2020版高考数学一轮复习课后限时集训58二项式定理理含解析新人教A版2

第三节　二项式定理2019考纲考题考情1．二项式定理(a＋b)n＝C a n＋C a n－1b＋…＋C a n－k b k＋…＋C b n(n∈N*)。

0n1n k n n2．二项展开式的通项第k＋1项为：T k＋1＝C a n－k b k。

k n3．二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0,1,2，…，n)。

k n4．二项式系数的性质5.二项式系数和的性质(1)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C0n＋C＋…＋C＝2n。

1n2n n(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1。

0n2n4n1n3n5n1．二项式定理中，通项T k＋1＝C a n－k b k是展开式的第k＋1k n项，不是第k项。

2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k＋1＝C a n－k b k中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与k n k na，b有关。

(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关。

当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。

一、走进教材1．(选修2－3P 37A 组T 5(2)改编)8的展开式中常数(x ＋12x)项为( )A. B.3516358C. D ．105354解析　二项展开式的通项为T k ＋1＝C ()8－kk ＝k C k 8x(12x )(12)k 8x 4－k ，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝4C ＝。

故选B 。

(12)48358答案　B2．(选修2－3P 35练习T 1(2)改编)化简：C ＋C ＋…＋C ＝12n 32n 2n －12n ________。

解析　因为C ＋C ＋C ＋…＋C ＝22n ，所以C ＋C 02n 12n 22n 2n 12n 32n ＋…＋C ＝(C ＋C ＋…＋C )＝22n －1。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.能利用计数原理证明二项式定理． 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.一般不考查用计数原理证明二项式定理．2.求二项展开式中某项的系数和特定项是高考的热点，考查形式为选择题和填空题，难度不大，属中低档题，如2012年广东T10，福建T11等. [归纳·知识整合] 1．二项式定理 二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(nN*)二项式系数二项展开式中各项系数C(r＝0,1，…，n)二项式通项Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项[探究]　1.二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？ 提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换． 2．二项式系数的性质 [探究]　2.二项式(x＋y)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？ 提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为－1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定． [自测·牛刀小试] 1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是( ) A．C B．C C．C D．(－1)r－1C 解析：选D　本题中由于y的系数为负，故其第r项的系数为(－1)r－1C. 2．(2012·四川高考)(1＋x)7的展开式中x2的系数是( ) A．42 B．35 C．28 D．21 解析：选D　依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C×15＝21. 3．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( ) A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 解析：选C　由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38. 4．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________． 解析：由题意得即 解得<x<. 答案：<x< 5．若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n的值为________． 解析：由已知等式，可得 C＋3C＋32C＋…＋3nC＝256. 即(1＋3)n＝256，解得n＝4. 答案：4 求二项展开式中特定项或特定项系数 [例1]　(1)(2012·上海高考)在6的二项展开式中，常数项等于________． (2)(2012·广东高考)6的展开式中x3的系数为________(用数字作答)． (3)(2012·福建高考)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________. [自主解答]　(1)由通项公式得Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4项为常数项，T4＝(－2)3C＝－160. (2)由6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝20. (3)(a＋x)4的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Ca4－rxr，令r＝3，得含x3的系数为Ca，故Ca＝8，解得a＝2. [答案]　(1)－160　(2)20　(3)2 ——————————————————— 求特定项的步骤 (1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指定项(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且r≤n)； (2)根据所求项的指数特征求所要求解的项． 1．(2012·泰安模拟)若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( ) A．6 B．10 C．12 D．15 解析：选C　Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx， 当r＝4时，＝0，又nN*， 所以n＝12. 2．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________． 解析：6的展开式的通项为 Tr＋1＝C(－1)rx6－2r， 当r＝3时，T4＝－C＝－20，当r＝4时，T5＝Cx－2＝15x－2，因此常数项为－20＋15＝－5. 答案：－5 二项式系数和或各项的系数和 [例2]　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a2＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2. [自主解答]　(1)(2－x)100展开式中的常数项为C·2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100. (2)令x＝1， 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100， 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1， 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100， ①－可得 a1＋a3＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10 0)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1. ——————————————————— 赋值法在求解二项式各项系数和有关问题中的应用 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和时常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 3．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(xR)，则＋＋…＋的值为( ) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：选C　令x＝0得a0＝1，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－a0＝－1. 4．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________． 解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10. 答案：10 二项展开式系数最大项的问题 [例3]　求二项式8的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数最大的项和系数最小的项． [自主解答]　(1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项， 所求项为T4＋1＝C()44＝. (2)先求系数绝对值最大的项，设第r＋1项的系数的绝对值最大，则即 解得5≤r≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大． 由于第6项的系数为负，第7项的系数为正， 所以第7项是系数最大的项， 这一项为T6＋1＝C()2·6＝1 792x－11； 第6项是系数最小的项， 这一项为T5＋1＝C()3·5＝－1 792x－. ——————————————————— 运用二项式定理时的两个注意点 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负．当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异： (1)二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关； (2)项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关． 5．如果n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是( ) A．0 B．256 C．64 D. 解析：选D　法一：由已知得即5<n0， ＝. 令f(r)≥f(r－1)，则≥1，则r≤k＋(等号不成立)． 当r＝1,2，…，k时，f(r)>f(r－1)成立． 反之，当r＝k＋1，k＋2，…，2k时，f(r)<f(r－1)成立． f(k)＝C最大， 即(a＋b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大． 1．若n的展开式中的第5项为常数，则n＝( ) A．8 B．10 C．12 D．15 解析：选C　T4＋1＝C()n－44＝C24x为常数，＝0，n＝12. 2．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy1，即x的取值范围是(1，＋∞)． 3．9192除以100的余数是________． 解析：9192＝(90＋1)92 ＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C ＝M×102＋92×90＋1(M为整数)＝100M＋82×100＋81. 9192除以100的余数是81. 答案：81 4．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数是19(m，nN*)． (1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值； (2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m，n，求f(x)展开式中x7的系数． 解：(1)由题意知C＋C＝19， 即m＋n＝19，所以m＝19－n. x2的系数为C＋C＝C＋C＝(19－n)(18－n)＋ n(n－1)＝n2－19n＋171＝2＋， n∈N*，当n＝9或n＝10时，x2的系数取最小值2＋＝81. (2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时， x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.。

