2022-2023学年河南省南阳市高三上学期期终质量评估(期末考试)数学(文)试卷含答案

2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。

2023–2024学年秋期高中三年级期终质量评估英语参考答案及解析第一部分：听力（1-20）（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1—5BBAAC6—10CAACB11—15CBACC16—20BBACB第二部分：阅读理解（21-40）（共两节，每小题2.5分，满分50分）21-23AAB24-27BDDB28-31CACD32-35BABD36-40GCFDA第三部分：语言运用（共两节，满分30分）第一节（41-55）（共15小题，每小题1分，满分15分）完形（每题1分，共15分）41-45DACBC46-50BADAC51-55ABBDC第二节（56-65）（共10个小题，每小题1.5分，满分15分）56.into57.goes58.timely59.whose60.When/While/As61.selected62.a63.noting64.that65.interpretation第四部分：写作（共两节，满分40分）第一节（满分15分）Last Wednesday witnessed our New Year concert,which was spoken highly of by both teachers and students.The concert,aimed at lightening youth with songs and arousing our passion to embrace the new year,attracted the best singers from each grade.They presented spectacular performances,ranging from folk songs to English songs.Immersed in the festive atmosphere,everyone present enjoyed a visual and auditory feast.The highlight was the teachers’chorus,The Brightest Star,setting off the climax of the concert.Not only did this activity get us mentally relaxed,but it inspired us to strive hard in the new year.More activities like this are expected.第二节（满分25分）One day,Ms.Green invited me to read my new story in front of my class in the writing lesson next week.My heart skipped a beat and disbelief washed over me.I grunted my anxiety about being laughed at.Stroking my hair gently,Ms. Green assured me that my story full of fantasy would win everyone’s heart.Days seemed to be minutes.In a flash,the big day came!My heart beating wildly and palms sweaty,I wobbled onto the platform,took out my manuscript and stammered out my story.At first,someone teased me about my stutter.But as the afternoon sun cast a gentle glow through the window, gradually everyone got immersed in the fantasy world of my story.No sooner had I finished my story than my class burst into a round of thunderous applause.Eyes sparkling with pride,Ms.Green grinned from ear to ear,saying excitedly to me,“You are bound to be a great author and believe in yourself.”30years later,when I did become a best-selling author,I decided to visit Ms.Green.The moment I saw grey-haired Ms.Green,tears of gratitude welled up in my eyes and later I presented my newly-published book to her,adding emotionally,“Ms.Green,had it not been for your encouragement,I wouldn’t be where I am.”She hugged me tightly in her arms,whispering in my ear,“Your own faith and efforts really count.You don’t have to walk in others’shoes or follow their steps.”The breeze blowing and the birds singing,in her garden we two recalled our golden days in Jefferson High School.Deep in my mind,I knew I could walk in my own shoes and become the best version of myself,the unique version of myself.详解答案：第二部分：阅读理解（共两节，满分50分）A体裁：应用文主题语境：社会文化21.A.细节理解题。

2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}2230A x x x =--≤∣，{}2log 1B x x =≤∣，则A B ⋃＝（ ） A ．［－1，3]B ．(,3]-∞C ．（0，2]D ．（0，3]2．已知复数z 满足(i 1)2i z -=，则 z （ ）A ．1B CD ．23．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．已知向量(4,2a =-，(1,5)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A ．B ．－1C ．1D5．已知x ∈R ，y ∈R ，若:|1||2|1p x y ++-≥，22:2440q x y x y ++-+≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．13y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±7．设f （x ）是定义在R 上且周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋1），则函数y ＝g （x ）的最大值为（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－28．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2()3f x f π⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．129．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于点A ，B （A 在x 轴上方），与抛物线准线交于点M ．若|BM |＝2|BF |，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．60°B ．30°或150°C ．30°D ．60°或120°10．对于函数()sin xf x x x e =+-，[0,]x π∈，下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有唯一的极大值点 B ．函数f （x ）有唯一的极小值点 C ．函数f （x ）有最大值没有最小值D ．函数f （x ）有最小值没有最大值11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为n S ，设n b ={}n b 中的整数项依次取出组成新的数列记为{}n c ，则2023c 的值为（ ）A ．5052B ．5057C ．5058D ．506312．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC △的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．－6B ．－4C ．－3D ．－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）14．如图，△ABC 内接于椭圆，其中A 与椭圆右顶点重合，边BC 过椭圆中心O ，若AC 边上中线BM 恰好过椭圆右焦点F ，则该椭圆的离心率为______．15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P －ABCD 为一个阳马，其中PD ⊥平面ABCD ，若DE PA ⊥，DF PB ⊥，DG PC ⊥，且PD ＝AD ＝2AB ＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为______．16．已知函数1()ln (0)mx x f x x mx x e+=-+>的值域为[0,)+∞，则实数m 取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数．．的等差数列， n S 是其前n 项和，且()()122n n n a a S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若89nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求n b 取得最大值时的n ． 18．（本题满分12分）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率15，且各次踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用2p 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求2p ．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，PB ⊥底面ABCD ，112PB AB AD BC ====，设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面P AB ；（2）设Q 为l 上的动点，求PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值． 20．（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x x ax =-+． （1）当a ＝1时，求证：()0f x ≤；（2）若函数f （x ）有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1F ，2F ，点A （1，－1）在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122FM F N =，求四边形12F F NM 的面积．