动态探究题

中考数学“动态几何探究”题型解析以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质，判定，全等三角形、相似三角形的性质及判定，本节将对此类问题归类如下：一、在平面直角坐标系中探究【例题1】已知直线l 经过A（6,0）和B（0,12）两点，且与直线y = x 交于点C. （1）求直线l 的表达式；（2）若点P（x，0）在线段OA 上运动，过点P 作l 的平行线交直线y = x 于点D，①求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式；②S 有最大值吗？若有，求出当S 最大时x 的值 .【解析】（1）设直线l 的表达式为y = kx + b , 用待定系数法求出k , b 的值即可；（2）①点C 是直线l 与y = x 的交点，从而可求得点C 的坐标 .根据三角形的面积公式及结合平行的性质，可求得S 与x 的函数关系式；②根据二次函数的性质，即可得到S 的最大值 .解：（1）设直线l 的表达式为y = kx + b ,由A（6,0）和B（0,12），得∴直线l 的表达式为y = -2x + 12 .（2）①∴点C 的坐标为（4,4），∴S△COP = 1/2 x ▪4 = 2x .∵PD∥直线l ,∴CD/OC = AP/OA .∵CD/OC = ( 1/2 h ×CD ) / ( 1/2 h ×OC ) = S / S△COP，∴S / S△COP = AP / OA , 即S / 2x = （6 - x）/ 6 ,∴△PCD 的面积S 与x 的函数关系式为S = -1/3 x^2 + 2x .②∵S = -1/3 （x - 3）^2 + 3 ,∴当S 最大时，x = 3 .【例题2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A , C 均在坐标轴上，且OA = 4 ,OC = 3 , 动点M 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；动点N 从点C 出发沿CB 向终点B 以同样的速度移动，当两个动点运动了x 秒（0 < x < 4）时，过点N 作NP⊥BC 交OB 于点P，连接MP .（1）直接写出点B 的坐标，并求出点P 的坐标（用含x 的式子表示）；（2）当x 为何值时，△OMP 的面积最大？并求出最大值 .解：（1）在矩形OABC 中，OA = 4 , OC = 3 ,∴B 点的坐标为（4,3）.如图，延长NP 交OA 于点G，则PG∥AB，OG = CN = x . ∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA .∴PG / BA = OG / OA , 即PG / 3 = x / 4 ,解得PG = 3/4 x .∴点P 的坐标为（x , 3/4 x）.（2）设△OMP 的面积为S .在△OMP 中，OM = 4 - x , OM 边上的高为3/4 x，∴S 与x 之间的函数表达式为配方，得∴当x = 2 时，S 有最大值，最大值为3/2 .二、在几何图形中探究【例题3】如图，在矩形ABCD 中，AB = 3 米，BC = 4 米，动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P , Q 两点同时移动的时间为t 秒（0 < t < 2.5）.（1）当t 为何值时，PQ∥AB；（2）设四边形ABQP 的面积为y , 当t 为何值时，y 的值最小？并求出这个最小值 .【解析】（1）首先由勾股定理求得AC = 5 米，然后根据AB∥PQ 可得到PC / AC = QC / BC , 从而得到关于t 的方程，从而可解得t 的值；（2）过点P 作PE⊥BC，由PE∥AB 可得到PC / AC = PE / AB ,从而可求得PE = 3 - 6/5 t , 然后根据y = S△ABC - S△PQC 列出t 与y 的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可 .解：（1）在Rt△ABC 中，由题意，得PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .如图①，∵AB∥PQ , ∴△CPQ∽△CAB .∴PC / AC = QC / BC , 即（5 - 2t）/ 5 = t / 4 , 解得t = 20/13 .（2）如图②，过点P 作PE⊥BC 于点E .由（1）知，PC = 5 - 2t , QC = t ,∵PE∥AB，∴△CPE∽△CAB .∴PC / AC = PE / AB , 即（5 - 2t）/ 5 = PE / 3 . ∴PE = 3 - 6/5 t .∴当t = 5/4 时，y 的值最小，最小值为81/16 .【例题4】如图，在△ABC 中，∠C = 60°，BC = 4，AC = 2√3，点P 在BC 边上运动，PD∥AB，交AC 于D . 设BP 的长为x , △APD 的面积为y .（1）求AD 的长（用含x 的代数式表示）；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并回答当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）是否存在这样的点P，使得△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 ？若存在，请求出BP 的长；若不存在，请说明理由 .解：（1）∵PD∥AB，∴AD / AC = BP / BC .∵BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,∴AD / 2√3 = x / 4 ,∴AD = √3/2 x .（2）过点P 作PE⊥AC 于E .∵sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°，∴PE = PC ×sin60°= √3/2（4 - x ）.∴y 与x 之间的函数关系式为∴当x = 2 时，y 的值最大，最大值是3/2 . （3）存在这样的点P .∵△ADP 与△ABP 等高不等底，∴S△ADP / S△ABP = DP / AB .∵△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 , ∴S△ADP / S△ABP = 2/3 ，∴DP / AB = 2/3 .∵PD∥AB，∴△CDP∽△CAB .∴DP / AB = CP / CB ,∴CP / CB = 2/3 .∴（4 - x）/ 4 = 2/3 ,∴x = 4/3 ,∴BP = 4/3 .。

冲刺4 动态探究考向1 动点与最值1．如图，在Rt△ABO中,∠OBA=90°，A（4，4），点C在边AB上，且ACCB =13,点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．（52，52）C．(83，83）D．（3，3)【答案】C【解析】由题可知：A(4，4），D（2，0),C(4,3），点D关于AO 的对称点D’(0，2），设l D’C：y=kx+b,将D'（0,2），C(4，3)代入，可得y=14x+2，与y=x联立，得，x=83，y=83，∴P（83,83）故选C．2.如图，在平面直角坐标系中,点A，B在反比例函数()0ky kx=≠的图像上运动，且始终保持线段AB=M为线段AB 的中点，连接OM。

则线段OM的长度的最小值是(用含k的代数式表示）。

A作x轴⊥AC,过点B作y轴⊥BD,垂足为C，D，AC与BD相交于点F，连接OF.当点O、F、M在同一直线上时OM最短。

即OM垂直平分AB．设点A坐标为（a，a ＋4），则点B坐标为（a ＋4，a)，点F坐标为（a，a）。

由题意可知△AFB为等腰直角三角形，∵AB=∴AF=BF=4.∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a (a＋4)=k，解得a =42k+-.在Rt△OCF中2)=∴OM=OF＋FM=3．图，在菱形ABCD中，连接BD，AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证:DC是O的切线；(2）若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值。

解：(1）过点O 作OG ⊥CD 于点G ，菱形ABCD 中，AC 是对角线， ∴AC 平分∠BCD, ∵OH ⊥BC ， ∴OH=OG ， ∵OH 是O 的半径，∴OG 等于O 的半径, ∴CD 是O 的切线.①(2)∵AC=4MC ，AC=8，∴OC=2MC=4，MC=OM=2，∴OH=OM=2， 在Rt △OHC 中,OH=2，OC=4，∴=tan ∠HOC=3HCOH,∴∠HOC=60°, ∴S阴影=S △OCH －S扇形OHM=216022360CH OH =23.（3）作点M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时PH+PM的值最小.∵ON=OM=OH,∠MOH=60°, ∴∠MNH=30°，∠MNH=∠HCM,PH+PM的最小值为。

动态探究问题 “45°角的处理策略”教学目标：1．通过一道动态压轴题进行一题多解，探究45°角的处理策略；2．进一步培养学生观察、思考、分析问题、解决问题的能力，体会数学解题中的联想机制以及建模的重要性；3．通过探究学习，体会数学之美、数学之魅、数学之巧、数学之趣，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：探究一道动态压轴题的多种解法。

教学难点：在多种解法中理解建模的意义，通过比较不同解法，学会简便解决问题的操作策略。

教学过程：1.给出问题：如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ，且经过点C (0，2)、D (3，72)，点P是直线CD 上方抛物线上一动点，当∠PCD =45°时，求P 点坐标．分析：45°角会让你想到什么？45°的完美只有在等腰直角三角形中才能体现出来。

抓住45°角 构造直角三角形 构造“K ”全等。

变式训练：习题2：若将条件∠PCD =45°改为∠PCD =30°呢？（或将此条件改为tan ∠PCD =12）教学反思：通过一题多解及变式训练可以看出，紧抓45°不放手，紧扣一条主线“45°”——构造等腰直角三角形——构造K 字形全等，总是可以解决此类题型。

当然也可以构造平时解题中积累的其他模型，如“半角模型”等。

其实45°仅仅只是一个特例、一个代表，将45°改为其他特殊角，或改成一般角的已知其三角函数的某个角，都可以用上面的方法解决，此时的主线变为“已知三角函数的固定角——构造直角三角形——构造K 字型相似”。

因动点产生的函数问题——动态探究问题（一）【课前热身】动点沿三角形或四边形或圆或直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象.1。

如图，点P是平行四边形ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则大致能反映y与x的函数关系的图象是（）2.如图,动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（)3。

如图，△ABC中,∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16.点P是斜边AB上一点（P点与A、B两点不重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q。

设AP＝x,△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（ ）【知识归纳】解答函数的图象问题一般遵循的步骤是：① 根据自变量的取值范围对函数进行分段;② 求出每段的解析式;③ 由每段的解析式确定每段图象的形状.【例题讲解】动点沿三角形或四边形的边运动，或者动点沿圆周运动,通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系;或者通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它们的边或角的关系;动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。

如图，抛物线n mx x y ++-=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （－1，0)、C （0，2）（1）求抛物线的解析式；(2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P 点的坐标；如果不存在,请说明理由；（本小题请同学们课后选做）（3)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标。

1 / 4中考数学复习专题 动态探究题这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。

主要是考查学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭示“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。

几何动态题的解题策略：第一：全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与不变的量及其位置关系。

这是解题的关键，审题一定要清楚和仔细，真正全面地了解这是什么类型的运动？怎样运动？沿什么方运动？甚至速度是多少都要彻底搞清楚。

理解在运动、变化的过程中哪些量在变？哪些量保持不变？理解变量之间的位置、数量关系。

在考试中很多同学往往就是因为审题不清而导致失误，甚至不少同学根本连题目都还没有读清楚就望而怯步。

第二：要按给定条件画出不同状态下的图形，将运动的点用静态的图去分析，探索在运动变化中问题的不变性，抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，找到“动”与“静”的关系，做到动中觅静，以静制动，动静互化。

同时，通过建立运动中两个变量的函数关系，用联系发展的观点来研究变动元素之间的关系，达到以动制动。

第三：应用分类讨论思想，将动态问题划分为若干既不重复，也不遗漏的几个小问题加以一一解决，从而使复杂、难于解决的问题简单化，特别是当问题条件不具体而模棱两可时，通过分类讨论可以确定准确的答案。

同学们在进行分类解题时，关键是要有分类意识，克服想当然的错误习惯。

特别是应用分类讨论时要将在运动过程中导致图形本质发生变化时的各种时刻的图形分类画出，变“动”为“静”，运用相关知识如方程、相似形进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。

（一）动点型动态探究题 1．（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？2．（09齐齐哈尔）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1） 直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 3．（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．4.（09济南）如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．CM2 / 45.（09兰州）如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由． 6. 如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

