九年级数学上册小专题(八)构造基本图形解直角三角形的实际问题测试题湘教版

4.3解直角三角形及其应用〖预习练习〗1 a B 2.）(A)asin 2α (B)acos 2α (C)asin αcos α (D)asin αtan α3．半径为10cm 的圆内接正三角形的边长为 ，内接正方形的边长为 ，内接正六边形的边长为4.已知正六边形的面积为3 3 cm 2，则它的外接圆半径为 5.已知△ABC 中，∠B ＝30°，a ＝2，c ＝3，则S △ABC ＝6.等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.已知一山坡的坡度为1:3，某人沿斜坡向上走了100m ，则这个人升高了 m8.一锥形零件的大头直径为20cm ，小头直径为5cm ，水平距离为35cm ，则该锥形零件的锥度为 考点训练：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系中正确的是( ) (A) c=asinA ( B) c= a sinA (C) c=acosA (D) c= acosA2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10 ∠A=30°，则b=（ ）(A) 5 3 (B) 10 3 (C) 5 (D) 103. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 的坡度i=1：2,则BC ：CA ：AB 等于( )(A) 1：2：1 (B) 1： 3 ：2 (C) 1： 3 ： 5 (D) 1：2： 54.从1.5m 高的测量仪上,测得某建筑物顶端仰角为30°,测量仪距建筑物60m,则建筑物的高大约为( )A 34.65mB 36.14mC 28.28mD 29.78m5.已知直角三角形中,较大直角边长为30,此边所对角的余弦值为817，则三角形的周长为 ，面积为 。

6.在平行四边形ABCD 中，AD ：AB=1：2,∠A=60°,AB=4cm,则四边形面积为7.一锥形零件的表面如图，图纸上规定锥度k=3：8，则斜角a 的正切值为8.在△ABC 中, ∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c. (1)若∠A=60°,a+b=3+ 3 ,求a 、b 、c 及S △ABC (2)若△ABC 的周长为30,面积为30,求a 、b 、c9.如图四边形ABCD中, ∠A=60°, ∠B=∠D=90, CD=2, BC=11,求AC的长10.从高出海平面500米的直升飞机上,测得甲乙两船的俯角分别为45°和30°,已知两船分别在正东和正西,飞机和两船在同一铅垂面内,求两船的距离.解题指导(1)1.在矩形ABCD中,CE⊥BD,E为垂足,连结AE,已知BC=3,CD=4,求(1)△ADE的面积,(2)tan∠EAB2．已知∠MON＝60°，P是∠MON内一点，它到角的两边的距离分别为2和11，求OP的长3．一个圆内接正三角形面积为16 3 cm2,求(1)这个圆的半径；(2)这个圆的外切正三角形面积?4．如图,已知⊙O中弦AB=2,弓形高CD=2- 3 ,求弓形ABC的面积5.若a、b、c是△ABC的三边, a+c=2b,且方程a(1-x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等的实数根,求sinA+sinB+sinC的值6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=Rt ∠,AC=2,tan 2A+ tan 2B= 103 ,∠A>∠B,点P 在斜边AB 上移动,连结PC,(1)求∠A 的度数(2)设AP 为x,CP 2为y,求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围,(3)求证：AP=1时,CP ⊥AB解题指导（2）1.（1）已知锥体轴截面(如图)，斜角α,tan α=18 ，求锥度K=（2）一锥形零件锥度为18，小头直径为20mm ，长为64mm,求这个零件侧面积；（3）如图，渠道横截面为等腰梯形，内坡比为2：1，测得距深为2m ，上口宽为3.5m ，求渠道底宽。

