2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习课时作业：第2部分专题5第2讲椭圆、双曲线、抛物线

参考答案与解析专题1集合与常用逻辑用语1．解析：选D。

由题意得，A＝{x｜1＜x＜3},B＝错误!，则A∩B ＝错误!。

选D。

2．解析：选C.由已知可得B＝{x｜（x＋1)（x－2）＜0，x∈Z｝＝｛x｜－1＜x＜2，x∈Z}＝｛0，1｝,所以A∪B＝{0，1,2，3｝,故选C.3．解析：选D。

集合S＝（－∞，2］∪[3,＋∞)，结合数轴,可得S∩T＝(0，2］∪［3，＋∞)．4．解析:选C.法一：(通性通法)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0,＋∞）．由x2－1＜0,得－1＜x＜1,故B＝（－1，1）．所以A∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y＝2x的值域可知，选项A，B不正确；由02－1＜0可知，0∈B，故0∈A∪B，故排除选项D，选C.5．解析:选D。

根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析:选D.取a＝－b≠0,则|a｜＝｜b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0,｜a－b|＝｜2a|≠0,所以|a＋b|≠|a－b｜，故由｜a｜＝｜b｜推不出|a＋b|＝|a－b｜.由|a＋b｜＝｜a－b|, 得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝｜b｜, 故由|a＋b|＝｜a－b|推不出｜a｜＝|b|.故“|a｜＝｜b|"是“|a＋b|＝|a －b｜"的既不充分也不必要条件．故选D.专题2函数1．解析：选C。

对于选项A，考虑幂函数y＝x c，因为c＞0，所以y＝x c为增函数，又a＞b＞1，所以a c＞b c，A错．对于选项B，ab c＜ba c⇔错误!错误!＜错误!，又y＝错误!错误!是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.2．解析：选B.因为f（x）＋f（－x)＝2，y＝错误!＝1＋错误!，所以函数y＝f(x)与y＝错误!的图像都关于点（0,1）对称,所以错误!x i=0，错误! y i＝错误!×2＝m，故选B。

课时作业1．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋错误!＝1的离心率是( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!或错误! D.错误!或错误!D [解析] 因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4.当m＝4时,圆锥曲线错误!＋x2＝1是椭圆,其离心率e＝错误!＝错误!;当m＝－4时，圆锥曲线x2－错误!＝1是双曲线，其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.综上知,选项D正确．2．已知集合A＝{x｜1≤x〈5}，C＝{x｜－a<x≤a＋3｝．若C∩A ＝C，则a的取值范围为（）A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!C ［解析] 因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－错误!;②当C≠∅时，要使C⊆A，则错误!解得－错误!〈a≤－1。

由①②得a≤－1。

3．已知三棱柱的底面为正三角形,且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为( )A。

错误!B．4错误!C.错误!D．4错误!或错误!D [解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×错误!×错误!×4＝4错误!；当长、宽分别为4和6时，体积V＝错误!×错误!×错误!×6＝错误!。

4．(2016·高考全国卷乙)已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．(－1，3) B．（－1，错误!）C．（0,3) D．(0，错误!)A [解析] 由题意得（m2＋n）（3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1,所以－1＜n＜3.5．（2016·昆明两区七校调研）某校从8名教师中选派4名同时去4个偏远地区支教（每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( ）A．900种B．600种C．300种D．150种B [解析］依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C 错误!·A 错误!＝240种;第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A 错误!＝360种．因此,满足题意的选派方案共有240＋360＝600种，选B 。

