八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步练习3(含解析)(新版)北师大版

1.3 勾股定理的应用1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（）A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？2．如图1，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？参考答案1．C若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0，k为常数）也是勾股数．2．解：如下图：将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开．1·2πr=π·r≈18（cm）则AC=24cm，BC=2∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=242+182，∴AB=30（cm）∴它最短的爬行路程约为30×2=60（厘米）3．（1）当蚂蚁在侧面A1ABB1和侧面B1BCC1上爬行时，爬行的最短路线的长设为d1，则d12=（2+1）2+32=18（2）当蚂蚁在侧面A1ABB1和上底面A1B1C1D1上爬行时，由A到C1的最短路线的长设为d2，则d22=22+（3+1）2=20（3）同理可求得蚂蚁在侧面A1ADD1和D1DCC1上爬行时，d32=32+（1+2）2=18，蚂蚁在底面ABCD，侧面D1DCC1上爬行时，d32=22+（1+3）2=20所以，蚂蚁可沿A—M—C1爬行，如下图：或蚂蚁沿A—N—C1爬行，如下图：4．解：设水深为x尺如图，Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5答：水深4.5尺.。

勾股定理的应用一、选择题1．已知直角三角形的周长为62 ，斜边为2，则该三角形的面积是( ）．A 。

41B.43 C 。

21D.12．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（ )． A.7 B 。

7或41C 。

24D.24或7二、填空题3．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°,AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______．4．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______．5．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______．6．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．7．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°,AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______．三、解答题8．如图，在Rt△ABC 中,∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点,AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．9．在数轴上画出表示10及13的点．10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20,AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合,已知AB＝3，AD＝9,求BE的长．12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．13．已知：如图,△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE ⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．14．如图,已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l，l2,l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少?115。

3 勾股定理的应用知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.(2017浙江绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2 m,则小巷的宽度为()A.0.7 mB.1.5 mC.2.2 mD.2.4 m2.如图是一个棱长为3 cm的正方体,它的6个表面都分别被分成了3×3个小正方形,其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s的蚂蚁,从下底面的点A沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的点B,则蚂蚁爬行的最短时间是()A.2 sB.2.5 sC.3 sD.6 s3.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺(3尺=1米),则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是()A.15尺B.20尺C.25尺D.30尺4.如图,一个透明的圆柱状的玻璃杯,由内部测得其底部半径为3 cm,高为8 cm,今有一支长12 cm的吸管任意斜放于杯中.若不考虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度至少为.(第4题图)(第5题图)5.如图,一长方体的长为3 cm,宽为1 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要.6.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为.7.如图,某学校(点A)与公路(直线l)间的距离为300 m,又与公路边车站(点D)的距离为500 m,现要在公路边建一个商店(点C),使之与该校A及车站D的距离相等,求商店与车站之间的距离.8.如图,∠AOB=90°,OA=45 m,OB=15 m,一个机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C 处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC 是多少?创新应用9.如图是一个没有上盖的圆柱形食品盒,一只蚂蚁在盒外表面的A处,它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物.已知盒高10 cm,底面圆周长为32 cm,A距下底面3 cm,试求出蚂蚁爬行的最短路程.答案：能力提升1.C在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7 m,AC=2.4 m,∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2 m,BD2+A'D2=A'B2,∴BD2+22=6.25.∴BD2=2.25.∵BD>0,∴BD=1.5 m.∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(m).故选C.2.B如图,将点A,点B所在的两个面展开.在Rt△ABD中,AD=4 cm,BD=3 cm.由勾股定理,得AB2=BD2+AD2=32+42=25,AB=5 cm.结合题图知蚂蚁爬行的最短距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s,所以它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处,需要的最短时间为5÷2=2.5(s).3.C4.2 cm杯子的底面直径为6 cm.设吸管在杯子内的最大长度是x cm,则由勾股定理,得x2=62+82=102,∴x=10.∴吸管露出杯口外的长度至少为12-10=2(cm).5.10 cm把该长方体的四个侧面展开,连接AB,即为所用最短细线.由勾股定理,得AB2=(1+1+3+3)2+62=100,∴AB=10 cm.6.17 m如图所示,作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8 m,设AE=x m,则AB=x m,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.所以旗杆的高度为17 m.7.解如图,过点A作AB⊥CD于点B,则AB=300 m.在Rt△ABD中,BD2=AD2-AB2=5002-3002=4002,∴BD=400 m.设AC=CD=x m,则BC=(400-x) m.在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即3002+(400-x)2=x2,解得x=312.5.∴商店与车站之间的距离是312.5 m.8.解由题意知AC=BC,在Rt△BOC中,OC=OA-AC,根据勾股定理,得OC2+OB2=BC2,即(OA-AC)2+OB2=AC2,结合已知解得AC=25 m,∴BC=25 m.创新应用9.解如图,作出点A关于CD的对称点A',连接A'B,则A'B的长度等于蚂蚁爬行的最短路程.根据题意求出BF=CD=×32=16(cm),A'F=A'C+CF=10-3+=12(cm).在Rt△A'FB中,A'B2=A'F2+FB2=122+162=202,故A'B=20 cm,即蚂蚁爬行的最短路程为20 cm.。

