河北省武邑中学2018学年高二上学期周考8.28文数试题 含答案

河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a<b<0，则( ) A.11a b< B. 01ab<< C. 2ab b > D.b a a b> 【答案】C 【解析】取a=−2,b=−1,可得11a b>，即A 不正确； ab=2，即B 不正确； ∵a<b<0,∴2ab b >，正确；12,2a b b a ==，即D 不正确， 故选C. 2. 抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1y =- B. 1y = C. 1x =- D. 1x =【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ，再直接代入即可求出其准线方程 【详解】抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上24p ∴=，即2p =12p∴= 则准线方程为1y =- 故选A【点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题．3. 已知直线l 的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数)，则直线l 的普通方程为（ ）A. 20x y --=B. 20x y -+=C. 0x y +=D. 20x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】第一式反解1t x =- 代入第二式便可得20x y --=，故选A. 【详解】4. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 在频率等高条形图中，a a b +与cc d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．【详解】在频率等高条形图中，a a b +与c c d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系， 四个选项中，即等高的条形图中x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强，故选D ．【点睛】本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 5. 椭圆 3cos {5sin x y ϕϕ==(ϕ是参数)的离心率是A. 35B.45C.925D.1625【答案】B【解析】解：因为椭圆的参数方程可知a=5,b=3,c=4,那么离心率为45，选B 6. 若x, y 是正数，且141x y+= ，则xy 有（ ）A. 最大值16B. 最小值116C. 最小值16D. 最大值116【答案】C 【解析】试题分析：由不等式性质a b +≥可知14116xy x y +=≥≤，所以最大值为16考点：不等式性质求最值7. 清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比 上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4 层的灯盏数应为（ ） A. 3 B. 12 C. 24 D. 36【答案】C 【解析】依题意知,此塔各层的灯盏数构成公比q=2的等比数列,且前7项和S 7=381， 由()711238112a -=-,解得1a =3，故34124a a q ==.故选C.8. 对任意的实数x ，不等式210mx mx --<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()4,0- B. (]4,0-C. []4,0-D. [)4,0-【答案】B 【解析】当m=0时,2 110mx mx --=-<，不等式成立； 设21y mx mx =--，当m ≠0时函数y 为二次函数，y 要恒小于0，抛物线开口向下且与x 轴没有交点，即要m<0且△<0得到：2040m m m <⎧⎨=+<⎩解得−4<m<0. 综上得到−4<m ⩽0. 故选B.9. 设变量,x y 满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1yx +的最大值是（ ）A. 1B.14C.12D. 2【答案】B 【解析】变量x 、y 满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则求1yx +的最大值问题等价于在可行域内找一点P ，使得点P 与点(−1,0)连线的斜率最大.如图，可行域上的点A 与点(−1,0)连线的斜率最大，解方程组020x y x y -=⎧⎨+=⎩得点A 坐标为11,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以1yx +的最大值为1131413=+.故选B.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a zy x b b=-+ ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y bz x a-=-. 10. 已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.那么p 是q 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为p 是r 的充分不必要条件，所以,p r r ⇒⇒q ．因为s 是r 的必要条件，所以r s ⇒，因为q 是s 的必要条件，所以s q ⇒，所以,q p q ⇒⇒p ．即p 是q 成立的充分不必要条件．考点：充分、必要、充要条件的判断．点评：熟练掌握充分、必要、充要条件的判断，属于基础题型．11. 已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】【详解】∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x −4y+5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a+b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y+5=0的距离为d,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b=54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y+5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离. 12. 在函数()()2ln 1f x a x x =--的图象上，横坐标在()1,2内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. ()1,+∞C. [)6,+∞D. ()6,+∞【答案】C 【解析】函数()()2ln 1f x a x x =--，求导得：()()'21af x x x=--， 由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1，可得()211ax x-->对()1,2x ∈恒成立． 即有()2212a x x x x >-=-对()1,2x ∈恒成立．令()22f x x x =-,对称轴14x =， 区间(1,2)为增区间，即有()()26max f x f ==1则有6a . 故选C.点睛：恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =__________． 【答案】17 【解析】等差数列{}n a 的前9项和为()1999812a a S +==，所以1918a a +=，因为等差数列{}n a 的公差为2，所以9118d 16a a a =+=+. 得991618a a -+=，解得917a =. 故答案为17.14. 过点Q(4，1)作抛物线28y x =的弦AB ，该弦恰被Q 平分，则直线AB 的方程为_____________． 【答案】4150x y --= 【解析】 【分析】很明显直线斜率存在，利用点差法求得斜率，然后确定直线AB 的方程即可. 【详解】由题意可知，当AB 垂直于x 轴时，不符合题意，故直线AB 的斜率存在．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2118y x =①，2228y x =②，且128x x +=，122y y +=，①－②得()()()1212128y y y y x x +-=-，即()()121228y y x x -=-，即12124y y x x -=-， 故直线AB 的斜率4k =，故直线AB 的方程为()441y x =-+， 即4150x y --=．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，点差法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 已知函数f(x)=13x 3+ax 2+x+1有两个极值点,则实数a 的取值范围是____.