2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第六章 第二节 等差数列及其前n项和 Word版含解析

一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13.答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝8×182＝72. 答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9等于________．解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553. 答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2＝9d 30d ＝310. 答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．答案：4或59．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案：n 2＋n二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q. 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否成等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)， 故数列{1a n}是以1为首项、公差为3的等差数列． (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3， 所以b n ＝3n －2，所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；(2)若数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？ 解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)， 得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)． 所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列． 所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。

第二节 等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －2d ＝n a 1＋a n 2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．[小题体验]1．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________. 解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，由题意知，3×2＋3d ＝12，解得d ＝2， 故a 6＝2＋(6－1)×2＝12. 答案：122．已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________. 答案：－15－n3．(2018·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，且a 4＋a 5＋a 6＝21，所以3a 5＝21，即a 5＝7， 故S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝63.答案：631．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含 条件．[小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－832．已知数列{}a n 为等差数列，若a 1＝－3,11a 5＝5a 8，则使其前n 项和S n 取最小值的n ＝________.解析：∵a 1＝－3,11a 5＝5a 8，∴d ＝2，∴S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴当n ＝2时，S n 最小． 答案：2考点一 等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．在等差数列{}a n 中，已知d ＝12，a n ＝32，S n ＝－152，则a 1＝________.解析：由题意，得⎩⎨⎧a 1＋322×n ＝－152， ①a 1＋n －12＝32， ②由②得a 1＝－12n ＋2，代入①得n 2－7n －30＝0，∴n ＝10或n ＝－3(舍去)， ∴a 1＝－3. 答案：－32．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7＝2a 5，所以a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝ －2d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：113．(2018·苏北四市一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＝3，S 4＝16，则S 9＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝3，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋4×32d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，因此S 9＝9＋9×82×2＝81.答案：814．(2019·南京调研)记等差数列{a n }前n 项和为S n .若a m ＝10，S 2m －1＝110, 则m ＝_______.解析：因为S 2m －1＝m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝110，所以2m －1＝11，即m ＝6.答案：6[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用，体现整体代入的思想．考点二 等差数列的判断与证明重点保分型考点——师生共研 [典例引领](2019·启东联考)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋－3n2＝13n －3n22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8)＝7＋n －＋n －2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法[即时应用]已知数列{}a n 满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n.(1)证明：数列{}b n 为等差数列； (2)求数列{}a n 的通项公式． 解：(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1，∴数列{}b n 为等差数列． (2)∵b 1＝a 1－23＝0，∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n.考点三 等差数列的性质及最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.解析：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列， 设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 答案：202．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为________．解析：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n ＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(S n )max ＝S 8，故S n 取最大值时，n ＝8.答案：8[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180， ②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，所以a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n a 1＋a n2＝324，所以18n ＝324，所以n ＝18.答案：182．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2003．已知在等差数列{}a n 中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，a 11＋a 222＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31， ∴d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)由(1)知S n ＝32n －n 2，∴当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3，得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 答案：1792．(2019·常州一中检测)在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 12＝4，则a 2＋a 7＋a 12＝________.解析：∵a 2＋a 12＝2a 7＝4，∴a 7＝2. 则a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝6. 答案：63．(2018·徐州期中)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，S 11＝132，a 6＋a 9＝30，则a 12的值为________．解析：在等差数列{}a n 中，设首项为a 1，公差为d ， 由S 11＝132，a 6＋a 9＝30， 得⎩⎪⎨⎪⎧11a 1＋11×102d ＝132，2a 1＋13d ＝30，解得a 1＝d ＝2.∴a 12＝a 1＋11d ＝24. 答案：244．(2018·苏州质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝________.解析：3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ＋1·a k ＜0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k ＜0，所以452＜k ＜472， 又因为k ∈N *， 所以k ＝23. 答案：235．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，所以S n 的最大值为S 5. 答案：S 56．(2018·无锡期末)在等差数列{}a n 中，若a n ＞0，a 4＝5，则1a 2＋9a 6的最小值为________．解析：∵在等差数列{}a n 中，a n ＞0，a 4＝5， ∴a 2＋a 6＝2a 4＝10，∴1a 2＋9a 6＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋9a 6(a 2＋a 6)＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2a 6＋a 6a 2＋10≥110⎝ ⎛⎭⎪⎫29a 2a 6·a 6a 2＋10＝85， 当且仅当9a 2a 6＝a 6a 2时取等号．故1a 2＋9a 6的最小值为85.答案：85二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年～前1000年)有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分．已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数)．问：老三应该分得________个金币．解析：∵10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币，∴可将其看作一个等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝100，a 8＝a 1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85，∴a 3＝a 1＋2d ＝865－165＝14，即老三应该分得14个金币． 答案：142．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式， 所以a n ＝4n ＋1，a p －a q ＝4(p －q )＝20. 答案：203．(2018·苏州期末)已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时n 的值为________．解析：由a 5＝15，a 10＝－10得a n ＝－5n ＋40，a n ＋5＝－5n ＋15，T n ＝a n ＋a n ＋52＝15(11－2n )，当11－2n ＝±1时，即n ＝5或6时，|T n |取最小值15.答案：5或64．(2019·泰州模拟)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 4＝4，S 12＝24，则S 8＝________.解析：由等差数列的性质可得，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列， 所以2(S 8－4)＝4＋24－S 8， 解得S 8＝12. 答案：125．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n n －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 答案：b n ＝2n －16．(2019·扬州模拟)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 13＝6，则3a 9－2a 10＝________.解析：由S 13＝6，得a 1＋a 132＝13a 7＝6，∴a 7＝613，∴3a 9－2a 10＝3(a 1＋8d )－2(a 1＋9d )＝a 1＋6d ＝a 7＝613.答案：6137．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78 8．(2019·启东中学模拟)若等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，关于x 的不等式d2x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，则使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是________．解析：∵关于x 的不等式d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，∴d 2＜0,0＋10＝－a 1－d 2d 2，0×10＝cd2， 解得d ＜0，c ＝0，a 1＝－9d2.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－9d 2＋(n －1)d ＝d ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －112，令a n ≥0，解得n ≤112，因此使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是5.答案：59．(2018·启东期末)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{}b n 为等差数列．解：(1)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝n a 1＋a n 2＝n [3＋n ＋2＝n (n ＋2)． (2)证明：∵b n ＝S n n ＝n n ＋n＝n ＋2，b n ＋1－b n ＝n ＋3－(n ＋2)＝1，∴数列{}b n 为等差数列．10．(2018·南京、盐城二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 解：(1)因为数列{a n }是公差为2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n＝a 1＋n －1.因为(n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋n ＋2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，所以c n ＝1. (2)证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n ，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n .从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝n ＋b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)， 因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)． 因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ. 所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n ， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S n n，② ②－①得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ， 故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)． 所以数列{a n }是等差数列．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 1，S 5，S 7成等差数列，所以S 1＋S 7＝2S 5，则a 1＋7a 1＋21d ＝2(5a 1＋10d )，解得d ＝2a 1，因为a 3＝5，所以a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.答案：2n －12．(2019·苏州高三期中调研)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2 018＝________.解析：由a n ＋b n ＝1，得a n ＋1＋b n ＋1＝1，即b n ＋1＝1－a n ＋1，把b n ＋1＝1－a n ＋1代入b n ＋1＝11＋a n ，化简可得1a n ＋1－1a n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n n ＋1，所以b 1·b 2·…·b 2 018＝12 019. 答案：12 019 3．(2018·南京学情调研)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1. ①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d a 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1. (2)①因为b 1＝a 1＝1， b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 即b 2－b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15， …b n －b n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，n ≥2， 累加得b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝n －12n －1， 所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1. 又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *. ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m .又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2， 化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1. 当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．。