第三节 二项式定二项式定的应用(1)能用计原证明二项式定．(2)会用二项式定解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一 二项式定 1．定公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)叫作二项式定．2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k 为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项． (2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中常项为________．解析：由题意可知常项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎪⎫－1x 4＝60.答案：602.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有项共有________项．解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍，故r ＝0,4,8共3项．答案：3知识点二 二项式系与项的系 1．二项式系与项的系 (1)二项式系二项展开式中各项的系C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系． (2)项的系项的系是该项中非字母因部分，包括符号等，与二项式系是两个不同的概念． 2．二项式系的性质3.各二项式系的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C kn ＋…＋C n n ＝2n.二项展开式中，偶项的二项式系的和等于奇项的二项式系的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 易误提醒 二项式系与展开式项的系的异同：在T k ＋1＝C k n a n －k b k中，C k n 就是该项的二项式系，它与a ，b 的值无关；T k ＋1项的系指简后除字母以外的，如a ＝2x ，b ＝3y ，T k ＋1＝C k n 2n －k ·3k x n －k y k ，其中C k n 2n －k 3k就是T k ＋1项的系．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系是________．(用字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r (r ＝0,1，…，5)知，当r ＝3时，T 4＝C 35(2x )5－3(－1)3＝－40x 2，所以含x 2的项的系是－40. 答案：－404．C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n ＋1)C nn ＝________.解析：设S ＝C 0n ＋3C 1n ＋5C 2n ＋…＋(2n －1)·C n －1n ＋(2n ＋1)C n n ，∴S ＝(2n ＋1)C n n ＋(2n －1)C n －1n ＋…＋3C 1n ＋C 0n ， ∴2S ＝2(n ＋1)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＝2(n ＋1)·2n ，∴S ＝(n ＋1)·2n . 答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系问题|1．(2016·海淀模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常项为( )A ．12B ．－12C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 3的展开式中的常项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A.答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系是________．(用字填写答案)解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系为35.答案：353．若⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －r·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝n ＋5有正整解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行简通项公式后，令字母的指符合要求(求常项时，指为零；求有项时，指为整等)，解出项r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系性质与各项系和问题|(1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系最大，则展开式的常项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________.[解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102rx 5－52r ，所以r ＝2时，常项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系最大项的确定方法(1)如果n 是偶，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系最大．(2)如果n 是奇，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的归能力，归纳起常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系)问题．2．几个多项式积的展开式中的特定项(系)问题．3．三项展开式中的特定项(系)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系是( )A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇次幂项的系之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋＝32，解得a＝3.C44答案：3探究三三项展开式中特定项(系)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系为( )A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系有关考虑赋值法，令x＝±1，可求得奇项与偶项系之和．[解析] 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4，①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)4.②故(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系与系和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中各项系之和为f(1)，奇项系之和为a 0＋a2＋a4＋…＝f＋f－2，偶项系之和为a1＋a3＋a5＋…＝f －f－2.[跟踪练习] 若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝36＋1 2.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中的所有二项式系之和为512，则该展开式中常项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36解析：由二项式系之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系最大项的系最大，∴(1＋x )6的展开式系最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系之和为128，则展开式中1x3的系是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r(－1)rx 7－5r3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x3的系为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 的系为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 6的展开式中常项为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14r x －r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14rx6－2r，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516.答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常项，而(a 2＋1)n 的展开式的系最大的项等于54，求正a 的值．解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r2，令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常项T 5＝C 45·165＝16， 又(a 2＋1)n 展开式的各项系之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝3. 10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整，∴S 被9除的余为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系是84，则实a＝( )A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝27－r C r 7a r·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系相等，则奇项的二项式系和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇项的二项式系和为12×210＝29. 答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。

第三节二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)❶；(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式中的第r项.()(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√二、选填题1.二项式(x －2)5展开式中x 的系数为( ) A.5 B.16 C.80D.－80解析：选C 由二项式定理知，其展开式中含x 的项为T 5＝C 45x (－2)4，故其系数为C 45(－2)4＝80.2.⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( ) A.－150 B.150 C.－240D.240解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k＝C k 6x 6－k·(－2)k ·x －k 2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240. 3.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的展开式中，x 的系数是( ) A.152 B.－152C.15D.－15解析：选B⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫x 210－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－1)r 22r －10C r 10x 5－3r 2，令5－3r 2＝12，得r ＝3，所以x 的系数是(－1)3·2－4·C 310＝－152. 4.若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n ＝________. 解析：由题意，可知2n ＝128，解得n ＝7. 答案：75.若(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________.解析：(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6.由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7. 答案：7考点一 二项展开式中特定项或系数问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________.(3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. (3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[过关训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240. 2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[师生共研过关][典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[过关训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.解析：令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.答案：－3或13.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n－2n ＋C n－1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C715(3x)7和T9＝C815(3x)8.答案：C715(3x)7和C815(3x)8考点三二项展开式的应用[师生共研过关][典例精析]设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解析]由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1，又13整除52，所以只需13整除1＋a，又0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12.[答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[过关训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4解析：选C∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数为________.解析：∵1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910，∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1.答案：1。

