2013真题数二答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二

1 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

1、设cos1sin()xxx，()2x，当0x时，()x（ ）

（A）比x高阶的无穷小

（B）比x低阶的无穷小

（C）与x同阶但不等价的无穷小

（D）与x是等价无穷小

【答案】（C）

【考点】同阶无穷小

【难易度】★★

【详解】解析：cos1sin()xxxQ，21cos12xx:

21sin()2xxx:，即1sin()2xx:

当0x时，()0x，sin()()xx:

1()2xx:，即()x与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.

2、已知()yfx由方程cos()ln1xyyx确定，则2lim[()1]nnfn（ ）

（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2

【答案】（A）

【考点】导数的概念；隐函数的导数

【难易度】★★

【详解】解析：当0x时，1y.

002()12(2)1(2)(0)lim[()1]limlim2lim2(0)12nnxxffxfxfnnffnxxn

方程cos()ln1xyyx两边同时对x求导，得 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二

2 1sin()()10xyyxyyy

将0x，1y代入计算，得 (0)(0)1yf

所以，2lim[()1]2nnfn，选（A）.

3、设sin[0,)()2[,2]xfx，0()()xFxftdt，则（ ）

（A）x为()Fx的跳跃间断点

（B）x为()Fx的可去间断点

（C）()Fx在x处连续不可导

（D）()Fx在x处可导

【答案】（C）

【考点】初等函数的连续性；导数的概念

【难易度】★★

【详解】解析：2002(0)sinsinsin2FtdttdttdtQ，(0)2F，

(0)(0)FF，()Fx在x处连续.

00()()()lim0xxftdtftdtFxQ，00()()()lim2xxftdtftdtFx，

()()FF，故()Fx在x处不可导.选（C）.

4、设函数1111(1)()1lnxexfxxexx，若反常积分1()fxdx收敛，则（ ）

（A）2 （B）2 （C）20 （D）02 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二

3 【答案】（D）

【考点】无穷限的反常积分

【难易度】★★★

【详解】解析：11()()()eefxdxfxdxfxdx

由1()fxdx收敛可知，1()efxdx与()efxdx均收敛.

1111()(1)eefxdxdxx，1x是瑕点，因为111(1)edxx收敛，所以112

111()(ln)lneeefxdxdxxxx，要使其收敛，则0

所以，02，选D.

5、设()yzfxyx，其中函数f可微，则xzzyxy（ ）

（A）2()yfxy （B）2()yfxy （C）2()fxyx （D）2()fxyx

【答案】（A）

【考点】多元函数的偏导数

【难易度】★★

【详解】解析：22()()zyyfxyfxyxxx，1()()zfxyyfxyyx

221[()()][()()]xzzxyyfxyfxyfxyyfxyyxyyxxx

11()()()()2()fxyyfxyfxyyfxyyfxyxx，故选（A）.

6、设kD是圆域22(,)1Dxyxy位于第k象限的部分，记

()(1,2,3,4)kkDIyxdxdyk，则（ ）

（A）10I （B）20I （C）30I （D）40I

【答案】（B） 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二

4 【考点】二重积分的性质；二重积分的计算

【难易度】★★

【详解】解析：根据对称性可知，130II.

22()0DIyxdxdy（Q0yx），44()0DIyxdxdy（Q0yx）

因此，选B.

7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

【答案】（B）

【考点】等价向量组

【难易度】★★

【详解】解析：将矩阵A、C按列分块，1(,,)nAL，1(,,)nCL

由于ABC，故111111(,,)(,,)nnnnnnbbbbLLMMLL

即1111111,,nnnnnnnbbbbLLL

即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.

由于B可逆，故1ACB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.

8、矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件是（ ）

（A）0,2ab

（B）0,ab为任意常数

（C）2,0ab

（D）2,ab 为任意常数 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二

5 【答案】（B）

【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件

【难易度】★★

【详解】解析：题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.

由20000000b的特征值为2，b，0可知，矩阵1111aAabaa的特征值也是2，b，0.

因此，221111220224011020aaEAababaaaaa0a

将0a代入可知，矩阵10100101Ab的特征值为2，b，0.

此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

9、10ln(1)lim(2)xxxx .

【答案】12e

【考点】两个重要极限

【难易度】★★

【详解】解析：

011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim(1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim[1(1)]limxxxxxxxxxxxxxxxxxxeexx

其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)limlimlim22(1)2xxxxxxxxxxxxxxx

故原式=12e

10、设函数1()1xtfxedt，则()yfx的反函数1()xfy在0y处的导数 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二

6 0ydxdy .

【答案】111e

【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数

【难易度】★★

【详解】解析：由题意可知，(1)0f

10111()111xxyxdydxdxdxfxedxdydydyee.

11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为cos3()66r，则L所围平面图形的面积是 .

【答案】12

【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积

【难易度】★★

【详解】解析：

面积622666000611cos61sin6()cos3()222612Srddd

12、曲线2arctan,ln1xtyt上对应于1t点处的法线方程为 .

【答案】ln204yx

【考点】由参数方程所确定的函数的导数

【难易度】★★★

【详解】解析：由题意可知，1222211(1)22/11/1ttdydydtttdxdxdtt，故11tdydx 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二

7 曲线对应于1t点处的法线斜率为111k.

当1t时，4x，ln2y.

法线方程为ln2()4yx，即ln204yx.

13、已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00xy，01xy的解为y .

【答案】32xxxyeexe

【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

【难易度】★★

【详解】解析：312xxyyee，23xyye是对应齐次微分方程的解.

由分析知，*2xyxe是非齐次微分方程的特解.

故原方程的通解为3212()xxxxyCeeCexe，12,CC为任意常数.

由00xy，01xy可得 11C，20C.

通解为32xxxyeexe.

14、设()ijAa是3阶非零矩阵，A为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若

0(,1,2,3)ijijaAij，则A .

【答案】-1

【考点】伴随矩阵

【难易度】★★★

【详解】解析：**0TTijijijijaAAaAAAAAAAE

等式两边取行列式得230AAA或1A

当0A时，00TAAA（与已知矛盾）

所以1A.