2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习课时作业：第2部分专题5第2讲椭圆、双曲线、抛物线

参考答案与解析专题1集合与常用逻辑用语1．解析：选D。

由题意得，A＝{x｜1＜x＜3},B＝错误!，则A∩B ＝错误!。

选D。

2．解析：选C.由已知可得B＝{x｜（x＋1)（x－2）＜0，x∈Z｝＝｛x｜－1＜x＜2，x∈Z}＝｛0，1｝,所以A∪B＝{0，1,2，3｝,故选C.3．解析：选D。

集合S＝（－∞，2］∪[3,＋∞)，结合数轴,可得S∩T＝(0，2］∪［3，＋∞)．4．解析:选C.法一：(通性通法)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0,＋∞）．由x2－1＜0,得－1＜x＜1,故B＝（－1，1）．所以A∪B ＝(－1，＋∞)．故选C.法二：(光速解法)由函数y＝2x的值域可知，选项A，B不正确；由02－1＜0可知，0∈B，故0∈A∪B，故排除选项D，选C.5．解析:选D。

根据含有量词的命题的否定的概念可知．6．解析:选D.取a＝－b≠0,则|a｜＝｜b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0,｜a－b|＝｜2a|≠0,所以|a＋b|≠|a－b｜，故由｜a｜＝｜b｜推不出|a＋b|＝|a－b｜.由|a＋b｜＝｜a－b|, 得｜a＋b｜2＝｜a－b｜2,整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出｜a｜＝｜b｜, 故由|a＋b|＝｜a－b|推不出｜a｜＝|b|.故“|a｜＝｜b|"是“|a＋b|＝|a －b｜"的既不充分也不必要条件．故选D.专题2函数1．解析：选C。

对于选项A，考虑幂函数y＝x c，因为c＞0，所以y＝x c为增函数，又a＞b＞1，所以a c＞b c，A错．对于选项B，ab c＜ba c⇔错误!错误!＜错误!，又y＝错误!错误!是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.2．解析：选B.因为f（x）＋f（－x)＝2，y＝错误!＝1＋错误!，所以函数y＝f(x)与y＝错误!的图像都关于点（0,1）对称,所以错误!x i=0，错误! y i＝错误!×2＝m，故选B。

课时作业1．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋错误!＝1的离心率是( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!或错误! D.错误!或错误!D [解析] 因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4.当m＝4时,圆锥曲线错误!＋x2＝1是椭圆,其离心率e＝错误!＝错误!;当m＝－4时，圆锥曲线x2－错误!＝1是双曲线，其离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.综上知,选项D正确．2．已知集合A＝{x｜1≤x〈5}，C＝{x｜－a<x≤a＋3｝．若C∩A ＝C，则a的取值范围为（）A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!C ［解析] 因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－错误!;②当C≠∅时，要使C⊆A，则错误!解得－错误!〈a≤－1。

由①②得a≤－1。

3．已知三棱柱的底面为正三角形,且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为( )A。

错误!B．4错误!C.错误!D．4错误!或错误!D [解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×错误!×错误!×4＝4错误!；当长、宽分别为4和6时，体积V＝错误!×错误!×错误!×6＝错误!。

4．(2016·高考全国卷乙)已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．(－1，3) B．（－1，错误!）C．（0,3) D．(0，错误!)A [解析] 由题意得（m2＋n）（3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1,所以－1＜n＜3.5．（2016·昆明两区七校调研）某校从8名教师中选派4名同时去4个偏远地区支教（每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( ）A．900种B．600种C．300种D．150种B [解析］依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C 错误!·A 错误!＝240种;第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A 错误!＝360种．因此,满足题意的选派方案共有240＋360＝600种，选B 。

