江苏省姜堰市姜堰区2014届九年级上学期期中考试数学试卷 人教新课标版

湖北省宜城市2013-2014学年第一学期期中测试一、选择题 (本大题有12个小题，每小题3分，共36分.）1.下列二次根式中，的取值范围是3x≥的是（）B. C.2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. C.3. 下列各式计算正确的是（）A.63238=- B. 5102535=+C. 222224=÷ D. 682234=⨯4. 下列方程中，一元二次方程共有（）．①432=-xx②04322=+-xyx③412=-xx④42=x⑤0332=+-xxA． 2个 B．3个 C．4个 D． 5个5. 关于关于x的一元二次方程1352+=-xxx的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法判断6. 某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（）A．19% B．10% C．9.5% D．20%7.下列命题中是真命题的是( )A.经过两点不一定能作一个圆B.经过三点不一定能作一个圆C.经过四点一定不能作一个圆D.一个三角形有无数个外接圆8.四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO=BO=CO=DO，则这个四边形（）Ａ.仅是轴对称图形Ｂ.仅是中心对称图形Ｃ.既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 9.如图所示，在正方形ABCD 中，AB=4，点O 在AB 上，且OB=1，点P 是BC 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得到线段OQ.要使点Q 恰好落在AD 上,则BP 的长是( )A ．3B ．2C ．1D ．无法确定10. 如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（ ）A.CE=DEB.弧BC=弧BDC.∠BAC=∠BADD.AC ﹥AD11.下列四个命题:①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等， 它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个12. 已知⊙O 的半径为5cm ，点P 到⊙O 的最近距离是2，那么点P 到⊙O 的最远距离是（ ） A.7cm B.8cm C. 7cm 或12cm D.8cm 或12cm二、填空题 (本大题有5个小题，每小题3分，共15分.）13.计算(236)(236)+-=14. 已知方程x 2－x －1=0有一根为m ，则m 2－m ＋2013的值为____.15.如图，已知正方形ABCD 的边长为3,E 为CD 边上一点，DE=1．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABF ，连接EF ，则EF 的长等于 ．16. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为弧BC 上一点，若∠CEA=28o，则∠ABD=°.ABCDE O · 第10题图A第16题图 17.已知等腰△的三个顶点都在半径为5cm 的⊙上，如果底边的长为8cm ，则边上的高为 .三、解答题（本大题共9个小题，计69分.）18.（本题满分5分）计算：4832426-÷+⨯.19.（本题满分7分）先化简，再求值：（a －1＋12+a ）÷（212+a ），其中a =2－1．20.（本题满分6分）已知方程2(1)140x m x m +-+-=的一个根是3，求m 的值及方程的另一个根．21.（本题满分7分）已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

人教版九年级上学期期中考试数学试卷（一）一.选择题1、下列关于 X 的方程：①ax2+bx+c=0:②x'+ •!二6；③x—0；④x=3x2（5）（x+l ）（x・1） =XMX中，一元二次方程的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列标志既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）©c©D⅛⅛3、已知关于X的一元二次方程（a - 1） X2 - 2x÷l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a>2B、a<2C、a<2 且D、&V ・ 24、若（2, 5）、（4, 5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）B、x=lC、x=2DX x=33、一个等腰三角形的两条边长分别是方程X2 - 7x÷10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A、12B、9C、13D、12 或 96、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地ABCD ±修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为78cm',那么通道宽应设计成多少m?设通道宽为xm,则由题意列得方程为（）B、(30 - 2x) (20 - 2x) =78C、(30∙2x) (20 ・ x) =6X78D、(30∙2x) (20 ・ 2x)二6X787、如图，∆ABC为OO的内接三角形，ZAOB=IOO o ,则ZACB的度数为(C、150°D、160°8、如图，在OO中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A、 AB丄CDB、ZAOB=4 ZACDC、AD= BDD、 Po二PD9、已知抛物线y二∙x'+2x∙3,下列判断正确的是（）A、开口方向向上，y有最小值是・2B、抛物线与X轴有两个交点C、顶点坐标是（■ 1, -2）D、当x<l时，y随X增大而增大10、有下列四个命题中，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②等弦所对的弧相等；③圆心角相等所对的弦相等；④半径相等的两个半圆是等弧.A、4个B、3个C、2个D、1个11、将抛物线y二3x：向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A、y=3 （x+2）2+3B、y二3 （X ・ 2）2+3C、y二3 （x+2）2- 3D、y二3 （x・2）2- 312、下列说法正确的是（）A、弦是直径B、平分弦的直径垂直弦C、长度相等的两条弧是等弧D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个13、已知抛物线y=a X=+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2,・3）,那么该抛物线有（）A、最小值・3B、最大值・3C、最小值2D、最大值2二、填空题14、钟表的时针匀速旋转一周需要12小时，经过2小时，时针旋转了 _______ 度.15、___________________________________________ 一元二次方程x'・4x+6二O实数根的悄况是_____________________________ .16、如图，在RtΔABC 中，ZBAC二90° , ZB二60° , ΔAB, C,可以由 AABC 绕点A顺时针旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点）, 连接CC',则ZCC' B'的度数是____________ .17、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、18、已知二次函数y=aX=+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论，Φabc<0;②2a+b=0:③b'∙4dc<0;④d+b+c>O;⑤a - b+c<O.其中正确的结论有20、某商店四月份的利润为6. 3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的白分比下降，至六月份利润为5. 4万元.设下降的白分比为X,由题意列出方程21、__________________________________________________________ 已知In 是关于X的方程X2 - 2X- 3=0的一个根，则2m: - 4m= _______________ •22、下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有_______ (填序号)23、如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF. HMNo均为矩形，EF二b,NH=c,则b与C之间的大小关系是b ________ C (填＜、二、＞)三.解下列方程24、解下列方程(1)X2÷6X - 1=0(2)(2x+3) 2 - 25=0.四、解答题25、在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将AABO绕点0按顺时针方向旋转90° ,得ZU' B Z 0.(1)画岀旋转后的图形；(2)写出点A' , B,的坐标.26、如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm, 水的最大深度为2c∏b求该输水管的半径是多少？27、如图，在RtΔABC中，ZACB二90, AD平分ZBAC,过A, C, D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.(2)若AC=6, CB=8,求Z∖ACD的外接圆的直径.28、如图，已知抛物线与X交于A ( - 1, 0)、E (3, 0)两点，与y轴交于点B(1)求抛物线的解析式：(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.29、某体育用品丿占购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为X(X$60)元，销售量为y套.(1)求出y与X的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？答案解析部分—、＜b ＞选择题〈/b＞1、【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：①当沪O时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程；②X2+ ≥=6 是分式方程；③x'=()是一元二次方程；④x=3x'是一元二次方程⑤(x÷l) (x・1) =X Mx,整理后不含X的二次项，不是一元二次方程.故选：B.【分析】依据一元二次方程的定义求解即可.2、【答案】A【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形.故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.故选：A.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可.3、【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解：△二4 - 4 (a - 1)二8 ・ 4a>0得：a<2.又a・l≠0Λa<2 且 &H1.故选C.【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出&的取值范围. 4、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：因为点(2, 5)、(4, 5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴X=故选D.【分析】由已知，点(2, 5)、(4, 5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点, 所以只需求两对称点横坐标的平均数.5、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：X2- 7x÷10=0,(X ・ 2) (x ・ 5) =0,X ・ 2=0, X ・ 5=0,Xι~2, x：=o >①等腰三角形的三边是2, 2, 5V2+2<5,・・・不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2, 5, 5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5二12；即等腰三角形的周长是12.故选：A.【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可.6、【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设道路的宽为xm,由题意得：(30 ・ 2x) (20 ・ x)二6X78,故选C.【分析】设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为(30∙2x) m, 宽为(20・x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30・2x) (20・x)二6X78. 7、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在优弧AB上取点D,连接AD, BD,V ZAOB=IOO O ,Λ ZD= 4 ZAOB=50° ,・•・ZACB=I80° ・ ZD二130° .【分析】首先在优弧AB上取点D,连接AD, BD,然后由圆周角定理，求得ZD 的度数，乂山圆的内接四边形的性质，求得ZACB的度数.8、【答案】D【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：TP是弦AB的中点，CD是过点P的直径，・・・AB丄CD,兄沪云方，ZiAOB是等腰三角形，・•・ ZAoB二 2 ZAOP,Y ZAOP二 2 ZACD,・•・ ZAoB二 2 ZAOP二2 × 2 ZACD二4 ZACD.故选D.【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答.9、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：y- ■ x'+2x - 3= - (X-I) ^ - 2,a二・1,抛物线开口向下，对称轴为直线X二1,顶点坐标为(1, -2) , △二4・12二・8<0,抛物线与X轴没有交点，当x<l时，y随X的增大而增大. 故选：D. 【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可.10、【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：①圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故本选项错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；④半径相等的两个半圆是等弧，故本选项正确；其中正确的有1个；故选D.【分析】根据轴对称图形的概念和弧、弦和圆心角之间的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案.11、【答案】A【考点】二次函数图象与儿何变换【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y二3x'向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3:IJI “左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3 (x+2) 2+3.故选A.【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.12、【答案】D【考点】垂径定理【解析】【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；C、能重合的两个弧是等弧，选项错误；D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确.故选D.【分析】根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义即可作出判断.13、【答案】B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,所以该抛物线有最大值・3.故选B.【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,可直接做出判断.二、＜b ＞填空题＜∕b＞14、【答案】60【考点】生活中的旋转现象【解析】【解答】解：Y钟表上的时针匀速旋转一周的度数为360。