专题十几何动态探究题1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，在运动过程中，始终保持AE＝BF，若AB＝2，则EF的取值范围为________．第1题图2.如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，OA＝OB＝OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，且始终保持AN＝BM.在运动过程中，四边形AMON的面积为________cm2.第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝42，则AB的长为________；若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于点F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为________．第5题图6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，直线BB′、CC′交于点D，则CD的长为________cm.第6题图7. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝2，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A、G、C三点共线时，则点F到BC的距离为________．第7题图8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．第8题图9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.则EC＋GC的最小值为________．第9题图10. 如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，BN CN的值为________．第10题图11.如图，在△ABC 中，已知AD 是BC 边上的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝3AD.将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的点B ′处，连接AB ′交BC 于点E ，那么CE ∶BE 的值为________．第11题图12.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是________．第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为________．第13题图14. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG (点E 在线段AC 上，运动到点C 停止运动，且不与点A 重合)，同时，点H 从点C 出发以相同的速度沿CB 方向移动，当△EFG 停止平移时，点H 也停止移动，连接EH ，GH ，当EH ⊥GH 时，AE BH的值为________．第14题图15.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝22BF时，DECD＝________．第15题图16. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC.连接AM、AN、MN，MN交AC于点P，则点P到直线CD的距离的最大值为________．第16题图17. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为________；四边形PCDQ周长的最小值为________．第17题图18.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________．第18题图19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为________，最小值为________．第19题图20. 如图①，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图②，点C落在点C′处，最后按图③所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形．．．．纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.第20题图21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接P A，将线段P A绕点P逆时针旋转120°得到P A′，点M、N分别是线段AC、P A′的中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．第21题图22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为________，此时BF的长为________．第22题图专题十几何动态探究题1. 3≤EF≤2【解析】如解图，连接BD，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠DBA＝∠C＝60°，AB＝BD＝BC，∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DBE≌△DCF(SAS)．∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE，当点E与点H重合时，DE的值最小，此时DE＝AD·sin A＝3，当点E与点A (或点B )重合时，DE 的长最大，此时DE ＝2，∴EF 的取值范围为3≤EF ≤2. 第1题解图 2. 255 【解析】∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折的性质得△ADB ≌△ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12(AF ＋DF )·BF ＝4，即12(3＋DF )×2＝4，∴DF ＝1，∴DB ＝BF 2＋DF 2＝22＋12＝5，设点F 到BD 的距离为h ，则有12BD ·h ＝12BF ·DF ，即12×5·h ＝12×2×1，∴h ＝255.3. 4 【解析】∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠BAO ＝∠CAO ＝45°，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∴∠B ＝∠BAO ＝∠CAO ，在△AON 和△BOM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠CAO ＝∠B AN ＝BM，∴△AON ≌△BOM (SAS)，∴S △AON ＝S △BOM ，∴S △AON ＋S △AOM ＝S △BOM ＋S △AOM ，即S 四边形AMON ＝S △AOB ，∴S 四边形AMON ＝12S △ABC ＝12×12×4×4＝4 cm 2.4. 210－2 【解析】如解图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得到DM ，连接FM ，OM ，∵ ∠EDF ＝ ∠ODM ＝90°，∴ ∠EDO ＝∠FDM ，在△EDO 与△FDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ∠EDO ＝∠FDM DO ＝DM，∴ △EDO ≌△FDM (SAS) ，∴ FM ＝OE ＝2，∵在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 是BC 边的中点，∴ OC ＝2，∴OD ＝42＋22＝2 5 ，∴OM ＝2OD ＝210，∵OF ≥OM －MF ，∴OF ≥210－2 ，∴线段OF 长的最小值为210－2.第4题解图5. 7；34 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BC 于点M .在Rt △ABM 中，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝45°，∴BM ＝AM ，AB ＝2AM ，设AM ＝BM ＝x ，在Rt △AMC 中，∵AC 2＝AM 2＋CM 2，∴52＝x 2＋(42－x )2，解得x＝722或22(舍)，∴AB ＝2x ＝7.过点F 作FN ⊥BC 于点N .∵DE ∥AC ，∴∠ACF ＝∠D ＝∠B ，∵∠CAF ＝∠CAB ，∴△ACF ∽△ABC ，∴AC AB ＝AF AC ，∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝257，∴BF ＝AB －AF ＝7－257＝247，∴BN ＝FN ＝1227，∴CN ＝BC －BN ＝42－1227＝1627，∴tan ∠BCD ＝FN CN ＝12271627＝34.第5题解图6. 2 6 cm 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ，由旋转的性质得∠B ′AB ＝∠C ′AC＝30°，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴∠B ′BA ＝∠C ′CA ＝12×(180°－30°)＝75°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4cm ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠DCB ＝90°－∠C ′CA ＝15°，∴∠CDE ＝180°－∠B ′BA －∠ABC －∠DCB ＝180°－75°－45°－15°＝45°，∴∠DCE ＝∠CDE ＝45°，DE ＝CE ，∴∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ＝45°－15°＝30°，在Rt △BCE 中，BC ＝4 cm ，∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝2 cm ，∴CE ＝BC 2－BE 2＝42－22＝2 3 cm ，∴CD ＝CE cos45°＝2322＝2 6 cm.第6题解图7. 2－2或2＋2 【解析】由旋转的性质可知AG ＝FG ＝AB ＝2，AF ＝2AG ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，当点G 在线段AC 上时，连接AC ，BF ，可知点B 在线段AF 上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AF －AB ＝2－2；②如解图②，当点G 在CA 的延长线上时，连接AC ，AF ，此时点F 在BA 的延长线上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AB ＋AF ＝2＋ 2.综上所述，点F 到BC 的距离为2－2或2＋ 2.图①图②第7题解图8. 7－1 【解析】如解图①，以点M 为圆心，AM 长为半径作圆，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接MC ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°，M 是AD 的中点，∴MA ＝MA ′＝MD ＝12AD ＝1，∴点A ′在⊙M 上运动，由解图①得，只有当A ′运动到与点M 、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，∵CH ∥AB ，∴∠MDH ＝∠DAB ＝60°，在Rt △MDH 中，DH ＝MD ·cos ∠MDH ＝12，MH ＝MD ·sin ∠MDH ＝32，在Rt △MHC 中，HC ＝DH ＋DC ＝12＋2＝52，由勾股定理得MC ＝HC 2＋MH 2＝7，此时A ′C ＝MC －MA ′＝7－1，即A ′C 长度的最小值为7－1.第8题解图①【一题多解】如解图②，连接MC ，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，由题意可知，MA ＝MA ′＝12AD ，在△ MA ′C 中，由三角形三边关系可知，一定存在MA ′＋A ′C ≥MC ，∴当点M 、A ′、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，此时A ′C ＝MC －MA ′，其余解法同上．第8题解图②9. 45 【解析】如解图，连接AE 并延长，作点D 关于AE 的对称点H ，连接EH ，ED ，过点H 作HM ⊥CD ，与CD 的延长线交于点M ，则DE ＝EH ，∵△ABD 沿射线BD 平移得△EGF ，∴AE ∥BD ，AB ＝EG ，AB ∥EG ，∵AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，∴EG ∥CD ，EG ＝CD ＝4，∴四边形CDEG 是平行四边形，∴CG ＝DE ＝EH ，∴当点C ，E ，H 三点共线时，EC ＋GC 取得最小值，最小值为CH 的长．∵AE ∥BD ，AB ∥CD ，∴四边形ABDM 为平行四边形，∴DM ＝AB ＝4，∠DAM ＝45°，∴∠ADH ＝45°，∴∠MDH ＝45°，∴DM ＝HM ＝4，∴CH ＝CM 2＋HM 2＝（4＋4）2＋42＝45，∴EC ＋GC 的最小值为4 5.第9题解图10. 27 【解析】如解图，延长NF 与DC 交于点H .由折叠的性质得∠E ＝∠A ，∠EFN ＝∠B ，EM ＝AM ，EF ＝AB .∵EF ⊥AD ，∴∠MDE ＝90°.在Rt △MDE 中，tan E ＝DM DE ＝tan A ＝43，设DM ＝4k ，则DE ＝3k ，EM＝5k .∴AM ＝5k ，AD ＝9k .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝9k ，∠C ＝∠A ，AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠A ＋∠ADC ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°.∵∠ADF ＝90°，∴∠A ＋∠FDH ＝90°.∵∠DFH ＋∠EFN ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFN ＝∠B ，∴∠A ＝∠DFH .∴∠DFH ＋∠FDH ＝90°.∴∠DHF ＝90°.∵EF ＝AB ＝9k ，DE ＝3k ，∴DF ＝6k .在Rt △DHF 中，tan ∠DFH ＝tan A ＝43，易得sin ∠DFH ＝45，∴DH ＝DF ·sin ∠DFH ＝245k .∴HC ＝9k －245k ＝215k .在Rt △CHN 中，tan C ＝ tan A ＝43，易得cos C ＝35.∴NC ＝HC cos C ＝7k .∴BN ＝9k －7k ＝2k .∴BN CN ＝2k 7k ＝27.第10题解图11. 37 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点B ′作B ′G ⊥BC 于点G ，∵∠ADC ＝60°，∴∠ADB ＝120°，由折叠的性质得，∠ADB ′＝120°，∠CDB ′＝60°，B ′D ＝BD ，∵BC ＝3AD ，AD 是BC 边上的中线，∴设AD ＝m ，则BC ＝3m ，BD ＝B ′D ＝32m ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD ·cos60°＝12m ，AF ＝AD ·sin60°＝32m ，∴BF ＝BD ＋DF ＝2m ，CF ＝BC －BF ＝m ，在Rt △B ′DG 中，DG ＝B ′D ·cos60°＝34m ，B ′G ＝B ′D ·sin60°＝334m ，∴FG ＝DG －DF ＝14m ，∵AF ⊥BC ，B ′G ⊥BC ，∴AF ∥B ′G ，∴△AFE ∽△B ′GE ∴FE GE ＝AF B ′G ＝32m334m＝23，∵FE ＋GE ＝FG ＝14m ，∴FE ＝110m ，∴BE ＝BF ＋FE ＝2110m ，CE ＝CF －FE ＝910m ，∴CE BE ＝910m 2110m ＝37.第11题解图12. 6＋22 【解析】如解图，以AB 为边向下作等边△ABK ，连接EK ，在EK 上取一点T ，连接AT ，使得TA ＝TK .由旋转的性质得BE ＝BF ，∠EBF ＝60°，∵△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BA ，∠EBF ＝∠ABK ＝60°，∴∠ABF ＝∠KBE ，∴△ABF ≌△KBE (SAS)，∴AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，KE 的值最小，即AF 最小．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝135°，∵∠BAK ＝60°，∴∠EAK ＝75°，∵∠AEK ＝90°，∴∠AKE ＝15°，∵TA ＝TK ，∴∠TAK ＝∠AKT ＝15°，∴∠ATE ＝∠TAK ＋∠AKT ＝30°，设AE ＝a ，则AT ＝TK ＝2a ，ET ＝3a ，在Rt △AEK 中，AE 2＋EK 2＝AK 2，∴a 2＋(2a ＋3a )2＝22，∴a ＝6－22，∴EK ＝2a ＋3a ＝6＋22，∴AF 的最小值为6＋22.第12题解图13. 133 【解析】如解图，连接CM ，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AD ＝BC ＝4，CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，由折叠的性质得，AM ＝PM ，∠MPN ＝∠A ＝90°，∠AMN ＝∠PMN ，∴∠CPM ＝90°，∵点M 为AD 的中点，∴AM ＝DM ＝12AD ＝2，∴PM ＝AM ＝DM ＝2，在Rt △CPM 与Rt △CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝DM CM ＝CM，∴Rt △CPM ≌Rt △CDM (HL)，∴CP ＝CD ＝3，∠CMP ＝∠CMD ，∴∠NMC ＝∠NMP ＋∠CMP ＝12(∠AMP ＋∠DMP )＝90°，∴CM ＝DM 2＋CD 2＝22＋32＝13，∵∠CPM ＝∠CMN ＝90°，∠MCP ＝∠NCM ，∴△CMP ∽△CNM ，∴CM CN ＝CP CM ，即13CN ＝313，∴CN ＝133.第13题解图14. 37 【解析】如解图，过点E 作EM ⊥BC 的于点M ，过点G 作GN ⊥BC 交BC 的延长线于点N ，∴四边形EMNG 是矩形，∴EG ＝MN ＝5，EM ＝GN ，∵∠BAC ＝∠EMH ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ，∴△ABC ∽△MEC ，∴AB ME ＝BC EC ＝AC MC ，∵AB ＝3，BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝4，设运动时间为t (0＜t ≤4)，则AE ＝CH ＝t ，CE ＝4－t ，∴3ME ＝54－t ＝4MC ，∴EM ＝12－3t 5，CM ＝16－4t 5，∴HN ＝5－MH ＝5－(CM －CH )＝5－(16－4t 5－t )＝9＋9t 5.∵EH ⊥GH ，∴∠EHG ＝90°，∴∠EHM ＋∠GHN ＝90°，又∵EM ⊥BC ，∴∠EHM ＋∠MEH ＝90°，∴∠GHN ＝∠MEH ，又∵∠EMH ＝∠HNG ＝90°，∴△EMH ∽△HNG ，∴EM HN ＝MH NG ，即12－3t 59＋9t 5＝16－4t5－t 12－3t 5，整理得2t 2－3t ＝0，解得t ＝32或t ＝0(舍去)，即AE ＝32，BH ＝5－CH ＝5－32＝72，∴AE BH ＝3272＝37.第14题解图15. 2－1 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点E 作EN ⊥BP 于点N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，由翻折的性质得AD ＝AF ，∠DAE ＝∠EAF ，∴AB ＝AF ，∵AM ⊥BF ，∴BM ＝FM ，∠BAM ＝∠FAM ，∴∠PAM ＝∠PAF ＋∠FAM ＝12∠BAD ＝45°，∵∠AMP ＝90°，∴∠P ＝∠PAM＝45°，∴AM ＝MP ，设BF ＝2a ，则BM ＝MF ＝a ，PF ＝22BF ＝2a ，∴AM ＝PM ＝FM ＋PF ＝a ＋2a ，∵∠AMF ＝∠AFE ＝∠ENF ＝90°，∴∠AFM ＋∠EFN ＝90°，∠EFN ＋∠FEN ＝90°，∴∠AFM ＝∠FEN ，∴△AMF ∽△FNE ，∴AM FM ＝FN EN ＝a ＋2aa ＝1＋2，设EN ＝PN ＝x ，则FN ＝(1＋2)x ，∴(1＋2)x ＋x ＝2a ，∴x ＝(2－1)a ，∴EN ＝(2－1)a ，∴EF AF ＝EN FM ＝（2－1）a a＝2－1，∵CD ＝AD ＝AF ，DE ＝EF ，∴DE CD ＝EFAF ＝2－1.第15题解图16. 334 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥CD 于点E .∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∠ACB ＝∠ACD ＝60°，在△ABM 和△ACN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABM ＝∠ACN ，BM ＝CN∴△ABM ≌△ACN (SAS)，∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝∠BAM ＋∠MAC ＝60°，∴△AMN 为等边三角形，∵∠B ＝∠ACB ＝∠AMP ＝60°，∴∠BAM ＋∠BMA ＝∠BMA ＋∠CMP ＝180°－60°＝120°，∴∠BAM ＝∠CMP ，∠BMA ＝∠CPM ，∴△BAM ∽△CMP ，∴BA BM ＝CM CP ，设BA 长为a ，BM 长为x ，则CM ＝a －x ，∴a x ＝a －xCP ，∴a ·CP ＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－(x －a 2)＋a 24，∴CP ＝－1a (x －a 2)＋a 4，∴当x ＝a 2时，CP 最长，即当AM ⊥BC 时，△AMN 边长最小，此时CP 最长，满足条件，∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BM ＝MC ＝3，∠CMP ＝30°，∠CPM ＝90°，∴PC ＝12MC ＝32，在Rt △PCE 中，∵∠ACD ＝60°，∴PE ＝PC ·sin60°＝334.第16题解图17. 3134；6＋39 【解析】设AQ ＝x ，则S 四边形PCDQ ＝S △ABC －S △ADQ －S △BCP ＝34×62－12·x ·32×1－12×(6－x －1)×32×6＝332＋534x ，∵x 的最大值为6－1＝5，∴当x ＝5时，S 四边形PCDQ 最大，最大值为332＋534×5＝3134；如解图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′Q ，以D ′Q 、PQ 为边作平行四边形PQD ′M ，则DQ ＝D ′Q ＝MP ，∴C 四边形PCDQ ＝PM ＋PC ＋PQ ＋DC ，DD ′＝2AD ·sin60°＝3，D ′M ＝PQ ＝1，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 于点H ，交D ′M 的延长线于点N ，则∠N ＝90°，CH ＝BC ·sin60°＝33，NH ＝12DD ′＝32，∴MN ＝AH －D ′M －AD ·cos60°＝AC ·cos60°－1－12＝3－1－12＝32，CN ＝NH ＋CH ＝32＋33＝732，当点M ，P ，C 在同一直线上时，MP ＋CP 的最小值等于CM 的长，即DQ ＋CP 的最小值等于CM 的长，此时，Rt △MNC 中，CM ＝MN 2＋CN 2＝（32）2＋（732）2＝39，又∵PQ ＝1，CD ＝6－1＝5，∴四边形PCDQ 周长的最小值为CM ＋PQ ＋CD ＝6＋39.第17题解图18. 27－952或92 【解析】分两种情况讨论，如解图①，当GD ＝GE 时，过点G 作GM ⊥AD 于点M ，GN ⊥CD 于点N .设AF ＝x .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝12，∠BAF ＝∠ADE ＝90°，由翻折的性质得AF ＝FG ，BF ⊥AG ，∴∠DAE ＋∠BAE ＝90°，∠ABF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，∴△BAF ∽△ADE ，∴AB DA ＝AF DE ，即912＝x DE ，∴DE ＝43x ，∵GM ⊥AD ，GN ⊥CD ，∴∠GMD ＝∠GND ＝∠MDN ＝90°，∴四边形GMDN 是矩形，∴GM ＝DN ＝EN ＝23x ，∵GD ＝GE ，∴∠GDE ＝∠GED ，∵∠GDA ＋∠GDE ＝90°，∠GAD ＋∠GED ＝90°，∴∠GDA ＝∠GAD ，∴GA ＝GD ＝GE ，∵GM ⊥AD ，∴AM ＝MD ＝6，在Rt △FGM 中，由勾股定理得x 2＝(6－x )2＋(23x )2，解得x ＝27－952或27＋952(舍)，∴AF ＝27－952；如解图②，当DG ＝DE 时，由翻折的性质得，BA ＝BG ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∵DG ＝DE ，∴∠DGE ＝∠DEG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DEG ，∴∠AGB ＝∠DGE ，∴B ，G ，D 三点共线，∵BD ＝AB 2＋AD 2＝92＋122＝15，BG ＝BA ＝9，∴DG ＝DE ＝6，由①知，△BAF ∽△ADE ，∴AF DE ＝AB DA ，即AF 6＝912，∴AF ＝92.综上所述，AF 的值为27－952或92.图①图②第18题解图19. 45；22 【解析】如解图，取BC 的中点G ，连接DG ，由旋转的性质得DC ＝EC ，∠DCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝8，F 为AC 中点，∴CG ＝CF ，∠DCG ＋∠ACD ＝∠ECF ＋∠ACD ＝90°，∴∠DCG ＝∠ECF ，∴△DCG ≌△ECF (SAS)，∴DG ＝EF .分两种情况讨论：如解图①，当GD ⊥AB 时，DG 最短，此时△BDG 是等腰直角三角形，∴DG ＝BG ·sin45°＝4×22＝22，∴EF 的最小值为22；当点D 与点B 重合时，DG ＝BG ＝4；如解图②，当点D 与点A 重合时，DG ＝CG 2＋AC 2＝42＋82＝45＞4，∴EF 的最大值为45，最小值为2 2.图①图②第19题解图20. 10 【解析】如解图，过点A ′作A ′H ⊥AD 于点H ，延长FA ′与BE 的延长线交于点J ，过点F 作FI ⊥BE 于点I ，∵A ′是DE 的中点，∴A ′H 是△DC ′E 的中位线，∴A ′H ＝12C ′E ＝12×3＝32 cm ，由折叠性质知∠A ′DH ＝45°，∴DH ＝A ′H ＝32 cm ，设AF ＝x cm ，则FH ＝6－x －32＝(92－x ) cm ，由折叠的性质得A ′F ＝AF＝x cm ，在Rt △A ′HF 中，由勾股定理得A ′F 2－FH 2＝A ′H 2，即x 2－(92－x )2＝(32)2，解得x ＝52，∴A ′F ＝AF ＝52 cm ，FH ＝92－52＝2 cm ，∴EI ＝FC ′＝FH ＋DH －C ′D ＝2＋32－3＝12 cm ，∵A ′是DE 的中点，易证△A ′DF ≌△A ′EJ ，∴EJ ＝DF ＝2＋32＝72 cm ，A ′F ＝A ′J ＝52 cm ，∴FJ ＝5 cm ，由折叠的性质得∠AFG ＝∠JFG ，∵AD ∥BJ ，∴∠JGF ＝∠AFG ＝∠JFG ，∴JG ＝JF ＝5 cm ，∴GI ＝JG －JE －EI ＝5－72－12＝1 cm ，在Rt △FGI 中，FI ＝3 cm ，∴FG ＝32＋12＝10 cm.第20题解图21. 5217 【解析】如解图，点P 在直线CD 上运动时，当MN 垂直于点N 的运动轨迹(直线)时，MN 最短，当点P 和C 重合时，N 1 是CB 的中点，当PA ′和直线CD 重合时，N 2 是PA ′的中点，∵AC ＝CB ＝4，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，∴CD ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∵M 、N 1分别是AC 、BC 中点，∴MN 1∥AB ，MN 1＝12AB ＝23，DE ＝1，∵PA ′是PA 绕点P 逆时针旋转120°得到的，当PA ′和直线CD 重合时，PA ′＝PA ，∠APA ′＝120°，∴∠APD ＝60°，∴AP ＝AD sin60°＝2332＝4，DP ＝AP ·cos60°＝4×12＝2，∵N 2是PA ′的中点，∴PN 2＝2，EN 2＝2＋2＋1＝5，∵MN 1∥AB ，CD ⊥AB ，MN 1⊥CD ，在△MEN 2和△N 1EN 2中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝N 1E ∠MEN 2＝∠N 1EN 2EN 2＝EN 2，∴△MEN 2≌△N 1EN 2(SAS)，∴N 2M ＝N 2N 1，在Rt △MN 2E 中，N 2M ＝ME 2＋EN 22＝（3）2＋52＝27，∴S △MN 1N 2＝12MN 1·EN 2＝12×23×5＝53，又∵S △MN 1N 2＝12N 1N 2·MN ，∴12×27×MN ＝53，∴MN ＝5217.第21题解图22. 30；6 【解析】如解图①，连接AC ，分别过点E ，G 作AC 的垂线，垂足为M ，N ，易证△AEM ∽△ACB ，∴AE AC ＝EM CB ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝EM 8，∴EM ＝165.∵△BEF 沿EF 翻折后点B 的对应点为点G ，∴GE ＝BE ＝2，∴点G 在以点E 为圆心，2为半径的⊙E (在矩形ABCD 内的部分)上．连接EN ，则EG ＋GN ≥EN ≥EM ，∴GN ≥EM －EG ＝165－2＝65.∵S 四边形AGCD ＝S △ACD ＋S △AGC ＝12AD ·CD ＋12AC ·GN ＝24＋5GN ，如解图②，当点G 在EM 上，即点N 与点M 重合，此时GN 取得最小值65，S 四边形AGCD 取得最小值为24＋5GN ＝24＋5×65＝30；如解图②，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，∵EM ⊥FG ，EM ⊥AC ，∴四边形FGMH 是矩形，∴FH ＝GM ＝65，∵∠FCH ＝∠ACB ，∠CHF ＝∠CBA ＝90°，∴△CHF ∽△CBA ，∴CF CA ＝FH AB ，即CF 10＝656，∴CF ＝2，∴BF ＝BC －CF ＝8－2＝6.图①图②第22题解图。