课时作业[学生用书P128(独立成册)]1．(2016·贵阳模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (4，3)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 264－y 236＝1 D.x 236－y 264＝1 A [解析] 因为双曲线的焦距为10，点P 在渐近线上，所以c ＝5，b a ＝34，因为a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所以C 的方程为x 216－y 29＝1.2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x ±3y ＝0，则C 1与C 2的离心率之积为( )A.154 B.32C.65D.223D [解析] 由题意得，b a ＝13，所以椭圆与双曲线的离心率之积为1－b 2a2·1＋b 2a2＝223，故选D.3．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32D.2D [解析] 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2.4．(名师原创)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2.若直线AB 过原点，则k 1k 2的值为( )A ．2 B.3 C. 3D. 6B [解析] 由题意知e ＝ca＝2，则b 2＝3a 2，双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )，则B (－m ，－n )，k 1k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.5．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A [解析] 由题意，不妨设点P 在x 轴上方，直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )(k ＞0)，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k （a －c ）＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13，故选A. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝－2 B.x ＝2 C ．x ＝1D.x ＝－1D [解析] 因为e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，又抛物线的准线方程为x ＝－p2，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，在△AOB 中，|AB |＝3p ，点O 到AB 的距离为p 2，所以12·3p ·p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的准线方程为x ＝－1，故选 D. 7．(2016·石家庄第一次模考)已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 1关于直线y ＝－x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为________．[解析] 椭圆左焦点F 1(－c ，0)关于直线y ＝－x 的对称点P (0，c )仍在椭圆上，则c ＝b ＝1，a ＝2，则△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝22＋2.[答案] 2＋2 28．(2016·武汉模拟)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．[解析] 因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝abx ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.[答案] 89．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.[解析] 由题意可知，抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2x 2－y 2＝1，解得x ＝±1＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以p 2＋x 2＝2|x |，即p 2＋⎝⎛⎭⎫1＋p 24＝4⎝⎛⎭⎫1＋p 24，解得p ＝23或－23(舍去)．[答案] 2 310．(2016·山西重点中学协作体模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 2＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. [答案] 4311．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2 . 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得2×12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合． 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.12．(2016·东北四市教研联合体模拟)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1，0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．[解] (1)由题意得2a ＝4，即a ＝2. 因为c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）3x 2＋4y 2＝12， 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）3＋4k 2.因为圆心(0，0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，所以|CD |＝24k 2＋3k 2＋1， 因为AB ⊥CD ，所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3， 由12k 2＋14k 2＋3＝12147，解得k ＝1或k ＝－1， 由k >0，得k ＝1.13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得2k ＋1＝0， 解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.。

课时作业[学生用书P137(独立成册)]1．(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.2．(2016·张掖模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．[解] (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ.又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0得，(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y 得，z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]．3．(2016·南昌第一次模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值． [解] (1)由ρ＝4cos θ得其直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入圆C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14， 所以4cos 2α＝2，故cos α＝±22，即α＝π4或3π4.4．(2016·兰州诊断考试)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝ 3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A ，B 两点，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)设圆上任意一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得： (3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，整理得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0. (2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2－2x －2y －1＝0.将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2－2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0， 设t 1，t 2为该方程的两根，所以t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8＋4sin 2α， 因为α∈⎣⎡⎭⎫0，π4，所以2α∈⎣⎡⎭⎫0，π2，所以|AB |∈[22，23)．5．(2016·湖南东部六校联考)已知直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝m ＋12ty ＝32t(t 为参数)，曲线C的极坐标方程为：ρ2cos 2θ＝1.(1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 被曲线C 截得的弦长为210，求m 的值． [解] (1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝1， 得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化成直角坐标方程为x 2－y 2＝1. (2)由题⎩⎨⎧x ＝m ＋12ty ＝32t(t 为参数)．①把①代入x 2－y 2＝1得⎝⎛⎭⎫m ＋12t 2－⎝⎛⎭⎫32t 2＝1，整理得t 2－2mt －2m 2＋2＝0，设其两根为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝2m ，t 1t 2＝－2m 2＋2，从而弦长为|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4m 2－4（－2m 2＋2）＝210，解得m ＝±2. 6．(2016·安徽五校联考)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θsin 2θ，设直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝3（t ＋1）(t 为参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)若点P 在曲线C 上，求点P 到直线l 的距离的最小值． [解] (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，且曲线C 表示以F (1，0)为焦点的抛物线．(2)将直线l 的参数方程消去参数t ，得y ＝3x ＋6. 设P (x ，y )，由点P 在抛物线上，可得y 2＝4x ，即x ＝y 24.则点P 到直线l 的距离d ＝|3x －y ＋6|32＋（－1）2＝⎪⎪⎪⎪3×y 24－y ＋610＝34⎪⎪⎪⎪y 2－43y ＋810＝34⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫y －232＋68910，显然当y ＝23时，d 取得最小值，且最小值为34×68910＝171030，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫19，23.。

