2019年高考数学二轮复习 专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线 理

2019高考数学二轮专项练习—椭圆、双曲线、抛物线训练20椭圆、双曲线、抛物线(推荐时间：45分钟)【一】选择题1、椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .假设AP →＝2PB →，那么椭圆的离心率是() A.32B.22C.13 D.12 2、假设抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，那么p 的值为()A 、－2B 、2C 、－4D 、4 3、椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上、假设焦距为4，那么m 等于()A 、4B 、5C 、7D 、84、(2017·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，那么曲线Γ的离心率等于() A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或325、如下图，F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7－i (i ＝1,2,3)关于y 轴对称，那么|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |－|P 4F |－|P 5F |－|P 6F |的值是()A 、9B 、16C 、18D 、276、假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，那么该双曲线的离心率是()A. 5B.62 C 、2 D.2337、对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，那么a 的取值范围是()A 、(－∞，0)B 、(－∞，2]C 、[0,2]D 、(0,2)8、(2017·陕西)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值为()A.12B 、1C 、2D 、49、(2017·浙江)设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，假设在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的渐近线方程为()A 、3x ±4y ＝0B 、3x ±5y ＝0C 、4x ±3y ＝0D 、5x ±4y ＝010、从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线l ，切点为T ，且l交双曲线的右支于点P .假设点M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，那么|OM |－|TM |等于()A.b －a 2 B 、b －aC.a ＋b 2 D 、a ＋b 2【二】填空题11、(2017·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)、假设线段FA 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________、12、(2017·课标全国)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________、13、点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，那么|PA |＋|PO |的最小值为________、14、抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，那么点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________、15、椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0)，那么椭圆的标准方程是____________、16、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，假设直线AB 过原点O ，那么k 1·k 2的值为________、 答案1、D2.D3.D4.A5、C6、D7、B8、C9.C10、B 11.32412.x 216＋y 28＝113、21314.12758015.x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝116、3。

第2讲椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质选题明细表知识点·方法巩固提高A 巩固提高B 圆锥曲线定义及其应用1,3,9,12,17 4,7,12圆锥曲线的标准方程5,6 6,15定义法求圆锥曲线方程11,17圆锥曲线的几何性质2,10,14,15 1,2,3,5,10由几何性质求方程 4 178,9,11,综合问题7,8,13,16,1713,14,16巩固提高A一、选择题1.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为( D )(A)(-3,0) (B)(-4,0)(C)(-10,0) (D)(-5,0)解析:因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,所以a==5.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(-5,0).故选D.2.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( B )(A) (B)(C)(D)解析:由椭圆方程知c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,则可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0.因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为.故选B.3.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( B )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由双曲线的一条渐近线方程为y=x得4b2=5a2,椭圆+=1的焦点为(3,0),所以c=3.在双曲线中c2=a2+b2得a2=4,b2=5.故选B.4.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两点.O为坐标原点.若△OAB的面积为1,则p的值为( B )(A)1 (B) (C)2 (D)4解析:双曲线-x2=1的渐近线为y=±2x,抛物线y2=2px的准线为x=-,渐近线与准线的交点为(-,p),(-,-p),所以S△OAB=××2p=1,p=,故选B.5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( B )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,可设双曲线的方程为x2-=λ(λ>0).因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即λ+3λ=36,λ=9,所以双曲线的方程为-=1.故选B.6.焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是( B )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:设所求双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为焦点为(0,6),所以|3λ|=36,所以λ=±12,又因焦点在y轴上,所以λ=-12,所以所求方程为-y2=-12,即-=1.故选B.7.过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为( B )(A)10 (B)13 (C)16 (D)19解析:由题意,根据双曲线和圆的标准方程可知两圆的圆心分别为双曲线的两焦点,所以|C1C2|=8,|PC1|-|PC2|=2.根据圆的切线与过切点的半径垂直、双曲线的定义,可得|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.