湘教版九年级数学上册同步练习 44.3 解直角三角形知识点1 一边一角解直角三角形1．如图4－3－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)∠A 和c ，那么a ＝________，b ＝________；(2)∠B 和b ，那么a ＝________，c ＝________．2．在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，那么AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°图4－3－1图4－3－23．如图4－3－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，那么BC 的长是( ) A.4 33B ．4C ．8 3D ．4 3 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°，求∠A ，b ，c .知识点2 两边解直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝6，那么AB ＝________，∠A ＝______°，∠B ＝________°.6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 区分是∠A ，∠B ，∠C 的对边，假设a ＝2，b ＝2 3，求c 及∠B .知识点3 一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝32，BC ＝5，那么∠B ＝________°，AB ＝________． 8．2021·岳阳如图4－3－3是教学用三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，那么边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm9．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，那么AC 边的长是( ) A ．6 B ．2 5C ．3 5D ．2 13图4－3－3图4－3－4知识点4 〝双直角三角形〞效果10．如图4－3－4，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，那么BC 的长为( )A ．4 3B ．4 3＋4C ．4 3－4D ．411．教材习题4.3第3题变式如图4－3－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，AB ＝20，求∠A 的度数．图4－3－512．如图4－3－6所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．AB ＝10，tan B＝34，那么BC 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．12 D ．16图4－3－6图4－3－713．如图4－3－7，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，AB ＝8 cm ，BC ＝10 cm ，那么tan ∠EAF ＝________．14．如图4－3－8，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，AD ＝4.求BC 的长．(结果保管根号)图4－3－815．如图4－3－9，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝2，OB ＝1，OA 与x 轴的正方向的夹角为30°，求A ，B 两点的坐标．图4－3－916．如图4－3－10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝45°，点E 在BC 上，且∠AEB ＝60°，假定AB ＝2 3，AD ＝1，求CD 和CE 的长．(结果保管根号)图4－3－1017．如图4－3－11，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 与CD ，CB 区分相交于点H ，E ，AH ＝2CH .(1)求sin B 的值；(2)假设CD ＝5，求BE 的长．图4－3－11详解详析1．(1)c ·sin A c ·cos A(2)b tan B b sin B2．D [解析] ∵∠C ＝90°，∠A ＝40°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°.又∵tan B ＝AC BC，∴AC ＝BC ·tan B ＝3tan50°. 应选D.3．D [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，cos B ＝BC AB，即cos30°＝BC 8， ∴BC ＝8×32＝4 3.应选D. 4．解：∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝a sin A＝16，b ＝a ·tan B ＝8 3. 5．2 2 30 606．解：在Rt △ABC 中，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2＝22＋(2 3)2＝42，∴c ＝4.∵sin B ＝b c ＝2 34＝32，∴∠B ＝60°.7．60 108．C [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴tan ∠BAC ＝BC AC. 又∵AC ＝30 cm ，tan ∠BAC ＝33， ∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝30×33＝10 3(cm)． 应选C.9．B [解析] ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，∴sin A ＝23＝BC AB ＝4AB，∴AB ＝6，∴AC ＝36－16＝2 5.10．B [解析] 首先解Rt △ABD ，求出AD ，BD 的长，再解Rt △ADC ，求出DC 的长，然后由BC ＝BD ＋DC 即可求解．11．解：∵在Rt △BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝10 2×22＝10. ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，∴sin A ＝BC AB ＝1020＝12， ∴∠A ＝30°.12．D [解析] ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴tan B ＝AD BD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2， ∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.应选D. 13.12[解析] ∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ＝AB ＝8 cm ，AD ＝BC ＝10 cm. ∵折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，∴AF ＝AD ＝10 cm ，DE ＝EF ，∠AFE ＝∠D ＝90°.在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝6 cm ，∴FC ＝BC －BF ＝4 cm.设EF ＝x cm ，那么DE ＝x cm ，CE ＝CD －DE ＝(8－x )cm.在Rt △CEF 中，∵CF 2＋CE 2＝EF 2，∴42＋()8－x 2＝x 2，解得x ＝5，即EF ＝5 cm.在Rt △AEF 中，tan ∠EAF ＝EF AF ＝510＝12. 14．解： 设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BD ＝BC ＝x . ∵AD ＝4，∴AB ＝4＋x .在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝x ，AB ＝4＋x .∵tan A ＝BC AB ，即33＝x 4＋x，解得x ＝2 3＋2， ∴BC 的长为2 3＋2.15．解：过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .在Rt △AOC 中，AC ＝2sin30°＝1，OC ＝2cos30°＝3， 所以点A 的坐标为(3，1)．由于∠AOB ＝90°，∠AOC ＝30°，所以∠BOC ＝60°.同理，BD ＝OB ·sin60°＝32，OD ＝OB ·cos60°＝12. 由于点B 在第四象限，所以点B 的坐标为(12，－32)． 16．解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F .∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DF ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠DFB ＝90°，∴四边形ABFD 为矩形，∴DF ＝AB ＝2 3，BF ＝AD ＝1.∵在Rt △DFC 中，∠C ＝45°，∴DF ＝FC ＝2 3，CD ＝2DF ＝2 6，∴BC ＝FC ＋BF ＝AB ＋AD ＝2 3＋1.在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan60°＝2， ∴CE ＝BC －BE ＝2 3＋1－2＝2 3－1.即CD ＝2 6，CE ＝2 3－1.17．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠B ＝90°.∵AE ⊥CD ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∵CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴∠B ＝∠CAH ，∴sin B ＝sin ∠CAH .又∵AH ＝2CH ，∴AC ＝5CH ，∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH AC ＝55. (2)∵CD ＝5，∴AB ＝2 5.∵sin B ＝55， ∴AC ＝2，∴BC ＝4.又∵sin B ＝sin ∠CAH ＝CE AE ＝55，AC ＝2， ∴CE ＝1，∴BE ＝BC －CE ＝4－1＝3.。

2012考研英语小作文2012年考研英语小作文题目为“假定你是李华，你所在的学生会将举办一次英语演讲比赛，请你根据以下内容给外教Mr. Smith写一封信，1.比赛时间、地点；2.参赛选手和评委情况；3.需要他的帮助。

”。

Dear Mr. Smith,。

I am writing to inform you that our student union will hold an English speech contest on June 1st at the school auditorium. As a foreign teacher who has been teaching us English for years, we sincerely invite you to attend the contest and offer us some valuable advice.The contest will be held from 9:00 am to 12:00 pm on June 1st at the school auditorium. We have already selected 10 outstanding students to participate in the contest, and we have also invited 3 experienced English teachers as judges to evaluate their speeches. We believe that the contest will be a great opportunity for our students toimprove their English speaking skills and gain more confidence in public speaking.As you have been a great help to us in the past, we would like to ask for your help again. We hope that you could give us some advice on how to improve our speeches and how to overcome the nervousness during the contest. We also hope that you could be one of the judges and offer us some professional opinions on the speeches.We highly appreciate your support and look forward to your participation in the contest. Thank you in advance for your time and help.Yours sincerely,。