课时作业[学生用书P111(独立成册)]1．(2016·郑州第二次质量检测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)C [解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)上均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上有零点，在区间(1，e)上无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点D [解析] 因为f ′(x )＝13－1x ，所以当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，而0＜1e ＜1＜e ＜3，又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点．3．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，因为⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，所以2a ≥83，即a ≥43. [答案] ⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 4．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .所以f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－（x －1）（ax ＋1）x. ①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点；②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ，因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是a >－1. [答案] (－1，＋∞)5．(2016·贵州适应性考试)设函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R. (1)当a ＝0时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝3x ＋m 相切，求实数m 的值； (2)若函数f (x )在[1，3]上存在单调递增区间，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x 2，其定义域为(0，＋∞)． f (x )的导函数f ′(x )＝1x ＋2x ，令f ′(x )＝3， 解得x ＝1或x ＝12，代入f (x )的解析式，可得切点的坐标为(1，1)或⎝⎛⎭⎫12，14－ln 2. 将切点坐标代入直线y ＝3x ＋m ，可得m ＝－2或m ＝－54－ln 2.(2)f (x )的导函数f ′(x )＝1x ＋2x －2a ＝2x 2－2ax ＋1x ，其分母在[1，3]上恒为正． 设g (x )＝2x 2－2ax ＋1.假设函数f (x )在[1，3]上不存在单调递增区间， 必有g (x )≤0.于是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝3－2a ≤0，g （3）＝19－6a ≤0，解得a ≥196.故要使函数f (x )在[1，3]上存在单调递增区间，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，196. 6．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． [解] (1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2＝a ＋2x x .当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x .所以当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0， 即f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即f (x )单调递增． 所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时， f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2.所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx， 所以当a ＞0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a ＜0时，由f ′(x )＞0得，x ＞－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )＜0得，x ＜－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－a2上单调递减． 所以当a ＜0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a2. 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＋2⎝⎛⎭⎫－a2≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0. 因为a ＜0，所以ln(－a )－ln 2≤0， 解得a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2，0)．7．(2016·长春质量检测(二))已知函数f (x )＝a ＋ln xx 的图象在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数a 的值及f (x )的极值； (2)若对任意x 1，x 2∈[e 2，＋∞)，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞k x 1·x2，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝1－a －ln xx 2，f ′(1)＝0， 解得a ＝1.令f ′(x )＝－ln xx 2＝0，解得x ＝1，即f (x )有极大值为f (1)＝1. (2)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞k x 1·x2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）1x 1－1x 2＞k ，令g ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )， 则g (x )＝x －x ln x ，其中x ∈(0，e －2]，g ′(x )＝－ln x ，又x ∈(0，e －2]，则g ′(x )＝－ln x≥2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 1）－f （x 2）1x 1－1x 2＞2， 因此实数k 的取值范围是(－∞，2]． 8．(选做题)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋12x －m 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 1＋x 2＞1.[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 令f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＞0，得0＜x ＜1，令f ′(x )＝1x －1＝1－x x ＜0，得x ＞1，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)， 函数f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：根据题意，g (x )＝ln x ＋12x －m (x ＞0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x －m 的两个零点，所以ln x 1＋12x 1－m ＝0，ln x 2＋12x 2－m ＝0.两式相减，可得ln x 1x 2＝12x 2－12x 1，即ln x 1x 2＝x 1－x 22x 2x 1，故x 1x 2＝x 1－x 22ln x 1x 2.那么x 1＝x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2＝1－x 2x 12ln x 1x 2.令t ＝x 1x 2，其中0＜t ＜1，则x 1＋x 2＝t －12ln t ＋1－1t 2ln t ＝t －1t 2ln t.构造函数h (t )＝t －1t －2ln t ，则h ′(t )＝（t －1）2t 2.对于0＜t ＜1，h ′(t )＞0恒成立， 故h (t )＜h (1)，即t －1t －2ln t ＜0.可知t －1t2ln t ＞1，故x 1＋x 2＞1.。