故选B.8.已知直线l1,l2是双曲线C:-y2=1的两条渐近线,点P是双曲线C上一点,若点P 到渐近线l1距离的取值范围是[,1],则点P到渐近线l2距离的取值范围是( A ) (A)[,] (B)[,](C)[,] (D)[,]解析:设点P(x0,y0),由题可设渐近线l1:x-2y=0,渐近线l2:x+2y=0,由点P到直线l1的距离d1=,点P到直线l2的距离d2=,有d1d2=·=,又-=1,即-4=4,则d1d2=,则d2=,由d2与d1成反比,且d1∈[,1],所以d2∈[,].故选A.二、填空题9.椭圆+=1的长轴长是短轴长的2倍,则a的值为.解析:当a2>a且a>0,即a>1时,此时长轴长是短轴长的2倍,则2a=2×2,解得a=4;当a>a2且a2>0,即0<a<1时,此时长轴长是短轴长的2倍,则2=2×2a,解得a=, 所以实数a的值为4或.答案:4或10.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.解析:由点P(x0,y0)满足0<+<1,可知P(x0,y0)一定在椭圆内(不包括原点),因为a=,b=1,所以由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|<2a=2,当P(x0,y0)与F1或F2重合时,|PF1|+|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2,故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2). 答案:[2,2)11.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为.解析:由点P在第四象限,则抛物线的开口方向为向右或向下,所以可设该抛物线的方程为y2=2px或x2=-2py(p>0),将点P坐标分别代入两方程中,所求抛物线的方程为y2=x或x2=-8y.答案:y2=x或x2=-8y12.已知椭圆C:+=1(0<b<5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则该椭圆的方程是.解析:设焦距为2c,则有解得b2=16,所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=113.若P是抛物线y2=8x上的动点,点Q在以点C(2,0)为圆心,半径长等于1的圆上运动.则|PQ|+|PC|的最小值为.解析:由于点C为抛物线的焦点,则|PC|等于点P到抛物线准线x=-2的距离d.又圆心C到抛物线准线的距离为4,则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3.当点P为原点,Q为(1,0)时取等号.故|PQ|+|PC|的最小值为3.答案:314.已知双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点为 F(3,0),则双曲线C的方程为,若已知点N(0,6),且M是双曲线C的左支上一点,则△FMN周长的最小值为.解析:因为双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点为F(3,0),所以⇒所以双曲线C的方程为x2-=1.设左焦点F′(-3,0),由双曲线定义可得|MF|=2a+|MF′|=2+|MF′|,所以△FMN的周长为|FN|+|MN|+|MF|=|FN|+|MN|+|MF′|+2a≥|FN|+|F′N|+2a=2++=2+6.答案:x2-=1 6+215.椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一动点,若∠F1PF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是.解析:设椭圆上一点P的坐标为(x,y),则=(x+,y),=(x-,y).因为∠F1PF2为钝角,所以·<0,即x2-3+y2<0,①将y2=1-代入①,得x2-3+1-<0,x2<2,所以x2<.解得-<x<,所以x∈(-,).答案:(-,)16.设P为双曲线C:x2-y2=1上一点,F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,若cos∠F1PF2=,则△PF1F2的外接圆半径为.解析:由题意知|F1F2|=2,因为cos ∠F1PF2=,所以sin ∠F1PF2=.在△PF1F2中,由正弦定理得2R==3.(R为△PF1F2的外接圆半径)所以R=,即△PF1F2的外接圆半径为.答案:三、解答题17.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解:(1)由题知c=,设椭圆方程为+=1(a>b>0),双曲线方程为-=1(m>0,n>0),则解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.巩固提高B一、选择题1.若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( B )(A)y=±2x (B)y=±x(C)y=±x (D)y=±x解析:由=,令a=m,c=m(m>0),则b==m,渐近线方程为y=±x=±x.故选B.2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( C )(A)x=1 (B)x=2(C)x=-1 (D)x=-2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=-(x-),与抛物线方程联立得,消去y整理得,x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-1.故选C.3.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( A )(A) (B)3 (C)m (D)3m解析:双曲线方程可化为-=1,则c2=3m+3,c=,设焦点F(,0),一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以点F到渐近线的距离为d==.故选A.4.已知双曲线C1:-=1,且双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是( B )(A)32 (B)16 (C)8 (D)4解析:因为双曲线C2:-=1与双曲线C1:-=1的离心率相同,所以==,解得=,即双曲线C2的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0,又因为OM⊥MF2,△OMF2的面积为16,所以|OM|·|MF2|=|MF2|2=16,解得|MF2|=4,即右焦点F2(c,0)到渐近线x-2y=0的距离为4,所以=4,解得c=4,a==8,2a=16,即双曲线C2的实轴长为16.故选B.5.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解析:以开口向右的抛物线为例,设抛物线方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2,设A(x0,2),D(-,),点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0,①点D(-,)在圆x2+y2=r2上,所以5+(-)2=r2,②点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2,③联立①②③解得p=4,焦点到准线的距离为4.故选B.6.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P,设P点的坐标为(x0,y0),若l1⊥l2,则下列结论中不正确的是( A )(A)+>1 (B)+<1(C)3+2>1 (D)+<1解析:由题意可得椭圆的半焦距c==1,且由l1⊥l2可知点P(x0,y0)在以线段F1,F2为直径的圆上,则+=1,所以+=<=,故A不正确.故选A 7.抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,若点A(-1,0),则的最小值是( B )(A)(B) (C) (D)解析:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,如图,过P作PN垂直直线x=-1于N,由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,在Rt△PAN中,sin ∠PAN=,当=最小时,sin ∠PAN最小,即∠PAN最小,即∠PAF最大,此时,直线PA为抛物线的切线,设直线PA的方程为y=k(x+1),联立得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,所以Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得k=±1,所以∠PAF=∠NPA=45°,==cos ∠NPA=,故选B.8.(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( A )(A)16 (B)14 (C)12 (D)10解析:y2=4x的焦点F(1,0),由题意知l1,l2的斜率都存在且不为0,设直线l1方程为y=k(x-1)(k≠0),则直线l2方程为y=-(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).将y=k(x-1)代入y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=2+,同理可得x3+x4=2+4k2,所以|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+4=4+4++4k2≥8+2=16.(当且仅当k=±1时取等号).故选A.二、填空题9.双曲线-y2=1的两条渐近线与圆x2+y2-2ax+1=0都没有公共点,则实数a的取值范围是.解析:双曲线-y2=1的渐近线方程为x±2y=0,因为圆x2+y2-2ax+1=0可化为(x-a)2+y2=a2-1,所以该圆的圆心为(a,0),半径r=(a2-1>0).又因为双曲线-y2=1的两条渐近线与圆(x-a)2+y2=a2-1无公共点,所以解得-<a<-1或1<a<.故a的取值范围为(-,-1)∪(1,).答案 -,-1)∪(1,)10.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF 的周长最小时,该三角形的面积为.解析:设左焦点为F1,|PF|-|PF1|=2a=2,所以|PF|=2+|PF1|,△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF周长最小即为|AP|+|PF1|最小,当A,P,F1在一条直线上时最小,过点A,F1的直线方程为+=1,与x2-=1联立,解得P点坐标为(-2,2),此时S△-=12.APF=答案:1211.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B,若|AF|=3|BF|,则直线l 的斜率是.解析:设直线l的方程为y=k(x-1),且与抛物线C交于A(x1,y1),B(x2,y2),联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则又因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),即x1=3x2+2,则解得即直线l的斜率是±.答案:±12.如图,圆O与离心率为的椭圆T:+=1(a>b>0)相切于点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P 为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为d1,d2,则+的最大值是.解析:易知椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=1,设P(x0,y0),因为l1⊥l2,则+=|PM|2=+(y0-1)2,因为+=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3(y0+)2+,因为-1≤y0≤1,所以当y0=-时,+取得最大值.答案:13.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为.解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1.由抛物线定义知,点P到直线l:x=-1的距离d=|PF|=x+1,点P到y轴的距离为x=d-1=|PF|-1,所以|PQ|+x=|PQ|+|PF|-1.当C,P,F三点共线时,|PQ|+x可取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.答案:314.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.解析:如图所示,双曲线-y2=1的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),所以|F1F2|=4.双曲线-y2=1的右准线方程为x==,渐近线方程为y=±x.由得P(,).同理可得Q(,-).所以|PQ|=,所以=·|F1F2|·|PQ|=×4×=2.答案:215.已知F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,若M为椭圆上一点,且△MF1F2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M的个数为.解析:由△MF1F2的内切圆的周长等于3π,得内切圆的半径r=,所以△MF1F2的面积为(2a+2c)r=(5+3)×=12.又△MF1F2的面积为|F1F2|·|y M|=3|y M|=12,所以|y M|=4,则y M=4或y M=-4,只能是椭圆短轴上的顶点,即满足条件的点M有2个.答案:216.(2018·镇海5月月考)已知抛物线y2=4x,焦点记为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AF|-的最小值为.解析:由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),当斜率k存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.则x1+x2=,x1x2=1,则x2=,根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|AF|-=(x1+1)-=(x1+1)-=,x1>0,设f(x)=,x>0.所以f(x)在(0,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以当x=-1时,f(x)取得最小值,最小值为2-2,所以|AF|-的最小值为2-2,当斜率k不存在时,易知|AF|=|BF|=2,所以|AF|-=1,故|AF|-的最小值为2-2.答案:2-2三、解答题17.(2018·天津卷)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2). 由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3, 两边平方,整理得56k2-50k+11=0, 解得k=或k=.所以k的值为或.。

第13讲椭圆、双曲线、抛物线1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)已知椭圆C:x 2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )A.13B.12C.√22D.2√232.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为( )A.±√3B.±1C.±34D.±√333.(2018广东惠州第二次调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为( )A.514B.59C.49D.5134.(2018湖北八校联考)已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为√32,则C2的渐近线方程为( )A.x±√2y=0B.√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=05.(2018课标全国Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:x 23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )A.32B.3C.2√3D.46.双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点(2,1)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是( )A.