一、填空题．一个等差数列的前项是，，，则等于．解析：∵，，成等差数列，∴(\\(＋＝，＋＝，))即(\\(＝()，＝().))∴＝.答案：．设>，>，若和的等差中项是，则＋的最小值是．解析：由已知得＋＝，则＝，∴＋＝＋≥，当且仅当＝时取“＝”号．答案：．已知等差数列{}的前项和为，若＝－，则＝.解析：＝＝＝＝.答案：．已知等差数列{}与{}的前项和分别为与，且＝，则等于．解析：∵＝＝＝＝.答案：．已知数列{}的前项和＝－，且满足<＋＋<，则正整数＝.<，即<(－)＋(－)<，所以解析：由＝(\\(，＝－－，≥，))可得＝－<＋＋<<，又∈*，所以＝.答案：．设等差数列{}的前项和为，若＝＝，则 {}的通项公式＝.解析：由题意得(\\(＋＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝.))∴＝＋(－)＝.答案：．设是等差数列{}的前项和，若＝，则＝.解析：＝＝⇒＝.＝＝＝.答案：．设为等差数列{}的前项和，若＝，＝，则当取得最大值时，的值为．解析：由题意得(\\(＝＋＝＝＋＝))，所以＝，＝－，所以＝×＝－(－)＋，故当＝或＝时，取最大值．答案：或．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第行第＋列的数是．解析：由题中数表知：第行中的项分别为，…，组成一等差数列，所以第行第＋列的数是：＋.答案：＋二、解答题．在等差数列{}中，＝，为前项和，且满足－＝，∈*.()求及{}的通项公式；()记＝＋(>)，求{}的前项和.解析：()令＝，由－＝得－＝，即＋－＝.又∵＝，∴＝，∴公差＝.∴＝＋(－)·＝.()由()得＝＋，若≠，则＝(＋＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＝＋.若＝，则＝＋，＝＝.．在数列{}中，＝－＋－－＝(≥，∈)．()试判断数列{}是否成等差数列；()设{}满足＝，求数列{}的前项和.解析：()由已知可得－＝(≥)，故数列{}是以为首项、公差为的等差数列．。

一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13. 答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝8×182＝72. 答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9等于________．解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553. 答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2＝9d 30d ＝310.答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．答案：4或59．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .答案：n 2＋n二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *.(1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n .解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n )＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q. 若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2. 11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否成等差数列； (2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)， 故数列{1a n}是以1为首项、公差为3的等差数列． (2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；(2)若数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。

第2讲 等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 4．等差数列的增减性与最值公差d >0时为递增数列，且当a 1<0时，前n 项和S n 有最小值；公差d <0时为递减数列，且当a 1>0时，前n 项和S n 有最大值． 5．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，(n ，a n )在一次函数y ＝px ＋q 的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y ＝px ＋q 上的均匀排开的一群孤立的点．当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4，故选C. (教材习题改编)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选 A.法一：因为a 1＋a 5＝2a 3，所以a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，所以a 3＝1，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A. 法二：因为a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， 所以a 1＋2d ＝1，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.(教材习题改编)在等差数列11，8，5，…中，－49是它的第________项． 解析：a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21. 答案：21已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.答案：27等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．[典例引领]角度一 求公差d 、项数n 或首项a 1(2018·洛阳市第一次统一考试)等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．9D ．10【解析】 依题意得(a 1＋a 10)2－2a 1a 10＝(a 5＋a 6)2－2a 1a 10＝121－2a 1a 10＝101，所以a 1a 10＝10，又a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11，a 1<a 10，所以a 1＝1，a 10＝10，d ＝a 10－a 110－1＝1.【答案】 A角度二 求通项或特定项(方程思想)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 a 1＋a 5＝27a 23，S 7＝63.求数列{a n }的通项公式．【解】 法一：设正项等差数列{a n }的公差为d ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝27（a 1＋2d ）2，7a 1＋21d ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝17（a 1＋2d ）2，a 1＋3d ＝9，又因为a n ＞0，所以a 3＝a 1＋2d ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1(n ∈N *)．法二：设正项等差数列{a n }的公差为d . 因为{a n }是等差数列，且a 1＋a 5＝27a 23，所以2a 3＝27a 23，又a n ＞0，所以a 3＝7.因为S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝63，所以a 4＝9.所以d ＝a 4－a 3＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1(n ∈N *)． 角度三 求前n 项和设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________．【解析】 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×8d2＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.法二：由S 9＝9a 5＝－9，所以a 5＝－1，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 5＋a 12)＝－72.【答案】 －72等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可知三求二．解决这类问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用，体现整体代入的思想．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24 B ．－3 C ．3D ．8解析：选A.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2，又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0，又d ≠0，则d ＝－2，所以a 6＝a 1＋5d ＝－9，所以{a n }前6项的和S 6＝1－92×6＝－24.2．在等差数列{a n }中，a 4＝2，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝65，则公差d 的值是( ) A ．4 B ．3 C ．1D ．2解析：选B.因为在等差数列{a n }中，a 4＝2，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝65，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝2，10a 1＋10×92d ＝65， 解得a 1＝－7，d ＝3. 所以公差d 的值是3.3．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3，S k ＝－35，则k ＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由于a 1＝1，a 3＝－3，又a 3＝a 1＋2d ， 所以d ＝－2，因此a n ＝3－2n . 得S n ＝1＋（3－2n ）2n ＝2n －n 2，所以S k ＝2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0， 解得k ＝7或k ＝－5，又因为k ∈N *，所以k ＝7. 答案：7等差数列的判定与证明[典例引领](2018·贵州省适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．【解】 (1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得na n ＋1－（n ＋1）a n n （n ＋1）＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a n n＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数． (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0. [提醒] 判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．[通关练习]1．(2018·云南省11校跨区调研)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A. 34 B ．1 C. 43D. 32解析：选A.依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34，选A.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－1)－(2n －1－1)＝2n －1.因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n2n ＝2.又b 121＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n.等差数列的性质及应用(高频考点)等差数列的性质是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．高考对等差数列的性质的考查常有以下三个命题角度： (1)等差数列项的性质的应用； (2)等差数列前n 项和的性质的应用； (3)等差数列前n 项和的最值．[典例引领]角度一 等差数列项的性质的应用(1)(2018·太原市模拟试题)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则S 11＝( ) A ．66 B ．55 C ．44D ．33(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .【解】 (1)选D.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，所以12a 1＋60d ＝36，即a 1＋5d ＝3，所以a 6＝3，所以S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝33，故选D.法二：因为a 1＋a 5＝2a 3，a 8＋a 10＝2a 9， 所以2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝6a 3＋6a 9＝36， 所以a 3＋a 9＝6，所以S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 3＋a 9）2＝33，故选D.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.角度二 等差数列前n 项和的性质的应用等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________．【解析】 由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， 可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ， 即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.【答案】 60角度三 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝________，S n 的最大值为________．【解析】 法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12， 所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ，所以d ＝－1. 所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n ＞0， 当n ≥12时，a n ＜0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55. 法二：同法一求得d ＝－1. 所以S n ＝10n ＋n （n －1）2·(－1)＝－12n 2＋212n＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4418.因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 法三：同法一求得d ＝－1. 又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0. 所以3a 11＝0，即a 11＝0.所以当n ＝10或11时，S n 有最大值． 且最大值为S 10＝S 11＝55. 【答案】 10或11 55(1)等差数列和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)．②S 2n －1＝(2n －1)a n .③当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法：〈1〉当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；〈2〉当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S9＝( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A.S 11S 9＝11（a 1＋a 11）29（a 1＋a 9）2＝11a 69a 5＝119×911＝1.3．(2018·湖南省湘中名校高三联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033解析：选C.因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032（a 1＋a 4 032）2＝4 032（a 2 016＋a 2 017）2>0，S 4 033＝4 033（a 1＋a 4 033）2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032.等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )．若d ＝0，则a n ＝a 1，其是常数函数； 若d ≠0，则a n 是关于n 的一次函数．(n ，a n )是直线y ＝dx ＋(a 1－d )上一群孤立的点．单调性：d >0时，{a n }为单调递增数列；d <0时，{a n }为单调递减数列．等差数列{a n }的前n 项和S n 可表示为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 易错防范(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B.设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.2．(2018·兰州市诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288解析：选B.法一：因为a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2，所以d ＝32，所以S 9＝9×2＋9×82×32＝72. 法二：因为a 8＋a 10＝2a 9＝28，所以a 9＝14，所以S 9＝9（a 1＋a 9）2＝72. 3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23. 4．(2018·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校模拟)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n为( ) A ．3 B ．3或4 C ．4或5D ．5 解析：选B.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，所以S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，由n －4≥0，得n ≥4，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.故选B.5．(2018·衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日解析：选D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n （a 1＋a n ）2＋n （b 1＋b n ）2＝2 250，即n （103＋13n ＋90）2＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________． 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ， 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：57．(2018·重庆适应性测试(二))设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________．解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2008．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－789．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？ 解：(1)因为数列{a n }满足a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4， 所以a n －a n －1＝4，即数列{a n }为等差数列且公差为d ＝4， 所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17，a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0可解得n ≥254，所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数， 所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．10．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝ －12n 2＋212n ； 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.1．(2018·安徽省两校阶段性测试)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]解析：选 A.因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a n a n ，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1<09＋a －1>0，解得－8<a <－7. 2．(2018·石家庄市第一次模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．－50D ．0解析：选B.因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.3．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________．解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009.答案：11 0094．(2018·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为________． 解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：b n ＝2n －1(n ∈N *)5．已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝1＋a na n.(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值．解：(1)因为S 4＝2S 2＋4，所以4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)因为a 1＝－52，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)＝n －72，所以b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.因为函数f (x )＝1＋1x －72在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上分别是单调减函数， 所以b 3<b 2<b 1<1，当n ≥4时，1<b n ≤b 4，所以数列{b n }中的最大项的值是b 4＝3，最小项的值是b 3＝－1.6．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3， 又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.。