2013～2014学年度第一学期期中考试高三数学试题（数学Ⅰ）(考试时间：120分钟 总分160分)命题人： 金骏 黄萍 审题人： 孟太注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1．集合{}2,1=A ，{}3,2=B ，则=⋃B A ▲ ．2．“∃2,20x R x ∈+>”的否定是 ▲ ．3．函数21)(xx f =的定义域为▲ ．4．函数x x f 2)(=的值域为 ▲ ． 5．=+5lg 2lg ▲ ． 6．已知31cos ),2,0(=∈απα，则=αsin ▲ ． 7．数列{}n a 满足n n a a 21=+，若11=a ，则=4a ▲ ．8．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若2,0,111==-=+-m m m S S S ，则=m ▲ ．9．设)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0<x 时,xe x xf +=)( (e 为自然对数的底数),则()ln6f 的值为 ▲ ．10．已知全集R U =集合{}062<--=x x x A ，{}0822>-+=x x x B ，{}03422<+-=a ax x x C ，若C B A C U ⊆⋃)(，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知方程01222=+--n x m x （其中0,0>>n m ）有两个相等的实根，则nm 11+的最小值为 ▲ ． 12．已知函数⎩⎨⎧≤+->+=0,20),1(log )(22x x x x x x f ，若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是 ▲ ．13．设)(n u 表示正整数n 的个位数，例如3)23(=u ，)()(2n u n u a n -=，则数列{}n a 的前2012项和等于 ▲ ．14．如图，,,A B C 是直线上三点，P 是直线外一点，1==BC AB ，︒=∠90APB ，︒=∠30BPC ，则PA PC ⋅二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 设已知(2cos sin)22a αβαβ+-=，，(cos3sin)22b αβαβ+-=，，其中(0,)αβπ∈、．(Ⅰ)若32πβα=+，且2a b =，求βα、的值； (Ⅱ)若52a b ⋅=，求βαtan tan 的值．16．（本题满分14分）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≤40x y x y 表示的平面区域为A ．(Ⅰ)画出平面区域A ，并求面积；(Ⅱ)点),(y x 在平面区域内，求y x z +=2的取值范围； (Ⅲ)一次函数b x y +=21的图像平分区域A 的面积，求b ．17．（本题满分14分）已知等差数列}{n a 中，851115,19a a a =-=． (Ⅰ)求数列}{n a 的前n 项和n S 的最小值； (Ⅱ)求数列|}{|n a 的前n 项和n T ．18．（本题满分16分）已知函数)()(23R a ax x x f ∈-=. (Ⅰ)若3)1('=f ，(i)求曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程， (ii)求)(x f 在区间]2,0[上的最大值；(Ⅱ)若当]2,0[∈x 时，0)(≥+x x f 恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本题满分16分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求A ∠和C ∠互补，且AB=BC ． (Ⅰ)设AB=x 米，cosA=()f x ,求()f x 的解析式，并指出x 的取值范围； 求四边形ABCD 面积的最大值．20．(本题满分16分)设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，面积为)(n f ，已知3,5,4111===c b a ，*)(2,2,111N n b a c c a b a a nn n n n n n n ∈+=+==+++. (Ⅰ)求数列{}n n c b -的通项公式；(Ⅱ)求证：无论n 取何正整数，n n c b +恒为定值； (Ⅲ)判断函数*))((N n n f ∈的单调性，并加以说明.2013～2014学年度第一学期期中考试高三数学试题（数学Ⅱ） (考试时间：30分钟 总分40分)命题人： 金骏 黄萍 审题人： 孟太注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．21．(本题分A 、B 两题，每题10分)A ．已知二次函数)(x f 有两个零点1,2，且在y 轴上的截距为3. (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)求函数)(x f y =在区间[0,3]上的值域.B ．在等比数列}{n a 中.(Ⅰ)已知96,361==a a ，求5S ；(Ⅱ)已知121,81,11===n n S a a ，求q .22．(本题10分)设平面向量)23,21(),1,3(=-=,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈，使向量θθtan ,)3(tan2⋅+-=-+=m ,且⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式; (Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值.23．(本题10分) 已知1ln ()xf x x+=. (Ⅰ)若函数()f x 在区间(,1)a a +上有极值，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若关于x 的方程2()2f x x x k =-+有实数解，求实数k 的取值范围； (Ⅲ)当*n N ∈，2n ≥时，求证：111()2231nf n n <+++⋅⋅⋅+-.2013～2014学年度第一学期期中考试高三数学参考答案一、填空题：1.{}3,2,12.02,2≤+∈∀x R x3.),0[+∞4. ),0(+∞5. 16.322 7. 88.3 9. 616ln - 10.)34,2(-- 11.223+ 12 .]0,2[- 13.2 14.74-二、解答题15.解：(Ⅰ)∵2a b =，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+2sin 62sin 2cos 22cos 2βαβαβαβα，----------------2分∴02sin=-βα，∴πβαk =-2，----------------------4分 而(0,)αβπ∈、，∴)2,2(2ππβα-∈-，∴02=-βα，即βα=，------6分又32πβα=+，所以，3πβα==---------------------------7分 (Ⅱ)2)cos(132)cos(122sin 32cos222βαβαβαβα--⨯+++⨯=-++=⋅252)cos(3)cos(25=--++=βαβα----------------------10分 ∴0)cos(3)cos(2=--+βαβα，即0sin sin 5cos cos =--βαβα ∴51tan tan -=βα-------------------------14分16.解：(Ⅰ)不等式x y ≤表示直线x y =及直线下方的平面区域；不等式0≥y 表示直线0=y 及直线上方的平面区域；不等式4≤x 表示直线4=x 及直线左侧的平面区域。