北师大版八年级上《1.3勾股定理的应用》同步练习(含答案解析)北师大版八年级上《1.3勾股定理的应用》同步练习(含答案解析)勾股定理是数学中一个重要的定理，它的应用范围广泛。

在北师大版八年级上的教材中，我们学习了如何运用勾股定理解决实际问题。

本文将结合教材中的同步练习题，以及给出答案解析，来展示勾股定理的实际应用。

1. 问题一在一个直角三角形中，已知一条直角边长度为4cm，另外一条直角边长度为3cm。

求斜边的长度。

解析：根据勾股定理可得：斜边的平方等于直角边的平方和。

则斜边的长度可以通过计算√(3²+4²)来得出。

通过计算可知，斜边的长度为√(9+16)=√25=5cm。

所以，斜边的长度为5cm。

2. 问题二一辆汽车以40km/h的速度行驶8小时后停下来。

求汽车行驶的路程。

解析：已知速度和时间，我们可以利用勾股定理来计算汽车行驶的路程。

根据勾股定理，行驶的路程等于速度乘以时间。

所以，汽车行驶的路程为40km/h × 8h = 320km。

因此，汽车行驶的路程为320km。

3. 问题三一个直角三角形的斜边长度是5cm，一直角边和斜边之间的角度是30°。

求另外一个直角边的长度。

解析：已知斜边的长度和角度，我们可以利用勾股定理来计算另外一个直角边的长度。

根据勾股定理，另外一个直角边的长度等于斜边的长度乘以sin(30°)。

sin(30°) = 1/2，所以另外一个直角边的长度为5cm × 1/2 = 2.5cm。

因此，另外一个直角边的长度为2.5cm。

4. 问题四一块长方形农田的对角线长度为13m，较短的直角边的长度为5m。

求较长的直角边的长度。

解析：已知对角线的长度和一个直角边的长度，我们可以利用勾股定理来计算另外一个直角边的长度。

根据勾股定理，较长的直角边的长度等于√(对角线的长度的平方减去已知直角边的平方)。

则较长的直角边的长度可计算为√(13²-5²)。

1.3勾股定理的应用一、选择题1.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为ℎ，则ℎ的取值范围是( )A．12cm≤ℎ≤19cm B．12cm≤ℎ≤13cmC．11cm≤ℎ≤12cm D．5cm≤ℎ≤12cm2.一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动( )A．0m B．1m C．2m D．3m3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )A．x2−3=(10−x)2B．x2−32=(10−x)2C．x2+3=(10−x)2D．x2+32=(10−x)24.如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿南偏东30∘方向以12节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是( )A．北偏西30∘B．南偏西30∘C．南偏东60∘D．南偏西60∘5.由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是( )A．8m B．10m C．16m D．18m6.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A．4米B．5米C．6米D．7米7.如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB=15米，CD=7米，两树间的距离BD=6米，一只鸟从棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC=( )A．6米B．8米C．10米D．12米8.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB为1尺．将它往前水平推送10尺时（即AʹC=10尺），秋千的踏板就和身高5尺的人一样高，即AʹD=5尺．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为( )A．13.5尺B．14尺C．14.5尺D．15尺二、填空题9.放学以后，欧阳轶和陈欣从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若欧阳轶和陈欣行走的速度都是40m/min，欧阳轶15min到家，陈欣20min到家，欧阳轶家和陈欣家的直线距离为m．10.如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的长度为m．11.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了米．12.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？译文：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为．13.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是．14.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是．三、解答题15.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．16.为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速．17.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．18.如图，笔直的公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？。

