人教版初三数学上册实际问题与一元二次方程的复习

人教版九年级上册数学21.3 实际问题与一元二次方程--传播问题专题练习一、单选题1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x 个小分支，则下列方程中正确的是（ ）A ．2143x +=B ．2143x x ++=C ．243x x +=D ．()2143x += 2．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确的是（ ） A ．x +x （1+x ）＝100B ．1+x +x 2＝100C ．1+x +x （1+x ）＝100D ．x （1+x ）＝1003．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m 人，则m 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 4．早期，甲肝流行，在一天内，一人能传染4人，若有三人患上甲肝，那么经过两天患上甲肝的人数为（ ）A ．50B ．75C ．25D ．70 5．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A ．x （x +1）＝28B ．12x （x ﹣1）＝28 C ．x （x ﹣1）＝28 D ．12x （x +1）＝28 6．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ A ．-10 B ．10 C ．8 D ．9 7．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x 名同学，则可列方程为（ ）A．x＋（x＋1）x＝36B．（x＋1）2＝36C．1＋x＋x2＝36D．x＋（x＋1）2＝368．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（）A．x（x﹣1）＝190B．x（x﹣1）＝380C．x（x﹣1）＝95D．（x﹣1）2＝380二、填空题9．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有100人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则由题意列出方程___________________．10．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到200个红包，则可以列方程为__．11．有3人患了流感，经过两轮传染后共有192人患流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为____________．12．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，两天后共有225人患上此病，则每天一人传染______人．13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______．14．中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有111人，则小明给_______人发了短信．15．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，两轮传播后，流感病人总数为288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数为______人．16．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为________．三、解答题17．某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．(1)现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；(2)在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔高并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？18．某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？19．新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？20．为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用微博转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共有111个人参与了本次活动．（1）x的值是多少？（2）再经过几轮转发后，参与人数会超过10000人？参考答案：1．B2．C3．B4．B5．B6．C7．B8．A9．2(1)100x +=10．x （x ﹣1）＝20011．()3333192x x x +++=12．1413．x 2+x +1＝7314．1015．1116．1017．(1)(1)x +；(2)不会，18．每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染19．（1）7人；（2）512人20．（1）10；（2）再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人．。

一元二次方程章节复习一．一元二次方程的定义（共1小题）1．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．三．根的判别式（共5小题）3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（）A．6B．6或7C．7或8D．75．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或86．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．四．根与系数的关系（共4小题）8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（）A．x2+5x+6＝0B．x²﹣5x+6＝0C．x2﹣6x+5＝0D．x2﹣6x﹣5＝0 9．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2023B．2021C．2026D．201910．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣211．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）12．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝4513．某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为．六．一元二次方程的应用（共8小题）14．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长15．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（）A．20%B．25%C．30%D．35%16．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．1717．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为．18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售件．（用含x的代数式表示）（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？19．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？20．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？21．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．（1）求步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．参考答案与试题解析一．一元二次方程的定义（共1小题）1．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝2．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．所以得到，解得m＝2．【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】直接利用配方法解方程进而得出答案．【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，∴2x2﹣4x＝1，则x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．三．根的判别式（共5小题）3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1【分析】利用一元二次方程由实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键．4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（）A．6B．6或7C．7或8D．7【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2；②a＝b；①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0可得结果．【解答】解：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，①当a＝2，或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，∴x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，解得：n＝6，当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝6不合题意，②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0解得：n＝7．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．5．