层次分析法（详解）

第六章 层次分析法

决策是人们选择或进行判断的一种思维活动，在人们的实践活动中，常常要对某些系统

的重要性作出恰当的评价，以便列出它们的轻重缓急，从而集中解决重要的问题。有些决策

是简单易断的，而有些决策则是复杂困难的，因此常常先把复杂问题分解成因素，然后把这

些因素按支配关系分组形成有序的递阶层次结构，并衡量各方面的影响，最后综合人的判断，

以决定决策诸因素相对重要性的先后优劣次序，这就是层次分析法的基本思路。

层次分析法的(Analytic Hierarchy Process 简记为AHP)是美国著名的运筹学家T.L.Saaty教授于70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法。该方法是社会、

经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、

性能评价等方面都有广泛的应用。

6.1 层次分析法的基本原理

层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理。下面分

别予以介绍。

1. 递阶层次结构原理。一个复杂的结构问题可分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等。每一个因素称为元素。按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，

上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐

层支配关系。具有这种性质的层次称为递阶层次。

例如，选拔队员参加数学建模比赛的层次结构如下图6.1所示：

目标层

准则层

方案层

Y11 Y12 Y21 Y22 Y31 Y32 Y33 Y41 Y42 Y51 Y52

图6.1 队员参赛的层次结构图 其中 Y1：接受能力； Y2：反映能力； Y3：自愿程度； Y4：计算机应用能力； Y5：写作能力；

Y11：掌握新知识的能力； Y12：建模能力；

Y21：想象能力； Y22：洞察能力；

Y31：建模兴趣； Y32：主动程度；Y33：对建模的认识

Y41：使用数学软件的能力； Y41：计算机语言编程能力； Y51：中文写作能力； Y52：英文表达能力

至于复杂系统的层次结构图，请参看有关的文献。

2．测度原理。决策就是要从一组已知方案中选择理想的方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的。然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常选拔参赛队员

Y1 Y2 Y3 Y4Y5 常难于定量测度。因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化。

通常，社会、经济系统的测度具有以下的属性特点： (1) 社会、经济系统中测度对象的属性大多具有相对性质，无法确定统一的标度。 (2) 测度对象的环境时常变化，即使有一种统一尺度，由于环境的变化也会使其失去常

规意义。 (3) 社会、经济系统缺少必要的测度工具，往往需要人的判断。

针对这些特点，层次分析法提供了测度决策因素的基本方式，这种方式充分利用人的经

验和判断，采用相对标度进行两两比较，从而能够统一对有形与无形、可定量与不可定量的因素进行测度。在某种程度上，层次分析法解决了社会、经济系统某些现象的测度和建模问

题，提出了决策思维的一种新方法。

3．排序原理。层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题。这里不妨设由元素两两比较得到的重要性测度表示为判断矩阵：

nnijaA)(

显然，判断矩阵具有性质：(1)0ija；(2)1)(jiijaa. 称满足性质(1)和(2)的方阵

为正的互反阵。若一个n阶正的互反阵A满足：

nkjiaaaikjkij,...,1,,

则称A为一致性矩阵。在排序原理中，通常不能保证判断矩阵为一致性矩阵，但有一个正

的互反阵是一致性的充要条件。

在判断矩阵A为一致性矩阵时，通常由

maxA

来确定权系数TnAAA))(),...,(()(1, 其中λmax为A的最大特征值，通常称为主特征

值，而ω是相应的特征向量，通常称为主特征向量，其分量满足1)(1

An

ii，它们可用

Matlab命令计算得到。这是排序的特征根方法。

特征根方法的合理性是基于正矩阵的Perron定理。由此定理知，正的互反矩阵存在唯

一的正实数的最大特征根，它所对应的特征向量可以由全为正的分量组成，经归一化后，上

述特征向量是唯一的。 6.2 层次分析法的一般步骤

运用层次分析法建立系统的数学模型时，大体上可分为以下四个步骤（AHP算法）： 1) 分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶层次结构。递阶层次结构的建立是层次分析法中关键的一步。一般来说，将问题的预定目标作为目标层，中间的层次一般是准则

层(可包含子准则层)，最低一层为决策的方案或人选等，参见图6.1。通常，递阶结构的层

次数与问题的复杂程度以及所要分析的详尽程度是分不开的。 2) 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比

较的判断矩阵（或成对比矩阵），作出权重分析。在建立递阶层次结构后，上、下层次之间的元素隶属关系就已确定。假定上一层次的元素Ck作为准则，对下一层次的因素y1，。。。， yn有支配关系，采用两两比较赋予元素y1，。。。，yn对Ck的权重。每次取两个元素yi和yj,