课时作业58 二项式定理[基础达标]一、选择题1．[2020·某某某某检测]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，x 2的系数为( )A.154 B ．－154C.38 D ．－38 解析：⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 622r －6x 3－r，令r ＝1，可得x 2的系数为(－1)1×C 16×22×1－6＝－38.故选D. 答案：D2．[2020·某某某某三中测评]⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项的二项式系数为( )A ．70 B.358C.354D ．105 解析：T r ＋1＝＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 4－r，当4－r ＝0，即r ＝4时，所得项为常数项，所以常数项的二项式系数为C 48＝70，故选A.答案：A3．[2020·某某某某检测](1－2x )5(2＋x )的展开式中，x 3的系数是( ) A ．－160 B ．－120 C ．40 D ．200解析：(1－2x )5(2＋x )的展开式中x 3的系数是(1－2x )5的展开式中x 3的系数的2倍与(1－2x )5的展开式中x 2的系数的和，易知(1－2x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－2)r C r 5x r，令r ＝3，得x 3的系数为－8C 35＝－80，令r ＝2，得x 2的系数为4C 25＝40，所以(1－2x )5(2＋x )的展开式中x 3的系数是－80×2＋40＝－120.故选B.答案：B4．[2020·某某重点中学协作体联考](1＋x －x 2)10展开式中x 3的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．210解析：(1＋x －x 2)10＝[1＋(x －x 2)]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x －x 2)r .(x －x 2)r的通项公式为T ′m ＋1＝C mr ·xr －m·(－x 2)m ＝(－1)m C m r xr ＋m，令r ＋m ＝3，根据0≤m ≤r ，r ∈N ，m ∈N ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，m ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，m ＝0，∴(1＋x －x 2)10展开式中x 3项的系数为－C 210C 12＋C 310C 03＝－90＋120＝30.故选B.答案：B5．[2020·某某八校联考]若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( )A ．－2B ．－3C ．125D ．－131解析：对于题中等式，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得－2＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－3.∵(1＋x )(1－2x )7＝(1＋x )·[C 07×17×(－2x )0＋C 17×16×(－2x )1＋…＋C 77×10×(－2x )7]，∴a 8＝C 77×10×(－2)7＝－128，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝125.故选C.答案：C6．[2020·某某某某检测](2x －y )(x ＋2y )5展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－40 B ．120 C ．160 D ．200解析：(2x －y )(x ＋2y )5展开式中x 3y 3的项为2x ·C 35x 2·(2y )3＋(－y )C 25·x 3·(2y )2＝160x 3y 3－40x 3y 3＝120x 3y 3，故展开式中x 3y 3的系数为120.故选B.答案：B7．[2020·某某某某十校联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－64解析：由(x ＋1)4＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]4＋[(x －1)－1]8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，得a 3·(x －1)3＝C 14·(x －1)3·2＋C 58·(x －1)3·(－1)5，∴a 3＝8－C 58＝－48.故选C.答案：C8．[2020·某某某某调研]“a >1”是“⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6x 4(a ∈R )的展开式中的常数项大于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 6x 4(a ∈R )的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4x 4－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6x k ＝C k 4x 4－2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6k，令4－2k ＝0，得k ＝2，所以展开式中的常数项为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 62＝6×a 26＝a 2，若展开式中的常数项大于1，则a 2>1，得a >1或a <－1，即“a >1”是“⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6x 4(a ∈R )的展开式中的常数项大于1”的充分不必要条件．故选A.答案：A9．[2020·某某区高考高效训练]若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝( )A.34(3n －1)B.34(3n－2) C.32(3n －2) D.32(3n－1) 解析：在等式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝31－3n1－3＝32(3n－1)．故选D. 答案：D10．[2020·某某某某联考]设命题p 1：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式共有4项；命题p 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式的常数项为24；命题p 3：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式中各项的二项式系数之和为16.那么，下列命题中为真命题的是( ) A ．綈p 2 B ．p 1∧p 2 C ．p 2∧p 3 D ．p 1∨(綈p 3)解析：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式共有5项，常数项为22C 24＝24，各项的二项式系数之和为24＝16，故p 1为假命题，p 2，p 3均为真命题，则p 2∧p 3为真命题．故选C.答案：C 二、填空题11．[2020·某某浦东新区检测]已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项的系数为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n n －12＝37，得n ＝8，故展开式中的第五项的系数为C 48×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝358.答案：35812．[2019·某某卷]在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：16 2 513．[2020·某某重点高中协作体联考]在(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )8的展开式中，x 2的系数是________．解析：由题意可知(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )8的各项中x 2的系数分别为C 2n ，3≤n ≤8，n ∈N ，所以(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 28＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 28－1＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 28－1＝C 35＋C 25＋…＋C 28－1＝…＝C 39－1＝83.答案：8314．[2020·某某彬州第一次教学质量监测]如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为256，则展开式中1x2的系数是________．解析：令x ＝1，可得各项系数之和为(3－1)n ＝256，求得n ＝8，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 28的通项公式是T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 8·38－r ·(－1)r·x 58-r 3，令8－53r ＝－2，解得r ＝6.故展开式中1x2的系数是C 68·32＝252.答案：252[能力挑战]15．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中第m 项为常数项，则m ，n 应满足( )A ．2n ＝3(m －1)B ．2n ＝3mC ．2n ＝3(m ＋1)D ．2n ＝m解析：由题意得，⎝⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C rn x3n-2r，当n ＝32r ，即2n ＝3r 时，为常数项，此时r ＝m －1，所以m ，n 应满足2n ＝3(m －1)，故选A.答案：A16．[2020·某某某某华侨学校检测]在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的指数是整数的项数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 24(x )24－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r24x 512-6r，∴当r ＝0,6,12,18,24时，x 的指数是整数，故x 的指数是整数的有5项，故选D.答案：D17．(1＋2x )n的展开式中第6项与第7项的系数相等，展开式中二项式系数最大的项为________；系数最大的项为________．解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6， 依题意有C 5n ·25＝C 6n ·26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4，设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r －18·2r －1，C r8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6(∵r ∈{0,1,2，…，8})， ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. 答案：1 120x 41 792x 6。