【答案】a<-1或a>1 【解析】2()21f x x ax '=++，因为函数()f x 有两个极值点，所以方程2()210f x x ax =++='有两个不相等的实数根，所以2440a ∆=->，解得1a <-或1a >.16. 已知命题1:12p x ≤≤，命题:()(1)0q x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】命题q ：（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0，解得a ≤x≤a+1．由于￢p 是￢q 的必要不充分条件，可得q 是p 的必要不充分条件．即可得出．【详解】命题q ：（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0，解得a ≤x≤a+1． ∵￢p 是￢q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．∴1211a a ⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，且等号不能同时成立． 解得102a ≤≤．则实数a 的取值范围是102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．故答案：102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ()sin cos 1C c A =+. （1）求角A ；（2）若2316bc a =-，ABC ∆的面积S =,b c 的值. 【答案】（1）3A π=（2）2b c ==【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据三角形内角范围可得解；（2）由余弦定理222a b c bc =+-得()216b c +=，从而得b c +，又ABC S ∆==，从而得bc ，进而可得,b c 的值. 试题解析：解：（1)()sin cos 1C c A =+，()sin sin cos 1A C C A =+，cos 1A A -=，故1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由0A π<<，得3A π=.(2)在ABC ∆中，22163bc b c bc -=+-， ∴()216b c +=，故4b c +=.①又ABC S ∆==， ∴4bc =.②联立①②式解得2b c ==.18. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*13122n n S a n n n N +=--+∈.（1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T .【答案】（1）12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）nT 222n n +=- 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用递推关系式进行转化，然后通过构造数列证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）利用错位相减法求解数列{}n nb 的前n 项和n T . 试题解析：（Ⅰ）因为， 所以 ① 当时，，则， 1分② 当时，， 2分 所以，即， 4分所以，而， 5分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以 ①， ②， 8分 ②-①得：， 10分. 12分考点：1.数列的递推式；2.等比数列的证明；3.数列求和. 19. 已知函数2()2x f x e x ax =-+1)若a=1,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程(2)若()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围 【答案】（1）10ex y -+=（2）ln 2 1.a ≥- 【解析】 【分析】【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出导数，若()f x 是单调递增函数，则()220xf x e x a '=-+≥恒成立，分离参数构造函数，求出函数的最值即可得到实数a 的取值范围． 详解： (1)()()221x f x e x f e ''=-+∴=()()1110y f e x ex y ∴-=-∴-+= （2）()()2202xxe f x e x a a x g x =-+≥∴≥-='()'10ln22xe g x x =-=∴=所以()g x 在(),ln2-∞上单调递增，在()ln2,+∞上单调递减 所以()()max g ln2ln21ln2 1.x g a ==-∴≥-.点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应用，属于中档题．20. 设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为2，椭圆与x 轴与左焦点与点F 1． （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，当OAB ∆面积为2时，求AB ． 【答案】（1）2212x y +=；（2）32AB =.【解析】试题分析：（1）依题意有1c a c a =-=，由此解得221,2b a ==，椭圆方程为2212x y +=；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求出弦长AB关于斜率的表达式，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，然后利用三角形面积建立方程，求得斜率k 的值，代入AB 的表达式，从而求得弦长AB . 试题解析： （1）由题意可得,12c a c a =-=，又222a c b -=，解得221,2b a ==， 所以椭圆方程为2212x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）根据题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y 由方程组222{12y kx x y =++=消去y 得关于x 的方程()2212860k xkx +++=，．．．．．．．．．．．．．6分由直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则有0∆>，即()22264241216240k k k -+=->，得：232k >，由根与系数的关系得122122812{612kx x k x x k +=-+=+，故12··1AB x x ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又因为原点O 到直线l的距离d =，故OAB ∆的面积1·2S AB d ===，．．．．．．．．．．．．．．．．10分由2122k =+，得2k =±，此时32AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查韦达定理和弦长公式. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21. 已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,P p 的直线l 与抛物线相交于AB 、两点，分别过点AB 、作抛物线的两条切线1l 和2l ，记1l 和2l 相交于点M . （1）证明：直线1l 和2l 的斜率之积为定值； （2）求证：点M一条定直线上.【答案】（1）直线1l 和2l 的斜率之积为定值2-.（2）点M 在定直线y p =-上. 【解析】试题分析：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx p =+，与抛物线联立得22220x pkx p --=，设,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，根据求导得切线斜率，结合韦达定理即可证得；（2）由点斜式写出直线1l 和2l 的方程，联立这两个方程，消去y 得整理得()121202x x x x x +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，注意到12x x ≠，所以122x x x +=，此时()2211111212112222x x x x x x x x y x x x p p p p p p p ⎛⎫+=+-=+-==- ⎪⎝⎭，从而得证.试题解析：解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx p =+， 将其代入22x py =，消去y 整理得22220x pkx p --=. 