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高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
![[理学]河海大学高等数学高等数学下册1-15考试试卷及解答](https://uimg.taocdn.com/c70174c3185f312b3169a45177232f60ddcce762.webp)
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设(,)z f u v =可微2(,)z f xy x =，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为 .3.改变积分顺序1210(,)x dx f x y dy ⎰⎰= .4.函数u=xyz 在点(1,1,1)处最大的方向导数是 .5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为1[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a = ，n b = .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.级数1(1)nn ∞=-∑一定 ( )； (A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)无法确定收敛性. 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )；(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4. 设),(y x f z =可微，则曲面)32,(y x xy f z +=的一个法向量是( )；(A)12{,,1}f f - ， (B) 1212{2,3,1}yf f xf f ++-， (C) {,2,1}yf f ''-， (D) 1212{2,3,1}yf f xf f ++5.设Ω是由锥面22y x z +=与平面2z =围成，则3dxdydz Ω⎰⎰⎰=( )；(A) 83π ， (B) 3π ， (C) 4π， (D)8π.6.若∑是上半球面z =，则对面积的曲面积分∑⎰⎰=（ ）；(A) 0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（ ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.4.求I=⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz ，其中∑是上半球面z =的上侧.5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点（0，0）的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.四.(8分)验证方程2223(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=是全微分方程，求其通解.五.(11分)求幂级数210121n n x n ∞+=+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求201(21)3nn n ∞=+∑的和.六.(12分)在第一卦限内作球面2221x y z ++=的切平面，使切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小，并且求切点坐标.2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷A1答案适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一.填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设2(,)z f xy x =，则zx∂=∂122yf xf + ，z y ∂=∂1xf .2.微分方程220y y y '''-+=的通解为12(cos sin )x y e C x C x =+ .3.改变积分顺序121(,)x dx f x y dy ⎰⎰=1/2211/011/21(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰. 4.函数u=xyz 在点(1,1,1)5.设以2π为周期函数()f x 傅里叶级数为01[cos sin ]2n n n a a nx b nx ∞=++∑ ， 那么n a =1()cos f x nxdx πππ+-⎰，n b =1()sin f x nxdx πππ+-⎰ .二.单项选择. (共7小题，每小题2分，共14分)1.下列说法正确的是（ B ）；(A)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定连续. (B)函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则一定连续.(C)函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则一定可微. (D) 函数),(y x f z =在点),(00y x 处无极限，，则偏导数一定不存在. 2.设曲线L 为正方形 1x y += 的边界，则Ldsx y+⎰ =( D )； (A) 0(B)(C) 3.积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是(A ).(A)x Q y P ∂∂=∂∂ ， (B) xQ y P ∂∂-=∂∂， (C) y Q x P ∂∂=∂∂ ， (D) y Q y P ∂∂=∂∂. 4.曲面2224x y z ++=在点的一个法向量是( B ).(A){1,1,1}- ，(B) {，(C) {1,1,， (D) {1,--5.函数22(,)44f x y x y x y =---的极大值为( C ).(A) (2,2)8f =- ， (B) (0,0)0f = ， (C) (2,2)8f -=， (D)不存在. 6. 若∑是上半球面z=，则对面积的曲面积分∑⎰⎰=（A ）.(A)0 ， (B) 2π ， (C) 4π， (D)8π. 7. 微分方程2dyxy dx=，(0)2y =的解为（C ）. (A) 2x ce ， (B) 2x e ， (C) 22x e ， (D) 22x ce . 三、计算下列各题.(共5小题，每小题8分，共40分)1.设01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩，求,u v x x ∂∂∂∂.解22u xu yvx x y ∂+=-∂+，…….. 4分 ……22u yu xv x x y∂-=∂+……. 8分 2.求曲面22y x z +=夹在平面z=0,z=4之间的曲面面积.解 ⎰⎰++=Ddxdy y x S 22441 ………… 4分=)11717(64120202-=+⎰⎰ππθrdr r d ……….. 