北师大新版八年级上学期《1.3 勾股定理的应用》同步练习卷一．选择题（共35小题）1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知AB=6，BC=5，CG=3，这只蚂蚁爬行的最短路程是（）A．14B．10C．D．2．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm3．如图，圆柱形容器的底面周长是30cm，高为17cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口出3cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）A．B．25cm C．D．30cm4．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．105．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D．米6．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m7．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（）米．A．2B．2.5C．2.25D．38．如图，一个长、宽、高分别为6、3、2的长方体，一只蚂蚁从下底面长边中点P处爬向顶点Q处，在所有爬行路线中，最短的一条长度是（）A．B．3C．2D．9．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（）A．18m B．13m C．17m D．12m10．一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．5cm＜h≤6cm B．6cm＜h≤7cm C．5cm≤h≤6cm D．5cm≤h＜6cm 11．如图，一轮船以15海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．32海里D．34海里12．一艘轮船以16海里/时速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口90分钟后相距（）A．30海里B．40海里C．25海里D．45海里13．如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，此时AO=2.4m，若梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移了（参考数据取1.4，取1.7，取1.8）（）A．0.8m B．1.5m C．0.9m D．0.4m14．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（）A．9厘米，12厘米，15厘米B．7厘米，12厘米，13厘米C．12 厘米，15厘米，17厘米D．3 厘米，4厘米，7厘米15．如图，长方形的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，蚂蚁沿长方体表面，从点A1到C2（点A1、C2见图中黑圆点）的最短距离是（）A．B．C．D．16．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm17．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（）A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东60°D．南偏西60°18．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（）（滑轮上方的部分忽略不计）A．12m B．13m C．16m D．17m19．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（）A．B．2C．3D．420．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米21．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）A．厘米B．10厘米C．8厘米D．8厘米22．如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．A．3B．6C．D．623．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（）A．12B．13C．14D．1524．如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8B．10C．12D．1325．如图，有一个圆锥，高为8cm，直径为12cm．在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A处的食物，则它需要爬行的最短路程是（）A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm26．如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB=6米，BC=2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（）A．减小1米B．增大1米C．始终是2米D．始终是3米27．如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC=4m，BC=3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种28．国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（）A．6000米B．5000米C．4000米D．2000米29．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形30．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm31．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A．4米B．3米C．5米D．7米32．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（）A．0.4B．0.6C．0.7D．0.833．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5B．4C．4.5D．534．某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为45°，下方是一个直径为70cm，高为100cm的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（）A．30cm B．35cm C．35cm D．65cm35．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为（）A．90㎜B．100㎜C．120㎜D．150㎜二．填空题（共15小题）36．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为cm．37．如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为dm．38．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是cm．39．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之二尺，葛生其下缠木五周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为2尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木五周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长尺．”（注：1丈等于10尺）40．如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为．41．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：．42．如图，要在宽为10米的南浔樱花大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为米．43．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为米．44．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距海里．45．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程．46．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池是边长为2丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面2尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？”答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是．47．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，在一个圆锥形状的包装盒的底部A处有一只壁虎，在侧面B处有一只小昆虫，壁虎沿着什么路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？请你设计一种最短的爬行路线．下面是班内三位同学提交的设计方案：根据以上信息，你认为同学的方案最正确，理由是．48．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．49．某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞米．50．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．北师大新版八年级上学期《1.3 勾股定理的应用》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知AB=6，BC=5，CG=3，这只蚂蚁爬行的最短路程是（）A．14B．10C．D．【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．【解答】解：如图（1），AG=；如图（2），AG=．故选：B．【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．2．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=82+[（2+3）×3]2=172，解得x=17．故选：B．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3．如图，圆柱形容器的底面周长是30cm，高为17cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口出3cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（）A．B．25cm C．D．