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）， （1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程； （2）若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值． 23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，a ，b +∈R ． （1）求a ＋2b 的取值范围；（2）求22a b +的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．150 14．13 15．20π 16．21,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）当1n =时，()()1111122a a S a -+==，解得：12a =或者11a =-，因为0n a >，故12a =． 方法一：因为()()1222n n n n a a n a S ++==，所以()()()21222n n n n a a a +-+=，又0n a >，即可得1n a n =+．方法二：当2n =时，()()22221222a a S a -+=+=，易得：23a =．因为数列{}n a 是等差数列，故1n a n =+．（2）由（1）知，()819n n b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，故()11829n n b n ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．18799nn n n b b +-⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭， 当7n <时，1n n b b +>；当7n =时，1n n b b +=； 当n >7时，1n n b b +<；故数列{}n b 的最大项为7b ，8b ，即7n =或8 18．【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1121?255P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()2111323P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为－1，0，1，()()()()21111535P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()21218011535315P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()214115315P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-=⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()411015151515E X =-⨯+⨯+⨯= （2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种； 分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分； 或者甲第1轮得1分，第2轮得0分； 或者甲两轮各得1分，于是：()()()()()201101p P X P X P X P X P X ⎡⎤==⋅=+=⋅=+=⎣⎦8448416151515151545⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 19．【解析】（1）证明：因为PB ⊥底面ABCD ，所以PB BC ⊥． 又底面ABCD 为直角梯形，且2ABC BAD π∠∠==，所以AB BC ⊥．因此BC ⊥平面PAB ．因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD ．又由题平面PAD 与平面PBC 的交线为l ， 所以l BC ∥，故l ⊥平面PAB ．（2）以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()0,0,1P ，由（1）可设(),0,1Q a ，则(),0,1BQ a =．设(),,n x y z =是平面QAB 的法向量，则00n BQ n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ax z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,n a =-所以cos ,3n PD n PD n PD⋅-==⋅设PD 与平面QAB 所成角为θ，则sinθ==因此：当0a>≤（当且仅当1a=时等号成立）又当0a≤时，易知不符合题意．所以PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值为3．20．【解析】（1）()()()221112121x xx xf x xx x x----++='=-+=故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．所以()()max10f x f==，即()0f x≤（2）当a＝0时，()2f x x=-，不存在零点当0a≠时，由()0f x=得21ln x xa x+=，()0,x∞∈+设()2ln x xg xx+=，则()312ln x xg xx--'=令()12lnh x x x=--，易知()h x在()0,∞+上是单调减少的，且()10h=．故()g x在()0,1上是单调增加的，在()1,∞+上是单调减少的．由于21111egee-+⎛⎫=<⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，()11g=，且当1x>时，()0g x>故若函数()f x有且只有一个零点，则只须11a=或1a<即当(){},01a∞∈-⋃时，函数()f x有且只有一个零点．21．【解析】（1）由题意知：12ca=，即2a c=，又由椭圆定义可得：()122PF PA a PA PF+=+-2225a AF a≤+==，又∵222a b c =+，且52a ≤， 故可得：2a =，b =1c =．即椭圆C ：的方程为：22143x y += （2）延长1F M 交椭圆于点P ，由122FM F N =， 根据椭圆的对称性可得112F M PF =．设()11,M x y ，()22,P x y ，则()22,N x y --．显然，10y >． 设直线PM 的方程为1x my =-，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2234690m y my +--=，∴122634my y m +=+① 122934y y m =-+②又112FM PF =，得122y y =-③由①②③得，m =得直线PM的方程为15x y =-20y -+=， 设2F 到直线PM 的距离为d ，则由距离公式得：3d ==，又由弦长公式得：12PM y =-==将m =278PM =， 设四边形12F F NM 的面积为S ，易知1127228S PM d =⋅⋅=⨯= 【选做题】 22．【解析】（1）因为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=． 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭21243sin 1ρθ=+，22243cos 1ρθ=+，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+ ()()223cos 13sin 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值5423．【解析】（1）由题知：()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+， 因为存在0x R ∈，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥， 即2a b +的取值范围是[)4,∞+． （2）方法一：由（1）知24a b +≥，因为,a b R +∈，不妨设22t a b =+， 当2b ≥时，224t a b =+>，当02b <<时，有222(42)t b a b -=≥-，整理得，2281651616555t b b b ⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭，此时t 的最小值为165；综上：22a b +的最小值为165．方法二：令222t a b =+，不妨设cos a t θ=，sin b t θ=，因为24a b +≥，所以4cos 2sin t θθ≥≥+，所以：2165t ≥，即22a b +的最小值为165．。

绝密★启用前2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考 文科数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,3,5,7,9,{25}M N xx ==-<<∣，则M N ⋂=（ ） A.{}1,3 B.{}1,3,5 C.{}1,2,3,4 D.{}1,2,5,7,9 2.设()12i 2i a b ++=-，其中,a b 为实数，则（ ） A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-=- D.1,1a b =-=3.2022年5月，居民消费价格走势为113.52点，同比增长率为2.01%，增速高于平均值1.105%，增速乐观.下表统计了近6年的消费价格走势，令2015年12月时，0x =；2016年6月时，1x =，依次类推，得到x与居民消费价格y （点）的线性回归方程为ˆ99.5 1.1yx =+.由此可估计，2022年6月份的消费价格约为（ ）A.113.5点B.113.8点C.117.3点D.119.1点 4.设向量,a b的夹角的余弦值为4，且2,25a b ==，则()2a b b -⋅=（ ） A.3 B.4 C.10- D.6 5.函数()22sin x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像大致为（ ） A. B.C. D.6.若曲线()()2cos f x x k x =+在点()()π,πf 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则k =（）B.± C.2±D.2π7.已知数列{}n a 中，12a =，()*122n n n a a n a +=∈+N ，则数列1n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和10S =（ ）A.1611 B.1811C.2011 D.28.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A.463 B.212 C.493D.129.已知椭圆222:1(0)4x y C b b +=>，直线:l y x =+C 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 D.210.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知17AA =，点O 在棱1AA 上，且4AO =，则正方体表面上到点O 距离为5的点的轨迹的总长度为（ ）A.15π2 B.(4π+ C.17π2D.(4π+ 11.已知函数()()πcos 2sin 206f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，则ω的取值范围是（ ） A.25,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.25,33⎛⎫⎪⎝⎭ C.17,66⎛⎫ ⎪⎝⎭D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四而体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为4dm 的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为（ ）3 3 3 3 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件2,2,24,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩则3z x y =-的最大值是__________.14.