1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋nn －12d ＝na 1＋a n2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． [小题体验]1．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________. 解析：设等差数列{}a n 的公差为d ，由题意知，3×2＋3d ＝12，解得d ＝2， 故a 6＝2＋(6－1)×2＝12. 答案：122．已知等差数列{a n }，a 5＝－20，a 20＝－35，则a n ＝________. 答案：－15－n3．(2018·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，且a 4＋a 5＋a 6＝21，所以3a 5＝21，即a 5＝7， 故S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝63. 答案：631．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含 条件． [小题纠偏]1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫－3，－83 2．已知数列{}a n 为等差数列，若a 1＝－3,11a 5＝5a 8，则使其前n 项和S n 取最小值的n ＝________. 解析：∵a 1＝－3,11a 5＝5a 8，∴d ＝2，∴S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴当n ＝2时，S n 最小． 答案：2考点一 等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．在等差数列{}a n 中，已知d ＝12，a n ＝32，S n ＝－152，则a 1＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋322×n ＝－152， ①a 1＋n －112＝32， ②由②得a 1＝－12n ＋2，代入①得n 2－7n －30＝0，∴n ＝10或n ＝－3(舍去)， ∴a 1＝－3. 答案：－32．公差不为零的等差数列{a n }中，a 7＝2a 5，则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7＝2a 5，所以a 1＋6d ＝2(a 1＋4d )，则a 1＝ －2d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ，而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11，故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：113．(2018·苏北四市一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＝3，S 4＝16，则S 9＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝3，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋4×32d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 因此S 9＝9＋9×82×2＝81.答案：814．(2019·南京调研)记等差数列{a n }前n 项和为S n .若a m ＝10，S 2m －1＝110, 则m ＝_______. 解析：因为S 2m －1＝2m －1a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝110，所以2m －1＝11，即m ＝6.答案：6[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n a 1＋a n2结合使用，体现整体代入的思想． 考点二 等差数列的判断与证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2019·启东联考)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法[即时应用]已知数列{}a n 满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n .(1)证明：数列{}b n 为等差数列； (2)求数列{}a n 的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴数列{}b n 为等差数列．(2)∵b 1＝a 1－23＝0，∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n ＋2n .考点三 等差数列的性质及最值重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________. 解析：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列， 设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 答案：202．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为________． 解析：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝a 1＋7d ＝1，S 16＝16a 1＋16×152d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝－n 2＋16n ＝－(n －8)2＋64，则当n ＝8时，S n 取得最大值．法二：因为{a n }是等差数列，所以S 16＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)＝0，则a 9＝－a 8＝－1，即数列{a n }的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(S n )max ＝S 8，故S n 取最大值时，n ＝8.答案：8[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180， ②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，所以a 1＋a n ＝36， 又S n ＝na 1＋a n2＝324，所以18n ＝324，所以n ＝18. 答案：182．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________.解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2003．已知在等差数列{}a n 中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22， S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，12a 11＋a 222＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又a 1＝31， ∴d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)由(1)知S n ＝32n －n 2，∴当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3，得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 答案：1792．(2019·常州一中检测)在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 12＝4，则a 2＋a 7＋a 12＝________. 解析：∵a 2＋a 12＝2a 7＝4，∴a 7＝2. 则a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝6. 答案：63．(2018·徐州期中)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，S 11＝132，a 6＋a 9＝30，则a 12的值为________． 解析：在等差数列{}a n 中，设首项为a 1，公差为d ， 由S 11＝132，a 6＋a 9＝30，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 1＋11×102d ＝132，2a 1＋13d ＝30，解得a 1＝d ＝2.∴a 12＝a 1＋11d ＝24. 答案：244．(2018·苏州质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1＜0，则正整数k ＝________.解析：3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ＋1·a k ＜0，所以⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k ＜0，所以452＜k ＜472， 又因为k ∈N *， 所以k ＝23. 答案：235．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，所以S n 的最大值为S 5. 答案：S 56．(2018·无锡期末)在等差数列{}a n 中，若a n ＞0，a 4＝5，则1a 2＋9a 6的最小值为________．解析：∵在等差数列{}a n 中，a n ＞0，a 4＝5， ∴a 2＋a 6＝2a 4＝10，∴1a 2＋9a 6＝110⎝⎛⎭⎫1a 2＋9a 6(a 2＋a 6)＝110⎝⎛⎭⎫9a 2a 6＋a 6a 2＋10≥110⎝⎛⎭⎫29a 2a 6·a 6a 2＋10＝85， 当且仅当9a 2a 6＝a 6a 2时取等号．故1a 2＋9a 6的最小值为85.答案：85二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年～前1000年)有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分．已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数)．问：老三应该分得________个金币．解析：∵10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币， ∴可将其看作一个等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝100，a 8＝a 1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85，∴a 3＝a 1＋2d ＝865－165＝14，即老三应该分得14个金币． 答案：142．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式， 所以a n ＝4n ＋1，a p －a q ＝4(p －q )＝20. 答案：203．(2018·苏州期末)已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时n 的值为________．解析：由a 5＝15，a 10＝－10得a n ＝－5n ＋40，a n ＋5＝－5n ＋15，T n ＝6a n ＋a n ＋52＝15(11－2n )，当11－2n ＝±1时，即n ＝5或6时，|T n |取最小值15.答案：5或64．(2019·泰州模拟)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 4＝4，S 12＝24，则S 8＝________. 解析：由等差数列的性质可得，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列， 所以2(S 8－4)＝4＋24－S 8， 解得S 8＝12. 答案：125．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n 2n －1d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 答案：b n ＝2n －16．(2019·扬州模拟)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 13＝6，则3a 9－2a 10＝________. 解析：由S 13＝6，得a 1＋a 13132＝13a 7＝6，∴a 7＝613，∴3a 9－2a 10＝3(a 1＋8d )－2(a 1＋9d )＝a 1＋6d ＝a 7＝613.答案：6137．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值， 可得⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(2019·启东中学模拟)若等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，则使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是________．解析：∵关于x 的不等式d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ＋c ≥0的解集为[0,10]，∴d 2＜0,0＋10＝－a 1－d 2d 2，0×10＝cd2， 解得d ＜0，c ＝0，a 1＝－9d2.a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－9d2＋(n －1)d ＝d ⎝⎛⎭⎫n －112， 令a n ≥0，解得n ≤112，因此使数列{}a n 的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是5.答案：59．(2018·启东期末)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{}b n 为等差数列．解：(1)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝n a 1＋a n 2＝n [3＋2n ＋1]2＝n (n ＋2)．(2)证明：∵b n ＝S n n＝nn ＋2n＝n ＋2， b n ＋1－b n ＝n ＋3－(n ＋2)＝1， ∴数列{}b n 为等差数列．10．(2018·南京、盐城二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N *.(1)若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；(2)若存在实数λ，使得对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 解：(1)因为数列{a n }是公差为2的等差数列， 所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn＝a 1＋n －1.因为(n ＋2)c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2n ＋12－(a 1＋n －1)＝n ＋2，所以c n ＝1.(2)证明：由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1)b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2)b n ＋1－nb n .从而(n ＋2)c n ＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn ＝a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1)b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1)b n ＝n ＋2b n ＋1－nb n 2＋(n ＋1)b n ＝n ＋22(b n ＋b n ＋1)，因此c n ＝12(b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N *，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ.所以(n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn ， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn，②②－①得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ，故a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥2)．又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ(n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 1，S 5，S 7成等差数列，所以S 1＋S 7＝2S 5，则a 1＋7a 1＋21d ＝2(5a 1＋10d )，解得d ＝2a 1，因为a 3＝5，所以a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.答案：2n －12．(2019·苏州高三期中调研)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2 018＝________.解析：由a n ＋b n ＝1，得a n ＋1＋b n ＋1＝1，即b n ＋1＝1－a n ＋1，把b n ＋1＝1－a n ＋1代入b n ＋1＝11＋a n，化简可得1a n ＋1－1a n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为2，公差为1的等差数列，可得数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n n ＋1，所以b 1·b 2·…·b 2 018＝12 019.答案：12 0193．(2018·南京学情调研)已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1. ①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d a 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(2)①因为b 1＝a 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13，b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15，…b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1，所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n－22n －1，n ∈N *.②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)；当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．。

