0).规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数.【训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状如图所示.所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.所以，a的取值范围是(5－42，5＋42). [课堂小结]1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析 在x ＝x 0的两侧，f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点. 答案 C2.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2D.a ＜－3或a ＞6解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＞6或a ＜－3. 答案 D3.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________.解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9. 答案 94.已知函数f (x )＝x 2e x ，求f (x )的极小值和极大值. 解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (x ＋2)e x ， f (x )与f ′(x )的变化情况如表：↗↘↗故当x＝－2时，f(x)取得极大值为f(－2)＝4e－2，当x＝0时，f(x)取得极小值为f(0)＝0.基础过关1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点.答案 A2.“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立.故选B.答案 B3.若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6， ∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9. 答案 D4.已知函数y ＝x 2x －1，当x ＝________时取得极大值________；当x ＝________时取得极小值________.解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x －1′＝（x 2）′（x －1）－x 2（x －1）′（x －1）2＝x 2－2x （x －1）2.y ′＞0⇒x ＞2或x ＜0；y ′＜0⇒0＜x ＜2，且x ≠1， 所以y ＝x 2x －1在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2处取得极小值4. 答案 0 0 2 45.函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 6.求函数f (x )＝x 2e －x 的极值. 解 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘ ↗↘由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且为f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2.7.已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m ＞0)有极大值－52，求m 的值. 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52， ∴m ＝1.8.设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值.解 (1)因为f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1.故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得 a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去).当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，1)上为减函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数，故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.能 力 提 升9.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.(－∞，－2) C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)解析 f ′(x )＝3ax 2－6x . 根据选项判断，当取a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)， 则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＜0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )＞0， 注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝59＞0，则f (x )的大致图象如图1所示.图1不符合题意，排除A 、C.当取a ＝－43时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32时，f ′(x )＜0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0时，f ′(x )＞0； x ∈()0，＋∞时，f ′(x )＜0， 注意f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－54，则f (x )的大致图象如图2所示.图2不符合题意，排除D.故选B. 答案 B10.设函数f (x )＝3sin πx m .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A.(－∞，－6)∪(6，＋∞)B.(－∞，－4)∪(4，＋∞)C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )＝3sin πxm 的图象知，在x ＝x 0处，f (x 0)＝3，或f (x 0)＝－3，即[f (x 0)]2＝3，又πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k ∈Z )， ∴|x 0|≥|m |2，∴x 20＋[f (x 0)]2≥m 24＋3，∴m 24＋3<m 2，∴m 2>4，∴m >2或m <－2.故选C. 答案 C11.已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.(1)f (x )的极小值为________.(2)若函数y ＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围为________.解析 (1)由图象可知，f ′(2)＝0且f ′(x )在x ＝2两侧左负右正，所以f (x )极小值＝f (2)＝0.(2)f (x )极大值＝2，f (－1)＝f (5)＝1，所以当函数y ＝f (x )－a 有4个零点时，实数a 的取值范围是1≤a ＜2. 答案 (1)0 (2)[1，2)12.函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a ＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________.解析 因为f ′(x )＝3x 2－3a 2(a ＞0)， 所以f ′(x )＞0时得：x ＞a 或x ＜－a ，f ′(x )＜0时，得－a ＜x ＜a .所以当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值，由题意得：⎩⎨⎧a 3－3a 3＋a ＜0，－a 3＋3a 3＋a ＞0，a ＞0，解得a ＞22.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞13.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点.由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. 探 究 创 新14.已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围.解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ， 由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立， 即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0，所以a ＝b . 又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x －3x ，那么 f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数.(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c ， 而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4， 当x ＝0时等号成立. 