1 2
1 2
1 -∞, 2
解析
关闭
答案
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利用数形结合求最值、值域(范围)
【思考】 如何利用图形求目标函数的最值或值域?
������-2 例 3 已知关于 x 的不等式2������ 2 +2������ <2-ax 有唯一整数解 x=1,则������ -1
的取值范围是
.
题后反思首先画出满足条件的图形区域,然后根据目标函数的
答案 2 1+cos������ 解析 令 f(x)=4· · sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=, 在同一坐标系作出 y=sin 2x 与 y=|ln(x+1)|的图象.
由图象知共有 2 个交点,故 f(x)的零点个数为 2.
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答案 B 解析 先作出函数 f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<k 的图象,再研究 f(x)=x3-3x+2,k≤x≤a 的图象.
令 f'(x)=3x2-3=0,得 x=1,当 x>1 时,f'(x)>0,当-1<x<1 时,f'(x)<0,
∴当 x=1 时,f(x)在区间(-1,+∞)上取得最小值 f(1)=0,又 f( 3)=2,
1 , 2
数 f(x)的值域是[0,2],则实数 a 的取值范围是( A.[ 3,+∞) B. 3 C.(0, 3]
题后反思在解含有参数的不等式时,由于涉及参数,往往需要讨
论,导致演算过程烦琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利用数 形结合的方法,问题将会简练地得到解决. (1)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适 当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数 量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷 的解答.(2)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系 函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高点、最低点 的纵坐标.
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答案 A 解析 由函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2,可知关于导函数的 方程 f'(x)=3x2+2ax+b=0 有两个不等的实根 x1,x2,则方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 有两个不等的实根,即 f(x)=x1 或 f(x)=x2,原方程根 的个数就是这两个方程 f(x)=x1 和 f(x)=x2 的不等实根的个数之和,若 x1<x2,作 y=x1,y=x2 与 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象有三个不同交点,如图 ①.
即方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 有三个不同的实根. 若 x1>x2,如图②,同理方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 有三个不同实根.
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对点训练 1 函数 f(x)=4cos2 · cos 为 .
������ 2
π -������ 2
-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数
特点(或所求量的几何意义),转化为距离或直线的斜率、截距等.
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答案
1 ,1 4
2
解析 ∵2������ +2������ <2-ax,∴x2+ax+2b<0,依题意 x2+ax+2b<0 只有唯一的整数解 x=1, ∴方程 x2+ax+2b=0 的一根在区间[0,1)内,另一根在(1,2]内,即函数 f(x)=x2+ax+2b 的图象与 x 轴在区间[0,1)和(1,2]内各有一个交点. ������(0) ≥ 0, ������ ≥ 0, ∴ ������(1) < 0, 即 ������ + 2������ + 1 < 0,作出可行域,如图, ������ + ������ + 2 ≥ 0, ������(2) ≥ 0,
若存在 k 使 f(x)的值域是[0,2],a
1 只需满足 <a≤ 2
3.故选 B.
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对点训练 2 范围是
1 若不等式|x-2a|≥ x+a-1 2
对 x∈R 恒成立,则 a 的取值
.
关闭
作出 y=| x- 2a| 和 y= x+a- 1 的简图, 依题意知应有 2a≤2- 2a, 故 a≤ .
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利用数形结合求函数零点的个数 【思考】 如何利用函数图象解决函数零点的个数问题? 例1若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方 程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6 题后反思因为方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,方程f(x)=g(x)的 根就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标,所以用数形结合的思 想讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程) 的解的个数,其基本步骤是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉 函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数), 然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方 程解的个数.
三、数形结合思想
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高考命题聚焦 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,在高考 试题中,数形结合思想主要用于解选择题和填空题,有直观、简单、 快捷等特点;而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,图形只是辅 助手段,最终要用“数”写出完整的解答过程.
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思想方法诠释 1.数形结合思想的含义 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相 互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面:(1)“以形助数”,把 抽象问题具体化,这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问 题;(2)“以数解形”,把直观图形数量化,使形更加精确,这主要是指用 代数或三角的方法去解决几何问题.
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2.数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根 的范围、研究量与量之间的大小关系. (2)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明 不等式. (3)构建立体几何模型研究代数问题. (4)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (5)构建方程模型,求根的个数.
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利用数形结合求参数范围及解不等式 【思考】 如何利用函数图象解决不等式问题?函数的哪些性质 与函数图象的哪些特征联系密切?
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例
log 2 (1-������) + 1,-1 ≤ ������ < ������, 2 已知函数 f(x)= ������ 3 -3������ + 2,������ ≤ ������ ≤ ������, 若存在 k 使得函 ) D.{2}
