九年级数学频率与概率8

数学上“频率”与“概率”的关系？我是中考数学当百荟，从事初中数学教学三⼗多年。

说到“频率”与“概率”的关系，⾸先要了解初中数学中基本的统计思想：⽤样本估计总体，⽤频率估计概率；其次，要知道数学试验的统计量：频率=频数/总次数。

频率是通过试验得到的统计量，⽽概率是通过建⽴数学模型，计算得到的理论值。

在⼀定的情况下，可以⽤频率去估计（代替）事件发⽣的概率。

⼀。

⽤样本估计总体统计中，通常通过调查的⽅式获取相关的统计量。

调查通常有两种⽅式：普查和抽样调查。

⽐如：第六次全国⼈⼝普查（2010年11⽉1⽇），就是在国家统⼀规定的时间内，按照统⼀的⽅法、统⼀的项⽬、统⼀的调查表和统⼀的标准时点，对全国⼈⼝普遍地、逐户逐⼈地进⾏的⼀次性调查登记。

这次⼈⼝普查登记的全国总⼈⼝为1,339,724,852⼈这个数据采⽤的就是普查⽅式得到的。

⽽国家统计局每季度发布的居民⼈均可⽀配收⼊、居民消费价格指数、调查失业率等统计指标，是采⽤抽样调查⽅式获取的。

当统计的总体容量很⼤，调查耗时费⼒，调查成本巨⼤或者试验具有破坏性时，不宜采⽤普查⽅式，就要⽤抽样的⽅式来进⾏统计，然后⽤样本的统计量，去估计总体统计量。

这种统计思想就叫做⽤样本估计总体。

⽐如：某照明企业⽣产⼀批LED灯泡，为统计这批LED灯泡的使⽤寿命，采⽤哪种调查⽅式⽐较适合呢？因为要了解LED的使⽤寿命，按试验要求，就必须将LED灯泡变成“长明灯”，⼀直点亮直⾄⾃然熄灭（寿终正寝）。

这样试验是具有破坏性的，显然不能⽤普查⽅式，只能采⽤抽样的⽅式来进⾏。

从这批LED灯泡中，随机抽取50只灯泡作为⼀个样本，通过试验得到这个样本的平均使⽤寿命为3000⼩时，然后我们就说该企业的这批LED灯泡（总体）的使⽤寿命为3000⼩时。

