习题课4

一. 习题
1. 2
2
()d x
y L
x y e s ++⎰
, 其中L 为圆弧y a > 0)与直线y = x 在第一象限所围成的扇形
区域的边界.
2.
d L f s ∂∂⎰n
, 其中L 为椭圆2x 2 + y 2 = 1, n 为L 的外法向量, f (x , y ) = (x - 2)2 + y 2
.
3. 求圆柱面x 2 + y 2 = R 2 (R > 0)与x 2 + z 2 = R 2所围立体的表面积.
4. 求曲面z = 1 - x 2 - y 2 在z > 0部分的面积.
5. 求中心在原点, 半径为R 的球面的质量, 其面密度函数为μ = y 2 + z 2.
6. 求上半球面z = x 2 + y 2 = z 2所围均匀立体Ω的质心.
7. 求上半球面z =
x 2 + y 2 = 2az 所围均匀立体Ω的质心.
8. 求密度μ = 1的曲线ρ = a sin2ϕ (a > 0, 0 ≤ ϕ ≤ π/2)对原点的转动惯量.
二.往年期中/末期考试题.
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13. 设L 为圆锥螺线x = t cos t , y = t sin t , z = t (0 ≤ t ≤1) , 则⎰L
s z d = ___.
解:
⎰
L
s z d =⎰
+++-10
22d 1)cos (sin )sin (cos t t t t t t t t =⎰+1
2d 2t t t =
⎰++1
22)2(d 221t t
=
⎰32d 2
1u u =3
22/112/11121++⋅u =32233-. 14. 圆柱面x 2+z 2 = a 2被圆柱面x 2+y 2
= a 2所截部分的面积为[A ].
(A) 8a 2, (B) 4a 2, (C) 2a 2, (D) a 2. 解: 由图形的对称性可知圆柱面x 2+z 2 = a 2被圆柱面x 2+y 2 = a 2.
所截部分的面积为它位于第一卦限内的部分∑的面积S 的8倍. 下面用两种方法计算S .
(法一) ∑在xOy 平面内的投影D xy ,
∑的方程为22x a z -=, (x , y )∈ D xy , S =⎰⎰
⎰⎰++=∑
xy
D y x y x z z A d d )()(1d 22⎰⎰
++=xy
D y x y x z z d d )()(122⎰⎰-=xy
D
x
a y
x a 2
2d d ,
令⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x , 则D xy : ⎩
⎨⎧≤≤≤≤a ρπθ02/0,
S =⎰⎰-xy D x a y x a 22d d =⎰⎰-a a a 0 2222/ 0 d cos d ρθ
ρρθπ=⎰--2/ 0 22
d cos 1sin 2πθθθa = a 2. (法二) ∑在xOz 平面内的投影曲线记为L : ⎩
⎨⎧==θθ
sin cos a z a x (0 ≤ θ ≤ π/2), 则
S = ⎰L
s x d =⎰
2
/ 0
2d cos πθθa = a 2.
因此圆柱面x 2+z 2 = a 2被圆柱面x 2+y 2 = a 2所截部分的面积为8a 2.
15. 计算⎰⎰∑
++∧+∧+2222d d d d )4(z y x x
z yz z y z , 其中∑为半球面229y x z --=的上侧.
解: 原式=
⎰⎰∑∧x z yz d d 31=⎰⎰--zx
D
x z x z z d d 9322
2 令z = ρcos ϕ, x = ρsin ϕ, (-π/2≤ϕ≤π/2, 0≤ρ≤3), 则
原式=⎰⎰--zx D x z x z z d d 9322
2=⎰⎰--3 0 22/ 2/ d cos 9 d 32ρϕρρρϕππ
=
⎰-3 0 2
2d 9 34ρρρ=π4
27. 16. 设计算z y x y x z x z y C
d )(d )(d )(-+-+-⎰,其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+21
22z y x y x , 从z 轴正向往z 轴负向
看去, C 的方向是逆时针方向. 解: x = cos t , y = sin t , z = 2 - cos t + sin t , 0≤ t ≤ 2π.
原式=⎰+-++-+-π2 0
d )]sin )(cos sin (cos cos )sin cos 22(sin )cos 2[(t t t t t t t t t t =ππ2d 2 0
-=-⎰t .。