设点M 在直线10x y +-=上，M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，则M 的半径为__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24n n S a n =+-，则5a =__________.16.已知直线l 经过双曲线22:13y C x -=的右焦点F ，并与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且2FA FB =.若点A 关于原点的对称点为P ，则PAB 的面积为__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）国内某奶茶店以茶饮和甜品为主打，运用复合创新思维顺势推出最新一代立体复合型餐饮业态，在武汉､重庆､南京都有分布，该公司现对两款畅销茶饮进行推广调查，得到下面的列联表；（1）根据上表，分别估计男､女购买这款茶饮，选购A 款的概率； （2）能否有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关？参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：)2n k0.152.07218.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知122AD AA AB ===，E 为BC 中点，连接1D E ，F 为线段1D E 上的一点，且12D F EF =.（1）证明：DF ⊥平面1AD E ； （2）求三棱锥1D ADD F -的体积. 19.（本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 1cos b B a A+=. （1）证明：2B A =； （2）若3(02),22b a ac =<<=，求,a b 的值. 20.（本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x a x ax =+.其中0a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，如果对任意的1x ，()20,x ∈+∞，()()12122f x f x x x -≥-，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过动点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线的两条切线，切点为,P Q ，直线PQ 交x 轴于点A ，且当0m =时，2PA =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）证明：点A 为定点，并求出其坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 分别交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()261f x x x =---. （1）求不等式()f x x ≥的解集；（2）若函数()31y f x x =+-的最小值为m ，正实数a ，b 满足12m a b+=，求2a b +的最小值. 2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考·文科数学 参考答案､提示及评分细则1.【答案】A 【解析】{}{1,3,5,7,9},{|25},1,3M N x x M N ==-<<∴⋂=.故选A.2.【答案】D【解析】()0,12i 2i,22,a b a b a +=⎧++=-∴⎨=-⎩解得1,1.a b =-⎧⎨=⎩故选D.3.【答案】B【解析】把13x =代入，得99.5 1.113113.8y =+⨯=.故选B. 4.【答案】C【解析】由题意可得()2252255,20,22104a b b a b b a b b ⋅=⨯>==∴-⋅=⋅-=-.故选C. 5.【答案】A【解析】由()()22sin xxf x x -=-，可知()()()()()22sin 22sin xx x x f x x x f x ---=--=-=，函数是偶函数，排除选项C.又()00f =，ππ22π2202f -⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除选项B ，D.故A.6.【答案】B【解析】∵()()2cos f x x k x =+，∵()()2cos 2sin f x x x k x '=-+，∵()π2f '=-. ∵()()π2πf k =-+，∵切线方程为()()2π2πy k x ++=--，可化为2y x k =--. 令0x =，得y k =-；令0y =，得2k x =-.∵1222k k ⨯-⨯-=，解得k =±.故选B. 7.【答案】C 【解析】∵122n n n a a a +=+，∵1211122n n n n a a a a ++==+，∵11112n n a a +-=. ∵数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列，∵()1111222n n n a =+-⨯=，∵2na n =. ∵()2112111n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， ∵数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和1011111202122223101111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C. 8.【答案】D【解析】由三视图还原该几何体，得几何体如图所示.则该几何体的体积为1422421122⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选D.9.【答案】B【解析】联立2221,4x y b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22242840b x b +++-=.()422Δ16470b b b ∴=+-=，即22223. 1.b c a b =∴=-=∴离心率为12c a =.故选B. 10.【答案】C【解析】依题意，∵4OA =，17AA =，5OE OF ==，∵13AE OA ==，14A F OA ==， 且OE OF ⊥.在平面11AA B B 内满足条件的点的轨迹为EF ，长度为5π2； 同理，在平面11AA D D 内满足条件的点轨迹长度为5π2； 在平面1111A B C D 内满足条件的点的轨迹为以1A 为圆心，1A F 为半径的圆弧，长度为2π； 同理，在平面ABCD 内满足条件的点的轨迹为以A 为圆心，AE 为半径的圆弧，长度为3π2. 故轨迹的总长度为17π2.故选C. 11.【答案】D【解析】()πππcos 2sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin 666f x x x x x x ωωωω⎛⎫=-+=-⋅-⋅ ⎪⎝⎭1cos 222x x ωω= πcos 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2,π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦.∵()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，∵ππ3ππ232ω≤+<，∵1766ω≤<.故选D. 12.【答案】C【解析】如图，设该圆柱的底面半径为r BE =，高2h BC =. 由题可知，2CD =，AD =AC =又AB BEAC CD=，2hr =，)2h r =-. ∵圆柱的体积()22V π2r h rr ==⋅-，()243V r r '=-.可知，当40,3r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>；当4,23r ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，V 0'<. ∵当43r =时，max 27V =. 故选：C13.【答案】2【解析】作出可行域如图所示，则由图可知，当(),x y 取点()2,0时，z 取最大值为2.14.【答案】1或5【解析】由点M 在直线10x y +-=上，设(),1M a a -. 又M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，∴半径r a ==0a <.解得1a =-或5a =-.则M 的半径为1或5.15.【答案】33 【解析】1124,23n n n n S a n S a n ++=+-∴=+-.两式相减，得111221,12n n n n n a a a a a +++=-+∴+=.()111121, 2.1n n n n a a a a ++-∴-=-∴=-又当1n =时，1123a a =-，即112,a -=∴数列{}1n a -是以2为首项，2为公比的等比数列.12n n a ∴-=，即552 1.2133n n a a =+∴=+=.16.【解析】设直线l 的方程为()()11222,,,,x my A x y B x y =+.联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩化简，得()22121222129311290.,1331m m y my y y y y m m -++=∴+==--. 2FA FB =，即122y y =-，则22222129,21313m y y m m -==--，即222212912,131335m m m m⎛⎫=∴= ⎪--⎝⎭.12222134PAB OABSSy y m ∴==-===-17.【答案】（1）男性：45；女性：35（2）有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关 【解析】（1）男性中，购买A 款茶饮的概率为80480205=+，.女性中，购买A 款茶饮的概率为60360405=+；（2）由题意，得22200(80402060)2009.52381406010010021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，9.52386.635,>∴有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关.18.【答案】（1）略（2）49【解析】（1）证明：连接DE .依题意，可知DE AE ==∵222AD DE AE =+，即AE DE ⊥，∵1D D ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∵1D D AE ⊥.又1D D DE D ⋂=，∵1D D ⊂平面1D DE ，DE ⊂平面1D DE ，AE ⊥平面1D DE . ∵DF ⊂平面1D DE ，∵AE DF ⊥，同理，可知1D E ==EF =， ∵1ED ED EF ED=，即1DEF D ED △∽△，∵190DFE D DE ∠=∠=︒.∵1DF D E ⊥. ∵AE ⊂平面1AD E ，1D E ⊂平面1AD E ，且1AE D E E ⋂=，∵DF ⊥平面1AD E ；（2）由题可知111-? 2 3D AD FF ADD E ADD V V V --===三椎三椎三椎棱棱棱 21142213329⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭19.【答案】（1）略（2）812,55a b == 【解析】（1）证明：由正弦定理有sin cos 1sin cos B B A A +=， 可得sin cos sin cos sin B A A B A -=，.