六年级奥数学练习试卷思维培训资料 计数的方法与原理

六年级下册数学试题-奥数思维训练：-3：巧算的方法（含答案）全国通用巧算的方法同学们，能够在看似无序的算式中寻找到一定的规律，化繁为简，那么一定能够增强你学习数学的信心、兴趣和能力。

智慧姐姐例题精选⑴9＋99＋999⑵84＋83＋78＋79＋80＋77【思路点睛】⑴方法一：把9、99、999分别看作10、100、1000进行相加。

因为每个加数都多加了1，所以要再从它们的和中减去3。

9＋99＋999＝10＋100＋1000－3＝1110－3＝1107方法二：从9中分出1加给99，再分出1加给999。

9＋99＋999＝7＋100＋1000＝1107⑵观察这6个的数大小，你会发现这些数的大小相差不大，都接近80，我们可以先把这几个数都看作是80，先求6个80的和，然后再将原来的数逐一和80相比，比80大几的，就再加几，比80小几的就再减几。

这种巧算的方法就叫“找基准数”。

84＋83＋78＋79＋80＋77＝80×6＋（4＋3－2－1－3）＝480＋1＝481思维体操1．399＋298＋197＋962．199＋1999＋199993．31＋28＋29＋30＋32＋334．68＋71＋72＋70＋69＋68＋71例题精选⑴355＋82－123＋645－182－77 ⑵578＋（122－46）－（198＋54）【思路点睛】⑴“355”与“＋645”，合起来凑整；“＋82”与“－182”加减抵消，减数大，抵消之后仍然减；“－123”与“－77”，合成“－200”。

355＋82－123＋645－182－77＝1000－100－200＝700⑵在计算有括号的运算时，先算括号里的，但有时可以先去掉括号，然后进行运算会更加简便。

去括号时，如果括号前面是加号，可直接去掉括号，其它都不变；如果括号前面是减号，那么去括号后，原括号里面的运算符号要变号，加号变减号，减号变加号。

578＋（122－46）－（198＋54）＝578＋122－46－198－54＝700―100―198＝600－200＋2＝402思维体操1．735－326－2742．1409－579＋793．684－65＋26＋74－1354．1928－（267－72）－133例题精选⑴70÷25÷13×39÷4×30⑵666×222＋333×556【思路点睛】⑴在乘除法运算中，可以综合应用已学过的乘法运算定律，除法性质和一些计算技巧，使计算正确而又快捷。

奥数的计数原理练习关于奥数的计数原理练习奥数是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读奥数计数原理：容斥原理练习7,感受奥数的奇异世界!1、在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个?2、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。

问三项都报的有多少人?3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的`有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没有得满分者3人。

问这个班最多多少人?最少多少人?5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?6、分母是1001的最简真分数共有多少人?7、李老师出了两道数学题，全班40人中，第一有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。

(1)第2题对第1题不对有几个人?(2)两题都不对的有几人?8、每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框，把五个这样的方框放在桌面上，成为如的图案。

问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?9、一次数学竞赛都是填空题，小明答错的恰是题目总数的14，小亮答错5题，两人都答错的题目的总数的16，已知小明，小亮都答对题目超过了试题总数的一半，则他们都答对了多少道题?10、在1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个?。

