高二数学解析几何试题答案及解析

高二数学解析几何试题答案及解析

1. 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．

【答案】y2＝4x.

【解析】略

2. （12分）已知圆C过点A（，0）、B（，0），半径为2,且圆心在X轴上方。

（1）求圆C的方程

（2）求圆C关于直线对称的圆的方程。

【答案】（1）（2）

【解析】（1）中求圆的方程可采用待定系数法，设出方程后将已知条件代入，解出参数得到方程；（2）中首先求圆心关于直线的对称圆心，进而得到对称圆的方程

试题解析：（1）设圆的方程为，半径为,代入已知两点得，解方程组得，所以方程为

（2）C（1，1）关于的对称点为（-2，2）

所以圆C关于直线对称的圆的方程为

【考点】1．圆的方程；2．点关于直线的对称点

3. 双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰好过它们的公共焦点，则双曲线的离心率为( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题可知点在双曲线上，故，在

双曲线上，即

【考点】双曲线的离心率

4. 如图，⊙O上一点在直径上的射影为，且，，则⊙O的半径等于 ． 【答案】5 【解析】先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．

AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，．

【考点】直角三角形中的射影定理

5. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．

【答案】 【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为1，结合图形可知切线长的最小值为

【考点】1．数形结合法；2．直线与圆相切的位置关系

6. 己知圆和直线，在轴上有一点，在圆上有不与重合的两动点，设直线斜率为，直线斜率为，直线斜率为，

（l）若

①求出点坐标；

②交于，交于，求证：以为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．

（2）若：判断直线是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．

【答案】（1），定点为；

（2）直线过定点．

【解析】第一问根据两斜率乘积等于，从而得到为直径，从而确定出点的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．

试题解析：（1），又因为在圆上，所以为直径，故,

法一：设，令得，

，令得，且，故，

，

令，则，故．故定点坐标为：．

法二：，，得，

，，得，

故圆方程为：

由，令，则，故．则定点为．

（2）法一：解：设与圆联立得：，

由韦达定理：

，由得：，，同理，

再利用．

，，

直线过定点．

法二：可以先猜后证，，所以同号．

不妨设，则，与圆联立得，，则，与圆联立得，此时， 同理由圆对称性，当时，，此时点坐标，，

若直线过定点，则联立上述直线的方程，求出交点，

下面验证是否为定点．

设过且与圆有交点的直线斜率为，则直线方程为，代入圆方程得：

两交点．

由韦达定理：

，

故，

过定点．

【考点】曲线过定点问题．

7. 已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（ ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】两圆的圆心距为，圆半径为2，由勾股定理求得弦长为，故选B．

【考点】两圆的位置关系．

8. 若圆M的方程为，则圆M的参数方程为 ． 【答案】 【解析】由圆的方程,可知圆心,半径为2.所以圆的参数方程为: . 【考点】参数方程与普通方程间的互化. 9. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：（本小题满分10分） （1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6且焦点在轴上

（2） 已知椭圆的中心在原点,且过点

【答案】（1） （2）

【解析】（1）由长轴长与短轴长的和为18得到的关系式，由焦距为6得到值，结合得到，从而求得椭圆方程；（2）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，代入两点坐标，从而解方程组求得系数，得到椭圆方程

试题解析：（1） 长轴长与短轴长的和为18，焦距为6 ，因为焦点在椭圆上，所以方程为

（2）设椭圆方程为，所以方程为

【考点】椭圆的方程及性质

10. 若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为 ．

【答案】

【解析】由双曲线的定义可知, ,,即．

,．

【考点】1双曲线的定义；2双曲线的离心率．

11. 设是椭圆的左右焦点，P为直线上一点，是底脚为的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设交x轴于点M，∵是底角为30°的等腰三角形

∴，且，∵P为直线上一点，

，故选C．

【考点】椭圆的简单性质

12. 已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】设在准线上的射影分别为，则，，，所以到轴距离为，故选C．

【考点】抛物线的定义．

【名师点晴】利用抛物线的定义可解决的常见问题：

（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线;