设,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2122x x p =-.将抛物线的方程改写为212y x p =，求导得1y x p'=. 所以过点A 的切线1l 的斜率是11x k p =，过点B 的切线2l 的斜率是22x k p=， 故121222x x k k p ==-， 所以直线1l 和2l 的斜率之积为定值2-.（2）设(),M x y .因为直线1l 的方程为()111y y k x x -=-，即()21112x x y x x p p -=-， 同理，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-，联立这两个方程，消去y 得()()2212212122x x x x x x x x p p p p -=---， 整理得()121202x x x x x +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，注意到12x x ≠，所以122x x x +=. 此时()2211111212112222x x x x x x x x y x x x p p p p p p p ⎛⎫+=+-=+-==- ⎪⎝⎭. 由（1）知，122x x pk +=，所以122x x x p +== k R ∈， 所以点M 在定直线y p =-上.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22. 已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a R =-++-∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a =时，设函数()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）当时，的单调递减区间为，，当时，()f x 的单调递减区间为，当时，()f x 的单调递减区间为，；（2）.【解析】试题分析：（1）根据导数对a 进行分类讨论，得到不同情况下的单调递减区间；（2）将函数在区间上存在零点转化为方程在区间上有实数根，再利用函数的导数的性质求得函数在区间上的极值，从而得到取值范围. 试题解析：的定义域为，.………………1分①当时，，由，得或.当，时，单调递减.的单调递减区间为，.………………2分②当时，恒有，的单调递减区间为.………………3分③当时，.由，得或.当，时，单调递减.的单调递减区间为，.………………4分综上，当时，的单调递减区间为，；f x的单调递减区间为；当时，()f x的单调递减区间为，.………………5分当时，()（2）在上有零点，即关于的方程在上有两个不相等的实数根. 令函数，，………………6分则.令函数，.则在上有.故在上单调递增.，………………8分∴当时，有即.∴单调递减；当时，有即，单调递增.………………10分，，.∴的取值范围为.………………12分考点：导数运算，利用导数研究函数单调性和零点.【思路点晴】本题主要考查了导数在研究函数问题中的应用，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图像判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。

2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（二）一、选择题：1．把4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，则不同分法的种数为（）A．72 B．48 C．36 D．242．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．7203．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A．18 B．15 C．12 D．94．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．1445．在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．1056．从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．727．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数（）A．30 B．70 C．90 D．1508．7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．3609．由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（）A．720个B．684个C．648个D．744个10．若二项式（﹣x）6展开式的常数项为20，则θ值为（）A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ﹣（k∈Z） C．D．﹣11．设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．812．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：13．（x2+3x+2）5的展开式中x3的系数是．14．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为．15．已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．16．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种．17．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=．（2013浙江校级模拟）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？（用数字作答）．三、解答题：19．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．20．在二项式（﹣）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．21．已知（x+）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．22．某篮球赛甲、乙两队进入最后决赛，其中甲队有6名打前锋位，4名打后位，另有2名既能打前锋位又能打后位的全能型队员；乙队有4名打前锋位，3名打后位，另有5名既能打前锋位又能打后位的全能型队员．问：（1）甲队有多少种不同的出场阵容？（2）乙队又有多少种不同的出场阵容？（注：每种出场阵容中含3名前锋位和2名后位）23．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本．24．在（x2+x+1）n=D x2n+D x2n﹣1+D x2n﹣2+…+D x+D（n∈N）的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式的n次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是；三项式的3次系数列是．（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C=C+C，类似的请用三项式的n次系数表示D（1≤k≤2n﹣1，k∈N）（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（上）周考数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：1．把4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，则不同分法的种数为（）A．72 B．48 C．36 D．24【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4名大学实习生分到高一年级3个不同的班，每个班至少分到1名实习生，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故选：C【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（）A．360 B．520 C．600 D．720【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21C53A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22C52A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22C52A33A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故选C．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．