课时作业[学生用书P128(独立成册)]1．(2016·贵阳模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (4，3)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 264－y 236＝1 D.x 236－y 264＝1 A [解析] 因为双曲线的焦距为10，点P 在渐近线上，所以c ＝5，b a ＝34，因为a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以C 的方程为x 216－y 29＝1.2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x ±3y ＝0，则C 1与C 2的离心率之积为( )A.154 B.32C.65D.223D [解析] 由题意得，b a ＝13，所以椭圆与双曲线的离心率之积为1－b 2a2·1＋b 2a2＝223，故选D.3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32D.2D [解析] 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2.4．(名师原创)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2.若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( )A ．2 B.3 C. 3D. 6B [解析] 由题意知e ＝ca＝2，则b 2＝3a 2，双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.5．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A [解析] 由题意，不妨设点P 在x 轴上方，直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )(k ＞0)，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k （a －c ）＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13，故选A. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－2 B.x ＝2 C ．x ＝1D.x ＝－1D [解析] 因为e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选 D. 7．(2016·石家庄第一次模考)已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 1关于直线y ＝－x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为________．[解析] 椭圆左焦点F 1(－c ，0)关于直线y ＝－x 的对称点P (0，c )仍在椭圆上，则c ＝b ＝1，a ＝2，则△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝22＋2.[答案] 2＋2 28．(2016·武汉模拟)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．[解析] 因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝abx ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.[答案] 89．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.[解析] 由题意可知，抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2x 2－y 2＝1，解得x ＝±1＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以p 2＋x 2＝2|x |，即p 2＋⎝⎛⎭⎫1＋p 24＝4⎝⎛⎭⎫1＋p 24，解得p ＝23或－23(舍去)．[答案] 2 310．(2016·山西重点中学协作体模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 2＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. [答案] 4311．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2 . 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.12．(2016·东北四市教研联合体模拟)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1，0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．[解] (1)由题意得2a ＝4，即a ＝2. 因为c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）3x 2＋4y 2＝12， 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）3＋4k 2.因为圆心(0，0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，所以|CD |＝24k 2＋3k 2＋1， 因为AB ⊥CD ，所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3， 由12k 2＋14k 2＋3＝12147，解得k ＝1或k ＝－1， 由k >0，得k ＝1.13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得2k ＋1＝0， 解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.。

课时作业[学生用书P137(独立成册)]1．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.2．(2016·张掖模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．[解] (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ.又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0得，(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y 得，z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．3．(2016·南昌第一次模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值． [解] (1)由ρ＝4cos θ得其直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入圆C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14， 所以4cos 2α＝2，故cos α＝±22，即α＝π4或3π4.4．(2016·兰州诊断考试)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝ 3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)设圆上任意一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得： (3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，整理得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0. (2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2－2x －2y －1＝0.将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2－2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0， 设t 1，t 2为该方程的两根，所以t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8＋4sin 2α， 因为α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，所以2α∈⎣⎡⎭⎫0，π2，所以|AB |∈[22，23)．5．(2016·湖南东部六校联考)已知直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝m ＋12ty ＝32t(t 为参数)，曲线C的极坐标方程为：ρ2cos 2θ＝1.(1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 被曲线C 截得的弦长为210，求m 的值． [解] (1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝1， 得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化成直角坐标方程为x 2－y 2＝1. (2)由题⎩⎨⎧x ＝m ＋12ty ＝32t(t 为参数)．①把①代入x 2－y 2＝1得⎝⎛⎭⎫m ＋12t 2－⎝⎛⎭⎫32t 2＝1，整理得t 2－2mt －2m 2＋2＝0，设其两根为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝2m ，t 1t 2＝－2m 2＋2，从而弦长为|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4m 2－4（－2m 2＋2）＝210，解得m ＝±2. 6．(2016·安徽五校联考)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θsin 2θ，设直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝3（t ＋1）(t 为参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)若点P 在曲线C 上，求点P 到直线l 的距离的最小值． [解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，且曲线C 表示以F (1，0)为焦点的抛物线．(2)将直线l 的参数方程消去参数t ，得y ＝3x ＋6. 设P (x ，y )，由点P 在抛物线上，可得y 2＝4x ，即x ＝y 24.则点P 到直线l 的距离d ＝|3x －y ＋6|32＋（－1）2＝⎪⎪⎪⎪3×y 24－y ＋610＝34⎪⎪⎪⎪y 2－43y ＋810＝34⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫y －232＋68910，显然当y ＝23时，d 取得最小值，且最小值为34×68910＝171030，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，23.。

