培优点十五 平行垂直关系的证明例1：如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，下列结论中正确的是________．(把正确 结论的序号都填上)①PD CD ⊥； ②BD ⊥平面PAO ； ③PB CB ⊥； ④BC ∥平面PAD ． 【答案】①③④【解析】对于①，因为CD AD ⊥，CD PA ⊥，AD PA A =，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，则①正确；对于②，BD PA ⊥，当BD AO ⊥时，BD ⊥平面PAO ，但BD 与AO 不一定垂直，故②不正确； 对于③，因为CB AB ⊥，CB PA ⊥，ABPA A =，所以CB ⊥平面PAB ，所以CB PB ⊥，则③正确；对于④，因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ，则④正确． 故填①③④．一、直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定例2：如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，1AP AB==，F、E分别是PB、PC中点．（1）证明：PB ED⊥；（2）求平面ADEF与平面PCD所成锐二面角的值．【答案】（1）证明见解析；（2）60︒．【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA AD⊥，又AD AB⊥，AB，PA为平面PAB上相交直线，∴AD⊥平面PAB，∴AD PB⊥，而等腰三角形PAB中有PB AF⊥，∴PB⊥平面ADEF，而ED⊂平面ADEF，∴PB ED⊥．（2）易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，二、直线与平面垂直的判断，二面角则(0,0,0)A ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，求得平面ADEF 的一个法向量(1,0,1)=-m ，平面PCD 的一个法向量(0,1,1)=n ，∴1cos ,2<>=-m n ， ∴平面ADEF 与平面PCD 所成锐二面角为60︒．一、选择题1．如图，在三棱锥P ABQ -中，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ，则AB 与GH 的关系是（）对点增分集训A ．平行B ．垂直C ．异面D ．平行或垂直【答案】A【解析】因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF AB ∥，DC AB ∥，所以EF DC ∥，又因为EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ， 又因为EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ 平面PCD GH =，所以EF GH ∥，又因为EF AB ∥，所以AB GH ∥， 故选A ．2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BC 、1CD 的中点，则下列说法错误的 是（）A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．MN AB ∥D ．MN ∥平面ABCD【答案】C【解析】∵在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BC 、1CD 的中点， ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，则(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(1,2,1)M ，1(0,0,2)D ，(0,2,0)C ，(0,1,1)N ，(1,1,0)MN =--，1(0,0,2)CC =，∴10MN CC =⋅，∴1MN CC ⊥，故A 正确；(2,0,0)A ，(2,2,0)AC =-，2200AC MN ⋅=-+=，∴AC MN ⊥，又1MN CC ⊥，1ACCC C =，∴MN ⊥平面11ACC A ，故B 成立；∵ (0,2,0)AB =，(1,1,0)MN =--，∴MN 和AB 不平行，故C 错误；平面ABCD 的法向量(0,0,1)=n ，0MN ⋅=n ， 又MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ，故D 正确． 故选C ．3．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1AB E【答案】C【解析】对于A ，1CC 与1B E 均在侧面11BCC B 内， 又两直线不平行，故相交，A 错误；对于B ，AC 与平面11ABB A 所成的角为60︒，所以AC 不垂直于平面11ABB A ，故B 错误；对于C ，AE BC ⊥，11BC B C ∥，所以11AE B C ⊥，故C 正确；对于D ，AC 与平面1AB E 有公共点A ，11AC A C ∥，所以11A C 与平面1AB E 相交，故D 错误． 故选C ．4．在三棱锥P ABC -中，已知PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，点D ，E 分别为棱BC ，PC 的 中点，则下列结论正确的是（） A ．直线DE ⊥直线AD B ．直线DE ⊥直线PA C ．直线DE ⊥直线AB D ．直线DE ⊥直线AC【答案】D【解析】由题意，如图所示，因为PA AB AC ==，BAC PAC ∠=∠，∴PAC BAC ≅△△，得PC BC =，取PB 中点G ，连接AG ，CG ， 则PB CG ⊥，PB AG ⊥， 又∵AGCG G =，∴PB ⊥平面CAG ，则PB AC ⊥，∵D ，E 分别为棱BC ，PC 的中点，∴DE PB ∥，则DE AC ⊥． 故选D ．5．如图，2AC R =为圆O 的直径，45PCA ∠=︒，PA 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A 、C 重合的点，AS PC ⊥于S ，AN PB ⊥于N ，则下列不正确的是（）A ．平面ANS ⊥平面PBCB ．平面ANS ⊥平面PABC ．平面PAB ⊥平面PBCD ．平面ABC ⊥平面PAC【答案】B【解析】⊥PA 平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ⊥∴，由AC 为圆O 的直径，得AB BC ⊥，PA AB A =，⊥∴BC 平面PAB ，AN BC ⊥∴，AN PB ⊥，得到⊥AN 平面PBC ，∴平面ANS ⊥平面PBC ，平面PAB ⊥平面PBC ，所以选项ACD 正确； 对于选项B ，SN 与BC 一定不会平行，所以选项B 一定不成立．6．如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列五个结论：①OM PD ∥；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC ．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O 点，所以O 为BD 的中点． 在PBD △中，M 是PB 的中点，所以OM PD ∥，所以OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA ．因为M PB ∈，所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交． 所以①②③正确．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线1A O ，下列说法正确的 是（） A ．11A O D C ∥ B ．1A O BC ⊥C ．1A O ∥平面11B CDD ．