数列学案

数列的教案【篇一：数列的概念的教学设计】数列的概念教学设计一、教材与教学分析1．数列在教材中的地位根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。

教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题)．2．教学三维目标分析知识目标：使学生理解数列概念、分类、表示方法以及数列通项公式能力目标：1）通过对数列概念的教学让学生了解数列和函数间的关系2）会用通项公式写出数列的任意一项3）对于简单的数列会根据其前几项写出它的一个通项公式情感目标：1）培养学生观察抽象的能力2）培养学生从特殊到一般的归纳能力3）创设师生共同研究的教学情境，培养学生乐于求索，勇于创新的精神教学重点：理解数列概念教学难点：根据数列的前几项抽象归纳出数列的通项公式二、教学方法与学习方法启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。

三、教学过程设计1.创设情景，引入新课有人说，大自然是懂数学的.通过多媒体图片展示花瓣数：2,3,5,8,13，具有一定的规律性，学生发现，教师适时点拨规律.图片展示树的分支也呈现同样的规律性.从而介绍学习数列的意义：数列是反映自然规律的模型——引出课题；设计意图：为了让学生体会数学源于生活并激发学生的学习兴趣，采用生活中学生熟悉的问题引入，关注学生的最近发展区，学生思维产生“结点”；2.实例分析，理解概念内涵数学发展的过程中，类似于上述例子很多，例如:①庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 11214181， 16②我国从84年奥运会到08年奥运会共获得了163枚金牌数：5，15, 16,16, 28, 32, 51.③电影院有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为:20，22，24，26，?，78④堆放的钢管从上到下每层数目：4，5, 6, 7，8, 9, 10通过以上实例应到学生思考每组数字具有怎样的特征:都有一定的顺序点拨：本问题研究第几个位置上的数字是什么的问题？也就是研究按顺序排列的一列数的问题，这就是数列；设计意图：对教材中的引例进行深化，为帮助学生形成数列概念；一个数学概念的学习与形成需要大量的、有意义的实例才能帮助学生理解透彻；多给学生参与的机会才能将问题理解清楚，从而掌握概念、概括概念的本质；3.抽象概括，形成数列概念由学生通过对上述问题本质的理解，试概括出数列的定义，教师给予指导；按一定次序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（首项）、第2项、?、第n 项?，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；数列的一般形式可以写成：a1，a2，?，an，?简记为{an}，其中an 是数列的第n项；引导学生对概念进行反思与巩固①说出生活中的一个数列实例．②数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？③数列“-5,-3,-1,1,3,5，?”中，a3,a6各是什么数？设计意图：结合数列的定义，让学生举出数列的例子，并让学生判断举出的例子是否是数列，生生互动；检测学生是否理解数列的概念；给出3个问题由学生讨论并回答，教师启发总结，进一步加深对数列概念的理解，师生互动；4.深入探究，理解概念外延①数列的函数观点数列研究的是第几个位置上的数是多少的问题，其中存在几个变量？是否符合函数的变量间的关系？用此观点分析数列上述一数列，对于数列中的每个序号n，都有唯一的一个项an与之对应：序号 1 2 3 4 ??64↓↓↓↓ ↓项1 22223 ??263*引导学生从函数的观点分析数列：数列可以看成以正整数集n或它的有限子集{1，2， ?k}为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，即数列是一个特殊的函数；设计意图：抓住数列蕴含着两变量间关系的本质，以问题形式提出，学生对知识建构形成自然，然后用从特殊到一般的方法帮助学生理解；②数列的通项公式从函数角度看，通项公式就是an与n之间的函数关系式an=f(n)；如数列1,2,3 ,n, 通项公式为an=f(n)=n即an=n 1111又如数列1,,, ,, 通项公式为an= n23n教学中，学生体会数列通项公式将数列所有项及性质表达很清楚，故求通项公式对研究数列是非常有帮助的；5.应用概念，解决问题例1.根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：（启发学生回答）⑴an=n (2)an=(-1)n?n n+1题后反思:方法,类似于求函数值,在通项公式中依次取n=1、2、3、4、5得到数列的前5项. 例2写出下面数列的一个通项公式.（启发学生回答）(1)1,2,4,8,...(2)3,5,7,9,... (3)9,99,999,9999,... (4)1,-1,1,-1,...题后反思:①题目条件中让写出“一个”通项公式，能否再写出一个符合题意的通项公式？注：给出数列的前几项，可以归纳出不止一个通项公式；②写通项公式的一般方法：由各项的特点，找出各项共同的构成规律.通过观察、归纳研究数列中的项与序号之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式.6.课堂练习，检测与反馈练习1.写出下列数列的一个通项公式：（1）1,4,9,16，... （2）5，55，555，5555,...(3) 1--， 234练习2.如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，是由一串直角三角形演化而成的，其中 oa1,oa2,oa3, ,oa8的长度组成数列1=a1a2=a2a3= =a7a8=1，记oa111{an}(n∈n,1≤n≤8)若按上述方式，一直下去，你能计算出oa2012的长度吗?aa5a63a21a7a87.课堂小结引导学生思考：通过本节课的学习谈谈你有哪些收获？①本节学习的数学知识：数列的概念和简单表示；四、教学评价与反思1.通过概念课教学，力求使学生明确（1）概念的发生、发展过程以及产生背景；（2）概念中有哪些规定和限制的条件，它们与以前的什么知识有联系；（3）概念的名称、表述的语言有何特点；（4）概念有没有等价的叙述；（5）运用概念能解决哪些数学问题等。