课时作业[学生用书P111(独立成册)]1．(2016·郑州第二次质量检测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)C [解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上有零点，在区间(1，e)上无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点D [解析] 因为f ′(x )＝13－1x ，所以当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，而0＜1e ＜1＜e ＜3，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点．3．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，因为⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，所以2a ≥83，即a ≥43. [答案] ⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 4．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .所以f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－（x －1）（ax ＋1）x. ①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点；②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ，因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1. [答案] (－1，＋∞)5．(2016·贵州适应性考试)设函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R. (1)当a ＝0时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝3x ＋m 相切，求实数m 的值； (2)若函数f (x )在[1，3]上存在单调递增区间，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x 2，其定义域为(0，＋∞)． f (x )的导函数f ′(x )＝1x ＋2x ，令f ′(x )＝3， 解得x ＝1或x ＝12，代入f (x )的解析式，可得切点的坐标为(1，1)或⎝⎛⎭⎫12，14－ln 2. 将切点坐标代入直线y ＝3x ＋m ，可得m ＝－2或m ＝－54－ln 2.(2)f (x )的导函数f ′(x )＝1x ＋2x －2a ＝2x 2－2ax ＋1x ，其分母在[1，3]上恒为正． 设g (x )＝2x 2－2ax ＋1.假设函数f (x )在[1，3]上不存在单调递增区间， 必有g (x )≤0.于是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝3－2a ≤0，g （3）＝19－6a ≤0，解得a ≥196.故要使函数f (x )在[1，3]上存在单调递增区间，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，196. 6．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． [解] (1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .所以当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0， 即f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即f (x )单调递增． 所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时， f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2.所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx， 所以当a ＞0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a ＜0时，由f ′(x )＞0得，x ＞－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )＜0得，x ＜－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减． 所以当a ＜0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a2. 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a2≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0. 因为a ＜0，所以ln(－a )－ln 2≤0， 解得a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2，0)．7．(2016·长春质量检测(二))已知函数f (x )＝a ＋ln xx 的图象在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数a 的值及f (x )的极值； (2)若对任意x 1，x 2∈[e 2，＋∞)，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞k x 1·x2，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝1－a －ln xx 2，f ′(1)＝0， 解得a ＝1.令f ′(x )＝－ln xx 2＝0，解得x ＝1，即f (x )有极大值为f (1)＝1. (2)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞k x 1·x2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）1x 1－1x 2＞k ，令g ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )， 则g (x )＝x －x ln x ，其中x ∈(0，e －2]，g ′(x )＝－ln x ，又x ∈(0，e －2]，则g ′(x )＝－ln x≥2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）1x 1－1x 2＞2， 因此实数k 的取值范围是(－∞，2]． 8．(选做题)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋12x －m 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 1＋x 2＞1.[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 令f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＜0，得x ＞1，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)， 函数f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：根据题意，g (x )＝ln x ＋12x －m (x ＞0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x －m 的两个零点，所以ln x 1＋12x 1－m ＝0，ln x 2＋12x 2－m ＝0.两式相减，可得ln x 1x 2＝12x 2－12x 1，即ln x 1x 2＝x 1－x 22x 2x 1，故x 1x 2＝x 1－x 22ln x 1x 2.那么x 1＝x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2＝1－x 2x 12ln x 1x 2.令t ＝x 1x 2，其中0＜t ＜1，则x 1＋x 2＝t －12ln t ＋1－1t 2ln t ＝t －1t 2ln t.构造函数h (t )＝t －1t －2ln t ，则h ′(t )＝（t －1）2t 2.对于0＜t ＜1，h ′(t )＞0恒成立， 故h (t )＜h (1)，即t －1t －2ln t ＜0.可知t －1t2ln t ＞1，故x 1＋x 2＞1.。