2014年六年级数学思维训练：计数综合四一、兴趣篇1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）二．拓展篇11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？三．超越篇23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？26．有8个队参加比赛，采用如图的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？27．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？28．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，…，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：（1）如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？（2）如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？29．（1）将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？（2）8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）2014年六年级数学思维训练：计数综合四参考答案与试题解析一、兴趣篇1．在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【分析】数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法，观察图形可知，每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．而且，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．据此即可解答．【解答】解：观察图形可知：在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，所以不同的取法共有49×4=196（种）．答：一共有196种不同的取法．2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？【分析】4个鸡蛋和4个鸭蛋8天吃完，相当于8个位置，拿出4个鸡蛋或4个鸭蛋占据4个位置，根据组合公式共有==70种吃法．【解答】解：==70（种）答：共有70种吃法．3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？【分析】七局四胜，可以分常昊胜或古力胜，根据组合公式有2×=2×=70种不同的方式．【解答】解：2×=2×=2×35=70（种）答：比赛过程一共有70种不同的方式．4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？【分析】利用插板法可知：10个橘子排成一行有9个间隔，从当中选出2个间隔各插入一个板子，将10个橘子分成了3份，保证两个板子中至少有一个橘子，即每份中至少有一个橘子，一共==36种分法．【解答】解：==36（种）答：一共36种分法．5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？【分析】8集可以分1天、2天、3天、4天播出，且电视剧播放顺序不能改变，采用插板法：+×+×+=165种安排播出的方法．【解答】解：+×+×+=4+×7+4×+=4+42+84+35=165（种）答：共有165种安排播出的方法．6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？【分析】三种选项的统计数字的可能性就是将40分成3个数字的和，可以为0，所以我们可以用插板法，先加3个人，共43个人、42个间隔，插2个板进去分成3组，分完后再每组减1个人就剩下40个人了，而且满足有0的情况，所以共有==861种．【解答】解：有==861（种）答：三个选项的统计数字共有861种不同的可能．7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？【分析】根据插空法可知：将这7盏灯，插到剩下的11盏灯里．有12个位置．所以熄灯方案有==792种．【解答】解：==792（种）答：一共有792种熄灯方案．8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？【分析】利用插板法：9看成并排的9个苹果，求三位数可以看成三天来吃，每天至少吃一个．四位数也是如此．由此解决问题．【解答】解：9看作9个苹果，中间插入2个挡板，分为3部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上2个间隔，共有==28（个）中间插入3个挡板，分为4部分，每一部分最少为1，相当于8个空位放上3个间隔，共有==56（个）答：三位数共有28个，四位数共有56个．9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？【分析】利用数字1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．得出所有的方法去掉反序数与数位上数字相同的得出答案案即可．【解答】解：用1，2，3三个数分别代表三种颜色，它们组成的一个五位数代表一种涂法．每一位数都可能有三种取法，即1，2，3．因为相邻两节不能同色，所以当前一节确定之后，后一节只有两种颜色可以使用，因此，可能有3×2×2×2×2=48个不同的染色方法．由于棒的规格相同，均匀，又都是等分为五节．因此，将一个涂过色的棒倒转180°来看，它可能与另一个棒的涂色完全一样，这两个棒只能是同一种着色．这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法．所以上面的结果中有一半是重复的，则可以得到48÷2=24种不同的圆棒．10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）【分析】由于是正四面体，旋转后是一样的染色情况算是同一种方式，所以先从5种颜色中选4种，有5种选法，然后将四种不同颜色编号：1、2、3、4；将其中编号最小的做底面，上面三个面按编号从小到大排列2→3→4只有顺时针和逆时针两种情况，所以有两种结果，然后用5乘2即可得出结论．