可得()sin sin B A A -=，又由0,0A B ππ<<<<，可得B A ππ-<-<，由sin 0A >，可得0B A ->，有0B A π<-<，可得B A A -=或B A A π-+=（舍去），可得2B A =；（2）由2B A =，有sin sin2B A =，可得sin 2sin cos B A A =，有2cos b a A =，又由32b a =，可得3cos 4A =， 在ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，有2299442a a a =+-，解得85a =或2a =（舍去）， 可得8,512.5ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩20.【答案】（1）详解见解析（2）(],1-∞-【解析】（1）()()21a x a f x ax x x+'=+=，当0a >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；（2）假设12x x ≥，而0a <，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递减，∵()()12f x f x ≤， ∵()()12122f x f x x x -≥-化简为()()112222f x x f x x +≤+， 令()()2g x f x x =+，则()g x 在()0,+∞上单调递减，∵()20a g x ax x '=++≤，即()22222121211111x x x x a x x x--+-≤=-=-+++， ∵1a ≤-，故实数a 的取值范围是(],1-∞-.21.【答案】（1）24y x =（2）点A 为定点，其坐标为()1,0，证明略 【解析】（1）设过点P 且与抛物线相切的直线为():2p l x k y m =--， 联立()22,,2y px p x k y m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩化简得22220y pky pkm p -++=， ()22Δ(2)420pk pkm p ∴=-⨯+=，化简得220pk km p --=， 当0m =时，1k =±.此时， 2.1,22p PA MA PB p ===∴==， ∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PM 的斜率为PM k ，直线QM 的斜率为QM k ， 由（1）可知，122,2,,1PM QM PM QM PM QM y k y k k k m k k ==+=⋅=-，∴直线PQ 的方程为112121y y x x y y x x --=--.令0y =，得211222121444y x y y y y y --=--， 整理得1222144PM QM k k y y x ⋅=-=-=.故点A 为定点，坐标为()1,0.22.【答案】（1）直线l：10x -=；曲线C ：22430x y y +--=（2）2【解析】（1）∵π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∵cos sin 10ρθθ--=， ∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∵直线l的直角坐标方程为10x --=， ∵曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），消去参数ϕ，得()2227x y +-=. ∵曲线C 的普通方程为22430x y y +--=；（2）在直线10x -=中，令0y =，得()1,0P ，可设直线l的参数方程为1,2,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22430x y y +--=中，代简，整理可得)2220t t +-=，则)2280∆=+>， 令方程的两个根为1t ，2t ，∵122t t =-，∵122PA PB t t ⋅==. 23.【答案】（1）74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（2）94【解析】（1）()()5,1,26137,13,5, 3.x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=---=-+<<⎨⎪-≥⎩当()f x x ≥时，1,5x x x ≤⎧⎨-+≥⎩或13,37x x x <<⎧⎨-+≥⎩或3,5,x x x ≥⎧⎨-≥⎩解得74x ≤，则解集为74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； （2）()312621y f x x x x =+-=-+-()262226224x x x x =-+-≥---=，∵4m =，124a b+=，∵a ，b 为正实数，∵()1121229225444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22,124,a b b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即3,434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.。

2024年春期高中一年级期终质量评估数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（）AB ．CD2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）A ．1B CD ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（）A ．B ．2C D4．已知：，，，若，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（）22cos 15sin 15︒-︒=12()11z i i -=+i z =O ()1,2a = ()2,4b =-- c = ()52a b c +⋅= a c xOy ()3,4OA = OA 23πOB OB OA322⎛+-⎝3,22⎛⎫⎪⎝⎭322⎛---+ ⎝3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E F :::2:1SD DA SE EB CF FS ===A．B ．C ．D ．7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）A ．函数的对称中心为B ．若，则C ．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D ．若，则8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下列有关复数内容表述正确的是（）A ．若复数满足，则一定为纯虚数B ．对任意的复数均满足：C ．设在复数范围内方程的两根为，，则D ．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为019272327293331351cos θ-θsin ver θ1sin θ-θcov ers θ()sin cov 1f x ver x ersx =-+,14k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()g x 1()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1h α=02πα<<α43πsin 1cov 1ver x ersx -=-cov 311cov 13ers x ersx -=-ABCD AD BC 1AD AB ==90BAD ∠=︒45BCD ∠=︒ABD △BD PBD △P BD C --P BCD -83π143π4π6πz 0z z +=z z 22z z=24130x x -+=1x 2x 124x x +=1z 2z 120z z ⋅=1z 2z10．已知函数，且，则（ ）A ．B ．函数是偶函数C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在区间上单调递减11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（）A ．若，则不可能存在这样的点，使得B ．若，，则C ．若平面，则D ．周长的最小值是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.14．设为函数图象上任意一点，的最大值是___________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）（1）已知复数满足，求；()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b=4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 54x π=()f x ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A BCD -a 2a E F AC AD BE AC ⊥F EF AC⊥13AE AC = 23AF AD = 29E ABF B EFDCV V --=CD BEF EF CDBEF △52a ()1,2OA = ()2,1OB =-P AB P ABC △60ABC ∠=︒AC =2BC =ABC ∠AC D A BC E DE =(),P x y ()[]()sin cos 11,122f x x x x ππ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭z 13z i z =+-()()1334i i z++（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.16．（本小题满分15分）已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17．（本小题满分15分）在中，，.（1）求证：；（2）若，，求的值.18．（本小题满分17分）如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．（本小题满分17分）x ∈R ()2121log 1log cos 2z x i x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭x αβsin α=1tan 7β=-sin 2β2βα-ABC △ABD α∠=DBC β∠=()sin sin sin BD BA BCαββα+=+AB AC =72C ∠=︒cos36︒PA ⊥ABCD ABCD 112PA AB BC ===E PB AE PC ⊥M N PD AC 2PM ANDM CN==Q MN P ABQ -已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.（1）求证：；（2）若，，①求的最大值；②当时，求的值.ABC △AB C a b c M ABC △AC BA BC M ABC △M AC T ABC △S M r 2Sr a b c=-+3B π=8b =r r =AM AC ⋅。

河南省南阳市2023-2024学年高一上学期期终质量评估数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C ．
D ．
1
二、多选题
9．下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A ．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B ．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C ．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D ．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
10．已知函数()22,2
log ,2
x a x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的可能取值为（ ）
四、解答题
(2)若()22x
f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.。