《数列》复习学案 命题人申占宝【知识回顾】 1、前n 项和Sn与通项an的关系 。

2、等差数列的通项公式 。

等差数列的求和公式 、 a,G,b 成等差数列，则等差数列{a n }中项数m,n,p,q 满足m+n=p+q,则 3、等比数列的通项公式 。

等比数列的求和公式 、 a,G,b 成等比数列，则等比数列{a n }中项数m,n,p,v 满足m+n=p+v,则4、数列求和的特殊方法有 、 、 。

【例题分析】例1 已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=.⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 令nn n b a =⋅３*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和的公式.例2 等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==（I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

【课堂检测】1．已知等差数列1，3, 5， ··· ，则41是该数列的（ ） A .第18项 B .第19项 C .第20项 D .第21项 2．2和30的等差中项为（ ）A ．4B ．14C ． 16D ．18 3、12+与12-这两数的等比中项是（ ）A.1B.1-C.1±D.21 4．等比数列{}n a 中，=3a 6-，7a =12-，则=5a （ ）A ．9±B ．9-C ．±D ．- 5.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．86. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若854,18S a a 则-=等于（ ）A ．72B ．54C ． 36D ．187．设12a =，数列{1}n a +是以3为公比的等比数列，则4a =（ ） A ．80 B ．81 C ．54 D ．53 8．已知{}n a 为等差数列，且有40111032=+++a a a a ，则=+76a a （ ）A ．28B ．24C ．20D ．16 9、在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则1432313log ......log log b b b +++等于（ ）A. 5B. 6C. 7D.810、设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值11、已知是数列{}n a 是等比数列，其中71a =，且456,1,a a a +成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和记为n s ，证明：128(1,2,3,...n s n <=）12、已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ；（2）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．。