（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．

提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上． 13. 已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】因为双曲线的渐近线方程，点到渐近线的距离，所以，即，所以答案应填：． 【考点】1、双曲线几何性质；2、点到直线距离． 【方法点晴】本题主要考查双曲线的渐近线和双曲线的离心率，涉及点到直线的距离公式，属于中档题．在解题时注意点在轴上，由对称性其到两渐近线的距离相等，故可任选一条，得到关系后，注意转化成的关系，从而得出离心率． 14. 已知椭圆（）上的点P到左、右两焦点的距离之和为，离心率为． （1）求椭圆的方程； 过右焦点的直线交椭圆于A、B两点． 若y轴上一点满足，求直线斜率k的值； （2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中O为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）或，．

【解析】（1）先利用椭圆的定义，得到，再利用离心率公式和进行求解；（2）先设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和在线段的垂直平分线上进行求解；利用点到直线的距离公式和弦长公式求三角形的面积，再求其最值，但要注意斜率不存在的情况．

试题解析：（1），∴，

∵，∴，

∴．

椭圆的标准方程为．

（2）已知，设直线的方程为，，，

联立直线与椭圆方程，化简得：，

∴，，，

∴AB的中点坐标为G．

（1）时，不满足条件；

当时，∵，∴，

整理得：，解得或．

（2）当直线无斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程，此时，， 当直线存在斜率时，，

∵，，∴，∴，

综上，当直线方程为时，．

∴满足题意的直线存在，方程为．

【考点】1．椭圆的定义；2．椭圆的标准方程；3．直线与椭圆的位置关系．

【易错点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2）󰀀中，当斜率不存在时的直线刚好满足条件，且也只有这一条直线符合题意．

15. 已知椭圆G：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3，2）．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△PAB的面积．

【答案】（1）；（2）

【解析】由椭圆G的离心率为，右焦点为（，0）得，由此能求出椭圆G的方程；（2） 设l：y=x+b，代入椭圆方程得4x2＋6mx＋3m2－12＝0根据韦达定理，所以，由此能求出△PAB的面积

试题解析：（1）解：由已知得，，．解得．

又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为．

（2）解：设直线l的方程为y＝x＋m．

由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB中点为E（x0，y0），

则，y0＝x0＋m＝．

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．

所以PE的斜率．解得m＝2．

此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．

所以y1＝－1，y2＝2．所以|AB|＝．此时，点P（－3，2）到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．

【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．椭圆的标准方程

16. 直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（ ）

A． B． C． D． 【答案】A

【解析】圆心在直线上，则，点到直线的距离为，则．故本题答案选．

【考点】直线与圆的位置关系 点到直线的距离

17. 如果直线与椭圆相交于A、B两点，直线与该椭圆相交于C、D两点，且是平行四边形，则的方程是 ． 【答案】． 【解析】由题意可知，直线，所以的斜率为，又因为是平行四边形，过点，所以过点，所以直线的方程是，即，故应填． 【考点】1、直线的方程；2、直线与椭圆的位置关系． 【思路点睛】本题主要考查直线的方程和直线与椭圆的位置关系，渗透着数形结合的数学思想，属中档题． 其解题的一般思路为：首先根据平行四边形的基本性质可得直线，即可得出直线的斜率；然后由 对称性可得出直线的方程过点，最后由点斜式方程即可得出直线的方程．其解题的关键是正确 地运用椭圆的简单几何性质和平面图形的几何性质． 18. 已知的三个顶点的坐标为． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）若直线与平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大1，求直线与两条坐标轴围成的三角形的周长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；（2）当两条直线的斜率都存在时，两条直线平行，则这两条直线的斜率相等，当两条直线垂直时，斜率之积为．

试题解析：（1），∴边上的高所在直线的斜率为

又∵直线过点 ∴直线的方程为：，即

（2）设直线的方程为：，即

解得： ∴直线的方程为：

∴直线过点三角形斜边长为

∴直线与坐标轴围成的直角三角形的周长为．

【考点】1、直线方程；2、两条直线的位置关系．

19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