课时作业[学生用书P133(独立成册)]1．(2016·长沙四校联考)高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为()A．13 B.17C．19 D.21C[解析] 因为47－33＝14，所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5＋14＝19.2．为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用K2独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是() A．有95%的把握认为“X和Y有关系”B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”C．有99%的把握认为“X和Y有关系”D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”A[解析] 依题意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y 有关系”，选A.3．(2016·开封模拟)下列说法错误的是()A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D.在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好B[解析] 根据相关关系的概念知A正确；当r>0时，r越大，相关性越强，当r<0时，r越大，相关性越弱，故B不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R2越大，拟合效果越好，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，C、D正确，故选 B.4．(2016·江西百校联盟模拟)已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A．44，45，56B.44，43，57 C ．44，43，56 D.45，43，57B [解析] 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.5．某中学高中部有300名学生．为了研究学生的周平均学习时间，从中抽取60名学生，先统计了他们某学期的周平均学习时间(单位：小时)，再将学生的周平均学习时间分成5组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]，并加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．则高中部学生的周平均学习时间为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )A ．63.5小时 B.62.5小时 C ．63小时D.60小时A [解析] 在高中部抽取的60名学生中，周平均学习时间分别落在[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的人数依次为6，15，24，12，3.所以高中部学生的周平均学习时间为(6×45＋15×55＋24×65＋12×75＋3×85)÷60＝63.5(小时)．故选A. 6．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为(A ．8 B.8.2 C ．8.4D.8.5A [解析] 依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200， y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，回归直线必经过样本点的中心，于是有17＋m5＝0.8×200－155，由此解得m ＝8.故选A.7．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．[解析] 设抽取的男生人数为x ，男生有500人，根据分层抽样的特点，知45900＝x500，所以x ＝25.[答案] 258.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数相同，则图中的m ＋n ＝________.[解析] 根据茎叶图，得乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，即m ＝3；甲的平均数x 甲＝13×(27＋39＋33)＝33，乙的平均数是x 乙＝14×(20＋n ＋32＋34＋38)＝33，所以n ＝8，所以m ＋n ＝11.[答案] 119．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2，4.0)的人数是________．[解析] 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2，4.0)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40.[答案] 4010．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：x ＝72， y ＝71，∑i ＝16 x 2i ＝79， ∑i ＝16x i y i ＝1 481.则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：[解析] 由题意知b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝⎛⎭⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，所以y ^＝－1.818 2x ＋77.36，所以销量每增加1千箱，则单位成本约下降1.818 2元．[答案] 1.818 211．为了对考试成绩进行分析，某中学从分数在70分(满分100分)以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理分数对应如下表：(1)与物理“优”有关？(2)从物理或数学分数在80分以上的同学中任意挑选2名，求这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.【解】 (1)根据题中条件，对两变量进行分类，则数学“优”的有4人，“一般”的有4人；物理“优”的有6人，“一般”的有2人．列联表如下：则K 2＝16×（2×4－4×6）8×8×10×6≈1.067<2.706，显然，没有90%的把握认为数学“优”与物理“优”有关．(2)由已知数表可以看出，物理或数学分数在80分以上的同学共6人，其中4人的物理与数学分数都在80分以上，设这4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4，另外2人为B 1，B 2，则从中任选2人的所有基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2， A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2， A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2， A 4B 1，A 4B 2， B 1B 2， 共15个，记“这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上”为事件M ，则M 所包含的基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4， A 2A 3，A 2A 4， A 3A 4， 共6个． 故P (M )＝615＝25，于是，这2名同学的数学与物理分数恰好都在80分以上的概率为25.12．(2016·武汉调研)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y (2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：[解]（1）设所求的回归直线方程为y ^＝b ^＋a ^列表所以x ＝30，y ＝75，∑i ＝15x 2i ＝5 500，∑i ＝15x i y i ＝11 920，5xy ＝11 250.因为a ^＝y －b ^x ＝75－0.67×30＝54.9， 所以回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9.(2)由(1)所求回归直线方程可知，在x ＝70时， y ^＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．所以预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间为101.8分钟．13．(2016·大连模拟)2016年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1 000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：甲电商：甲、乙电商消费金额的中位数的大小；(2)运用分层抽样分别从甲、乙1 000名消费者中各自抽出20人放在一起，在抽出的40人中，从消费金额不小于4千元的人中任选2人，求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率．[解] (1)频率分布直方图如图所示，甲的中位数在区间[2，3)内，乙的中位数在区间[1，2)内，所以甲的中位数大．(2)运用分层抽样从甲的1 000名消费者中抽出20人，其中消费金额不小于4千元的人数为2，记作a，b；运用分层抽样从乙的1 000名消费者中抽出20人，其中消费金额不小于4千元的人数为4，记作1，2，3，4.在这6人中任意抽取2人，所得基本事件空间为：Ω＝{ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34}，共计15个元素．把“2人恰好是来自不同电商消费者”的事件记作A，则A＝{a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4}，共计8个元素，所以P(A)＝815.。

