2016届高考数学二轮复习 第三部分 专题二 考前教材考点排查 第二讲 三角函数、解三角形、平面向量课件 文

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

第2讲 三角变换与解三角形1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.122．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 3．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 4．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)3cos 10°－1sin 170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4热点二 正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________________．(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos x 2(3cos x 2－sin x2)，在△ABC 中，有f (A )＝3＋1.(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝1，求△ABC 面积的最大值．1．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C 等于( ) A.1313 B.35 C.45 D.239132．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．二轮专题强化练专题三第2讲 三角变换与解三角形A 组 专题通关1．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210C ．－210或7210D ．－72102．已知函数f (x )＝4sin(x 3＋π6)，f (3α＋π)＝165，f (3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( )A.1365B.1565C.4865D.63653．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定4．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 35．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 36．(2015·兰州第一中学期中)已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________．7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．8.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________m.9．(2015·安徽皖南八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．10．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象． (1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．B 组 能力提高11．(2015·成都新都一中月考)若α∈(0，π2)，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．12．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.13．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为120°，BC →＝2BD →，且AD ＝2，∠ADC ＝120°，则△ABC 的面积等于________．14．(2015·四川)如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B2＋tanC2＋tan D2的值．学生用书答案精析第2讲 三角变换与解三角形 高考真题体验1．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]2．2 3解析 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－32×23＝2 3. 3. 6解析 由正弦定理得AB sin∠ADB ＝ADsin B ，即2sin∠ADB ＝3sin 120°，解得sin∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 4.6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－24.热点分类突破 例1 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.跟踪演练1 (1)C (2)D 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(2)3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝－12sin 20° ＝－2sin 20°12sin 20°＝－4， 故选D.例2 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD s in∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ， 所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 跟踪演练2 (1)(6－2，6＋2) (2)C解析 (1)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2. ∴6－2<AB <6＋ 2.(2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 例3 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 跟踪演练 3 解 (1)f (x )＝2cos x 2(3·cos x 2－sin x 2)＝23cos 2x 2－2sin x 2·cos x 2＝3＋3cos x －sin x＝3＋2sin(π3－x )， 由f (A )＝3＋1，可得3＋2sin(π3－A )＝3＋1， 所以sin(π3－A )＝12. 又A ∈(0，π)，所以π3－A ∈(－2π3，π3)， 所以π3－A ＝π6，即A ＝π6. 由a 2－c 2＝b 2－mbc 及余弦定理，可得m 2＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知cos A ＝32，则sin A ＝12， 又b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32， 所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ≥2bc －a 2，即bc ≤(2＋3)a 2＝2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34， 即△ABC 面积的最大值为2＋34. 高考押题精练1．D [因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ·BA ·sin B ＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA ·cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ， 解得sin C ＝23913.] 2．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12，因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12，易得f (A )＝sin(3A －π6)－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sinB sinC ，所以a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)，因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin(3A －π6)≤1，所以－1<sin(3A －π6)－12≤12，所以函数f (A )的值域为(－1，12]．二轮专题强化练答案精析第2讲 三角变换与解三角形1．A [∵α∈(π2，π)， ∴α＋π4∈(34π，54π)， ∵sin(α＋π4)＝35， ∴cos(α＋π4)＝－45， ∴cos α＝cos(α＋π4－π4) ＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.] 2．D [由f (3α＋π)＝165， 得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165， 即4sin(α＋π2)＝165， 所以cos α＝45， 又α∈[0，π2]，所以sin α＝35. 由f (3β＋5π2)＝－2013， 得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013， 即sin(β＋π)＝－513， 所以sin β＝513. 又β∈[0，π2]， 所以cos β＝1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.] 3．B [由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．]4．C [由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.]5．D [由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D.] 6.334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 7．8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154 ＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．15解析 依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ，∠PAD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ，所以∠APB ＝∠PBD －∠PAD ＝θ＝∠PAD .所以PB ＝BA ＝30 m.同理可得PC ＝BC ＝10 3 m.在△BPC 中，由余弦定理，得cos 2θ＝32＋302－322×103×30＝32， 所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC ×sin 4θ＝103×32＝15(m)． 9．解 (1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc 可得a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝37bc ， 所以a 2＝b 2＋c 2－117bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1114， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝5143， 所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(1114×12－5314×32)＝17. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ＝a sin A ， 得c ＝a sin C sin A＝8， ∴S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3. 