8分3.222()Lx y z ds ++⎰,其中L 是曲线cos ,sin ,x a t y a t z t ===上相应于t 从0到2π的一段弧.解 222()L x y z ds ++⎰=dt a t t a t a 1)cos sin (2202222+++⎰π…… 4分222)a ππ+ (8)分4.求I=dydz dxdy ∑+，其中∑是上半球面z =的上侧.解 因为2221x y z ++=，则I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰由高斯公式得I=⎰⎰∑+∑++1zdxdy ydzdx xdydz - ⎰⎰∑++1zdxdy ydxdz xdydz ……4分=dxdydz ⎰⎰⎰Ω3-0………… 6分=2π-0=2π………… 8分5.求(sin )(cos )x x L I e y ky dx e y k dy =-+-⎰，其中L 是由点)0,(a 到点(0,0)的上半圆周022=-+ax y x （y ≥0）.解k yPx Q =∂∂-∂∂，由格林公式 1(sin )(cos )x x L L I e y ky dx e y k dy +=-+-⎰1(sin )(cos )x x L e y ky dx e y k dy --+-⎰=⎰⎰-Dkdxdy 0=28a kπ……… 8分四.(8分)设函数()y f x =满足全微分方程2(())(())0xy yf x dx f x x dy -++=，求()f x . 解 因为是全微分方程，则()()2P Qx f x f x x y x∂∂'=-==+∂∂，………. 4分 于是()(),f x f x x '+=-或y y x '+=-则 1x y x Ce =++，即 ()1x f x x Ce =++………..8分五.(12分)求幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑的收敛半径，收敛区域与和函数()s x .并且求0(1)(21)3nnn n ∞=-+∑的和. 解 R=1lim+∞→n nn a a =1 ……3 分. 因为1-=x ，1=x ，210(1)21n n n x n ∞+=-+∑发散，所以收敛区域为(1,1)-......5分 (21)0(1)arctan 21n n n x x n ∞+=-=+∑=()s x …………………8分令x =1)0(1)(2nn n n ∞+=-+∑=arctan 6π=…(1)(21)36n nn n ∞=-=+∑…..12分 六.(10分)求均匀半球体0z ≤≤的质心坐标.解 设 质心坐标为(,,)x y z ， 球体密度为ρ ，则x = 0y =… ..2分因为 32,,3zdv z dv a dv ρρρπρΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2/22401cos sin 4azdv d d r r d a ππρρθϕθθθρπΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰………..8分 于是，38z a =则质心坐标为3(0,0,)8π………..10分。
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值。
A. 0B. -1C. -4D. 12. 已知数列{an}的前n项和为S_n=n^2，求a_5。
A. 10B. 11C. 12D. 133. 极限lim (n→∞) (1 + 1/n)^n 的值是：A. eB. 1C. 2D. 34. 曲线y=x^3-3x^2+2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/46. 已知f(x)=2x-1，求f'(2)的值。
A. 3B. 2C. 1D. 07. 曲线y=x^2与直线y=4x-5的交点坐标是：A. (1,3)B. (2,3)C. (1,1)D. (2,7)8. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 19. 若f(x)在[a,b]上连续，且∫(a到b) f(x) dx = 0，则f(x)在[a,b]上：A. 恒等于0B. 至少有一个零点C. 恒为正D. 恒为负10. 函数y=ln(x)的原函数是：A. x-1C. x^2D. xln(x) - x + C二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的导数是________。
12. 微分方程dy/dx + 2y = 4x的解是________。
13. 已知∫(0到1) x dx = 1/2，那么∫(1到2) x dx =________。
14. 函数f(x)=x^2+1的二阶导数是________。
15. 利用导数求函数f(x)=x^3-2x^2+3x-4在x=2时的切线方程是________。
16. 函数y=e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是________。
17. 定积分∫(0到π/2) sin(x) dx的值是________。
华北水利水电大学2022高等数学期末考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A 、{4,1}-B 、A B ={1,5}C 、{3,5}D 、{1,3}2、若312i i z =++，则||=zA 、0B 、1 CD 、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x)=x^2-4x+4$的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 3答案：D2. 极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值是（）A. 0B. 1C. 2D. $\infty$答案：B3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. 3D. 12答案：C4. 微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A. $y=e^{tx}$B. $y=e^{t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$C. $y=e^{tx}(C_1 + C_2x)$D. $y=(C_1 + C_2x)e^{tx}$答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数$f(x)=\ln(x)$的定义域是______。
答案：$(0,+\infty)$6. 函数$f(x)=x^3-3x$的导数是______。
答案：$3x^2-3$7. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$的不定积分是______。
答案：$\ln|x|+C$8. 函数$f(x)=\sin x$的原函数是______。