3．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（）A．18 B．15 C．12 D．9【分析】本题要先安排乙和丙两人，其安排方法可以分为两类，一类是两者之一在高一，另一个在高二，另一类是两者都在高二，在每一类中用分步原理计算种数即可．【解答】解：若乙和丙两人有一人在高一，另一人在高二，则第一步安排高一有2种安排方法，第二步安排高二，从三人中选一人有三种方法，第二步余下两人去高三，一种方法；故此类中安排方法种数是2×3=6，若乙和丙两人在高二，第一步安排高一，有三种安排方法，第二步安排高三，余下两人去高三，一种安排方法，故总的安排方法有3×1=3，综上，总的安排方法种数有6+3=9种；故选：D．【点评】本题考查分步原理与分类原理的应用，求解本题关键是根据实际情况选择正确的分类标准与分步标准，把实际问题的结构理解清楚．4．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【分析】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种．先排3个奇数：用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决．【解答】解：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种，先排3个奇数，有=6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中，方法有=12种．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12=432种．若1排在两端，1的排法有=4种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有=6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6=144种，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432﹣144=288种．故选：B．【点评】本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题．5．在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．105【分析】用列举法，由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．【解答】解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．【点评】本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．72【分析】先从5双靴中取出1双，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，由分步计数原理可得．【解答】解：先从5双靴中取出1双，有5种选法，再从剩下的4双中任取两双，在这两双中各取1只，有×2×2=24种情况，由分步计数原理可得，共有5×24=120种；故选：A【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，由分步计数原理设计选择的方案是解决问题的关键，属中档题．7．（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数（）A．30 B．70 C．90 D．150【分析】把（x+2）5按照二项式定理展开，可得（2x﹣1）（x+2）5的展开式中含x4项的系数．【解答】解：由于（2x﹣1）（x+2）5=（2x﹣1）（x5+10x4+40x3+80x2+80x+32），∴含x4项的系数为2×40﹣10=70，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．8．7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．360【分析】甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了，即可得出结论．【解答】解：甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了．四个人全排列的方法有=24种，从五个空中选出两个的方法有=10种，所以一共不同摆法有24×10=240种．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．9．由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（）A．720个B．684个C．648个D．744个【分析】题目要求中间三位是成递增的等差数列，这样可以列举出所有的情况，当公差是1时，列举出公差是1的8种结果，分别做出共有的数字个数，在计算当公差是2，3，4，公差不可能时5，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：当公差是1时，千位、百位、十位上的数字可以是：012，123，234，345，456，567，678，789，当中间三位是012时，可以组成数字A72=42，当中间数字是123，234，345，456，567，678，789时，可以组成7×6×6=252，当公差是2时，千位、百位、十位上的数字可以是：024，135，246，357，468，579这样共组成42+5×6×6=222，当公差是3时，千位、百位、十位上的数字可以是：036，147，258，369可以组成数字的个数是42+3×6×6=150，当公差是4时，千位、百位、十位上的数字可以是：048，159可以组成数字的个数是42+36=78，根据分类计数原理知共有42+252+222+150+78=744，故选D．【点评】本题考查分类计数原理，考查等差数列，考查数字问题，实际上数字问题是一种比较典型的题目，只是解题时要注意做到不重不漏．10．若二项式（﹣x）6展开式的常数项为20，则θ值为（）A．2kπ+（k∈Z）B．2kπ﹣（k∈Z） C．D．﹣【分析】由于二项式（﹣x）6展开式的通项为：=（﹣1）r sinθ6﹣r C6r x2r﹣6，要得到常数项，只要令2r﹣6=0可求r，结合已知可求sinθ，进而可求θ．【解答】解：∵二项式（﹣x）6展开式的通项为：=（﹣1）r sinθ6﹣r C6r x2r﹣6令2r﹣6=0可得r=3，此时常数项T4=﹣sinθC63=﹣20sinθ=20∴sinθ=﹣1∴故选B．【点评】本题主要考查了利用二项式的展开式的通项求解二项展开式的指定项，解题中要注意基本运算能力的考查．11．设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由二项式系数的性质可得S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得答案．【解答】解：根据题意，对于二项式的展开式的所有二项式系数的和为S，则S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得，n=4，故选A．【点评】本题考查二项式系数的性质，注意二项式的展开式中某一项的系数与二项式系数是不同概念．12．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个字母中选5个排列，满足条件的事件是at相连且顺序不变，可以从除去at之外的7个字母中选3个，使at作为一个元素和另外3个元素排列，利用组合数写出结果，算出概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是从9个字母中选5个排列，共有A95个，满足条件的事件是at相连且顺序不变，可以从除去at之外的7个字母中选3个，使at作为一个元素和另外3个元素排列，共有C73A44，∴要求的概率是=，故选A．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．二、填空题：13．（x2+3x+2）5的展开式中x3的系数是1560．【分析】根据（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5，按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．【解答】解：∵（x2+3x+2）5=（x+1）5（x+2）5=[x5+x4+x3+x2+x+1][x5+2x4+4x3+8x2+16x+32]，故展开式中x3的系数是4+8+16+32=1560，故答案为：1560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为1或﹣3．【分析】令x=0，x=1，结合a1+a2+…+a6=63，即可求得实数m的值．