⼆。

⽤频率估计概率俗话说，天有不测风云，⼈有旦⼣祸福。

这句话从数学的⾓度来理解就是，在⾃然界和⼈类社会中，严格确定的事件是⼗分有限的，⽽随机事件却是⼗分普遍的，概率就是对随机事件的⼀种数学的定量描述。

九年级数学频率与概率的计算数学是一门具有重要意义的学科，频率与概率是数学中一个非常重要的概念。

在九年级的数学课程中，频率与概率的计算是必不可少的内容。

本文将详细介绍九年级数学中频率与概率的计算方法。

一、频率的计算方法在统计学中，频率是指某一事件在一定次数内发生的次数。

频率的计算公式为：频率 = 事件发生的次数 / 总次数。

以一个实际的例子来说明频率的计算方法。

假设某班级有30名学生，其中有10名学生喜欢打篮球。

那么我们可以通过统计每个学生的喜好，来计算喜欢打篮球的频率。

首先，我们需要记录每个学生的喜好情况，然后统计喜欢打篮球的学生数目。

在这个例子中，假设有7名学生喜欢打篮球，那么频率 = 7 / 30 = 0.23。

通过计算，我们可以得知喜欢打篮球的学生频率为0.23，也就是说在这个班级中有约23%的学生喜欢打篮球。

二、概率的计算方法概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

概率的计算方法可以通过频率来进行估算。

概率的计算公式为：概率 = 事件发生的次数 / 总次数。

以一个掷骰子的例子来说明概率的计算方法。

骰子有六个面，每个面上都有一个数字（从1到6）。

假设我们想知道掷骰子后出现偶数的概率。

首先，我们需要统计出现偶数的次数。

在掷骰子的30次实验中，我们记录到有20次出现了偶数。

那么偶数的概率 = 20 / 30 = 0.67。

通过计算，我们可以得知掷骰子后出现偶数的概率为0.67，也就是说在这个实验中有约67%的可能性出现偶数。

三、频率与概率的关系频率与概率之间存在着密切的关系。

当实验次数趋于无穷大时，频率将趋于概率。

也就是说，概率可以通过频率进行估算。

在实际应用中，我们经常使用频率来估算概率。

通过进行大量的实验，我们可以得到事件发生的频率，从而可以估算出概率。

比如，我们可以通过进行一系列实验来估算同时掷两个骰子后出现两个六的概率。

在100次实验中，我们记录到出现两个六的次数为15次。

那么概率≈ 15 / 100 = 0.15。

25.3 用频率估计概率〔肖莲琴〕一、教学目标 〔一〕学习目标1．通过掷硬币、掷图钉，经历猜想、试验、收集数据、分析结果的过程，体会当试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，开展学生根据频率的集中趋势估计概率的意识． 2．在生活实际问题中进一步体会利用频率的集中趋势估计概率，开展学生应用数学的能力． 〔二〕学习重点通过试验操作理解频率的稳定性. 〔三〕学习难点能根据频率的集中趋势估计概率，并理解概率与频率之间的关系. 二、教学设计 〔一〕课前设计 1．预习任务〔1〕频率：在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，那么比值_____称为事件A 发生的频率．概率：刻画事件A 发生的可能性 大小 的数值称为事件A 发生的概率．〔2〕掷一枚质量均匀的硬币时会出现 正面向上 和 反面向上 两种结果，这两种结果发生的可能性是 一样的 ．准备一枚均匀的一元硬币，随机掷10次，并将你的结果记录在下表中：〔3〕阅读教材第142随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的 稳定性 ，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的 概率 ． 2．预习自测〔1〕色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随mn机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为〔〕【知识点】频率的稳定性【解题过程】解：观察表格中频率的变化规律，当试验次数较大时，频率稳定在0.07附近，因此可以估计男性患色盲的概率为0.07.【思路点拨】并观察频率的变化规律【答案】B〔2〕关于频率和概率的关系，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率等于概率C．当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近D．因为掷硬币出现正面向上的概率是0.5，所以抛掷一枚均匀硬币10次，一定出现5次正面向上【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：A频率是试验值，由试验结果断定；概率是理论值，由事件本质决定，因此说法错误；B屡次重复试验中频率稳定在概率附近，不一定相等，因此说法错误；C在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，说法正确；D试验次数较少，偶然性较大，因此说法错误.【思路点拨】理清频率与概率的区别与联系：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，因此可以用屡次重复试验中的频率估计概率．【答案】C〔3〕在一个不透明的袋子里装有除颜色以外均一样的8个黑球，4个白球，假设干个红球，每次摇匀以后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中的红球有〔 〕个. A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 【知识点】频率估计概率【解题过程】解：设袋子中红球有x ∴4.048=++xx，解得x ＝8．【思路点拨】大量重复试验中，摸到红球的频率稳定于0.4，因此可以推测摸到红球的概率也为0.4，再根据概率的计算公式可得红球数量． 【答案】B（4）某乳业集团位于内蒙古天然草场的养牛基地共有4500头牛，饲养员为了了解清楚公牛和母牛的比例，随机捕捉了200头牛做调查，发现其中母牛有180头，请估算该养牛基地共有〔 〕头公牛.A ．500B ．4050C ．3200D ．450 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：在随机捕捉的200头牛中公牛数量为200-180=20头，那么估计该养牛场公牛占比为20÷200×100%=10%，估计公牛总量为4500×10%=450头. 【思路点拨】随机样本中的公牛比例与整个养牛基地的公牛比例近似相等. 【答案】D 〔二〕课堂设计 1．知识回忆〔1〕在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率． 〔2〕我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果． 【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫. 2．问题探究探究一 通过频率估计概率〔★，▲〕 ●活动① 以旧引新教师提问引入：周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是教师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样教师很为难．请大家帮教师想一个公平的方法，来决定把这张票给谁．学生：抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、……教师对学生较好的想法予以肯定，并从中抽选出掷硬币的方法． 师追问：为什么要用掷硬币的方法呢？生答：掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大．师问：用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上〞还是“反面向上〞，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的．但是，我们的直觉是可靠的吗？掷硬币出现“正面向上〞和“反面向上〞的可能性真的是相等的吗？有什么方法可以验证呢？ ●活动② 大胆操作，探究新知掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上〞的频率nm的变化趋势 师问：课前，我们每个同学都进展了掷硬币的试验，并计算了“正面向上〞的频率，你有什么发现呢？汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？现在，我们就将每个组掷硬币的数据累计到excel 表格中〔见附件1〕：抛掷次数n50 100 150 200 250 300 350 400 “正面向上〞的频数m “正面向上〞的频率nm根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“正面向上〞的频率nm有什么规律？ 学生观察折线统计图 生1答：频率nm 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定 生3答：随着试验次数的增大，频率nm【设计意图】从学生们熟悉的掷硬币活动入手，既简单易操作，且更容易使学生看出频率稳定在0.5的附近，也即是概率的附近．●活动③ 掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上〞的频率nm的变化趋势． 