30cm【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出SF'的长即可．【解答】解：如图所示，SF'=（cm）．故选：B．【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．4．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．10【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【解答】解：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1，AB===5（cm）把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2，AB==25（cm）；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，AB===5（cm）．∵＞＞25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．故选：A．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．5．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米B．12米C．5米D．米【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E，∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5，∴在Rt△ADE中，DE=BC=12，∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169，∴AD=13（负值舍去），答：小鸟飞行的最短路程为13m．故选：A．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．6．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+52=（x+1）2，解得x=12，∴AB=12．∴旗杆的高12m．故选：B．【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理求得AB的长．7．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=1.5米．竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（）米．A．2B．2.5C．2.25D．3【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.5）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.5）m，在Rt△CDB中，1.52+x2=（x+0.5）2，解得x=2．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，一个长、宽、高分别为6、3、2的长方体，一只蚂蚁从下底面长边中点P处爬向顶点Q处，在所有爬行路线中，最短的一条长度是（）A．B．3C．2D．【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：如图①，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个矩形的边长为6和5，∴PQ==，如图②，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个矩形的边长为9和2，∴PQ==2，∵＜2，∴在所有爬行路线中，最短的一条长度是，故选：A．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．9．一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（）A．18m B．13m C．17m D．12m【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一木杆在离地面5米处折断，木杆顶端落在木杆底端12m处，∴折断的部分长为=13，∴折断前高度为5+13=18（米）．故选：A．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．10．一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．5cm＜h≤6cm B．6cm＜h≤7cm C．5cm≤h≤6cm D．5cm≤h＜6cm 【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．【解答】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12，最长时等于牙刷斜边长度是：x==13，∴h的取值范围是：（18﹣13）≤h≤（18﹣12），即5≤h≤6．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．11．如图，一轮船以15海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．32海里D．34海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了30，16．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了15×2=30海里，8×2=16海里，根据勾股定理得：（海里）．故选：D．【点评】此题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算是关键．12．一艘轮船以16海里/时速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口90分钟后相距（）A．30海里B．40海里C．25海里D．45海里【分析】根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答．【解答】解：如图，由已知得，OB=16×1.5=24海里，OA=12×1.5=18海里，在△OAB中∵∠AOB=90°，由勾股定理得OB2+OA2=AB2，即242+182=AB2，AB==30海里．故选：A．【点评】此题考查勾股定理的应用，解答此题要明确方位角东南，西南是指两坐标轴夹角的平分线．13．如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，此时AO=2.4m，若梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移了（参考数据取1.4，取1.7，取1.8）（）A．0.8m B．1.5m C．0.9m D．0.4m【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD﹣OB即可得出结论．【解答】解：∵Rt△OAB中，AB=2.6m，AO=2.4m，∴OB===1m；同理，Rt△OCD中，∵CD=2.6m，OC=2.4﹣0.5=1.9m，∴OD===≈1.8m，∴BD=OD﹣OB=1.8﹣1=0.8（m）．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（）A．9厘米，12厘米，15厘米B．7厘米，12厘米，13厘米C．12 厘米，15厘米，17厘米D．3 厘米，4厘米，7厘米【分析】欲求证是否为直角三角形，根据给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，如果相等就是直角三角形，如果不等就不是直角三角形．【解答】解：A、92+122=152，能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、72+122≠132，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、122+152≠172，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、32+42≠72，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．如图，长方形的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，蚂蚁沿长方体表面，从点A1到C2（点A1、C2见图中黑圆点）的最短距离是（）A．B．C．D．【分析】根据两点之间线段最短，把立体图形展开为平面图形，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵长方体的高为2cm，底面长为3cm，宽为1cm，将长方体的两个侧面展开如图，连接A1、C2，根据两点之间线段最短，A1C2=cm．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出A2C2的长是解题关键．16．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm【分析】梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于△ABC和△EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状．由题意可得出AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB2=AO2+BO2，将AB、OB的值代入该式求出AO的值，OC=AO﹣AC；在Rt△COD中，求出OD的值，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，即求出了梯脚移动的距离．【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB2=AO2+BO2，AO==24分米．∴OC=AO﹣AC=24﹣4=20分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．17．如图，中俄“海上联合﹣2017”军事演习在海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A，B两点，相距30海里，则二号舰航行的方向是（）A．南偏东30°B．北偏东30°C．南偏东60°D．南偏西60°【分析】直接利用已知得出AO，BO，AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度数，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：BO=16×1.5=24（海里），AO=12×1.5=18（海里），AB=30海里，则此时：AO2+BO2=AB2，故△AOB是直角三角形，则∠BOA=90°，∵∠AOD=30°，∴∠DOB=60°，∴2号舰的航行方向是：南偏东60°．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△AOB是直角三角形是解题关键．18．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（）（滑轮上方的部分忽略不计）A．12m B．13m C．16m D．17m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选：D．。