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或8【分析】①当m＝n时，②m＝4或n＝4时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：①当m＝n时，∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，解得，a＝8，∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，解得：m＝n＝3，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；②m＝4或n＝4时，∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，∴42﹣6×4+a+1＝0，解得：a＝7，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，解得：m＝2，n＝4，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；综上所述：a的值为7或8．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2．∵（m﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣m+2）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，故m＜2，∴正整数m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．四．根与系数的关系（共4小题）8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（）A．x2+5x+6＝0B．x²﹣5x+6＝0C．x2﹣6x+5＝0D．x2﹣6x﹣5＝0【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣，x1•x2＝，即方程为x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0，再把x1+x2＝5和x1•x2＝6代入方程即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1•x2＝6，∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．9．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2023B．2021C．2026D．2019【分析】根据题意可知a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，所求式子化为﹣a+3﹣b+2022＝﹣（a+b）+2025即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2022＝﹣a+3﹣b+2022＝﹣（a+b）+2025＝1+2025＝2026．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．10．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：将x＝n代入方程，得n2+2n﹣1＝0．所以2n﹣1＝﹣n2．根据根与系数的关系，得m+n＝﹣2，所以＝＝﹣（m+n）＝﹣（﹣2）＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值．【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，∵x1+x2＝0，∴，∴，又∵且k≠1∴k不存在．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）12．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1）．∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为x2+x+1＝73．【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝73，整理即可．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝73，故答案为：x2+x+1＝73．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x2表示是关键．六．一元二次方程的应用（共8小题）14．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD2+aBD＝b2是解题的关键．15．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（）A．20%B．25%C．30%D．35%【分析】设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，利用2020年该村乡村民宿旅游收入＝2018年该村乡村民宿旅游收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，依题意得：2000（1+x）2＝3380，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．17【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程，然后解方程即可得到结论．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），即：x＝14，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．17．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为10．【分析】本题中小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60，解方程从而求解．【解答】解：因为小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，则其面积为（80﹣2x）（60﹣2x）cm2根据题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60整理得：x2﹣70x+600＝0解之得：x1＝10，x2＝60因x＝60不合题意，应舍去所以x＝10．故答案是：10．【点评】考查了一元二次方程的应用，此题解答时应结合草图，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售（30+5x）件．（用含x的代数式表示）（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？【分析】（1）根据“平均每天销售30件，每个挂件降价1元，则每天可多售出5件”列出代数式即可；（2）设每件应降价x元，根据每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝540，列出方程，求出x的值，计算得到降价多的数量即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意知，每天将销售（30+5x）件；故答案是：（30+5x）；（2）根据题意，得（20﹣x）×（30+5x）＝840．整理，得x2﹣14x+48＝0．解得x1＝6，x2＝8．因为让顾客得到更大实惠，所以x＝8符合题意．答：每个挂件应降价8元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利得到相应的等量关系，列出方程．得到现在的销售量是解决本题的难点．19．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．答：年平均增长率为20%；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21．∵让顾客获得最大优惠，∴y＝20．答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．20．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？【分析】（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（140﹣x）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可得出售价．【解答】解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（140﹣x）万元，由题意得：＝，解得：x＝60，经检验x＝60是方程的解，∴x＝60，140﹣x＝80，答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，由题意得：（200﹣y﹣100）（350+5y）＝36080，解得：y1＝12，y2＝18，∵y≤200×8%，即y≤16，∴y＝12，200﹣y＝188，答：每吨燃料棒售价应为188元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．21．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．（1）求步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．【分析】（1）根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答；（2）根据“长方形区域甲的面积比长方形区域乙大44m2”求得正方形的边长为20，所以再结合图形和矩形的面积公式解答．【解答】解：（1）由题意，得100a+80a﹣a2＝（7a）2化简，得a2＝3.6a．∵a＞0．∴a＝3.6．答：步道的宽为3.6m；（2）设正方形丙的边长为x．由题意，（100﹣x﹣4.6）（x+1）﹣（x+1）（80﹣x﹣2﹣3.6）＝441，解得x＝20，∴塑胶跑道的总面积为1×（100+80﹣1+20）＝199（m2）．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。

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二、面积问题 3. (2019徐州)如图D21-4-1，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm. 在其四角各剪去一个同样的正方形，然 后将四周突出部分折起，可制成 一个无盖长方体盒子. 当剪去正 方形的边长取何值时，所得长方 体盒子的侧面积为200 cm2？
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解：设剪去正方形的边长为x cm，则做成无盖长方体盒 子的底面长为(30-2x) cm，宽为(20-2x) cm，高为x cm. 依题意，得2×[(30-2x)+(20-2x)]x＝200. 解得x1＝ ，x2＝10. 当x＝10时，20-2x＝0，不合题意，舍去. 答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子 的侧面积为200 cm2.
解：设应邀请x支球队参加比赛. 由题意，得 x(x-1)＝28. 解得x1＝8，x2＝-7(不合题意，舍去). 答：应邀请8支球队参加比赛.