【解答】解：×2=5×2=10（种）答：共有10种不同的染色方式．二．拓展篇11．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？【分析】先讨论8×8中可以排多少个三个格子的直排：1、8×8再次简化为单列为8格的方格组合：①由如为3格的单列三个格子可以排成1个；②4格可以排成2个；…可以推出单列8格应该可以排出6个不重复的三个格子的直排；2、8×8的格阵中那么应该可以排成6×8×2=96（单算行共有8行×8，行列相等×2）个三个格子的直排，再讨论可以排成多少个L：①一般的三个格子直排加上一个格子组成L可以有四种（先是加到第一个，而左右不同，再加到第三个格子的左右），那么L就应该有96×4=384个；②第一步总体讨论了左右，而最靠边的行与列则不满足左右均有，故要减去4×6×2=48（边框共有四，乘以单行三个格子组合数，再乘以左边或右边可以组合的2个）；③384﹣48=336个；所以应该有336个．【解答】解：6×8×2×4﹣4×6×2=384﹣48=336（个）答：一共可以数出336个由4个单位小正方形组成的“L”型．12．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？【分析】由题意可知：只需保证同一列的靶子顺序为从下到上即可，一共7个靶子，第一列三个靶子共种顺序，第二列和第三列依次有和种，由此由乘法原理得共××种顺序．【解答】解：××=35×6=210（种）答：击碎全部7个靶子共有210种不同的顺序．13．（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？【分析】（1）青蛙必然是两步左，两步右，因此只要把两个“左”和两个“右”排成一列，每一种排法就对应着青蛙的一种跳法，有=6（种）；（2）分为两类：第一类，上下左右各一步，相当于把“上”“下”“左”“右”排成一列，有=24（种）；第二类，上下各两步或左右各两步，类似（1），有×2=12（种），所以共24+12=36（种）．【解答】解：（1）=6（种）答：这只青蛙共有6种可能的跳法．（2）+×2=24+12=36（种）答：这只青蛙共有36种可能的跳法．14．如图1，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出7个三角形；如图2，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？【分析】以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2），其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2），依此即可确定三角形的个数．【解答】解：一条直线上有3个点时，就有2+1=3条线段，分别对应3个三角形，另一条直线也是如此，也有3个三角形．以边上的线段为底的三角形共有2C（N，2）．其次讨论内部的三角形，依然按线段来确定三角形，按增量分析，有C（2，2）+C（3，2）+C（4，2）+…+C（N﹣1，2）当n=10时，90+1+3+6+10+15+21+28+36=210（个）．答：从图中最多可以数出210个三角形．15．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？【分析】（1）每个小朋友至少分得3个苹果，先每个小朋友都分得3个苹果，满足要求；那么还剩（20﹣3=17）个苹果，这17个苹果重新分配，每个小朋友可能再分得0至17个苹果，当其中两个人再分的个数确定，第三个人再分的个数随之确定；当第一个小朋友分得0个，第二个小朋友可分得0～17个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有18种分法；当第一个小朋友分得1个，第二个小朋友可分得0～16个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有17种分法；当第一个小朋友分得2个，第二个小朋友可分得0～15个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有16种分法；…当第一个小朋友分得17个，第二个小朋友可分得0个（第三个小朋友再分的个数随之确定），有1种分法；共有：18+17+16+…+1=171（种）．（2）如果可以有小朋友没有分到苹果，分为两种情况：一个小朋友没有分到苹果，共有21种分法，2个小朋友没有分到苹果，共有1种分法，由此求得共有20+1=21种分法．【解答】解：18+17+16+…+1=171（种）20+1=21（种）答：每个小朋友至少分1个，共有171种分苹果的方法；如果可以有小朋友没有分到苹果，共有21种分法．16．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？【分析】每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．【解答】解：29=512（块）；答：一共有512种不同的吃法．17．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？【分析】因为表决结果是拒绝缴纳，所以赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，…当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395种可能的三种票数的统计情况．【解答】解：赞同票最多217票，反对票和弃权票的和最少为218票：当赞同票217票，反对票和弃权票的和为218票时，共有219种可能的三种票数的统计情况，当赞同票216票，反对票和弃权票的和为219票时，共有220种可能的三种票数的统计情况，当赞同票215票，反对票和弃权票的和为220票时，共有221种可能的三种票数的统计情况，…当赞同票0票，反对票和弃权票的和为435票时，共有436种可能的三种票数的统计情况，由此共有219+220+221+…+435+436=（436+219）×218÷2=71395（种）答：共有71395种可能的三种票数的统计情况．18．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？