幼儿数列学习活动指导教案导言：数列是数学中一个重要的概念，它涉及着数学思维、逻辑推理和问题解决能力的培养。

为了帮助幼儿在数列学习中取得良好的进展，我们设计了一套幼儿数列学习活动指导教案，以帮助幼儿学习与掌握数列的概念、规律和应用。

活动一：发现数列目标：培养幼儿对数列的观察和发现能力。

材料：彩色积木、色彩鲜艳的卡片、彩色糖果等。

步骤：1. 准备一些彩色积木，按照某种规律排列，并用卡片掩盖住部分积木。

让幼儿观察剩下的积木，发现规律。

2. 给幼儿分发一些鲜艳的卡片，指导他们自由排列，形成自己的数列。

3. 利用彩色糖果来组成数列，例如红、黄、绿、红、黄、绿...活动二：数列续写目标：培养幼儿根据数列规律进行续写的能力。

材料：工作纸、彩色铅笔。

步骤：1. 给幼儿展示一些简单的数列，让他们观察规律并续写下一个数字。

2. 鼓励幼儿创造自己的数列，并进行续写。

3. 检查幼儿的答案，并让他们互相交换作业，进行互评。

活动三：数列游戏目标：通过游戏的方式培养幼儿数列的思维和判断能力。

材料：洞洞板、色子。

步骤：1. 利用洞洞板和色子，设计一个数列游戏。

例如，掷色子后，根据掷色子的结果决定向前或向后跳几步，并在洞洞板上记录走过的路径。

2. 引导孩子进行游戏，锻炼他们的数列判断和转换能力。

3. 鼓励幼儿自己设计数列游戏，并与其他小伙伴们分享。

活动四：数列应用目标：培养幼儿将数列应用到日常生活和问题解决中的能力。

材料：图片卡片、问题情境卡片。

步骤：1. 展示一些具有数列特征的图片卡片，让孩子观察和发现数列规律。

2. 使用问题情境卡片，引导幼儿思考如何运用数列概念来解决问题。

3. 鼓励孩子们提出自己的问题情境，并运用数列思维进行解答。

结语：通过以上活动，幼儿将在观察、发现、续写、游戏和应用中逐步掌握数列的概念和规律。

这将有助于提升他们的数学思维能力和问题解决能力，为进一步的数学学习打下坚实的基础。

我们相信，通过这些有趣的数列学习活动，幼儿将在愉快的氛围中收获数学的成就感。

第三章数列高一年级数学教研组目录1．数列的概念（一） (4)一、知识归纳： (4)二、例题讲解 (4)三、针对练习： (5)2．数列的概念（二） (6)一、知识归纳： (6)二、例题讲解： (6)三、针对练习： (7)3．等差数列（一） (8)一、知识归纳： (8)二、例题讲解： (8)三、针对训练： (9)4．等差数列（二） (10)一、知识归纳： (10)二、例题讲解： (10)三、针对训练： (11)5．等差数列的前N项和（一） (12)一、知识归纳： (12)二、例题讲解： (12)三、针对训练： (13)6．等差数列的前N项和（二） (14)一、知识归纳： (14)二、例题讲解： (14)三、针对训练： (15)7．等比数列（一） (16)一知识归纳 (16)二．例题选讲 (16)三．针对训练： (17)8．等比数列（二） (18)一知识归纳 (18)二．例题讲解： (18)三．针对训练： (19)9． 等比数列的前N 项和（一）......................................................................................................... 20 一 知识归纳： .................................................................................................................................... 20 二．例题讲解： ................................................................................................................................. 20 三．针对训练： ................................................................................................................................. 21 10． 等比数列的前N 项和（二） .................................................................................................... 22 一． 知识归纳： ................................................................................................................................ 22 二．例题讲解： ................................................................................................................................. 22 三．针对训练： ................................................................................................................................. 23 11． 数列的求和学案 ......................................................................................................................... 24 一、分组法求和：若：n n n c b a +=，且数列{}n b 、{}n c 的前N 项和可以求出，则分组求和． ............................................................................................................................................................. 24 二、错位相减法求和：（公差不为0的等差数列与公比不为1的等比数列的积的形式） ...... 24 三、裂项法求和：若：1+-=n n n b b a （裂项），则：11+-=n n b b S （相消）． ................. 25 12． 数列的求和练习 ......................................................................................................................... 26 13、求数列的通项公式学案 .................................................................................................................. 27 一、)(1n f a a n n +=+型 .................................................................................................................. 27 二、n n a n f a )(1=+型 ...................................................................................................................... 27 三、q pa a n n +=+1（其中P ，Q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）型． ...................................... 28 四、递推公式为n S 与n a 的关系式．(或()n n S f a =) .................................................................. 28 五、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+型 (28)14、求数列的通项公式练习 (29)1. 数列的概念（一）一、知识归纳：1、 数列：按 排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的 ．数列可以看作一个定义域为自然数集的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．它的图像是一群 ． 2、 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的 可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，即*),(N n n f a n ∈=．3、 数列分类：⑴按数列项数的多少可以分为 与 ，⑵按项的特点可以分为 ， ， 和 ．二、例题讲解例1、 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项： （1）1+=n n a n ； （2）()n a nn ⋅-=1．例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数： （1）1，2，3，4，5； （2）2，4，6，8，10； （3）1，2，4，8，16； （4）1，4，9，16，25（5）1 ,1 ,1 ,1 ,1--；（6）9，99，999，9999，99999；（7）2，2，4，4，6，6．例3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，5，7；（2）2122-，3132-，4142-，5152-；（3）,211⨯- ,321⨯ ,431⨯- ,541⨯ （4）1618 ,816 ,414 ,212；三、针对练习：1、数列}{n a 的通项公式是2832--=n n a n ，这个数从第几项起各项都是正数( ) ．A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 2、数列1，3，6，10，…的一个通项公式n a = ( ) ．A ． n 2- n ＋1B ．()121+n n Ｃ．()121-n n D ．2n+13、数列7，9，11，…，2n-1的项数是 ( )A ．nB ．n-1C ．n-2D ．n-34、35是数列 ,14 , ,11 ,7 ,3-n 的第几项 （ ）A ．18项B ．19项C ．17项D ．20项5、无穷数列1，23，26，29，…，23n+6，…中，23n+6是第 ( )．A ．3n ＋6项B ．3n ＋7项C ．n ＋2项D ．n ＋3项6、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是 ( )．A ．19B ．20C ．21D ．227、写出下列各数列的通项公式：(1)0，3，8，15，24，35，……． （2） ,8110,498 ,256 ,94 ,2．(3)3，33，333，3333，33333，……． （4）3，5，3，5，3，……．(5) 3， 5， 9， 17， 33，……． （6）0， 1， 0， 1， 0， 1，……．(7) 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7， 9， 9，……． （8） ,177,73 ,115 ,21 ,53．2. 数列的概念（二）一、知识归纳：1、 递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．2、 数列的前n 项和n S 与通项n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2( )1( S 11n S S n a n nn ．