1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．１２2. 已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为()3A 0，、()04C ，，点D 的坐标为()D 5-0，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M ．问：（1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E 、F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答．备用3. 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个．．符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画．图．并直接写出结果）．图1 图2 图3 A DGCB E QHFMNP图4３4. 在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)，的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O F，重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．４５5. 问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．D C B A ① D C BA ③ D CB A ②６6. 问题探究（1）请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②，点M 是矩形ABCD 内一定点.请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分. 问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中644DC OB OB BC CD ===∥，，，.开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点(42)P ，处.为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分.你认为直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由.7. 将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知8AB =，７4BC AD ==，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．（1）填空：如图1，AC = ，BD = ；四边形ABCD 是 梯形．（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）．（3）如图2，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ABD △不动，将ABC △向x 轴的正方向平移到FGH △的位置，FH 与BD 相交于点P ，设A F t =，FBP △面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．8. 如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E F ，分别从顶点B C ，同时开始以相同速度沿BC CD ，运动，与BCF △相应的EGH △在运动过程中始终保持EGH BCF △≌△，对应边EG BC =，B E C G ，，，在一图1 A BD CE 图2８直线上．（1）若BE a ，求DH 的长；（2）当E 点在BC 边上的什么位置时，DHE △的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点BAB EC GH F D 3a 3aB匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q 同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．10. 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，8AB=cm．现有一动点P按下列方式在矩形内AD=cm，6运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，９１０沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种 方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角 为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点 第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合．． 时．所经过的路径的总长是多少． 小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将矩形A B 沿直线CD 折叠，得到矩形11A B CD ．由轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A PE =. 请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是 cm ；（2） 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB >．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形A B C D 相邻的两边上. 若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则:AB AD 的值为 .1. 解：（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ，则四边形CODB 是矩形，图1图24BD CO ==，3OD CB ==，3DA =．在Rt ABD △中，5AB ==． 当MN OC ∥时，MN BD ∥，AMN ADB ∴△∽△，AN AMAB AD=． ∵AN OM t ==，63AM t AD =-=，， ∴653t t -=， 即154t =（秒）．（2）过点N 作NE x ⊥轴于点E ，交CB 的延长线于点F ， ∵NE BD ∥，∴AEN ADB △∽△，EN ANDB AB=． 即45EN t =，45EN t =．4EF CO == ，445FN t ∴=-．COM MNA CBN OABC S S S S S =--- △△△梯形，∴1111()2222S CO OA CB CO OM AM EN CB FN =+--- 1114144(63)4(6)34222525t t t t ⎛⎫=⨯⨯+-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭ ． 即22161255S t t =-+（05t ≤≤）． 由22161255S t t =-+，得2228(4)55S t =-+．∴当4t =时，S 有最小值，且285S =最小． 解：（1）连结BO 与AC 交于点H ，则当点P 运动到点H 时，2.直线DP 平分矩形OABC 的面积．理由如下：∵矩形是中心对称图形，且点H 为矩形的对称中心．又据经过中心对称 图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线DP 过矩形OABC 的对称中心点H ，所以直线DP 平分矩形OABC 的面积．由已知可得此时点P 的坐标为3(2)2P ，．设直线DP 的函数解析式为y kx b =+．则有503 2.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得413k =，2013b =．所以，直线DP 的函数解析式为：4201313y x =+． （2）存在点M 使得DOM △与ABC △相似．如图，不妨设直线DP 与y 轴的正半轴交于点(0)m M y ，． 因为DOM ABC ∠=∠，若△DOM 与△ABC 相似，则有OM BC OD AB =或OM ABOD BC=． 当OM BCOD AB=时，即354m y =，解得154m y =．所以点115(0)4M ，满足条件． 当OM ABOD BC=时，即453m y =，解得203m y =．所以点220(0)3M ，满足条件． 由对称性知，点315(0)4M -，也满足条件． 综上所述，满足使DOM △与ABC △相似的点M 有3个，分别为115(0)4M ，、220(0)3M ，、315(0)4M -，．（3）如图 ，过D 作DP ⊥AC 于点P ，以P 为圆心，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 、DF ，点E 、F 是切点．除P 点外在直线AC 上任取一点P 1，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 1、DF 1，点E 1、F 1是切点．在△DEP 和△DFP 中，∠PED ＝∠PFD ，PF ＝PE ，PD ＝PD ，∴△DPE ≌△DPF ． ∴Ｓ四边形DEPF ＝2Ｓ△DPE ＝2×1522DE PE DE PE DE ⨯⋅=⋅=．∴当DE 取最小值时，Ｓ四边形DEPF 的值最小．∵222DE DP PE =-，2221111DE DP PE =-，∴222211DE DE DP DP -=-．∵1DP DP >，∴2210DE DE ->．∴1DE DE >．由1P 点的任意性知：DE 是D 点与切点所连线段长的最小值．在△ADP 与△AOC 中，∠DP A ＝∠AOC ， ∠DAP ＝∠CAO ， ∴△ADP ∽△AOC ． ∴DP CO DA CA =，即485DP =．∴325DP =．∴DE ==x∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）3. 解：（1（2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ 的面积为25．4. 解：（1）12；（2）直角顶点的坐标为22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或1122⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭． 此时的图形如右图．5. 解：（1）如图①，连接AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°． ∴点P 为所求．（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边ABP △；2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与AD BC 、交于点E F 、．在O ⊙中，弦AB 所对的APB 上的圆周角均为60°， EF∴上的所有点均为所求的点P ． （3）如图③，画法如下：1）连接AC ；2）以AB 为边作等边ABE △；3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP CP '=． 则点P P '、为所求．（评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG AC ⊥，交AC 于点G ．图3CA DGC BEQH F M N P 图4B A P②在Rt ABC △中，43AB BC ==，．5AC ∴==．125AB BC BG AC ∴== ． 在Rt ABG △中，4AB =，165AG ∴==．在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，12tan 605BG PG ∴===°∴1655AP AG PG =+=+．111612962255525APB S AP BG ⎛⎫+∴==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ △．6. 解：（1）如图①，作直线DB ，直线DB 即为所求.（所求直线不唯一，只要过矩形 对称中心的直线均可） ··························································································· （2分） （2）如图②，连接AC 、DB 交于点P ，则点P 为矩形ABCD 的对称中心.作直线MP ， 直线MP 即为所求. ································································································ （5分） （3）如图③，存在符合条件的直线l . ································································· （6分） 过点D 作DA OB ⊥于点A ，则点(42)P ，为矩形ABCD 的对称中心. ······························································· （6分） ∴过点P 的直线只要平分DOA △的面积即可.易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将DOA △面积平分. 从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积. 即直线PH 为所求直线l . ························································································ （9分）设直线PH 的表达式为y kx b =+，且点(42)P ，， 24k b ∴=+．即2424b k y kx k =-∴=+-．． 直线OD 的表达式为2y x =．∴242y kx k y x =+-⎧⎨=⎩，．解之，得242482k x kk y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，．③∴点H 的坐标为244822k k k --⎛⎫⎪--⎝⎭，．PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(222)k -，， 02241k k ∴<-<∴-<<．．2411224222k k -⎛⎫-=⨯⨯⨯ ⎪-⎝⎭．解之，得k k ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭83b ∴= ∴直线l的表达式为8y x =+- （12分）7. ．解：（1）1分等腰； 2分 （2）共有9对相似三角形．（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对) 所以，一共有9对相似三角形． 5分（3）由题意知，FP ∥AE ，∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB ＝∠2＝30°， ∴ FP ＝BP过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则12FK BK FB ==．∵ AF ＝t ，AB ＝8，∴ FB ＝8－t ，1(8)2BK t =-．在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)2PK BK t t =⋅∠=-︒=-． 7分∴ △FBP 的面积11(8))22S FB PK t t =⋅⋅=⋅--， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：2(8)12S t =-，或24123S t =-+ 8分 t 的取值范围为：08t ≤<．9分8. 解：（1）连接FH ，则FH BE ∥且FH BE =， 1分在Rt DFH △中，32DF a a a =-=，FH a =，90DFH ∠= ，2分所以，DH ==．3分 （2）设BE x =，DHE △的面积为y ， 4分 依题意，CDE EGH CDHG y S S S =+-△△梯形，5分1113(3)(3)3222a a x a x x a x =⨯⨯-+⨯+⨯-⨯⨯ 6分 22139222x ax a =-+ 7分22221391327222228y x ax a x a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．当32x a =，即12BE BC =， E 是BC 的中点时，y 取最小值． 8分DHE △的面积y 的最小值为2278a ． 9分9. 解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， 即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．ABE CGH FDP图4由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】10. 解：（1）5，； 3分 （2）4:5． 5分解题思路示意图：P图5。