【分析】不相邻的问题，采用插空法，先排除学生甲、乙、丙三人的另外7个人形成8个空，然后插入甲、乙、丙三人，问题得以解决．【解答】解：7个“不选”排成一列，8个空中插入3个“选”，共有==56（种）答：有56种不同的选法．19．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？【分析】考虑两种方法：①逐一分析四盘都一样、三盘一样、两盘一样另两盘也一样、两盘一样另两盘不一样、没有两盘一样的，出现的选菜方案合并；②利用插空法解决：相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．【解答】解：方法一：四盘都一样：10，三盘一样：10×9=90，两盘一样另两盘也一样，10×9÷2=45，两盘一样另两盘不一样，10×（9×8÷2）=360，没有两盘一样的，=210，最后的答案就是10+90+45+360+210=715（种）．方法二：让盘子来“选”菜，将盘子放在菜的旁边，一种菜的旁边放几个盘子就表示这道菜被选了几次，相当于将4个相同的小球放入10个不同的盒子里，允许有空盒，插板法，有=715种．答：共有715种选菜方案．20．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？【分析】也有三种，（1）先看7个苹果与3个隔板的放法．每两个隔板之间至少有两个苹果．那就去掉4个苹果，相当于有两个苹果粘在后面两个隔板上，这样还剩了3个苹果．三个板子可以分类：3，2+1，1+1+1；共有20种，所以站成一排共有20××种方法；（2）10个位置，进行编号，左右对称，各有4个，正上正下各有一个，正上方为1，按顺时针编号．题目中没有说旋转后相同为同一种．所以不用旋转，是固定的．男生当成黑棋子，女生当成白棋子，这样看有多少种符合的方法．黑棋子可以有1，4，7；1，4，8；1，5，8三个位置；所以共有×种．【解答】解：（1）20××=20×3×2×1×7×6×5×4×3×2×1=604800（种）答：3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有604800种排列方法；（2）×=3×2×1×7×6×5×4×3×2×1=30240（种）答：如果站成一圈共有30240种排列方法．21．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）【分析】体积=长×宽×高=1998，且长宽高为整数，可对2310分解质因数：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．【解答】解：2310=2×3×5×7×11，根据质因数的个数分为（1，1，3）和（2，2，1）两种情况，第①种情况有4+3+2+1=10种情况，第②种有15种，总共有25种情况．答：这样的长方体有25个．22．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？【分析】首先分类用3种颜色和用4种颜色，用三种颜色先分步：4种颜色中选3种有4种结果，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种；当使用四种颜色，6个面4个颜色，相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色，换成剩下的那个颜色，最后相加相乘得到结果．【解答】解：首先涂法可分两类：用3种颜色和用4种颜色；用三种颜色先分步：4种颜色中选3种N=4，每相对的2个面颜色相同，先涂1个面3种情况，涂对面1种情况，涂邻面2种情况涂邻面的对面，涂剩下的2个面1种，此步情况数N=4×3×2=24（种）当使用四种颜色，6个面4个颜色：相当于用3种颜色涂完之后把其中一面颜色换成剩下的那个颜色有24×3=72（种）所以，总情况数24+72=96（种）答：共有96种不同的染色方法．三．超越篇23．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？【分析】当3个红球都不相邻时，7÷3=2…余1；所以最少间隔2+1=3个白球；因此按两个红球间隔白球的数量分：最多间隔3、4、5、6、7个；分类讨论即可得出答案．【解答】解：按两个红球间隔白球的数量分类用黑点代表红球，空心点代表白球，最多间隔3个白球的有2种不同规格：最多间隔4个白球的有4种不同规格：类似地，最多间隔5个白球的有3种不同的规格，最多间隔6个白球的有2种不同规格．最多间隔7个白球的有1种规格．所以，共有不同规格：2+4+3+2+1=12（种）；答：这类玩具一共可以有12种不同的规格．24．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？【分析】它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；然后分类讨论，求出可以进行5次操作的六位数有多少个即可．【解答】解：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；A1：6﹣﹣﹣﹣5时，（仅举四种情况之一）因为第二次交换的是第五位，所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一个，因此原数有6﹣﹣﹣45，6﹣﹣﹣35，6﹣﹣﹣25三种情况；A11：6﹣﹣﹣45时，（仅举三种情况之一）因为第三次交换第四位，所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一个，因此有：6﹣﹣345；6﹣﹣245二种情况；A111：6﹣﹣345时，（仅举两种情况之一）因为第四次交换第三位，所以第三位不能是1，只能是2，因此有：6﹣2345一种情况；第二位只能是1：即612345，第五次交换第二位，结果是162345；综上，以6开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有：4×3×2×1=24（个），而开头的数字可以是2、3、4、5、6这五个数字之一，故可以进行5次操作的六位数共有：5×4×3×2×1=120（个）．答：可以进行5次操作的六位数有120个．25．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？【分析】利用插空法分析：圆圈代表蓝色，三角代表黄色，菱形代表红色．先放好大圆圈，之后再放置三角，最后放菱形，○△◇．进一步分情况探讨即可．。