答案：$-\cos x+C$三、计算题（每题10分，共30分）9. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答案：$\frac{1}{3}x^3|_0^1 = \frac{1}{3}$ 10. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。
答案：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$11. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的极值。
答案：函数的极值点为$x=1$和$x=3$，其中$x=1$为极大值点，$x=3$为极小值点。
四、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
大一高等数学期末考试试卷一、选择题(共12分）1. (3分）若为连续函数,则的值为（）。
（A)1 （B）2 （C)3 （D)—12。
（3分)已知则的值为( ).（A）1 （B）3 （C)—1 (D)3。
（3分）定积分的值为（ ).（A）0 （B）—2 （C）1 （D)24。
（3分）若在处不连续，则在该点处（）。
(A）必不可导（B)一定可导（C）可能可导 (D）必无极限二、填空题（共12分)1．（3分) 平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程为。
2。
(3分)。
3. （3分）= 。
4. (3分）的极大值为。
三、计算题(共42分）1.（6分）求2.(6分）设求3.（6分）求不定积分4.(6分）求其中5.（6分）设函数由方程所确定，求6.（6分)设求7.（6分）求极限四、解答题（共28分)1.(7分）设且求2.（7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋转体的体积。
3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.4.（7分)求函数在上的最小值和最大值。
五、证明题(6分)设在区间上连续，证明标准答案一、1 B; 2 C； 3 D； 4 A。
二、1 2 3 0； 4 0.三、1 解原式5分1分2解2分4分3 解原式3分2分1分4解令则2分1分1分1分1分5两边求导得2分1分1分2分6解2分4分7解原式= 4分= 2分四、1 解令则3分= 2分2分1分2解3分2分2分3解1分令得1分当时，当时, 2分为拐点, 1分该点处的切线为2分4解2分令得1分2分最小值为最大值为2分五、证明1分1分1分1分1分移项即得所证。
1分。
高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。
2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。
3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。
5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。
3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。
5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。
2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。
4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。
第三章 微分中值定理Ex16 中值定理一、1、不满足 ； 不存在。
2.、不满足 ； 存在。
3、θ = 125 。
4、ξ =914。
二、1. A 2. C 三、证明：因为)(x f 在],[b a 上二阶可导，所以)(x f 在区间],[c a 上连续，在(a,c)内可导，且 )()(c f a f =，由Rolle 定理知，至少存在一点 1ξ),(c a ∈，使得0)(1='ξf 。
同理，至少存在一点 2ξ),(b c ∈，使得0)(2='ξf 。
而)(x f '在区间],[21ξξ 上又满足Rolle 定理条件，故存在∈ξ],[21ξξ使0)(=''ξf ，即方程0)(=''x f 在),(b a 内至少有一个实根。
四、证明：令)()(x xf x g =，易知g(x) 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，由Lagrange 中值定理知，至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)01)(()0()1(-'=-ξg g g ，即 )()(0ξξξf f '⋅+=，再由0>ξ，可得ξξξ)()(f f -='。
五、证明：由)(x f 在],[b a 上有连续的导数，对],[,21b a x x ∈∀，根据lagrange 中值定理得，至少存在一点),(21x x ∈ξ使得))(()()(2121x x f x f x f -'=-ξ所以 |||)(||)()(|2121x x f x f x f -⋅'=-ξ。
而)(x f '在],[b a 上连续，因此必有界，即存在0>L ，对],[b a x ∈∀，都有L x f ≤'|)(|，所以2121)()(x x L x f x f -≤-。
六、证明：令()x x x F ln =，()xx G 1=。
则)(x F 、)(x G 在区间[a, b]上满足柯西中值定理的条件，至少存在一点()b a ,∈ξ使得)()()()()()(ξξG F a G b G a F b F ''=--， 即 221ln 111ln ln ξξξ--=--a b a a b b ，化简后即得 ()()1ln ln ln --=-ξa b b a a b 。
第五章 定积分Ex27 定积分的概念及性质一、1．(1)⎰=10233xdx , (2)⎰-=1130dx x , (3)⎰=π200sin xdx , (4)⎰=-RR dx x R 022241π, (5)⎰-=111||dx x .2．(1) ⎰⎰<213212dx x dx x ； (2)⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx(3)⎰⎰+>1010)1ln(dx x xdx ； (4)⎰⎰+>101)1(dx x dx e x3．(1)dx x ⎰+101 (2)dx x⎰+111(3)dx x⎰-10241(4)⎰+10211dxx二、x x f =)( 连续，因此可积。
