第二章圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程
温故知新
新知预习
1.在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程F(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做,这条曲线叫做.
2.如果曲线C的方程是F(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是 . 基础示例
1.下列命题中，真命题的个数是（）
①若曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，则C的方程是F(x,y)=0②若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点，则方程F(x,y)=0的曲线是C ③若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点，则曲线C的方程是F(x,y)=0
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：A
2.方程x2+xy=x的曲线是（）
A.一个点 Ｂ.一条直线
Ｃ.两条直线 Ｄ.一个点和一条直线
答案：C。
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一曲线方程概念的理解1.在建立了平面直角坐标系之后,平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应关系,现在要求我们进一步研究平面内的曲线与含有两个变量的方程之间的关系.平面内的曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合(或轨迹)也就是说:(1)曲线上的每一个点都要符合某种条件;(2)每个符合条件的点都要在曲线上既然平面内的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了对应关系,那么对应于符合某种条件的一切点,它的坐标是应该有制约的,也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题,就变为探求这些点的横坐标与纵坐标应满足怎样的约束条件的问题,含两个变量x、y的方程F(x,y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的约束.2.在曲线的方程的定义中,曲线上的点与方程的解之间的关系(1)和(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的从集合的角度来看,设A是曲线C上的所有点组成的点集,B是所有以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的点集,则由关系(1)可知A⊆B,由关系(2)可知BCA;同时具有这两个关系,就有A=B.3.从充要条件的角度理解,即“某点在曲线上”与“点的坐标满足曲线的方程”之间是互为充要条件的.知识点二圆系方程1.曲线系:同时具有某一特征的一组曲线叫做一个曲线系;它们的共同方程叫做这个曲线系的曲线系方程2.圆系方程:(1)过两已知圆交点的圆系方程:两相交圆C:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.则过其交点的圆系方程为:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).(2)过直线与圆交点的圆系方程:直线Ax+By+C=0与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则过其交点的圆系方程为:x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. 典型例题分析题型1曲线的方程与方程的曲线 【例1】判断下列命题是否正确:①设点A(2,0)、B(0,2),则线段AB 的方程是x+y-2=0; ②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y=x -25; ③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x 2-y 2=0. 解析 根据曲线与方程的定义,逐条检验“两性”答案 命题①中方程x+y-2=0表示一条直线,坐标满足该方程的点如(-1,3)等不在线段AB 上,故命题①错误;命题②中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为x 2+y 2=52,方程y=x -25表示的曲线是圆x 2+y 2=25除去x 轴下半部分的曲线,故命题②错误命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,满足x 2-y 2=0,反过来坐标满足方程x 2-y=0的点到两坐标轴的距离相等,故命题③正确规律总结 判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上【变式训练1】下列命题是否正确?若不正确,说明原因 (1)过点A(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x|=2; (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x答案(1)错误,因为以方程|x|=2的解为坐标的点,不都在直线l 上,直线l 只是方程|x|=2所表示的图形的一部分(2) 错误,因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y=x 和y=-x,故y=x 不是所求的轨迹方程题型2曲线的交点【例2】求通过直线2x+y+4=0及圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,并且面积最小的圆的方程 解析 利用圆系公式可求出变圆的半径,参变量取适当值时可使变圆半径最小答案 设圆的方程是(x 2+y 2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0,即[x+(1+λ)2+(y+24-λ)=4161652+-λλ.设该圆半径为R,由圆面积公式S=πR 2,得R 2=4161652+-λλ取最小值的面积为最小.而R 2=45（λ-58）2+54,所以当λ=58时,圆面积最小.此时圆的方程是5x 2+5y 2+26x-12y+37=0.