小学奥数数学原理汇总

组合模块

很多人认为所谓组合就是排列组合，其实排列组合只是组合模块中很小的一部分内容。很多人说组合是考智力的，没有特定方法可循，灵感很重要。我不否认这种看法，做组合题确实需要学生有更加活跃的思维，但是有许多方法和思路还是可以总结出来的，在这里呢，我就以我个人的一点点经验，简单聊聊如何备考组合模块。

首先，我们还是得先搞清楚，组合到底包括哪些内容。从大方向来说的话，组合基本可以用三组词语概括：排列与组合、归纳与递推、构造与论证。除此之外还有：枚举法、几何计数、加乘原理、容斥原理、抽屉原理、概率等等。可以看出来，内容还是挺多的，而且这里面每一块内容拿出来都可以讲个一整天。那么备考杯赛的时候，我们需要注意些什么呢？

一、枚举法和几何计数。

这是各大杯赛都常考的内容，而枚举法也可以算是计数问题的万能解法（但未必是最好的方法），不过，学生特别容易做错这类题目，因为计数问题本身就容易考虑不全面，容易数重或数漏。要想避免这种情况，务必注意做到以下两点：

1、分类。分类的好处就是把大问题变成几个小问题，而且很可能你搞定了其中一类，就可以发现一些规律，很快搞定其他几类。那么怎么分类呢？具体情况具体分析，总之，记住一点：抓住所要计算的东西的特点（属性）！比如几何图形的大小、形状、方向等等。

2、有序。枚举的时候最怕杂乱无章，想到一个算一个。最好是能像英文字典排单词一样，有一个固定的顺序，比如说列举数字从小到大。这样才不会乱，才能轻松做到不重不漏。

二、加乘原理。

加乘原理本身并不难，最最关键的就是分清何时用加法，何时用乘法。一个原则：类类相加，步步相乘。说的通俗一点，如果做一件事既可以这么做又可以那么做，用加法；如果做一件事必须先这么做，再那么做，缺一不可，那么用乘法。

三、排列组合。

这一部分小学考得并不多，但如果能熟练运用的话，可以“秒杀”一些题目，做一些难题也是可以体现出不小的优势的。当然，想学好这部分内容可不是一朝一夕的事，这里有非常多的技巧，在这里我概括出如下6条解题技巧，最重要的是找到题目特点，进而使用相应的解题方法：

1、元素相邻，捆绑为一；

2、元素不相邻，插空处理；

3、特殊优先，一般在后；

4、元素定序，只选不排；

5、相同元素分组，用隔板法；

6、正难则反，间接作答。

四、容斥原理。

基本的公式相信大家都会，但是很多同学做这类题目还是容易出错，根据我的观察和了解，这主要是不画图造成的，大多数学生只知道去代公式，其实画个“韦恩图”（圈圈图）对解题会有很大帮助。总之，记住一点，解题的时候能画图就画图，能在图上标数字就往上标。

五、归纳与递推。

归纳说白了就是从简单情况入手，去找规律，这是解题的一个简单省力的办法。递推的技巧性就比较强了，举个最简单的例子：有10级台阶，一个人每次可以跨1级或2级台阶，请问这个人有多少种不同方法上这10级台阶。枚举肯定可以解这个题，但是这种题可以把10换成100甚至更大，枚举就不好用了，而且可以猜测到，把10换成11、12、„„，答案肯定有某种规律，所以同学们也可以找规律。这种题往往就可以用递推来做，而规律呢就隐藏在不同的台阶数之间，不妨去想想，上10级台阶和上9级台阶、上8级台阶的方法数有没有什么关系。归纳与递推常常出现的数列是斐波那契数列，同学们务必重视。

六、抽屉原理、构造与论证。

这类题目常常会问“能或不能”，不能就得说明原因，能就得构造出来。论证不能的方法或思路我这里介绍常用的4种：

1、 奇偶分析。就一句话：奇数不可能等于偶数。

2、 总量估计。打个比方，有人让你造个房子，问你能不能，你要说明不能，怎么办，就告诉他，砖头不够。

3、 染色法。最常用的染色方法就是黑白间隔染色，有时候需要条形染色，然后去分析黑格和白格的数量关系。

4、 抽屉原理。很多同学分不清题目里什么对应抽屉，什么对应苹果，一般，论证不能的题目，苹果数往往是大于抽屉数的，所以那个数量更多的往往就是“苹果”。另外，可以注意题目里的问题，例如“问能否够给出一种填法，使任意两个“梯形数”均不相同？”题中问的这个“梯形数”就是相应的“苹果”。