第2讲 等差数列及其前n 项和[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.2．(一题多解)(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.3．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.法一：等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. 4．(2019·广东广州联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 017的值为( )A ．2 018B ．4 028C ．5 037D ．3 019解析：选B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a m＝a 1＋（m －1）d ＝4，S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋（m ＋m ＋1）d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，所以a 2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.5．(2019·长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝________． 解析：S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225.答案：2257．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：108．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝________．解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 答案：09．(2019·武汉调研)已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤32n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.10．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.[综合题组练]1．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033解析：选C.因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032（a 1＋a 4 032）2＝4 032（a 2 016＋a 2 017）2>0，S 4 033＝4 033（a 1＋a 4 033）2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032.2．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( ) A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选B.a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a na 2n＝1.因为a 1＝d ≠0，所以a na 2n ≠0，所以该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：1304．(2019·四川广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn等于________．解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ①，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ②，①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n＝4n2n ＝4n ，所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝（4＋4n ）n2＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n5．(创新型)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 6．(应用型)已知一次函数f (x )＝x ＋8－2n .(1)设函数y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }是等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象与y 轴的交点到x 轴的距离构成数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由题意得a n ＝8－2n ，因为a n ＋1－a n ＝8－2(n ＋1)－8＋2n ＝－2，且a 1＝8－2＝6， 所以数列{a n }是首项为6，公差为－2的等差数列． (2)由题意得b n ＝|8－2n |.由b 1＝6，b 2＝4，b 3＝2，b 4＝0，b 5＝2，可知此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起，是首项为2，公差为2的等差数列．所以当n ≤4时，S n ＝6n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋7n ，当n ≥5时，S n ＝S 4＋(n －4)×2＋（n －5）（n －4）2×2＝n 2－7n ＋24.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋7n ，n ≤4，n ∈N *，n 2－7n ＋24，n ≥5，n ∈N *.。