湘教版数学九年级上册第4章锐角三角形 4.4 解直角三角形的应用物以类聚，人以群分。

《易经》如海学校陈泽学与坡度、方位角有关的应用问题专题练习题1. 某铁路路基的横截面是等腰梯形，已知路基高5 m，坡长10 m，则坡面的坡度为( )A．1∶2 B．1∶12 C．1∶3 D．1∶332．如图，一河坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，AB＝CD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坡底AD的长度为( )A．26米 B．28米 C．30米 D．46米3．如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为h＝2米，则这个土坡的坡角为____________．4．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．5．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，且CD＝6 km，则AB＝____km.6．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行____分钟可使渔船到达离灯塔距离最近位置．7．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)8．如图，我渔政船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业，若渔政船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)9．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和政部门对钓鱼岛海域实行了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少(结果保留根号)10．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)11．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB＝3米．台阶AC坡度为1∶3(即AB∶BC＝1∶3)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度．(测倾器的高度忽略不计)12．如图，从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫作__________．图中点A的方位角为______________________．答案:1. C2. D3. 30°4. 解：在Rt△ADC中，∵AD∶DC＝1∶2.4，AC＝13，由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4AD)2＝132.∴AD＝5(负值不合题意，舍去)．∴DC＝12.在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，∴BD＝5×1.8＝9.∴BC＝DC－BD＝12－9＝3.答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米5. 36. 157. 解：过点C作CD⊥AB交AB于点D，CD＝AC·sin∠CAB＝80×sin30°＝40(海里)，CDBC＝sin∠CBD，∴BC＝CDsin∠CBD＝40sin53°＝50(海里)，50÷40＝1.25(小时)，即大约需1.25小时8. 解：过点C 作CD ⊥AB 交AB 于点D ，则CD ＝AC ·sin30°＝12AC ，AD ＝AC2－CD2＝32AC ，易知BD ＝CD ＝12AC ，又AB ＝AD －BD ＝32AC －12AC ＝(32－12)AC ，AB ∶BD ＝(3－1)∶1，即BD ＝3＋12AB ，∴再航行3＋12·12小时，即：3＋14小时 9. 解：作BD ⊥AC 于点D.由题意可知，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝105°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝30°.在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin ∠BAD＝20×22＝102(海里)．在Rt △BCD 中，BC ＝BD sin ∠BCD ＝10212＝202(海里)．答：此时船C 与船B 的距离是202海里10. 解：过点E 作EG ⊥BC 交BC 于点G ，过点E 作EH ⊥AB 交AG 于点H.易知EG ＝10米，CG ＝103米，EH ＝(25＋103)米，△AEH 为等腰直角三角形，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米，AB ＝AH ＋HB ＝(25＋103＋10)米，即楼房AB 高(35＋103)米11. 解：过点A 作AF ⊥DE 于点F.∴AF ＝BE ，EF ＝AB ＝3，设DE ＝x ，在Rt △CDE 中，CE ＝DE tan ∠DCE ＝DE tan60°＝33x.在Rt △ABC 中，∵AB BC ＝13，AB ＝3，∴BC ＝3 3.在Rt △AFD 中，DF ＝DE －EF ＝x －3，∴AF ＝DF tan ∠DAF＝x －3tan30°＝3(x －3)．∵AF ＝BE ＝BC ＋CE ，∴3(x －3)＝33＋33x ，解得x ＝9.答：树DE 的高度为9米12. 方位角北偏东60°【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。

初中数学湘教版九年级上册第四章4.4解直角三角形的应用练习题一、选择题1.如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4cm的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至处，此时测得，则的长为．A. B. C. D.2.如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的水平距离AC为A. 75mB. 50mC. 30mD. 12m3.如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为处测得塔顶H的仰角为，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为，则塔顶端H到地面的高度HG为参考数据：，，，A. B. 14m C. D.4.如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为A. 米B. 米C. 米D. 米5.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B 与小岛A的距离是A. B. 60nmileC. 120nmileD.6.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高，则AB的长度为A. 6mB.C. 9mD.7.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得，，则竹竿AB与AD的长度之比为A.B.C.D.8.小明沿着坡角为的山坡向上走，他走了1000m，则他升高了A. B. 500m C. D. 1000m9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为A. 56米B. 66米C. 米D. 米10.如图，从点C观测点D的仰角是A. B. C. D.二、填空题11.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，长6米，坡角为，AD的坡角为，则AD长为______米结果保留根号．12.小凡沿着坡角为的坡面向下走了2米，那么他下降______米．13.我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向处，则海岛A，C之间的距离为______．14.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是______结果保留根号三、解答题15.为庆祝改革开放40周年，深圳举办了灯光秀，某数学兴趣小组为测量“平安金融中心”AB的高度，他们在地面C处测得另一幢大厦DE的顶部E处的仰角登上大厦DE的顶部E处后，测得“平安中心”AB的顶部A处的仰角为，如图已知C、D、B三点在同一水平直线上，且米，米．求大厦DE的高度；求平安金融中心AB的高度；参考数据：，，，，16.根据道路交通法规规定：普通桥梁一般限速为了安全，交通部门在桥头竖立警示牌：“请勿超速”，并监测摄像系统监控，如图，在某直线公路L路桥段BC内限速，为了检测车辆是否超速，在距离公路L500米旁的A处设立了观测点，从观测点A 测得一小车从点B到达点C行驶了30秒钟，已知，，此车超速了吗？请说明理由．参考数据：，17.某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为和即，求隧道AB的长．结果保留根号18.如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角，在离建筑物CD，25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角F，C在一条直线上．求办公楼AB的高度；若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．参考数据：，，结果保留整数答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．根据是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，过作于点D，在直角中利用三角函数求得AD的长，则，然后根据即可求解．【解答】解：在等腰直角中，，则，如图，过作于点D，，则．则，故BB．故选：A．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：，，，，解得，，故选A．3.【答案】C【解析】解：延长AD交HG于M，则，设，在中，，在中，，，即，，即．．故选：C．延长AD交HG于M，则，设，根据三角函数的概念用含x的代数式表示HM，根据题意列出方程，解方程即可．本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：过点作于点C，由题意可知：，，，故选：B．过点作于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．5.【答案】D【解析】解：过C作于D点，，，．在中，，．在中，，，．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是．故选：D．过点C作，则在中易得AD的长，再在直角中求出BD，相加可得AB的长．此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6.【答案】A【解析】解：迎水坡AB的坡比为1：，，即，解得，，由勾股定理得，，故选：A．根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【解答】解：在中，，在中，，：：，故选：B．8.【答案】B【解析】【试题解析】解：设他升高了xm，山坡的坡角为，，故选：B．根据坡角的概念，直角三角形的性质计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡角的概念是解题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了坡度及坡角的知识，过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．【解答】解：作，，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，米，米，斜坡AB的坡度i为1：，在中，，米，在中，，米，米．故选C．10.【答案】B【解析】解：从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，从点C观测点D的仰角是，故选：B．根据仰角的定义进行解答便可．本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．11.【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点D作于E，过点C作于首先证明，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．【解答】解：过点D作于E，过点C作于F．，，，，在中，米，，在中，，，米，故答案为．12.【答案】1【解析】解：如图，，，．他下降的高度米．故答案为：1．利用所给角的正弦函数求解．本题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．13.【答案】【解析】解：作于D，设海里，在中，，则，在中，，则，解得，，答：A，C之间的距离为海里．故答案为：作于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD、CD，根据题意列式计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．14.【答案】【解析】解：由题意可得：，则，又，在中，，解得：，故答案为：．利用等腰直角三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出是解题关键．15.【答案】解：在中，，，米，米．故大厦DE的高度约为248米；如图，作于F．由题意，得米，米，．在中，，米，米．故平安金融中心AB的高度约为594米．【解析】在中，根据正切函数的定义即可求出大厦DE的高度；作于由题意，得米，，在中，根据正切函数的定义得出，那么．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．16.【答案】解：此车已超速．理由如下：过A作，垂足为D，则，，，．又，．车速为．，又，此车已超速．【解析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BD，BC的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出BC的长是解题关键．17.【答案】解：由题意得，，，，．答：隧道AB的长为．【解析】易得，，利用相应的正切值可得BO，AO的长，相减即可得到AB的长．本题考查了解直角三角形的应用俯角和仰角，解答本题的关键是利用三角函数值得到与所求线段相关线段的长度．18.【答案】解：如图，过点E作于点M，设AB为中，，，，在中，，，，则，解得：．即办公楼AB的高度为20米；由可得：．在中，．米；即A、E之间的距离约为48米．【解析】过点E作于点M，设，在中，由可知，在中，利用锐角三角函数的定义求出x 的值即可；在中，根据可得出结论．本题考查的是解直角三角形仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．。