名校真题 测试卷12 （方程篇）时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （06年清华附中考题）10名同学参加数学竞赛，前4名同学平均得分150分，后6名同学平均得分比10人的平均分少20分，这10名同学的平均分是________分.2 （06年西城实验考题）某文具店用16000元购进4种练习本共6400本。

每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1．4元。

如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那麽丁种练习本共买了_________本。

3 （02年人大附中考题）某商店想进饼干和巧克力共444千克，后又调整了进货量，使饼干增加了20千克，巧克力减少5%，结果总数增加了7千克。

那么实际进饼干多少千克？4 （03年北大附中考题） 六年级某班学生中有161的学生年龄为13岁，有43的学生年龄为12岁，其余学生年龄为11岁，这个班学生的平均年龄是_________岁。

5 (06年西城外国语考题)某个五位数加上20万并且3倍以后，其结果正好与该五位数的右端增加一个数字2的得数相等，这个五位数是__________。

【解】：设这个五位数为x ，则由条件(x+200000)×3＝10x+2，解得x ＝85714。

6 （06年北京二中题）某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.5元，若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的32，【附答案】1 【解】：设10人的平均分为a 分，这样后6名同学的平均分为a-20分，所以列方程： [ 10a-6×（a-20）]÷4=150 解得：a=120。

2 【解】：设甲、丙数目各为a ，那么乙、丁数目为226400a-，所以列方程 4a+3×226400a -+2a+1．4×226400a-=16000 解得：a=1200。

年级六年级学科奥数版本通用版课程标题计数问题（二）几何图形计数问题还必须灵活地运用几何图形的有关基本概念和基本知识，根据几何图形的特征，合理分类，巧妙计算，就能达到正确、简便的目的。

用分类方法解答小学数学中某些智力性思考题或竞赛题时，能巧妙地找到正确答案，而小学生在运用这种方法时往往出现思路不清，层次不明，逻辑思维不严密等情况，计算时容易产生重复和遗漏的错误。

因此，用分类方法解题时必须注意几个问题。

（1）分类必须有明确的标准。

在解题前必须根据题目要求确定分类的标准，即根据什么来分类的原则。

（2）分类要注意层次。

比较复杂的题目可以先分成大类，然后再将每个大类分成若干小类，分层次进行。

（3）分类计数时应防止重复或遗漏。

分类时应注意要做到既不重复又不遗漏，这是使所得结果准确无误的保证。

合理的分类是解题的关键，而分类不重复又不遗漏是使所得结论准确的保证，同时也是检验分类是否正确的一种方法。

几种一般图形的计数方法：（1）数长方形长边上有多少条线段：4＋3＋2＋1＝10（条）。

宽边上有多少条线段：3＋2＋1＝6（条）。

长方形总数：10×6＝60（个）。

（2）数平行四边形方法与数长方形相同，总数为：（4＋3＋2＋1）×（3＋2＋1）＝60（个）。

（3）数正方形边长为1的正方形：7×4＝28（个）。

边长为2的正方形：6×3＝18（个）。

边长为3的正方形：5×2＝10（个）。

边长为4的正方形：4×1＝4（个）。

正方形的总数：28＋18＋10＋4＝60（个）。

例1 数一数下图中共有多少个长方形？分析与解：为了方便计数，我们将图中每个小长方形标上数字，以“块”分类、进行计数。

①②③④⑤⑥⑦由1块组成的长方形：7个。

由2块组成的长方形：[①②]、[②③]、[④⑤]、[⑤⑥]、[⑥⑦]、[②⑥]、[③⑦]，共7个。

由3块组成的长方形：[①②③]、[④⑤⑥]、[⑤⑥⑦]、[①④⑤]，共4个。

1.正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。

问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多少刀？2.甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。

问：一共有多少种可能的情况？3.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。

打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？4.一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。

例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。

问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？5.设有长度为1，2，…，9的线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不同的取法？这里规定当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。

6.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。

求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？7.在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？8.在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？9.10个三角形最多将平面分成几个部分？10.四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。

问：一共有多少种不同的方法？。

奥数专题练习之计数原理与方法练习1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。

问：一共有多少种不同的方法？2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。

问：一共有多少种可能的情况？3：经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。

打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？4 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。

例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。

问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？5设有长度为1，2，…，9的线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不同的取法？这里规定当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。

6.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。

求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？7。

有8个队参加比赛，如果采用下面的淘汰制，那么在赛前抽签时，实际上可以得到多少种不同的安排表？8.在8×8的方格棋盘中，取出一个由 3个小方格组成的“L”形（如图1），一共有多少种不同的方法？9.数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。

问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？10在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？11在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？12。

10个三角形最多将平面分成几个部分？13.正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。

六年级数学专题思维训练—计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有组，2、如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有种不同的走法．4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有种不同的可能．7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有条．9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）11、一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有种不同的放法．A. 15 B．18 C．20 D．2413、以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

六年级思维训练8 计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有组，2、如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有种不同的走法．4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有种不同的可能．7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有条．9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）11、一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有种不同的放法．A. 15 B．18 C．20 D．2413、以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