难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC 的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B ＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD 与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC 上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP ＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC ＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD 与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B＝∠CQP.又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB ＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB＝PC，∴QC ＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直②BC＝CD＋CF(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.在△DAB与△F AC中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，AB＝AC，∴△DAB≌△F AC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB ＝∠ABD－∠ACB＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB ＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC.4．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BF A＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在。

1、当Rt△的直角顶点P要正方形ABCD对角线AC上运动（P与A、C不重合）且一直角边始终过点D，另一直角边与射线BC 交于点E，（1）如图1，当点E与BC边相交时，①证明：△PBE为等腰三角形；②写出线段AP、PC与EC之间的等量关系（不必证明）（2）当点E在BC的延长线上时，请完成图2，并判断（1）中的①、②结论是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（不必证明）2、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF。

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF。

（1）如图2，若点P在线段OA上（不与点A、O重合）PE⊥PB且交CD于点E.①求证：DF=EF②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论。

(2)若点P在线段OC上（不与点O、C重合）PE⊥PB且PE交直线CD于点E，完成图3并判断（1）中的结论①②是否成立？若不成立，写出相应结论。

3、正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．4、已知，正方形ABCD，点P在对角线BD上，连接AP、CP(如图①)1.求证：AP＝CP.2.将一直角三角板的直角顶点置于点P处并绕点P旋转，设两直角边分别交DC、BC于E、F，a.若旋转到图②位置，使PE与PA在一直线上，求证：PF＝PA.b.若旋转到图③位置且PD∶PB＝2∶3，求PE∶PF的值.5、如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 58 度．6、（2002•上海）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图1）；（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图2）；（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,在BD上截取BE=BC,连接C、E, P点是上BC任意一点,P M⊥BD于M, P N⊥BC于N,若正方形ABCD的边长为2,则PM+PN=( )阅读材料:如图,中,,为底边上任意一点,点到两腰的距离分别为,,腰上的高为,连接,则,即:,(定值).理解与应用:如图,在边长为的正方形中,点为对角线上的一点,且,为上一点,于,于,试利用上述结论求出的长.类比与推理:如果把"等腰三角形"改成"等边三角形",那么的位置可以由"在底边上任一点"放宽为"在三角形内任一点",即:已知等边内任意一点到各边的距离分别为,,,等边的高为,试证明(定值).拓展与延伸:若正边形,内部任意一点到各边的距离为请问是是否为定值,如果是,请合理猜测出这个定值.已知,采用面积分割法,得出三角形高的数量关系.连接,,,仿照面积的割补法,得出,而这几个三角形的底相等,故可得出高的关系.问题转化为正边形时,根据正边形计算面积的方法,从中心向各顶点连线,可得出个全等的等腰三角形,用边长为底,边心距为高,可求正边形的面积,然后由点向正多边形,又可把正边形分割成过三角形,以边长为底,以为高表示面积,列出面积的等式,可求证为定值.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E．（1）试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论；（2）连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）作辅助线：过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，构建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD （ASA），然后由全等三角形的对应边相等证明PE=PD；（2）由正方形的四条边相等，对角线平分对角的性质证明△APB≌△APD（SAS），然后由全等三角形的对应边相等证明PB=PD；利用（1）的结论，由等量代换证明PE=PB，即△PBE为等腰三角形；解答：（1）解：PE=PD．证明：过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°；又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2；又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°，∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），∴PE=PD；（2）证明：∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP，∴△APB≌△APD（SAS），∴PB=PD，∴PE=PB，∴△PBE为等腰三角形．（2009•通州区二模）如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．。

动态探究题这种题型包括有动点问题，动线问题和动圆问题三类。

主要是考查学生对几何元素的运动变换的性质，它主要揭示“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。

解决此类问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答，即“化动为静”的思路；并能在从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系，通过归纳得出规律和结论，并加以论证。

中考题中的动态型试题是考查学生创新意识的重要题型之一。

【典型例题】（一）动点型动态探究题例1. 如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A （18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。

（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。

（3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t的取值范围。

（4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。

例2. 如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB<CD，AB＝10，BC＝3（1）如果M为AB上一点，且满足∠DMC＝∠A，求AM的长。

（2）如果点M在AB上移动，（点M与A、B不重合）且满足∠DMN＝∠A，MN 交BC延长线于N，设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（写取值范围不需推理）例3. 已知，如图①，E、F、G、H按照AE＝CG，BF＝DH，BF＝nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长为a，na的矩形ABCD各边上运动，设AE＝x，四边形EFGH的面积为S（1）当n＝1，2时，如图②，如图③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点（2）当n＝3时，如图④，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）探索S随x增大而变化的规律，猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使（3）当n＝k（k≥1）时，你所得到的规律和猜想是否成立？为什么？（二）线动型动态探究题例4. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4cm，∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD于点E（1）当点P运动2S时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积。