二、例题讲解：例1、已知数列}{n a 的第1项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前5项．例2、已知数列}{n a 中，21213 ,2 ,1--+===n n n a a a a a (3≥n )，试写出数列的前4项．例3、已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想通项公式n a ．例4、已知数列}{n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式n a ：⑴n n S n 22+=； ⑵ 122--=n n S n ．三、针对练习：1、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式． (1) ))(12( ,011N n n a a a n n ∈-+==+；(2) )(22 ,111N n a a a a n nn ∈+==+；＊(3) )(23 ,311N n a a a n n ∈-==+．2、已知下列各数列}{n a 的前n 项和n S 的公式，求}{n a 的通项公式． (1) n n S n 22+=；(2) 23-=nn S ；（3）c bn an S n ++=2．3. 等差数列（一）一、知识归纳：1、等差数列的定义：d a a n n =-+1；2、等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=． 二、例题讲解：例1、⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ 401-是不是等差数列5-，9-， ,13-，的项？如果是，是第几项？例2、在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ，d ，n a a ,20．例3、梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．例4、首项为24的等差数列，从第10项起开始为负数，求公差的取值范围．例5、已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？三、针对训练：1、首项为24-的等差数列从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ）34.>d A 3.<d B 338.≤<d C 338.<≤d D 2、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．3、求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项．4、求等差数列10，8，6，……的第20项．5、在等差数列{n a }中，（1）已知4a =10，7a =19，求1a 与d ；（2）已知3a =9， 9a =3，求12a ．6、20-是不是等差数列0，213-，－7，…，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．7、100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．4. 等差数列（二）一、知识归纳：1、等差中项：若b A a ,,成等差数列，则=A ；2、等差数列的性质：在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,①d m n a a m n)(-+=； ②若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+；③下标成等差数列的项m a ，n m a +，n m a 2+，n m a 3+，……，构成新的等差数列． 3、判断一个数列是否成等差数列的常用方法： ①定义法：d a a n n =-+1（常数）；②递推法：212+++=n n n a a a ；③通项法：b kn a n +=．二、例题讲解：例1、在等差数列{n a }中，若1a +6a =9， 4a =7， 求3a ， 9a ， 57a a +．例2、等差数列{}n a 中，410424880a a a a +++=，求2032a a +，26a ．例3、在等差数列{}n a 中， 已知21512841=+---a a a a a ， 求313a a +．例4、{}n a 为递减的等差数列， 1a +3a +5a =－12， 且 1a ·3a ·5a =80． 求通项 n a ．例5、已知a 、b 、c 的倒数成等差数列，则,,b c a c a ba b c+++是否也成等差数列？说明理由．三、针对训练：1、若3lg 2lg 2,6lg ,,+b a 依次成等差数列，求b a ,的值．2、设{}n b 是递增的等差数列，已知,6321=++b b b 27321=b b b ，求等差数列{}n b 的通项．3、在等差数列{}n a 中， 1︒ 若a a =5，b a =10，求15a ；2︒ 若m a a =+83，求：65a a +； 3︒ 若 65=a ，158=a ，求14a ； 4︒ 若30521=+++a a a ，801076=+++a a a ，求151211a a a +++ ．4、已知数列{}n a 满足115a =，且当1n >，*n N ∈时，有112112n n n n a a a a --+=-，（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列；（2）试问21a a ⋅是否是数列{}n a 中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．5. 等差数列的前n 项和（一）一、知识归纳：等差数列的前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 1212111-+=+=． 二、例题讲解：例1例2、等差数列-10，-6，-2，2，…，前多少项的和是54？例3、求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和．例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n 项和的公式．例5、一个凸n 边形各内角的度数成等差数列，公差是10︒， 最小内角为100︒，求边数n ．例6、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和n S 、n T 满足3125n n S n T n +=+，则55ab = ，33b a = ．三、针对训练：1、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．212、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n ，则n 为（ ）(A) 18(B) 17(C) 16(D) 153、已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++= ，则有A ．11010a a +>B ．21000a a +<C ．3990a a +=D ．5151a = 4、等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 ．5、各项均为正数的等比数列{}n a 中，965=⋅a a ，则3132310log log log a a a +++= ． 在等差数列中，2211=S ，则=6a ___________6、等差数列{}n a 中，公差3d =，11n a =，14n S =，求4a ．7、已知103n a n =-，求数列{}n a 的前n 项和n T ．8、设等差数列{}n a 中，21512841=+---a a a a a ，求133a a +及15S 的值．6. 等差数列的前n 项和（二）一、知识归纳：1、等差数列的前n 项和的性质：n S ，n n S S -2，n n S S 23-，……，成等差数列．2、等差数列的判定(接等差数列2)： ④求和法：Bn An S n+=2；⑤若{}n a ，{}n b 是等差数列，则{}b ka n +，{}n n b a ±也是等差数列．3、等差数列的前n 项和的最值：01<a ，0>d 时，n S 有最小值；01>a ，0<d 时，n S 有最小值．二、例题讲解：例1、在等差数列{}n a 中：1︒ 已知488=S 16812=S 求1a 和d ； 2︒ 已知40153=+a a ，求17S ．例2、若一个等差数列共有12+n 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，求其中间项例3、已知{}n a ，{}n b 都成AP ，且 51=a ，151=b ，100100100=+b a 试求数列{}n n b a +的前100项之和100S ．例4、已知数列{}n a 的前n 项和n S 是关于正整数n 的二次函数，其图像 上有三个点A 、B 、C （如图），（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）判定{}n a 是否为等差数列，说明理由．例5、根据数列{}n a 的前n 项和，判断下列数列是否是等差数列 ①22n S n n =-；②221n S n n =-+．例6、在等差数列{}n a 中，797,4a a ==，该数列前多少项的和最大？三、针对训练：1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0，(1) 求公差d 的取值范围； (2) 指出1S ， 2S ， 3S ， ……， 12S 中哪一个最大，说明理由2、一个等差数列{}n a 的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差d ．3、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式．4、已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．5、在等差数列{}n a 中，1820,6a a =-=-，该数列前多少项的和最小？7. 等比数列（一）一、知识归纳1．等比数列定义：q a a n n =+/1； 2．等比数列通项公式：11-⋅=n n qa a ．二．例题选讲例1 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？例2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．例3．（1）等比数列{}n a 中，2572,16,a a a ==求． （2）等比数列{}n a 中，5142315,6a a a a a -=-=，求．（3）等比数列{}n a 中，3663=+a a ，1874=+a a ，若1=n a ，求n ．例4．（06全国I 文）已知{}n a 为等比数列，324202,,3a a a =+=求{}n a 的通项公式．三．针对训练：1．求下面等比数列的第4项与第5项： （1）5，－15，45，……； （2）2.1，4.2，8.4，……；（3）32，21，83，……； （4）2，1，22，……． 2．（1） 一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项． （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．3．由下列等比数列的通项公式，求首项与公比： （1）2nn a =； （2）1104n n a =⋅．4．已知等比数列{}n a 中，252,128a a ==．(1) 求数列{}n a 通项公式； (2) 若2log n n b a =，求数列{}n b 的前20项和．四．小结 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．8. 等比数列（二）一、知识归纳1．等比中项：若b G a ,,成等比数列，则=G ；2．等比数列的判定方法： ①定义法：q a a n n =+/1（常数）；②递推法：221++⋅=n n n a a a ；③通项法：nn Aq a =．