第六章 数 列第二节 等差数列及其前n 项和A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届南昌市一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．6解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，将题中两式相减可得2d ＝6，所以d ＝3，所以a 2＝2(a 2＋3)＋1，解得a 2＝－7，所以a 5＝a 2＋(5－2)d ＝－7＋9＝2，故选B ．2．(2019届合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( )A ．11B ．12C ．20D ．22解析：选D 解法一：设等差数列的公差为d(d>0)，由题意得(a 1＋4d)＋(a 1＋6d)－(a 1＋5d)2＝0，即(a 1＋5d)·(2－a 1－5d)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2.又{a n }为正项等差数列，所以a 1＋5d>0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d)＝11×2＝22，故选D ．解法二：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 26＝0，得2a 6－a 26＝0，所以a 6＝2，所以S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22，故选D ．3．(2019届贵阳市质量检测)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 9＝8，则(a 2＋a 8)2－a 5＝( ) A ．60 B ．56 C ．12D ．4解析：选A 因为在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝2a 5＝8，所以(a 2＋a 8)2－a 5＝64－4＝60，故选A ．4．(2019届广东七校第二次联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＝－2×8＋17＝1>0，a 9＝－2×9＋17＝－1<0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D ．解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D ．5．(2019届广州市第一次综合测试)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且a m－1－a 2m ＋a m ＋1＝1，S 2m －1＝11，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．6D ．5解析：选 C 由a m －1－a 2m ＋a m ＋1＝1可得2a m －a 2m ＝1，即a 2m －2a m ＋1＝0，解得a m ＝1.由S 2m －1＝（a 1＋a 2m －1）（2m －1）2＝a m ×(2m －1)＝11，得2m －1＝11，解得m ＝6，故选C ．6．(2019届桂林市、百色市、崇左市联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4a 3＝34，则3S 5a 4＝( )A ．12B ．15C ．20D ．25解析：选C 因为数列{a n }是等差数列，所以3S 5a 4＝3×5a 3a 4＝15a 3a 4.又a 4a 3＝34，所以3S 5a 4＝15a 3a 4＝15×43＝20.故选C ．7．(2019届西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选C 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0.所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C ．8．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( ) A ．15 B ．19 C ．21D ．30解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d.由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，所以a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，所以(2a 2－d)2＝(a 2－d)·(4a 2＋2d)，化简得3d 2＝2a 2d ，又d≠0，所以a 2＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －2)＝2n －1，所以a 10＝19.9．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，若S k ＋10－S k ＝12k ＋10，则S 2k ＋10＝( )A ．1B ．12C ．15D ．110解析：选 D 由题意知S k ＋10－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝a k ＋1＋a k ＋102×10＝12k ＋10，∴a k ＋1＋a k ＋10＝110（k ＋5），∴S 2k ＋10＝a 1＋a 2k ＋102×(2k ＋10)＝a k ＋1＋a k ＋102×(2k ＋10)＝110.10．正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 3＋a 7－a 25＋15＝0，且S n ＝45，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选B 因为{a n }是正项等差数列，a 3＋a 7－a 25＋15＝0，所以a 25－2a 5－15＝0，解得a 5＝5(a 5＝－3舍去)．设{a n }的公差为d ，由a 5＝a 1＋4d ＝1＋4d ＝5，解得d ＝1，所以S n ＝n[2a 1＋（n －1）d]2＝n[2＋（n －1）]2＝n （n ＋1）2＝45，即n 2＋n －90＝(n ＋10)(n －9)＝0，解得n ＝9(n ＝－10舍去)，故选B ．11．(2019年全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________．解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 10＝10×1＋10×92×2＝100. 解法二：由题意，得公差d ＝14(a 7－a 3)＝2，所以a 4＝a 3＋d ＝7，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 4＋a 7)＝100.答案：10012．(2019年江苏卷)已知数列{a n }(n∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d)(a 1＋4d)＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.解法二：设等差数列{a n }的公差为d.∵S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d ＝0，解得d ＝2，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.答案：1613．(2019届广东七校第二次联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋1，且b n ＝1a n ，n∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1)证明：因为b n ＝1a n ，且a n ＋1＝a na n ＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝a n ＋1a n ＝1＋1a n ＝1＋b n ，故b n ＋1－b n ＝1. 又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ， 又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n ＝1n .故a n n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．(2019届南昌市二模)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且存在实数λ满足2a n ＋1＝λa n ＋4，n ∈N *.(1)求λ的值及通项公式a n ； (2)求数列{a 2n －n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d≠0， 由2a n ＋1＝λa n ＋4(n∈N *)， ① 得2a n ＝λa n －1＋4(n∈N *，n≥2)，②两式相减得，2d ＝λd，又d≠0，所以λ＝2.将λ＝2代入①可得2a n ＋1＝2a n ＋4，即2d ＝4，所以d ＝2. 又a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)可得a 2n－n ＝2(2n －n)－1＝2n ＋1－(2n ＋1)，所以S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝4（1－2n）1－2－n （3＋2n ＋1）2＝2n ＋2－n 2－2n －4.B 级·素养提升 |练能力|15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A ．16．已知数列{a n }为等差数列，若a 21＋a 210≤25恒成立，则a 1＋3a 7的取值范围为( ) A ．[－5，5] B ．[－52，52] C ．[－10，10]D ．[－102，102]解析：选D 由数列{a n }为等差数列，可知a 1＋3a 7＝a 1＋3(a 1＋6d)＝4a 1＋18d ＝2(a 1＋a 1＋9d)＝2(a 1＋a 10)．由基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 1022≤a 21＋a 2102得2|a 1＋a 10|≤102，当且仅当a 1＝a 10时取等号，所以a 1＋3a 7的取值范围为[－102，102]．17．(2019届江西红色七校第一次联考)已知数列{a n }为等差数列，若a 2＋a 6＋a 10＝π2，则tan(a 3＋a 9)的值为( )A ．0B ．33C ．1D ． 3解析：选D 因为数列{a n }是等差数列，所以a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝π2，所以a 6＝π6，所以a 3＋a 9＝2a 6＝π3，所以tan(a 3＋a 9)＝tan π3＝ 3.故选D ． 18．(2019年全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.。

一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于________．解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13.答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________.解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝8×182＝72. 答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9等于________．解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553. 答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8. 答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2＝13⇒a 1＝2d . S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2＝9d 30d ＝310. 答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值． 答案：4或5。