湘教版数学九年级上册第4章 4.4 解直角三角形的应用与俯角、仰角有关的应用问题专题练习题1．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为________米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)2．元旦期间，小明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动，在离电线杆21米的D点，用高1.2米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α＝30°，则电线杆AB的高为( )A．(93＋1.2)米B．(73＋1.2)米C．(92＋1.2)米D．(72＋1.2)米3．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( )A．82米B．163米C．52米D．70米4．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B ，C 两地之间的距离为( )A ．1003 m B ．50 2 m C ．50 3 m D.10033 m5．如图，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一条直线上，则A ，B 两点的距离是( )A ．200米B ．2003 米 C ．220 3 米 D ．100(3＋1)米6．从一栋二层楼的楼顶点A 处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C 处的俯角为45°，看到楼顶部D 处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD 是( )A ．(6＋63)米B ．(6＋33)米C．(6＋23)米D．12米7．如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A，B，C在同一条直线上)，则河的宽度AB约为_______m．(精确到0.1 m)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)8．如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin39°＝0.63，cos39°＝0.78，tan39°＝0.81)9．如图，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C 处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)10．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航，如图①.在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶点F的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图②.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米．(结果保留整数，参考数值：3≈1.732，2≈1.414)11．如图，AB，CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB 的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.求建筑物CD的高度．(结果保留根号)答案：1. 1822. B3. A4. A5. D6. A7. 15.48. 解：tan∠ADE＝AEDE ，即0.81＝AE24，∴AE＝19.44米，AB＝BE＋AE＝20.94米≈20.9米9. 解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝ADCD，∴AD＝CD·tan30°＝9×33＝3 3.在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝BDCD，∴BD＝CD·tan45°＝9×1＝9.∴AB＝AD＋BD＝33＋9(m)．答：旗杆的高度为(33＋9)m10. 解：设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC ＝CF ＝x ，CF AC＝tan30°，即AC ＝3x.∵AC －BC ＝1200，∴3x －x ＝1200，解得x ＝600(3＋1)，则DF ＝h －x ＝2001－600(3＋1)≈362(米)．答：钓鱼岛的最高海拔高度约为362米11. 解：过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，在△ABD 中，∠B ＝90°，∠ADB ＝45°，∴BD ＝AB ＝60米，在△ACF 中，∠AFC ＝90°，∠ACF ＝30°，CF ＝BD ＝60米，∴AF ＝CF ·tan ∠ACF ＝203米，∴BF ＝AB －AF ＝(60－203)米，∴CD 的高度为(60－203)米。

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构造基本图形解直角三角形实际问题►类型一构造单一直角三角形解决问题1．用一根6米长的笔直钢管弯折成如图Z－4－1所示的路灯杆ABC,AB垂直于地面，线段AB与线段BC所成的角∠ABC＝120°。

若路灯杆顶端C到地面的距离CD＝5。

5米，求AB的高．图Z－4－12．为倡导“低碳生活",常选择以自行车作为代步工具，如图Z－4－2①所示是一辆自行车的实物图,车架档AC与CD的长分别是45 cm,60 cm，且它们互相垂直,座杆CE的长为20 cm，点A,C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°,示意图如图②.(1）求车架档AD的长；（2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3。

7321）．图Z－4－2►类型二构造双直角三角形解决问题3．［2016·淮安］小宇想测量位于池塘两端的A，B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处时，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF ＝60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A，B两点间的距离．图Z－4－34．［2017·达州]如图Z－4－4,信号塔PQ坐落在坡度i＝1∶2的山坡上,其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时,测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN的长为2 5米，落在警示牌上的影子MN的长为3米，求信号塔PQ的高．(结果不取近似值）图Z－4－41.2．解：（1）AD＝错误!＝75（cm）．答：车架档AD的长为75 cm。