江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．若2x =是方程20x x c -+=的一个根，则c 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数2.3 2.3 2.83.1方差 1.050.78 1.050.78A ．甲种类B ．乙种类C ．丙种类D ．丁种类3．三角形三条中线的交点叫做三角形的A ．内心B ．外心C ．中心D ．重心4．如图，AB 是O 的直径，若36BAC ∠=︒，则ADC ∠的度数为（）A ．36︒B ．45︒C ．54︒D ．72︒5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 延长线上一点，AD DE =，点F 为BC 的中点，连接EF 交DC 于点P ，则:CP DP 等于（）A ．1:4B ．1:2C ．2:3D ．4:96．正方形ABCD 的边长为8,E 是CD 的中点，AE BC 、的延长线相交于点F ，点G 为正方形ABCD 一边上一点，且GA GE =，则GA 的长为（）A ．1B ．5C ．1或5D ．5二、填空题7．已知O 的半径为10cm ，8cm OP =，则点P 在O 的．（填“上面”“内部”或“外部”）8．在比例尺为1:1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是千米．9．已知12,x x 是方程230x x m -+=的两个根，则12x x +=．10．“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．11．如图，123l l l ∥∥，342DE EF AB ===，，，则BC 的长为．12．一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为．13．如图，ACD 的三个顶点均在13⨯网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与ACD 有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是．14．某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA ，PB 分别与 AMB所在圆相切于点A ，B ．若该圆半径是9cm ，40P ∠=︒，则 AMB 的长是．15．已知24,820m n mn p p +=-+≥，则mnp 的值为．16．泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．O 为城墙，城区为正方形ABCD ，其内接于O ，四门大桥区为正方形EFGH 、正方形IJKL 、正方形MNOP 、正方形QRST ，点E H J K N O R S 、、、、、、、在O 上，F G I L M P Q T 、、、、、、、在正方形ABCD 边上．若正方形ABCD 边长为a ，则正方形EFGH 的边长为．（用含a 的代数式表示）三、解答题17．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：()2(31)231x x -=-．解：方程两边同除以()31x -，得312x -=．…第一步移项，合并同类项，得33x =．…第二步系数化为1，得1x =．…第三步任务：(1)小明的解法从第_________步开始出现错误；(2)此题的正确结果是__________________．(3)解方程：()3224x x x +=+．18．某校一年级开设人数相同的A ，B ，C 三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．(1)“学生甲分到A 班”的概率是______；(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．19．已知关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m 的值．20．如图，在ABC V 中，,AB AC D =是BC 的中点，点E 在BA 的延长线上，点F 在边AC 上，EDF B ∠=∠．(1)求证：BDE CFD △∽△；(2)若12,2BE CF ==，求BC 的长．21．为了解某种植物苗的长势，随机抽取了部分植物苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图．如图，若该种植物苗株高的中位数低于12cm ，则需要对育苗方法适当调整．(1)扇形统计图中m =________，共抽取了________株植物苗；(2)直接写出抽取的植物苗株高的中位数，并判断是否需要对育苗方法进行调整；(3)若再随机抽取株植物苗，对其株高进行测量，并与前面抽取的植物苗株高合在一起，发现中位数变大，n 的最小值为________．22．苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题：“在一块长是32m 、宽是24m 的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？”课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）．请你计算出上述方案中绿地的宽．23．如图，在ABC V 中，6,10AB AC ==，点D 是AB 的中点．请用无刻度直尺和圆规在AC 边上作出点E ，使ADE ACB ∽，并求AE 的长．24．如图①，BC 是O 的直径，点A 是O 上一动点，AD BC ⊥，垂足为D ，A 上有一点E ，且AE BE =．延长BE 交AC 于点F ，交O 于点G ．(1)作图：请用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．在图①的AD 上作出点E （直尺与圆规限用一次．．．．．．．．．）；(2)如图②，若,AG BC O ∥的半径为6，求阴影部分的面积．25．在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片（其中a b <），进行拼图操作．【探究一】甲同学将一张边长为8的正方形纸片按3,5a b ==的尺寸剪成4块，按图2所示重新拼合．这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5的矩形吗？甲同学经过操作和思考后，用反证法证实了图2不是矩形，他的理由如下：如图3，过点D 作DF AC ⊥，垂足为F ，假设图2是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中，有90αγ∠+∠=︒，因为90βγ∠+∠=︒，这样αβ∠=∠．又因为ACB DFE ∠=∠，所以________①，可得________②，即2538=，这是不可能的，因而图2不是矩形．事实上，若按照甲同学的方案拼成的一个矩形的话，这个矩形内部是有空隙的．在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是________；②处的比例式是________．【探究二】如图4，乙同学也将一张边长为8的正方形纸片用相同的方法，按一定的尺寸剪成4块进行操作．如图5，在拼图时让点,,A E D 在一条直线上，点,,B F C 也在一条直线上，这样拼成了一个矩形ABCD ，他发现这个矩形内部重叠的纸片的面积为1．根据乙同学的操作，求剪开的三角形纸片的短边a 的长．【探究三】丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成的4块小纸片，用这4块小纸片帢能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠．在丙同学的操作中，求a b的值．26．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”．(1)如图①，矩形ABCD 是O 的内接四边形，AB 与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）；(2)如图②，AB CD 、是O 的一组“勾股弦”，,OE AB OF CD ⊥⊥，求证：AOE OCF ≌；(3)已知AB CD 、是O 的一组“勾股弦”，且AB CD ∥，若6,AB AB CD =、之间距离为7，求O 的半径；(4)如图③，已知AB CD 、是O 的一组“勾股弦”，N Q 、分别为AB CD 、的中点，连接ON 并延长交O 于点M ，连接OQ 并延长交O 于点P ，且2PQ MN =，求AB CD的值．。

茨院中学2013年秋季学期九年级数学中期检测试卷（考试时间120分钟.总分100分 ）一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分）1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．平行四边形 D ．圆2．若两圆的半径分别是2cm 和3cm ，圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外离D ．外切 3．方程x 2-4x- m 2=0根的情况是（ ）A.一定有两不等实数根B. 一定有两实数根 C 一定有两相等实数根 D. 一定无实数根4．已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（ ） A ．12π B ．15π C ．24π D ．30π5．如图，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（ ） A ． 28° B ． 42° C ． 56° D ． 84°第5题 第6题 7题 6．（2013•昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ． 100×80﹣100x ﹣80x=7644B ． （100﹣x ）（80﹣x ）+x 2=7644 C ． （100﹣x ）（80﹣x ）=7644 D ． 100x+80x=3567. 如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠CDB=25°，则∠AOC 的度数为（ ）A 、25°B 、30°C 、40°D 、50°学校： 班级： 姓名： 考场： 考号： 线题 答密 封 线8、如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）米2A ．（10π） B ．（）C ． （6π）D ． （6）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．边长是2的正六边形的边心距是______10.一元二次方程x 2-3x -1=0的两根的倒数和为_______ 11. 函数y=13-x 中自变量x 的取值范围是__________．12、已知扇形的面积为12π，半径是6，则它的圆心角是 度．13、已知关于x 的方程22x mx 6=0--的一个根是2，则m= ，另一根为 。

四川省三台县2013-2014学年第一学期期中学情调研九年级数学试卷（满分100分，考试时间90分钟）一、 选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1. 一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2 2.下列图形中，中心对称图形有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3.关于x 的方程x 2+2kx-1=0的根的情况描述正确的是A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．k 取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能4.关于x 的方程ax 2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x 1、x 2 ，且有x 1- x 1·x 2 + x 2 =1-a ，则a 的值是A.1B.-1C.1或-1D.2 5. 下列计算正确的是A ．228=-B ．1)52)(52(＝+- C ．14931227=-=-D ．23226=- 6. 如图，⊙O 、⊙O 相内切于点A ，其半径分别是8和4，将⊙O 在直线OO 平移至两圆相外切时，则点O 移动的长度是A.4B.8C.16D.8或167.如图，若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是A. M 或O 或NB. E 或O 或CC. E 或O 或ND. M 或O 或C8.如图，直线l 1//l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若∠ABC ＝54°，则∠1的大小为A.36°B.54°C.72°D.73°9.如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内弧OB 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径为密 封 线 内 不 要 答 题学校 班级 姓名 考号x y CAO BA.6B.5C.3D.3210.如图，将半径为8的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为A.215B.415C.8D.10二、填空题（本大题共8个小题,每小题2分,共16分） 11. 使代数式21x x -有意义的x 的取值范围是 。