第2讲 等差数列及其前n 项和一、填空题1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[来源解析 a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案 742．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S412－S39＝1，则公差为________． 解析 依题意得S4＝4a1＋4×32d ＝4a1＋6d ，S3＝3a1＋3×22d ＝3a1＋3d ，于是有4a1＋6d 12－3a1＋3d 9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6.答案 63．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn 取最大值时，n ＝________.解析 因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a6＞0，a8＜0，从而当n ＝6或7时Sn 取最大值．答案 6或74．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.解析 ∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d ＝9－13＝－4，∴d ＝－2，∴a5＝a4＋d ＝13－2＝11，∴S9＝＋2＝9a5＝99.答案 995．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析 由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋a3＝10，a1a3＝16.又公差d ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a1＝2，a3＝8.所以d ＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3(2＋33)＝3×35＝105.答案 1056．已知数列{an}的前n 项和为Sn ＝2n2＋pn ，a7＝11.若ak ＋ak ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．解析 因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p －2×62－6p ＝26＋p ＝11，所以p ＝－15，Sn ＝2n2－15n ，an ＝Sn －Sn －1＝4n －17(n≥2)，当n ＝1时也满足．于是由ak ＋ak ＋1＝8k －30＞12，得k ＞214＞5.又k ∈N*，所以k≥6，即kmin ＝6.答案 67．已知数列{an}满足递推关系式an ＋1＝2an ＋2n －1(n ∈N*)，且⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋λ2n 为等差数列，则λ的值是________．解析 由an ＋1＝2an ＋2n －1，可得an ＋12n ＋1＝an 2n ＋12－12n ＋1，则an ＋1＋λ2n ＋1－an ＋λ2n ＝an ＋12n ＋1－an 2n －λ2n ＋1＝12－12n ＋1－λ2n ＋1＝12－λ＋12n ＋1，当λ的值是－1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an －12n 是公差为12的等差数列． 答案 －18．已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk ＝9，则k ＝________. 解析 a7－a5＝2d ＝4，d ＝2，a1＝a11－10d ＝21－20＝1，Sk ＝k ＋－2×2＝k2＝9.又k ∈N*，故k ＝3.答案 39．设等差数列{an}、{bn}的前n 项和分别为Sn 、Tn ，若对任意自然数n 都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为________． 解析 ∵{an}，{bn}为等差数列， ∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝2a62b6＝a6b6. ∵S11T11＝a1＋a11b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a6b6＝1941. 答案 194110．已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an ＝f(2n)(n ∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an ＝________.解析 由an ＋1＝f(2n ＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an ＋2n ＋1，得an ＋12n ＋1＝an 2n＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以an 2n＝n ，an ＝n·2n. 答案 n·2n二、解答题11．已知等差数列{an}的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为Sn.(1)设Sk ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设bn ＝Sn n，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n －1的值． 解 (1)由已知得a1＝a －1，a2＝4，a3＝2a ，又a1＋a3＝2a2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3.∴a1＝2，公差d ＝a2－a1＝2.由Sk ＝ka1＋－2d ，得 2k ＋－2×2＝2 550，即k2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)．∴a ＝3，k ＝50.(2)由Sn ＝na1＋－2d 得 Sn ＝2n ＋－2×2＝n2＋n.∴bn ＝Sn n＝n ＋1，∴{bn}是等差数列， 则b3＋b7＋b11＋…＋b4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1) ＝＋2.∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n －1＝2n2＋2n.12．已知数列{an}的通项公式为an ＝2n ，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n 项和Sn.解 a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b1＋2d ＝8，b1＋4d ＝32. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝－16.d ＝12. 从而bn ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{bn}的前n 项和Sn ＝－16＋12n －2＝6n2－22n.13．在等差数列{an}中，公差d ＞0，前n 项和为Sn ，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn ＝Sn n ＋c(n ∈N*)，是否存在一个非零常数c ，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ a2a3＝45，a1＋a5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧ ＋＋＝45，a1＋＋＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝4.∴an ＝4n －3(n ∈N*)． (2)由bn ＝Sn n ＋c ＝＋4n －2n ＋c ＝2n ⎝⎛⎭⎫n －12n ＋c， ∵c≠0，∴可令c ＝－12，得到bn ＝2n. ∵bn ＋1－bn ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{bn}也为等差数列． 14．在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝1－14an ，bn ＝22an －1，其中n ∈N*. (1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)设cn ＝(2) bn ，试问数列{cn}中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．(1)证明 因为bn ＋1－bn ＝22an ＋1－1－22an －1＝22⎝⎛⎭⎫1－14an －1－22an －1＝4an 2an －1－22an －1＝2(n ∈N*)，且b1＝22×1－1＝2所以，数列{bn}以2为首项，2为公差的是等差数列．(2)解 由(1)得cn ＝(2)bn ＝2n ，假设{cn}中存在三项cm ，cn ，cp(其中m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N*)成等差数列，则2·2n ＝2m ＋2p ， 所以2n ＋1＝2m ＋2p,2n －m ＋1＝1＋2p －m.因为m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N*，所以n －m ＋1，p －m ∈N*，从而2n －m ＋1为偶数，1＋2p －m 为奇数，所以2n －m ＋1与1＋2p －m 不可能相等，所以数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项.。

等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )考点自测1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．62．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．343．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．974．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．355．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．题型分类深度剖析题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为() A ．2B ．10C.52D.54(2)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．题型二等差数列的判定与证明例2已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为() A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；②求{a n }的通项公式．题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例3(1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.命题点2等差数列前n 项和的性质例4(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2018，其前n 项和为S n ，若S1212－S 1010＝2，则S 2018的值等于() A ．－2018B ．－2016C ．－2019D ．－2017(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727B.3828C.3929D.40306．等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.典例1(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.典例2在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．322．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．114．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．1325．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9*6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．1217．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________.9．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√)(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×)(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.(√)考点自测1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于()A ．－1B ．0C ．1D ．6答案B解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于()A ．31B ．32C ．33D ．34答案B解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧ a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 3．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于()A ．100B ．99C ．98D ．97答案C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1， ∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于()A ．14B ．21C ．28D ．35答案C解析∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型分类深度剖析题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为()A ．2B ．10C.52D.54(2)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案(1)C(2)6解析(1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0.又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2.∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于()A ．13B ．35C ．49D ．63(2)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案(1)C(2)20解析(1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.题型二等差数列的判定与证明例2已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式． 解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列， ∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为() A ．a n ＝1n B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n 答案A解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得 1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n . (2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；②求{a n }的通项公式．①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑n k ＝1 (2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例3(1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.答案(1)10(2)21解析(1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25， 所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.命题点2等差数列前n 项和的性质例4(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2018的值等于() A ．－2018B ．－2016C ．－2019D ．－2017答案(1)114(2)A解析(1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.(2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1， ∴S 20182018＝S 11＋(2018－1)×1 ＝－2018＋2017＝－1.∴S 2018＝－2018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n.(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于()A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于() A.3727B.3828C.3929D.4030答案(1)B(2)A解析(1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.典例1(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于()A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.解析(1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110. 答案(1)A(2)－110典例2在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53. 方法一由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130. 方法二S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋312524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为()A ．9B ．22C ．24D ．32答案C解析由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱 答案D解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为()A ．8B ．9C ．10D ．11答案C解析由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于() A ．24B ．48C ．66D ．132答案D解析方法一由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6， 得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132. 方法二由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为()A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9答案C解析由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是()A ．310B ．212C ．180D ．121答案D解析设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝(n ＋102n －1)2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121， 故选D.7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 答案27解析由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案14解析由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 9．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案130解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941解析∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式． 故a n ＝⎩⎨⎧ 12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，又2S n＝a2n＋n－4，两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。