透视全国高考 揭秘命题规律(四)——立体几何(全国卷第19题)作图问题与相关度量[学生用书P44]如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【解】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝⎛⎭⎫79也正确.1.作图问题作图问题有下列三种情况．(1)平行问题：首先考虑线段的中点，构造三角形中位线或平行四边形与平行公理． 再结合线面平行或面面平行的判定定理说明或证明(根据题意是否给出)．(2)围成的平面图形(截面)根据要求的截面图形(例如矩形、正方形、三角形等)，首先观察原几何体的几何特征(例如平行与垂直或长度等特殊关系)，画出合情的截面的图形(封闭)．再结合相关的几何条件说明或证明画的图形的合情性(根据题意是否给予说明)． 2．相关度量根据作图的结果，利用相关的计算思想和方法求出某些几何量． 一般以求几何体的体积为主．翻叠性问题[学生用书P44](2016·高考全国卷甲)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．【解】 (1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD. 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .由此得EF ⊥HD ，EF ⊥HD ′， 所以AC ⊥HD ′.(2)由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH .由(1)知，AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′. 又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ， 所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′­ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.解决平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程理清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些，发生变化的量是哪些，这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，求解问题时要综合考虑翻折前后的图形．空间位置关系与体积[学生用书P45]满分展示(满分12分)(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．,[解题程序] 第一步：计算AM 的值．第二步：取PB 的中点T ，并证明NT12BC . 第三步：证明AMNT 为平行四边形，MN ∥AT . 第四步：证明MN ∥平面P AB.第五步：求点N 到平面ABCD 的距离．[联想破译] 联想因素：线面垂直、线线平行、中点、体积．联想线路：(1)取BP 的中点T ，先结合条件证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN ∥AT ，再结合线面平行的判定定理可证．(2)由条件可知四面体N -BCM 的高(即点N 到底面的距离)为棱P A 的一半，由此可顺利求得结果．[标准答案]第(1)问得分点说明： 求出AM 的长度，得1分；推出TN ∥BC ，且TN ＝12BC 得2分；证明MN ∥AT 得2分； 证明MN ∥平面P AB 得1分(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.(1分)取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2. (3分)又AD ∥BC ，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . (5分)因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .( 6分)（2）因为P A ⊥平面ABCD ， N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .（8分）取BC 的中点E ，连接AE ，由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ， AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得(M 到BC 的距离为5，（10分） 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.（11分）所以四面体N -BCM 的体积V N ­BCM ＝13×S △BCM × P A 2＝453.（12分）第（2）问得分点说明：求出点N 到平面ABCD 的距离得2分； 求出M 到BC 的距离得2分； 求出S △BCM 得1分；求出体积得1分\a\vs4\al (（12分） 第六步：求M 到BC 的距离． 第七步：求△BCM 的面积． 第八步：求四面体N -BCM 的体积． [满分心得] (1)写全得分步骤对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问中，MN ∥AT ，第(2)问中N 到平面ABCD 的距离为12P A .(2)写明得分关键对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断直线MN ∥平面P AB 过程中的两个条件，写不全不能得全分；第(2)问中求点N 到平面ABCD 的距离和M 到BC 的距离时，一定要写出推理过程，否则要扣分．。