考点57 二项式定理1．(2-x)(1+2x)5展开式中,含x2项的系数为()A.30B.70C.90D.-150【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为T r+1=·,∴展开式中,含x2项的系数为2××22-×2=70,故选B.2．(1－3x)7的展开式的第4项的系数为()A．－27C37B．－81C47C．27C37D．81C47【答案】A【解析】(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C37×17－3×(－3x)3＝－27C37x3，其系数为－27C37，选A.3．设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为()A.16B.10C.4D.2【答案】B【解析】∵展开式的通项公式为=·=(-1)k,令=0,得k=,∴n可取10.4．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为()A．－30 B．120C．240 D．420【答案】B【解析】[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C26(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C34×23，x2y2项的系数为C24×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为C26C34×23－C26C24×22＝480－360＝120，故选B.5．设a=sin xdx,则的展开式中常数项是()A.160B.-160C.-20D.20【答案】B【解析】由题意得a=sin xdx=(-cos x)=2.∴二项式为,其展开式的通项为T r+1=·=(-1)r·26-r·x3-r,令r=3,则得常数项为T4=-23·=-160.故选B.6．(x＋y＋z)4的展开式的项数为()A．10 B．15C ．20D ．21【答案】B【解析】(x ＋y ＋z )4＝[(x ＋y )＋z ]4＝C 04(x ＋y )4＋C 14(x ＋y )3z ＋C 24(x ＋y )2z 2＋C 34(x ＋y )z 3＋C 44z 4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B. 7．(x 2+3y-y 2)7展开式中x 12y 2的系数为( ) A.7B.-7C.42D.-42【答案】B【解析】将(x 2+3y-y 2)7看作7个因式相乘,要得到x 12y 2项,需要7个因式中有6个因式取x 2,1个因式取-y 2,故x 12y 2的系数为×(-1)=-7.8．1-90+902-903+…+(-1)k 90k +…+9010除以88的余数是( ) A.-1 B.1 C.-87 D.87 【答案】B【解析】1-90+902-903+…+(-1)k 90k +…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1.∵前10项均能被88整除, ∴余数是1.9．⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25 D ．25【答案】C【解析】⎝⎛⎭⎫x 2－3x ＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＝x 2⎝⎛⎭⎫1－1x 5－3x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5＋4x ⎝⎛⎭⎫1－1x 5，⎝⎛⎭⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ⎝⎛⎭⎫1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝⎛⎭⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2⎝⎛⎭⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C.10．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中的常数项为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18【答案】B【解析】在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，∴A ＝4n ，该二项展开式的二项式系数之和为2n ，∴B ＝2n ，∴4n ＋2n ＝72，解得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3的展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0得r ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13＝9，故选B. 11．(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,含x 2y 3z 2的项的系数为( ) A.-30 B.120 C.240 D.420【答案】B【解析】由(x-y)(x+2y+z)6=(x-y)[(x+2y)+z]6,得含z 2的项为(x-y)(x+2y)4z 2=z 2[x(x+2y)4-y(x+2y)4], ∵x(x+2y)4-y(x+2y)4中含x 2y 3的项为xx(2y)3-yx 2(2y)2=8x 2y 3, ∴含x 2y 3z 2的项的系数为×8=15×8=120,故选B. 12．若a 0x 2 016+a 1x 2 015(1-x)+a 2x 2 014(1-x)2+…+a 2 016(1-x)2 016=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 2 016的值为( ) A.1 B.0 C.22 016 D.22 015 【答案】C【解析】1=[x+(1-x)]2 016=x 2 016+x 2 015(1-x)+…+(1-x)2 016, ∴a 0+a 1+…+a 2 016=++…+=22 016,故选C.13．在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________. 【答案】－2 【解析】⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a 5－4＝－10，解得a ＝－2. 14．(1+2x)3(1-x)4展开式中x 2的系数为 . 【答案】-6【解析】∵展开式中x 2项为13(2x)0·12(-x)2+12(2x)1·13(-x)1+11(2x)2·14(-x)0, ∴所求系数为·+·2··(-1)+·22·=6-24+12=-6. 15．若(x －1)5＝a 5(x ＋1)5＋a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 【答案】31【解析】令x ＝－1可得a 0＝－32.令x ＝0可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－a 0＝－1＋32＝31.16．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________． 【答案】120【解析】在⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝⎛⎭⎫x ＋1x 4,23C 35⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02＝40＋80＝120.17．在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n 项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= . 【答案】120【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为=x r ,(1+y)4展开式的通项公式为=y h , ∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h . ∴f(m,n)=.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+++=20+60+36+4=120.18．若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________. 【答案】8【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n n －18，由其依次成等差数列，得n ＝1＋nn －18，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8. 19．二项式⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，含x 2项的系数是________． 【答案】60【解析】由二项展开式的通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6x 6－2r (－2)r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 26(－2)2＝60.20．⎝⎛⎭⎫x ＋ax 210展开式中的常数项为180，则a ＝________. 【答案】±2【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋a x 210展开式的通项为C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫a x 2r ＝a r C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，又a 2C 210＝180，故a ＝±2.21．设⎝⎛⎭⎫1x ＋x 24的展开式中x 2的系数为m ，则直线y ＝m3x 与曲线y ＝x 2所围成的图形的面积为________． 【答案】43【解析】⎝⎛⎭⎫1x ＋x 24的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r －4·x 2r ＝C r 4x 3r －4，令3r －4＝2，得r ＝2，则m ＝C 24＝6.又直线y ＝2x 与曲线y ＝x 2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S ＝⎠⎛20(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝43.,22．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256.(1)求n 的值；(2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) 8 (2) 8【解析】(1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 8(3x)8－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r 3， 令8－4r3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 23．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) 3 432 (2) 16 896x 10【解析】(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124·23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123·24＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫127·27＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第r ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x)12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 124r ≥C r －1124r －1，C r 124r ≥C r ＋1124r ＋1. ∴9.4≤r≤10.4，又r ∈N *，∴r ＝10.∴展开式中系数最大的项为第11项，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。

一、自我诊断 知己知彼1．在()()()()()12345x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A.-15 B.85 C.-120 D.274 【答案】A【解析】 本题可通过选括号（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。