1.3 勾股定理的应用课时同步练习北师大版八年级数学上册一、选择题1．近年来，作为规模较小的城市绿色敞开空间，口袋公园改善了城市生态环境，方便了市民健身休闲．如图，某口袋公园内有两条互相垂直的道路OA，OB，若OA长40m，OB长20m，当小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时，小明所走的路程可能是（ ）A．35m B．42m C．44m D．52m2．如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A．4米B．3米C．5米D．7米3．用梯子登上20m高的建筑物，为了安全要使梯子的底面距离建筑物15m，至少需要（ ）m长的梯子.A．20B．25C．15D．54．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（ ）A．5B．3C．2D．135．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC=90°，又量得AC=9m，BC=15m，则A、B两点之间的距离为（ ）A．10m B．11m C．12m D．13m6．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为（ ）A．1B．4C．6D．97．如图，校园内的一块草坪是长方形ABCD，已知AB=8m，BC=6m．从A点到C点，同学们为了抄近路，常沿线段AC走．这样做会踩坏草坪，而实际上只少走了（ ）A．10m B．4m C．6m D．8m8．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）A．26尺B．24尺C．17尺D．15尺9．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（ ）A．3米B．5米C．7米D．9米10．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里二、填空题11．一艘轮船以16km/ℎ的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/ℎ的速度向东南方向航行，它们离开港口1 小时后相距 ．12．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 .13．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为 .14．我国古代《九章算术》中的“折竹抵地问题”：一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端6尺处，折断处离地面的高度为 尺．（一丈=10尺）15．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里．16．如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．三、解答题17．八（2）班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子垂到地面要多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面.你能将旗杆的高度求出来吗？18．如图，强大的台风使得一根旗杆BC在离地面3m的A点处折断倒下，旗杆顶部C点落在离旗杆底部B点4m处，旗杆BC折断之前有多高?19．如图，一根竹子AB原高1丈（1丈=10尺），在点C处折断，竹稍A触及地面D处时，点D离竹根B 有3尺，试问折断处离地面有多高？20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？21．如图，一艘小船停留在点A处，在离水面高度为8米的台阶上有一根绳子连接小船，用绳子拉小船移动到点D处，已知开始时绳子的长AC=17米，停止后绳子的长CD=10米，求小船移动的距离AD的长．22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．23．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．24．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，若DA=10km，CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则周转站E 应建在距A点多远处？答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短，∴小明从A点沿公园内小路（图中箭头所示路线）走到B点时的最短距离即为AB的长，∵OA⊥OB，OA=40m，OB=20m，∴AB=OA2+OB2=205m，∵352<422<442<A B2=2500<522，∴小明所走的路程可能为52m，故答案为：D．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再比较大小即可。