故可取特定划分：n 等分]2,1[区间，则n x i 1=∆，并取nii +=1ξ，由定义得 211111111lim ()lim lim (1)lim [(123......)]111lim[1(1)]22nni i i i n n n n i i n n xdx f x x i n n n n n n n ξξ∞→∞→∞→∞→∞===→∞=∆=∆=+=++++=++=∑∑∑⎰三令x x x f arctan )(=，易知)(x f 在]3,31[上递增，故2(),arctan 6393f x xdx πππ<<<<从而四、1．0211lim 1lim 210=⋅+=+∞→∞→⎰ξξn n n n dx x x ]2/1,0[∈ξ2．03sin lim sin lim 30=⋅=∞→∞→⎰πξπnn n n xdx1sin ],3/,0[<∈ξπξ..02)().(0)(),,(),,(,,0)()(lim ,),,()1(0)(.0)(],,[0000000000000矛盾则为某一正数有当由保号性即处连续在由若不妨设使得五、反设>>++=>>∈∃>=∈>≠∈∃⎰⎰⎰⎰++--→δδδδδδδr dx x f r r x f x U x x U x f x f x f b a x x f x f b a x bx x x x aba x x..0)()(.0)(),,(,0,0)()(lim ,,)(0矛盾则为某一正数有当由保号性即处右连续在由＝若２>>+=>>+∈>∃>=⎰⎰⎰++→+δδδδδr dx x f r r x f a a x a f x f a f a x ba a aba ax .)2(,)3(0证明同＝若b xEx28 积分上限函数一、1．⎰=b a dx x dx d 0sin 2; ⎰=22sin sin x dt t dx d ; ⎰-=b x x dt t dxd 22sin sin 2．t dxdy cot =；3．16)2(=f ； 4．1cos lim 2002=⎰→x tdt x n ； 5．()a af at d f t taat =-⎰→ττ)(lim二、解:()()()()()x x xaa a F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰()()()()()'x x aaF x f t dt xf x xf x f t dt ∴=+-=⎰⎰（2）解：对方程两边求导可得:2'2cos 0y ey x -⋅+= 2'2cos y y e x ∴=-⋅三、证明:()()()()()()x f x f dt dt t f x F b a t f x a 1,11''+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ ()[]b a x f ,在 上连续,且()0>x f ()2'22F x ⎤∴=+≥ ()()()()1120abf t f t ba F a dt dt ==-<⎰⎰, ()()0baF b f t dt =>⎰又()[]b a x F ,在上可导, 则()[]b a x F ,在上连续.()(),0<⋅b F a F 又因(),02'>≥x F 故()[]b a x F ,在上单调增,从而()[]b a x F ,在内只有一实根 。
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx xy =sin ；7、xxeC eC x C x C y 2423212sin 2cos-+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂；2、)()(t x f t x f xu --+=∂∂；)()(t x f t x f tu -++=∂∂；四、1、)1(2142020220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰edy yedx edy dy edx yyyxy；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ202212022132233142rdz r dr d dz r dr d I 柱面坐标；五、令2222,yx x Q yx y P +=+-=则xQ y x xy yP ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ；于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x DllL llLdxdy yP xQ Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0=xx f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(limxf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim2)](1)[0(2x f f +'=即)0()(1)(2f x f x f '=+'c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232lim t n t n tn n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛；当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷)专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位”一,填空题 (每题4分,共32分)1. 213______4x y kx y z k π+-=-==若平面与平面成角,则 1/42. 曲线20cos ,sin cos ,1tu tx e udu y t t z e ==+=+⎰ 在t = 0处的切线方程为________________3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x∂∂为____________4.(),dy f x y dx ⎰1交换的积分次序为_________________________5．()2221,L x y x y ds +=-=⎰L 已知是圆周则 _________π-6. 收敛7. 设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是2,则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛半径是8. ()211x y ''+=微分方程的通解是()2121arctan ln 12y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分)1．讨论函数 f ( x, y ) = 221,x y+ 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。
P 。
3302．求函数2222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿O P 0方向的方向导数，其中O 为坐标原点。
3．212.1n n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑判别级数的敛散性 P ．544 012112x y z ---==zz yz x e xy ∂=∂-211sin ____________1n n n ∞=++∑级数的敛散性为4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dzf dy f x f dx y f '+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⋅'2211.5．,,3622欲造一无盖长方形容器,已知其底部造价为3元/m 側面造价为1元/m 现想用元造一容积最大的容器,求它的尺寸.答：长宽为2M ，高为3M 。