规律总结 最值问题要先列出目标函数,再利用合适的方法求最值【变式训练2】已知直线x+y+b=0与曲线x 2-1+y=0有公共点,则b 的取值范围是 .答案 联立两曲线方程,消去y 得x 2-x-(1+b)=0.由题意得△≥0,即1+4(1+b)≥0,解得b ≥-45规律 方法 总结1.判断方程是否是曲线方程,要从两方面着手,一是检验点的坐标是否适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上2.判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价 性,否则变形的方程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分 解法等3.在求轨迹方程时经常遇到已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题, 而解决这类问题的解法称为代入法(或相关点法),而此法的关键是如何来表示出相关的点定时 巩固 检测基础训练1.如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C 上”是不正确的,那么下列命题中正确的是 ( ) A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C 上 B.曲线C 上的点的坐标不都满足方程f(x,y)=0C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C 上,有些不在曲线C 上D.至少有一个不在曲线C 上的点,其坐标满足f(x,y)=0 【答案】D(点拨:由简易逻辑推理可得)2.已知圆C 的方程f(x,y)=0,点A(x 0,y 0)在圆外,点B(x ´,y ´)在圆上,则f(x,y)-f(x 0,y 0)+f(x ´,y ´)=0表示的曲线是 ( ) A.就是圆C B.过A 点且与圆C 相交的圆 C.可能不是圆 D.过A 点与圆C 同心的圆 【答案】D(点拨:由点B(x ´,y ´)在圆上, ∴f(x ´,y ´)=0,即方程为f(x,y)-f(x 0,y 0)=0, ∴方程过点A(x 0,y 0) 又f(x 0,y 0)为常数,∴f(x,y)-f(x 0,y 0)=0仍为圆的方程.)3.已知A(1,0),B(-1,0),动点M 满足|MA|-|MB|=2,则点M 的轨迹方程是 ( ) A.y=0(-1≤y ≤1) B.y=0(x ≥1) C.y=0(x ≤-1) D.y=0(|x|≥1) 【答案】C(点拨:由|MA|-|MB|=2可设M(x,y),则()()222211y x y x ++-+-=2整理得:y=0,又|MA|-|MB|>0,∴x ≤-1.)4.点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,则a= . 【答案】31(点拔:将点代入方程中即可.) 5.已知两定点A(-1,0),B(2,0),动点P 满足21=PB PA,则P 点的轨迹方程是 . 【答案】x 2+4x+y 2=0(点披：将|PA|与|PB|用距离公式表示出整理即可,)6.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，1l ,交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【答案】如下图,设M 点的坐标为(x ，y),则A(2x,0),B(0,2y)∵1l ⊥2l ,2l P(2,4),∴PA ⊥PB,k PA ·k PB =-1,而k PA =x x -=-12224(x ≠1),k PB =2042--y =2-y, ∴x-12·(2-y)=-1,整理得x+2y-5=0(x ≠1). ∵当x=1时,A(2.0),B(0,4∴AB 的中点M(1，2)也满足方程x+2y-5=0,综上所述,点M 的轨迹方程为x+2y-5=07.线段AB 的长度为10.它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹是什么? 【答案】解法一：由题意可知AB 的中点P 恒满足到原点(0,0）的题离为5,所以点P 的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆.解法二:设P 点的坐标为(x,y),由中点坐标公式知A(2x ，0),B(0,2y),因为|AB|=10,所以2244y x +=10,即x 2+y 2=25,所以点P 的轨为以原点为圆心,以5为半径的圆能力提升8.如图所示的曲线方程是 （ ）A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.y x =0D.yx -1=0【答案】B(点拔:A 中y ≥0与图形不符,C 、D 中都不满足y= 0,而图形过原点,所以排除C 、D,只有B 符合题意.) 9.(1)方程(x+y-1)1-x =0表示什么曲线?(2)方程2x 2+y 2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 【答案】(1)由方程(x+y-1)1-x =0可得⎩⎨⎧=-+≥-010,1y x x 或⎩⎨⎧=-≥-.01,01x x 即x+y-1=0(x ≥1)或x=1,表示直线x=1和射线x+y-1=0(x ≥1).(2)方程左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0,∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0)1(,0)1(222y x 得⎩⎨⎧-==,1,1y x∴方程表示的图形是点A(1,-1).10.求经过两圆C 1：x 2+y 2+6x-16=0,C 2:x 2+y 2-4x-5=0的交点,且过点(2,1)的圆的方程. 【答案】 设圆的方为x 2+y 2+6x-16+λ（x 2+y 2-4x-5)=0又因为圆过点(2,1),代入方程得λ=81,所以所求圆的方程为x 2+y 2+6x-16+81(x 2+y 2-4x-5)=0.即9x 2+9y 2+44x-133=0.（点拨:过相交的两个圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0,C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0(λ≠-1).11.