1AO ⊥平面11AB D 【答案】C【解析】选项A ，连接1A B ，则11A B D C ∥，因为1A B 与1A O 相交，所以A 错；选项B ，取AB 中点E ，连接1A E 、OE ，则OE BC ∥，在1A EO 中，190A EO ∠=︒，所以1A O 与OE 不垂直，所以1A O 与BC 不垂直，所以B 错；选项C ，设11111AC B D O =，连接1CO ，则11CO AO ∥且11CO A O =，所以四边形11AO CO 是平行四边形，所以11A O CO ∥，又因为1AO ⊄平面11B CD ，1CO ⊂平面11B CD ，所以1A O ∥平面11B CD ，C 正确； 选项D ，连接1A C ，11B D 垂直于1A A ，11 B D 垂直于CA ，进而得到11B D 垂直于面1A AC ，故11B D 垂直于1A C ， 同理可证，1A C 垂直于1AD ，进而得到1AC ⊥平面11AB D ，所以1A O 与平面11AB D 不垂直，D 错．8．如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点．下列结论中，正确的是（）A ．1EF BB ⊥B ．EF ∥平面11ACC AC ．EF BD ⊥D ．EF ⊥平面11BCC B【答案】B【解析】如图所示，取1BB 的中点M ，连接ME ，MF ，延长ME 交1AA 于P ，延长MF 交1CC 于Q ， ∵E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，∴P 是1AA 的中点，Q 是1CC 的中点，从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点，∴EF PQ ∥．又PQ ⊂平面11ACC A ，EF ⊄平面11ACC A ，∴EF ∥平面11ACC A ．其余结论明显错误．本题选择B 选项．二、填空题9．如图所示，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是平行四边形，G F ，分别是BE DC ，的中点， 则GF ___________平面ADE ．【答案】平行【解析】取AE 的中点H ，连接HG HD ，， 又G 是BE 的中点，所以GH AB ∥，且12GH AB =． 又F 是CD 的中点，所以12DF CD =．由四边形ABCD 是平行四边形，得AB CD ∥，AB CD =， 所以GH DF ∥，且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF DH ∥．又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以GF ∥平面ADE ． 故答案为：平行．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下结论：①BD ∥平面11CB D ；②AD ⊥平面11CB D ；③1AC BD ⊥；④异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒．则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③【解析】①：∵11BD B D ∥，11B D ⊂平面11CB D ，BD ⊄平面11CB D ，∴BD ∥平面11CB D ， 故本结论是正确的；②：在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，显然AD 、BD 不垂直，而11BD B D ∥，所以AD 、11B D 不互相垂直，要是AD ⊥平面11CB D ，则必有AD 、11B D 互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：∵1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴1CC BD ⊥，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，1CC 、AC ⊂平面1CC A ，1CC AC C =，所以BD ⊥平面1CC A ，而1C A ⊂平面1CC A ，故1AC BD ⊥，因此本结论是正确的；④：因为AD BC ∥，所以异面直线AD 与1CB 所成的角为1BCB ∠，在正方形11BCC B 中，1=45BCB ∠︒，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③．三、解答题11．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EDC ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，ED EC ⊥， 点F ，G 分别是EC ，AB 的中点．求证：（1）直线FG ∥平面ADE ； （2）平面ADE ⊥平面EBC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）取DE 中点H ，连接FH ，AH ．在EDC △中，H ，F 分别为DE ，EC 中点，则FH ∥DC 且12FH DC =， 又四边形ABCD 为矩形，G 为AB 中点，AG ∥DC 且12AG DC =， 所以FH AG ∥且FH AG =，故四边形AGFH 为平行四边形，从而FG AH ∥，又FG ⊄面ADE ，AH ⊂面ADE ，所以直线FG ∥面ADE ． （2）因为矩形ABCD ，所以BC DC ⊥，又平面EDC ⊥面ABCD ，面EDC 面ABCD DC =，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥面DEC ，又ED ⊂面DEC ，则ED BC ⊥， 又ED EC ⊥，BCEC C =，所以ED ⊥面EBC ，又ED ⊂面ADE ，所以平面ADE ⊥平面EBC ．12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==PA =120ABC ∠=︒．G 为线段PC 上的点（点G 与点,P C 不重合）．（1）证明：BD ⊥面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正弦值； （3）若G 满足PC ⊥面BGD ，求二面角G CD A --正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）19；（3）23． 【解析】（1）取AC 中点O ，因为AB BC =，AD CD =， 所以CA BO ⊥，CA OD ⊥，∴CA BD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 因为PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PAAC A =，所以BD ⊥面PAC ．（2）以O 为坐标原点，BD ，AC ，平行于PA 的直线为x ，y ，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则因为2AB BC ==，120ABC ∠=︒，所以AO OC ==1BO =，因为AD CD ==2DO =，因此(1,0,0)B ，(2,0,0)D -，C，(0,A，(0,P ，从而(3,0,0)DB =为平面APC一个法向量，0,0,2G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,0,2DG ⎛= ⎝⎭，cos ,DG DB <>==，因此DG 与平面APC． （3）同（2）建立空间直角坐标系，设(0,CG CP λλ==-，因为PC ⊥面BGD ，所以0BG CP ⋅=，∴()0BC CG CP +⋅=，(()0CP CP λ-+⋅=，6150λ-+=，25λ=．因为(0,0,1)=n 为平面ACD 一个法向量，设1(,,)x y z =n 为平面GCD 的法向量，则由1111(2,3,0)002302(0,23,3)0023305CD x y CG y z ⎧⋅--=⎧⎧⋅=--=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅-=⋅=-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩n n n n ，得1(3,2,4)=-n ，所以14423cos ,233416<>==++n n ， 因此二面角G CD A --正弦值为242316112323⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．。