2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题类型一动点探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为________．第1题图2. (2019锦江区二诊)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于______．第2题图3. (2019金牛区二诊)如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是对角线AC上的动点，EH⊥AD，垂足为H，以EH为边作正方形EFQH，连接AF，则∠AFE的正弦值为________．第3题图4. 如图，两个全等的三角形△ABC和△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，点E在BC边上从点B向点C移动(点E不与B、C重合)，在运动过程中，DE始终经过点A，EF与AC相交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE的长为__________．第4题图5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点P是边AB上一动点，过点P作BC的垂线交BC 于点D ，点F 与点B 关于直线PD 对称，连接AF ，当△AFC 是等腰三角形时，BD 的长为________．第5题图6. (2018成都黑白卷)如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，点D 为AB ︵的中点，点M 、N 分别是CD 、AC 上的动点，则MA ＋MN 的最小值为________．第6题图7. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点，连接BE ，MN 是BE 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连接EM 、EN .过点E 作EF ⊥AD 于点F ，已知AB ＝1，BC ＝2.若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为________．第7题图8. 如图，在矩形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，点E 是边BC 上的动点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，已知AB ＝1，BC ＝3，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为________．第8题图9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，点M 是直线BC 上一动点，且∠CAM ＋∠CBA ＝45°，则BM 的长为________．第9题图10. (2019锦江区一诊)如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，A点坐标为(0，2)．点D 是线段OC上的一个动点，连接AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF.当点D与点C 重合时，所作矩形ADEF的面积为6.在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为________．第10题图类型二平移探究题1. 如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE向右平移得到△DCF，连接AF.若四边形AEFD为菱形，AF＝45，BE∶EC＝3∶2，则AD长为________．第1题图2．如图，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A.将△AEO沿AO方向向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′.当A′B＋BE′取得最小值时，则EE′的长是________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，D是AB延长线上一点，过点B在AD上方作射线BE，使得∠DBE＝45°.将△ABC沿射线BE平移，得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，连接A′B，C′B，则A′B＋C′B的最小值是________ .第3题图4. (2018成都黑白卷)如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠BAD＝45°，∠ABD＝75°，点E为线段BD边上一动点，连接AE，第一步：将△AED剪下平移到△BGC处；第二步：将△ABE剪下平移到△DCF处；第三步：将△BGC沿BC的中垂线翻转180°后得到△CG′B；第四步：将△CFD沿DC的中垂线翻转180°后得到△DF′C，连接F′G′；当点E在BD上移动时，F′G′的最小值为________．第4题图类型三旋转探究题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD 绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，在旋转过程中，CF的最大长度是________．第1题图2. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12.点D 在边AC 上(不与A ，C 重合)，连接BD ，F 为BD 中点．若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，则线段CF 长度的最大值是________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点G ，F 在BC 边上(均不与端点重合)，DG ∥EF .将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°，将△CEF 绕点E 逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN ，则四边形MGFN 周长l 的取值范围是________．第3题图4. (2019高新区二诊)如图，△ABC ，△EFG 分别是边长为2和233的等边三角形，D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转一周时，点M 经过的路径长为________．第4题图5. 如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形(∠ACB ＝∠DCE ＝90°)．保持△ABC 固定不动，将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，连接AD 、AE 、BD ，直线AE 与BD 相交于点H ，点P 、M 、N 分别是AD 、AB 、DE 的中点，若AC ＝4，CD ＝2，则在旋转过程中，△PMN 的面积的最大值为________．第5题图类型四折叠探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AB的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在的直线折叠到△EGF的位置，连接GD，则GD的最小值是______．第1题图2. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上(含端点)，且AB＝6，BC＝10.设AE＝x，则x的最大值和最小值的和是______．第2题图3. (2019淮安)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B 落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝________．第3题图4. (2019金牛区二诊)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，在△ABC 内有一点P ，已知∠1＝∠2＝∠3，将△BCP 以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连接AD ，将△APD 的面积记为S 1，将△BPE 的面积记为S 2，则S 2S 1的值为________．第4题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE ，使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为________．第5题图6. (2019都江堰区一诊)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC ＝4AM ，设BD ＝m ，那么∠ACD 的正切值是______．(用含m 的代数式表示)第6题图7. (2019成华区二诊)已知一个矩形纸片ABCD ，AB ＝12，BC ＝6，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 落在C ′处，DC ′，EC ′分别交AB 于点F ，G ，若GE ＝GF ，则sin ∠CDE 的值为________．第7题图8. (2019成都黑白卷)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，若BE ＝AD ＝10，平行四边形ABCD 的面积为60，则FG ＝ ________．第8题图9. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展开后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G.P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是______．第9题图10. 如图，四边形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB＝6，AD＝CD＝3，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值为______．第10题图参考答案类型一 动点探究题1. 9 【解析】如解图，由题意可知，点G 在以点B 为圆心，1为半径的14圆弧上运动．作点C 关于AD 的对称点C ′，连接C ′B 交AD 于点H ，交以点B 为圆心，1为半径的圆于点G ，由两点之间线段最短，此时C ′B 的值最小，最小值为BC 2＋CC ′2＝62＋82＝10，∵GH ＋CH ＝GH ＋C ′H ＝BC ′－BG ＝9，∴GH ＋CH 的最小值为9.第1题解图2. 925【解析】如解图，∵点D 为BC 边上一动点，∴AD 的最小值为AD 1，最大值为AD 2，∵在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝52－32＝4，∵S △ABC ＝AB ·AC 2＝BC ·AD 12，解得AD 1＝125，∵AD 2为最大值4，∴最小面积与最大面积之比＝(125∶4)2＝925.第2题解图3. 513【解析】∵四边形EFQH 是正方形，∴∠EHA ＝90°，设HE ＝HQ ＝x ，AH ＝y ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，∴HE ∥CD ，AD ∥EF ，∴△AHE ∽△ADC ，∴HE CD ＝AH AD ，即x 5＝y 7，设x ＝5k ，则y ＝7k ，∵四边形EFQH 是正方形，∴HQ ∥EF ，∴∠AFE ＝∠QAF ，在Rt △AQF 中，AF ＝（5k ）2＋（12k ）2＝13k ，∴sin ∠AFE ＝sin ∠QAF ＝QF AF ＝5k 13k ＝513. 4. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE CA ＝AC BC ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝BC －EC ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 5. 22或2－1 【解析】∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.①当AF ＝CF 时，∠F AC ＝∠C ＝45°，∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝22；②当CF ＝CA ＝2时，BF ＝BC －CF ＝22－2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝2－1；③当AF ＝AC 时，点F 与点B 重合(舍去)．综上所述，BD 的长为22或2－1. 6. 6 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠ABC ＝45°，OA ＝OC ＝2，∴∠AOC ＝90°，∴AC ＝2OA ＝22，在CB 上取一点A ′，使CA ′＝CA ，∵∠ACB ＝60°，∴△A ′CA 为等边三角形，过点A ′作A ′N ′⊥AC 于点N ′，∵点D 为AB ︵的中点，∴CD 为∠ACB 的平分线，∴点A 与点A ′关于直线CD 对称，连接A ′M ，∴A ′M＝AM ，即AM ＋MN ＝A ′M ＋MN ，根据直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，∴A ′N ′的长即为MA ＋MN 的最小值，∵A ′C ＝AC ＝22，∠ACB ＝60°，∴A ′N ′＝A ′C ·sin60°＝22×32＝6，即MA ＋MN 的最小值为 6.第6题解图7. 13或5－255【解析】如解图①，当∠AME ＝90°时，易知四边形AMEF 是矩形，且四边形BMEN 是正方形．∵ME ∥BC ，∴AM ME ＝AB BC ＝12，∴AM ＋BM ＝AM ＋2AM ＝1，则EF ＝AM ＝13；如解图②，当∠AEM ＝90°时，易证△AEM ∽△ABC ，∴AE ME ＝AB CB ＝12，∴ME ＝2AE ，则BM ＝ME ＝2AE ，AM ＝5AE ，∴AB ＝AM ＋BM ＝2AE ＋5AE ＝1，解得AE ＝5－2.又∵EF ∥CD ，∴EF AE ＝CD AC ＝15，∴EF ＝55(5－2)＝5－255.综上，若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为13或5－255.图① 图②第7题解图 8. 43或1或1－63 【解析】如解图①，当AE ＝AF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝AE ＝3－a .在Rt △ABE中，由AE 2＝AB 2＋BE 2得(3－a )2＝12＋a 2，解得a ＝43；如解图②，当AE ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝3－a ，由AF ＝2BE ，得3－a ＝2a ，解得a ＝1；如解图③，当AF ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝EF ＝3－a .由∠F AE ＝∠FEA ＝∠AEB 可得AB ＝AG ＝1，易知EG ＝BE ＝a ，∴FG ＝3－2a .在Rt △AFG 中，由AF 2＝AG 2＋FG 2得(3－a )2＝12＋(3－2a )2，解得a ＝1－63或a ＝1＋63(不符合题意，舍去)．综上，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为43或1或1－63.图① 图② 图③第8题解图 9. 135或175【解析】①当M 在线段BC 上时，如解图，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，∵∠CAM ＋∠CBA ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠BAM ＝45°.∵AC ＝2，BC ＝3，∴AB ＝13.∵Rt △BHM ∽Rt △BCA ，∴MH AC ＝BH BC＝BM BA .设MH ＝2x ，则2x 2＝BH 3＝BM 13，∴BH ＝3x ，BM ＝13x ，在Rt △AHM 中，AH ＝MH ＝2x ，∵AB ＝BH ＋AH ＝13，∴5x ＝13，x ＝135，BM ＝13x ＝135；②当M 在BC 延长线上时，如解图，则∠CAM ′＋∠CBA ＝45°，又∵∠CAM ＋ ∠CBA ＝45°，∴∠CAM ＝∠CAM ′.