师问：可能有同学会觉得教师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率为0.5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？ 师问：〔拿出一枚图钉〕大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上〞的概率是多少吗？ 生答：不知道〔假设有答复“针尖向上〞概率为0.5的，需要教师及时引导由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上〞和“针尖向下〞两种事件的结果出现的可能性不一样大〕 师问：你能想方法得到“针尖向上〞的概率吗？学生小组讨论，设计方案：类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上〞的概率．小组合作，得到抛掷50次图钉的数据．教师累计全班数据到excel 表格中〔见附件2〕：根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“针尖向上〞的频率nm有什么规律？ 学生观察折线统计图 生1答：频率nm约等于…… 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定 生3答：随着试验次数的增大，频率nm稳定在……的附近【设计意图】生活中有很多等可能性事件，不用试验也可以通过列举法理论分析出它发生的概率，但也有很多类似掷图钉的事件，它们不是等可能性试验，那它们发生的概率该如何得到呢？因此设计了本活动，鼓励学生合作探究，通过不熟悉的掷图钉活动，进一步感受当试验次数很大时，频率会稳定在一个固定的值的附近，因此可以用大量重复试验的频率估计概率． 总结：〔1〕随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔2〕概率与频率之间是有区别和联系的：①区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．②联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔3〕用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等〞的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大． 探究二 频率估计概率在生活实际问题中的应用 ●活动① 根底性例题例1 一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均一样，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A ．小明从袋子中取出白球的概率是1 B ．小明从袋子中取出黄球的概率是0 C ．这次试验中，小明取出白球的频率是1D ．由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．小明从袋子中取出白球的概率是53，故A 选项错误；B ．小明从袋子中取出黄球的概率是52，故B 选项错误；C ．这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故C 选项正确；D ．仅进展了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D 选项错误．【思路点拨】此题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样．在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．不能将频率、概率混为一谈． 【答案】C练习 抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为21，它表示〔 〕 A ．连续抛掷硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B ．每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上C ．连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上D ．大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A 选项错误；B ．每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B 选项错误；C ．连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也不能确定是100次，故C 选项错误；D ．大量反复掷硬币，出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每两次会出现一次反面朝上，故D 选项正确． 【思路点拨】 【答案】D例2 小颖和小红两位同学在学习“概率〞时，做投掷骰子〔质地均匀的正方体〕试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：〔1〕计算“3点朝上〞的频率和“5点朝上〞的频率；〔2〕小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大．〞小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．〞小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵“3点朝上〞出现的次数是8次， ∴“3点朝上〞的频率是152608=； 又∵“5点朝上〞出现的次数是15次， ∴“5点朝上〞的频率是416015= 〔2〕小颖和小红的说法都不正确但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，不能直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的．如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率61的附近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也是错误的．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程练习 为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明和小华做了屡次试验，并将结果记录在下表：〔1〕分别计算抛掷次数为50次和200次时，针尖着地的频率；〔2〕根据计算结果，小明认为：“抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45〞，小华认为：“每抛掷100次这种图钉，一定出现45次针尖着地〞．你认为他们的说法正确吗？为什么？【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵抛掷50次时，“针尖着地〞的频数是23， ∴“针尖着地〞的频率是46.05023=； 又∵抛掷200次时，“针尖着地〞的频数是89， ∴“针尖着地〞的频率是445.020089= 〔2〕小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45；小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45，所以每抛掷100次这种图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不能说一定是45次．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程【设计意图】对于初学者而言，“频率〞、“概率〞两个词只有一字之差，容易混为一谈，但其实二者是既有区别又有联系的．通过例1、例2及两个练习题，使学生充分理解频率和概率两个概念的含义． ●活动2 提升型例题例1 下表是某机器人做9999次“抛硬币〞游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率.〔1〕由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_______次正面朝上，正面朝上出现的频率是________．〔2〕由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到次正面朝上，正面朝上出现的频率约是．〔3〕观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正面朝上，正面朝上的频率是20%；〔2〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次正面朝上，正面朝上的频率是50.1%；〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性．【答案】〔1〕1 20%〔2〕5006 50.1%〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．