(1,√52) B.(√52,+∞)C.(1,54) D.(54,+∞)7.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.8.已知双曲线过点(4,√3)且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程是 .9.已知抛物线C 的顶点为坐标原点,准线为x=-1,直线l 与抛物线C 交于M,N 两点,若线段MN 的中点为(1,1),则直线l 的方程为 .10.若椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C 的内接正方形的面积为 .11.已知椭圆与抛物线y 2=4√2x 有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为√22.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,1)的直线与该椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB⃗⃗⃗⃗⃗ ,求△AOB 的面积.12.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A,B 且与C 的准线相切的圆的方程.。

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。

当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。

椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。

椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。

专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1．椭圆的定义．
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．
(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a＞|F1F2|.
1．双曲线的定义．
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a＜|F1F2|.
3.等轴双曲线． 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)，离心率e
y ＝±x ．
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：
1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)．
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(³)。

2019高考数学理二轮冲关演练-椭圆、双曲线、抛物线(本栏目内容，在学生用书以独立形式分册装订！)【一】选择题1、抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()A 、x 2＝4yB 、x 2＝－4yC 、y 2＝－12xD 、x 2＝－12y 解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，应选D. 答案：D2、假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，那么该椭圆的方程是()A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D 、x 2＋y 23＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：A3、(2017·辽宁卷)F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B 、1 C.54 D.74 解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：C4、双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线l ：2x ＋y ＋1＝0垂直，那么此双曲线的离心率是()A.52B.32 C 、4 3 D. 5解析：由题知意，双曲线的渐近线方程为kx 2－y 2＝0，即y ＝±kx .由题知直线l 的斜率为－2，那么可知k ＝14，代入双曲线方程kx 2－y 2＝1，得x 24－y 2＝1，于是，a 2＝4，b 2＝1，从而c ＝a 2＋b 2＝5，所以e ＝52.答案：A5、(2017·全国新课标卷)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，那么曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，可设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，假设圆锥曲线为椭圆，那么2a ＝6k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝12.假设圆锥曲线为双曲线，那么2a ＝4k －2k ＝2k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝32. 答案：A6、从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，那么△PFM 的面积为()A 、5 6B 、6 5C 、10 2D 、5 2解析：抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.设P (m ，n )，那么|PM |＝m ＋2＝5，解得m ＝3.代入抛物线方程得n 2＝24，故|n |＝26，那么S △PFM ＝12|PM |·|n |＝12×5×26＝5 6.答案：A【二】填空题7、双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，那么其渐近线方程为________、解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为x ±y2＝0，即y ＝±2x .故填y ＝±2x .答案：y ＝±2x8、经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________、解析：设双曲线方程为x 2－9y 2＝λ，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83 ∴λ＝36∴双曲线方程为x 236－y 24＝1. 答案：x 236－y 24＝19、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72，假设△F 1MF 2的面积为14，那么双曲线的渐近线方程为________、解析：由题意，得12·2c ·72＝14，所以c ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|MF 1|2＋|MF 2|2＝82，12·|MF 1|·|MF 2|＝14.所以a ＝2，b ＝14.所以渐近线方程为y ＝±7x . 答案：y ＝±7x . 