2023-2024学年河北省衡水中学高一(上)期末数学试卷【答案版】

第1页（共14页） 2023-2024学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.）

1．已知命题p：∀x＞0，都有（x+1）ex＞1．则￢p为（ ）

A．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1 B．∃x

0＞0，使得（x

0+1）≤1

C．∃x

0≤0，使得（x

0+1）≤1 D．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1

2．函数f（x）＝的定义域是（ ）

A．（﹣∞，1）∪（1，+∞） B．[﹣2，+∞）

C．[﹣2，1）∪（1，+∞） D．（1，+∞）

3．若α为第四象限角，则（ ）

A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0

4．已知，则＝（ ）

A． B． C． D．

5．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小

组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有

的污染物数量为2.25g/m3

，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3

，第n次改良工

艺后排放的废水中含有的污染物数量r

n满足函数模型，其

中r

0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r

1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污

染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3

时符合废水排放标准，

若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）

A．14次 B．15次 C．16次 D．17次

6．函数y＝（1﹣a）x与y＝log

ax（其中a＞1）的图象只可能是（ ）

A． B．

C． D．

第2页（共14页） 7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，则不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）（ ）

A．（0，2） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）

8．若关于x的方程（sinx+cosx）2+cos2x＝m在区间[0，π）上有两个根x

1，x

2，且|x

1﹣x

2|，则实数

m的取值范围是（ ）

A．[0，2） B．[0，2] C．[1，] D．[1，）

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求

的.）

9．已知a＞b＞0，a+b＝1，则（ ）

A． B．

C．2a﹣b＜2 D．log

2（ab）＞﹣2

10．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（ ）

A． B．

C． D．

11．若a＞b＞1，x＝log

ab，y＝log

ba，z＝ab，则下列结论一定正确的是（ ）

A．x＜y B．y＜z C．x＜z D．y＞z

12．已知函数f（x）＝1+2cosxcos（x+2φ）是偶函数（0，π），则下列关于函数g（x）＝cos（2x﹣φ）（ ）

A．g（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣

B．g（x）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到

C．点是g（x）的图象的一个对称中心

D．是g（x）的一个单调递增区间

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝ ．

14．设m，n∈R+

且m+n＝1，则最小值为 ．

15．已知函数，现将该函数图象先向左平移

个单位长度，纵坐标不变，得到函数g（x），已知函数g（x）在区间，则ω

的取值范围第3页（共14页） 是 ．

16．已知函数，给出下列三个结论：

①当a＝﹣2时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；

②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）；

③若a＜1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f（x）

1，x

2，x

3，且x

1x

2x

3＝﹣1．

其中，所有正确结论的序号是 ．

四、解答题：本题共6小题，70分，其中第17题10分，其余均12分.

17．（10分）记不等式a﹣x≤0（a∈R）的解集为A，不等式x2

﹣2x﹣3＞0的解集为B．

（Ⅰ）当a＝1时，求A∪B；

（Ⅱ）若A∩∁

RB≠∅，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知函数f（x）＝2sinxcosx+cos2x﹣sin2x+a（x∈R）的最大值为5．

（Ⅰ）求a的值和f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

19．（12分）已知函数的部分图像如图所示：

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）将函数y＝f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变（x）的图像，求函数y＝g

（x）上的最大值及函数取最大值时相应的x值．

20．（12分）已知函数g（x）＝ax2

﹣2ax﹣1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）

＝．

（1）求a，b的值；

（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．

21．（12分）已知函数f（x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x），并解不等式f（x）＜﹣1．

①函数f（x）是偶函数；

第4页（共14页） ②函数f（x）是奇函数．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

22．（12分）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，记录

美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，抖音上商

品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中J

0

（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，J

b

（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的

价格为每件120元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．

（1）求h的值；

（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）

参考数据：lg2≈0.3010

第5页（共14页） 2023-2024学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.）

1．已知命题p：∀x＞0，都有（x+1）ex＞1．则￢p为（ ）

A．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1 B．∃x

0＞0，使得（x

0+1）≤1

C．∃x

0≤0，使得（x

0+1）≤1 D．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1

解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以，命题p：∀x＞0x＞1．则￢p为∃x

3＞0，使得（x

0+4）≤1．

故选：B．

2．函数f（x）＝的定义域是（ ）

A．（﹣∞，1）∪（1，+∞） B．[﹣2，+∞）

C．[﹣2，1）∪（1，+∞） D．（1，+∞）

解：要使函数有意义，则，即，即x≥﹣2且x≠1，

即函数的定义域为[﹣4，1）∪（1，+∞）

故选：C．

3．若α为第四象限角，则（ ）

A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0

解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜6kπ，则﹣π+4kπ＜2α＜8kπ，

∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，

∴sin2α＜3，

故选：D．

4．已知，则＝（ ）

A． B． C． D．

解：因为，所以．

故选：A．

5．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》

，某造纸企业的污染治理科研小第6页（共14页） 组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有

的污染物数量为2.25g/m3

，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3

，第n次改良工

艺后排放的废水中含有的污染物数量r

n满足函数模型，其

中r

0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r

1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污

染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3

时符合废水排放标准，

若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）

A．14次 B．15次 C．16次 D．17次

解：依题意，r

0＝2.25，r

4＝2.21，当n＝1时，7.25+t＝1，可得t＝﹣0.25，

于是，由r

n≤0.25，得30.25（n﹣1）≥50，即，

则 ，又n∈N*

，因此n≥16，

所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．

故选：C．

6．函数y＝（1﹣a）x与y＝log

ax（其中a＞1）的图象只可能是（ ）

A． B．

C． D．

解：对于A，因为a＞1，其图象应下降；

对于B，a＞1时，y＝log

ax为（6，+∞）上增函数；

对于C，a＞1时

ax为（0，+∞）上增函数；

对于D，a＞3时

ax为（0，+∞）上增函数．

故选：B．

7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，则不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）（ ）

A．（0，2） B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）

解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，

∴不等式f（2x﹣3）＞f（x+1）等价为f（|2x﹣3|）＞f（|x+1|），