课时作业1．(2016·贵州省适应性考试)已知M为不等式组错误!表示的平面区域，直线l:y＝2x＋a，当a从－2连续变化到0时，区域M被直线l扫过的面积为( )A。

错误!B。

2C。

错误!D。

错误!D ［解析］作出图形可得区域M被直线l扫过的面积为错误!x2d x －错误!×1×2＝错误!错误!1－1＝错误!×（8－1)－1＝错误!，选项D正确．2．(2016·广州高考模拟)已知y＝f(x）为R上的连续可导函数，且xf′(x)＋f（x)〉0，则函数g(x）＝xf（x）＋1（x〉0）的零点个数为（)A．0 B．1C．0或1 D．无数个A ［解析] 因为g(x)＝xf(x）＋1（x〉0)，g′(x)＝xf′（x）＋f(x）>0，所以g(x）在（0，＋∞）上单调递增，因为g（0）＝1，y ＝f(x)为R上的连续可导函数，所以g(x）为(0,＋∞)上的连续可导函数,g（x）〉g（0)＝1，所以g(x）在（0，＋∞)上无零点．3．直线y＝a分别与曲线y＝2（x＋1）,y＝x＋ln x交于A，B,则｜AB｜的最小值为________．［解析] 设A（x1，a)，B(x2，a)，则2（x1＋1）＝x2＋ln x2，所以x1＝错误!(x2＋ln x2)－1,所以|AB|＝x2－x1＝错误!(x2－ln x2)＋1，令y＝错误!(x－ln x）＋1，则y′＝错误!错误!，所以函数在（0，1）上单调递减，在（1,＋∞)上单调递增，所以当x＝1时,函数取得最小值错误!，即｜AB|min＝错误!.[答案] 错误!4．设函数f(x）＝ln x－错误!ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．[解析］f(x)的定义域为（0，＋∞)，f′(x）＝错误!－ax－b，由f′(1)＝0,得b＝1－a。

所以f′（x）＝错误!－ax＋a－1＝错误!＝－错误!.①若a≥0，当0<x〈1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x〉1时，f′（x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f（x)的极大值点；②若a〈0，由f′（x）＝0，得x＝1或x＝－错误!，因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－错误!〉1,解得－1〈a〈0.综合①②得a的取值范围是a〉－1。

课时作业1．(2016·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [解析] y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12. 3．(2016·福建省毕业班质量检测)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425D [解析] 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，选项D 正确．4．(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5C [解析] 不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]A [解析] 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.6．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A.12 B.22C.32D ．1C [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 7．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则sin α－cos α＝________．[解析] sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75.[答案] －758．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[解析] 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.[答案] π69．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3. [答案] [3，＋∞)10．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为________． [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，因此g (x )max ＝ 3. [答案] 311．已知a ＝(sin 2x ，2cos 2x －1)，b ＝(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f (x )＝a ·b 的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1.(1)求θ及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝a ·b ＝sin 2x sin θ＋cos 2x cos θ＝cos(2x －θ)，所以f (x )的最小正周期为T ＝π. 因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，1， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝1. 因为0<θ<π，所以θ＝π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为－π6≤x ≤π4，所以－2π3≤2x －π3≤π6.故当2x －π3＝0，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x －π3＝－2π3，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－12.12．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1＋a ， 则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .13．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝22， 即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象． 由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称， 令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4； 当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。