2023年秋期高中三年级期终质量评估数学试题参考答案一．选择题1-8.CBDC BDAC 二．选择题9.AC 10.ACD 11.ABD12.CD三．填空题13.-1214.），（）（∞+-10,1 15.8916.四．解答题（答案仅供参考，各小题若有其他解法，请酌情给分）17.解析：（1）(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=，sin cos 0a B A -=∴，∴由正弦定理得sin sin cos 0A B B A -=.……………………………………………2分0πB << ，sin 0B ∴≠，sin A A =∴，tan A =.0πA << ，π3A ∴=.………………………………………………………………………5分（2）10a = ，∴由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=，即22100b c bc +-=.…………………………………………………………………………7分222b c bc +≥ ，1002bc bc ∴+≥，100bc ∴≤.1sin 1002S bc A ==≤= 8分∴当且仅当b c =时，ABC △面积有最大值，最大值为.…………………………10分18.解析：（1）因为11122n n n n n a a a a a +++++=-+，所以1131122n n n n a a a a ++=---，则111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++--==+++++1121122n n n n a a a a ++-=-，所以12n n b b +-=，……………………………………………………………………………2分又10a =，所以11111b a ==+，故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n b n n =+-=-，……………………………………………………………5分1122112121n n na b n n -=-=-=--.…………………………………………………………6分（2）证明：（方法一）由（1）可得2n S n =，所以211n S n=.当1n =时，1117=14T S =<.…………………………………………………………………7分当2n ≥时，22111111211n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭，…………………………………………8分1231111n nT S S S S =++++ 111111111111232435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111221n n ⎛⎫=+⨯+-- ⎪+⎝⎭711174214n n ⎛⎫=-+<⎪+⎝⎭.………………………………11分综上可得7.4n T <…………………………………………………………………………12分（方法二）由（1）可得2n S n =，所以211n S n=.当1n =时，1117=14T S =<.…………………………………………………………………7分当2n =时，22111157=+1+=444T S S =<.…………………………………………………8分当3n ≥时，21111(1)1n n n n n<=---，…………………………………………………9分1231111n nT S S S S =++++ 11111111++423341n n <+--++-- 71744n =-<.…………………………………11分综上可得7.4n T <…………………………………………………………………………12分19.解析：(1)证明：如图，连接1A C ，在AC A 1∆中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒，由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211AC AC A A +=，所以1A C AC ⊥，…………………………………………2分同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，,AC BC ⊂平面ABC ,所以1A C ⊥平面ABC ,又1AC ⊂平面11A ACC ，所以平面ABC ⊥平面11A ACC .……………………………………………5分(2)由平面几何知识可知，AC ⊥CP ，……………………………………………6分以C 为坐标原点，以CA，CP，CA 1为,x y z ,轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则(1,0,0)A，1(2B -，1A ，……………………………………………7分所以1(AA =-，3(,22AB =- 设平面1A AB 的法向量为111(,,)m x y z =，则111110,3·0,22m AA x m AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令11z =，得m =.…………………………………………………………9分又平面P CA 1的法向量为)0,0,1(=n ， (10)分13391933=++=∴…………………………………………11分所以二面角11B P A C --的正弦值为13130.……………………………………………12分（若用综合几何法求解，请按照步骤酌情给分）20.解析：(1)∵前四组频数成等差数列，∴设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.……………………………4分(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定83.215.07.08.05.2≈-+=w …………………………………………………8分(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量，可知P (A ≤2.5)＝0.7，由题意，知X ～B (3，0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027，P (X ＝1)＝C 13×0.7×0.32＝0.189，P (X ＝2)＝C 23×0.72×0.3＝0.441，P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为X 0123P0.0270.1890.4410.343………11分∵X ～B (3，0.7)，∴E (X )＝3×0.7＝2.1.…………………………………………………12分21.解析：（1）设),(y x P ，则x a b y Q -=，y bax R -=，由题意可得，2|)(21||)(21|aby b a y x a b x =-∙+-∙，即12222=+b y a x ，故点P 的轨迹C 的方程为12222=+by a x ；……………4分（2）由（1）可知C：1422=+y x 假设存在常数n,使λ=∙AE AD （常数），设直线n my x l +=：，代入C，整理得0)4(24(222=-+++n mny y m ），设),(),,(2211y x E y x D 则44,422221221+-=+-=+m n y y m mn y y ……………6分所以),4(),4(2211y x y x AE AD +∙+=∙21212121)4)(4()4)(4(y y n my n my y y x x +++++=+++=221212)4())(4()1(++++++=n y y n m y y m ……………7分λ=++++-+-+=222222)4(4)4(24)4)(1(n m n n m m n m （算法一）整理化简得：0460325)12(22=-+++-λλn n m 对R m ∈∀恒成立.……9分故0460325,0122=-++=-λλn n 舍去）或(652012325,122--=∴=++=∴n n n λ……………11分当直线l 为x 轴时12=∙AE AD 综上，存在常数52-=n ,对任意直线l ,使12=∙AE AD （为定值）……………12分（算法二）λ=+++-+---=++++-+-+=22222222222)4(4)4()48()4(4)4(24)4)(1(n m n m n n n m n n m m n m 根据对应系数成比例得：444822-=---n n n .……………9分整理得0123252=++n n ，解得652-=-=n n 或当6-=n 不能保证任意l 成立，故舍去.将52-=n 代入上式可得12=∙AE AD ……………11分当直线l 为x 轴时12=∙AE AD 综上，存在常数52-=n ,对任意直线l ,使12=∙AE AD （为定值）……………12分22.解析：（1）依题意知：()0,x ∈+∞，()'ln a x a f x =+，)1(11)(2xa x x x a x g -=-='…………………1分①0≤a 时，0)(<'x g 恒成立，)(x g 在），（∞+0上单调递减；……………………3分②0>a 时，由,10,0)(a x x g <<<'得,1,0)(ax x g >>'得)(x g 在，（a 10上单调递减，），（∞+a1上单调递增.……………………5分（2）依题意，要证：ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，ln 0,1sin 0x x x e x ≤-+>，故原不等式成立，…………………………7分②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-，即要证：ln sin 10x x x e x --+<，令()ln sin 1,(1)x h x x x e x x =--+>则()ln cos 1xh x x e x '=--+，()1sin x h x e x x''=-+，………………………………8分0)(,1<''∴>x h x ………………………………9分()h x '∴在()1+∞，单调递减()()11cos10h x h e ''∴<=--<………………………10分()h x ∴在()1+∞，单调递减，()(1)1sin10h x h e ∴<=--<，即：ln sin 10x x x e x --+<，故原不等式成立.…………………………………12分。

河南省南阳市2024届高三年级期终质量评估试题数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．出4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}1,3,A n =，{}2,1B n =，且A B A ⋃=，则实数n 的值为（ ）A. 0B. 1C. 0或D. 2. 已知随机变量服从正态分布2~(2,)X N σ，若(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=，则=a （ ） A. 0B. 2C. 1-D. 2-3. 函数()21x x f x e-=图象大致为（ ）A. B.C. D.的4. 在三棱锥-P ABC 中，1PA =，2PB =，3PC =，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. 12πB. 13πC. 14πD. 15π5. 反比例函数k y x=（0k ≠）的图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲线2y x =的焦距为（ ）A.B.C. 4D. 66. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=，则2024a =（ ） A 20223B. 20233C. 202323⨯D. 202223⨯7. 抛物线E ：2y x =的焦点为F ，P 为准线上任意一点，过点P 作E 的切线，切点为A ，则PA PF ⋅的最小值为（ ） A.14B.12C. 1D. 28. 若函数()2e xf x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()(),00,∞-+∞U B. ()0,∞+ C. 110,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D. ()()0,11+∞二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（ ） A 22cosisin 33z ππ=+ B.212z z = C.1zz= D. 222z z +=10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：C ︒）的记录如下：的..