【解答】解：令x=0，可得a0=1令x=1，可得（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6，∴a1+a2+…+a6=（1+m）6﹣1∵a1+a2+…+a6=63，∴（1+m）6﹣1=63∴m=1或﹣3故答案为：1或﹣3【点评】本题考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15．已知的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．【分析】先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得．【解答】解：∵的常数项为=2∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[﹣1，3]是两个周期∴区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k 有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k≠0时，∵r（﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤故答案为：【点评】本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键．16．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有19种．【分析】根据题意，首先分析“error”中有5个字母不同的排法顺序，具体为①先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，②再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置，由分步计数原理计算其5个字母不同的排法顺序，再排除其中正确的1种顺序，即可得答案．【解答】解：根据题意，英语单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”、“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”、“o”即可，有A52=20种不同的排法，再安排3个“r”，直接将其放进剩余的3个位置即可，有1种排法，则这5个字母有20×1=20种不同的排法，其中正确的顺序有1种，则可能出现的错误的种数是20﹣1=19种，故答案为：19．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意单词中有重复的字母，其次要注意是求“出现错误”的种数，应该将正确的写法排除．17．从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=C n+k m．的口袋中取出m个球（0＜m ≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m﹣1个白球，则C n m+C n m﹣1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1C n m﹣1+C k2C n m﹣2+…+C k k C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．【解答】解：在C n m+C k1C n m﹣1+C k2C n m﹣2+…+C k k C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故选C n+k m【点评】这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．18．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？346（用数字作答）．【分析】利用间接法，先求出2个人坐的方法数为，再排除两左右相邻的情况，即可得到结论．【解答】解：由题意，一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为，还需排除两左右相邻的情况；把可坐的20个座位排成连续一行（前后排相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有，但这其中包括甲、乙不在同一排情形，还应再加上2．∴不同排法的种数为=346．故答案为：346．【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：19．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．【分析】此题只需将x=1及x=﹣1分别代入两式再相加即可求得a4+a2+a0的值【解答】解：当x=1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；当x=﹣1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1x+a0=﹣243；（1）∵a5=25=32∴a0+a1+a2+a3+a4=1﹣32=﹣31（2）∵（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．=（a5+a4+a3+a2+a1+a0）（﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0）=1×（﹣243）=﹣243【点评】本题考查利用赋值求解二项展开式的系数及对完全平方公式的变形应用能力，巧妙取特殊值是解题的关键．20．在二项式（﹣）12的展开式中．（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．【分析】（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．【解答】解：（I）展开式中第r+1项是，…（3分）令，解得r=2；…（4分）∴展开式中含x3项的系数为；…（6分）（II）∵第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数为；∴，…（9分）∴3k﹣1=k+1，或3k﹣1+k+1=12；解得k=1，或k=3．…（12分）【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了一定的逻辑推理与计算能力，是基础题目．21．已知（x+）n的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．（1）求含x2的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项．【分析】（1）由题意可得=64，求得n=6，可得展开式的通项公式．再令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含x2的项的系数．（2）在展开式的通项公式中，令x的幂指数6﹣为有理数，可得r=0，3，6，从而求得有理项．（3）设第r+1项的系数为a r，由通项公式可得a r=3r，可得展开式各项的系数，从中找出系数最大的．【解答】解：（1）令x=1，可得（x+）n的展开式中，各项系数的和为4n，而其二项式系数的和为2n，由=64，求得n=6，故展开式的通项公式为T r+1=3r，令6﹣=2，求得r=3，∴含x2的项的系数为33=540．（2）由（1）可得，展开式的通项公式为T r+1=3r，令6﹣为有理数，可得r=0，3，6，故有理项为T1=x6，T4=540x2，T7=．（3）设第r+1项的系数为a r=3r，则展开式各项的系数分别为a0=1，a1=18，a2=135，a3=540，a4=1215，a5=1458，a6=729，故系数最大的项为第六项，T6=1458．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．22．某篮球赛甲、乙两队进入最后决赛，其中甲队有6名打前锋位，4名打后位，另有2名既能打前锋位又能打后位的全能型队员；乙队有4名打前锋位，3名打后位，另有5名既能打前锋位又能打后位的全能型队员．问：（1）甲队有多少种不同的出场阵容？（2）乙队又有多少种不同的出场阵容？（注：每种出场阵容中含3名前锋位和2名后位）【分析】（1）甲队按全能队员出场人数分类：不选全能队员，选1名全能队员，选2名全能队员，分别求出不同的选法，由此能求出甲队共有多少种不同的出场阵容．（2）乙队按3名只会打后场的出场人数分类：不选，选1名，选2名，分别求出不同的选法，由此能求出乙队共有多少种不同的出场阵容．【解答】解：（1）甲队按全能队员出场人数分类：I．不选全能队员：，II．选1名全能队员：，III．选2名全能队员：，故甲队共有120+340+176=636种不同的出场阵容．乙队按3名只会打后场的出场人数分类：I．不选：，II．选1名：，III．选2名：故乙队共有350+840+252=1442种不同的出场阵容．（13分）【点评】本题考查排列组合的计数问题的应用，解题时要认真审题，是中档题．23．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本．【分析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．