又∵AC ⊥BM ′，∴CM ＝CM ′.由①得CM ＝BC －BM ＝25，∴BM ′＝175；③当M 在CB 的延长线上时，不存在∠CAM ＋∠CBA ＝45°.综上所述，BM 的长为135或175.第9题解图10. y ＝113x 【解析】当点D 与点C 重合时，如解图，过F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接OF ，∵S △ABC ＝12S 矩形 AOCB ＝12S 矩形ADEF ＝3，∴S 矩形AOCB ＝6，∵A 点坐标为(0，2)，∴OA ＝2，∴OC ＝3，∵∠F AD ＝90°，易得△FGA ∽△AOD ，∴FG AO ＝AG DO ，即FG AG ＝AO DO ＝23，设|FG |＝2a ，|AG |＝3a 由勾股定理得OF ＝OG 2＋FG 2＝（2＋3a ）2＋（2a ）2＝13a 2＋12a ＋4，令t ＝13a 2＋12a ＋4，∴t ＝13a 2＋12a ＋4＝13(a ＋613)2＋4，∴当a ＝－613时，t 有最小值．∴|FG |＝|2×(－613)|＝1213，|AG |＝|3×(－613)|＝1813，点F 的横坐标为1213，纵坐标为1813＋2＝4413，设OF 解析式为y ＝kx (k ≠0)，求得k ＝113，故函数的解析式为y ＝113x .第10题解图类型二 平移探究题1. 5 【解析】∵四边形AEFD 为菱形，∴AE ＝EF ，∵将△ABE 向右平移得到△DCF ，∴BE ＝CF ，AB ＝CD ，∵BE ∶EC ＝3∶2，设BE ＝3k ，EC ＝2k ，∴BC ＝EF ＝5k ，∴AE ＝5k ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝90°，∴AB ＝AE 2－BE 2＝4k ，∴AB 2＋BF 2＝AF 2，即(4k )2＋(8k )2＝(45)2，∴k ＝1，∴AD ＝BC ＝5.2. 67 【解析】∵OA ＝2，OB ＝4，∠OAE ＝∠OBA ，∠EOA ＝∠AOB ＝90°，∴△OAE ∽△OBA ，∴OA OB ＝OE OA ，即24＝OE 2，解得OE ＝1，如解图，过点A 作AB ′⊥OA ，并使AB ′＝BE ＝3.易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′＝BE ′，∴A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋B ′A ′.当点B 、A ′、B ′在同一条直线上时，A ′B ＋B ′A ′最小，即此时A ′B ＋BE ′取得最小值．易证△AB ′A ′∽△OBA ′，∴AA ′OA ′＝AB ′OB ＝34，∴AA ′OA ＝37，AO ＝2，∴AA ′＝37×2＝67，∴EE ′＝AA ′＝67.第2题解图3. 25 【解析】如解图，作射线CC ′，AA ′，AA ′交BC ′于点O ，过点C 作CF ∥AB 交AA ′于F ，连接BF ，由平移性质得AA ′∥BE ∥CC ′，∵∠EBD ＝45°，∴∠F AB ＝∠C ′CF ＝45°，∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴易得四边形ABFC 是正方形，∴∠FCB ＝45°，∴∠C ′CB ＝90°，∵A ′C ′＝BF ，∠A ′OC ′＝∠FOB ，∠C ′A ′O ＝∠BFO ＝45°，∴△A ′OC ′≌△FOB ，∴BO ＝C ′O ，∴CO ＝C ′O ＝BO ，延长FC 到G ，使得CG ＝CF ，连接A ′G ，则CO 是△FGA ′的中位线，∴A ′G ＝2CO ＝BC ′，∴BC ′＋BA ′＝BA ′＋A ′G ，∴当点B 、A ′、G 在同一条直线上时，BG 取得最小值，那A ′B ＋C ′B 取得最小值．∵在Rt △GFB 中，BF ＝AC ＝2，FG ＝2CF ＝4，∴BG ＝25，∴A ′B ＋C ′B 的最小值为2 5.第3题解图 4. 32＋62 【解析】由翻转可得△BG ′C ≌△CGB ≌△DEA ，∴CG ′＝AE ，∠BCG ′＝EAD ，同理可得CF ′＝AE ，∠DCF ′＝∠BAE ，∴∠BCG ′＋∠DCF ′＝∠EAD ＋∠BAE ＝45°，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴∠G ′CF ′＝∠G ′CB ＋∠BCD ＋∠DCF ′＝90°.∴△G ′CF ′为等腰直角三角形，由勾股定理可得F ′G ′＝2CG ′＝2AE ，当AE ⊥BD 时，AE 的值最小，即此时F ′G ′的值最小，∵△AED ≌△BGC ，△ABE ≌△DCF ，且∠AED ＝∠AEB ＝90°，∴∠BGC ＝∠AED ＝90°，∠DFC ＝∠AEB ＝90°，∴BG ∥DF ，又∵BG ＝AE ＝DF ，∴四边形BGFD 为矩形，如解图，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝∠ABM ＝45°，AB ＝6，∴AM ＝BM ＝6×22＝3，∵∠ABD ＝75°，∴∠DBM ＝∠ABD －∠ABM ＝75°－45°＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴在Rt △DBM 中，BD ＝BM sin60°＝2，MD ＝BM tan60°＝1，∴AD ＝AM ＋MD ＝1＋3，∵S △BAD ＝12BD ·AE ＝12AD ·BM ，即2AE ＝(1＋3)×3.∴AE ＝3＋32，∴F ′G ′的最小值为32＋62.第4题解图类型三 旋转探究题1. 10＋2 【解析】如解图，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝210.∵M 为AB 中点，∴CM ＝12AB ＝10，∵将线段AD 绕点A 按顺时针方向旋转，点D 的对应点是点P ，∴AP ＝AD ＝4，∵M 为AB 中点，F 为BP 中点，∴FM ＝12AP ＝2.当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝10＋2.第1题解图2. 4＋35 【解析】如解图①，当AD ＝13AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12，且BC ＝6，∴AC ＝12，AB ＝6 5.∵M 为AB 中点，∴CM ＝35，∵AD ＝13AC ，∴AD ＝4.∵M 为AB 中点，F 为BD 中点，∴FM ＝12AD ＝2，∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝2＋35；如解图②，当AD ＝23AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，同理可得CF 的最大值为4＋35，综上，线段CF 的长度的最大值为4＋3 5.第2题解图3. 7＜l ＜17 【解析】如解图，过点A 作AH ∥DG ，∵DG ∥EF ，∴DG ∥EF ∥AH ，∵点D 为AB 的中点，将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°后到△ADM 的位置，∴BG ＝AM ，MG ∥AH 且MG ＝AH ，同理CF ＝AN ，NF ∥AH 且NF ＝AH ，∴四边形MGFN 是平行四边形，∴MN ＝GF ＝AM ＋AN ＝BG ＋CF .在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴由勾股定理得BC ＝5，即MN ＋GF ＝5，在△ABH 中，由三角形的三边关系可得AB －BH ＜AH ＜AB ＋BH ，同理AC －CH ＜AH ＜AC ＋CH ，两式相加得AB ＋AC －(BH ＋CH )＜2AH ＜AB ＋AC ＋(BH ＋CH )，∴4＋3－5＜2AH ＜4＋3＋5，即2＜2AH ＜12，l ＝MG ＋GF ＋NF ＋MN ＝2AH ＋BC ，∵BC ＝5，2＜2AH ＜12，∴7＜l ＜17.第3题解图4. 4π3【解析】如解图，连接AD 、DG .∵△ABC 和△EFG 均是等边三角形，D 分别是BC 和EF 的中点，∴BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，∴∠ADC ＝∠GDF ＝90°，∴∠ADG ＝∠CDF ，∵AD CD＝DG DF＝tan60°，∴△ADG ∽△CDF ，∴∠DAG ＝∠DCF ，∴∠AMC ＝90°，∴点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，且来回共两个三分之一圆，∴点M 运动的路径长为4π3.第4题解图5. 92【解析】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＋∠BCE ＝∠BCE ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠HBA ＋∠HAB ＝∠HBC ＋∠CBA ＋∠HAB ＝∠CBA ＋∠CAB ＝90°，∴BD ⊥AE .∵P ，M 分别是AD ，AB的中点，∴PM ∥BD ，且PM ＝12BD ，同理，PN ∥AE ，且PN ＝12AE ，∴PM ⊥PN ，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.第5题解图类型四 折叠探究题1. 73－3 【解析】如解图，由EG ＝EB ＝3，可得当点G 在DE 上时，此时GD 的值最小，根据折叠的性质，△EBF ≌△EGF ，∴EG ⊥GF ，EG ＝EB ，∵E 是AB 边的中点，AB ＝6，∴AE ＝EG ＝3，∵AD ＝8，∴Rt △ADE 中，DE ＝82＋32＝73，∴GD ＝73－3.第1题解图2. 8 【解析】设折痕为PQ ，点P 在AB 边上，点Q 在BC 边上．如解图①，当点Q 与点C 重合时，AE 最小，根据翻折对称性可得EC ＝BC ＝10，在Rt △CDE 中，CE 2＝ED 2＋CD 2，即102＝(10－AE )2＋62，解得AE ＝2，即x ＝2；如解图②，当点P 与点A 重合时，AE 最大，根据翻折对称性可得AE ＝AB ＝6，即x ＝6，所以x 的最大值和最小值的和是8.图① 图②第2题解图 3. 43 【解析】如解图，连接PB 交CH 于点E .在Rt △BCH 中，BC ＝2，BH ＝12AB ＝32，∵△PCH 是由△BCH 折叠得到的，∴PB ⊥CH ，BE ＝PE ，PH ＝HB .∴∠HPB ＝∠HBP .∵AH ＝BH ，∴AH ＝PH .∴∠P AH ＝∠APH .∴∠APH ＋∠BPH ＝12(∠P AB ＋∠APB ＋∠ABP )＝90°.∴AP ∥CH ，∴tan ∠HAP ＝tan ∠BHC ＝BC BH ＝43.第3题解图 4. 12 【解析】如解图，连接BD ，延长CP 交BD 于点F ，由翻折可知CF ⊥BD ，BF ＝DF ，∠BPF ＝∠DPF ，∵∠1＝∠2＝∠3，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1＋∠ACP ＝∠2＋∠ACP ＝90°，∠2＋∠PBC ＝∠3＋∠PBC ＝45°，∴∠APC ＝90°，∠DPF ＝45°，DF ＝FB ＝PF ，∴△APC ≌△CFB ，∴AP ＝CF ，CP＝BF ＝PF ，∴AP ＝BD ，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴S 2S 1＝12.第4题解图5. 1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 长为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F .此时AF 的值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∵AC ＝4，∴AD ＝5，∵FD ＝3，∴F A ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF DA ＝DH DC ＝HF CA ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.第5题解图6. 10m －253【解析】如解图，作AH ⊥BC 于点H ，MG ⊥BC 于点G ，连接EM 、MD 、BM ，∵AB ＝AC ，BC ＝8，AH ⊥BC ，∴CH ＝4，∵AC ＝4AM ，∴CM ∶AC ＝3∶4，∵AH ∥MG ，∴CG HC ＝CM AC ＝34，即CG 4＝34，解得CG ＝3，∴BG ＝5，∴DG ＝m －5，由翻折的性质可知MD ＝BD ＝m ，在Rt △MGD 中，依据勾股定理可知：MG ＝MD 2－GD 2＝m 2－（m －5）2＝10m －25，∴tan ∠ACD ＝tan ∠ACG ＝MG CG ＝10m －253.第6题解图 7. 1010 【解析】设CE ＝x ，则BE ＝6－x .根据折叠的对称性可知DC ′＝DC ＝12，C ′E ＝CE ＝x .在△FC ′G 和△EBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ′＝∠B ＝90°∠FGC ′＝∠EGB GF ＝GE，∴△FC ′G ≌△EBG (AAS)．∴FC ′＝BE ＝6－x .∴DF ＝12－(6－x )＝6＋x .连接FE ，在Rt △FC ′E 和Rt △EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ′＝BE EF ＝EF，∴Rt △FC ′E ≌Rt △EBF (HL)．∴FB ＝EC ′＝x .∴AF ＝12－x .在Rt △ADF 中，AD 2＋AF 2＝DF 2，即36＋(12－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝4.∴CE ＝4.在Rt △CDE 中，DE 2＝DC 2＋CE 2，则DE ＝410.∴sin ∠CDE ＝CE DE ＝1010. 8. 2 【解析】∵将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，∴AE ＝EF ，∠AEB ＝∠FEB ，∴∠AEB ＝12(180°－∠DEF )，∵E 为AD 边的中点，∴AE ＝DE ，∴DE ＝EF ，∴∠EDF ＝∠EFD ，∴∠EDF ＝12(180°－∠DEF )，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴BE ∥DG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥BG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，∴DE ＝BG ，DG ＝BE ＝10，∵四边形ABCD 是平行四边形，且面积等于60，AE ＝DE ，∴S △ABE ＝14S ▱ABCD ＝15，如解图，连接AF 交BE 于H ，则AH ⊥BE ，AH ＝HF ，∵BE ＝10，∴AH ＝3，∴AF ＝6，∵BE ∥DG ，∴AF ⊥DG ，∴DF ＝AD 2－AF 2＝8，∴FG ＝DG －FD ＝2.第8题解图9. 3 【解析】如解图，连接AN ，∵∠ABM ＝∠MBN ＝30°，∠BNM ＝∠BAM ＝90°，∴∠BMG ＝∠BNM －∠MBN ＝90°－30°＝60°，∴∠MBG ＝∠ABG －∠ABM ＝90°－30°＝60°，∴∠BGM ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠MBG ＝∠BMG ＝∠BGM ＝60°，∴△BMG 为等边三角形，∵点N 是MG 的中点，∴BN ⊥MG ，∵BG＝BM ＝AB cos ∠ABM ＝433，∴BN ＝BG ·sin60°＝433×32＝2，根据题意易知E 点和H 点关于BM 对称，∴PH ＝PE ，∴P 与Q 重合时，PN ＋PH 的值最小，此时PN ＋PH ＝PN ＋PE ＝EN ，∵EN ＝BN 2－BE 2＝22－（2÷2）2＝3，∴PN ＋PH ＝3，∴PN ＋PH 的最小值是 3.第9题解图10. 35－6【解析】如解图①，设A的对应点为P1，连接ED，过P1作PP1⊥ED于点P，∴在Rt△P1PD 中，DP1＞DP，∴当点A的对应点P落在线段ED上时，此时PD有最小值，即当EP取最大值时，PD有最小值，而点E在线段AB上，∴当点E与点B重合时，如解图②，即EP最大，从而此时PD取得最小值，在Rt△ADB中，BD＝AB2＋AD2＝35，∵PB＝AB＝6，∴DP＝BD－BP＝35－6.图①图②第10题解图。