练习一粒木质中国象棋子“兵〞，它的正面雕刻一个“兵〞字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵〞字面朝上，也可能是“兵〞字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵〞字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：〔1〕请你数据表补充完整；〔2〕如果实验继续进展下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕∵试验总次数为40，而“兵〞字面朝上的频率为0.45，∴“兵〞字面朝上的频数＝40×0.45＝18又∵试验总次数为120，而“兵〞字面朝上的频数为66，∴〔2〕观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加，“兵〞字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近，因此估计“兵〞字面朝上的概率为0.55．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性，因此可以用大量重复试验下的频率估计概率．例2 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全一样的球，这a个球中只有3个红球．假设每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，那么a的值大约为____．【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法【解题过程】由于通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，所以，摸到红球的概率就为20%．因为，一共有a个除颜色外完全一样的球，其中只有3个红球所以，摸到红球的概率为3=a20%解得：a＝15所以，a的值为15【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重复试验得到，也可以通过古典概型的计算公式得到．【答案】15练习为了估计暗箱里白球的数量〔箱内只有白球〕，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，屡次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个． 【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法所以，摸到红球的概率就为0.2．设一共有x 个白球，其中有5个红球，所以一共有(x ＋5)个球 所以，摸到红球的概率为55x 解得：x ＝20所以，有20个白球．【思路点拨】古典概型的概率可以根据概率的计算公式求，也可以根据大量重复试验所得的频率来求，这样始终就存在一个等量关系，利用这个等量关系，往往可以求一些未知的数量. 【答案】20【设计意图】通过数量直接求频率、用频率估计概率和逆用概率公式求数量两个方向的例题及练习题目，进一步加深学生对频率、概率的理解，为学生能顺利解决下一组例题奠定根底． ●活动3 探究型例题例1 某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率，应采用什么具体做法？ 〔1〕如图是一张模拟统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空：〔2〕从上表可以发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是估计该幼树移植成活的概率为______．〔3〕假设某校需要移植500棵该种幼树，估计需要向这个园林公司购置多少棵幼树？〔结果保存整数〕【知识点】设计频率统计方案，用频率估计概率【解题过程】设计的方案为：在同样条件下，对这种幼树进展大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率．随着移植数n 越来越大，成活频率nm会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值．〔1〕直接用成活数m 除以移植总数n〔2〕观察频率的变化趋势发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定在0.9的附近，因此可以估计该幼树移植成活的概率为0.9；假设需要购置x 课该种幼树，那么由题意可得：9.0500=x解得：556≈x需要购置556课该种幼树 【答案】见上面解题过程练习：某地区林业局要考察一种树苗移植的存活率，对该地区这种树苗移植成活情况进展了统计，并绘制了如下图的统计图，根据统计图提供的信息解决以下问题：/千棵〔1〕这种树苗成活的频率稳定在_________，成活的概率估计值为_________ 〔2〕该地区已经移植这种树苗5万棵 ①估计这种树苗成活了_______万棵；②如果该地区方案成活18万棵这样的树苗，那么还需要移植这种树苗约多少万棵？ 【知识点】屡次重复试验，用频率估计概率【解题过程】〔1〕观察统计图可以发现当移植数量较多时，成活的频率稳定在0.9的附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9；〔2〕①②∵18－4.5＝13.5〔万棵〕∴还需移植13.5÷0.9＝15〔万棵〕【思路点拨】首先观察统计图估计出这种树苗成活的概率为0.9，然后利用成活概率和移植总数就可以计算出成活的树苗，也可以用方案成活的树苗和概率求出应移植的树苗．【答案】〔1〕0.9 0.9 〔2〕①4.5 ②15万棵例2 某水果公司以2元/kg的本钱价新进10000kg的柑橘．销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取假设干柑橘，进展“柑橘损坏率〞统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮助完成此表．如果公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘〔去掉损坏的柑橘〕时，每千克大约定价为多少元比拟适宜？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】①表格：0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103．②根据表格中的频率变化规律，可以估计柑橘损坏的概率为0.1，即柑橘完好的概率为0.9，所以在10000 kg的柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000〔kg〕完好柑橘的实际本钱为22.29.029000100002≈=⨯〔元/kg 〕设每千克柑橘的售价为x 元，那么50009000)22.2(=⨯-x解得：8.2≈x ．【思路点拨】先计算柑橘损坏的频率nm，再观察频率的变化趋势，根据频率估计出损坏柑橘的概率，得到销售商实际销售的完好的柑橘数量，计算出完好柑橘的实际本钱，再根据利润为5000元建立方程即可． 【答案】见上面解题过程．练习：某制衣厂对该厂生产的名牌衬衫抽检结果如下表：〔1〕补全表格〔结果保存2位小数〕〔2〕假设该制衣厂一共生产了1000件这种衬衫，且每件衬衫的本钱价为80元，要使这批衬衫能获利17000元，那么在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为多少元？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】〔1〕根据频率的计算公式：频率＝不合格件数÷抽检件数 ∴，〔2〕根据表格中的频率变化规律，可以估计这批衬衣不合格的概率为0.03，即合格的概率为0.97，所以在1000件的衬衣中合格的衬衣有 1000×0.97＝970〔件〕设在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为x 元，那么由题意可得：970x －1000×80＝17000 解得：x ＝100∴在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为100元．【思路点拨】观察不合格衬衣频率的变化趋势，根据频率估计出不合格衬衣的概率，得到这批衬衣合格的件数，再根据利润为17000元建立方程即可．〔2〕100元【设计意图】频率、概率来源于生活，又效劳于生活，通过树苗移植成活率、柑橘的定价问题，将频率、概率与实际生活联系起来，表达了用数学的思想．3．课堂总结知识梳理〔1〕生活中有一些随机事件发生的概率不能用列举法得到，只能通过大量重复试验估计随机事件的频率；〔2〕当试验次数很大时，频率稳定在一个固定的数值附近，这个数值就是该事件发生的概率，但频率和概率不能简单的等同；〔3〕概率与频率之间的区别和联系：区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．重难点归纳〔1〕通过大量重复试验，频率会稳定在概率的附近；〔2〕生产生活中，可以设计大量重复试验来估计随机事件的概率；〔3〕求随机事件的方法：列举法〔等可能性事件〕、试验法〔不等可能事件〕．〔三〕课后作业根底型自主突破1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率会随着试验结果的变化而变化D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【知识点】频率与概率的意义。