湘教版 2018 年九年级数学上册同步练习4.3解直角三角形知 | 识 | 目 | 标1．通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据．2．通过阅读、自学，掌握已知 2 个元素 ( 至少有 1 个是边 ) 求 3 个未知元素的解法． 3．通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决．目标一 理解解直角三角形的定义与依据 例 1 教材补充例题在Rt △ ABC 中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是()A ．已知 a ＝ 5，∠ C ＝ 90°B ．已知∠ B ＝ 48°，∠C ＝ 90° C ．已知 a ＝ 5，∠ B ＝ 48°D ．已知∠ ＝ 48°，∠ ＝ 42°B A[ 全品导学号： 90912121]例 2 教材补充例题在Rt △中，∠ ＝ 90°，已知∠ B 和 a ，则有 ()ABC CA ． c ＝a cosB B ． c ＝ a sin BaaC ． c ＝BD ． c ＝sin cos B【归纳总结】 解直角三角形的条件和依据1．解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有 1 个是边．2．解直角三角形的依据：(1) 直角三角形两个锐角的互余关系；(2) 直角三角形三边之间的关系 ( 勾股定理 ) ； (3) 直角三角形边角之间的关系 ( 锐角三角函数 ) ．目标二 会解直角三角形例3 教材例 1 针对训练如图 4－ 3－ 1，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠B＝45°，BC＝ 5，解这个直角三角形．图4－ 3－ 1例 4 教材补充例题在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，a＝ 23，b＝6，解这个直角三角形．【归纳总结】解直角三角形的类型与解法1．解直角三角形的基本方法：图形已知条件解法步骤两a①由 tan A＝b，在 Rt △ABC中，边两直角边 ( 如a，b)求∠ A；∠ C＝90°②∠ B＝90°－∠ A；③c＝ a2＋b2a斜边与一直①由 sin A＝c，角边 ( 如c，a)求∠ A；②∠ B＝90°－∠ A；③b＝c2－a2一锐角一邻边( 如∠A，b)一直角边一和一一锐角一对边锐角边( 如∠A，a)一角斜边和一锐角 ( 如c，∠A)①∠ B＝90°－∠ A；②a＝ b·tan A；b③c＝cos A①∠ B＝90°－∠ A；②b＝a；tan Aa③c＝sin A①∠ B＝90°－∠ A；②a＝ c·sin A；③b＝ c·cos A2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切．例 5 教材补充例题如图 4－ 3－ 2，在△ABC中，∠ABC＝ 90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠ BDC＝45°， AD＝4.求 BC的长(结果保留根号)．图4－ 3－ 2【归纳总结】含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解．目标三会把非直角三角形转化为直角三角形求解3例6 教材补充例题如图 4－ 3－ 3，在△ABC中，AB＝AC＝ 10，sin C＝5，D是BC上一点，且DC＝ AC.(1)求 BD的长的值；(2)求 tan ∠BAD.图4－ 3－ 3【归纳总结】非直角三角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线 ( 高 ) ，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决．注意熟练掌握锐角三角函数的定义．知识点一解直角三角形的定义与依据在直角三角形中，除直角外有 5 个元素 ( 即 3 条边、 2 个锐角 ) ，只要知道其中的 2 个元素( 至少有 1 个是 ______) ，就可以求出其余的 3 个未知元素．我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．如图 4－ 3－ 4，在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，设三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a， b， c(以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：(1)三条边之间的关系： a2＋ b2＝ c2；(2)两锐角之间的关系：∠ A＋∠ B＝90°；a b1a(3) 边角之间的关系：sin A＝ cos B＝c， cos A＝ sin B＝c， tan A＝tan B＝b.图4－ 3－ 4知识点二解直角三角形的方法(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用 ______求出斜边，用 ______求出对边；(2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用______求出斜边，用正切求出邻边；(3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角．[ 点拨 ] 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式．分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法．问题：在△ ABC中，∠ A＝30°， BC＝6，AC＝23，求AB的长．解：如图 4－ 3－ 5，作出符合题意的几何图形，过点C 作⊥于点，∴∠＝∠CD AB D ADC BDC＝90° .∵ sin A＝CD1＝，且 AC＝2 3，∴ CD＝ 3. AC2CD32又sin ∠CBD＝＝＝，∴∠CBD＝ 45°，BC 62∴ tan ∠CBD＝CD＝ 1，BD∴CD＝BD＝ 3.∵∠ A＝30°， AC＝23，∴AD＝AC·cos A＝3，∴AB＝AD＋ BD＝3＋ 3.图4－ 3－ 5详解详析【目标突破】例 1 [ 解析 ] C A．已知一边和一角，一角是直角，Rt△ABC不可解，不符合题意；B．没有一条边，Rt△ABC不可解，不符合题意；C．已知一边和一角，一角不是直角，Rt△ABC可解，符合题意；D．没有一条边，Rt△ABC不可解，不符合题意．例 2 [ 解析 ]D在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，a a∵cos B＝c，∴c＝cos B.例3 解：∵∠C＝ 90°，∠B＝ 45°，∴∠ A＝90°－45°＝45°，∴∠ A＝∠ B，∴ AC＝BC＝5.在 Rt△ABC中，BC BC∵ cos B＝ cos45 °＝AB，∴AB＝cos45°＝ 52，∴∠ A＝45°， AC＝5， AB＝5 2.例 4 解：∵ a＝ 2 3 ，b＝ 6，a 233∴ tan A＝b＝6＝3，∴∠ A＝ 30°，∴∠ B＝ 90°－ 30°＝ 60°， c＝ 2a＝ 4 3.例5 解：设 BC＝ x，在Rt△ BCD中，∠ ABC＝ 90°，∠ BDC＝ 45°，∴ BD＝BC＝ x.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AB＝4＋x，BC3x∴ tan A＝AB，即3＝4＋x，解得 x＝ 23＋ 2.∴BC的长为 2 3＋ 2.例 6解：(1)如图，过点 A 作 AE⊥ BC于点 E.∵AB＝AC，∴ BE＝CE.3在Rt△ACE中，AC＝ 10，sin C＝，5∴AE＝6，22从而 CE＝AC－AE＝8，∴BC＝2CE＝16，∴BD＝BC－ DC＝BC－ AC＝6.(2) 如图，过点D作 DF⊥AB于点 F.3在Rt△BDF中，BD＝ 6， sin B＝ sin C＝5，18∴DF＝5，2224从而 BF＝BD－DF＝5，26∴AF＝AB－ BF＝5，DF9∴tan ∠BAD＝AF＝13.备选题型解非直角三角形例如图，已知在△ ABC中，∠ B＝45°，∠ C＝30°， BC＝3＋33，求AB的长．[ 解析 ]过点A作AD⊥ BC于点D，将特殊角∠ B，∠ C放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解．解：过点 A 作 AD⊥ BC于点 D.∵∠ B＝45°，∴AD＝BD， AB＝2BD.设AD＝ BD＝ x，在Rt△ ADC中，AD x ∵tan C＝，即＝DC DC∴DC＝3x.又∵ BC＝ BD＋ DC，3 3，∴x＋3x＝3＋3 3，解得 x＝3，∴ AB＝3 2.[ 归纳总结 ] (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑．(2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角三角形．(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解．【总结反思】[ 小结 ]知识点一边知识点二(1) 余弦正切(2) 正弦[ 反思 ]解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的．正解：情形 (1) 见题中所给解答，情形(2) 如下：过点C作 CD⊥ AB交 AB的延长线于点D，∴∠＝90° .ADCCD13，∴CD＝ 3.∵ sin A＝＝，且 AC＝2AC2CD32又 sin ∠CBD＝＝＝，BC62∴∠＝45°，CBD∴ tan ∠CBD＝CD＝ 1，BD∴CD＝BD＝ 3.∵∠ A＝30°， AC＝23，∴AD＝AC·cos A＝3，∴AB＝AD－ BD＝3－ 3.综合情形 (1) 与 (2) ，得AB的长为 3＋ 3 或 3－ 3.。