10．解 (1)因为g (x )＝2sin[(x ＋π4)－π12]－3＋3＝2sin(x ＋π6)， 所以f (π4)＋g (π6)＝2sin(π4－π12)－3＋2sin π3＝1. (2)因为g (x )＝2sin(x ＋π6)， 所以当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即x ∈π3＋2k π(k ∈Z )时，g (x )取得最大值． 因为x ＝B 时g (x )取得最大值，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ≥16－3·(a ＋c 2)2＝16－12＝4，所以b ≥2.又b <a ＋c ＝4，所以b 的取值范围是[2,4)．11.12解析 ∵α∈(0，π2)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12， 故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12. 12．100 6解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC ＝ABsin∠ACB ，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.13．2 3解析 在△ABC 中，因为∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°，因为向量AB →，BC →的夹角为120°，所以∠B ＝60°，所以△ADB 为等边三角形．因为AD ＝2，所以AB ＝BD ＝2.因为BC →＝2BD →，所以点D 为BC 的中点，所以BC ＝4，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×4×sin 60°＝2 3. 14．(1)证明 tan A 2＝sin A 2cos A 2 ＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A . (2)解 由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B ，由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－－A －A ＋1－0°－B －B ＝2sin A ＋2sin B . 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD＝62＋52－32－42＋＝37， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得 cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－42＋＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610 ＝4103.。

[推荐学习]新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破-专题二-三角函数、解三角形与平面向量-第3讲第3讲平面向量1．(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则( )A.AD→＝－13AB→＋43AC→ B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→ D.AD→＝43AB→－13AC→2．(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→等于( )A．20 B. 15 C．9 D．63．(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n 的值为________．4．(2015·浙江)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝12，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(xe 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R)，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝13AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB→＝a，AC→＝b，且CE→＝xa ＋yb，则x＋y＝________.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练 1 (1)(2015·杭州质检)已知向量i 与j不共线，且AB→＝i＋mj，AD→＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1(2)(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.热点二平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝a·a ＝x2＋y2.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.例2 (1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________．(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA→·OB→＝6，则|OG→|的最小值是________．思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2015·山东)过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA→·PB→＝__________.(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan 2α的值．思维升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 (2014·辽宁)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知BA→·BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．1．如图，在△ABC中，AD→＝13AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示向量AN→.则AN→等于( )A.12(a＋b) B.13(a＋b)C.16(a＋b) D.18(a＋b)2．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于( )A．－34B．－89C．－14D．－493．已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b，则tan(2α＋π4)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OP→·BP→最小值是________________________．提醒：完成作业专题二第3讲二轮专题强化练专题二第3讲平面向量A组专题通关1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则DA→等于( ) A．(2,4) B．(3,5)C．(1,1) D．(－1，－1) 2．(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥BC→3．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN→＝12NC→，P是BN边上的一点，若AP→＝mAB→＋29AC→，则实数m的值为( )A.19B.13C ．1D ．3 4．(2015·福建)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．215．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________．7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．9．(2015·温州二调)设向量a ＝(3sin x ，sinx )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．10．已知向量a＝(2sin(ωx＋2π3)，0)，b＝(2cosωx,3)(ω>0)，函数f(x)＝a·b的图象与直线y＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间．B组能力提高11．已知非零单位向量a与非零向量b满足|a ＋b|＝|a－b|，则向量b－a在向量a上的投影为( )A ．1 B.22 C ．－1D ．－2212．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．(2015·江苏)设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．14．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m －n，并求m－n的最大值．学生用书答案精析第3讲平面向量高考真题体验1．A [∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.]2．C [AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→，∴AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]3．－3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 4．1 2 2 2解析 方法一 对于任意x ，y ∈R ，|b －(xe 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R)，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(xe 1＋ye 2)|取得最小值1.|b －(xe 1＋ye 2)|2＝|b |2＋(xe 1＋ye 2)2－2b ·(xe 1＋ye 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y 2，所以当x ＝2－y2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝34(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x＝2－y2＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.方法二 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1,0,0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(xe 1＋ye 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(xe 1＋ye 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2. 热点分类突破 例1 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝13AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法一因为AB→＝a，AC→＝b，D为BC的中点，所以AD→＝12(a＋b)．所以AE→＝12AD→＝14(a＋b)．所以CE→＝CA→＋AE→＝－AC→＋AE→＝－b＋14(a＋b)＝14a－34 b.所以x＝14，y＝－34，所以x＋y＝－12.方法二易得EF＝12MD，MD＝12CF，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF → ＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.