3．等比数列的性质： ⑴⋅=m na a ；⑵若*,,,N q p n m ∈且q p n m +=+，则 ；4．等比数列的增减性：当q>1，1a >0或0<q<1， 1a <0时， {n a }是递增数列;当q>1， 1a <0，或0<q<1，1a >0时， {n a }是递减数列;当q=1时， {n a }是常数列;当q<0时， {n a }是摆动数列;二．例题讲解：例1 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列．例2．数列{}n a 满足12,111+==+n n a a a ，（1）求证数列{}1+n a 是等比数列；（2）求通项n a ．例3（1）在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a 的值．(2) 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ， 求53a a +的值．三．针对训练：1．等比数列{}n a 中，前10项和10，前20项和30，则前30项和为（ ）A 70B 90C 100D 1202．各项均为正数的等比数列{}n a 中569a a =，则3132310log log log a a a +++= （ ）A 12B 10C 8D 32log 5+3．各项均为正数的等比数列{}n a 中2q =且30123302a a a a = ，则36930a a a a = （ ）A 102B 202C 162D 152 4．等比数列{}n a 中，559,16,m m m a a a +-==求．5．已知数列{}n a 中，11=a ，2,1211≥+=-n a a n n ，求通项n a ．四、课堂小节1、等比数列定义：2、等比数列通项公式3、等比中项：4、等比数列性质9. 等比数列的前n 项和（一）一、知识归纳：1．等比数列的前n 项和公式：()()1,111≠--=q qq a S nn ；2．错位相减法：若：()[]1111-⋅-+=n nq c d n b a ，则：()n n n n qa c c c d a qS S -++++=- 321，可以求和．（注意：用前式第k 项减后式的第1-k项——错位相减！） 二．例题讲解：例1．求等比数列111,,,248的前8项的和．例2．某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？例3（1）在等比数列中，已知：364,36S S ==，求n a（2）（06全国2）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知481,17S S ==，求数列{}n a 的通项.n a例4．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知1是212S 和313S 的等差中项，6是22S 和33S 的等比中项．（1）求2S 和3S ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S ．三．针对训练：1．根据下列条件，求相应的等比数列{}n a的n S：（1）13,2,6a q n===；（2）12.4, 1.5,5a q n==-=；（3）111 8,,22na q a===；（4）111 2.7,,390na q a=-=-=．2．（1）求等比数列1,2,4, 从第5项到第10项的和．（2）求等比数列333,,,248从第3项到第7项的和．四、课堂小结：等比数列的前n项和．10. 等比数列的前n 项和（二）一、知识归纳：1．等比数列的前n 项和公式：=n S ．2．错位相减法：若：()[]1111-⋅-+=n nq c d n b a ，则：()n n n n qa c c c d a qS S -++++=- 321，可以求和．（注意：用前式第k 项减后式的第1-k 项——错位相减！） 3．等比数列的前n 项和的性质：n S ，n n S S -2，n n S S 23-，……，成等比数列．4．等比数列判定：④求和法：()1-=n nq A S ．二．例题讲解：例1．求和：（x +)1()1()122n n yx y x y +++++ （其中x ≠0，x ≠1，y ≠1）例2．若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，求证：285,,a a a 成等差数列．例3．设数列{}n a 为 1324,3,2,1-n nxx x x ()0≠x 求此数列前n 项的和．例4． 已知等差数列{n a }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{n a }中，依次取出第2项、第4项、第8项、…、第n 2项，按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的通项公式n b 与前n 项和公式n S ．三．针对训练：1．一个等比数列前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求n S 3．2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，*1,3N n a S n n ∈=+，求：（1）2a ，3a ，4a 的值及通项公式n a ；（2）n a a a a 2642++++ 的值．3．求和：nn n S 333323132⋅++⋅+⋅+⋅= ．四．课堂小结1．等比数列的前n 项和公式： 2．错位相减法的应用；11. 数列的求和学案一、分组法求和：若：n n n c b a +=，且数列{}n b 、{}n c 的前n 项和可以求出，则分组求和． 例1：已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++例2：求数列1，3＋13，32＋132，…，3n ＋13n 的各项的和．例3：求和：()()()1222221221211-+++++++++++n ； 221--+n n二、错位相减法求和：（公差不为0的等差数列与公比不为1的等比数列的积的形式）若：()[]1111-⋅-+=n nq c d n b a ，则：()n n n n qa c c c d a qS S -++++=- 321，可以求和．（注意：用前式第k 项减后式的第1-k项——错位相减！） 例4：1．n n n S 333323132⨯++⨯+⨯+⨯= ；例5：设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，… 的前n 项和例6：已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．三、裂项法求和：若：1+-=n n n b b a （裂项），则：11+-=n n b b S （相消）． 提示：111)1(1+-=+n n n n ；)211(21)2(1+-=+n n n n ；)11(1)(1d n n d d n n +-=+．例7：求：nn ⋅-+⋅+⋅)1(1321211．例8：求：)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++ ．例9：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111．12. 数列的求和练习1．)21(813412211n n +++++ = ； 2．数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，求这个数列前30项的绝对值之和；3．已知数列{}n a 的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b是非零常数，则存在数列{}n x 、{}n y 使得（ ） A ．n n n y x a +=，其中{}n x 为等差数列，{}n y 为等比数列 B ．n n n y x a +=，其中{}n x 和{}n y 都为等差数列C ．n n n y x a ⋅=，其中{}n x 为等差数列，{}n y 都为等比数列D ．n n n y x a ⋅=，其中{}n x 和{}n y 都为等比数列 4．n n n S 223222132++++= ．5．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S ． ⑴求{}n a 的通项；⑵求{}n nS 的前n 项和n T ． 6、求：)12)(12(1531311+-++⋅+⋅n n = ． 7、求：)2(1531421311+++⋅+⋅+⋅n n = ．13、求数列的通项公式学案一、)(1n f a a n n +=+型．解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法（逐差相加法）求解． 例1：数列{}n a 中，11a =，121,(2)n n a a n n -=+-≥，其通项公式n a =．例2：（08年北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．二、n n a n f a )(1=+型． 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法（逐商相乘法）求解． 例3：已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a ．三、q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）型． 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解． 例4：==+11,1n a a 121+n a )(*N n ∈．四、递推公式为n S 与n a 的关系式．(或()n n S f a =)． 解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解． 例5：数列{}n a 的前n 项和为23n n S a =+，则{}n a 是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．从第2项起是等比数列D ．从第2项起是等差数列五、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+型．解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1． 例6：数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A ． 25 B ． 13 C ． 23 D ． 1214、求数列的通项公式练习1．数列{}n a 中，21=a ，n a a n n 21+=-，()1>n ，求其通项公式n a ．2．（08年理江西卷5）在数列{}n a 中，21=a ，⎪⎭⎫⎝⎛++=+n a a n n 11ln 1，则=n a A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 3．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且)(0)1(1221N n a a na a n n n n n ∈=+-+++，则它的通项公式是=n a ．4．已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a ．5． 已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足65102++=n n n a a S 且1a ，3a ，15a 成等比数列，求数列{}n a 的通项n a6．已知数列{}n a 满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式．7．数列{}n a 的前n 项和1+=n n a S ，()+∈N n ，21=a ，求n a 和n S ．15、知识要点复习一、数列1、数列：按 排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的 。