课时作业[学生用书P133(独立成册)]1．(2016·长沙四校联考)高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A．13 B.17C．19 D.21C[解析] 因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.2．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是() A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”A[解析] 依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y 有关系”，选A.3．(2016·开封模拟)下列说法错误的是()A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好B[解析] 根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选 B.4．(2016·江西百校联盟模拟)已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A．44，45，56B.44，43，57 C ．44，43，56 D.45，43，57B [解析] 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.5．某中学高中部有300名学生．为了研究学生的周平均学习时间，从中抽取60名学生，先统计了他们某学期的周平均学习时间(单位：小时)，再将学生的周平均学习时间分成5组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，并加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．则高中部学生的周平均学习时间为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )A ．63.5小时 B.62.5小时 C ．63小时D.60小时A [解析] 在高中部抽取的60名学生中，周平均学习时间分别落在[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的人数依次为6，15，24，12，3.所以高中部学生的周平均学习时间为(6×45＋15×55＋24×65＋12×75＋3×85)÷60＝63.5(小时)．故选A. 6．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为(A ．8 B.8.2 C ．8.4D.8.5A [解析] 依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200， y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，回归直线必经过样本点的中心，于是有17＋m5＝0.8×200－155，由此解得m ＝8.故选A.7．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．[解析] 设抽取的男生人数为x ，男生有500人，根据分层抽样的特点，知45900＝x500，所以x ＝25.[答案] 258.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数相同，则图中的m ＋n ＝________.[解析] 根据茎叶图，得乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，即m ＝3；甲的平均数x 甲＝13×(27＋39＋33)＝33，乙的平均数是x 乙＝14×(20＋n ＋32＋34＋38)＝33，所以n ＝8，所以m ＋n ＝11.[答案] 119．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2，4.0)的人数是________．[解析] 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2，4.0)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.[答案] 4010．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：x ＝72， y ＝71，∑i ＝16 x 2i ＝79， ∑i ＝16x i y i ＝1 481.则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：[解析] 由题意知b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝⎛⎭⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，所以y ^＝－1.818 2x ＋77.36，所以销量每增加1千箱，则单位成本约下降1.818 2元．[答案] 1.818 211．为了对考试成绩进行分析，某中学从分数在70分(满分100分)以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理分数对应如下表：(1)与物理“优”有关？(2)从物理或数学分数在80分以上的同学中任意挑选2名，求这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.【解】 (1)根据题中条件，对两变量进行分类，则数学“优”的有4人，“一般”的有4人；物理“优”的有6人，“一般”的有2人．列联表如下：则K 2＝16×（2×4－4×6）8×8×10×6≈1.067<2.706，显然，没有90%的把握认为数学“优”与物理“优”有关．(2)由已知数表可以看出，物理或数学分数在80分以上的同学共6人，其中4人的物理与数学分数都在80分以上，设这4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，另外2人为B 1，B 2，则从中任选2人的所有基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2， A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2， A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2， A 4B 1，A 4B 2， B 1B 2， 共15个，记“这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上”为事件M ，则M 所包含的基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4， A 2A 3，A 2A 4， A 3A 4， 共6个． 故P (M )＝615＝25，于是，这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率为25.12．(2016·武汉调研)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y (2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：[解]（1）设所求的回归直线方程为y ^＝b ^＋a ^列表所以x ＝30，y ＝75，∑i ＝15x 2i ＝5 500，∑i ＝15x i y i ＝11 920，5xy ＝11 250.因为a ^＝y －b ^x ＝75－0.67×30＝54.9， 所以回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9.(2)由(1)所求回归直线方程可知，在x ＝70时， y ^＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．所以预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间为101.8分钟．13．(2016·大连模拟)2016年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1 000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：甲电商：甲、乙电商消费金额的中位数的大小；(2)运用分层抽样分别从甲、乙1 000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任选2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率．[解] (1)频率分布直方图如图所示，甲的中位数在区间[2，3)内，乙的中位数在区间[1，2)内，所以甲的中位数大．(2)运用分层抽样从甲的1 000名消费者中抽出20人，其中消费金额不小于4千元的人数为2，记作a，b；运用分层抽样从乙的1 000名消费者中抽出20人，其中消费金额不小于4千元的人数为4，记作1，2，3，4.在这6人中任意抽取2人，所得基本事件空间为：Ω＝{ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34}，共计15个元素．把“2人恰好是来自不同电商消费者”的事件记作A，则A＝{a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4}，共计8个元素，所以P(A)＝815.。

透视全国高考 揭秘命题规律(四)——立体几何(全国卷第19题)作图问题与相关度量[学生用书P44]如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【解】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确.1.作图问题作图问题有下列三种情况．(1)平行问题：首先考虑线段的中点，构造三角形中位线或平行四边形与平行公理． 再结合线面平行或面面平行的判定定理说明或证明(根据题意是否给出)．(2)围成的平面图形(截面)根据要求的截面图形(例如矩形、正方形、三角形等)，首先观察原几何体的几何特征(例如平行与垂直或长度等特殊关系)，画出合情的截面的图形(封闭)．再结合相关的几何条件说明或证明画的图形的合情性(根据题意是否给予说明)． 2．相关度量根据作图的结果，利用相关的计算思想和方法求出某些几何量． 一般以求几何体的体积为主．翻叠性问题[学生用书P44](2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD. 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′， 所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH .由(1)知，AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′. 又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ， 所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′­ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.解决平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些，发生变化的量是哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形．空间位置关系与体积[学生用书P45]满分展示(满分12分)(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．,[解题程序] 第一步：计算AM 的值．第二步：取PB 的中点T ，并证明NT12BC . 第三步：证明AMNT 为平行四边形，MN ∥AT . 第四步：证明MN ∥平面P AB.第五步：求点N 到平面ABCD 的距离．[联想破译] 联想因素：线面垂直、线线平行、中点、体积．联想线路：(1)取BP 的中点T ，先结合条件证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN ∥AT ，再结合线面平行的判定定理可证．(2)由条件可知四面体N -BCM 的高(即点N 到底面的距离)为棱P A 的一半，由此可顺利求得结果．[标准答案]第(1)问得分点说明： 求出AM 的长度，得1分；推出TN ∥BC ，且TN ＝12BC 得2分；证明MN ∥AT 得2分； 证明MN ∥平面P AB 得1分(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.(1分)取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2. (3分)又AD ∥BC ，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . (5分)因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .( 6分)（2）因为P A ⊥平面ABCD ， N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .（8分）取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ， AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得(M 到BC 的距离为5，（10分） 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.（11分）所以四面体N -BCM 的体积V N ­BCM ＝13×S △BCM × P A 2＝453.（12分）第（2）问得分点说明：求出点N 到平面ABCD 的距离得2分； 求出M 到BC 的距离得2分； 求出S △BCM 得1分；求出体积得1分\a\vs4\al (（12分） 第六步：求M 到BC 的距离． 第七步：求△BCM 的面积． 第八步：求四面体N -BCM 的体积． [满分心得] (1)写全得分步骤对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问中，MN ∥AT ，第(2)问中N 到平面ABCD 的距离为12P A .(2)写明得分关键对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断直线MN ∥平面P AB 过程中的两个条件，写不全不能得全分；第(2)问中求点N 到平面ABCD 的距离和M 到BC 的距离时，一定要写出推理过程，否则要扣分．。