而如果是论证“能”，那么就需要构造＋论证，论证是要说明，最极端的情况只能达到什么结果，构造就是要证明，那个结果是可以达到的，两者结合，才算完美论证答案的可行性和最优性。关于构造，就没有太多可讲的了，灵活性一般都比较强，有时候也需要拼拼凑凑。

数论模块

数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。

我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。

还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它， 例如154：

（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；

（2）154＝2×7×11，分解质因数；

（3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数；

以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。下面我来详细讲讲每一个角度。

一、位值原理和整除。

其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。

言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。

这就是我常常对学生说的：不要对着题目干想，一定要动笔，尝试“翻译”题目。借用薛威阳老师的理念，就是“把思路放在纸上”。

二、分解质因数。

这也是约数、倍数、质数、合数、平方数的核心。所以涉及到约倍质合及平方数的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究，题目中如果有具体数字，不妨对其进行质因数分解，从它的因子中寻找解题思路。如果题目中没有给定具体数字，而是让你求这个数，那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及其个数。这部分内容的知识点最多，同学们务必熟练掌握，否则一切都是空谈。

三、余数。

常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”，解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：

1、 带余除法。

最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。

2、 余数周期。 这其中又分为递推数列（给一串数，要求第X个数除以某个数的余数）和次幂（求一个数的X次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。

3、 同余问题。

很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数。

4、 “物不知其数”。

与同余问题对应的，举个例子：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”已知除数和余数，求被除数。接这种问题又两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。

最后我把小学数论里需要掌握的知识点列个简单的大纲，务必拿出来复习一下，如果这些基础都没有，那上面的这些都是空谈，甚至都看不懂。

1、 奇偶性质；

2、 特殊数（2、5、3、9、11、13、„„）的整除特定和余数特性；

3、 质数、合数相关性质，判断一个数是质数或合数的方法，分解质因数；

4、 约数、倍数、最大公约数、最小公倍数的求法和相关性质，约数个数定理；

5、 完全平方数的性质；

6、 带余除法，弃九法，同余问题和“物不知其数”问题的几个处理方法。

几何模块

南京的学生几何普遍比较薄弱，归根究底，还是因为没有系统地去学习，好在国内杯赛的几何题难度普遍不算太高，出题规律也比较明显。当然，也有的杯赛中的几何体技巧性比较强，比如华杯赛，还有传说中的日本奥赛。所以，在这里，我想系统地来说说如何应对杯赛中的几何题。

如果让我用几个词来总结一下解小学几何题的关键，我给出这三个词：模型、辅助线、变换。下面我把几何分成三块来具体谈一谈。

一、直线型。 此类题目常常是给出某一部分图形的面积或某些线段比例关系，求另一部分图形面积或线段长度。而线段比例和面积比例是可以相互转化的，这也是解题的关键。那么转化要靠什么来实现呢？就是模型！直线型图形中的模型很多，我个人对它们分级如下：

初级：等积变换模型、一半模型；

中级：蝴蝶模型、鸟头模型、燕尾模型；

高级：金字塔模型、沙漏模型。

只有对这些模型足够熟悉，并在解题过程中善于观察、发现这些模型，解题才能更有思路。那么如何在图形中寻找这些模型呢？最关键的还是抓住模型的核心，比如鸟头模型就需要去寻找公角关系，金字塔模型和沙漏模型就要寻找平行关系。

当然，有的图形并不是很容易找到这些模型，这种情况往往就需要我们去添加辅助线，将陌生的图形变为熟悉的模型。

还有一些图形需要比较高级的变换技巧，比如：翻转、旋转、对称。这就需要同学们有较好的动态思维。这里我和大家分享一条我做题的小经验：题中若出现相等线段（或中点）、直角，那么不妨尝试下这三种变换技巧。

二、曲线型。

这类题目一般就是给出一个图形，让求阴影部分的周长或面积，这需要同学们对各种常见图形的周长、面积公式了如指掌。在此基础上，我总结了以下几个方法：