泰州市姜堰区2013～2014学年度第一学期九年级数学期末调研试题（考试时间：120分钟 总分：150分）请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分.2.所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效.3.作图必须用2B 铅笔，并请加黑加粗.第一部分 选择题（共18分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填图在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. x 的取值范围是A. x ＞2B. x ＜2C. x ≥2D. x ≤22. 在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的 A. 集中程度 B.分布规律 C. 离散程度D. 数值大小3. 方程x 2=2 x 的解是A. x =2B. x 1=2-，x 2=0C. x 1=2，x 2=0D. x =04.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线长为 A. 4cm B.6cm C. 8cm D.10cm5. 如图，已知AB 是圆O 的直径，∠BAC=32°，D 为弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是A. 25°B. 29°C. 30°D. 32° 6. 已知二次函数y =ax 2+b x +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列四个结论①a 、b 同号第4题图 第5题图 第6题图②当x=1和x =3时函数值相等 ③4 a +b=0④当y =2-时x 的值只能取0 其中正确的个数 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第二部分 非选择题（共132分）二、填空题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在答题卡相应位．．．．．．置上．．) 7. 若023=-+-b a ，则ab =__________8. 随机从甲、乙两块试验田各抽取100株麦苗测量高度（单位：cm ），计算平均数和方差的结果为x 甲=13，x 乙=13，2S 甲=3.6，2S 乙=15.8，则小麦长势比较整齐的试验田是 .9. 已知x =1是一元二次方程20x mx n -+=的一个根，则222m mn n -+的值为 . 10. 如图，⊙O 的直径AB=6，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且AP ∶BP=2∶1，则CD 长为 .11. 二次函数223y x x =--的图象如图所示，则y ＜0时自变量x 的取值范围是 . 12. 在学校组织的实践活动中，小明同学用纸板制作了一个如图所示的圆锥模型，它的底面积半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为 .（结果保留π）13.一种药品经过两次降价，药价从每盒100元调至每盒81元，则平均每次降价的百分率是____________________14. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O 的半径为1，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为 （结果保留π）15. 军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹的飞行高度y（米）和飞第10题图 第11题图 第12题图 第14题图行时间x （秒）的关系满足二次函数x x y 105012+-=，由此可知，炮弹能命中 米远的地面目标. 16. 在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，点P （a ，0）. ⊙P 的半径为2，将⊙P 向左平移，当⊙P 与⊙O 相切时， 则a 的值为 .三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本题满分12分）(1)计算：101()(3)3π--+--(2)已知，1x =，求223x x --的值.18. （本题满分8分） 先化简，再求值31213122++-⋅-+++x x x x x x x ，其中x =1-2.19. （本题满分8分）如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且AC=BD ，AB=CD. （1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）若∠AEB=70°，求∠EBC 的度数.20. （本题满分8分）如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2（铝合金条的宽度不计）. （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积.第16题图（1）求甲、乙两组一分钟投篮测试成绩的平均数和方差；（2）从统计学的角度看，你认为哪组同学的测试成绩较好？为什么？22. （本题满分10分）如图，在□ABCD 中，EF 垂直平分AC 交BC 于E ，交AD 于F. （1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AC ⊥CD ，AB=6，BC=10，求四边形AECF 的面积.23. （本题满分10分） 正常水位时，抛物线拱桥下的水面宽为BC=20m ，水面上升3m 达到该地警戒水位DE 时，桥下水面宽为10m. 若以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求桥孔抛物线的函数关系式；（2）如果水位以0.2m/h 的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没； （3）当达到警戒水位时，一艘装有防汛器材的船，露出水面部分的宽为4m ，高为0.75m ，通过计算说明该船能否顺利通过此拱桥？O F E DC B A如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥BC ，A 、B 两点的坐标分别为A （13，0），B （11，12），动点P ，Q 分别从O 、B 两点同时出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 同时停止运动.线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，设动点P 、Q 运动时间为t （单位：s ）（1）当t 为何值时，四边形PABQ 是平行四边形，请写出推理过程； （2）通过推理论证：在P 、Q 的运动过程中，线段DE 的长度不变；25. （本题满分12分）如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OC=4，∠OAC=60°. （1）求∠AOC 的度数； （2）在图（1）中，P 为直径BA的延长线上一点，且PAC S ∆=PC 为⊙O 的切线.（3）如图（2），一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动一周（点M 不与点C 重合），当CAO MAO S S ∆∆=时，求动点M 所经过的弧长.图（1）图（2）已知，关于x 的二次函数，2241y x x k =++-（k ．为正整数．．．．）. （1）若二次函数2241y x x k =++-的图象与x 轴有两个交点，求k 的值.（2）若关于x 的一元二次方程22410x x k =++-（k 为正整数）有两个不相等的整数解，点A （m ，y 1），B （m+1，y 2），C （m+2，y 3）都在二次函数2241y x x k =++-（k 为正整数）图象上，求使y 1≤y 2≤y 3成立的m 的取值范围.（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y =2x +b 交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y 轴上是否存在一点C ，使得△ABC 的内心在y 轴上.若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.。