设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a(a>0),试求点P 的轨迹方程,并探求点P 的轨迹 【答案】设动点P 的坐标是(x ，y),由PBPA =a(a>0)得2222)()(yc x y c x +-++=a,简得(1-a 2)x 2+2c(1+a 2)x+c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.当a ≠1时,得x 2+221)1(2aa c -+x+c 2+y 2=0,整理得22211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c a a x +y 2=2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ac ；当a=1时，化简得x=0,所以当a ≠1时,P 点的轨迹是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,1122c a a 为圆心，122-a ac为半径的圆:当a=1时,P 点的轨迹是y 轴.。
数学人教B 选修2-1第二章2.1 曲线与方程1．了解曲线与方程的对应关系．2．了解两条曲线交点的求法．3．了解用坐标法研究几何性质．4．掌握求曲线的方程和由方程研究曲线的性质．1．点的轨迹方程一般地，一条曲线可以看成________________的轨迹，所以曲线的方程又常称为____________的点的轨迹方程．【做一做1】到A (2，－3)和B (4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝02．曲线的方程与方程的曲线的定义(1)在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系： ①__________________________________；②__________________________________.那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关系①和②缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A 是曲线C 上的所有点组成的点集，B 是所有以方程F (x ，y )＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系①可知A ⊆B ，由关系②可知B ⊆A ；若同时具有关系①和②，就有A ＝B .(2)曲线C 用集合的特征性质描述法，可以描述为C ＝{M (x ，y )|F (x ，y )＝0}．【做一做2】下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A ．y ＝x 与x ＝y 2B ．y ＝x 与x y＝1 C ．||y ＝||x 与x 2－y 2＝0D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x3．两曲线的交点已知两条曲线C 1：F (x ，y )＝0和C 2：G (x ，y )＝0，求这两条曲线的交点坐标，只要求方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0G (x ，y )＝0的________就可以得到．曲线的交点问题需转化为二元方程组的求解问题，那么，解二元方程组的一切思路方法和相关知识，都是求两曲线交点的基本依据和方法．【做一做3】曲线y ＝x 2＋1和y ＝x ＋m 有两个不同的交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈⎝⎛⎭⎫0，34 C ．m ＝34D ．m ∈⎝⎛⎭⎫34，＋∞1．曲线与方程的定义的理解剖析：(1)定义中的第①条“曲线C 上的点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)．(2)定义中的第②条“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(3)定义的实质是平面曲线的点集{M |p (M )}和方程F (x ，y )＝0的解集{(x ，y )|F (x ，y )＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以由曲线求它的方程．2．曲线方程的求法剖析：求曲线的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M ︱p (M )}；(3)用坐标表示条件p (M )，列出方程F (x ，y )＝0；(4)化方程F (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程．题型一 曲线与方程的概念【例1】若曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上反思：(1)判定曲线与方程的对应关系有两种方法：等价转换和特值讨论．它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性．(2)处理“曲线与方程”的概念题，可采用直接法，也可采用特值法．题型二 曲线方程的求法【例2】已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．分析：在这个问题中，动点C 与点G 之间有关系，写出C 与G 之间的坐标关系，并用G 的坐标表示C 的坐标，然后代入C 的坐标所满足的关系式中，化简整理即得所求． 【例3】长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC ＝2CB ，求动点C 的轨迹方程． 分析：A ，B 分别在x ，y 轴上移动，可设A(x 0,0)，B(0，y 0)，又动点C (x ，y )满足AC ＝2CB ，代入即可得方程．反思：求曲线的方程的关键是找到曲线上动点的运动规律，并利用坐标把这种规律翻译成代数方程．1方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线2已知方程2x 2－xy ＋1＝0表示的图形为C ，则下列点不在C 上的为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，3B ．(－3,5)C ．⎝⎛⎭⎫－2，－92D ．⎝⎛⎭⎫2，92 3在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ·OA ＝4.则点P 的轨迹方程是____________．4点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a ＝__________.5已知k ∈R ，则直线y ＝3x ＋k 与圆x 2＋y 2＝16无公共点时，k 的取值范围为__________．