【三】解答题10、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上、(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程、解析：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x＋y －12＝0.11、设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点、(1)设椭圆C 上点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32到两点F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是椭圆C 上的动点，求线段KF 1的中点B 的轨迹方程、解析：(1)由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，得32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)、(2)设KF 1的中点为B (x ，y )，那么点K 的坐标为(2x ＋1,2y )，把点K 的坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 得2x ＋124＋2y23＝1，所以线段KF 1的中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y234＝1.12、设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)假设直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值、解析：(1)双曲线的离心率为2，那么椭圆M 的离心率为e ＝c a ＝22， 圆x 2＋y 2＝4的直径为4，那么2a ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4c a ＝22b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2c ＝2b ＝2，所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)直线AB 的方程：y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2.∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44. ∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝3·4－m 22. 又点P 到AB 的距离d ＝|m |3. 那么S △ABP ＝12|AB |d ＝12·3·4－m 22·|m |3＝12m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 22＝122m 28－m 2≤122·m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号、。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22x解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax 法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，y ＝±b a x ＝±2x 4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与CC.7D.8y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14解析 由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴，则∠PF 2E ＝60°，所以F 2E ＝c ，PE ＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . ＝1.A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.＋2或y ＝22x － 2. OMB ＝0°. 设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca＝1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±abx ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 2C.x 23－y 29＝11 (2)(2018·烟台二模)已知抛物线C ：F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所1. 由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.答案 (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·衡水中学调研)P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，记动点Q 的轨迹为Ω，设点B 为椭圆C 短轴上一顶点，直线BF 2与Ω交于M ，N 两点，则|MN |＝________.解析 (1)由题设知b a ＝52，① 又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，且|PQ |＝|PF 2|， ∴|F 1Q |＝|F 1P |＋|PF 2|＝2 2.∴Ω为以F 1(－1，0)为圆心，22为半径的圆. ∵|BF 1|＝|BF 2|＝2，|F 1F 2|＝2，∴BF 1⊥BF 2，故|MN |＝2|F 1M |2－|BF 1|2＝2（22）2－（2）2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2(2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.解析 (1)法一 由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ， 由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋e ＝3－1. 答案 (1)D (2)3－1探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b . ，b ，c 的方程(组)b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(.也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( ) A.32B.22C.12D.33(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________. 解析 (1)由椭圆的定义及对称性，△PEF 2的周长的最小值为2a .∴2a ＝4b ，a ＝2b ，则c ＝a 2－b 2＝3b ，则椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a －y 2b ＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b2a2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . 答案 (1)A (2)y ＝±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 【训练3】 (2018·潍坊三模)已知M 为圆O ：x 2＋y 2＝1上一动点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得|PA |＝2，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，且与曲线C 交于D ，E 两点，直线l 1平行于l 且与曲线C 相切于点Q (O ，Q 位于l 两侧)，S △ODE S △QDE ＝解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0)且x 20＋y 20＝1， 0)，m 2＝k 2＋1，① 12＝k 2＋1，②∵S △ODE S △QDE ＝12|DE |·d 112|DE |·d 2＝d 1d 2＝|m ||m －n |＝23， ∴m ＝－2n 或m ＝25n ，又O ，Q 位于l 两侧，∴m ＝25n ，③联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ＋n ，消去y 整理得(9k 2＋4)x 2＋18knx ＋9n 2－36＝0， 由Δ＝0，得n 2＝9k 2＋4，④ 由①③④得k ＝±31111.考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差.(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|， 即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算..＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆|FB |·|AB |＝6 2. P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 由|FB |·|AB |＝62， 可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2). 由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4， 将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0， 解得k ＝12或k ＝1128.所以，k 的值为12或1128.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线. 2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a.4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·合肥调研)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则双曲线C 的离心率为( ) A.2B.2C. 3解析 依题意，2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＝－1，∴b ＝2a .则e 2＝1＋2答案 D2.(2018·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( )C.－18D.－44y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由PA →·PB →＝0，4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2B4x B ＝x A x B 16＝－14.：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴的面积为( ) A.32 C.23 D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.答案 D4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝π2，连接AF 2交y 轴于M 点，若3|OM |＝|OF 2|，则该椭圆的离心率为( )A.13B.33C.58D.104解析 设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n . 如图所示，由题意可得 ∵Rt △F 1AF 2∽Rt △MOF 2.∴|AF 1||AF 2|＝|OM ||OF 2|＝13，则n ＝3m .又|AF 1|＋|AF 2|＝m ＋n ＝2a ， ∴m ＝a 2，n ＝32a .在Rt △F 1AF 2中，m 2＋n 2＝4c 2，即104a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝1016，故e ＝104.答案 D5.(2018·石家庄调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1D.x 2－y 22＝1解析 如图，不妨设点P (x 0，y 0)在第一象限，则PF 2⊥x 轴， 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 则|PF 2|＝23c 3，|PF 1|＝43c3，又因为|PF 1|－|PF 2|＝23c3＝2a ，即c ＝3a .又2b ＝22，知b ＝2，且c 2－a 2＝2，从而得a 2＝1，c 2＝3. 故双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.答案 D 二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.解析 由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). 答案 (1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________. 解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ， 所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 答案 28.设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，满足|AF |＝2；已知P 为抛物线准线上任一点，当|PA |＋|PF |取得最小值时，△PAF 的外接圆半径为________. 解析 由x 2＝4y ，知p ＝2，∴焦点F (0，1)，准线y ＝－1.1，∴AF ⊥y 轴.|PF |＝12＋（－1－1）2＝ 5. 三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m ). 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n 2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.22a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆C 上一点，且MF 2与x|MF 2|＝35|MF 1|.E 、F 两点，且直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切，求OE →·OF →|ON |＝34.212綉2MF 2，则|MF 2|＝32.又|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，|MF 2|＝35|MF 1|，∴|MF 2|＝34a ＝32，∴a ＝2.又|MF 2|＝b 2a，∴b 2＝3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，消y 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k2，Δ＝(8kt )2－4(3＋4k 2)(4t 2－12)>0，得t 2<3＋4k 2，(*) 则OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝（1＋k 2）（4t 2－12）3＋4k 2－8k 2t 23＋4k 2＋t 2（3＋4k 2）3＋4k 2＝7t 2－12（1＋k 2）3＋4k2. 又直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切， ∴|t |1＋k2＝127，则1＋k 2＝712t 2满足(*)式， 故OE →·OF →＝7t 2－12×712t23＋4k2＝0.。

2019高三二轮精品【新课标文科】热点十椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用总分150分时间120分钟班级_______ 学号_______ 得分_______ （一）选择题（12*5=60分）1.【2018年浙江卷】双曲线的焦点坐标是（）A．(−，0)，(，0) B．(−2，0)，(2，0)C．(0，−)，(0，) D．(0，−2)，(0，2)【答案】B2.【2018年天津卷文】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A 选项.学-=科网3.【2018届广东省五校协作体高三第一次联考试卷（1月）】已知M 是抛物线上一点，F 是抛物线C 的焦点，若MF p =， k 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ）A. 45°B. 30°C. 15°D. 60° 【答案】A【解析】因为MF p =，所以，所以,选A.4.【2018届河南省高三上学期联考】过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ， B 两点（A 在B 的上方），且l 与准线交于点C ，若4CB BF =，则AF BF=（ ）A.53 B. 52C. 3D. 2 【答案】A【解析】分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，设，则，，故选A.5.【2018届河北省沧州市高三上学期联考】设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ =，则AB =（ ）D. 