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．B．x2﹣4＝4C．5x2+3x﹣2y＝0D．x﹣5＝02．（3分）如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是（ ）A．P点B．Q点C．M点D．N点3．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）A．B．C．D．4．（3分）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）A．x（x+12）＝864B．x（x﹣12）＝864C．x（x+6）＝864D．x（x﹣6）＝8645．（3分）如果一组数据2，3，4，5，x的方差大于另一组数据101，102，103，104，105的方差，那么x的值可能是（ ）A．3B．5C．6D．86．（3分）已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝3，x2＝6则关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是（ ）A．x1＝﹣3，x2＝﹣6B．x1＝﹣4，x2＝﹣7C．x1＝4，x2＝7D．x1＝3，x2＝6二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只.需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是 ．8．（3分）若a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两根，则ab＝ ．9．（3分）一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到 球的可能性最大．（填球的颜色）10．（3分）已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径6，则它的侧面积为 ．11．（3分）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为 ；12．（3分）某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按80%、面试成绩按20%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 分．13．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝ ；14．（3分）如图由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，∠2+∠3＝100°，则∠1＝ °．15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为OB上一点，E、C关于BD对称，∠ODE＝30°，则∠C＝ °．16．（3分）如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与A、C重合），连接DO 并延长交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若△CDG的周长记为C1，△ABC的周长记为C2，则的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）解方程：（1）x2﹣2x＝3；（2）（x+4）2＝5（x+4）．18．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．19．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀．（1）从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为 ；（2）从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红球的概率．20．（8分）2023年10月8日，随着第19届亚运会在杭州闭幕，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，创造历史！第19届亚运会奖牌榜（部分）名次国家地区金牌银牌铜牌总数1中国201111713832日本5267691883韩国4259891904印度2838411075乌兹别克斯坦221831716中国台北192028677伊朗132120548泰国121432589巴林12352010朝鲜11181039（1）表中十个国家或地区金牌的众数是 ；奖牌总数的极差是 ；（2）根据表中数据，要清楚地反映各国家和地区金牌的占比，适合的统计图是 ；A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图（3）结合表中数据，简要评价中国在本届亚运会的成绩．21．（10分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DF⊥AB于F．（1）只用圆规在射线AC作一点E，使DE是⊙O的切线（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连结BC、OD，若AC＝6，AB＝10，求DF的长．22．（10分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O 于点D．（1）求证：DI＝DB；（2）连结IO、BI，BD＝2，若IO⊥BI，求AI的长．24．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上异于B、C的一动点，以A为圆心，AD的长为半径作⊙A与AB、AC分别交于E、F．（1）若∠B＝50°，随着点D的运动，∠BDE+∠CDF的值是否为定值？若不是，请说明理由，若是，求出该定值；（2）从下列提供的条件中选择不超过两个条件，求∠FDC的度数，（供选择的条件：①DE∥AC，②⊙A与BC相切，③D为BC的中点）解：你的选择是： （填序号）25．（12分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“间根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“间根方程”．（1）方程x2﹣4x+3＝0是“间根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”．①若c＞0，判断方程cx2+bx+a﹣2＝0根的情况，并说明理由；②若a＝1，且c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，求b的值．26．（14分）【材料阅读】材料1：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，则这一点在该角的角平分线上．如图1，P为∠MON内一点，⊙P在射线OM、ON截得弦AB、CD，AB＝CD，则P在∠MON角平分线OQ上．材料2：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”．认真研读以上材料，完成以下问题：【问题1】对于“等弦圆”下列描述正确得有 （填序号）；①每个三角形都有“等弦圆”；②一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心；③每个三角形都只有一个“等弦圆”；④若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，那么这个三角形一定是等边三角形．【问题2】如图2，⊙O是△ABC经过B、C两点的“等弦圆”，交边AB、AC于D、E．求证：AD＝AE；【问题3】已知等腰直角三角形腰为2，则“等弦圆”半径的取值范围为 ；【问题4】如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC经过C点的“等弦圆”，交边AC于E，交边BC于D，交边AB于F、G（G在F的右边）．（1）连结FC、GC，则∠FCG＝ °；（2）若AF⋅BG＝5，求弦FG与弧FG围成阴影部分的面积．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．【解答】解：A、是分式方程，不符合题意；B、x2﹣4＝4是一元二次方程，符合题意；C、5x2+3x﹣2y＝0是二元二次方程，不符合题意；D、x﹣5＝0是一元一次方程，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．2．【分析】根据图中的点在圆的分布位置，即可作答．【解答】解：A、因为点P在圆上，所以点P到圆心O距离即为半径，为5，故该选项是错误的；B、因为点Q在圆内，所以点Q到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；C、因为点M在圆内，所以点M到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；D、因为点N在圆外，所以点N到圆心O距离大于半径5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是点N，故该选项是正确的；故选：D．【点评】本题考查了点与圆心的位置关系，难度较小．3．【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在黑砖上的概率是．故选：C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．4．【分析】根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为（x+12）步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵宽比长少一十二步，且阔（宽）为x步，∴长为（x+12）步，又∵直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），∴根据题意可列出方程x（x+12）＝864．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．【分析】观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．【解答】解：数据101，102，103，104，105中，相邻两个数相差为1，一组数据2，3，4，5，x前4个数据也是相差1，若x＝1或x＝6时，两组数据方差相等，而数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据101，102，103，104，105的方差大，则x的值可能是8；故选：D．【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的定义是解题的关键．6．【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系求出二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，进而根据二次函数图象的平移特征，求出二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，即可求出m（x﹣h﹣1）2＝k的解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0的解是x1＝3，x2＝6，∴二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3，0），（6，0），∵将二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象向右移动1个单位长度，新图象的函数解析式为：y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k，∴二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3+1，0），（6+1，0），即（4，0），（7，0），∴关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2﹣k＝0的解为x1＝4，x2＝7，即关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是x1＝4，x2＝7．故选：C．【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的平移，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只.需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2＝16，开方得：x＝±4，解得：x1＝﹣4，x2＝4．故答案为：x1＝﹣4，x2＝4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．8．【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，进行解答即可．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两根，∴ab＝﹣2023，故答案为：﹣2023．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．9．【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．【解答】解：∵红球数量最多，∴摸到红球的可能性最大，故答案为：红．【点评】考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．10．【分析】根据圆锥的侧面积公式S＝πrl，进行计算即可熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．【解答】解：依题意知母线长l＝4，底面半径r＝6，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×6×4＝24π，故答案为：24π．【点评】此题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式．11．【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值．【解答】解：x2+6x+3＝0，x2+6x＝﹣3，x2+6x+9＝6，（x+3）2＝6，所以m＝3，n＝6，所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．﹣12．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【解答】解：∵笔试成绩按80%、面试成绩按20%，∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），故答案为：81．【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．13．【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式．14．【分析】利用正多边形求出每一个内角，然后通过角度和差即可求解．【解答】解：如图所示，正方形的每个内角为：90°，正五边形的每个内角为：108°，正六边形的每个内角为：120°，根据图形可知：∠2+90°+∠BAC＝180°①，∠3+90°+∠BCA＝180°②，∠1+∠ABC+120°+108°＝360°③，①+②+③得：∠2+90°+∠BAC+∠3+90°+∠BCA+∠1+∠ABC+120°+108°＝720°，∵∠2+∠3＝100°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠1＝32°，故答案为：32°．