力学综合计算题
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力学综合计算题（不含动量守恒定律内容）
一、弹簧类问题
1、如图所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg的物体A、B。物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 ，求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。
（2）此过程中外力F所做的功。
解：(1)A原来静止时：kx1=mg ①
当物体A开始做匀加速运动时，拉力F最小，设为F1，对物体A有：
F1＋kx1－mg=ma ②
当物体B刚要离开地面时，拉力F最大，设为F2，对物体A有：
F2－kx2－mg=ma ③
对物体B有：kx2=mg ④
对物体A有：x1＋x2＝221at ⑤
由①、④两式解得 a=3.75m/s2 ，分别由②、③得F1＝45N，F2＝285N
(2)在力F作用的0.4s内，初末状态的弹性势能相等，由功能关系得：
WF=mg(x1＋x2)+2)(21atm49.5J
2、如图所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B
相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可伸长
的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A、另一端C握在手中，各段绳均处于刚
好伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向且足够长。现在C端施水平恒力F
而使A从静止开始向上运动。如果在C端所施恒力大小为3mg，则在B物块刚
要离开地面时A的速度为多大？（整个过程弹簧始终处在弹性限度以内）
解：由题意可知：弹簧开始的压缩量0mgxk，在B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是0mgxk
（1）若F=3mg，在弹簧伸长到x0时，B开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即
2002122mvxmgxF 可解得：022gxv
3. A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）.
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性
势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功.
解:当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有
kx=（mA+mB）g
x=（mA+mB）g/k ①
对A施加F力，分析A、B受力如图
对AF+N-mAg=mAa ②
对Bkx′-N-mBg=mBa′ ③
可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大.当N=0时，F取得了最大值Fm,
即Fm=mA（g+a）=4.41 N
又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，此时，弹簧压缩量kx′=mB（a+g）
x′=mB（a+g）/k ④
AB共同速度 v2=2a（x-x′） ⑤
由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J
设F力功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理
WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=21（mA+mB）v2 ⑥
联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248 J可知，WF=9.64×10-2 J
4、如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相
连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过
轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，
A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状
态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量
为13()mm的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地
时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
解：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有 kx1=m1g
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2=m2g
B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧性势能的增加量为 △E=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2)
C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得
)()2(21211231xxgmvmm解得kmmgmmmv)2()(2312211
5、如图所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方斜面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，斜面是光滑的，其倾角为θ．A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿斜面方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开挡板但不继续上升．若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，已知重力加速度为g．求：
（1）当B刚离开挡板时物体A的加速度
（2）当B刚离开挡板时D的速度大小是多少？
解：（1）使用牛顿第二定律amfgmT11sin f=kx2=m2gsinθ
对D使用牛顿第二定律ammTgmm)()(1313
3121132sin)(mmgmmgmmaA
（2）开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1=m1gsinθ
挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离开挡板时弹簧的伸长量为x2，则
kx2=m2gsinθ
B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点．由机械能守恒定律，与初始状态相比，弹簧的弹性势能的增加量：
sin()(211213）xxgmxxgmEp
C换成D后，当B刚要离开地面时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同，由机械能守恒定律：
)()2(21211231xxgmvmm解得kmmgmmmv)2(sin)(2312211
6、有一倾角为θ=370的硬杆，其上套一底端固定且劲度系数为k=120N/m的轻弹簧，弹簧与杆间无摩擦。一个质量为m＝1kg的小球套在此硬杆上，从P点由静止开始滑下，已知小球与硬杆间的动摩擦因数为µ=0.5，P与弹簧自由端Q间的距离为L＝1m。弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为212PEkx。求：
（1）木块从开始下滑到与弹簧自由端相碰所经历的时间t；
（2）木块运动过程中达到的最大速度vm；
（3）若使木块在P点以初速度v0下滑后又恰好回到P点，则v0需多大？
解：（1）mgcos-sinmgF合2/2cossinsmggmFa合(2分)
221atL (1分) saLt12 (1分)
（2）当小球从P点无初速滑下时，弹簧被压缩至x处有最大速度vm
sincosmgmgkx(1分)10.01760xmm(1分)
21sin()cos()2mmglxmglxwmv弹
2211sin()cos()22mmglxmglxkxmv(2分)
代入数据得242mlxv212130mv1111302/3030mvms (2分) P
Q
θ （3）设小球从P点压缩弹簧至最低点，弹簧的压缩量为x1,由动能定理
22111011sin()cos()022mglxmglxkxmv(2分)
从最低点经过弹簧原长Q点回到P点的速度为0，则有
21111sin()cos()02kxmglxmglx(2分)
mx5.01(1分)26/4.9/5/mvmsmsms(1分)
7、某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦力恒为f. 轻杆向右移动不超过L 时,装置可安全工作. 一质量为m 的小车若以速度v0 撞击弹簧,将导致轻杆向右移动L/4. 轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地面的摩擦.
(1)若弹簧的劲度系数为k,求轻杆开始移动时,弹簧的压缩量x;
(2)求为使装置安全工作,允许该小车撞击的最大速度vm;
(3)讨论在装置安全工作时,该小车弹回速度v’和撞击速度v 的关系.
解：(1)轻杆开始移动时,弹簧的弹力 F =kx ①
且 F =f 于 ②
解得 x = f/k ③
(2)设轻杆移动前小车对弹簧所做的功为W,则小车从撞击到停止的过程
中动能定理 ④
同理,小车以vm 撞击弹簧时 ⑤
解得 ⑥
(3)设轻杆恰好移动时,小车撞击速度为 ⑦
由④⑦解得
v
二、滑块滑板类问题
1、（2009年山东）如图所示，某货场而将质量为m1=100 kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8 m。地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m2=100 kg，木板上表面与轨道末端相切。货物与木板间的动摩擦因数为1，木板与地面间的动摩擦因数2=0.2。（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10 m/s2）
（1） 求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力。
（2） 若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求1应满足的条件。