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8. 某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作
活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图D21-
4-4，甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆
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6. 某商场销售A，B两种新型小家电，A型每台进价40元， 售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A 型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元. (1)求4月份售出B型小家电至少多少台？ 解：(1)设4月份售出B型小家电x台，根据题意， 得(50-40)×40+(40-32)x≥800. 解得x≥50. 答：4月始运动到第二次相遇时，它们运动了多 少时间？
(3)由图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半
圆的长度，
则 1 t2+ 3 t+4t＝21×3，
2

21.3 实际问题与一元二次方程1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：读懂题目，弄清题意，明确 已知量、 未知量 ，以及它们之间的关系． （2）设：设出 未知数 ．（3）列：找出 相等关系 ，列出方程． （4）解：解方程，求出 未知数 的值． （5）验：检验 方程的解 是否符合实际意义． （6）答：写出 答案 ．2．常见实际问题（1）传播问题：传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数． （2）平均增长（降低）率问题：①设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的值为 ()1na x + ．②设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为 ()1na x - ． （3）几何图形面积问题：几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成 规则图形 ，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积公式或体积公式列出方程． （4）数字问题：若一个两位数十位、个位上的数字分别为a 、b ，则这个两位数表示为 10a b + ；若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数表示为 10010a b c ++ ． （5）单、双循环问题：设参加队伍有n 个队，则单循环问题中总的比赛场数为 ()112n n - 场；双循环问题中总的比赛场数为 场()1n n -． （6）销售利润问题： =-利润售价进价；-==利润售价进价利润率进价进价；()=⨯+售价进价利润率；=-=⨯1总利润总售价总成本单个利润总销售．（7）存款利息问题：利息本金利率．=+本息和本金利息；=⨯题型一：传播问题1．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225 B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝2252．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？题型二：增长率问题3．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1004．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．题型三：数字问题5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为()A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=2256．一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4，设个位数是x，则所列方程为()A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4题型四：营销问题7．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？题型五：工程问题9．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）10．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖12m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．题型六：行程问题11．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？12．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．注：步数×平均步长＝距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．题型七：图表信息问题13．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）4 7 705 5 40根据上表数据，求规定用水量a的值．14．为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收a100元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7 140 2648 95 152（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？题型八：动态几何题15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ 的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s16．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（）A．2s或235s B．1s或225s C．225s D．2s或225s17．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为10时运动时间t的值；（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．一、单选题18．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（）.A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=57019．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人20．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．721．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000C ．200+200×3x ＝1000D ．200[1+（1+x ）+（1+x ）2]＝100022．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有( ) A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人23．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本．24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？一：选择题25．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A ．22500(1)9100x +＝ B ．22500(1%)9100x +＝C ．22500(1)2500(1)9100x x +++＝D ．225002500(1)2500(1)9100x x ++++＝26．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg 的单价销售，则每天可售出100kg ，如果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x 元/kg ，依题意可列方程为（ ） A ．()()2010021800x x +-= B ．()22010018000.5x x ⎛⎫⎪=⎭-⎝+ C ．20100218000.5x x -⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭D ．()1002201800x x ⎡⎤--=⎣⎦27．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（ ）A ．()0.6310.68x +=B ．()20.6310.68x += C ．()0.63120.68x +=D ．()20.63120.68x +=28．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x ）2=461C ．368（1﹣x ）2=442D ．368（1+x ）2=44229．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ） A ．560（1＋x ）2＝315 B ．560（1－x ）2＝315 C ．560（1－2x ）2＝315D ．560（1－x 2）＝31530．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） A ．x(x+1)=1035B ．x(x-1)=1035C ．12x(x+1)=1035D ．12x(x-1)=103531．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）. A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%二、填空题32．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.33．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．34．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____．35．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.36．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________．37．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．38．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为_____．(用百分数表示)三、解答题39．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？40．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加20%9a，求a的值．41．为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价x(单位∶万元)成一次函数关系．(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？42．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？43．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．44．已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P 以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．45．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．46．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？47．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提离大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2%a，每户物管费将会减少3%10a；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6%a，每户物管费将会减少1%4a．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少518%a，求a的值．48．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．1．C 【分析】此题可设1人平均感染x 人，则第一轮共感染(1)x +人，第二轮共感染(1)1(1)(1)x x x x x +++=++人，根据题意列方程即可．【详解】解：设1人平均感染x 人，依题意可列方程：2(1)225+=x ．故选：C ．2．（1）每轮传染中平均每个人传染了15个人；（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×（1+15），即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，依题意，得：1+x +x （1+x ）＝256，解得：x 1＝15，x 2＝﹣17（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．（2）256×（1+15）＝4096（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．A 【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x ）2=100，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．4．（1）6万座；（2）70%.【分析】（1）2020年全省5G 基站的数量=目前广东5G 基站的数量×4，即可求出结论； （2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据2020年底及2022年底全省5G 基站数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G 基站的数量是1.546⨯=（万座）.答：到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座.（2）设年平均增长率为x ，由题意可得：()26117.34x +=， 解得：10.7=70%x =，2 2.7x =-（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．C 【分析】最大数为x ，则我们只需要将最小数用x 表示出来即可列出方程．【详解】∵最大数为x ，∴最小数用x 表示为：x-16，∴列方程为：x (x ﹣16)=225，故选：C【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． 6．C 【分析】由题意知，这个两位数的十位数字为x ＋4，则这个两位数为10(x ＋4)＋x ，其个位数字与十位数字的平方和为x 2＋(x ＋4)2；根据其个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，可得方程，【详解】依题意得十位数字为：x ＋4，则这个数为：10(x ＋4)＋x ，个位数字与十位数字的平方和为：x 2＋(x ＋4)2. ∵个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，∴x 2＋(x ＋4)2＝10(x ＋4)＋x －4.故选C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键根据等量关系列出方程；7．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x ）（20+2x ）=1200，整理，得x 2-30x +200=0，解得：x 1=10，x 2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x 2=20应舍去，∴x =10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．8．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x 元根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯ 答：该店应按原售价的九折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．9．（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．（2）甲队最多施工6个月才能使工程款不超过1500万元．【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”．（2）设甲队施工m 个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1350万元，列不等式求解．【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x 个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，根据题意，得()()x x 56x x 5+=++，即2x 7x 300--=，解得12x 10x 3==-，（不合题意，舍去）．∴x 515+=．。