答案：基础知识·梳理1．动点依某种条件运动 满足某种条件【做一做1】C2．(1)①曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解 ②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上【做一做2】C3．实数解【做一做3】D 已知条件可转化为联立后的方程组有两组不同的解，即方程x 2－x ＋1－m ＝0的判别式大于零，即(－1)2－4(1－m )＞0，解得m ＞34. 典型例题·领悟【例1】C 方法一：上述说法写成命题的形式为“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则点M 的坐标适合方程F (x ，y )＝0”．其逆否命题为：“若点M 的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则点M 不在曲线C 上”．故选C.方法二：本题亦可考虑特值法，作直线l ：y ＝1.考查l 与F (x ，y )＝y 2－1＝0的关系，知选项A ，B ，D 三种说法均不正确．故选C.【例2】解：设△ABC 的重心坐标为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎨⎧ x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2，代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.则有y ＝9x 2＋12x ＋3，故所求轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.【例3】解：∵长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，故可设A (x 0,0)，B (0，y 0)．又动点C (x ，y )满足AC ＝2CB ，∴(x －x 0，y )＝2(0－x ，y 0－y )，即(x －x 0，y )＝(－2x ，2y 0－2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －x 0＝－2x y ＝2y 0－2y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3x ，y 0＝32y .又∵|AB |＝3，即x 20＋y 20＝9，∴(3x )2＋⎝⎛⎭⎫32y 2＝9.整理得动点C 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1. 随堂练习·巩固1．C x 2＋xy ＝x 因式分解得x (x ＋y )＝x ，即x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0.2．B3．x ＋2y ＝4 设P (x ，y )，由OP ·OA ＝4知x ＋2y ＝4.4．13 将点P 的坐标代入方程中即可求得a ＝13. 5．k ＞8或k ＜－8 无公共点时圆心到直线的距离大于半径，即|k |2＞4，∴k ＞8或k ＜－8.。
导入新课观察与分析我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥曲线的夹角，会得到什么呢？抛物线 双曲线 椭圆观察与分析如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双曲线，和椭圆.因此我们通常把抛物线，双曲线和椭圆统称为圆锥曲线.圆锥曲线与科研、生活、以及人类生活有着密切的关系.早在16，17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行是一个椭圆.喷泉喷出美丽的抛物线发电厂冷却塔的外形是双曲线教学目标知识与能力•使同学们对曲线与方程有更系统更完整的认识.•培养同学们分析曲线的能力.•培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.•通过对圆与方程的感性认识，坐标法研究曲线的方法，进一步学习曲线与方程. 过程与方法情感态度与价值观教学重难点重点•掌握曲线的方程，曲线的方程的概念.难点•使同学们理解曲线的方程的概念. •分析曲线的能力.我们知道，在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是x - y =0，这就是说，如果点 M （x 0，y 0）是这条直线上的任一点，它到坐标轴的距离相等，即 x 0 = y 0，那么，点 M （ x 0，y 0 ） 是方程 x - y =0的解. M (x 0，y 0)M(x0，y0)反过来，如果（x0，y0）是方程x - y=0的解，即x=y0，那么以这个解为坐标的点到坐标轴的距离相等.一般的，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个一元二次方程 : f（x，y）=0的实数解建立如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解; （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线.证明：与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k 的解.M RO Q 图2.1-3例1：证明：（1）如图2.1-3，设M （x 0，y 0）是轨迹上的任一点.因为点M 与x 轴的距离为|y 0|，与y 轴的距离为|x 0|，所以 |x 0| · |y 0|=k ，即（x 0，y 0）是方程 x y =±k 的解.M R O Q 如图2.1-3（2）设点M 1的坐标（x 1，y 1）是方程xy =±k 的解则x 1y 1=±k 即|x 1|·|y 1|=k ，|x 1|，|y 1|正是点M 1到纵轴和横轴的距离，因此点M 1到这两条直线的距离的积是常数k ，点M 1是曲线上的点. 由（1）（2）可知x y =±k 是与两条坐标的距离的积为常数k （k >0）的点的轨迹方程.例2：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（-2，0），C（2，0）.问：中线AO（O为原点）所在直线的方程是x = 0吗？为什么？解：是，由图可知，等腰三角形ABC的边BC 上的中线AO所在直线的方程是：x=0AB CO xy这里的“曲线”指的是三角形ABC中BC的中线所在的直线x=0是这条曲线的方程.