【答案】D【解析】很明显直线的斜率存在，设直线方程为()1y k x =+， 与抛物线联立可得：，则：，即，而()1,0F ，利用两点之间距离公式可得：，整理化简可得：.利用韦达定理有：，则：，，由弦长公式可得：.本题选择D 选项.6. 【2018届河北省张家口市高三上学期期末】已知双曲线的左、右焦点分别为1F ， 2F ，P 为双曲线右支上一点，且满足，则12PF F ∆的周长为（ ）A. 2 C. 4 D. 4 【答案】C【解析】双曲线的左、右焦点分别为1F ， 2F ，，可得，，①，② 由①②得， 12PF F ∴∆的周长为，故选C.7.【2018届江西省赣州上学期期末】双曲线221x y -=的左右顶点分别为12,A A ，右支上存在点P 满足5βα=（其中,αβ分别为直线12,A P A P 的倾斜角），则α=（ ） A.36π B. 24π C. 18π D. 12π【答案】D8.【北京市丰台区2019届高三上期末】 一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】D9.【湖北省宜昌市2019届高三元月调研】过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，P是线段AB的中点，则，过点且倾斜角为的直线方程为：，即：联立直线与椭圆方程得：，整理得：，，代入得：,椭圆的离心率。

专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.83.(2018全国Ⅱ,理5)若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x4.(2018天津,理7)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=15.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.8.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.二、思维提升训练11.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1012.(2018全国Ⅲ,理11)设F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2 C.D.13.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= .14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.16.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.B解析由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.B解析不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4,所以可设A(m,2).又因为|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.3.A解析∵e=,+1=3.∵双曲线焦点在x轴上,∴渐近线方程为y=±x,∴渐近线方程为y=±x.4.C解析由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=x的距离为=b,所以b=3,b2=9.因为e==2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为=1.故选C.5.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),,,∴e=同理,当点P的坐标为时,e=故该双曲线的离心率为6.2解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.7解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tan θ=又tanθ=,,解得a2=3b2,∴e=8.解 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为(2)由(1)知|AP|=t和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=9.解 (1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+此时>1,且2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且综上所述,的取值范围是10.解 (1)由题意可知=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2).∵||=()+2,=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2=2∵y=,∴y'=x,∴k l=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点H,|PH|==1-直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由得x D=由得x E=,∴S△PDE=|x D-x E|·|PH|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.二、思维提升训练11.A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16, 当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=同理可得|BF|=,所以|AB|=又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.12.C解析由题意画图,如图所示,可知|PF2|=b,|OP|=a.由题意,得|PF1|= a.设双曲线渐近线的倾斜角为θ.∴在△OPF1中,由余弦定理知cos(180°-θ)==-cos θ.又cos θ=,=-,解得c2=3a2.∴e=13.6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=±4所以N(0,±4).所以|FN|==6.14.y=±x 解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.15.解 (1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值16.解 (1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m。

(新课件（理）)2019山东高考数学二轮练习第一部分专项七解析几何：1-7-2第二讲 椭圆、双曲线、抛物线1、(2018年长沙一中月考)△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，那么△ABC 的周长是()A 、2 3B 、6C 、4 3D 、12解析：根据椭圆定义可知，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的二倍，即4 3. 答案：C2、(2018年北京东城模拟)假设双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，那么r ＝()A. 3 B 、2 C 、3D 、6解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线为y ＝±22x ，因为双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，故圆心(3，0)到直线y ＝±22x 的距离等于圆的半径r ，那么r ＝|2×3±2×0|2＋4＝ 3. 答案：A3、(2018年大同模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值为()A 、2B 、1 C.12 D.14解析：注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y2＝16是圆心为(3，0)，半径为4的圆、于是依题意有|p 2＋3|＝4.又p >0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2，应选A.