课时作业1．(2016·贵州省适应性考试)已知M为不等式组错误!表示的平面区域，直线l:y＝2x＋a，当a从－2连续变化到0时，区域M被直线l扫过的面积为( )A。

错误!B。

2C。

错误!D。

错误!D ［解析］作出图形可得区域M被直线l扫过的面积为错误!x2d x －错误!×1×2＝错误!错误!1－1＝错误!×（8－1)－1＝错误!，选项D正确．2．(2016·广州高考模拟)已知y＝f(x）为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f（x)〉0，则函数g(x）＝xf（x）＋1（x〉0）的零点个数为（)A．0 B．1C．0或1 D．无数个A ［解析] 因为g(x)＝xf(x）＋1（x〉0)，g′(x)＝xf′（x）＋f(x）>0，所以g(x）在（0，＋∞）上单调递增，因为g（0）＝1，y ＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x）为(0,＋∞)上的连续可导函数,g（x）〉g（0)＝1，所以g(x）在（0，＋∞)上无零点．3．直线y＝a分别与曲线y＝2（x＋1）,y＝x＋ln x交于A，B,则｜AB｜的最小值为________．［解析] 设A（x1，a)，B(x2，a)，则2（x1＋1）＝x2＋ln x2，所以x1＝错误!(x2＋ln x2)－1,所以|AB|＝x2－x1＝错误!(x2－ln x2)＋1，令y＝错误!(x－ln x）＋1，则y′＝错误!错误!，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1,＋∞)上单调递增，所以当x＝1时,函数取得最小值错误!，即｜AB|min＝错误!.[答案] 错误!4．设函数f(x）＝ln x－错误!ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．[解析］f(x)的定义域为（0，＋∞)，f′(x）＝错误!－ax－b，由f′(1)＝0,得b＝1－a。

所以f′（x）＝错误!－ax＋a－1＝错误!＝－错误!.①若a≥0，当0<x〈1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x〉1时，f′（x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f（x)的极大值点；②若a〈0，由f′（x）＝0，得x＝1或x＝－错误!，因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－错误!〉1,解得－1〈a〈0.综合①②得a的取值范围是a〉－1。

课时作业1．(2016·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [解析] y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12. 3．(2016·福建省毕业班质量检测)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425D [解析] 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，选项D 正确．4．(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5C [解析] 不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]A [解析] 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.6．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.22C.32D ．1C [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 7．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则sin α－cos α＝________．[解析] sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75.[答案] －758．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[解析] 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.[答案] π69．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3. [答案] [3，＋∞)10．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为________． [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，因此g (x )max ＝ 3. [答案] 311．已知a ＝(sin 2x ，2cos 2x －1)，b ＝(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f (x )＝a ·b 的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1.(1)求θ及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝a ·b ＝sin 2x sin θ＋cos 2x cos θ＝cos(2x －θ)，所以f (x )的最小正周期为T ＝π. 因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝1. 因为0<θ<π，所以θ＝π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为－π6≤x ≤π4，所以－2π3≤2x －π3≤π6.故当2x －π3＝0，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x －π3＝－2π3，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－12.12．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＋a ， 则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .13．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝22， 即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象． 由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4； 当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。