跟踪演练1 (1)C (2)12 －16解析 (1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋mj ＝λ(ni ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎨⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1.(2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.例2 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD→＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD→－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋ 14AB →)·(AD →－34AB →)＝2， 即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12 (OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)， 又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →||OB →|＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 跟踪演练2 (1)32(2)90°解析 (1)由题意，圆心为O (0,0)，半径为 1.如图所示，∵P(1，3)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝ 3.∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝3，则OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.∴PA→·PB→＝|PA→||PB→|·cos∠APB＝3×3×cos 60°＝32 .(2)∵AO→＝12(AB→＋AC→)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈AB→，AC→〉＝90°.例3 解(1)∵b＝(cos x，sin x)，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sinx cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsinx＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π， ∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.跟踪演练3 解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ， 所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 高考押题精练1．C [因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ，则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝AD AB.因为AD →＝13AB →， 所以AN →＝13AM →. 因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )， 所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )． 故选C.]2．B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO→|＝13，∴FD→·FE→＝(FO→＋OD→)·(FO→＋OE→)＝FO→2＋FO→·(OE→＋OD→)＋OD→·OE→＝(13)2＋0－1＝－89.]3．－1 7解析因为a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，且a⊥b，所以cos α＋2sin α＝0，则tan α＝－12 .所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43.所以tan(2α＋π4)＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·ta nπ4＝－43＋11－－43×1＝－1373＝－17.4．－1 16解析因为OP→＝OB→＋BP→，所以OP→·BP→＝(OB→＋BP→)·BP→＝OB→·BP→＋(BP→)2.又因为∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以OB→·BP→＝|BP→|cos120°＝－12|BP→|.所以OP→·BP→＝－12|BP→|＋|BP→|2＝(|BP→|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP→|＝14时，OP→·BP→最小值是－1 16.二轮专题强化练答案精析第3讲平面向量1．C[DA→＝CB→＝AB→－AC→＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．D [在△ABC中，由BC→＝AC→－AB→＝2a＋b－2a ＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC→，故选D.]3．B [如图，因为AN→＝12NC→，所以AN→＝1 3AC→，AP→＝mAB→＋29AC→＝mAB→＋23AN→，因为B，P，N三点共线，所以m＋23＝1，所以m＝13.]4.A [建立如图所示坐标系，则 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC→|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]5．9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB→＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 6.35解析设AB的中点为D，由5AM→＝AB→＋3AC→，得3AM→－3AC→＝2AD→－2AM→，即3CM→＝2MD→.如图所示，故C，M，D三点共线，且MD→＝35CD→，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比值为35 .7.29 18解析在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC ＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋16DC→，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos120°＝2918.8．[－12，12]解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ → ＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，∴y＝f(x)＝12sin(12x－π6)，易知y＝f(x)的值域是[－12，12]．9．解(1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈[0，π2]，从而sin x＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin2x＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin(2x－π6)＋12，当x＝π3∈[0，π2]时，sin(2x－π6)取最大值1.所以f(x)的最大值为32 .10．解(1)因为向量a＝(2sin(ωx＋2π3)，0)，b＝(2cos ωx,3)(ω>0)，所以函数f(x)＝a·b＝4sin(ωx＋2π3)cos ωx＝4[sin ωx·(－12)＋cos ωx·32]cos ωx＝23·cos2ωx－2sinωx cos ωx＝3(1＋cos 2ωx)－sin 2ωx＝2cos(2ωx＋π6)＋3，由题意，可知f(x)的最小正周期为T＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1.(2)易知f(x)＝2cos(2x＋π6)＋3，当x∈[0,2π]时，2x＋π6∈[π6，4π＋π6]，故2x＋π6∈[π，2π]或2x＋π6∈[3π，4π]时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[5π12，11π12]和[17π12，23π12]．11．C [因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，解得a ·b ＝0，所以向量b －a 在向量a 上的投影为|b －a |cos 〈a ，b －a 〉＝a ·b －a|a |＝0－|a |2|a |＝－|a |＝－1.]12．D [设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2，同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2， ∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立， ∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立． 即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ，则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.] 13．9 3解析 ∵a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cosk π6， ∴a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cosk π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝cosk π6·cosk ＋16π＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cosk π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin k ＋16π＋cos k ＋16π＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故∑k ＝011(a k ·a k ＋1)＝∑k ＝011＝(32∑k ＝011c os π6＋12∑k ＝011c os 2k ＋16π＋∑k ＝011s in2k ＋16π.)由∑k ＝011cos 2k ＋16π＝0，∑k ＝011sin 2k ＋16π＝0，得∑k ＝011(a k ·a k ＋1)＝32cos π6×12＝9 3. 14．解 (1)方法一 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0， 又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎨⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 方法二 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝2 2.生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 (2)∵OP →＝mAB→＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ⎩⎨⎧ x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， ∴两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点 B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。