高中教学数列设计数学教案
教学内容：数列
一、教学目标
1.了解数列的定义和性质。

2.掌握常见数列的求和公式。

3.能够应用数列知识解决问题。

二、教学重点和难点
重点：数列的定义和性质，常见数列的求和公式。

难点：能够灵活运用数列知识解决问题。

三、教学准备
1.教师准备教案和教学PPT。

2.学生准备数学笔记本和作业本。

四、教学过程
1.引入：通过引入一个简单的问题引出数列的概念，让学生思考数列的定义。

2.概念讲解：讲解数列的定义和性质，包括等差数列、等比数列等常见数列的特点。

3.例题讲解：通过几个例题，帮助学生掌握常见数列的求和公式。

4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学知识。

5.拓展：提出一些拓展问题，让学生运用所学知识解决问题。

6.总结：总结本节课的重点内容，梳理学生的思路。

五、教学反馈
1.教师让学生口头回答一些问题，检查他们的理解情况。

2.教师布置相关作业，巩固所学知识。

六、教学手段
1.课堂互动：让学生积极参与，通过讨论和解答问题来加深理解。

2.多媒体辅助：通过PPT呈现数列的概念和例题，提高学生的学习效果。

七、教学总结
本节课通过引入、讲解、练习等环节，使学生初步掌握数列的相关知识，为以后的学习打下坚实基础。

数列的概念第1课时数列的概念及简单表示法1．数列的概念及一般形式思考：1数列的项和它的项数是否相同？2数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？[提示]1数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．2数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．2．数列的分类如果数列{a n}的第n项a n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：n[提示]如图，数列可以看成以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数，a n＝fn当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1数列2，4，6，8，…2n是无穷数列．2通项公式为a n＝n＋1的数列是递增数列．3数列4，0，－2，－4，－6的首项是4．430是数列a n＝2n－1中的某一项．[提示]1×无穷数列的末尾带有…2√a n＝n＋1对应的函数＝＋1是增函数，所以a n＝n＋1是递增数列．3√第一个位置的项是首项．4×当2n－1＝30时，n值不是正整数．[答案]1×2√3√4×2．数列{a n}中，a n＝3n－1，那么a2等于A．2B．3C．9D．32B[将n＝2代入通项公式，得a2＝32－1＝3]3．以下可作为数列{a n}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是A．a n＝1 B．C．a n＝2－错误!D．a n＝C[代入验证可知C正确．]4．数列1，2，错误!，错误!，错误!，…中的第26项为________．2错误![因为a1＝1＝错误!，a2＝2＝错误!，a3＝错误!，a4＝错误!，a5＝错误!，所以a n＝错误!，所以a26＝错误!＝错误!＝2错误!]5．一题两空填空：2，3，____，5，2，____，2，9，2，11，…27[观察发现规律a n＝错误!]A．1，错误!，错误!，错误!，…B．in错误!，in错误!，in错误!，…C．－1，－错误!，－错误!，－错误!，…D．1，错误!，错误!，…，错误!2一题多空以下数列：①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2021，2 02021②1，错误!，错误!，…，，…；③1，－错误!，错误!，…，，…；④1，0，－1，…，in错误!，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________填序号．1C[ABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，应选C]2①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．假设数列是有限项，那么是有穷数列，否那么为无穷数列．2．数列{a n}的单调性：假设满足a n＜a n＋1，那么{a n}是递增数列；假设满足a n＞a n＋1，那么{a n}是递减数列；假设满足a n＝a n＋1，那么{a n}是常数列；假设a n与a n＋1的大小不确定，那么{a n}是摆动数列．[跟进训练]1．一题多空给出以下数列：①2021～2021年某市普通高中生人数单位：万人构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个错误!构成数列错误!，错误!，错误!，错误!，…；③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．①②③①②③[①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]11，3，7，15，31，…；24，44，444，4 444，…；3－1错误!，3错误!，－5错误!，7错误!，－9错误!，…；42，－错误!，错误!，－错误!，错误!，－错误!，…；51，2，1，2，1，2，…[思路探究]观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．[解]1观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为a n＝2n－12各项乘错误!，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为a n＝错误!10n－1．3所给数列有这样几个特点：①符号正、负相间；②整数局部构成奇数列；③分数局部的分母为从2开始的自然数的平方；④分数局部的分子依次大1综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为a n＝－1n，所以a n＝－1n错误!4数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为错误!，－错误!，错误!，－错误!，…，再把各分母分别加上1，数列又变为错误!，－错误!，错误!，－错误!，…，所以a n＝5法一：可写成分段函数形式：a n＝错误!法二：a n＝＝即a n＝错误!＋1．常见数列的通项公式归纳1数列1，2，3，4，…的一个通项公式为a n＝n；2数列1，3，5，7，…的一个通项公式为a n＝2n－1；3数列2，4，6，8，…的一个通项公式为a n＝2n；4数列1，2，4，8，…的一个通项公式为a n＝2n－1；5数列1，4，9，16，…的一个通项公式为a n＝n2；6数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n＝－1n；7数列1，错误!，错误!，错误!，…的一个通项公式为a n＝错误!2．复杂数列的通项公式的归纳方法①考察各项的结构；②观察各项中的“变〞与“不变〞；③观察“变〞的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．[跟进训练]2．写出下面各数列的一个通项公式：19，99，999，9 999，…；21，－3，5，－7，9，…；3错误!，2，错误!，8，错误!，…；43，5，9，17，33，…[解]1各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n＝10n－12数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，考虑到－1n＋1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为a n＝－1n＋12n－1．3数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，…所以，它的一个通项公式为a n＝错误!43可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为a n＝2n＋11．根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？假设是，是第几项？[提示]根据a n，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n＝5，求a5判断某项是否是数列中的项，就是解方程．令a n等于该项，解得n∈N*即是，否那么不是．2．数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．[提示]由数列与函数的关系可知，数列{a n}的图象是分布在二次函数＝－2＋2＋1图象上的离散的点，如下图，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．【例3】数列{a n}的通项公式为a n＝3n2－28n1写出此数列的第4项和第6项；2－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？[思路探究]1将n＝4，n＝6分别代入a n求出数值即可；2令3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．[解]1a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－602 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝错误!舍去，所以－49是该数列的第7项；令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝错误!，均不合题意，所以68不是该数列的项．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*或它的有限子集{1，2，3，…，n}这一约束条件．1．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*或它的一个子集{1，2，3，…，n}．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，，，，…，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成a n＝－1n，也可以写成a n＝错误!3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．4．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．1．在数列1，1，2，3，5，8，，21，34，55中，等于A．11B．12C．13 D．14C[观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故＝5＋8＝13]2．数列1，错误!，错误!，错误!，…，错误!，那么3错误!是它的A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项B[令错误!＝3错误!，解得n＝错误!是它的第23项，故应选B]3．数列{a n}：－错误!，3，－3错误!，9，…的一个通项公式是A．a n＝－1n错误!n∈N*B．a n＝－1n错误!n∈N*C．a n＝－1n＋1错误!n∈N*D．a n＝－1n＋1错误!n∈N*B[该数列的前几项可以写成－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，故可以归纳为a n＝－1n错误!应选B]4．一题两空数列{a n}的通项公式a n＝4n－1，那么它的第7项是________，a2 020212 019＝________ 274[a7＝4×7－1＝27，a2 020212 019＝4×2 02021－4×2 019－1＝42 02021 019＝4]5．数列{a n}的通项公式为a n＝n∈N*，那么1计算a3＋a4的值；2错误!是该数列中的项？假设是，应为第几项？假设不是，说明理由．[解]1∵a n＝，∴a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!，∴a3＋a4＝错误!＋错误!＝错误!是．假设错误!列{a n}中的项，那么＝错误!∴nn＋2＝12021n2＋2n－12021，∴n＝10或n＝－12舍，即错误!列{a n}的第10项．。