故含4x 的项的系数为()()()()()1234515-+-+-+-+-=- 2.()52y x x++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A.10B.20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】r r r r y x x C T -++=5251)(，令r=2,则232253)(y x x C T +=，对于二项式()32x x +，由tt t t t t x C x x C T --+=⋅=633231)(，令t=1, 所以25y x 的系数为301325=C C .【易错点】通项公式易错.【方法点拨】求二项展开式特定项的系数的关键是求出满足条件的r 的值，因此应通过求出二项展开式的通项，然后根据已知条件列出方程，解出r 的值，最后代入通项中，求出特定项的系数. 3.()4x y y x -的展开式中，55y x 项的系数为________． 【答案】6【解析】由二项展开式的通项可得22244441)1()()(r r r rr rrr yxC x y y x C T +--+⋅-=-⋅-=.令⎩⎨⎧4－r 2＝32＋r2＝3解得r ＝2，所以展开式中55y x 的系数为()61242=-C .4．若512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D【解析】令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴512⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的通项为()()r r r rrrrr x C x x C T 25555512112---+⋅⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=. 令521r -=，得2r =.令521r -=-，得3r =∴展开式的常数项为()()233223551212804040C C -⨯⋅+-⋅⋅=-=二、温故知新 夯实基础1.二项式定理公式())(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b aC a C b a nn n k k n k n n n n n nΛΛ叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做nb a )(+的二项展开式，其中的系数),,1,0(n k C k n Λ=叫做二项式系数，式中的kk n k n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+k T 表示. 2.二项式系数的性质（1）对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=.（2）增减性与最大值：二项式系数kn C ，当21+<n k 时，二项式系数逐渐增大，当21+>n k 时，二项式系数逐渐减小.当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大.（3）各二项式系数的和：nb a )(+展开式的各个二项式系数的和等于n2，即nn n n n C C C 210=+++Λ（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即131202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ.三、典例剖析 思维拓展考点一 求展开式中的指定项例1 ()52y x x ++的展开式中，25y x 的系数为（ ）A.10B.20 C ．30 D ．60 【答案】C【解析】r r r r y x x C T -++=5251)(，令r=2,则232253)(y x x C T +=，对于二项式()32x x +，由tt t t t t x C x x C T --+=⋅=633231)(，令t=1, 所以25y x 的系数为301325=C C .【易错点】通项公式易错.【方法点拨】求二项展开式特定项的系数的关键是求出满足条件的r 的值，因此应通过求出二项展开式的通项，然后根据已知条件列出方程，解出r 的值，最后代入通项中，求出特定项的系数.例2.6221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，常数项是( ) A. 54-B. 54 C ．1516- D. 1516【答案】D【解析】 ()rr rr rr r xC x xC T 312662612121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为161521464=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C .故选D .例3.8421⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的有理项共有________项． 【答案】3 【解析】()4316848812121rrr r rrr xC x x CT --+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Θ，∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项．考点二 利用二项式定理求参数例1 .若521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ax 的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.【答案】-2 【解析】rrr r xaC T 2510551--+=，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以80325-=a C ，a ＝－2.例2.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24【答案】C【解析】727777112)2(---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x rr r rr r r x a C x a x C T .令2r －7＝3，则r ＝5.由8425572=⋅a C 得a ＝1.故选C.考点三 二项式系数的和或各项系数的和例1.二项式()923x y -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值之和．【答案】（1）92（2）1- （3）9512- （4）95【解析】设()992728190932ya y x a y x a x a y x ++++=-Λ.(1)二项式系数之和为9992919092=++++C C C C Λ.(2)各项系数之和为9210a a a a ++++Λ，令x ＝1，y ＝1，得()13299210-=-=++++a a a a Λ.(3)由(2)知19210-=++++a a a a Λ，①令x ＝1，y ＝－1，得992105=--+-a a a a Λ，②①＋②得215986420-=++++a a a a a ，此即为所有奇数项系数之和．(4)92109210a a a a a a a a --+-=++++ΛΛ，令x ＝1，y ＝－1，得9921092105=--+-=++++a a a a a a a a ΛΛ，此即为各项系数绝对值之和．考点四 项的系数的最值问题例1.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2323的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）322270x；（2）326405x.【解析】令x ＝1，则展开式中各项系数和为()nn2231=+.又展开式中二项式系数和为2n.∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5.（1）∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，()622332253903x x x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴， ()322322323542703x x x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由()3410525325133k k k kkk k xC x x C T +-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--151515153333k k k k k k k k C C C C ∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为()32642324554053xx x C T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.考点五 与整除有关的问题例1.设a Z ∈，且013a ≤<，若201851a +能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12【答案】D【解析】 由于51521=-，()15252521521201720182017120182018020182018+-+-=-C C C Λ，又由于13整除52，所以只需13整除1a +，013a ≤<，a Z ∈，所以12a =考点六 求近似值问题例1.求60.998的近似值，使误差小于0.001. 【答案】0.988【解析】()()()()62660.99810.002160.002150.0020.002=-=+⨯-+⨯-++-L∵()23150.0020.000060.001T =⨯-=<， 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001， ∴从第3项起，以后的项可以忽略不计， 即()()660.99810.002160.0020.988=-≈+⨯-=四、举一反三 成果巩固考点一 求展开式中的指定项1.8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中22y x 的系数为 ( ) A. 70 B. 80 C. －1 D. －80 【答案】A【解析】因为8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式的通项公式为2832388881)1(---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r rr rrr r yx C x y y x C T令3388222r r --==，得4r =所以22y x 的系数为70)1(448=-C .2．的展开式中，的系数为__________．【答案】90【解析】把()621+-y x 看成6个相同因式12+-y x 的乘积， 6个因式中有两个因式提供2x ， 余下的4个因式有两个提供y -，其余的因式提供常数，故系数为()9011222426=⨯-C C ．填90．点睛：一般地，()s s r rn sr rn nc b aC C c b a --=++，其中rn C 表示n 个因式()c b a ++中有r n -个因式提供a ，s r C 表示余下的r 个因式()c b a ++中有s 提供c ，余下的s r -个因式()c b a ++提供b ，这样的思想方法来自二项展开式的推导过程．3.已知nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求n 的值； （2）求n x x )12(+的展开式中2x 项的系数；（3）求n xx xx )12)(1(+-展开式中的常数项.【答案】（1）5；（2）80；（3）-30.【解析】（1）由题意结合二项式系数的性质可得322=n ， 解得5=n ． （2）由题意得5)12(xx +的通项公式为()23555551212rr r rr r r x C x x C T ---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 令2235=-r，解得2=r ， 所以5)12(xx +的展开式中2x 项的系数为802253=⨯C ．（3）由（2）知，5)12(xx +的展开式的通项为2355512r r rr xC T --+=，令1235-=-r，解得4=r ； 令21235=-r ，解得3=r ．故2nx x⎛ ⎝展开式中的常数项为5445335522104030C C ---=-=-考点二 利用二项式定理求参数1．若6)(xa x -的展开式中含23x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）A.2B.-2C. 22D. -22 【答案】B【解析】二项式6)(xa x -的展开式的通项为23661)(r r rr xC a T -+-=，令23236=-r ，解得3=r ，160)(363=-∴C a ， 解得2-=a故选B.2．已知5)1)(1(xax x -+的展开式中常数项为-40，则a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2±D. 4【答案】C 【解析】5)1(x ax -展开式的通项公式为：r r r r r r r r x C a xax C T 2555551)1()1()(---+-=-=， 令125-=-r 可得：，结合题意可得：3=r 40)1(35353-=--C a ，即40102=a ，2±=∴a .本题选择C 选项.3.若52)12)(3(xx a x --的展开式中3x 的系数为80，则a= . 【答案】-2.【解析】二项式5)12(x x -展开式的通项为r r r r r r rr x C xx C T 25555512)1()1()2(---+-=-=， 故展开式中3x 的系数为a C a C 801202)1()(23154253+=⋅⋅-⨯-+⋅⨯，由题意得8080240=+a ， 解得2-=a ．考点三 二项式系数的和或各项系数的和 1. 已知)()1()1()1()1()21(201720172016201622102017R x x a x a x a x a a x ∈-+-++-+-+=-Λ，则=+-+-+-20172016432120172016432a a a a a a Λ .【答案】-4034. 【解析】因为)()1()1()1()1()21(201720172016201622102017R x x a x a x a x a a x ∈-+-++-+-+=-Λ，两边同时求导可得)()1(2017)1(2016)1(2)21(201722016201720152016212016R x x a x a x a a x ∈-+-++-+=-⨯-Λ，令0=x ，得40342017201643220172201720164321-=+-+-+-=⨯-a a a a a a Λ．2. 已知6)(b ax +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与-18，则6)(b ax +的展开式中所有项系数之和为______________． 【答案】10.【解析】因为6)(b ax +的展开式中4x 项的系数为135，所以1352426=b a C ；又因为6)(b ax +的展开式中5x 项的系数为-18，所以181516-=b a C ，解得3,1=-=b a ，或3,1-=-=b a ，令1=x ，可得6)(b ax +的展开式中所有项系数之和为6426=．3.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++=__________． 【解析】对等式两边求导得()42341234510232345x a a x a x a x a x -=++++， 令1x =得12345102345a a a a a =++++，故答案为10.考点四 项的系数的最值问题1．设nn n x a x a x a a x ++++=-Λ2210)12(展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ； （2）求n a a a a ++++Λ210;（3）求n n a a a a 222233221++++Λ. 【答案】（1）2018；（2）20183；（3）-1. （1）由二项式系数的对称性，101012=+n，2018=∴n . （2）2018201821020182103=+++-=++++a a a a a a a a ΛΛ.（3）12222201820183201822018120182018201833221-=++-+-=++++C C C C a a a a ΛΛ. 2．设)()1(*2210N n x a x a x a a x n n n ∈++++=+Λ，若6321=+++n a a a Λ，则展开式中系数最大的项是__________. 【答案】320x .【解析】因为)()1(*2210N n x a x a x a a x n n n ∈++++=+Λ，所以10=a ， 所以63121)11(21=-=-+=+++nn n a a a Λ，所以6=n ， 所以展开式中系数最大的项是333620x x C =.3. 求10)12(xx -的展开式中：（1）第10项 （2）常数项；（3）系数的绝对值最大的项.【答案】（1）820--x ；（2）-8064；（3）415360x -. 【解析】r r r r r r r r x C xx C T 210101010101)1(2)1()2(---+-=-=（1）10)12(xx -的展开式中第10项，即81020--=x T（2）常数项为第6项。