下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0， 此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根 t 1，2＝c ±c 2－164>0， 即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0， 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值.综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞).。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．下列结论中，正确的是( )．导数为零的点一定是极值点．如果在点附近的左侧′()>，右侧′()<，那么()是极大值．如果在点附近的左侧′()>，右侧′()<，那么()是极小值．如果在点附近的左侧′()<，右侧′()>，那么()是极大值【解析】根据极值的概念，左侧′()>，单调递增；右侧′()<，单调递减，()为极大值．【答案】．设函数()＝＋，则( )．＝为()的极大值点．＝为()的极小值点．＝为()的极大值点．＝为()的极小值点【解析】′()＝－，令′()＝，即－＝，得＝，当∈()时，′()<，当∈(，＋∞)时，′()>.因此＝为()的极小值点，故选.【答案】．(·烟台高二检测)已知函数()＝－(－) (∈*)存在极值，则的取值集合是( )．{，…} ．{，…}．{，…} ．*【解析】∵′()＝－且∈(，＋∞)，令′()＝，得＝(－)，(*)要使()存在极值，则方程(*)在(，＋∞)上有解．∴(－)>，又∈*，∴＝，…，所以的取值集合是{，…}．【答案】．设函数()＝－ (>)，则＝()( )．在区间，(，)内均有零点．在区间，(，)内均无零点．在区间内有零点，在区间(，)内无零点．在区间内无零点，在区间(，)内有零点【解析】′()＝－＝，令′()＝，得＝，当<<时，′()<，所以函数()在区间()上为减函数．又()＝>，()＝－<，＝＋>，所以＝()在区间内无零点，在区间(，)内有零点．【答案】．函数()＝－＋在()内有且只有一个极小值，则( )．<< ．<．> ．<【解析】′()＝－，要使()在()内有极小值，则(\\(′((＜，′((＞，))即(\\(－＜，－＞，))解得<<.【答案】二、填空题．函数()＝－＋在＝处取得极小值. 【导学号：】【解析】由()＝－＋，得′()＝－＝(－)．当∈()时，′()<，()为减函数；当∈(－∞，)和(，＋∞)时，′()>，()为增函数．故当＝时，函数()取得极小值．【答案】．已知函数()＝( －)有两个极值点，则实数的取值范围是 .【解析】由题知，＞，′()＝＋－，由于函数()有两个极值点，则′()＝有两个不等的正根，即函数＝＋与＝的图象有两个不同的交点(＞)，则＞；设函数＝＋上任一点(＋)处的切线为，则＝′＝，当过坐标原点时，＝)⇒＝，令＝⇒＝，结合图象(略)知＜＜.【答案】。

阶段质量检测(一) 导数及其应用班级：姓名：得分：(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下列各式正确的是( )．()′＝(为常数)．()′＝．()′＝．(－)′＝－－．下列函数中，在(，＋∞)内为增函数的是( )．＝．＝．＝－．＝－．若曲线＝的一条切线与直线＋－＝垂直，则切线的方程为( )．＋＋＝．＋－＝．－＋＝．－－＝．若函数()＝－′()·－，则′()的值为( )．．．．－．对任意的∈，函数()＝＋＋不存在极值点的充要条件是( )．≤≤．＝或＝．<或>．＝或＝．已知对任意实数，有(－)＝－()，(－)＝()．且>时，′()>，′()>，则<时( )．′()>，′()>．′()>，′()<．′()<，′()>．′()<，′()<.设函数()在上可导，其导函数为′()，且函数＝(－)′()的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )．函数()有极大值()和极小值()．函数()有极大值(－)和极小值()．函数()有极大值()和极小值(－)．函数()有极大值(－)和极小值()．设()＝(\\(，∈[，]，,()，∈(，]，))则()等于( ).已知函数()＝－＋＋(，∈)的图象如图所示，它与轴相切于原点，且轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则的值为( )．－．．．－．若函数()＝－在其定义域的一个子区间(－，＋)内不是单调函数，则实数的取值范围是( )二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．(江西高考)若曲线＝α＋(α∈)在点()处的切线经过坐标原点，则α＝.．函数()＝－的单调递增区间为．．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度()＝－(的单位：，的单位：)，则列车刹车后至停车时的位移为．．函数()＝－＋(>)的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为．三、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)．(本小题满分分)已知函数()＝＋＋的极值点为和.()求实数，的值；()求函数()在区间(]上的最大值．．(本小题满分分)若函数()＝＋－在＝处取得极值．()求的值；()求函数()单调区间及极值．。

阶段质量检测(一) 导数及其应用 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为________． 2．曲线y ＝x 3－4x 在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x ＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．4．y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 5．函数y ＝sin xx的导数为________．6．若⎠⎛01(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________． 7．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是________． 8．函数f (x )＝3x －4x 3在[0,1]上的最大值为________．9．(山东高考改编)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为________．10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3(x ≥0)，－x (x <0)，则1－⎰1f (x )d x ＝________.11．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.12．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．13．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________． 14．已知f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)＞(x －1)·f (x 2－1)的解集是________________________________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．16．(本小题满分14分)求下列定积分． (1)12－⎰(1－t 3)d t ； (2)1－π⎰(cos x ＋e x )d x ； (3)12⎰x 3－3x 2＋5x 2d x .17．(本小题满分14分)已知x ＝1是函数f (x )＝13ax 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋5的一个极值点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e ≈2.71，a ∈R )． (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围．19．(本题满分16分)某公司将进货单价为a 元(a 为常数，3≤a ≤6)一件的商品按x 元(7≤x ≤10)一件销售，一个月的销售量为(12－x )2万件．(1)求该公司经销此种商品一个月的利润L (x )(万元)与每件商品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时，L (x )取得最大值？并求L (x )的最大值．20．(本小题满分14分)(山东高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若 a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点 (1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．答 案1．解析：∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝1. 答案：12．解析：∵y ′＝3x 2－4，∴当x ＝1时，y ′＝－1，即tan α＝－1.又∵α∈(0，π)，∴α＝34π.答案：34π3．解析：由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3，3]． 答案：[－3，3]4．