4.3 解直角三角形一、选择题1．在下列直角三角形中不能求解的是( )A ．已知一直角边和一锐角B ．已知一斜边和一锐角C ．已知两边D ．已知两角2．图1是教学用的三角尺，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为 ( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm图1 图23．如图2，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取P A 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA ＝35°，则小河宽P A 为( )A ．100sin35°米B ．100sin55°米C ．100tan35°米D ．100tan55°米4．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD .若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为( )A ．60B ．30C ．240D ．120图3 图46．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝10，tan B ＝34，则BC 的长为( )A ．6B ．8C ．12D ．16 二、填空题7．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝1213，BC ＝12，那么AC ＝________．8．如图5，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是 ________ .图5 图69．如图6，B ，C 是洲河岸边两点，A 是河对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝200米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．三、解答题10．根据下列条件解直角三角形ABC ，其中∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .(1)已知c ＝8 3，∠A ＝60°； (2)已知b ＝2 2，c ＝4； (3)已知c ＝4，a ＝b .11．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝33，AB ＝8 cm.求△ABC 的面积．12．如图7，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝200，∠B＝30°，∠C＝45°.求BC的长．图713．如图8，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图814．如图9，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝37°，求长方形卡片的周长约为多少．(结果精确到1 mm.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)图915．如图10，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ADC ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E .(1)若∠A ＝60°，求BC 的长； (2)若sin A ＝45，求AD 的长．图10探究性问题我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图11，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ADC 中，CD ＝b sin A ，AD ＝b cos A ， ∴BD ＝c －b cos A .在Rt △BDC 中，由勾股定理，得CD 2＋BD 2＝BC 2， 即(b sin A )2＋(c －b cos A )2＝a 2， 整理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 通过学习上述材料，解答下列问题：(1)直接写出你探究得出的结论：b 2＝________，c 2＝________；(2)请你用文字概括所得到的结论：三角形中，任何一边的平方等于________________________________________________________________________；(3)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2 2，c＝2，求a和∠C的值；(4)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝45°(c＞a＞b)，求边长c.图11详解详析[课堂达标]1．[解析] D 已知两角而没有三角形的边长不能求出三角形的任何一条边，故不能解这个直角三角形．2．[答案] C 3．[答案] C4．[解析] A ∵∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，∴BD ＝AD ，∴CD ＋BD ＝8 cm.∵cos ∠BDC ＝CD BD ＝35，∴CD 8－CD ＝35，解得CD ＝3(cm)，∴BD＝5 cm.在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC ＝4 cm.故选A.5．[解析] D 如图所示，由tan A ＝125，设BC ＝12x ，AC ＝5x (x ＞0)．根据勾股定理，得AB ＝13x .由题意得12x ＋5x ＋13x ＝60，解得x ＝2，∴BC ＝24，AC ＝10，则△ABC 的面积为120. 故选D.6．[解析] D ∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴BD ＝CD ，AD ⊥BC .∵tan B ＝ADBD ＝34，∴AD ＝34BD .∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴(34BD )2＋BD 2＝102，∴BD ＝8，∴BC ＝16.故选D. 7．[答案]14458．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，∴△ADE 是直角三角形，∴sin A ＝DE AD ＝35.∵DE ＝6，∴AD ＝10. ∵菱形的四条边都相等， ∴菱形ABCD 的周长＝10×4＝40. 9．[答案] 100[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D . ∵∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．∵BC ＝200，∴AD ＝BD ＝12BC ＝100米．10．(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3 (2)a ＝2 2，∠A ＝∠B ＝45° (3)∠A ＝∠B ＝45°，a ＝b ＝2 211．[解析] 直接利用锐角三角函数由已知边AB 求未知边AC ，再用勾股定理求BC . 解：∵在Rt △ABC 中，cos A ＝AC AB ＝33，∴AC ＝AB ·cos A ＝8 33(cm)．由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2＝8 63(cm)，∴S △ABC ＝12×8 33×8 63＝32 23(cm 2)．12．解：∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AD ＝200，∠B ＝30°，∴BD ＝ADtan30°＝3AD ＝200 3.在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，∠ADC ＝90°，∴DC＝AD ＝200，∴BC ＝BD ＋DC ＝200 3＋200.13．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6. 在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. 即∠B 的度数为45°，AB 的长为9.(2)∵CD 为中线，∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5，∴tan ∠CDE ＝CEDE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 14．解：如图，过点B 作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F .∵α＋∠DAF ＝180°－∠BAD ＝180°－90°＝90°，∠ADF ＋∠DAF ＝90°，∴∠ADF ＝α＝37°.根据题意，得BE ＝24 mm ，DF ＝48 mm.在Rt △ABE 中，sin α＝BE AB ，∴AB ＝BE sin37°≈240.60＝40(mm)．在Rt △ADF 中，cos ∠ADF ＝DF AD，∴AD ＝DF cos37°≈480.80＝60(mm)．∴矩形ABCD 的周长≈2×(40＋60)＝200(mm)．15．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，且tan A ＝BEAB ，∴BE ＝6·tan60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°，CD ＝4，∴CE ＝2CD ＝8， ∴BC ＝BE －CE ＝6 3－8.(2)在Rt △ABE 中，∵∠ABE ＝90°，sin A ＝45，∴BE AE ＝45.设BE ＝4x ，则AE ＝5x (x ＞0)． ∵AE 2－BE 2＝AB 2，∴(5x )2－(4x )2＝62.∴x ＝2(负值已舍去)． ∴BE ＝8，AE ＝10.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，tan E ＝CD ED ，而在Rt △ABE 中，tan E ＝34，∴CD ED ＝34.∴ED ＝43CD ＝163， ∴AD ＝AE －ED ＝143.[素养提升]解：(1)a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C(2)其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的乘积的2倍 (3)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(2 2)2＋22－2×2 2×2×22＝4， ∴a ＝2，∴a 2＋c 2＝22＋22＝8，b 2＝(2 2)2＝8， ∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 为直角三角形，且a ＝c ＝2， ∴∠C ＝45°.(4)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c2－6c＋1＝0，解得c＝6±2 2.∵c＞a＞b，∴c＝6＋2 2.。