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：二项式定理（含解析）一、【知识精讲】1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.【注意点】(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，C n n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n二、【典例精练】考点一 通项公式及其应用 角度1 求二项展开式中的特定项【例1－1】 (1)(2018·信阳二模)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是( ) A.5B.－10C.－32D.－42(2)⎝⎛⎭⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________.【答案】 (1)D (2)454x 2，－638，45256x －2 【解析】 (1)由于⎝⎛⎭⎪⎫1x －25的通项为C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5－r·(－2)r ＝C r 5·(－2)r·xr －52，故(x 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －25的展开式的常数项是C 15·(－2)＋C 55(－2)5＝－42. (2)二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x10－2k3.由题意10－2k 3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2， －638，45256x －2. 【解法小结】 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可.。

第3节二项式定理知识点、方法题号二项展开式的通项公式1,3,8,9二项式系数的性质、系数和2,4,5,6,7,10,11,12 二项式定理的简单应用13,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.在（x2-）n的展开式中,常数项为15,则n的值可以为( D )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:因为=(x2)n-r（-）r=(-1)r x2n-3r,所以(-1)r=15且2n-3r=0,所以n可能是6.故选D.2.设（x-）6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则等于( A )(A)4 (B)-4 (C)26(D)-26解析:T k+1=x6-k（-）k=(-2)k,令6-=3,即k=2,所以T3=(-2)2x3=60x3,所以x3的系数为A=60,二项式系数为B==15,所以==4.故选A.3.(2017·咸阳市二模)设a=sin xdx,则（a+）6展开式的常数项为( D )(A)-20 (B)20 (C)-160 (D)240解析:a=sin xdx=(-cos x)=-(cos π-cos 0)=2,则(a+)6=（2+）6展开式的通项公式为T r+1=·(2)6-r·（）r=26-r··.令3-r=0得r=2,所以展开式中的常数项为24·=240.故选D.4.已知（x2+）n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为( D )(A)5 (B)40 (C)20 (D)10解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r（）r=x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.故选D.5.若（x-）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等,则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为( C )(A) (B)12 (C) (D)36解析: 由=,T r+1=a n-r b r知n=1+3=4,直线y=nx=4x与抛物线y=x2的交点的横坐标分别是0与4,因此结合图形(图略)可知,所求的封闭区域的面积等于(4x-x2)dx=（2x2-x3）|=.故选C.6.(2017·南平市一模)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( D )(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40解析:令x=1则有1+a=2,得a=1,故二项式为(x+)（2x-）5,其常数项为-22×+23=40.故选D.7.(2017·吉林延边模拟)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则= .解析:通项公式T r+1=(-2x)r=(-2)r x r,令r=3,则a3=(-2)3=-80;令r=2,则a2=(-2)2=40,所以==-2.答案:-28.若（+）n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6,则n= .解析:由题知,T7=()n-6（）6,T n+1-6=T n-5=·()6（）n-6.由=,化简得=6-1,所以-4=-1,所以n=9.答案:9能力提升(时间:15分钟)9. “n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为（2+）n(n∈N*)展开式的通项T r+1=2n-r,（2+）n的展开式中含有常数项时满足-=0,当n=5时,=0,解得r=3,此时含有常数项;反之,当n=10时,r=6,也有常数项,但是不满足n=5.故“n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件.故选A.10.(2017·福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为( A )(A)100 (B)15 (C)-35 (D)-220解析:由于(x+2)6的展开式的通项公式为T r+1=·x6-r·2r,令6-r=3,r=3,(x+2)6的展开式中x3的系数为8=160;令6-r=4,r=2,可得(x+2)6的展开式中x4的系数为-4,所以(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为8-4=160-60=100.故选A.11.(2017·陕西渭南市一模)已知f(x)=x+在区间[1,4]上的最小值为n,则二项式（x-）n展开式中x2的系数为.解析:f′(x)=1-=,x∈[1,4].令f′(x)=0,解得x=3.所以x∈[1,3]时,函数f(x)单调递减;x∈(3,4]时,函数f(x)单调递增.所以x=3时,函数f(x)取得最小值6.所以（x-）6的通项公式T r+1=x6-r（-）r=(-1)r x6-2r, 令6-2r=2,解得r=2,所以二项式（x-）n展开式中x2的系数为=15.答案:1512.如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为.解析:因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-513.已知（-）n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项.解:由题意知,第五项系数为·(-2)4,第三项的系数为·(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式T r+1=()8-r（-）r=(-2)r·.令-2r=,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.14.(2017·海南三亚模拟)已知f n(x)=(1+x)n.(1)若f2 017(x)=a0+a1x+…+a2 017x2 017,求a1+a3+…+a2 015+a2 017的值;(2)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求g(x)中含x6项的系数.解:(1)因为f n(x)=(1+x)n,所以f2 017(x)=(1+x)2 017,又f2 017(x)=a0+a1x+…+a2 017x2 017,所以f2 017(1)=a0+a1+…+a2 017=22 017, ①f2 017(-1)=a0-a1+…+a2 016-a2 017=0, ②①-②得2(a1+a3+…+a2 015+a2 017)=22 017,所以a1+a3+…+a2 015+a2 017=22 016.(2)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8.g(x)中含x6项的系数为+2+3=99.15.(2017·湖北武汉模拟)已知（+2x）n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解:(1)因为+=2,所以n2-21n+98=0.所以n=7或n=14,当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为（）423=,T5的系数为（）324=70,当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为（）727=3 432.(2)因为++=79,所以n2+n-156=0.所以n=12或n=-13(舍去).设T k+1项的系数最大,因为（+2x）12=（）12(1+4x)12,所以所以9.4≤k≤10.4,所以k=10.所以展开式中系数最大的项为T11,T11=·（）2·210·x10=16 896x10.。