【点评】此题考查了正多边形的内角及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握正多边形及其应用．15．【分析】连接OC，设∠EDB＝x，利用圆周角定理及三角形内角和定理可求得∠BOD＝100°，进而可得∠A＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．【解答】解：连接OC，如图：设∠EDB＝x，则∠ODB＝30°+x，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°+x，∵E、C关于BD对称，∴∠CDB＝∠EDB＝x，∠EBD＝∠CBD＝30°+x，∴∠BOC＝2∠BCD＝2x，∠DOC＝2∠DBC＝60°+2x，∴∠BOD+∠ODB+∠OBD＝180°，即：2x+60°+2x+30°+x+30°+x＝180°，解得：x＝10°，∴∠BOD＝60°+4×10°＝100°，∴，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝130°，故答案为：130．【点评】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，由折叠性质可知：AD＝FD，则∠CAF＝∠HFA，从而有，通过弧度和差可得，所以∠HFC＝∠BCF，再由周长即可求解．【解答】解：如图，连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，由折叠性质可知：AD＝FD，∴∠CAF＝∠HFA，∵∠CAH＝∠HFC，∴∠CAH+∠CAF＝∠HFC+∠HFA，即∠HAF＝∠CFA，∴，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∴，∴，AC＝FH，∴，∴∠HFC＝∠BCF，∴CG＝GF，设AC＝a，∴△CDG的周长C1＝CD+DG+CG＝CD+DG+GF＝CD+AD＝AC＝a，△ABC的周长C2＝AC+BC+AB＝3a，∴，故答案为：．【点评】此题考查了折叠的性质，圆周角定理，等边三角形的性质，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先整理成一般式，再利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝3，∴x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）∵（x+4）2＝5（x+4），∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，即（x+4）（x﹣1）＝0，∴x﹣1＝0或x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝x+1，接着利用因式分解法解一元二次方程，然后根据分式有意义的条件确定x＝4，最后把x＝4代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝x+1，解方程x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1∵x﹣1≠0且x+1≠0，∴x＝﹣4，当x＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了因式分解法解一元二次方程．19．【分析】（1）由共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵袋中共有3个球，∴共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，∴，故答案为：；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果，所有的结果中，满足“至少有一次是红球”的结果有8种，∴．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A 或B的概率．20．【分析】（1）利用众数和极差概念即可求解；（2）根据反映各国家和地区金牌的占比适合统计图是扇形统计图；（3）评价中国在本届亚运会的成绩合理即可．【解答】解：（1）由201，52，42，28，22，19，13，12，12，11中，12出现了2次，最多，则众数为12；由383，188，190，107，71，67，54，58，20，39中，最大的为383，最小的为20，则极差为383﹣20＝363，故答案为：12，363；（2）根据反映各国家和地区金牌的占比适合统计图是扇形统计图，故选：C；（3）中国代表团在本届亚运会上的成绩十分优异，均位居首位，尤其是本届中金牌数和奖牌数都创造了亚运会的历史最高纪录．【点评】此题考查了统计图的选择、加权平均数、众数以及极差等知识点，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）如图1，连接OD，BC，AD，由点D是的中点，则＝，∠BAD＝∠CAD，AD为∠BAC的平分线，由垂径定理可得，OD⊥BC，由直径所对的圆周角为直角可得，∠ACB＝90°，则OD∥AC，由DE是⊙O的切线，可知DE⊥OD，则DE⊥AE，由角平分线的性质定理可得，DE＝DF，以D为圆心DF长为半径画弧，交AC于点E，点E即为所求；（2）如图2，连接BD，由（1）知，∠ACB＝90°，OD⊥BC，，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．【解答】解：（1）如图1，点E即为所求；（2）由题意知，OB＝OD＝5，如图2，连接BD，BC，OD，OD与BC交于点M，由（1）知，∠ACB＝90°，OD⊥BC，，由勾股定理得，，∴，∵，∴，解得：DF＝4，∴DF＝4．【点评】本题考查了切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，直径所对的圆周角为直角，角平分线的性质定理，勾股定理等知识．有中点，连圆心，运用垂径定理解决问题是解题的关键．22．【分析】（1）设小路的宽度为x m，根据总面积为480m2，列方程求解即可；（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程200（1﹣y）2＝128，解方程即可求解．【解答】解：（1）设小路的宽度为x m，根据题意得：（20+2x）（16+2x）＝480，整理得：x2+18x﹣40＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣20（舍去），答：小路的宽度为2m；（2）设每次降价的百分率为y，根据题意，得：200（1﹣y）2＝128，解得：y1＝0.2，y2＝1.8（不合题意，舍去），0.2＝20%，答：每次降价的百分率为20%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．23．【分析】（1）由内心的定义可知I为角平分线的交点，根据直径所对的圆周角是直角，三角形内角和以及角平分线的定义得出∠AIB＝135°，计算得出∠BID＝45°，即可证明；（2）过点O作OE⊥AD，交AD于点E，证明△BAD∽△OAE，△OIE是等腰直角三角形，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴AI、BI分别平分∠CAB和∠CBA，∵AB为直径，∴∠C＝90°，∠D＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∴，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAO+∠IBO）＝135°，∴∠BID＝180°﹣135°＝45°，∴∠IBD＝180°﹣90°﹣135°＝45°，∴DI＝DB；（2）解：如图，过点O作OE⊥AD，交AD于点E，∵OE⊥AD，IO⊥BI，∴∠AEO＝90°，∠OIB＝90°，∵∠AEO＝∠D＝90°，∠BAD＝∠OAE，∴△BAD∽△OAE，∴，∵∠BID＝45°，∠OIB＝90°，∴∠OIE＝180°﹣∠BID﹣∠OIB＝45°，∵OE⊥AD，∴∠OEI＝90°，∴∠IOE＝180°﹣∠OEI﹣∠OIE＝45°，∴OE＝EI，∵，∴，∵BD＝2，∴OE＝1，DI＝BD＝2，∴EI＝1，DE＝EI+DI＝3，∵，∴AD＝2AE即AE+3＝2AE，∴AE＝3，∴AI＝AE+EI＝3+1＝4．【点评】本题考查圆的综合问题，以及相似三角形的判定与性质，内心是三角形内接圆的圆心，是三角形角平分线的交点；直径所对的圆周角是直角，这是隐含的直角条件．24．【分析】（1）在⊙A上取任意一点G，连接EG，FG，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得∠G＝40°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得可得∠EDA+∠FDA＝100°+∠BDE+∠CDF，再根据圆内接四边形的性质即可求解．（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∠AED＝∠ADE＝∠ADF＝∠AFD，再根据平行线的性质可得∠EDA＝∠DAF，进而可得∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，进而可求解．【解答】解：（1）∠BDE+∠CDF＝40°，理由：在⊙A上取任意一点G，连接EG，FG，如图：∴四边形EDFG是圆内接四边形，∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝80°，∴，∴∠EDF＝180°﹣∠G＝140°，∵∠AED、∠AFD分别是△BED、△FCD的一个外角，∴∠AED＝∠B+∠BDE＝50°+∠BDE，∠AFD＝∠C+∠CDF＝50°+∠CDF，∵AE＝AD＝AF，∴∠EDA＝∠AED＝50°+∠BDE，∠FDA＝∠AFD＝50°+∠CDF，∴∠EDF＝∠EDA+∠FDA＝100°+∠BDE+∠CDF＝140°，∴∠BDE+∠CDF＝40°，为定值．（2）选择①DE∥AC，③D为BC的中点为条件，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵AE＝AD＝AF，∴，，∴∠AED＝∠ADE＝∠ADF＝∠AFD，∴，∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣60°＝30°，故答案为：①③．【点评】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关的性质，借助适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解法和根的判别式．（1）求出方程x2﹣4x+3＝0的根即可判断；（2）①由方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”可得b2﹣4ac＝4a2，然后结合根的判别式判断即可；②c是“间根方程”方程ax2+bx+c＝0的一个根，可得c＝0或c＝﹣b﹣1，结合可得b2﹣4c＝4，然后分2种情况计算即可．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3．∵3﹣1＝2，∴方程x2﹣4x+3＝0是“间根方程”；（2）①∵ax2+bx+c＝0，∴．∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”，∴，∴b2﹣4ac＝4a2．∵cx2+bx+a﹣2＝0，∴Δ＝b2﹣4c（a﹣2）＝b2﹣4ac+8c＝4a2+8c，∵c＞0，∴方程cx2+bx+a﹣2＝0有两个不相等的实数根；②∵a＝1，∴ax2+bx+c＝0变为x2+bx+c＝0，∴．∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0是“间根方程”，∴，∴b2﹣4c＝4．∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴c2+bc+c＝0，∴c（c+b+1）＝0，∴c＝0或c＝﹣b﹣1，当c＝0时，b2﹣4×0＝4，b＝±2，当c＝﹣b﹣1时，b2﹣4×（﹣b﹣1）＝4，b＝0或b＝4，综上所述：b＝0，b＝±2，b＝4．【点评】本题考查了新定义的理解，一元二次方程根的判别式及公式法求解一元二次方程．26．【分析】[问题1]根据材料1和材料2逐项分析判断即可求解；[问题2]连接OD，OE，OB，OC，证明△AOB≌△AOC得出AB＝AC，即可得证；[问题3]过点A作AD⊥BC于点D，则，过点O作OE⊥AC，则△AOE是等腰直角三角形，分别求得AO，OE，即可求解；[问题4]（1）连接OC，OD，OF，OG，得出△OCD是等腰直角三角形，进而可得∠FOG ＝∠COD＝90°，根据圆周角定理即可求解；（2）根据问题2可得，AE＝AF，BG＝BD，设AE＝AF＝x，BG＝BD＝y，EC＝CD＝FG＝a，勾股定理得出a2＝2xy，又AF⋅BG＝5，即xy＝5，得出，则半径为，进而根据S阴影部分＝S扇形OFG﹣S△OFG，即可求解．【解答】解：[问题1]根据材料1材料2，可得一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，①每个三角形都有“等弦圆”，故①正确，符合题意；②一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，故②正确，符合题意；③每个三角形有无数多个“等弦圆”，故③错误，不符合题意；④若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，则三条弦相等，那么这个三角形一定是等边三角形，故④正确，符合题意，[问题2]证明：如图所示，连接OD，OE，OB，OC，∵⊙O是△ABC经过B、C两点的“等弦圆”，∴DB＝BC＝CE，∴弧DB＝弧BC＝弧CE，∴∠DOB＝∠EOC，又∵OD＝OB＝OE＝OC，∴∠OBA＝∠OCA，根据材料1，可得AO是∠BAC的角平分线，∴∠OAB＝∠OAC，又AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（AAS），∴AB＝AC，∴AB﹣BD＝AC﹣CE，即AD＝AE；[问题3]解：如图所示，等腰直角三角形腰为2，即AB＝AC＝2，∴，过点A作AD⊥BC于点D，则，过点O作OE⊥AC，则△AOE是等腰直角三角形，设OE＝x，则OD＝OE＝x，，又∵，∴，解得：，则，∵⊙O是△ABC的“等弦圆”，当⊙O经过点直角顶点，点A时，此时半径为，当⊙O与AC相切时，半径为，∴“等弦圆”半径的取值范围为，故答案为：．[问题4]（1）如图所示，连接OC，OD，OF，OG，∵△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC经过C点的“等弦圆”，∴CD＝FG，，∵OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形，又∵CD＝FG，∴弧CD＝弧FG，∴∠FOG＝∠COD＝90°，∴，故答案为：45．（2）AE＝AF，BG＝BD，设AE＝AF＝x，BG＝BD＝y，EC＝CD＝FG＝a，∴AC2+BC2＝AB2，即（x+a）2+（y+a）2＝（x+y+a）2，整理得，a2＝2xy，又∵AF⋅BG＝5，即xy＝5，∴（负值舍去），即，∴，∴．【点评】本题考查了“等弦圆”的定义，圆周角定理，三角形的内心，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，理解新定义解题的关键．。