北师大版八年级数学上册《1.3 勾股定理的应用》同步练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．一艘轮船以16nmile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12nmile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则离开港口2h后，两船相距（）A．25nmile B．30nmile C．35nmile D．40nmile2．如图所示，ABCD是长方形地面，长20MN=m，一只AB=m，宽10AD=m．中间竖有一堵砖墙高2蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）的路程．A．27cm B．26cm C．25cm D．24cm3．如图是一个长方体包装盒，高为5cm，底面是正方形，边长为6cm，现需用绳子装饰，绳子从A出发，沿长方体表面绕到C处，则绳子的最短长度是（）A．10B．11C．12D．134．如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（）A．13 cm B．15 cm C．21 cm D．25cm5．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，要爬行的最短路程（π取3）是（）A ．20cmB ．10cmC ．14cmD ．无法确定6．如图，一棵大树在一次强台风中在距地面5m 处折断，倒下后树顶着地点A 距树底B 的距离为12m ，则这棵大树在折断前的高度为（ ）A ．10B ．17C ．18D ．207．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离OB 为1.5米，梯子顶端到地面距离AB 为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离CD 为2.4米，则小巷的宽度BD 为（ ）A ．2.2米B ．2.3米C ．2.4米D ．2.5米8．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x 尺，根据题意，可列方程为（ ）A ．222610x +=B ．22210)6x x -+=（C ．222(10)6x x +-=D ．2226(10)x x +=-9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈10=尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ）A ．53B ．6.25尺C ．4.75尺D ．3.75尺10．以下列三条线段的长度为边，其中能组成直角三角形的是（ ）A ．7，2，9B ．4，5，6C ．3，4，5D ．5，10，13二、填空题11．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和3木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．12．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，25AB AC +=尺，5BC =尺，则AC = 尺．13．如图，一个圆柱形水杯，底面直径为8cm ，高为9cm ，则一只小虫从下底点A 处爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3） cm ．14．如图，在一个长方形草坪ABCD 上，放着一根长方体的木块．已知6AD =米，4AB =米，该木块的较长边与AD 平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A 爬过木块到达C 处需要走的最短路程是 米．15．如图，有一圆柱，它的高等于2，底面直径等于()4π3=，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程为 ．16．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是 ．17．要将一根笔直的细玻璃棒放进一个内部长、宽、高分别是504030cm cm cm 、、的木箱中，这根细玻璃棒的长度至多为 cm ．18．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距3米，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.19．学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则旗杆的高度为 米．20．已知7x y +=，且x ，y 2291x y ++的最小值是 ．三、解答题21．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；①把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离4AC =米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D 处()BD BC =，作DF 垂直AC 于点,F DF EC =．(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度BC ；(2)在（1）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离 4.5DE =米，求此时绳结到地面的高度DF ．22．如图，明明在距离河面高度为8m 的岸边C 处，用长为17m 的绳子拉点B 处的船靠岸，若明明收绳7m 后，船到达D 处，则船向岸A 移动了多少米？23．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱高为15cm，底面半径为8cm，蚂蚁爬行的最短路线长为多少？24．某中学计划翻修学校体育馆，有一条从楼顶垂下的绳子，绳子顶端A固定在楼顶部，绳子自然垂下至楼底还余2米，当绳子的下端从点C拉开6米至点B时，发现绳子下端刚好接触地面．求体育馆楼高AC的值．25．三月草长莺飞，万物复苏，在一个阳光明媚的周末，李明与同学相约公园放风筝，如图所示风筝线断了、风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地而的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点、发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地而C点（如图所示），请你帮李明求出风筝距离地面的高度AB．参考答案1．D2．B3．D4．B5．B6．C7．A8．D9．D10．C11．512．1213．1514．1015．1016．13m/13米17．50218．519．214206521．(1)旗杆的高度为7.5米DF 米(2) 1.522．向岸A移动了9米23．蚂蚁爬行的最短路线长为17cm．24．体育馆楼高AC的值为8米25．风筝距离地面的高度AB为8米。