解析：y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令y ′＝0，则x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝a ，当x ＝1时，y ＝a －1.由题意知a ＝6.答案：65．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝x ·(sin x )′－(x )′·sin x x 2＝x cos x －sin x x 2.答案：x cos x －sin xx 26．解析：⎠⎛01(x －k )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－kx 10＝12－k ＝32，解得k ＝－1. 答案：－17．解析：∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x.令f ′(x )<0，因为x ∈(0，＋∞)，∴2x 2－1<0，即0<x <22，∴函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 8．解析：f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1.∴f (x )在[0,1]上的最大值为1. 答案：19．解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 42＝4.答案：410．解析：因为⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋3)d x .因为⎝⎛⎭⎫－12x 2′＝－x ，⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x ′＝x 2＋3，所以⎠⎛-11f (x )d x ＝－12x 201-＋⎝⎛⎭⎫13x 3＋3x 10＝236. 答案：23611．解析：由于y ′| x ＝1＝n ＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y＝0，得x ＝x n ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1，∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×99100＝lg 1100＝－2. 答案：－212．解析：∵f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，x >0，∴当0<x <12时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x >12时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，依题意得⎩⎨⎧0≤k －1<12，12<k ＋1，k －1<k ＋1.∴1≤k <32.答案：⎣⎡⎭⎫1，32 13．解析：设矩形一边长为x cm ，则邻边长为(10－x )cm ；体积V ＝πx 2(10－x )＝π(10x 2－x 3)，由V ′＝π(20x －3x 2)＝0得x ＝0(舍去)，x ＝203可以判断x ＝203时，V max ＝4 00027π(cm 3)．答案：4 00027π cm 314．解析：令g (x )＝x ·f (x ) 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＜0.∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数．又∵f (x ＋1)＞(x －1)f (x 2－1)，∴(x ＋1)f (x ＋1)＞(x 2－1)f (x 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x 2－1＞0，x ＋1＜x 2－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜－1或x ＞1，x ＜－1或x ＞2.∴x ＞2.答案：{x |x ＞2}15．解：(1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1，f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝52.所以f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 16．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3，∴⎠⎛-21(1－t 3)d t ＝⎝⎛⎭⎫t －14t 412-＝⎝⎛⎭⎫1－14－(－2－4)＝274.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴⎠⎛-π0(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )0-π＝1－e －π＝1－1eπ.(3)⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －3＋5x 2d x 取F (x )＝12x 2－3x －5x ，则F ′(x )＝x －3＋5x2， ⎠⎛24x 3－3x 2＋5x 2d x ＝F (4)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫12×42－3×4－54－⎝⎛⎭⎫12×22－3×2－52＝54. 17．解：(1)依题意f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由f ′(1)＝0得a ＝1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(2)曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个交点，即13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝0有三个实数根，令g (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5－2x －m ＝13x 3－32x 2＋5－m ，则g (x )有三个零点．由g ′(x )＝x 2－3x ＝0得x ＝0或x ＝3.令g ′(x )>0得x <0或x >3；令g ′(x )<0得0<x <3.∴函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数． ∴函数在x ＝0处取得极大值，在x ＝3处取得极小值．要使g (x )有三个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (3)<0，解得12<m <5. ∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，5.18．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x＋1＝0.由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点．(2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0得a ＝x ＋2x ＋ln x ．令h (x )＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2)x 2.当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，由h ′(x )＝0得x ＝1.所以h (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，故h min (x )＝h (1)＝3.由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋2e －1，h (e)＝e ＋2e＋1，比较可知h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以，当3＜a ≤e ＋2e＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．19．解：(1)L (x )＝(x －a )(12－x )2(7≤x ≤10)．(2)L ′(x )＝(12－x )2＋(x －a )(2x －24)＝(12－x )(12＋2a －3x )．令L ′(x )＝0得x ＝2a ＋123或x ＝12.由a ∈[3,6]得2a ＋123∈[6,8]．当2a ＋123∈[6,7]，即3≤a ≤92时，L (x )在[7,10]上是减函数，L (x )的最大值为L (7)＝25(7－a )；当2a ＋123∈(7,8]，即92<a ≤6时，L (x )在⎝⎛⎭⎪⎫7，2a ＋123上是增函数，在[2a ＋123，10]上是减函数．L (x )的最大值为L ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋123＝4(12－a )327综上可知，若3≤a ≤92，则当x ＝7时，L (x )取得最大值，最大值是25(7－a )；若92<a ≤6，则当x ＝2a ＋123时，L (x )取得最大值，最大值是4(12－a )327. 20．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2(x ＋1)2.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0， 所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a.由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。