孺子学校2013—2014学年上学期期中考试试数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．下列根式中能与3合并的二次根式为（ ）A ．32B ．24C ．12D ．182．下列等式不成立的是（ ）A ．62366=gB ．824÷=C ．1333=D ．822-=3．关于x 的方程（a －5）x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5 4．下列说法中正确的是（ ）①圆心角是顶点在圆心的角 ②两个圆心角相等，它们所对的弦相等 ③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等 ④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 5．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）6、如图，正方形ABCD 四个顶点都在⊙O 上，点P 是在弧AB 上的一点，则∠CPD 的度数是（ ）A 、35°B 、40°C 、45°D 、60°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．已知关于x 的方程（m －1）x 2＋(m ＋1)x ＋3m ＋2＝0，当m 时，该方程为一元二次方程。

8．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式2226m m -+的值为 。

9．直线y ＝x+3上有一点P （3，2m ），则点P 关于原点的对称点P ＇为 。

座位号A B C DP10．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为。

11．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝23cm，则OA＝cm。

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝。

13．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝20°，则∠OCD＝。

某某省某某市姜堰区2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（每题3分，共18分）1．方程x2+x=0的根为( )A．x=﹣1 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣1 D．x1=0，x2=12．已知，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O的( )A．外部 B．内部 C．圆上 D．不能确定3．某班一次语文测验的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人，得90分的6人，得80分的2人，70分的16人，60分的5人，则该班这次语文测验的众数是( )A．70分B．80分C．16人D．10人4．已知2x﹣5y=0，则x：y的值为( )A．2：5 B．5：2 C．3：2 D．2：35．若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于( ) A．45° B．135°C．90°和270 D．45°和135°6．如图，G是△ABC的重心，其中△ABG、△ACG、△BCG的面积分别表示为S1、S2、S3，那么有( )A．S1=S2=S3B．S1＜S2＜S3C．S1=S2＜S3D．S1=S2＞S3二、填空题（每题3分，共30分）7．在数据1，2，4，4，3，3，9，3，6中，其中位数是__________．8．在比例尺为1：200000的地图上，小明家到单位的图上距离为20cm，则小明家到单位的实际距离为__________千米．9．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是__________．10．已知△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB=12cm，若△ABC∽△DEF，则DE=__________cm．11．如图，已知A、B、C是半径为2cm的⊙O上三点，且∠BAC=60°，则扇形OBC的面积为__________．（结果保留π）12．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少__________m处．（结果精确到0.1m）13．关于x的一元二次方程（m+3）x2+4x+m2﹣9=0有一个解为0，则m=__________．14．已知，圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长之比是__________．15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D．若⊙O的半径为2，△PCD的周长等于6，则OP=__________．16．点A、B、C是⊙O上三点，AC是⊙O的内接正六边形的一边，AB是⊙O的内接正十二边形的一边，BC是⊙O的内接正n边形的一边，则n=__________．三、解答题17．解方程：（1）x2﹣6x+9=0（2）x2﹣12x﹣28=0．18．化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．19．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）以坐标原点O为位似中心，按1：2的位似比画出△OAB缩小后的△OA2B2．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．21．某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加数学文化节比赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示：第一次第二次第三次第四次第五次平均分方差小孙75 90 75 90 70 70小周70 80 80 90 80 80（1）根据题中已知信息，求小孙的平均分和小周的方差；（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，为什么？22．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木竿PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木竿PQ的长度．23．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．24．如图，△ABC中，D、E分别为BC、AC上一点，AB=AD，BE=EC．（1）求证：△FDB∽△ABC；（2）若AF=DF，求证：DE⊥BC．25．已知：如图，⊙O过△ABC的B、C两点，分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：△AEF∽△ACB．（2）若AE=，AF=5，BC=4，AC=8，连结BF．①求证：BF为直径；②过E作EH⊥AC，垂足为H．求证：EH与⊙O相切．26．（14分）已知，平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C点坐标为（m，0）（0＜m＜8），D为线段BC上一点，以D为圆心，r为半径作⊙D．（1）如图1，若⊙D经过O、B两点，求证：点C在⊙D上；（2）如图2，若⊙D与OA、AB相切，且m=6，求r；（3）若r=1.5，且⊙D与△OAB的两边相切，求m的值．2015-2016学年某某省某某市姜堰区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共18分）1．方程x2+x=0的根为( )A．x=﹣1 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】把方程左边进行因式分解x（x+1）=0，方程就可化为两个一元一次方程x=0或x+1=0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：x2+x=0，∴x（x+1）=0，∴x=0或x+1=0，∴x1=0，x2=﹣1．故选C．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．2．已知，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O的( )A．外部 B．内部 C．圆上D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，∴点P在圆内．故选B．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．3．某班一次语文测验的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人，得90分的6人，得80分的2人，70分的16人，60分的5人，则该班这次语文测验的众数是( )A．70分B．80分C．16人D．10人【考点】众数．【专题】应用题．【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：在这一组数据中70分是出现次数最多的，故众数是70分．故选A．【点评】此题考查众数的意义．众数指一组数据中出现次数最多的数据．4．已知2x﹣5y=0，则x：y的值为( )A．2：5 B．5：2 C．3：2 D．2：3【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】直接根据内项之积等于外项之积求解．【解答】解：∵2x﹣5y=0，∴x：y=5：2．故选B．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．5．若圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则这条弦所对的圆周角等于( ) A．45° B．135°C．90°和270 D．45°和135°【考点】圆周角定理．【分析】圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135°．【解答】解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB=90°；①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=∠AOB=45°；②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB=180°﹣∠ADB=135°．故选D．【点评】本题主要利用了圆周角定理进行求解，注意圆周角的顶点位置有两种情况，不要漏解．6．如图，G是△ABC的重心，其中△ABG、△ACG、△BCG的面积分别表示为S1、S2、S3，那么有( )A．S1=S2=S3B．S1＜S2＜S3C．S1=S2＜S3D．S1=S2＞S3【考点】三角形的重心．【分析】延长AG交BC于点D，则D是BC中点，过点B作BE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，则易证△BDE≌△CDF，从而得出BE=CF，则△ABG与△ACG同底等高，面积相等，同理可证这三块面积两两相等，即三块面积相等．【解答】解：延长AG交BC于点D，则D是BC中点，过点B作BE⊥AG于E，过C作CF⊥AG 于F，如图，∵G是△ABC重心，∴AD是△ABC中线，∴BD=CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE=CF，∴=S2，同理可证：S2=S3，∴S1=S2=S3．【点评】本题主要考查重心的定义和性质．只要明白重心就是三条中线的交点，那么问题就变得简单．事实上，由共边定理是可以直接得结论的，或者说由小学奥数中燕尾定理也是可以直接得结论的．对于不知道这些内容的同学就按照这里所给出的证明方法理解．二、填空题（每题3分，共30分）7．在数据1，2，4，4，3，3，9，3，6中，其中位数是3．【考点】中位数．【分析】根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，第5个数为中位数．【解答】解：将这组数据从小到大重新排列后为1，2，3，3，3，4，4，6，9．最中间的那个数是，3，所以中位数是3．故答案为：3．【点评】本题考查中位数的意义：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．8．在比例尺为1：200000的地图上，小明家到单位的图上距离为20cm，则小明家到单位的实际距离为40千米．【考点】比例线段．【分析】首先设这两地的实际距离是xcm，然后根据比例尺的性质，即可得方程1：200000=20：x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．【解答】解：设这两地的实际距离是xcm，根据题意得：1：200000=20：x，解得：x=4000000，∵4000000cm=40k m，∴这两地的距离是40千米．故答案为：40．【点评】此题考查了比例尺的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的性质列方程，注意统一单位．9．直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是5．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．【解答】解：∵直角边长分别为6和8，∴斜边是10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．故答案为：5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．10．已知△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB=12cm，若△ABC∽△DEF，则DE=8cm．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，△ABC∽△DEF，可求得其面积比，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得其相似比，又由AB=12cm，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，∴△ABC与△DEF的面积比为：81：36=9：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：2，∴AB：DE=3：2，∵AB=12cm，∴DE=8cm．故答案为：8．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．11．如图，已知A、B、C是半径为2cm的⊙O上三点，且∠BAC=60°，则扇形OBC的面积为cm2．（结果保留π）【考点】扇形面积的计算．【分析】根据圆周角定理求出∠BOC的度数，根据扇形的面积公式S=计算即可．【解答】解：∠BOC=2∠BAC=120°，扇形OBC的面积==cm2．故答案为：cm2．【点评】本题考查的是扇形的面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．