根据上述记录，下列说法正确的有（ ）A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D <C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D >D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30的概率为102911. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形12. 设函数()222,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有n 个零点，则下列说法正确的是（ ）A. 若2n =，则实数a 的取值范围为(),0∞-B. 若3n =，则实数a 的取值范围为()0,1C. 若4n =，则实数a 的取值范围为()()0,23,+∞D. 若5n =，则实数a 取值范围为(]2,3第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）的13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_____________．（用数字作答） 14. 若点()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，则实数a 的取值范围为_____________．15. 某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答）16. 如图，点P 为BAC ∠内一点，1PA =，30BAP ∠=︒，45CAP ∠=︒，过点P 作直线分别交射线AB ，AC 于D ，E 两点，则11PD PE+的最大值为_____________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=．（1）求内角A 的大小；（2）若10a =，求ABC 面积的最大值．18. 已知数列{}n a 满足10a =，且11122n n n n n a a a a a +++++=-+．数列{}n b 满足11n n b a =+，{}n b 的前n 项和为n S ．（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：74nT <． 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．（1）求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？（精确到0.01） （3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．21. P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线by x a=-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a =-于R ，若△OMQ ， ONR 的面积之和为2ab ．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ⋅为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由． 22. 已知函数()ln f x ax x =（0a ≠），()'f x 为()f x 的导数． （1）讨论函数()()1'g f x x x=+的单调性； （2）当1a =时，求证：()e sin 1xf x x <+-．答案解析第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}1,3,A n =，{}2,1B n =，且A B A ⋃=，则实数n 的值为（ ）A. 0B. 1C. 0或D. 【答案】C 【答案解析】【详细分析】由题意得BA ⊆，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解.【过程详解】由题意A B A ⋃=，所以BA ⊆，而21n ≠，即1n ≠±，所以23n =或2=n n ，解得0n =或满足题意. 故选：C.2. 已知随机变量服从正态分布2~(2,)X N σ，若(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=，则=a （ ） A. 0 B. 2C. 1-D. 2-【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正态分布的性质可得(12)(1)P X a P X a ≥-=≤+，即可得到12a -、1a +关于2x =对称，从而得到方程，解得即可.【过程详解】解：因为(12)(1)1P X a P X a ≤-+≤+=， (12)(12)1P X a P X a ≤-+≥-=， 所以(12)(1)P X a P X a ≥-=≤+， 所以12122a a -++=⨯，解得2a =-. 故选：D3. 函数()21x x f x e-=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由题意可得函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，然后再根据特殊值进行判断可得结果．【过程详解】解： ()()()21xx f x f x e ----=≠，所以()f x 的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C ，又因为()22212320f e e--==<，排除A .故选：D.【名师点评】本题考查根据函数的答案解析式判断函数的大体图象，考查详细分析判断能力和应用意识，结合函数奇偶性的判断，属于基础题.4. 在三棱锥-P ABC 中，1PA =，2PB =，3PC =，则当该三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A. 12π B. 13πC. 14πD. 15π【答案】C 【答案解析】【详细分析】要使该三棱锥的体积最大，只需PA PB ⊥,PC ⊥面PAB ，求出球的球心，进而求出球的半径和表面积．【过程详解】设点C 到底面PAB 的距离为h ，则1111sin sin 3323P ABC PAB V S h PA PB APB h APB h -=⨯=⨯⋅∠⨯=∠⨯ ， 要使该三棱锥的体积最大时,则需sin ,APB h ∠达到最大值,即π,2APB h PC ∠==,即PA PB ⊥PC ⊥面PAB ，所以PAB 的斜边AB 的中点为外接圆圆心1O ，因为1PA =，2PB =，所以22AB r ==, 如图所示，易得四边形1OO PH 为矩形，所以12OH O P r ===，令棱锥外接球半径为R ， 设CH x =，则2222CO CH OP HP -=- 即()22223R x R x -=--，解得32x =， 所以22272R HO CH =+=,解得2R =，所以该三棱锥的外接球表面积为224π4π14π2S R ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.5. 反比例函数ky x=（0k ≠）图像可以看作是由等轴双曲线经过旋转得到的，那么双曲,的线2y x=的焦距为（ ）A. B.C. 4D. 6【答案】B 【答案解析】【详细分析】求出双曲线与对称的交点即顶点坐标，求出顶点到中心的距离即得a ，从而求得,b c ，得出结论． 【过程详解】双曲线2y x=的对称轴是直线y x =和y x =-，它与对称轴y x =的交点是，(，即为双曲线的顶点，2=，即2a =，因此2b =，c ==2c =．故选：B ．6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=，则2024a =（ ） A. 20223B. 20233C. 202323⨯D.202223⨯【答案】D 【答案解析】【详细分析】利用11n n n a S S ++=-得出{}n S 是等比数列，由通项公式求出2023S 后求出2024a . 【过程详解】由12n n a S +=，得112n n n n a S S S ++=-=，所以13n n S S +=，又111S a ==， 所以{}n S 是等比数列，首项为1，公比为3，所以13n n S -=，所以202220232024232a S =⨯=故选：D7. 抛物线E ：2y x =的焦点为F ，P 为准线上任意一点，过点P 作E 的切线，切点为A ，则PA PF ⋅的最小值为（ ）A.14B.12C. 1D. 2【答案】A【答案解析】【详细分析】利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得14P⎛⎫-⎝，得01124P xA PF⎫⎛⎛⎫=++⎪⎝⎭⋅⎝⎭，最后利用基本不等式求最值. 【过程详解】由2y x=，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A在)0y y=>上，设(0A x，1,4P t⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,04F⎛⎫⎪⎝⎭，由)0y y=>，得1212y x-'=，切线斜率为k=，故切线方程为)0y x x=-，又1,4P t⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线)0y x x=-，得014t x⎫-=--⎪⎭，得t=-14P⎛⎫-⎝，所以014PA x⎛⎫=++⎝，12PF⎛=⎝⎭，1124P xA PF⎫⎛⎛⎫=++⎪⎝⎭⋅⎝⎭1111464884xx=++≥+=，当且仅当01464xx=，即14x=时取等号，PA PF⋅的最小值为14.故选：A8. 若函数()2e xf x ax x=--有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（）A. ()(),00,∞-+∞UB. ()0,∞+C. 110,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()()0,11+∞【答案】C 【答案解析】【详细分析】转化为()e 21xf x ax =--'有两个变号零点，令()e 21xh x ax =--，求导，分0a ≤和0a >两种情况，得到其单调性，极值和最值情况，从而得到不等式22ln 210a a a --<，再构造函数()22ln 21g a a a a =--，求导得到其单调性，极值最值情况，求出答案.【过程详解】由题意得()e 21xf x ax =--'有两个变号零点，令()e 21xh x ax =--，定义域为R ，则()e 2xh x a '=-，当0a ≤时，()0h x '>恒成立，()h x 在R 上单调递增，不会有两个零点，舍去， 当0a >时，令()0h x '>得，ln 2x a >，令()0h x '<得，ln 2x a <， 所以()h x 在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增， 故()h x 在ln 2x a =处取得极小值，也是最小值， 则()ln 20h a <，即22ln 210a a a --<，令()22ln 21g a a a a =--，0a >，则()22ln 222ln 2g a a a '=--=-， 令()0g a '>得102a <<，令()0g a '<得12a >， ()g a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，故()22ln 21g a a a a =--在12a =处取得极大值，也是最大值， 又102g ⎛⎫=⎪⎝⎭，故22ln 210a a a --<的解集为110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时当x 趋向于负无穷时，()h x 趋向于正无穷，当x 趋向于正无穷时，()h x 趋向于正无穷， 满足()e 21xh x ax =--有2个变号零点.故选：C【名师点评】结论名师点评：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.