用aij表示iy与jy对Ck的影响之比，全比较结果可用判断矩阵A=( aij )n×n表示。

Saaty比较尺度的取值范围可以是1, 2, …, 9及其1，1/2, …, 1/9，这是因为人们在进行

定性成对比较时常有5种明显的等级（根据心理学的研究结果，对更细的等级分类则难以辨

别），见下表6-1。

表6-1 尺度aij的含义

yi /yj 同等重要 略为重要 明显重要 尤为重要 异常重要 等级之间

aij 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8

例如，在选拔队员参加数学建模比赛的模型中，“接受能力”和“自愿程度”相比，“接受能

力”明显重要，则其标度为5，而“自愿程度”相对于“接受能力”，其标度为1/5。

判断矩阵中的数值多半是根据专家意见而给出的，而衡量判断矩阵的合格标准是它是否

具有一致性。由于客观事物的复杂性和人的认识的多样性，完全一致的判断往往是不现实的，一般只需近似地满足一致性即可。在给出判断矩阵后应进行一致性检验，其方法如下： a) 计算一致性指标C•I。 公式为

C·I =1max

nn

其中n为判断矩阵A的阶数，λmax为A的最大特征值。 b) 查询平均随机一致性指标R•I.

表6-2Saaty的一致性指标R·I n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

c) 计算一致性比例C•R。公式为

C·R =IRIC



理论说明：当C•R < 0.1时，一般认为判断矩阵A的一致性可以接受；否则就需要重新进行

成对比较，对A加以调整，使之具有满意的一致性。

同样以选拔队员参加数学建模比赛的模型为例，对Y1~Y5进行成对比较，可得判断矩

阵，并由此计算得到相对权重(见表6-3).

表6-3 准则层各指标的相对权重 选拔队员 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 相对权重

Y1 1 1/3 5 3 8 0.2773

Y2 3 1 7 4 7 0.4817

Y3 1/5 1/7 1 1/5 1 0.0460

Y4 1/3 1/4 5 1 5 0.1528

Y5 1/8 1/7 1 1/5 1 0.0422

用Matlab计算得到λmax=5.2771, 相应的特征向量为( 0.4783, 0.8308, 0.0794, 0.2636, 0.0726 )T, 归一化后特征向量即相对权重为 (0.2773, 0.4817, 0.0460, 0.1528, 0.0422 )T, C•I

=0.0693 , 查表得R·I =1.12, 从而C•R =0.0619。因C•R < 0.1，满足一致性指标，故

判断矩阵是可行的。 3) 计算各层元素对于系统目标的总排序权重（即合成权重），并进行组合一致性检验。

为了得到递阶层次结构中每一层次中所有元素相对于总目标层的权重，应当把第2步的结果

适当组合、计算，并求出总判断一致性检验。这一过程由目标层向准则层（包含子准则层）

逐步进行，最后得出最低层相对于目标层的相对权重和整个模型的一致性检验。

若已算出第k –1层m个元素相对于总目标的组合排序权重向量为 W k-1 =(ω1k-1, ω2k-1,…, ωmk-1)T

第k层在第k-1层第j个元素作为准则下元素的排序权重向量为

Pj k =( P1jk, P2jk,…, Pnjk )T 第k层对第k-1层各元素的排序为 P k =( P1 k , P2 k , …，Pm k) 则第k层n个元素相对于总目标的组合排序权重为 W k= Pk • W k-1

更一般地，有排序的组合权重公式： W k= Pk • Pk-1 … P3 •W 2 3≤k≤n

关于组合一致性检验问题，也必须逐层计算。若第k层的一致性指标为

)()(2)(1,...,,knkkCICICI，随机一致性指标为)()(2)(1,...,,knkkRIRIRI, 定义

],...,,[)1()1(2)1(1)(kmkkkCICICICI W k-1；],...,,[)1()1(2)(1)(knkkkRIRIRIRI W k-1

则第k层对第一层的组合一致性比率为 )()()1()(kkkkRICICRCR

当CR k < 0.1时, 就认为递阶层次结构在第k层水平以上的所有判断通过一致性检验。否则

就需要重新调整判断矩阵元素的取值。 4) 模型的决策。层次分析法的最终结果是得到相对于总目标层的各决策方案的优先顺序。在整个递阶层次结构所有判断的总的一致性指标达到满意时，则可以利用模型进行决策。

6.3 城市空气质量分析

背景及问题的提出 环境问题是当前世界各国普遍关注的问题之一，是21世纪人类面临的重大挑战。在社

会的高速发展中，在人们不断的创造物质财富，精神财富的同时，人们忽略的自己赖以生存

的环境。人们只知道肆意地向大自然索取，却不知道回报。大自然发怒了，它开始了向人类

的报复。温室效应，大气污染，臭氧空洞，森林锐减，酸雨蔓延，土地荒漠化，水质污染，

生物多样化和遗传多样性减少，气候现象变化异常„„生态破坏和环境污染不仅给经济发展和人民生活带来损失，更严重的是危害人民身体健康，并贻害子孙后代，破坏了人类赖以健

康持久地生存的基本条件。

随着社会经济的快速发展，工业化水平的提高，人类活动对空气的污染越来越严重，尤

其是在城市集中了大量的工厂、车辆、人口。空气质量因为车辆、船舶、飞机的尾气、工业

企业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等的原因，逐渐开始恶化。空气污染威胁着人类的日常生活，危害人体健康，给人们的工作带来不便，并影响或危害各种生物的生存，

直接