在理解什么是“曲线”时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解“方程”时，要注意方程包含对其中未知数的限制.比如本例题中，三角形ABC中BC 的中线的方程是x=0（0≥y≥3）.课堂小结“曲线方程”的概念：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线方程；（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点那么，这条曲线叫做方程的曲线. “方程的曲线”的概念：高考链接2.（2006北京理）已知：曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线m:y=4的距离小3.不经过坐标原点的直线与曲线l相交于两个不同点A,B，且以AB为直径的原经过坐标原点O（1）求曲线方程C的方程；（2）求证：直线l过顶点，并求出该顶点的坐标；（3）三角形ABF的面积是否存在最小值？若不存在请说明理由；（4）设曲线C在点A、B处发热切线分别为l1，l2，证明l1与l2的焦点必定在定直线m：y=-4上.解：（1）解法1：依题意，可知，曲线C是“平面内到顶点F（0，1）的距离与到定直线y=-1的距离相等的点的轨迹”，所以它是以F（0，1）为焦点，以直线y=-1为准线的抛物线.所以曲线C的方程式x2=4y.（1）解法2：设点P 的坐标为（x ，y ），依题意指点P 必定在直线m 的上方，即y >-4于是 |PF |= |y +4|- 3= y +1，所以整理得x 2=4y 所以曲线C 的方程是x 2=4y . 它是以F （0，1）为焦点， 以直线y =-1为准线的抛物线.22(1)1x y y +-=+（2）直线l 的斜率显然存在，又直线l 不经过坐标原点，故可设直线l 的方程为 y=kx+b （b ≥0），并设A （x 1，y 1）， B （x 2，y 2）由 ，消去y ，整理得 x 2- 4kx - 4b =0①∴ x 1+x 2=4k ②x 1x 2=-4b ③⎩⎨⎧=+=yx bkx y 42若以AB 为直径的圆过坐标原点O 则∴x 1x 2+y 1y 2=0， 即 ④将③带入④，得 解的b =4或b =0（舍去） 所以x 1x 2=-16，⑤∴直线l 的方程为y =kx +4，显然，直线l 过定点M （0，4） 0161222121=+x x x x 0)4(16142=-+-b b OB OA ⊥（3）由弦长公式得 把②⑤带入上式，得 设点F （0，1）到直线l ：kx-y +4=0的距离为d ，则 2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=414||22+⋅+=k k AB 131|410|22+=++-=k k d46||212+=⋅⋅=∆k d AB S AFB ∴ ∴当k =0时，S △AFB 有最小值，是12∴ △AFB 的面积存在最小值，最小值是12.（4）曲线C 的方程可化为 则 ， 所以l 1的方程为： l 2的方程为：214y x =x y 21='1121|1x y k x x ='==2221|2x y k x x ='==)(21411121x x x x y -=-⑥⑦ )(21412222x x x x y -=-解⑥⑦联立方程组，得所以l 1与l 2的焦点为M （2k ，-4）它恒定在直线m ：y =-4上.1212x +x x ==2k,≠2x x x ==-44课堂练习1.下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（）.C（A）y2=x与y=x（B）y=x与y / x=1（C）｜y｜=｜x｜与y2=x2（D）y=lgx2与y=2lgx2. 如果命题“坐标满足方程f (x, y)＝0的点都在曲线c上”是不正确的，那么下列命题正确的是（）.DA. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点都不在曲线c上B. 坐标满足方程f (x, y)＝0的点有些在曲线c上，有些不在曲线c上C. 曲线c上的点不都满足方程f (x, y)＝0D. 一定有不在曲线c上的点，其坐标满足方程f (x, y)＝0填空题：1.已知△ABC的面积为4，A、B两点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），则顶点C的轨迹方程是y=2和 y =－2______________ .2.m=－2是直线(2－m )x＋my+3=0和直线x－my－3=0互相垂直的充分而不必要的条件__________________ .解答题1.若直线 l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.解：由l 1、l 2相交，需要1·a -1·1≠0，得到a ≠1，此时，解方程组 可解得 .即l 1，l 2的交点为（-1-a ，1），由l 1、l 3相交，需1·1-a·a ≠0,∴a ≠±1, 又(-1-a ,1) 不∈l 3∴a ·(-1-a )+1+1≠0, 得a ≠1且a ≠-2,综上，a ∈R 且a ≠±1且a ≠-2,能保证三交点 (-1-a ,1),(1,-1-a )、(-1-a ,-1+a +a 2)互不重合，所以所求a 的范围为a ∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞). x +y +a =0x +ay +1=0⎧⎨⎩x =-1y =1⎧⎨⎩解：如图，设围成四边形为OABC ，因OABC 有外接圆，且∠AOC ＝90°，故∠ABC ＝90°.∴两条直线x +3y -7=0,kx – y – 2 = 0互相垂直，(- )·k =-1，即k =3. 312.已知直线x +3y -7=0，kx-y -2=0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，求k .教材习题答案1.已知等腰三角形的三个顶点坐标分别是（0，3）（-2，0）（2，0）.中线AO（O为原点）所在直线方程是x=0吗？为什么？解：是，容易求出等腰三角形ABC的变BC上的中线AO所在的直线是x=0.2.已知方程ax2+by2=2的曲线经过A(0, )和点B(0,0)求a，b的值.解：a=，b=3532251825与本节内容相关的课后习题：A组的第1题：点A(1,-2),B(2,-3), C(3,10)是否在方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线上？为什么？解：点A(1,-2), C(3,10)在该曲线上，而B(2,-3)不在该曲线上.。