小学生六年级奥数(计数问题)题及答案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
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一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法?
【答案解析】
取1个苹果有1种方法，取2个苹果有2种方法，取3个苹果有4种取法，以后取任意个苹果的种数等于取到前三个苹果所有情况之和，以此类推，参照上题列表如下：
取完这堆苹果一共有81种方法.
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小学六年级奥数：“计数综合”解题技巧及例题详解内容概述将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案．与分数、几何等相关联的计数综合题．典型例题1．一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?【分析与解】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．2．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法?【分析与解】我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶．即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和．而倒数第l级台阶的走法等于倒数第2、3和4级台阶的走法和，……如果将1、2、3……级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每一项等于前3项的和．有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274种走法．3．一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?【分析与解】我们采用递推的方法．I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．共有12种连法．Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：①9个点都在同一段弧上：②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．共有12×3+3×6+1＝55种．所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种.4．现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮．用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干挡不同的车速．“希望牌”变速自行车主动轴上有3个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有4个齿轮，齿数分别是36，24，16，12．问：这种变速车一共有多少挡不同的车速?【分析与解】算出全部的传动比，并列成表：，2，3，将重复的传动比去这里有4对传动比是相同的：1，32掉，剩下8个不同的比，所以共有8挡不同的车速．5．分子小于6，分母小于60的不可约真分数有多少个?【分析与解】分子的取值范围是从1到5．当分子为1时，分母可从2到59，共有58个真分数，它们当然都是不可约分数．由于2，3，5都是质数，因此当分子分别为2，3，5时，分母必须而且只需适合下列两个条件：①分母大于分子且小于60．⑦分母不是分子的倍数．易知：当分子为2时，适合条件的分母有29个；当分子为3时，适合条件的分母有38个：当分子为5时，适合条件的分母有44个；最后来看分子为4的情形，与分子为2基本相同，分母不能为偶数，此外分母不能为3．所以共有28(=29—1)个．总之，符合要求的分数共有58+29+38+44+28＝197个．6．一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【分析与解】方法一：如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．方法二：我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．7．如图15—3，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成．现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法?【分析与解】因为每个路口(点)只能由西边相邻点、南边相邻点走过来，所以达到每个点的走法为西边相邻点、南边相邻点的走法之和，并且最南方一排、最西方一排的所有点均只有1种走法．因为C点不能通过，所以C处所标的数字为0．如下图所示：所以，从A到B满足条件的走法共有120种8．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有9封信打，经理按第1封，第2封，…，第9封的顺序交给秘书．午饭时，秘书告诉同事，已把第8封信打印好了，但未透露上午工作的其他情况，这个同事很想知道是按什么顺序来打印．根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能?(没有要打的信也是一种可能)【分析与解】我们根据最后一封信来计数：(1)第9封信在上午送给秘书；于是，T={1，2，3，4，5，6，7，9}则下午打印的每种可能都是T的一个子集，因为秘书可以把不在子集中的信件上午一送来就打完了，而未打别的信．集T有8个元素，故有28=256个不同子集(包括空集)．(2)第9封信在午后才送给秘书．令S＝{1，2，3，4，5，6，7}，则上午未打印的信的号码是S的一个子集．若将9排在子集之后，则与⑴中的情形相同，故只有子集中至少有一封信已把号码9放在该子集的非最后的位置上．对于有k个元素的子集，号码9有k个位置可放，即可放在第i一1个元素之后和i个元素之前，i=1，2，…，k．于是不同的顺序总数为：0×C07+1×C17+2×C27+…+7×C77=7×27÷2=7×26=448即下午有448种可能的打印顺序．所以，下午共有256+448=704种打印的方法．。

名校真题 测试卷10 （数论篇一）时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________1 （05年人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。

2 （05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是＿＿。

3 （05年首师附中考题）211+2121202+2121212113131313212121505 =＿＿。

4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A 、125B 、126C 、127D 、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab ，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。

3 【解】：周期性数字，每个数约分后为211+212+215+2113=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。

5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D 。

第十讲小升初专项训练数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。

由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。

数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。

加法、乘法原理一、分类计数原理（加法原理）1、完成一件事情，有n类方法，在第1类方法中有m1 种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……在第n类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事有N=m1+m2+……+m n 种不同的方法2、分类计数原理的特点：针对的是“分类”问题，各类方法是相互独立的。

二、分步计数原理（乘法原理）1、完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有有m2种不同的方法，……做第n步有m n 种不同的方法，则完成这件事有N=m1×m2×……×m n 种不同的方法2、分不计数原理的特点：针对的是“分步”问题，各类方法是相互依存的。