数列求通项公式综合学案一、数列的基本概念在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。

例如，1，3，5，7，9 就是一个数列。

数列中的每一个数称为数列的项，其中第 n 项通常用an 表示。

通项公式是指能够表示数列中第 n 项与项数 n 之间关系的公式。

例如，对于等差数列 an ＝ a1 ＋（n 1)d，其中 a1 为首项，d 为公差；对于等比数列 an ＝ a1 × q^（n 1)，其中 a1 为首项，q 为公比。

二、等差数列的通项公式等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。

这个常数称为等差数列的公差，通常用 d 表示。

等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d例如，已知等差数列的首项 a1 ＝ 2，公差 d ＝ 3，求第 5 项的值。

根据通项公式：a5 ＝ 2 ＋（5 1)×3 ＝ 2 ＋ 12 ＝ 14三、等比数列的通项公式等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数称为等比数列的公比，通常用 q 表示。

等比数列的通项公式为：an ＝ a1 × q^（n 1)例如，已知等比数列的首项 a1 ＝ 3，公比 q ＝ 2，求第 4 项的值。

根据通项公式：a4 ＝ 3 × 2^（4 1) ＝ 3 × 8 ＝ 24四、累加法求通项公式如果数列的递推公式为 an an 1 ＝ f(n)（n ≥ 2），且 f(n) 的表达式可以求和，那么可以用累加法求通项公式。

例如，已知数列{an}满足 a1 ＝ 1，an an 1 ＝ 2n 1（n ≥ 2），求数列{an}的通项公式。

当n ≥ 2 时：a2 a1 ＝ 2×2 1a3 a2 ＝ 2×3 1a4 a3 ＝ 2×4 1an an 1 ＝ 2n 1将上述式子相加得：an a1 ＝ 2×2 1 ＋ 2×3 1 ＋ 2×4 1 ＋＋ 2n 1因为 a1 ＝ 1，所以：an ＝ 1 ＋ 2×（2 ＋ 3 ＋ 4 ＋＋ n) （n 1)＝ 1 ＋ 2×（n ＋ 2)（n 1) ／ 2 （n 1)＝ n²当 n ＝ 1 时，a1 ＝ 1 也满足上式，所以数列{an}的通项公式为 an ＝ n²五、累乘法求通项公式如果数列的递推公式为 an ／ an 1 ＝ f(n)（n ≥ 2），且 f(n) 的表达式可以求积，那么可以用累乘法求通项公式。