课时跟踪检测（五十九）二项式定理一、题点全面练１.(201９·河北“五个一名校联盟”模拟）错误!３的展开式中的常数项为（）A.-3错误!未定义书签。

B.3错误!C。

６ﻩＤ。

－6解析：选D通项Ｔr+1=Ｃ错误!未定义书签。

错误!３－ｒ·(-x4)ｒ=Ｃ错误!(错误!）3－r·(-1)r x-6＋6r,当-６+6r=０，即ｒ＝1时为常数项,T２=-6，故选D.2.设(2-x）5=a０+a1x＋ａ2x2＋…+a5x5,则错误!未定义书签。

的值为( )A．－＼f(61,６0）ﻩB。

－错误!C。

-错误!未定义书签。

D.-错误!解析：选C由二项式定理,得a1=－C＼o＼ａl(1，5)２4=-80,a2=C错误!未定义书签。

2３＝80,a3=-C错误!未定义书签。

2２＝-40，a4=C错误!未定义书签。

2=10，所以错误!未定义书签。

=－错误!．3。

若二项式错误!7的展开式的各项系数之和为-１,则含x２项的系数为（)A。

560ﻩB。

－56０C。

280ﻩD。

-280解析:选A取x=１,得二项式错误!未定义书签。

７的展开式的各项系数之和为(1+a)7,即(1+a)7=-１,1＋ａ=-1,a=－2.二项式错误!7的展开式的通项T r＋1＝Ｃ错误!·(x2)7-r·错误!ｒ=C错误!·(-２）r·ｘ14-３r。

令14-3r=2，得r＝4．因此,二项式错误!7的展开式中含x2项的系数为C错误!·(-2）４=56０.４。

（2018·山西八校第一次联考）已知(１+x）n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(）A．29Ｂ.21０Ｃ.２１1 D.21２解析：选A 由题意得C错误!＝C错误!未定义书签。

,由组合数性质得ｎ=１0，则奇数项的二项式系数和为２n－１＝29。

ﻬ5。

二项式错误!9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )Ａ．－671ﻩＢ。

课时作业64 二项式定理一、选择题1．C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C nn等于( D )A ．3nB ．2·3nC.3n2－1 D.3n－12解析：因为C 0n ＋2(C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C nn)＝(1＋2)n ，所以C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C nn＝3n－12. 2．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为( B )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：∵T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝1，得r ＝3，∴x 的系数为C 35＝10. 3．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( B )A ．5B ．40C ．20D ．10解析：由题意，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式中各项的系数和为243，令x ＝1，则3n＝243，解得n ＝5，所以二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 5x 15－4r，令15－4r ＝7，得r ＝2，则T 3＝22C 25x 15－4×2＝40x 7，即x 7的系数为40，故选B.4．(2019·吉林四平联考)1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n的展开式的各项系数之和为( C )A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n解析：令x ＝1，得1＋2＋22＋ (2)＝n ＋1－2－1＝2n ＋1－1.5．(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( C ) A ．600 B ．360C ．－600D ．－360解析：由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.6．(2019·内蒙古包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( B )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 7．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01510的展开式中，x 2的系数为( C ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋1x2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 01510，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C.二、填空题8．(x 2－1x)8的展开式中x 7的系数为－56.(用数字作答)解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r·(－1x)r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r＝3，故x 7的系数为－C 38＝－56.9．若二项式(x －23x)n的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其常数项是13_440.解析：∵二项式(x －23x)n的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，∴n ＝10，∴T r＋1＝C r10(x )10－r (－23x)r ＝(－2)r C r 10·x30－5r 6 ，令30－5r 6＝0，解得r ＝6，∴常数项是(－2)6C 610＝13 440.10．(2019·湖南湘东五校联考)若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝－14. 解析：(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为C 25·22＋a ·C 35·23＝20，∴40＋80a ＝20，解得a ＝－14.11．(2019·武汉市调研)在(x ＋4x－4)5的展开式中，x 3的系数是180.解析：(x ＋4x －4)5＝(－4＋x ＋4x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－4)5－r·(x ＋4x)r ，r ＝0,1,2,3,4,5，(x ＋4x )r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r x r －k (4x)k ＝4k C k r x r －2k，k ＝0,1，…，r .令r －2k＝3，当k ＝0时，r ＝3；当k ＝1时，r ＝5.∴x 3的系数为40×C 03×(－4)5－3×C 35＋4×C 15×(－4)0×C 55＝180.12．(2019·广东茂名联考)在(x ＋x )6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5的展开式中，x 4y 2项的系数为( C )A ．200B ．180C ．150D ．120解析：(x ＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6(x )6－r x r＝C r 6，令6＋r2＝4，得r ＝2，则T 3＝C 26＝15x 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1y r ＝C r 5y －r ，令r ＝2可得T 3＝C 25y －2＝10y －2.故x 4y 2项的系数为15×10＝150.13．(2019·安徽蚌埠一模)已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( B )A ．18B ．24C ．36D ．56解析：∵(2x －1)4＝[(2x －2)＋1]4＝[1＋(2x －2)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，∴a 2＝C 24·22＝24，故选B.14．(2019·山东济南模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为－48.解析：令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中x 4项的系数即是⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的x 3项与x 5项系数的和．又⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得x 3项与x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中x 4项的系数为－80＋32＝－48.——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·洛阳市第一次联考)已知(1＋ax ＋by )5(a ，b 为常数，a ∈N *，b ∈N *)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数f (x )＝sin2x ＋b2x ＋π4，x ∈[0，π2]的最小值为2.解析：令x ＝0，y ＝1，得(1＋b )5＝243，解得b ＝2.因为x ∈[0，π2]，所以x ＋π4∈[π4，3π4]，则sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，所以f (x )＝sin2x ＋b2x ＋π4＝sin2x ＋2sin x ＋cos x＝2sin x ·cos x ＋2sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x ＋1sin x ＋cos x≥2x ＋cos x1sin x ＋cos x＝2，当且仅当sin x ＋cos x ＝1时取“＝”，所以f (x )的最小值为2.。

