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4.3.1 等比数列的概念（第二课时）（同步练习）一、选择题1.在等比数列{a n}中，已知a1a38a15＝243，则a39a11的值为()A.3B.9C.27D.812.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A.100B.－100C.10 000D.－10 0003.若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值等于()A.－12 B.12 C.±12 D.144.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，则2003年价格为8 100元的计算机到2018年时的价格应为()A.900元B.2 200元C.2 400元D.3 600元5.数列{a n}是等比数列，对任意n∈N*，都有a n＞0.若a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，则a3＋a5＝()A.5B.10C.15D.206.已知{a n}为等比数列，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A.－2＋22 B.－ 2C. 2D.－2或 27.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a2·a6·a10＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b2＋b101－a3·a9的值是()A.－22 B.22C. 1D.－ 38.(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1＋a5＝1a1＋1a5＝52，则下列结论正确的是()A.a2a4＝1B.a2＋a4＝32 2C.q＝2或12 D.a1＝2或12二、填空题9.若数列{a n}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________10.在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6成等比数列，则此未知数是________11.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y＋z的值为________12.各项均为正数的等比数列{a n}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{a n}的通项公式a n＝________三、解答题13.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．14.为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3)15.已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，由{a n}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，ab n，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{b n}的通项公式．16.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求a n与b n；(2)设c n＝3b n－λ·na32，若数列{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1a 38a 15＝243，a 1a 15＝a 28，∴a 8＝3，∴a 39a 11＝a 38q 3a 8q3＝a 28＝9. 2.C 解析：∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.3.A 解析：∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1. 又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 4.C 解析：8 100×323（）＝2 400.故选C.5.A 解析：由等比数列的性质及a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 4＋a 6)＝25，得a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 3q ＋a 5q)＝25. ∴(a 3＋a 5)(a 3＋a 4q)＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25.∵对任意n ∈N *，都有a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5.6.D 解析：由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2＋a 16＝－6，a 2a 16＝2，显然两根同为负值，所以a 9＝± a 2a 16＝±2，所以a 2a 16a 9＝±2.7.D 解析：因为{a n }是等比数列，所以a 2·a 6·a 10＝a 36＝33，所以a 6＝ 3.因为{b n }是等差数列，所以b 1＋b 6＋b 11＝3b 6＝7π，所以b 6＝7π3.所以tan b 2＋b 101－a 3·a 9＝tan 2b 61－a 26＝tan 14π31－3＝－tan 7π3＝－ 3.故选D. 8.ABD 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝52，a 1a 5＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 5＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，a 5＝2，即2×q 4＝12或12×q 4＝2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q 2＝2，所以选项C 错误，选项D 正确；因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 2a 4＝a 1a 5＝1，选项A 正确；a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝322，选项B 正确．故选ABD ．二、填空题 9.答案：256解析：∵{a n }是等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10为等比数列，∴a 9＋a 10＝1×44＝256. 10.答案：3或27解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.11.答案：2解析：∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为52，3.∴y ＝5·312（），z ＝6·412（）.∴x ＋y ＋z ＝1＋5·312（）＋6·412（）＝3216＝2.12.答案：2n －1解析：设等比数列的公比为q(q>0)．由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，q ≠1，所以a 1＝1q －1. a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q>0)，而－1q 2＋1q＝－⎝⎛⎭⎫1q －122＋14≤14，当且仅当q ＝2时取等号， 所以当q ＝2时，a 3有最小值4.此时a 1＝1q －1＝12－1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.三、解答题13.解法一：设前三个数为a q ，a ，aq ，则a q ·a·aq ＝216，所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q ，6,6q.由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.解法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.14.解：设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2019年年底绿洲面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2019年年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积a n 减去被侵蚀的部分，即a n －8%·a n ；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·b n . ∴a n ＋1＝a n －8%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45⎝⎛⎭⎫a n －35. 又a 1－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15×n 45（） 由a n ＋1＞50%，得35－15×n 45（）＞12，∴n 45（）＜12，∴n ＞log 4512＝lg 21－3lg 2≈3. 则当n ≥4时，不等式n 45（）＜12恒成立．∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.15.解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.16.解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，整理得q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，从而a 2＝6， 所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·n a 32＝3n －λ·2n .由题意知c n ＋1＞c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1＞3n －λ·2n 恒成立，即λ·2n ＜2·3n 恒成立，即λ＜2·n32（）恒成立．因为函数y ＝x 32（）是增函数，所以n min 3]2[2（）＝2×32＝3，故λ＜3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)．。