九年级数学概率知识点九年级数学概率知识点【篇一】一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).【篇二】教学内容：1、事件间的关系及运算2、概率的基本性质教学目标：1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系;2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算;3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。

教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。

教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。

教学的具体过程：引入：上一次课我们学习了概率的意义，举了生活中与概率知识有关的许多实例。

今天我们要来研究概率的基本性质。

在研究性质之前，我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。

事件的关系与运算老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)学生可能回答：﹛出现的点数=1﹜记为C1，﹛出现的点数=2﹜记为C2，﹛出现的点数=3﹜记为C3，﹛出现的点数=4﹜记为C4，﹛出现的点数=5﹜记为C5，﹛出现的点数=6﹜记为C6.老师：是不是只有这6个事件呢?请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答：是)类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。

初中数学频率和概率之间有什么关系频率和概率是统计学中两个相关但不完全相同的概念。

它们之间的关系可以通过大数定律来解释。

下面我们详细介绍频率和概率之间的关系。

频率是指某个事件在一定条件下重复出现的次数。

通过观察和统计事件发生的次数，我们可以得到频率。

频率是通过实验数据来计算的，是实际观测到的相对频数。

概率是指某个事件在理论上发生的可能性大小。

概率是一个理论上的数值，表示某个事件发生的可能性。

概率是基于某种假设或模型来计算的，是一种推断或估计。

频率和概率之间的关系可以通过大数定律来理解。

大数定律是统计学中的一个重要定律，它指出当实验次数足够多时，频率会逐渐接近概率。

也就是说，当实验次数足够多时，频率的平均值会趋近于概率的理论值。

大数定律的数学表达如下：lim(n→∞) P(|频率-概率| < ε) = 1其中，n表示实验次数，ε表示一个很小的正数。

这个定律表明，当实验次数足够多时，频率与概率之间的差异会趋于很小，几乎可以认为它们相等。

举个例子来说明频率和概率之间的关系。

假设我们要计算投掷一个骰子出现数字6的概率。

我们进行了100次实验，记录下骰子出现数字6的次数为20次。

那么频率为20/100=0.2。

根据大数定律，当实验次数足够多时，频率会逐渐接近概率。

也就是说，当我们进行足够多次的实验时，骰子出现数字6的频率会逐渐接近真实的概率。

因此，通过频率我们可以估计出概率的大小。

需要注意的是，频率是通过实验数据来计算的，具有一定的随机性，而概率是一个理论上的数值，不受具体实验数据的影响。

因此，在实际应用中，我们通常会根据频率来估计概率的大小，但不能认为频率就等于概率。

频率只是一种用来近似概率的方法，而概率是一个理论上的数值。