【解答】解：（1）分三步完成：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本，共有=1260种；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有种，故共有=7560种；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学，共有=1680种．【点评】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．24．在（x2+x+1）n=D x2n+D x2n﹣1+D x2n﹣2+…+D x+D（n∈N）的展开式中，把D，D，D，…，D叫做三项式的n次系数列．（Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．（Ⅱ）二项式（a+b）n（n∈N）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当0≤n≤4，n∈N时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：C=C+C，类似的请用三项式的n次系数表示D（1≤k≤2n﹣1，k∈N）（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示D．【分析】（Ⅰ）由（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，求得2次系数列．同理根据（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，求得3次系数列．（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示【解答】解：（Ⅰ）∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，∴三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，∴三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1．（Ⅱ）①列出杨辉三角形类似的表（0≤n≤4，n∈N）：11 1 11 2 3 2 11 3 6 7 6 3 11 4 10 16 19 16 10 4 1②=（1≤k≤2 n﹣1 ）；（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得=1+n﹣2+=，∵=n﹣1=﹣1，∴由=得﹣=n分别取3，4，…，n代入，累加可得﹣=+﹣（n﹣2）=﹣（n+2），∵=2，∴=﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式的应用，属于中档题．。

河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若0a b <<，则（ ） A ．11a b < B ．01a b << C. 2ab b > D ．b a a b> 2.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A ．1x = B ．1y = C. 1x =- D ．1y =-3.已知直线l 的参数方程为11x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数)，则直线l 的普通方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y -+= C. 0x y += D ．20x y +-= 4.观察下列各图，其中两个分类变量,x y 之间关系最强的是（ ）A ．B ． C.D ．5.椭圆3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ是参数）的离心率是（ ）A ．35B ．45 C. 925 D ．16256.若,x y 是正数，且141x y +=，则xy 有（ ）A ．最大值16B ．最小值116C. 最小值16 D ．最大值1167.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比 上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4 层的灯盏数应为（ ） A ．3 B ．12 C. 24 D ．368.对任意的实数x ，不等式210mx mx --<恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,0- B ．(]4,0- C.[]4,0- D ．[)4,0- 9.设变量,x y 满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．1B ．14 C. 12D ．2 10.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.那么p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．412.在函数()()2ln 1f x a x x =--的图象上，横坐标在()1,2内变化的点处的切线斜率均大于1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞ C. [)6,+∞ D ．()6,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a = ．14.过点()4,1Q 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被Q 所平分，则弦AB 所在直线方程为 ．15.已知函数()32113f x x ax x =+++有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ．16.已知命题1:12p x ≤≤，命题()():10q x a x a ---≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ()sin cos 1C c A =+. （1）求角A ；（2）若2316bc a =-，ABC ∆的面积S =,b c 的值.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*13122n n S a n n n N +=--+∈.（1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T . 19.已知函数()22x f x e x ax =-+.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2） 若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.20.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为2，椭圆与x 轴左交点与点F 的1. （1）求椭圆方程；（2） 过点()0,2P 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，当OAB ∆时，求AB . 21.已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,P p 的直线l 与抛物线相交于A B 、两点，分别过点A B 、作抛物线的两条切线1l 和2l ，记1l 和2l 相交于点M . （1）证明：直线1l 和2l 的斜率之积为定值； （2） 求证：点M 在一条定直线上.22.已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++-∈.（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0a =时，设函数()()()22g x xf x k x =-++，若函数()g x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个零点，求实数k 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADB 6-10: CCBBA 11、12：BC二、填空题13. 17 14. 4150x y --= 15. ()(),11,-∞-⋃+∞ 16.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 解：（1)()sin cos 1C c A =+，()sin sin cos 1A C C A =+，cos 1A A -=，故1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由0A π<<，得3A π=.(2)在ABC ∆中，22163bc b c bc -=+-， ∴()216b c +=，故4b c +=.①又ABC S ∆=， ∴4bc =.②联立①②式解得2b c ==.18.