一、填空题1．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________. 解析：S 4＝a 1(1－34)1－3＝40a 1，a 2＝3a 1. ∴S 4a 2＝403. 答案：4032．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{ a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________．解析：由已知可设公比为q ，则(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 3＋1)，∴(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)．∴2q 2－4q ＋2＝0.∴q ＝1，∴a n ＝2.∴S n ＝2n .答案：2n3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析：由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是由S 6＝3S 3，可推出S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 答案：734．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________． 解析：由题意易知q ≠1，则9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，数列{1a n}是以1为首项，以12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.答案：31165．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是________．解析：设公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12，a 1＝4， 故数列{a n ·a n ＋1}是首项为8，公比为14的等比数列，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14＝323[1－(14)n ]，∵34≤1－(14)n <1，∴8≤323 [1－(14)n ]<323.答案：[8，323)6．在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 为________．解析：由已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，两式相减得a 6－a 5＝2a 5，即a 6＝3a 5，所以q ＝3.答案：37．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.解析：∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(833－1)8－1＝47a 1(299－1)＝47×30＝1207.答案：12078．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 10＝________. 解析：由已知得a n ＋1＝2a n ，故数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 10＝a 3×27＝10×128＝1 280.答案：1 2809．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3n a 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________．解析：由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3n a 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q 2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n ，又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公式q 的取值范围是q >1. 答案：q >1二、解答题10．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎨⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8. ∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4，∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.11．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝k ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中k 为实数，n ∈N *.(1)证明数列{a n }不是等比数列；(2)若数列{b n }是等比数列，求k 的取值范围．解析：(1)证明：假设存在实数k 使{a n }是等比数列，则a 22＝a 1·a 3，即(23k －3)2＝k (49k －4)，即49k 2－4k ＋9＝49k 2－4k ，∴9＝0显然矛盾，故假设不成立．∴{a n }不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1(23a n －2n ＋14)＝(－23)·(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n .又∵b 1＝－(k ＋18)，∴只需k ≠－18，则b 1≠0，由上可知b n ＋1b n＝－23(n ∈N *)． 故若{b n }是等比数列，则只需要k ≠－18，∴k 的取值范围为(－∞，－18)∪(－18，＋∞)．12．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)求证数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)设T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n 及数列{a n }的通项；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并说明S n ＋23T n －1＝1. 解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2.∵a 1＝2，∴a n ＋1>1，两边取对数得lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2.∴数列{lg(1＋a n )}是公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg(1＋a n )＝2n －1·lg(1＋a 1)＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1，∴1＋a n ＝32n －1.(*)∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·322·…·32n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n －1.由(*)式得a n ＝32n －1－1.(3)∵a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)，∴1a n ＋1＝12(1a n－1a n ＋2)，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1. 又∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2，∴b n ＝2(1a n －1a n ＋1)． ∵S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝2(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1) ＝2(1a 1－1a n ＋1)． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n －1，∴S n ＝1－232n －1.又∵T n ＝32n －1，∴S n ＋23T n －1＝1－232n －1＋232n －1＝1.。

一、填空题1．不等式()x 2－8>3－2x 的解集是________．13解析：原不等式为()x 2－8>()2x ，1313∴x 2－8<2x ，解之得－2<x <4.答案：{x |－2<x<4}答案：647153．设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝()－1.5，则a 、b 、c 从大到小排列的顺序为12________．解析：∵a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44，c ＝()－1.5＝21.5，12∴21.8>21.5>21.44，即a >c >b .答案：a >c >b4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________．解析：由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，∴(2a ＋2－a )2＝9，即22a ＋2－2a ＋2＝9.所以22a ＋2－2a ＝7，故f (2a )＝22a ＋2－2a ＝7.答案：75．若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝2，则a b －a －b 的值等于________．2解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－26．若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a (a >0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________.解析：函数f (x )＝a －x 上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有g (2－x 0)＝a 2－x 0－a ＝f (x 0)＝a －x 0，故a ＝2.答案：27．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当＋取最小值时，函数f (x )的解析式是________．1a 1b 解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)，故a ＋b ＝1，＋121a ＝(a ＋b )(＋)＝＋＋≥＋，当且仅当b ＝a 时等号成立，将1b 121a 1b 32b a a 2b 32222b ＝a 代入a ＋b ＝1，得a ＝2－2，故f (x )＝(2－2)x ＋1＋ 1.221222答案：(2－2)x ＋1＋128．给出下列结论：①当a <0时，＝a 3；＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；n an ③函数f (x )＝(x －2)－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠}；1273④若2x ＝16,3y ＝，则x ＋y ＝7.127其中正确结论的序号有________．解析：∵a <0时，>0，a 3<0，∴①错；②显然正确；解Error!，得x ≥2且x ≠，∴③正确；73∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝＝3－3，∴y ＝－3，127∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．答案：②③9．已知函数f (x )＝2x (x ∈R)，且f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数．若不等式2ag (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得Error!所以Error!解得Error!所以2a ·g (x )＋h (2x )≥0，即(2x －2－x )a ＋≥0对任意x ∈[1,2]恒成立．22x ＋2－2x 2又x ∈[1,2]时，令t ＝2x －2－x ，则t 在x ∈[1,2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈[，]，32154所以a ≥－＝－22x ＋2－2x2(2x －2－x )(2x －2－x )2＋22(2x －2－x )＝－(t ＋)，122t t ＋在t ∈[，＋∞)上单调递增，2t 32所以当t ＝时，－(t ＋)有最大值－，所以a ≥－.32122t 17121712答案：[－，＋∞)1712二、解答题10．函数f (x )＝ 的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R)的解2－xx －1集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．解析：由≥0，得1<x ≤2, 即A ＝{x |1<x ≤2}．2－xx －1∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax <2a ＋x ，得2ax <a ＋x ，∴(2a －1)x <a .(1)当2a －1>0，即a >时，x <.12a 2a －1又A ⊆B ，∴>2，得<a <.a2a －11223(2)当2a －1＝0，即a ＝时，x ∈R ，满足A ∩B ＝A .12(3)当2a －1<0，则a <时，x >.12a2a －1∵A ⊆B ，∴≤1，得a <或a ≥1，故a <.a 2a －11212由(1)，(2)，(3)得a ∈(－∞，)．2311．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0 恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2.12．已知函数f (x )＝()x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为13h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)∵x ∈[－1,1]，∴()x ∈[，3]．1313设t ＝()x ，t ∈[，3]，1313则φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <时，y min ＝h (a )＝φ()＝－；13132892a 3当≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；13当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝Error!(2)假设满足题意的m 、n 存在，∵m >n >3，∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数．∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴Error!②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，∵m >n >3，∴m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，∴满足题意的m 、n 不存在．。

