八年级数学《直角三角形》知识点
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八年级数学《直角三角形》知识点
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠ C=90 ° ∠A+∠ B=90°
2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠ A=30°
可表示如下： BC=1 AB
2 ∠ C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ ACB=90°
可表示如下： CD= 1 AB=BD=AD
2 D 为 AB 的中点
4、勾股定理
直角三角形两直角边 a， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2 b2 c 2
5、射影定理 ( 了解 )
在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的
射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边
的比例中项
∠ ACB=90° CD 2 AD BD
AC2 AD AB
CD⊥ AB BC 2 BD AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得： AB CD=AC BC 二、直角三角形的判定
1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理 2 2 2
如果三角形的三边长 a，b， c，有关系 a b c ，那么这个三角形是直角三角形。
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A ，∠ B，∠ C 所对的边分别为 a， b，c
（ 1）三边之间的关系： a 2 b 2 c2 （勾股定理）
（ 2）锐角之间的关系：∠ A+∠ B=90°
（ 3）边角之间的关系：
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练习：
一、选择题
1. 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm，另一直角边长为 6 cm，则它的斜边长为（ ）
A、 4 cm B 、 8 cm C 、 10 cm D、 12 cm
2. 已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）
A 、 25 B 、 14 C、 7 D、 7 或 25
3. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ( )
A、 13 B 、 8 C 、 25 D 、 64
4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )
A、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形 .
5、等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为 （ ） A.12 B.7 C.5 D.6
6. 已知 a，b， c 为△ ABC三边，且满足 ( a2－ b2)( a2+b2－ c2) ＝0，则它的形状为（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
7. 如图， MP⊥ NP，MQ为△ MNP的角平分线， MT＝ MP，连接 TQ，则下列结论中不正
确的是（ ）
A、 TQ＝ PQ B、∠ MQT＝∠ MQP C、∠ QTN＝ 90° D、∠ NQT＝∠ MQT
8. 在△ ABC中 , ∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,CD ⊥ AB于 D,AB=a , 则 DB等于 ( )
A. a B. a C. a D. 以上结果都不对 P
Q
M N
T
2 3 4
二、解答题
1、已知：如图， AC平分∠ BAD， CE⊥ AB于 E， CF⊥ AD于 F，且 BC＝DC. 求证： BE=DF
F
D C
1 2
A E B
2. 已知，如图，四边形 ABCD中， AB=3cm， AD=4cm， BC=13cm， CD=12cm，且∠
A=90°，求四边形 ABCD的面积。
A D
B
C
3、已知， Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AB=8cm， D为 AB中点， DE⊥ AC于 E，∠ A=30°，
求 BC， CD和 DE的长
2