解：（1）∵213122n n a S n n +=--+，①∴当1n =时，121a =-，则112a =-，当2n ≥时，()()2111311122n n a S n n --+=----+， ② 则由①—②得121n n a a n --=--，即()121n n a n a n -+=+-，∴()1122n n b b n -=≥，又11112b a =+=， ∴数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列， ∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）得2n nn nb =. ∴234112*********n n nn nT --=++++++，③ 232123412122222n n n n nT ---=++++++，④. 由④-③得2111112222n n n n T -=++++-1122212212nn nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--. 19.解：（1）∵()22x f x e x '=-+，∵()1f e '=，即(),11k e f e ==+ ∴所求切线方程为()()11y e e x -+=-，即10ex y -+=（2）()22x f x e x a '=-+，∵()f x 在R 上单调递增，∴()0f x '≥在R 上恒成立，∴2x e a x ≥-在R 上恒成立，令()2x e g x x =-，()112xe g '=-，令()0g x '=，则ln2x =，∵在(),ln 2-∞上()0g x '>；在()ln 2,+∞上，()0g x '<， ∴()g x 在(),ln 2-∞单调递增，在()ln 2,+∞上单调递减， ∴()()max ln 2ln 21g x g ==-， ∴ln21a ≥-，∴实数a 的取值范围为[)ln 21,-+∞.20.解：（1）由题意可得c a =1a c -=，又222a b c -=，解得221,2b a ==， 所以椭圆方程为2212x y +=（2）根据题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y 由方程组22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的方程()2212860k x kx +++=， 由直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则有0∆>，即222(1)6424216240k k k -+=->， 得：232k >，由根与系数的关系得122122812612k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩，故12AB x x =⋅又因为原点O 到直线l的距离d =， 故OAB ∆的面积12S AB d =⋅==，得k =，此时32AB =. 21.解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx p =+， 将其代入22x py =，消去y 整理得22220x pkx p --=. 设,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ， 则2122x x p =-.将抛物线的方程改写为212y x p =，求导得1y x p'=. 所以过点A 的切线1l 的斜率是11x k p =，过点B 的切线2l 的斜率是22xk p=， 故121222x x k k p ==-， 所以直线1l 和2l 的斜率之积为定值2-.（2）设(),M x y .因为直线1l 的方程为()111y y k x x -=-，即()21112x x y x x p p-=-，同理，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-， 联立这两个方程，消去y 得()()2212212122x x x x x x x x p p p p-=---， 整理得()121202x x x x x +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，注意到12x x ≠，所以122x x x +=.此时()2211111212112222x x x x x x x x y x x x p p p p p p p⎛⎫+=+-=+-==- ⎪⎝⎭. 由（1）知，122x x pk +=，所以122x x x p +==k R ∈， 所以点M 在定直线y p =-上.22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， ()f x 的导数为()()()()11110ax x f x ax a a x x--'=-++-=->， ①当()0,1a ∈时，11a>. 由()0f x '<，得1x a>或 1x <. 当()10,1,,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为()0,+∞； ③当()1,a ∈+∞时，11a<. 由()0f x '<，得1x >或1x a<. ∴当()10,,1,x x a ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上，当()0,1a ∈时，()f x 的单调递减区间为()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当()1,a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）()()2ln 22g x x x x k x =--++在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根.令函数()2ln 22x x x h x x -+=+，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()2232ln 42x x x h x x +--'=+.令函数()232ln 4p x x x x =+--，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.则()()()212x x p x x-+'=在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥.故()p x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.∵()10p =，∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，有() 0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，有() 0p x > 即()0h x '>， ∴()h x 单调递增.∵19ln 22105h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11h =，()10210ln 21021023110121232h h --⎛⎫=>=> ⎪⎝⎭，∴k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦.。

河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题α：如果3x <，那么5x <，命题β：如果3x ≥，那么5x ≥，则命题α是命题β的（ ）A ．否命题B ．逆命题C ．逆否命题D ．否定形式 2．若p q ∧是假命题，则（ ）A ．p 是真命题，q 是假命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 至少有一个是假命题D ．p ，q 至少有一个是真命题 3．下列叙述错误的是（ ）A ．若事件A 发生的概率为()P A ，则()01P A ≤≤B ．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C ．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 4．设命题p ：0x ∀>，22log x x >，p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，22log x x < B ．00x ∃>，0202log xx ≤ C ．00x ∃>，0202log xx < D ．00x ∃>，0202log x x ≥5．一个袋子装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和小于15的概率为（ ） A ．2932 B ．6364 C ．3132 D ．61646．矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在矩形ABCD 内随机取一点，则取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ） A ．8π B ．18-π C ．4π D ．14-π 7．