第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.在等差数列{a n}中,a2+a12=32,则2a3+a15的值是( )A.24B.48C.96D.无法确定2.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为( )A.14B.15C.16D.173.(2015北京,6,5分)设{a n}是等差数列.下列结论中正确的是( )A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>04.等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.85.(2018北京朝阳高三期中,5)已知S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和,且S5>S6>S4,有以下四个命题:①当n=10时,S n有最大值;②数列{a n}的公差d<0;③S10>0;④S11<0.其中正确命题的序号是( )A.②③B.②③④C.②④D.①③④6.(2017北京丰台一模,10)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a2=2,S9=9,则a8= .7.(2017北京朝阳期中)《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百又三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢?”其大意:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3 000里,良马第一天行103里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,问多少天后两马相遇?”离开长安后的第_________天,两马相逢.8.已知等差数列{a n}中,S n为其前n项和.若a1+a3+a5+a7=-4,S8=-16,则公差d= ;数列{a n}的前项和最大.9.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为S n,且b n=.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求证:b1+b2+b3+…+b n<2.B组提升题组10.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a3+a9=a10-a8.若a n=0,则n= .11.(2017北京顺义二模,11)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a2=4,S8=-8,则a10= .12.(2017北京西城二模,10)已知等差数列{a n}的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1= ;数列{a n}的前n项和S n= .13.已知等差数列{a n}(n∈N*)满足a1=1,a4=7,则数列{a n}的通项公式为a n= ,a2+a6+a10+…+a4n+10= .14.(2017北京海淀期中)已知数列{a n}是公差为2的等差数列,数列{b n}满足-b n=a n,且b2=-18,b3=-24.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求b n取得最小值时n的值.15.已知由整数组成的数列{a n}的各项均不为0,其前n项和为S n,且a1=a,2S n=a n a n+1.(1)求a2的值;(2)求{a n}的通项公式;(3)若当n=15时,S n取得最小值,求a的值.答案精解精析A组基础题组1.B 由等差数列的通项公式知,a2+a12=2a1+12d=2(a1+6d)=32,所以a1+6d=16,所以2a3+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=48.2.C 设等差数列{a n}的公差为d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.3.C 因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3.当a2>a1>0时,得公差d>0,∴a3>0,∴a1+a3>2,∴2a2>2,即a2>,故选C.4.A 设等差数列{a n}的公差为d,依题意得=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,∴S6=6×1+×(-2)=-24.故选A.5.B ∵S5>S6>S4,∴S6-S5=a6<0,S5-S4=a5>0,即n=5时,S n有最大值,故①不正确.∵a6<0,a5>0,∴a6-a5<0, ∴d<0,故②正确.S10=5(a1+a10)=5(a5+a6)=5(S6-S4)>0,S11==11a6<0,故③④正确.故选B.6.答案0解析∵S 9==9a5=9,∴a5=1,又a2+a8=2a5=2,a2=2,∴a8=0.7.答案20解析由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n},其中a1=103,d=13.驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n},其中b1=97,d'=-0.5.设第m(m∈N*)天相逢,则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×(-0.5)=200m+×12.5≥2×3 000,整理得m2+31m-960≥0,解得m≥,取m=20.8.答案-2;3解析∵a 1+a3+a5+a7=-4,∴a2+a4+a6+a8=-4+4d,∴S8=-4+(-4+4d)=-16,∴d=-2.又a1+a3+a5+a7=4a1+12d,∴a1=5,∴等差数列{a n}的通项公式为a n=5-2(n-1)=7-2n.令a n=7-2n≤0,可得n≥,∴等差数列{a n}的前3项为正数,从第4项起为负数,∴数列{a n}的前3项和最大.9.解析(1)在等差数列{a n}中,a1=1,d=1,所以S n=na1+d=.所以b n=.(2)证明:因为b n==,所以b1+b2+b3+…+b n=2+++…+=21-+-+-+…+-=2.所以b1+b2+b3+…+b n<2.B组提升题组10.答案 5解析∵a 3+a9=a10-a8,∴2a6=2d,∴a6=a1+5d=d.∴a1=-4d,则a n=a1+(n-1)d=-4d+(n-1)d=nd-5d=(n-5)d=0.∵d≠0,∴n=5.11.答案-12解析∵S 8=(a1+a8)×8=-8,∴a1+a8=-2,∵a1+a8=a2+a7=4+a7,∴a7=-6,∴d==-2,∴a10=a2+8d=4-2×8=-12.12.答案2;n2+n解析因为等差数列{a n}的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,所以=a1a4,即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,从而a n=a1+(n-1)d=2n,所以S n==n2+n.13.答案2n-1;4n2+23n+33解析∵a 1=1,a4=7,∴公差d==2,∴{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,a2+a6+a10+…+a4n+10===(4n+11)(n+3)=4n2+23n+33.14.解析(1)设数列{a n}的公差为d,则d=2,由-b n=a n,且b2=-18,b3=-24,得a2=b3-b2=-6,则a1=a2-d=-6-2=-8,∴a n=-8+2(n-1)=2n-10,n∈N*.(2)由-b n=2n-10可得,b2-b1=2×1-10,b3-b2=2×2-10,……b n-=2(n-1)-10(n≥2),累加得b n=b1+2[1+2+…+(n-1)]-10(n-1)=b2-a1+2[1+2+…+(n-1)]-10(n-1)=-10+2×-10(n-1)=n2-11n=-.∴b n取得最小值时,n=5或6.15.解析(1)因为2S n=a n a n+1,所以2S1=a1a2,即2a1=a1a2,因为a1=a≠0,所以a2=2.(2)因为2S n=a n a n+1,所以2S n-1=a n-1a n(n≥2),两式相减,得2a n=a n(a n+1-a n-1),因为a n≠0,所以a n+1-a n-1=2,所以{a2k-1}(k∈N*),{a2k}(k∈N*)都是公差为2的等差数列,当n=2k-1(k∈N*)时,a n=a1+2(k-1)=n+a-1;当n=2k(k∈N*)时,a n=2+2(k-1)=2k=n,所以a n=(3)因为2S n=a n a n+1,又由(2)知a n=所以S n=易知所有奇数项构成的数列是一个递增数列,所有偶数项构成的数列也是一个递增数列, 当n为偶数时,a n>0,所以S n>S n-1,所以S15为最小值等价于S13≥S15,S15≤S17,所以a14+a15≤0,a16+a17≥0,所以14+15+a-1≤0,16+17+a-1≥0,解得-32≤a≤-28.因为数列{a n}是由整数组成的,所以a∈{-32,-31,-30,-29,-28}.又因为a n≠0,所以对所有的奇数n,a n=n+a-1≠0,所以a不能取偶数,所以a=-31或a=-29.。

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课时达标检测(二十九）等差数列及其前n项和[练基础小题—-强化运算能力］1．若等差数列{a n｝的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝________.解析：由S5＝错误!，得25＝错误!，解得a4＝7,所以7＝3＋2d，即d＝2,所以a7＝a4＋3d ＝7＋3×2＝13.答案:132．在等差数列{a n｝中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________．解析：a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋错误!d＝36d＝a37，即m＝37.答案：373．（2018·启东中学月考）在单调递增的等差数列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝错误!，则a1＝________.解析：由题知,a2＋a4＝2a3＝2,又∵a2a4＝错误!，数列{a n}单调递增，∴a2＝错误!，a4＝错误!.∴公差d＝错误!＝错误!.∴a1＝a2－d＝0.答案：04．设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1＝－11，a3＋a7＝－6,则当S n取最小值时，n 等于________．解析:设等差数列{a n}的公差为d.因为a3＋a7＝－6，所以a5＝－3，d＝2，则S n＝n2－12n，故当n等于6时S n取得最小值．答案：65．（2018·苏南四校联考)设各项均为正数的等差数列｛a n}的前n项和为S n，若错误!＝错误!，则S9S5＝________.解析：法一：各项均为正数的等差数列｛a n｝中，由a5a3＝错误!得错误!＝错误!，∴a1＝d,即a n＝d＋(n－1)d＝nd，所以S n＝nd＋错误!＝错误!d，所以错误!＝错误!＝3。