类型一、分类加法计数原理例1、小红、小丽和小敏三个人到世纪公园游玩拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的拍照方法？举一反三：1、4个好朋友在旅游景点拍照留念（不考虑站的顺序），共有多少种不同的照法？2、用0,2,3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少不同的三位数？例2、书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，从中任选一本阅读，不同的选法有（）A．22种B．350种C．32种D．20种举一反三：从北京到天津的列车中途要经过4个站，这列列车从北京到天津共要准备多少种不同的车票？例3、在4×4的方格图中（如右图），共有多少个正方形？举一反三：在5×5的方格图中，共有多少个长方形？例4、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？举一反三：从1，3，5，7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数？其中有多少个真分数？例5、用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数？举一反三：用1，2，3，4这四个数字可以组成多少个不同的三位数？？类型二、分步乘法计数原理例6、设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？举一反三：体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）A．12 种B．7种C．24种D．49种例7、用五种不同的颜色给下图的五个区域图色，每个区域图一种颜色，相邻的区域图不同的颜色。

一、 根据下面的句子，划出单位“1”的数量，再写出对应的关系。

最后写出等量关系。

如：橘子的筐数比苹果的筐数多51 苹果筐数----------1橘子比苹果多的筐数----------51 苹果筐数×51=橘子比苹果多的筐数 橘子的筐数--------------（1+51） 苹果的筐数×（1+51）=橘子的筐数 1、、一袋大米，吃了31。

（ ）---------1 （ ）----------31（ ）× =（ ） 剩下的------------------------（ ） 2、今年的产量比去年多101。

（ ）------------1 （ ）-----------101今年的产量----------（ ） 3、实际费用比原计划降低了52 （ ）----------1 （ ）----------52实际费用-------------（ ） 4、降价101 （ ）--------------1 （ ）-----------101（ ）------------（ ） 5、赚了25% （ ）------------1（ ） ----------25% （现价）--------（ ） 6、赔了20%（ ）-----------1（ ）---------------20% （现价）----------------（ ）二、先填空，再列式或方程（未知数为x ），不计算1、 一桶水，第一次用去20%，还剩16千克，这桶水原有多少千克？ （ ）--------1（ ）--------20% 16千克--------------（ ）列式或方程 2、一桶水，第一次用去20%，正好用去4千克，这桶水原有多少千克？ （ ）--------1（ ）--------20% （ ）-------------（ 80% ） 列式或方程 4、一条2000米的水渠，第一次挖了全长的20%，第二次又挖了全长的20%，二次共挖了多少米？第一天比第二天多挖几米？ （ ）------1（ ）-------20% （ ）--------10% （两天共挖的米数）-----（ ） （ ）------（20%-10%） 问题一问题二 5、明明看一本故事书，第一天看了全书的15%，正好是54页，第二天看了全书的61，第二天看了多少页？（ ）--------1（ ）-------15% （ ）-----61式或方程 6、一本书，小芳已经看的页数与未看的比 是2：3，如果再看27页，正好占这本书 书的一半，这本书共有多少页？ （ ）----------1先前已看页数---------------（ ） 先前未看页数 ---------------（ ） 后来已看页数------------（ ）27页-------------------------（ ）抓不变量解答分数应用题例1、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡,后来又买回若干只公鸡后，母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？例2、六（一）班上学期男生与女生人数比是13﹕12，这学期又转来2名女生，使女生正好占全班人数的。

年级六年级学科奥数版本通用版课程标题计数问题（一）在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数。

它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果。

图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧。

实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法——枚举法。

具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和。

正确地解答较复杂的图形计数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。

几种一般图形的计数方法：数线段A B C D E F基本线段：AB、BC、CD、DE、EF，共5条。

线段的总数：除了5条基本线段外，由2条基本线段组成的线段有4条，由3条基本线段组成的线段有3条，由4条基本线段组成的线段有2条，由5条基本线段组成的线段有1条。

所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15（条）。

（1）数角基本角：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE，共4个。

角的总数：4＋3＋2＋1＝10（个）。

（3）数三角形BC边上有多少条线段，图中就有多少个三角形。

因此可将数三角形问题转化为数线段问题。

顶点A处有多少个角，图中就有多少个三角形，因此也可将数三角形问题转化为数角问题。

三角形的总数：4＋3＋2＋1＝10（个）。

例1数一数下图中共有多少条线段？共有多少个三角形？分析与解：①要数有多少条线段，先看线段AB、AD、AE、AF、AC上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段。