压轴小题7 探究立体几何中的动态问题【炎德联考雅礼中学2024届高三月考试卷六T 11】（多选）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠=︒==为1CC 的中点，点Q 满足[][]()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ=+∈∈，则下列结论正确的是（）A ．若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C ．若1A Q QD ．若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +对于A ，取1,DD DC 的三等分点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断；对于B ，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C ，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断；对于D ，把1A AB △沿着1A B 进行翻折，使得1A ，A ，B ，P 四点共面，再由勾股定理和余弦定理求出长度．此时有最小值．对于A ，取1,DD DC 的三等分点分别为，如图所示，因为13λμ+=，所以331λμ+=，令，，则，所以．因为，所以1A BQ △的面积为定值，点P 到平面的距离也是定值，故A 正确．对于B ，若1A BQ △的外心为O ，过点O 作于点H ，则H 是1A B 的中点．因为，所以，故B 错误．对于C ，在平面1111D C B A 中作111A K C D ⊥，显然平面11CC D D ，由长度和角度，可得1A K =在中，1A Q =所以KQ =Q 在以为圆心，为半径的圆上运动．设此圆与交于点，因为3KA =且11KD =，所以，则点Q 的轨迹长度是．故C 正确．对于D ，若且，则点Q 与点P 重合．把1A AB △沿着1A B 进行翻折，使得1A ，A ，B ，P 四点共面，此时有最小值AP （这里和后面的A 均为翻折后的点）．在中，1A P =PB 1A B =所以1π2PBA ∠=，从而3π4PBA ∠=，在中，由余弦定理得，故D 正确．故选：ACD（2024·湖北·二模）1．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，F 为正方形11C CDD 内一个动点（包括边界），且1//B F 平面1A BE ，则下列说法正确的有（ ）A ．动点FB ．三棱锥11B D EF -体积的最小值为13C ．1B F 与1A B 不可能垂直D ．当三棱锥11B D DF -的体积最大时，其外接球的表面积为25π2（2024·广西南宁·一模）2．在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，动点M 满足1AM xAB y AD z AA =++，(,,R x y z ∈且0,0,0)x y z ≥≥≥，下列说法正确的是（ ）A ．当[]1,0,0,14x z y ==∈时，1B M MD +B ．当11,2x y z ===时，异面直线BM 与1CDC ．当1x y z ++=，且AM =时，则MD ．当1,0x y z +==时，AM 与平面11AB DA 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B AT B A O A ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出，故点的轨迹为以()1,2S -为圆心，为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值．A 选项，在1,CD DD 上分别取，使得13DF DC =，，因为，所以，因为13λμ+=，所以331λμ+=，即，故，即，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点，因为1A BQ △的外心为，所以⊥1A B ，又题意得，则，B 错误；C 选项，取的中点R ，因为底面为菱形，60BAD ∠=︒，故⊥，以D 为坐标原点，以，1,DC DD 分别为轴，建立空间直角坐标系，故，设()0,2,2Q λμ，则，化简得，点满足，即点在正方形11CDD C 内，包括边界，故点的轨迹为以()1,2S -为圆心，为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =11SD =，故，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点的轨迹长度为，C 正确；D 选项，若且，，即，即()0,2,1Q ，又，)B，设，设，即，解得，即，AE EQ +=，如图所示，设，且⊥，⊥，在线段上取一点，设GL a =，则12LJ a =-，故，显然，直接连接，此时KL VL +取得最小值，最小值即为，由勾股定理得KV ==故AE EQ +=的最小值为，D 正确．故选：ACD（2024·江西鹰潭·一模）3．直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都为4，π3BAD ∠=，点P 在四边形11BDD B 及其内部运动，且满足8PA PC +=，则下列选项正确的是（ ）A ．点P 的轨迹的长度为π.B ．直线AP 与平面11BDD B 所成的角为定值．C ．点P 到平面11AD B .D ．11PA PC ⋅的最小值为-2．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）4．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列结论正确的是（ ）A ．当1B P ∥平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CD B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2πC ．当λμ=时，1DP A P +的最小值为D ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为（2024·湖南·二模）5．如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，F 是线段11A B 的中点，则（ ）A ．若点P 满足1APBC ⊥，则动点P 的轨迹长度为B ．三棱锥11A PBD -体积的最大值为163C ．当直线AP 与AB 所成的角为45 时，点P 的轨迹长度为π+D ．当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，线段PF 长度最大值为（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）6．已知四面体ABCD 的各个面均为全等的等腰三角形，且24CA CB AB ===.设E 为空间内任一点，且,,,,A B C D E 五点在同一个球面上，则（ ）A ．AB CD⊥B ．四面体ABCD 的体积为C ．当AE =E 的轨迹长度为4πD ．当三棱锥E ABC -E 的轨迹长度为（2024·广东深圳·一模）7．如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点,,,B C D E 在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，N 为AE 的中点，则（ ）A ．当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为3πB ．当MN ∥平面ACD 时，点M 的轨迹长度为C ．当MA ME ⊥时，点M 到BCD ．存在一个体积为103π的圆柱体可整体放入Ω内（23-24高二上·河北石家庄·期末）8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别是棱111,AA A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的动点，则以下叙述正确的是（ ）A ．存在点P ，使得1C P ⊥平面BEFB ．若点P 在线段CD 上运动，则点P 到直线BFC ．若点P 到直线1BB 与到直线AD 的距离相等，则点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P （23-24高三上·江西·期末）9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是AB 的中点，点P 为侧面11BCC B 内（含边界）一点，则（ ）A ．若1D P ⊥平面11AC D ，则点P 与点B 重合B ．以D 1ACDC ．若P 为棱BC 中点，则平面1D EP D ．若P 到直线11A B 的距离与到平面11CDD C 的距离相等，则点P 的轨迹为一段圆弧（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB AD AA ===，点E 为1AA 的中点，点F 为侧面11AA B B （含边界）上的动点，则下列说法正确的是 （ ）A ．不存在点F ，使得1FC FD ⊥B ．1FC FD +的最小值为C ．满足1FC FD =的点F D ．若1//AD 平面EFC ，则线段AF 长度的最小值为35参考答案：1．ABD【分析】对A 由1//B F 平面1A BE ，联想到存在一个过1B F 的平面与平面1A BE 平行，利用正方体特征找到平面1//B MN 平面1BA E ,进而得到F 的轨迹为线段MN ，对B ，根据棱锥体积公式分析即可，对C 举反例即可；对D ，利用勾股定理求出外接球半径即可.【详解】对A ，如图，令1CC 中点为M ,1CD 中点为N ,连接MN ，又正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，可得11//B M A E ,11////MN CD BA ，1//B M ∴平面1BA E ,//MN 平面1BA E ,又1B M MN M = ，且1,B M MN ⊂平面1B MN ，∴平面1//B MN 平面1BA E ,又1//B F 平面1A BE ，且1B ∈平面1B MN ，1B F ∴⊂平面1B MN ，又F 为正方形11C CDD 内一个动点（包括边界），F ∴∈平面1B MN 平面11C CDD ，而MN =平面1B MN 平面11C CDD ，F MN ∴∈，即F 的轨迹为线段MN .由棱长为2的正方体得线段MN ，故选项A 正确；对B ，由正方体侧棱11B C ⊥底面11C CDD ，所以三棱锥11B D EF -体积为111112=33D FE D FE V B C S S =⋅ ，所以1D FE 面积1D FE S 最小时，体积最小，如图，F MN ∈ ，易得F 在N 处时1D FE S 最小，此时11111=22D FE S ND D E ⋅= ,所以体积最小值为13，故选项B 正确；对C ，当F 为线段MN 中点时，由11B M B N =可得1B F MN ⊥,又1CC 中点为M ,1CD 中点为N ,1//MN D C ∴，而11//A B D C ，11B F A B ∴⊥,故选项C 不正确；对D ，如图，当F 在M 处时，三棱锥11B D DF -的体积最大时，由已知得此时11FD FD FB ===,所以F 在底面11B DD 的射影为底面外心，12DD =,11B D =1DB =,所以底面11B DD 为直角三角形，所以F 在底面11B DD 的射影为1B D 中点，设为1O ，如图，设外接球半径为R ,由222211113R OO O B OO =+=+,11R OO FO +==可得外接球半径R =，外接球的表面积为2254π2R π=，故选项D 正确.故选：ABD.2．AD【分析】对于A ，确定M 的位置，利用侧面展开的方法，求线段的长，即可判断；对于B ，利用平移法，作出异面直线所成角，解三角形，即可判断；对于C ，结合线面垂直以及距离确定点M 的轨迹形状，即可确定轨迹长度；对于D ，利用等体积法求得M 点到平面11AB D 的距离，结合线面角的定义求得AM 与平面11AB D 所成角的正弦值，即可判断.【详解】对于A ，在AB 上取点H ，使14AH AB = ，在DC 上取点K ，使14DK DC = ，因为[]1,0,0,14x z y ==∈，即14AM AB y AD =+ ，故M 点在HK 上，将平面11B HKC 与平面AHKD 沿着HK 展开到同一平面内，如图：连接1B D 交HK 于P ，此时,,B P D 三点共线，1B M MD +取到最小值即1B D 的长，由于113,422AH AB BH ==∴= ，则152B H ==，故11513,22A B B D =+=∴===即此时1B M MD +，A 正确；对于B ，由于11,2x y z ===时，则111122AM AB AD AA AC CC =++=+ ，此时M 为1CC 的中点，取11C D 的中点为N ，连接,,BM MN BN ，则1MN CD ∥,故BMN ∠即为异面直线BM 与1CD 所成角或其补角，又112MN CD BM ====3BN ===，故222cos 2BM MN BN BMN BM MN+-∠===⋅而异面直线所成角的范围为π(0,]2，故异面直线BM 与1CD B 错误；对于C ，当1x y z ++=时，可得点M 的轨迹在1A BD 内（包括边界），由于1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故1CC BD ⊥，又BD AC ⊥，11,,AC CC C AC CC =⊂ 平面1ACC ，故BD ⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，故1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥,11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，故1AC ⊥平面1A BD ，设1AC 与平面1A BD 交于点P ，由于11113222324A A BD A ABD V V--=⨯⨯==⨯⨯，1A BD 为边长为则点A到平面1A BD的距离为AP =若AM =，则MP ==，即M 点落在以PP 点到1A BD 三遍的距离为13=，即M 点轨迹是以P 为半径的圆的一部分，，C 错误；对于D ，因为11,B D BD BD ⊄∥平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，故BD ∥平面11AB D ，因为当1,0x y z +==时，AM AB AD =+ ，即M 在BD 上，点M 到平面11AB D 的距离等于点B 到平面11AB D 的距离，设点B 到平面11AB D 的距离为d ，则111111111142223323B AB D ABB ABB D V V S A D --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，11AB D 为边长为的正三角形，即(12114333A BD S d d ⋅=⨯= ，解得d =又M 在BD 上，当M 为BD 的中点时，AM ，设直线AM 与平面11AB D 所成角为π,[0,2θθ∈，则sin d AM θ===即AM 与平面11AB D ，D 正确，故选：AD【点睛】难点点睛：本题考查了空间几何体中线段和差最值以及几何体中的轨迹问题，以及线线角和线面角的求解，综合性较强，难度较大，解答时要发挥空间想象，明确空间的位置关系，难点在于C ，D 选项的判断，对于C ，要结合空间距离，确定动点的轨迹形状；对于D ，要结合等体积法求得点到平面的距离，结合线面角的定义求解.3．BC【分析】建立空间直角坐标系，表示8PA PC +=，化简后得点P 的轨迹方程，得轨迹长度判断A ；向量法求线面角判断B ，向量法求点到平面距离，结合点P 的轨迹得最小值判断C ；坐标表示向量数量积，结合点P 的轨迹最小值判断D.【详解】直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都为4，则底面ABCD 为菱形，又π3BAD ∠=，则ABD △和CBD △都是等边三角形，设BD 与AC 相交于点O ，由BD AC ⊥，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，过O 垂直于底面的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有()()()(),0,2,0,,0,2,0A B C D --，()()()()11114,0,2,4,4,0,2,4A B C D --，点P 在四边形11BDD B 及其内部运动，设()0,,P y z ，22,04y z -≤≤≤≤，由8PA PC +=8+=，即()22422,02y z y z +=-≤≤≤≤，所以点P 的轨迹为yOz 平面内，以O 为圆心，2为半径的半圆弧，所以点P 的轨迹的长度为2π， A 选项错误；平面11BDD B 的法向量为()1,0,0m = ，(),AP y z =- ，直线AP 与平面11BDD B 所成的角为θ，则sin AP m AP m θ⋅=== 又由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π3θ=，所以直线AP 与平面11BDD B 所成的角为定值， B选项正确；()()11=2,4,2,4AB AD ---，设平面11AD B 的一个法向量为(),,n x y z = ，则有11=240=240AB n y z AD n y z ⎧⋅-++=⎪⎨⋅--+=⎪⎩ ，令2x =，得0,y z ==，(n = ，所以点P 到平面11AD B 的距离d 02z ≤≤，所以2z =时，mind所以点P 到平面11AD B C 选项正确；()()11=,4,,4PA y z PC y z --=--- ，()2211=124PA PC y z ⋅-++- ，其几何意义为点(),P y z 到点()0,4距离的平方减12，由224y z +=，点(),P y z 到点()0,4距离最小值为422-=，11PA PC ⋅ 的最小值为22128-=-，D 选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.4．