12．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少m处．（结果精确到0.1m）【考点】黄金分割．【专题】几何图形问题．【分析】要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到AB的1﹣0.618=0.382倍处即可，因为此点为线段AB的一个黄金分割点．【解答】解：根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米或20×≈12.4米（舍去），则主持人应走到离A点至少7.6米处．【点评】应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．此题注意要求的是至少走多少，即为黄金分割中的较短线段．13．关于x的一元二次方程（m+3）x2+4x+m2﹣9=0有一个解为0，则m=3．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣9=0，解得m=±3，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．【解答】解：把x=0代入（m+3）x2+4x+m2﹣9=0得m2﹣9=0，解得m=±3，而m+3≠0，所以m=3．故答案为3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．已知，圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长之比是2：1．【考点】弧长的计算．【专题】压轴题．【分析】设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，依此列出方程求解．【解答】解：设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是πR，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=πR，则R与r的比是2：1，即圆锥的母线长与底面半径长之比是2：1．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D．若⊙O的半径为2，△PCD的周长等于6，则OP=．【考点】切线的性质．【分析】直接利用切线长定理得出AC=EC，DE=DB，PA=PB，进而求出PA的长，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC=EC，DE=DB，PA=PB∵△PCD的周长等于6，∴PA+PB=6，∴PA=3．连接OP，OA，则∠PAO=90°，∴OP===．故答案为．【点评】此题主要考查了切线长定理和勾股定理，熟练应用切线长定理是解题关键．16．点A、B、C是⊙O上三点，AC是⊙O的内接正六边形的一边，AB是⊙O的内接正十二边形的一边，BC是⊙O的内接正n边形的一边，则n=12或4．【考点】正多边形和圆．【分析】连接OA、OC、OB．分两种情况：①求出∠BOC°=30°，得出n==12；②求出∠BOC=90°，得出n==4；即可得出结果．【解答】解：连接OA、OC、OB．分两种情况：①如图1所示：∵AC是内接正六边形的一边，∴∠AOC==60°；∵AB是内接正十二边形的一边，∴∠AOB==30°．∴∠BOC=60°﹣30°=30°，∴n==12；②如图2所示：∴∠BOC=60°+30°=90°，∴n==4；综上所述：n=12或4．故答案为：12或4．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十二边形、正方形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键，注意分类讨论．三、解答题17．解方程：（1）x2﹣6x+9=0（2）x2﹣12x﹣28=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）直接利用配方法求出方程的解即可；（2）把方程左边进行因式分解得到（x﹣14）（x+2）=0，再解两个一元一次方程即可．【解答】解：（1）∵x2﹣6x+9=0，∴（x﹣3）2=0，∴x1=x2=3；（2）∵x2﹣12x﹣28=0，∴（x﹣14）（x+2）=0，∴x+2=0或x﹣14=0，∴x1=﹣2，x2=14．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．化简分式（﹣）÷，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．【考点】分式的化简求值．【专题】开放型．【分析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．【解答】解：原式=[﹣]×=×=，由于当x=﹣1，x=0或x=1时，分式的分母为0，故取x的值时，不可取x=﹣1，x=0或x=1，不妨取x=2，此时原式==．【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题不仅要熟悉分式的除法法则，还要熟悉因式分解等内容．19．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1；（2）以坐标原点O为位似中心，按1：2的位似比画出△OAB缩小后的△OA2B2．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）利用图形旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1，即为所求；（2）如图所示：△OA2B2和△OA3B3都是符合题意的图形．【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据方程解的定义把x=﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，整理得a﹣b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；（2）根据判别式的意义得到△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．21．某校要从小孙和小周两名同学中挑选一人参加数学文化节比赛，在最近的五次选拔测试中，两人的成绩等有关信息如下表所示：第一次第二次第三次第四次第五次平均分方差小孙75 90 75 90 70 70小周70 80 80 90 80 80（1）根据题中已知信息，求小孙的平均分和小周的方差；（2）根据以上信息，若你是数学老师，你会选择谁参加比赛，为什么？【考点】方差；算术平均数．【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式，列出算式计算即可；（2）根据小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，即可得出答案．【解答】解：（1）小孙的平均分=（75+90+75+90+70）÷5=80，小周的方差=[（70﹣80）2+（80﹣80）2+（80﹣80）2+（90﹣80）2+（80﹣80）2]=40；故答案为：80，40．（2）选择小周参加比赛；理由：小孙、小周两人成绩的平均数相同，但小周成绩的方差小于小孙，因此小周的成绩更稳定，所以选择小周参加数学比赛．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木竿PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木竿PQ的长度．【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】此题考查了平行投影的知识，在同一时刻物高与影长成正比例；还考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例．【解答】解：过N点作ND⊥PQ于D，可得△ABC∽△QDN，∴，又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，∴，∴PQ=QD+D P=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．答：木竿PQ的长度为2.3米．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出木竿PQ的长度．23．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．24．如图，△ABC中，D、E分别为BC、AC上一点，AB=AD，BE=EC．（1）求证：△FDB∽△ABC；（2）若AF=DF，求证：DE⊥BC．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等边对等角可知∠ABD=∠ADB，∠EBC=∠ECB，从而可证明△FDB∽△ABC；（2）由AF=DF可知：DF=AD=AB，然后利用相似三角形的性质可知BD：BC=1：2，从而可知BD=DC，最后利用等腰三角形三线合一的性质可得到DE⊥BC．【解答】解：（1）∵AB=AD，BE=EC，∴∠ABD=∠ADB，∠EBC=∠ECB．∴△FDB∽△ABC．（2）∵AF=DF，∴DF=AD=AB，即．∵△FDB∽△ABC，∴．∴BD=．∴BD=DC．又∵EB=EC，∴ED⊥BC．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，利用相似三角形的性质证得BD=DC是解题的关键．25．已知：如图，⊙O过△ABC的B、C两点，分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：△AEF∽△ACB．（2）若AE=，AF=5，BC=4，AC=8，连结BF．①求证：BF为直径；②过E作EH⊥AC，垂足为H．求证：EH与⊙O相切．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知∠ABC=∠AFE，从而根据∠A=∠A，∠ABC=∠AFE可证明△AEF∽△ACB；（2）①由相似三角形的性质先求得AB=4，在△ACB中，利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，故此BF为圆O的直径；②连接OE．由△AEF∽△ACB，∠C=90°，可求得∠AEF=90°，在Rt△AEF中，利用勾股定理求得EF=，然后由BE=AB﹣AE得到BE=2，从而可知EF是AB的垂直平分线，从而得到BF=AF，于是有∠A=∠ABF，接下来证明∠FEH=∠A=∠ABF，故此∠HEF+∠OEF=∠ABF+∠EFB=90°，从而得到EH是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵四边形BCFE是圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠AFE．又∵∠A=∠A∴△AEF∽△ACB．（2）①∵△AEF∽△ACB，∴．∴．解得：AB=4．∵AB=4，AC=8，BC=4．∴AB2=AC2+BC2．∴△ABC为直角三角形．∴∠C=90°．∴BF是圆O的直径．②连接OE．∵BF是圆O的直径，∴∠FEB=90°．∴EF⊥AB．∵BE=AB﹣AE=4﹣2=2，∴BE=AE．∴EF是AB的垂直平分线．∴BF=AF．∴∠A=∠ABF．∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE．∴∠A+∠OEF=∠EBF+∠BFE=90°．∵EH⊥AC，∴∠HEF+∠EFH=90°．又∵∠FEA+∠A=90°∴∠HEF=∠A．∴∠HEF+∠OEF=90°，即∠OEH=90°．∴EH与⊙O相切．【点评】本题主要考查的圆的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用、相似三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质的应用，证得∠OEH=90°是解题的关键．26．（14分）已知，平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C点坐标为（m，0）（0＜m＜8），D为线段BC上一点，以D为圆心，r为半径作⊙D．（1）如图1，若⊙D经过O、B两点，求证：点C在⊙D上；（2）如图2，若⊙D与OA、AB相切，且m=6，求r；（3）若r=1.5，且⊙D与△OAB的两边相切，求m的值．【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（1）连接OD，如图1，要证点C在⊙D上，只需证DC=DO，只需证∠COD=∠OCD，由∠BOC=90°及DO=DB，根据等角的余角相等即可解决问题；（2）设⊙D与OA、AB分别相切于点E、点F，连接DE、DF、DA，如图2，根据切线的性质可得DE⊥OA，DF⊥AB．然后运用面积法（S△ABC=S△ADC+S△ADB），就可解决问题；（3）可分三种情况讨论：①若⊙D与OA、OB分别相切于点E、H，连接DH、DE、OD，如图3①，运用面积法（S△ABC=S△ADC+S△ADB）就可求出m；②若⊙D与OA、AB分别相切于点E、F，连接DE、DF、AD，如图3②，运用面积法（S△ABC=S△ADC+S△ADB）就可求出m；③若⊙D与OB、AB分别相切于点H、F，点C作⊥AB于N，连接DH、DF，如图3③，根据切线的性质可得DH⊥OB，DF⊥A B，由DH=DF可得BC平分∠ABO，从而可证到Rt△BOC≌Rt△BNC，根据全等三角形的性质可得BN=BO=6，=OC=m，从而有AN=4，然后在Rt△A中运用勾股定理就可求出m．【解答】解：（1）连接OD，如图1，∵∠BOC=90°，∴∠OBD+∠OCB=90°，∠BOD+∠COD=90°．∵DO=DB，∴∠OBD=∠BOD，∴∠COD=∠OCD，∴DC=DO，∴点C在⊙D上；（2）设⊙D与OA、AB分别相切于点E、点F，连接DE、DF、DA，如图2，则有DE⊥OA，DF⊥AB．∵A（8，0），B（0，6），C（6，0），∴OA=8，OB=6，OC=6，∴AB=10，AC=2．∵S△ABC=S△ADC+S△ADB，∴×2×6=×2r+×10×r，解得r=1；（3）∵A（8，0），B（0，6），C（m，0），∴OA=8，OB=6，OC=m，∴AB=10，AC=8﹣m．①若⊙D与OA、OB分别相切于点E、H，连接DH、DE、OD，如图3①，则有DE⊥OA，DH⊥OB．∵S△BOC=S△ODC+S△ODB，∴×m×6=×m×1.5+×6×1.5，解得m=2；②若⊙D与OA、AB分别相切于点E、F，连接DE、DF、AD，如图3②，则有DE⊥OA，DF⊥AB．∵S△ABC=S△ADC+S△ADB，∴×（8﹣m）×6=×（8﹣m）×1.5+×10×1.5，解得m=；③若⊙D与OB、AB分别相切于点H、F，点C作⊥AB于N，连接DH、DF，如图3③，则有DH⊥OB，DF⊥AB，DH=DF，∴BC平分∠ABO，即∠OBC=∠NBC．在Rt△BOC和Rt△BNC中，，∴Rt△BOC≌Rt△BNC，∴BN=B O=6，=OC=m，∴AN=10﹣6=4．在Rt△A中，根据勾股定理可得m2+42=（8﹣m）2，解得m=3．综上所述：m的值为2、3、．【点评】本题主要考查了切线的性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键，涉及到高（或垂线段）的长度时，常考虑使用面积法，应熟练掌握．。