设复数122z =--共轭复数为z ，则下列结论正确的有（ ） A. 22cosisin 33z ππ=+ B.212z z = C.1zz= D. 222z z +=【答案】AC 【答案解析】【详细分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算法则，即可求解.【过程详解】对于A，122isin2233z ππ=-++，故A 正确； 对于B，2211i i 2211i 2222z z -+-+===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故B 错误； 的对于C，211i 221i22222222zz ⎛⎫-+ ⎪-+===--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，2211i i 2222z ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，2211i i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以221z z +=-，故D 错误.故选：AC10. 为了研究某种作物在特定温度下（要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒）的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区近十年10月份日平均最高气温和日平均最低气温（单位：C ︒）的记录如下：根据上述记录，下列说法正确的有（ ）A. 农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日B. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D <C. 设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高气温的方差和最低气温的方差分别为1D ，2D ，则12D D >D. 从10月份的31天中随机选择连续3天，则所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30的概率为1029【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】选项A ，从图中可以看出，从7日到17日时，最高温度满足，因此选择起始日期为7日或8日，从而判断出选项A 的正误；通过图，分别求出前10天的最高温度和最低温度的方差，即可判断出选项B 和C 的正误；对于选项D ，随机选择连续三天，共有29种可能，满足题意的选择有10种可能，由古典概型概率公式可得结论，从而得出结果． 【过程详解】因为某种作物要求最高气温t 满足：27C 30C t ︒≤≤︒，由图可知，10月6日的平均最高气温为26C ︒，从10月18日起的平均最高气温均低于27C ︒， 所以农学家观察试验的起始日期为10月7日或10月8日，故选项A 正确； 因为10月1日至10月10的最高气温分别为：30,31,29,28,27,26,27,27,27,27， 其平均数为3031292827262727272727.910x +++++++++==，所以22222211[(3027.9)(3127.9)(2927.9)(2827.9)(2727.9)5(2627.9)] 2.2910D =-+-+-+-+-⨯+-=，又10月1日至10月10的最低气温分别为：19,19,18,18,17,18,18,17,17,17， 其平均数为19218417417.810y ⨯+⨯+⨯==，所以22221[2(1917.8)4(1817.8)4(1717.8)]0.5610D =⨯-+⨯-+⨯-=， 故12D D >，所以选项B 错误，选项C 正确，对于选项D ，设“所选3天中日平均最高气温值都在[]27,30”为事件A ， 易知，基本事件为(1,2,3(,(2,3,4),(3,4,5),,(29,30,31) ，共29个，又由题图可以看出，事件A 中包含(3,4,5)，(7,8,9),(8,9,10),(9,10,11),(10,11,12)，(11,12,13),(12,13,14),(13,14,15),(14,15,16),(15,16,17)，共10个，所以10()29P A =，故选项D 正确， 故选：ACD.11. 用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ） A. 截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B. 截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C. 截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形D. 截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据题意，结合正方体的几何结构，以及截面的概念与性质，逐项判定，即可求解.【过程详解】由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，对于A 中，过点11,,A B D 三点的截面为11AB D ，截面的形状为正三角形，所以A 正确； 对于B 中，过棱1111,,,AA BB CC DD 的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B 正确；对于C 中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C 错误； 对于D 中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D 正确. 故选：ABD.12. 设函数()222,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有n 个零点，则下列说法正确的是（ ） A. 若2n =，则实数a 的取值范围为(),0∞- B. 若3n =，则实数a 的取值范围为()0,1C. 若4n =，则实数a 的取值范围为()()0,23,+∞D. 若5n =，则实数a 的取值范围为(]2,3 【答案】CD 【答案解析】【详细分析】令()f x t =，则()()222g t t a t a =-++零点的个数，就是方程()2220t a t a -++=的根的个数，最后转化为()f x a =的零点的个数问题，画出()f x 的图象，由图象逐项详细分析即可.【过程详解】令()f x t =，则()()222g t t a t a =-++，作()f x 的图象如图所示：()()222g t t a t a =-++所对应的方程为()2220t a t a -++=，()()22Δ24220a a a =+-⨯=-≥，当Δ0=时，则2a =，故方程为2440t t -+=，解为2t =，此时关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦有2个零点，故A 错误；当0∆>时，方程()2220t a t a -++=有两个不相等的实根为：2t =或t a =，若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有3个零点， 则()f x a =只有一个零点，由图可知实数a 的取值范围为{}0，故B 错误； 若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有4个零点，则()f x a =有2个零点，由图可知实数a 的取值范围为()()0,23,+∞ ，故C 正确； 若关于x 的函数()()()()222g x f x a f x a =-++⎡⎤⎣⎦恰好有5个零点， 则()f x a =有3个零点，由图可知实数a 的取值范围为(]2,3，故D 正确； 故选：CD.【名师点评】方法名师点评：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对答案解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为_____________．（用数字作答）【答案】12- 【答案解析】【详细分析】由二项展开式的通项公式可得． 【过程详解】展开式的通项为6621662C ()(2)C rrr r r rr T x x x--+=-=-， 令624r -=，得1r =， 因此所求系数为162C 12-⨯=-． 故答案为：12-．14. 若点()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】()()1,01,-⋃+∞ 【答案解析】【详细分析】根据方程表示圆可得()2240a a ->，由点()0,1在圆外可得10a +>，解不等式组即可.【过程详解】由()0,1在圆2220x y ax a +++=的外部，得()()210240110a a a a a a ⎧⎧->->⎪⇒⎨⎨>-+>⎪⎩⎩，解得1a >，或10a -<<，故答案为：()()1,01,-⋃+∞15. 某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答） 【答案】89 【答案解析】【详细分析】借助加法计数原理，得到()12,3n n n a a a n --=+≥，依次计算即可.的【过程详解】设小明上n 个台阶有n a 种方法，考虑最后一步： 若最后一步小明上1个台阶，则前n 1-个台阶有1n a -种方法且2n ≥； 若最后一步小明上2个台阶，则前2n -个台阶有2n a -种方法且3n ≥. 由加法原理得()12,3n n n a a a n --=+≥，易知121,2a a ==，可得33a =，456789105,8,13,21,34,55,89.a a a a a a a ======= 所以小明不同的上楼方法共有89种. 故答案为：89.16. 如图，点P 为BAC ∠内一点，1PA =，30BAP ∠=︒，45CAP ∠=︒，过点P 作直线分别交射线AB ，AC 于D ，E 两点，则11PD PE+的最大值为_____________．【答案】11+ 【答案解析】【详细分析】用正弦定理表示PD 、PE ，再结合辅助角求函数的最大值. 【过程详解】如图：设ADP α∠=，AEP β∠=，则105αβ+=︒.在ADP 中，由正弦定理得：1sin sin 30PD α=︒⇒12sin PD α=；同理，在AEP 中，1PEβ=.所以112sin PD PEαβ+= ()2sin 105ββ=︒-+2sin105cos 2cos105sin βββ=︒-︒cos sin 22ββ=+()(()cos sin 1sin 4512βββ=+=++︒≤+（当且仅当45β=︒时取等号）故答案为：1+【名师点评】方法名师点评：一般选择填空求最值得问题，通常有以下方法： 第一：转化为二次函数在给定区间上的值域问题求解； 第二：运用基本（均值）不等式求最值； 第三：转化为三角函数求值域；第四：较少题目会用导数详细分析函数单调性求值域.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=．（1）求内角A 的大小；（2）若10a =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）π3A =（2）． 【答案解析】【详细分析】（1）把向量的数量积用坐标表示后利用正弦定理化边为角，利用三角函数性质可得；（2）用余弦定理后利用基本不等式得出bc 的最大值，从而可得面积最大值． 【小问1过程详解】∵(),m a b =，()sin ,n B A = ，且0m n ⋅=，∴sin cos 0a B A =，∴由正弦定理得sin sin cos 0A B B A =． ∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴sin A A =，tan A =．∵0πA <<，∴π3A =． 【小问2过程详解】 ∵10a =，∴由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=，即22100b c bc +-=． ∵222b c bc +≥，∴1002bc bc +≥，∴100bc ≤， 当且仅当10b c ==时，等号成立，∴1sin 100244S bc A bc ==⨯=≤， ∴ABC面积有最大值，最大值为18. 