初中数学湘教版九年级上册第四章4.4解直角三角形的应用练习题一、选择题1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为()A. 40海里B. 40tan37°海里C. 40cos37°海里D. 40sin37°海里2.如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为()A. 3sinα米B. 3cosα米C. 3sinα米D. 3cosα米3.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A. asinα+asinβB. acosα+acosβC. atanα+atanβD. atanα+atanβ4.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置测角仪测一得楼房CD顶部点CD的仰角为45°，向前走20米到达A1处，测得点D的仰角为67.5°.已知测角仪AB的高度为1米，则楼房CD的高度为()A. (10√2+20)米B. (10√2+21)C. (8√3+20)米D. (8√3+21)米5.如图，小松同学想测量学校旗杆的高度，他站在B点从A处仰望杆顶D，测得仰角为30°，再往旗杆的方向前进14米从E处仰望杆顶，测得仰角为60°，已知小华同学身高(AB)为1.6米，则旗杆CD的高度为()(√3≈1.73)A. 12.1米B. 13.7米C. 11.5米D. 13.5米6.小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11+sinα米 B. 11−cosα米 C. 11−sinα米 D. 11+cosα米7.小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆--行千里，致广大”竖直标语牌CD.他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处(B,C，D在同一条直线上)，AB=10m，坡度为i=1：√3，则标语牌CD的长为()m(结果保留小数点后一位).(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，√3≈1.73)A. 4.3B. 4.5C. 6.3D. 7.88.如图，在高为2m，坡度为1:√3的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为()A. 4mB. 6mC. 4√2mD. (2+2√3)m9.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了2√5m，此时小球距离地面的高度为()mA. 5mB. 2√5mC. 2mD. 10310.某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图)，图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD=20米，则立柱BC的高为()A. 20√3米B. 10米C. 10√3米D. 20米二、填空题11.已知一道斜坡的坡比为2：√5，坡长39m，那么坡高为______m.12.如图，一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向且距小岛80海里的B处，沿正西方向航行一定时间后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船航行的路程为______海里．13.如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45º，测得该建筑底部C处的俯角为17º.若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为________m.(参考数据：sin17º≈0.29，cos17º≈0.96，tan17º≈0.31)14.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为30°，则A，B两地之间的距离为______．三、解答题15.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域(1)求A城与台风中心之间的最小距离；(2)求A城受台风影响的时间有多长？16.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．(1)求景点B与C的距离；(2)求景点A与C的距离．(结果保留根号)17.如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．18.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京举行，全国人民掀起了雪上运动热潮．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B.若这名滑雪运动员的高度下降了300米，求他沿斜坡滑行了多少米？(结果精确到0.1米)(参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67)答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP⋅sin37°=40sin37°海里；故选D．根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2.【答案】A【解析】解：由题意可得：sinα=BCAB =BC3，故BC=3sinα(m)．故选：A．直接利用锐角三角函数关系得出sinα=BCAB =BC3，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．3.【答案】C【解析】解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB=a，tanα=BCAB ，tanβ=BDAB，∴BC=atanα，BD=atanβ，∴CD=BC+BD=atanα+atanβ；故选：C．在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC=atanα，BD=atanβ，得出CD=BC+ BD=atanα+atanβ即可．本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，∵∠BDB′=∠B′DC=22.5°，∴EB′=B′F，在Rt△BEE′中，∵∠BEB′=45°，BB′=20米，∴EB′=B′F=10√2(米)，∴BF=BB′+B′F=(20+10√2)(米)∴DF=(20+10√2)(米)∴DC=DF+FC=20+10√2+1=(21+10√2)米故选：B．过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．设DF=x米，在Rt△ADF中求出AF，在Rt△DEF中求出EF，再由AE=14米，可求出x的值，即可得出答案．【解答】解：设DF=x米，在Rt△ADF中，DF=x米，∠DAF=30°，则tan30°=DF：AF=x：AF，故AF=√3x米，在Rt△DEF中，DF=x米，∠DEF=60°，则tan60°=DF：EF=x：EF，x米，故EF=√33x=14，由题意得，AF−EF=√3x−√33解得：x≈12.1，则旗杆的高度为12.1+1.6≈13.7米．故选：B．6.【答案】C【解析】解：设旗杆PA的高度为x米，则PB′=x米，，在Rt△PB′C中，sinα=PCPB′则x−1=x⋅sinα，，解得，x=1sinα故选：C．