核心素养提升练六十二二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80【解析】选C.展开式的通项公式为T r+1= (x2)5-r=2r x10-3r,令10-3r=4可得r=2,则x4的系数为22=40.【变式备选】的展开式中常数项为( )A.15B.-15C.20D.-20【解析】选 A.T r+1= ()6-r=(-1)r,r=0,1,…,6,令3-r=0,得r=2,所以的展开式的常数项为(-1)2=15.2.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,则n等于( )A.4B.5C.6D.7【解析】选C.展开式中,各项系数的和为4n,各项二项式系数的和为2n,由已知得=2n=64,所以n=6.3.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )A.(x-1)3B.(x-2)3C.x3D.(x+1)3【解析】选C.S= (x-1)3+ (x-1)2×1+ (x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3.【变式备选】(2018·银川模拟) +2+4+…+2n-1等于()A.3nB.2·3nC. -1D.【解析】选D. +2+4+…+2n-1= (+2+22+…+2n)-= (1+2)n-=.4.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有( )A.3项B.4项C.5项D.6项【解析】选C.因为T r+1= ()24-r=,故当r=0,6,12,18,24时,幂指数为整数,共有5项.5.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为 ( )A.1或3B.-3C.1D.1或-3【解析】选D.令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6,又a1+a2+a3+…+a6=63,所以(1+m)6=64=26,故m=1或m=-3.6.若展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 ( )A.90B.45C.120D.180【解析】选 D.因为展开式中只有第六项的二项式系数最大,故n=10,展开式的通项公式为T r+1=·2r·令5-=0,得r=2,所以展开式中的常数项是·22=180.7.已知n∈N*,则24n除以15的余数为()A.1B.3C.4D.2【解析】选A.因为24n=16n=(15+1)n=15n+15n-1+ (15)=15(15n-1+15n-2+…+)+1.所以余数为1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·天津高考)在的展开式中,x2的系数为________.【解析】因为的通项为T r+1=x5-r=(-1)r2-r,令=2,解得r=2,即T3=(-1)22-2x2=x2.所以在的展开式中,x2的系数为.答案:9.设的展开式中x3的系数为a,二项式系数为b,则的值为________.【解析】的展开式的通项是x6-k= (-2)k,根据题意得6-=3,k=2,因此x3的系数为a=60,二项式系数为b==15,因此, = =4.答案:4【误区警示】二项式系数与项的系数(a+bx)n的展开式中,二项式系数是指, ,…, ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 如(a+bx)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是,而该项的系数是a n-k b k.10.(2018·汕头模拟)已知 (2x-1)5展开式中的常数项为30,则实数a=________.【解析】(2x-1)5的展开式的通项公式为T r+1= (2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.所以 (2x-1)5展开式中的常数项为·2x=30,解得a=3.答案:3【变式备选】(1+x+x2)的展开式中的常数项为________.【解析】的展开式中,T r+1=x6-r·=(-1)r x6-2r,令6-2r=0,得r=3,T4= (-1)3=-,令6-2r=-1,得r= (舍去),令6-2r=-2,得r=4,T5= (-1)4x-2,所以(1+x+x2)的展开式中的常数项为1×(-)+=-20+15=-5. 答案:-5(20分钟40分)1.(5分)若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.的展开式的项为T r+1=x6(n-r) =,由6n-r=0得,n=r,又n为正整数,所以当r=4时,n 的最小值为5.【变式备选】在的展开式中,x3的系数为10,则实数a等于( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选D.因为T r+1=x5-r=a r x5-2r,所以当5-2r=3时,r=1,所以a=10,所以a=2.2.(5分)在二项式的展开式中,偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为________.【解析】二项式展开式中,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等,所以2n-1=256,解得n=9;所以二项式的展开式中,通项公式为T r+1= (9x)9-r=99-r;令9-=1,解得r=6;所以展开式中x的系数为93=84.答案:84【变式备选】若的展开式中,二项式系数和为64,所有项的系数和为729,则a的值为________.【解析】由的展开式中二项式系数和为2n=64,可得n=6,再由的展开式中所有项的系数和为(1+a)6=729,可得a=-4或a=2.答案:-4或23.(5分)如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为________.【解析】因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式中所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为 (-1)3-(-1)0=-5.答案:-54.(12分)已知在的展开式中,第6项为常数项.(1)求n.(2)求含x2项的系数.(3)求展开式中所有的有理项.【解析】(1)通项公式为T r+1==,因为第6项为常数项,所以r=5时,有=0,即n=10.(2)令=2,得r= (n-6)=2,所以含x2项的系数为=.(3)根据通项公式,由题意得令=k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=5-k,因为k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为x2,-, x-2.5.(13分)已知二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3.(1)求n的值.(2)求展开式中x3项的系数.(3)计算式子-2+4-8+…+1 024的值.【解析】(1)由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3,可得=,化简可得=,求得n=10.(2)由于二项展开式的通项公式为T r+1=(-2)r x5-r,令5-r=3,求得r=2,可得展开式中x3项的系数为(-2)2=180.(3)由二项式定理可得= (-2)r x5-r,所以令x=1得-2+4-8+…+1 024=(1-2)10=1.。