所以图中共有线段：（3＋2＋1）×5＋（4＋3＋2＋1）×3＝30＋30＝60（条）。

②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成的基本小三角形有4个。

所以在△AGH中共有三角形4＋3＋2＋1＝10（个）。

六年级数学思维训练：计数方法知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解决问题知识梳理 排列最简单的计数问题，只需一一列举就可以；复杂的计数问题则需要借助排列与组合的相关知识予以解决．一般地，从n 个不同的元素中，任取m(m ≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个排列．我们主要来研究满足某种条件的排列的个数．相同的排列应满足：它们所含的元素均相同； 它们的顺序也一样．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列的个数称为从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作：m n A (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素排成一排，有多少种排法，是从n 个元素中取出m 个元素的排列数．这个问题可以看成有m 个位置，从n 个元素中取m 个元素放到m 个位置中，可分m 个步骤： 第①步：第1个位置有n 种选择； 第②步：第2个位置有n-1种选择； 第③步：第3个位置有n-2种选择； ……第m 步：第m 个位置有n-m+1种选择．由乘法原理：m n A = n ×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)．——乘积中共有m 项 特别地，当m=n 时，()1...21m n n n A A n n ==⨯-⨯⨯叫做n 个元素的全排列数． 1×2×3×…×n 称为n 的阶乘，记作n!因此()!!m n n A n m =- (m ≤n)．排列数乘积形式的公式：m n A =n ×(n- 1)×(n- 2)×…×(n-m+1)． 排列数阶乘形式的公式：()!!m n n A n m =- (m ≤n)． 组合有时我们只需从若干元素中取出一些就可以了，这种问题称为组合问题，组合问题与排列问题的区别就是：组合问题是将元素取出即可，不需排序，而排列问题是取出后要进行排序．一般地，从n 个不同元素中任取m(m ≤n)个不同的元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出，n 个元素的组合．从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的组合总数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作m n C (m ≤n)．从n 个元素中取出m 个元素的排列问题可以看成分两步完成：第①步：从n 个元素中取出m 个元素，这时有多少种取法?实际上就是从n 个元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第②步：对取出的m 个元素进行排列，排法数就是m m A ． 由乘法原理可知：mmmn n mA C A =⨯，因此，mmn nm mA C A =． 将排列数公式代人得：()()().1...1.1...3.2.1m n n n n m C m m --+=-或 ()!!!m n n C n m m =-常用的计数方法有：分类枚举、插板、整体、递推、排除、概率等等。

小学六年级奥数思维训练抽屉原理（一）
一、尝试练习
1、某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？
2、班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
二、训练营地
1、在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？
2、幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？
3、木箱里装有红色球6个、黄色球7个、蓝色球8个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
4、把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。

为什么？。

第九讲操作与计数技巧教学目标操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性,非常受出题和供题者青睐,如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化,因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。

鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式,本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例,引导学生发现关键并解决问题。

1.常见操作类问题2.计数技巧与操作经典精讲常见操作类题目【例1】（2006年《小学生数学报》读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折,再左右对折（如右图）,然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。

问能把餐巾纸：⑴剪成2块吗？⑵剪成3块吗？⑶剪成4块吗？⑷剪成5块吗？如果你认为能剪成,请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能,那么只需回答“不行”即可。

【分析】⑴剪开成两块,如下图：⑵剪开成3块,如下图：⑶剪开成4块,如下图：⑷剪开成5块,如下图：【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次(图中的虚线是三边中点的连线),然后沿两边中点的连线剪去一角。

将剩下的纸片展开、铺平,得到的图形是( )．【分析】折迭3次,纸片的厚度为4,所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积,所以答案是A。

【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6,4,5,3个球。

第1个小朋友找到放球最少的盒子,从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子,从其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去,……。

求当34位小朋友放完后,B盒子中放有球多少个？【分析】盒子A B C D初始状态 6 4 5 3第1人放过后 5 3 4 6第2人放过后 4 6 3 5第3人放过后 3 5 6 4第4人放过后 6 4 5 3第5人放过后 5 3 4 6由此可知：每经过4人,四个盒子中球的情况重复出现一次,因为34482÷=,所以第34次后的情况与第2次后的情况相同,即B盒子中有球6个。