BD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可判断AD ，根据线面角的几何法可判断P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，即可判断B ，根据展开图，转化为平面中两点距离最小，结合余弦定理即可求解C.【详解】A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，()11,0,1B ，所以()11,0,1CD =- ，()()()()11110,1,11,0,00,0,1,1,1B P B C CP B C CD CC λμλμλμ=+=++=-+-+=-- ，则()11,0,1BA =- ，()1,1,0BD =- ，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z = ，所以10,0,BA n x z BD n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n = ．若1B P ∥平面1A BD ，则10n B P ⋅= ，即λμ=，111B P CD λμ⋅=+- ，令110B P CD ⋅= ，解得12λμ==．即P 为1CD 中点时，有1B P ∥平面1A BD ，且11B P CD ⊥，故A 错误；B 选项：因为11BC ⊥平面11CCD D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为π4，则11111tan 1B C B PC C P ∠==，所以1111C P B C ==，即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为π2，故B 正确；C 选项：当λμ=时，()11CP CD CC CD λλ=+= ,此时点P 在线段1CD 上运动，如图，将平面1CD D 与平面11BCD A 沿1CD展成平面图形，线段1A D 即为1DP A P +的最小值，利用余弦定理可知222111111132cos 24A D A D DD A D DD π=+-⋅⋅=1A D =，故C 错误；D 选项：当1λ=时，11C D P CD C P C CC μμ⇒==+ ,故点P 在线段1DD 上运动,正方体经过点1A 、P 、C 的截面为平行四边形1A PCH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()0,1,P μ，所以()1,0,PC μ=- ，()11,1,1A C =- ，11PC AC μ⋅=+，PC =，1A C = ，所以点P 到直线1AC的距离为d =于是当12μ=时，1PAC △当0μ=或1时，1PAC △，故D 正确．故选：BD【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.5．CD【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点P 的轨迹为矩形11ABC D ，其周长为4+；显然三棱锥11A PB D -体积的最大值即为正四面体11C AB D -，易知最大值为1183C ABD V -=；易知当点P 在线段1,AC AB 和弧 1B C 上时，直线AP 与AB 所成的角为45 ，可知其轨迹长度为π+根据面面平行的判定定理可求出点P 在底面ABCD 上的轨迹为三角形FNM ，易知FP 长度的最大值为FN =【详解】对于A ，易知1B C ⊥平面11,ABC D A ∈平面11ABC D ，故动点P 的轨迹为矩形11ABC D ，动点P 的轨迹长度为矩形11ABC D 的周长，即为4，所以A 错误；对于B ，因为1111A PD D P AB D V V --=，而等边11AB D 的面积为定值要使三棱锥11P AB D -的体积最大，当且仅当点P 到平面11AB D 的距离最大，易知点C 是正方体到平面11AB D 距离最大的点，所以()1111max A PB D C AB D V V --=，此时三棱锥11C AB D -即为棱长是其高为h ==11118323C AB D V -=⨯⨯=，B 错误；对于C ：连接AC ，1AB ，以B 为圆心，1BB 为半径画弧 1B C ，如图1所示，当点P 在线段1,AC AB 和弧 1B C 上时，直线AP 与AB 所成的角为45 ，又1AC AB =====，弧 1B C 长度21π2π4⨯⨯=，故点P 的轨迹长度为π+C 正确；对于D ，取1111,,,,,A D D D DC CB BB AB 的中点分别为,,,,,Q R N M T H ，连接,,,,,,,,QR QF FT TM MN NR FH HN HM ，如图2所示，因为FT 1,D C FT ⊄平面111,D B C D C ⊂平面11D B C ，故FT 平面11D B C ，TM 1B C ，TM ⊄平面111,D B C B C ⊂平面11D B C ，故TM 平面11D B C ；又,,FT TM T FT TM ⋂=⊂平面FTM ，故平面FTM 平面11D B C ；又QF ,NM QR ,TM RN FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，FN FM NM =======则2228FM MN FN +==，故三角形FNM 是以FMN ∠为直角的直角三角形；故max FP FN ==，故FP 长度的最大值为D 正确.故选：CD .【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度.6．AC【分析】根据线面的垂直可判断线线垂直，判断A ；根据棱锥的体积公式可判断B ；根据条件，确定轨迹的形状，结合圆的周长求得轨迹长度或范围，即可判断C ，D.【详解】对于A ，依题意，可知4,2DA CB DB AC DC AB ======，设F 为AB 的中点，连接,CF DF ，则,CF AB DF AB ⊥⊥，而,,CF DF F CF DF =⊂ 平面CFD ，故AB ⊥平面CFD ，CD ⊂平面CFD ，故AB CD ⊥，A 正确；对于B ，将四面体ABCD 放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为,,x y z ，则2222224,16,16x y x z y z +=+=+=，解得x y z ===由于z =AB 和CD，且AB ⊥平面CFD ，，所以四面体ABCD的体积为11122332DCF S AB ⋅=⨯⨯= ，B 错误；对于C ，由以上分析可知，四面体ABCD=，由AE =E 的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为r ，则222r +=，解得2r =，所以E 的轨迹长度为2π4πr =，C 正确；对于D，由题意可得sin CF ABC ==∴∠,故ABC的外接圆半径为21=所以球心到ABC=设三棱锥E ABC -的高为h ，由三棱锥E ABC -1112232ABC S h h ⋅=⨯⨯=故h =>E 点轨迹为外接球上平行于平面ABC 且到平面ABC两个截面圆，其中一个圆为外接球的大圆，所以点E的轨迹长度大于2π=，D 错误，故选：AC.【点睛】难点点睛：本题考查了四面体中的线面以及线线的位置关系，以及体积和空间几何体中的轨迹问题，难点在于要发挥空间想象，明确空间几何体中的线线位置关系，特别是选项D 中要明确E 点轨迹，从而确定轨迹长度或其范围.7．ACD 【分析】根据几何体的特征，化空间为平面，逐个推理，计算分析.【详解】因为BCDE 为正方形，连接BD 与CE ，相交于点O ，连接OA ，则OD ，OE ，OA 两两垂直，故以{},,OD OE OA为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，D，(B -，(0,E，(0,C -，A，(0,0,F -，N 为AE的中点，则N .当M 为DE 的中点时，M，(MN =，(0,CF =- ，设异面直线MN 与CF 所成角为θ，0041cos cos ,242MN CFMN CF MN CFθ+-⋅====⨯，π(0,]2θ∈，故π3θ=，A 正确；设P 为DE 的中点，N 为AE 的中点，则PN ∥AD ，AD ⊂平面ACD ，PN ⊄平面ACD ，则PN ∥平面ACD ， 又MN ∥平面ACD ，又MN PN N ⋂=，设Q BC ∈，故平面MNP ∥平面ACD ，平面ACD 平面BCDE CD =，平面MNP 平面BCDE PQ =，则PQ ∥CD ，则Q 为BC 的中点，点M 在四边形BCDE 内（包含边界）运动，则M PQ ∈，点M 的轨迹是过点O 与CD 平行的线段PQ ，长度为4，B 不正确；当MA ME ⊥时，设(,,0)M x y ，(,,MA x y =--，(,,0)ME x y =-- ，2(0MA ME x y y ⋅=+-=，得220x y +-=，即22(2x y +=，即点M 的轨迹以OE 中点K 的圆在四边BCDE 内（包含边界）的一段弧（如下图），K 到BC 的距离为3，弧上的点到BC 的距离最小值为3，因为3<M 到BC C 正确；由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥A BCDE -内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，P 为DE 的中点，Q 为BC 的中点, 4PQ =，AO =根据AGH 相似AOP ，得GH AG OP AO =，即2r =)h r =-，则圆柱体积22(2)V r h r r π==-，设23()(2)(02)V r r r r -<<，求导得2()(43)V r r r '=-，令()0V r '=得，43r =或0r =，因为02r <<，所以0r =舍去，即43r =，当403r <<时，()0V r '>，当423r <<时，()0V r '<，即43r =时V 有极大值也是最大值，V，503===>53>所以存在一个体积为103π的圆柱体可整体放入Ω内，D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：异面直线所成的角；线面平行性质；空间点的轨迹，圆柱的体积计算，利用导数求体积的最值.8．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A ；利用空间向量求出点到直线距离判断B ；利用抛物线定义判断C ；作出点P 的轨迹并求出长度判断D.【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,2,0),(2,2,0),(0,2,2),(2,0,1),(1,0,2)C B C E F ，对于A ，(1,0,1),(0,2,1)EF EB =-=-，设(,,0),,[0,2]P x y x y ∈，1(,2,2)C P x y =-- ，设平面BEF 的法向量(,,)n a b c = ，则020n EF a c n EB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，得(2,1,2)n =，由22212x y --==，解得2,1x y =-=，与[0,2]x ∈矛盾，即1C P 与n 不共线，因此1C P 不垂直于平面BEF ，A 错误；对于B ，(1,2,2)FB =- ，点(0,,0),[0,2]P y y ∈，(2,2,0)BP y =--，则点P 到直线BF的距离d ===≥65y =时取等号，则点P 到直线BF B 正确；对于C ，由1BB ⊥平面ABCD 知，点P 到直线1BB 的距离等于点P 到点B 的距离，因此点P 到点B 的距离等于点P 到直线AD 的距离，由抛物线的定义知点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确；对于D ，取BC 的中点G ，连接11,,AG AD D G ，如图所示：由,E F 分别是棱111,AA A D 的中点，得1//EF AD ，1AD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，则1//AD 平面BEF ，由1//D F BG 且1D F BG =，得1D FBG 为平行四边形，则1//D G BF ，又1D G ⊄平面BEF ，BF ⊂平面BEF ，于是1//D G 平面BEF ，而111AD D G D ⋂=，11,AD D G ⊂平面1AGD ，因此平面//BEF 平面1AGD ，由1D P 与平面BEF 无公共点，1D ∈平面1AGD ，得1D P ⊂平面1AGD ，又点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，平面1AGD 平面ABCD AG =，则AG 是点P 在底面ABCD 内的轨迹，AG ===所以点P D 正确.故选：BCD 9．ABC 【分析】由线线垂直证明线面垂直判断选项A ；由球面与截面的交线轨迹，计算长度判断选项B ；由位置关系得截面形状，计算面积判断选项C ；由P 点位置特征分析轨迹形状判断选项D.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11DCC D ，1DC ⊂平面11DCC D ，BC ⊥1DC ，正方形11DCC D 中，11⊥D C DC ，1,D C BC ⊂平面1BCD ，1D C BC C ⋂=，则1DC ⊥平面1BCD ，1D B ⊂平面1BCD ，1DC ⊥1D B ，同理，1DA ⊥1D B ，11,DA DC ⊂平面11AC D ，11DA DC D ⋂=， 1D B ⊥平面11ACD ，若点P 不与B 重合，因为1D P ⊥平面11AC D ，则11//D P D B ，与111D P D B D = 矛盾，故当1D P ⊥平面11AC D 时，点P 与B 重合，故A 正确；1DA DC DD ==，11AC AD CD ==，三棱锥1D ACD -为正三棱锥，故顶点D 在底面1ACD 的射影为1ACD △的中心H ，连接DH ，由11D ACD D ACD V V --=，得11112223232⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，所以DH =，所以截面圆的半径r ==所以球面与截面1ACD 的交线是以H为半径的圆在1ACD △内部部分，如图所示，13HN =⨯=MF ==222HF HM MF +=，所以π2MHF ∠=，同理，其余两弦所对圆心角也等于π2，所以球面与截面1ACD的交线的长度为π2π32⨯=B 正确；对于C ，过E ，P 的直线分别交DA 、DC 的延长线于点G ，M ，连接1D M 、1D G ，分别交侧棱1C C 于点N ，交侧棱1A A 于点H ，连接EH 和NP ，如图所示：则截面为五边形1D HEPN ，1GA AE EB BP PC CM ======，GE EP PM ===GM=11D G D M ==23HA =，GH =1cos D GM ∠=112GMD G =1sin D GM ∠=，所以112D GM S ==△，12GEH S ==所以五边形1D HEPN 的面积122D GM GEH S S S =-==△△C 正确；因为11A B ⊥平面11BCC B ，1PB ⊂平面11BCC B ，所以111PB A B ⊥，点P 到直线11A B 的距离即点P 到点1B 的距离，因为平面11BCC B ⊥平面11CDD C ，故点P 到平面11CDD C 的距离为点P 到1CC 的距离，由题意知点P 到点1B 的距离等于点P 到1CC 的距离，故点P 的轨迹是以1B 为焦点，以1CC 为准线的抛物线在侧面11BCC B 内的部分，故D 错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解. 作几何体截面的方法：(1)利用平行直线找截面；(2)利用相交直线找截面.找交线的方法：(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点；(2)面交点法：各棱面与截平面的交线.10．AC【分析】以A 为原点，建立空间直角坐标系，设(,0,)F m n ，由10FC FD ⋅= ，列出方程，可判定A 正确；由点C 关于平面11ABB A 的对称点为(4,4,0)G -，利用111FC FD FG FD GD +=+≥，可判定B 错误；由1FC FD =，求得23m n -=，得到点F 的轨迹为矩形11ABB A 内的线段，可判定C 正确；求得平面EFC 的一个法向量1(1,1,)4s n n m m =---- ，根据10AD s ⋅= ，列出方程，结合二次函数，可判定D 不正确.【详解】以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,0),(4,4,0),(0,4,2),(0,0,1)A C D E ，设(,0,)F m n （其中[0,4],[0,2]m n ∈∈），对于A 中，若1FC FD ⊥，则10FC FD ⋅=，又由1(4,4,),(,4,2)FC m n FD m n =--=--，所以(4,4,)(,4,2)0m n m n --⋅--=，即22(2)(1)110m n -+-+=，此时方程无解，所以不存在点F ，使得1FC FD ⊥，所以A 正确；对于B 中，设点C 关于平面11ABB A 的对称点为G ，则G 的坐标为(4,4,0)-，可得111FC FD FG FD GD =++==≥当且仅当1,,F G D 三点共线时，取等号，所以B 错误；对于C 中，由1FC FD ==整理得23m n -=，即点F 的轨迹为矩形11ABB A 内的线段，因为[0,2]n ∈，当0n =时，13(,0,0)2F ；当2n =时，25(,0,2)2F ，即满足1FC FD =的点F的轨迹长度为12F F ==，所以C 正确；对于D 中，由1(0,4,2),(,0,1),(4,4,1)AD EF m n EC ==-=- ，设平面EFC 的一个法向量为(,,)s x y z = ，则()10440s EF mx n z s EC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1x n =-，可得11,4y n m z m =--=-，所以1(1,1,)4s n n m m =---- ，因为1//AD 平面EFC ，所以10AD s ⋅=，即3440m n +-=，又由点(0,0,0)A，所以AF ===当12[0,4]25m =∈时，可得AF 的最小值为45，所以D 不正确.故选：AC.。