数列复习课学案命题人： 审核人 时间 编号 学习目标：1、巩固等差数列和等比数列通项公式、前n 项和公式的应用。

2、通过类比归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。

一、知识再现（1）在等差数列{}n a 中，3315=a ，15345=a ，则=61a ．(2)在等比数列{}n a 中，45=a ，67=a ，则=11a ．(3) 若数列{}n a 的前n 项和为S ｎ＝3n +a ，若数列{}n a 为等比数列，则实数a 的取值是 (4) 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 . (5)在等差数列{}n a 中， 106=a ，55=S ，=8S ．(6) 等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a += 。

（7）在等比数列{}n a 中，若2424=-a a ，632=+a a ，125=n a ，则=n ． (8)．已知数列{}n a 的前n 项和()0,1≠∈-=a R a a S nn ，下列给出关于数列{}n a 的四个判断：⑴ 一定是等差数列； ⑵ 一定是等比数列；⑶ 或是等差数列或是等比数列； ⑷ 既非等差数列又非等比数列． 其中判断正确的序号是 ．二、典例解析例1、数列的通项公式与性质1、 在等比数列{}n a 中，1n n a a +>，且7114146,5a a a a ⋅=+=，则616a a = ． 2、 在等差数列{}n a 中，1n n a a +>，且7114146,5a a a a ⋅=+=，则816a a -= ．3、已知等比数列{}n a 为递增数列，且373=+a a ，282=a a ，则=n a ．4、已知a,b,c,成等差数列。

求证：a 2_bc,b 2_ac,c 2_ab 是等差数列。

例2、数列求和1、设)()()(,)(201420132014220141244f f f S x f x x +++=+= 求和2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.变式：在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.总结：1、111)1(1+-=+=n n n n a n n n n n a n -+=++=1112、数列求和还有哪些题型？数列的综合应用及数学思想例3、等差数列﹛a n ﹜中，公差d>0，其前n 项和S n 满足a 2·a 3=45,a 1+a 4=14. 1、求数列﹛a n ﹜的通项公式。

§2.1 数列的概念及简单表示（1）教学目标1．通过大量实例，理解数列概念，了解数列和函数之间的关系2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式4．提高观察、抽象的能力．教学重点：1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项．教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．教学方法：发现式教学法教学步骤：一．（引言）数产生于人类社会的生产、生活需要，它是描绘静态下物体的量，因此，在人类社会发展的历程中，离不开对数的研究，在这一背景下产生数列。

数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。

人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列 （设置情景）看下列一组实例：（1）课本32页“三角形数问题”（2）见EXCEL（3）某种放射性物质最初的质量为1，每经过一年剩留这种物资的84％，则这种物资各年开始时的剩留量排成一列数：1，84.0，284.0，384.0，…… （4）－1的1次幂，2次幂，，……排成一列数：－1，1，－1，1，……（5）无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，…… 提出问题：上述各组数据有何共同特征？二．探求与研究.I.基础知识：1.数列：按一定的次序排列的一列数叫数列。

2．项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

其中第1项也叫做首项3.项数：数列的各项所在的位置序号叫做项数。

4．数列的表示：（1）一般形式：1a，2a，3a，…n a，…其中n a是数列的第n项。

（2）简单表示：{}n a5．通项公式：若数列{}n a的第n项n a与它的项数n之间的关系可以用一个公式表示，则这个公式叫做数列的通项公式。

简记为)(nfan=。

说明：（1）通项公式的本质：反映了数列的项与项数之间的对应关系（函数关系）。

（2）依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项。

6．用函数的观点认识数列：项数 1 2 3 4 (64)项 1 2 22 32 … 632 实质：数列是一个定义域为正整数集*N （或有限子集{}n ,,3,2,1 ）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

等差数列学案【等差数列学案】学案目标：1. 理解等差数列的定义和性质；2. 掌握等差数列的通项公式和求和公式；3. 运用等差数列的性质解决实际问题。

学习内容：1. 等差数列的概念2. 等差数列的通项公式3. 等差数列的求和公式4. 等差数列的实际应用学习活动：活动一：理解等差数列的定义和性质（15分钟）1. 引导学生回顾数列的概念。

2. 引入等差数列的定义：如果一个数列中每个后一项与前一项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

3. 解读等差数列的性质：等差数列的相邻两项之差始终相等。

活动二：掌握等差数列的通项公式（20分钟）1. 引出等差数列的通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可以表示为aₙ = a₁ + (n-1)d。

2. 通过示例演示如何使用通项公式计算等差数列的任意一项。

活动三：掌握等差数列的求和公式（20分钟）1. 引出等差数列的求和公式：对于等差数列的前n项和Sₙ，可以表示为Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。

2. 通过示例演示如何使用求和公式计算等差数列的前n项和。

活动四：运用等差数列的性质解决实际问题（25分钟）1. 提供一些实际问题，如寻找等差数列中的缺失项、求等差数列的特定区间和等，让学生运用等差数列的性质解决。

2. 指导学生根据问题建立等差数列模型，并利用已学知识解决问题。

活动五：综合巩固训练（20分钟）1. 提供一些综合性的练习题，涵盖等差数列的各个方面，以检验学生对所学知识的掌握程度。

2. 鼓励学生通过合作讨论和思考，共同解决问题。

学习反思：1. 小结等差数列的定义和性质；2. 总结等差数列的通项公式和求和公式；3. 思考等差数列在解决实际问题中的应用；4. 反思学习过程中的困难和收获，相互交流分享。

拓展延伸：1. 进一步研究等差数列的推广——等差数列的和（从1到n的等差数列），以及高阶等差数列；2. 探究等差数列的几何意义和数学实际应用。