已知数列{}n a 满足10a =，且11122n n n n n a a a a a +++++=-+．数列{}n b 满足11n n b a =+，{}n b 的前n 项和为n S ．（1）判断数列{}n b 是否为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：74n T <．【答案】（1）是，2221n na n -=-； （2）证明见答案解析﹒ 【答案解析】【详细分析】(1)通过恒等变形得111211n n a a +-=++，从而得12n n b b +-=，即可判断{}n b 为等差数列，可求{}n b 的通项公式，再由11n n b a =+得{}n a 的通项公式； (2)先由(1)得211n S n =，再利用放缩法和裂项相消法证明74n T <． 【小问1过程详解】 因为11122n n n n n a a a a a +++++=-+，所以1131122n n n n a a a a ++=---， 则1111111121111122n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++---===+++++-． 所以12n n b b +-=， 又10a =，所以11111b a ==+， 故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以12(1)21n b n n =+-=-， 得1122112121n n n a b n n -=-=-=--． 【小问2过程详解】 由(1)可得2n S n =，所以211n S n=． 当1n =时，11714S =<． 当2n ≥时，22111111211n n n n ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭．所以1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+111111111111232435211n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111711711221414n n n n ⎛⎫⎛⎫=+⨯+--=-+< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．【答案】（1）证明见答案解析（2）13【答案解析】【详细分析】（1）首先由解三角形知识得1A C AC ⊥，同理1AC BC ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解. 【小问1过程详解】如图，连接1AC ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160A AC ∠=︒， 由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211A C AC A A +=，所以1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ， 所以平面ABC⊥平面11A ACC ．【小问2过程详解】由平面几何知识可知，AC CP ⊥，以C 为坐标原点，以,CA CP ，1CA 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A，1,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1A ，所以(1AA =-，3,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面1A AB 的法向量为()111,,m x y z =，则1111103022m AA x m AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11z =，得)m =u r．又平面1CA P 的法向量为()1,0,0n =r，∴cos ,13m n ==， 所以二面角11C A P B --的正弦值为13． 20. 某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．（1）求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频率；（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 至少定为多少？（精确到0.01）（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．【答案】（1）0.3a =，0.4b =，0.5c =，0.25 （2）2.83 （3）分布列见答案解析，2.1 【答案解析】【详细分析】（1）前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列，设0.2a d =+，0.22b d =+，0.23c d =+，然后根据频率之和等于1可求得；（2）根据百分位的定义可得；（3）首先求出X 的可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率，列出分布列求出均值.【小问1过程详解】∵前四组频数成等差数列，所以对应的频率除以组距也成等差数列 ∴设0.2a d =+，0.22b d =+，0.23c d =+，∴()0.50.20.20.220.230.20.10.10.11d d d d ⨯+++++++++++=， 解得0.1d =，∴0.3a =，0.4b =，0.5c =．居民月用水量在2～2.5内的频率为0.50.50.25⨯=． 【小问2过程详解】由题图及（1）可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.70.8<， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 应规定0.80.72.5 2.830.15w -=+≈【小问3过程详解】将频率视为概率，设A （单位：立方米）代表居民月用水量， 可知()2.50.7P A =≤， 由题意，知()~3,0.7X B ，()0330C 0.30.027P X ==⨯=， ()1231C 0.70.30.189P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.70.30.441P X ==⨯⨯=，()3333C 0.70.343P X ==⨯=． ∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.0270.1890.4410.343∵()~3,0.7X B ， ∴()30.7 2.1E X =⨯=．21. P 为平面直角坐标系内一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交直线by x a=-（0a b >>）于Q ，过P 作y 轴的垂线，垂足为N ，交直线by x a=-于R ，若△OMQ ， ONR 的面积之和为2ab ． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若2a =，1b =，()4,0A -，(),0G n ，过点G 的直线l 交C 于D ，E 两点，是否存在常数n ，对任意直线l ，使AD AE ⋅为定值？若存在，求出n 的值及该定值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）22221x y a b+=（2）存在常数25n =-，对任意直线l ，使12AD AE ⋅= （为定值）【答案解析】【详细分析】（1）详细分析题意求出轨迹即可. （2）分斜率是否存在的两种情况讨论即可. 【小问1过程详解】设(),P x y ，则Q b y x a =-，R ax y b=-， 由题意可得，11222b aab x x y y a b ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22221x y a b +=，故点P 的轨迹C 的方程为22221x y a b+=；【小问2过程详解】由（1）可知C ：2214x y +=假设存常数n ，使AD AE λ⋅=（常数），设直线l ：x my n =+，代入C ，整理得()()2224240m y mny n +++-=，在设()11,D x y ，()22,E x y则12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+ 所以()()11224,4,AD AE x y x y ⋅=+⋅+()()()()121212124444x x y y my n my n y y =+++=+++++ ()()()2212121(4)4m y y m n y y n =++++++()()()222222142(4)444m n m n n n m m λ+-+=-++=++ 整理化简得：()22125326040m n n λλ-+++-=对R m ∀∈恒成立．故120λ-=，25326040n n λ++-= ∴12λ=，2532120n n ++= ∴25n =-或6-（舍去） 当直线l 为x 轴时12AD AE ⋅=综上，存在常数25n =-，对任意直线l ，使12AD AE ⋅= （为定值） 22. 已知函数()ln f x ax x =（0a ≠），()'f x 为()f x 的导数． （1）讨论函数()()1'g f x x x=+的单调性； （2）当1a =时，求证：()e sin 1xf x x <+-．【答案】（1）答案见答案解析 （2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）先求出()g x ，然后分0a ≤和0a >结合导函数求单调区间；（2）当01x <≤时，根据函数的正负证明，当1x >时，转化为证ln sin 1e 0x x x x --+<，构造函数求导详细分析单调性与最值即可.【小问1过程详解】由()ln f x ax x =，得()'ln f x a x a =+ 依题意知：()0,x ∞∈+，所以 ()()11'ln g x f x a x a x x=+=++， 所以()2111'a g x a x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①0a ≤时，()'0g x <恒成立，()g x 在()0,∞+上单调递减； ②0a >时，由()'0g x <，得10x a<<，()'0g x >得1x a >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增．【小问2过程详解】依题意，要证：ln e sin 1x x x x <+-，①当01x <≤时，1sin 0e x x -+>，故原不等式成立， ②当1x >时，要证：ln e sin 1x x x x <+-， 即要证：ln sin 1e 0x x x x --+<， 令()ln e sin 1xh x x x x =--+，（1x >）则()'ln e cos 1xh x x x =--+，令()ln e cos 1xm x x x =--+，则()1e sin xm x x x-'=+， 先证：()e 11xx x >+>，即要证：()e 101xx x -->>， 令()e 1xx x ϕ=--，则()()e 11xx x ϕ='->，∵1x >，所以()e 10xx ϕ='->，所以()x ϕ在()1,∞+单调递增，所以()()1e 10x ϕϕ>=->，即()e 11xx x >+>，当1x >时，101x<<，sin 1x ≤， ()()()111e sin 1sin sin 10x m x x x x x x x x x ⎛⎫=-+<-++=-+-< ⎪⎝⎭'，所以()'ln e cos 1xh x x x =--+在()1,∞+单调递减，所以()()1''1ln1e cos111e cos10h x h <=--+=--<所以()ln e sin 1xh x x x x =--+在()1,∞+单调递减，所以()()11e sin10h x h <=--< 即()ln e sin 10xh x x x x =--+<，得证【名师点评】关键点名师点评：本题证明不等式的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，令()ln e sin 1xh x x x x =--+，利用导数可求得()h x 单调性，由此可得函数最值，从而得到结论.。