答案：A4、过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，假设FM →＝4MN →，那么双曲线的离心率为()A.54B.53C.35D.45解析：由题意知F (c ，0)，那么易得M 、N 的纵坐标分别为b 2a 、bc a ，由FM →＝4MN →得b2a ＝4·(bc a－b 2a )，即bc ＝45，又c 2＝a 2＋b 2，那么e ＝c a ＝53. 答案：B5、(2018年高考山东卷)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.假设抛物线C 2：x2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，那么抛物线C 2的方程为()A 、x 2＝833y B 、x 2＝1633y C 、x 2＝8y D 、x 2＝16y 解析：根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解、∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点(0，p 2)到双曲线的渐近线的距离为|3×0±p2|2＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：D【二】填空题6、椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆G 的方程为________、解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求的椭圆方程为x 236＋y29＝1.答案：x 236＋y 29＝1 7、(2018年高考辽宁卷)双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，假设PF 1⊥PF 2，那么|PF 1|＋|PF 2|的值为________、解析：根据双曲线的定义列方程求解、设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3. 答案：2 38、(2018年高考辽宁卷)P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，那么点A 的纵坐标为________、解析：根据题意先求出P ，Q 的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点、因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4，8)，Q (－2，2)，所以在P 、Q 两点处切线斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0， l 2：2x ＋y ＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y ＝－4. 答案：－4 【三】解答题9、(2018年广州模拟)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a >2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x轴交于点A ，假设OF 1→＋2AF 1→＝0(其中O 为坐标原点)、(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E 、F 为直径的两个端点)，求PE →·PF →的最大值、解析：(1)由题设知，A (a 2a 2－2，0)，F 1(a 2－2，0)，由OF 1→＋2AF 1→＝0，得a 2－2＝2(a 2a 2－2－a 2－2)，解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，那么PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →) ＝NP →2－NF →2 ＝NP →2－1.从而将求PE →·PF →的最大值转化为求NP →2的最大值、 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)， 所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20.因为点N (0，2)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12.因为y 0∈[－2，2]，所以当y 0＝－1时，NP →2取得最大值12.所以PE →·PF →的最大值为11.10、抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，假设MN 是C 的切线，求t 的最小值、解析：(1)因为焦点F 到准线的距离为12，所以p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)，那么直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)、令y ＝0，得M (x 02，0)，所以k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x2x 0－x ＝x 0＋x .因为NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，所以k PM ·k NQ ＝－1，即2t22t －x 0·(x 0＋x )＝－1，整理，得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t 2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，那么MQ →与MP →共线，得x 0＝2xt x ＋t，②由①②，得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xtx ＋t (t >0)， 所以t ＝－x 2＋13x ，所以t ≥23或t ≤－23(舍去)、所以所求t 的最小值为23.11、如图，F (2，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，AB 为椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，线段OF 的垂直平分线与椭圆相交于两点C 、D ，且∠CAD ＝90°.(1)求椭圆的方程；(2)设过点F 斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆相交于两点P 、Q .假设存在一定点E (m ，0)，使得x 轴上的任意一点(异于点E 、F )到直线EP 、EQ 的距离相等，求m 的值、解析：(1)F (2，0)，那么A (2，b 2a )，C (1，y 0)，D (1，－y 0)，其中y 0＝b a 2－1a.所以AC →＝(－1，y 0－b 2a )，AD →＝(－1，－y 0－b 2a)、因为∠CAD ＝90°，所以AC →⊥AD →，即AC →·AD →＝0.所以1＝y 20－b 4a 2，即b 2（a 2－1）a 2－b 4a2＝1，解得a 2＝6，所以b 2＝2. 可得椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)、由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得 (1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k2.根据题意，x 轴平分∠PEQ ，那么直线EP 、EQ 的倾斜角互补，即K EP ＋K EQ ＝0. 设E (m ，0)，那么有y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0.(当x 1＝m 或x 2＝m 时不合题意)将y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)代入上式，得k （x 1－2）x 1－m ＋k （x 2－2）x 2－m＝0.又k ≠0，所以x 1－2x 1－m ＋x 2－2x 2－m＝0. 即（x 1－2）（x 2－m ）＋（x 2－2）（x 1－m ）（x 1－m ）（x 2－m ）＝0.即2x 1x 2－（m ＋2）（x 1＋x 2）＋4m （x 1－m ）（x 2－m ）＝0，2x 1x 2－(m ＋2)(x 1＋x 2)＋4m ＝0.将x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k2代入，解得m ＝3.。