设旗杆PA的高度为x米，根据正弦的定义列出方程，解方程得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：如图，根据题意可知：斜坡AB的坡度为i=1：√3，即AE：BE=1：√3，∵AB=10，∴AE=5，BE=5√3，∴AC=BE=5√3，在Rt△ACD中，∠DAC=42°，∴CD=AC⋅tan42°≈5√3×0.90≈7.8(m)．根据斜坡AB的坡度为i=1：√3，可得AE：BE=1：√3，AE=5，BE=5√3，再根据锐角三角函数即可求出CD的长．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．8.【答案】D【解析】解：如图，根据题意得：AC=2m，i=AC:BC=1:√3，∴BC=√3AC=2√3m，∴地毯的长度应为：AC+BC=(2+2√3)(m)．故选：D．由在高为2m，坡度为1:√3的楼梯上铺地毯，可求得地毯在水平面上的长度BC的长，又由地毯的长度是AC与BC的和，即可求得答案．此题考查了解直角三角形的问题．此题难度不大，注意理解坡度的意义，注意能构造直角三角形并能利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，i的定义，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB=2√5m，tanA=BCAC =12．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即(2√5)2=x2+4x2，解得：x=2，故小球距离地面的高度为2m．10.【答案】C【解析】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠A=30°，∠BDC=60°，∴∠ABD=60°−30°=30°，∴∠A=∠ABD，∴BD=AD=20米，∴BC=BD⋅sin60°=10√3(米)，故选C．首先证明BD=AD=20米，解直角三角形求出BC即可．本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11.【答案】26【解析】解：∵坡度tanα=铅直高度水平距离=√5，∴sinα=23，∴坡高=坡长×sinα=39×23=26m．故答案为：26利用坡度公式求得坡角后，再用正弦的概念求解．本题考查坡度坡角的相互转换、锐角三角函数的应用．12.【答案】(40+40√3)【解析】解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°−60°=30°，∴AQ=12AB=40，BQ=√3AQ=40√3，在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=BQ+CQ=(40+40√3)海里．设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ= 45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40√3；本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．13.【答案】262【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作AE⊥BC于E，根据正切的定义求出AE，根据等腰直角三角形的性质求出BE，结合图形计算即可．【解答】解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴EC=AD=62，在Rt△AEC中，tan∠EAC=ECAE，则AE=ECtan∠EAC ≈620.31=200，在Rt△AEB中，∠BAE=45°，∴BE=AE=200，∴BC=200+62=262(m)，则该建筑的高度BC为262m，故答案为：262．14.【答案】900√3米【解析】解：由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=900米，∵tan∠ABC=ACAB，∴AB=ACtan∠ABC =900√33=900√3(米)，故答案为：900√3米．由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=900米，由tan∠ABC=ACAB 知AB=ACtan∠ABC，据此计算可得．本题主要考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】解：(1)如图，作AH⊥OB于H．在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，OA=240km，∠AOH=30°，∴AH=12OA=120km，∵120<150，∴A城受到这次台风的影响．(2)如图，设AR=AT=150km，则易知：RH=HT=√1502−1202=90(km)，∴RT=180km，∴受台风影响的时间有180÷30=6(小时)．【解析】(1)如图，作AH⊥OB于H.解直角三角形求出AH与150km比较即可解决问题．(2)如图，设AR=AT=150km，求出RT，利用时间=路程速度，计算即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：(1)过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD=30°，∠CBD=60°．设CD=xkm．在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD =√33，∴AD=√3xkm；在Rt△BCD中，tan∠CBD=CDBD =√3，sin∠CBD=CDBC=√32，∴BD=√33xkm，BC=2√33xkm．∴AB=AD−BD=√3x−√33x=2√33x=10，∴x=5√3，∴BC=2√33x=10km．(2)在Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAC =12，∴AC=2CD=10√3km．【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，通过解直角三角形，找出AC，BC，AD，BD与CD之间的关系是解题的关键．(1)过点C作CD⊥直线l，垂足为D，设CD=xkm，则AD=√3xkm，BD=√33xkm，BC=2√33xkm，结合AB=10km可求出x的值，进而可得出景点B与C的距离；(2)在Rt△ACD中，通过解直角三角形可得出AC=2CD，结合(1)中x的值可求出景点A 与C的距离．17.【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，则：在Rt△BCD中，BD=BC⋅sin30°=12x，CD=BC⋅cos30°=√32x；∴AD=30+12x，∵AD2+CD2=AC2，即：(30+12x)2+(√32x)2=702，解之得：x=50(负值舍去)，答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．18.【答案】解：如图在Rt△ABC中，AC=300米，∠ACB=90°，∠ABC=34°，则AB=AC÷sin34°=300÷0.56≈535.7m．答：他沿斜坡大约滑行了535.7米．【解析】如图，在Rt△ABC中，根据三角函数可得AB=AC÷sin34°，可求他沿斜坡滑行了多少米．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．。