在[]2,3-上随机取一个数x ，则()()+130x x -≤的概率为（ ）A ．25 B ．14 C ．35 D ．458．已知x ∈R ，则“1x <-”是“2210x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．一个球形容器的半径为3cm ，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取1mL 水含有感冒病毒的概率为（ ） A ．13 B ．13π C ．136π D ．49π10．下列四个命题：①命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”； ②2560x x --=是1x =-的必要而不充分条件；③若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ④命题“若01a <<，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是（把所有正确的命题序号都填上）（ ） A ．②③ B ．② C ．①②③ D ．④11．点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．13 D ．2312．设命题p ：函数()21lg 4f x ax x a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数均成立.如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ．[)0,+∞D ．()0,1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．如图表示某班21位同学衣服上口袋的数目.若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是 ．14．已知：对x +∀∈R ，1a x x<+恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 15．下列命题中 为真命题（把所有真命题的序号都填上）．①“A B A =I ”成立的必要条件是“A B Ü”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 16．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得222+=勾股弦，设勾股中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题甲：{1a a a ∈<-或13a ⎫>⎬⎭，命题乙：12a a a ⎧∈<-⎨⎩或}1a >，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数a 的取值范围.18．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率. （1）所得的三位数大于400； （2）所得的三位数是偶数.19．是否存在实数p ，使40x p +<是220x x -->的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由.20．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率.21．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为4π，边界忽略不计）即为中奖． 乙商场：从装有2个白球、2个蓝球和a 个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是13若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖．（1）求实数a 的值；（2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.22．已知0a >设命题p ：函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数.命题q ：当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数()11f x x x a =+>恒成立.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求a 的范围.河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考数学试题（文）答案一、选择题1-5:ACDBD 6-10:DDACA 11、12：CB二、填空题13．42114．2a < 15．②④ 16．134 三、解答题17．解：当甲真乙假时，集合()M A B ==R I W 113aa ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 18．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数. （1）大于400的三位数的个数为4，所以4263P ==. （2）三位数为偶数的有156,516，共2个， 所以相应的概率为2163P ==. 19．解：由220x x -->，解得2x >或1x <-，令{2A x x =>或}1x <-，由40x p +<，得4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭， 当B A ⊆时，即14p-≤-，即4p ≥， 此时14px <-≤-⇒220x x -->， ∴当4p ≥时，40x p +<是220x x -->的充分条件.20．解：（1）由题意得，男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人，女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人.（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+，所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为145315⨯=人. 设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B ，3B .则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个.每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件C ：“选取的2人至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个.所以()710P C =，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710. 21．解：（1）根据随机事件的概率公式，1223a a =++，解得2a =. （2）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A ， 试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为2r π（r 为圆盘的半径），阴影区域的面积为2221424S r r ⨯==ππππ.故由几何概型，得()221144rP A r ==ππ. 设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件B ，记2个白球为白1，白2；2个红球为红1、红2；2个篮球为蓝1、蓝2，则从盒子中一次性摸出2球，一切可能的结果有（白1、白2），（白1、红1）、（白1、红2），（白1、蓝1），（白1、蓝2）；（白2、红1），（白2，红2），（白2，蓝1），（白2、蓝2）；（红1、红2），（红1、蓝1），（红1、蓝2），（红2、蓝1），（红2、蓝2）；（蓝1、蓝2）等共15种；其中摸到的是2个相同颜色的球有（白1、白2），（红1、红2），（蓝1、蓝2）等共3种； 故由古典概型，得()31155P B ==. 因为()()P A P B >，所以顾客在甲商场中奖的可能性大.22．解：由1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数得，01a <<因为()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,2上为增函数.∴()f x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为()12f =.当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数()11f x x x a =+>恒成立得，12a >，解得12a >如果p 真且q 假，则102a <≤. 如果p 假且q 真，则1a ≥所以a 的取值范围为[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U .。