第3讲 空间向量与立体几何利用空间向量证明平行与垂直 共研典例 类题通法 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，υ＝(a 3，b 3，c 3)，则有：(1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.如图，在直三棱柱ADE -BCF 中，平面ABFE 和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．运用向量方法证明：(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .【证明】 由题意，AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，F (1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫12，0，0，O ⎝⎛⎭⎫12，12，12.(1)OM →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12，BA →＝(－1，0，0)， 所以OM →·BA →＝0，所以OM →⊥BA →. 因为棱柱ADE -BCF 是直三棱柱，所以AB ⊥平面BCF ，所以BA →是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，所以OM ∥平面BCF .(2)设平面MDF 与平面EFCD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．因为DF →＝(1，－1，1)，DM →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，0，DC →＝(1，0，0)， 由n 1·DF →＝n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝12x 1，z 1＝－12x 1，令x 1＝1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫1，12，－12. 同理可得n 2＝(0，1，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面MDF ⊥平面EFCD .利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题． [跟踪训练]如图所示，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .[证明] (1)如图建立空间直角坐标系A -xyz ，令AB ＝AA 1＝4， 则A (0，0，0)，E (0，4，2)，F (2，2，0)，B (4，0，0)，B 1(4，0，4)． 取AB 中点为N ，连接CN ，则N (2，0，0)，C (0，4，0)，D (2，0，2)， 所以DE →＝(－2，4，0)，NC →＝(－2，4，0)， 所以DE →＝NC →，所以DE ∥NC ， 又因为NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC . 故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2，2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2，2，0)．B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.所以B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又因为AF ∩FE ＝F ，所以B 1F ⊥平面AEF .利用空间向量求空间角 高频考点 多维探明 设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，υ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)．(1)线线夹角设l ，m 的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则 cos θ＝|a·b ||a||b|＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. (2)线面夹角设直线l 与平面α的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 则sin θ＝|a·μ||a||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|.(3)面面夹角设平面α、β的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 则|cos θ|＝|μ·υ||μ||υ|＝|cos 〈μ，υ〉|.利用空间向量求线线角、线面角(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 【解】 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN .由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C ()5，2，0，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525，则直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525.利用空间向量求二面角(2016·高考全国卷乙)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．【解】 (1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ， 所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3， 可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)． 由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°.从而可得C (－2，0，3)．连接AC ，则EC →＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4，0，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3，0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.(1)运用空间向量求空间角的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角的注意点①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角． [题组通关]1.(2016·南昌第一次模拟测试)如图，四棱锥S ­ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB .(2)求二面角A -DE -C 的大小．[解] 分别以DA ，DC ，DS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，连接DB ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2)，DB →＝(1，1，0)，DS →＝(0，0，2)．(1)证明：因为SE ＝2EB ，所以DE →＝23DB →＋13DS →＝23×(1，1，0)＋13×(0，0，2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，23. 又BC →＝(－1，1，0)，BS →＝(－1，－1，2)，所以DE →·BC →＝0，DE →·BS →＝0，所以DE →⊥BC →，DE →⊥BS →.又BC ∩BS ＝B ，所以DE ⊥平面SBC . (2)由(1)知，DE ⊥平面SBC ， 因为EC ⊂平面SBC ，所以DE ⊥EC .由SE ＝2EB ，知E ⎝⎛⎭⎫23，23，23，DE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，23，EC →＝⎝⎛⎭⎫－23，43，－23， 取DE 中点F ，连接AF ，则F ⎝⎛⎭⎫13，13，13，F A →＝⎝⎛⎭⎫23，－13，－13， 故F A →·DE →＝0，由此得F A ⊥DE ，所以向量F A →与EC →的夹角等于二面角A -DE -C 的平面角． 又cos 〈F A →，EC →〉＝F A →·EC →|F A →||EC →|＝－12，所以二面角A -DE -C 的大小为120°.2.(2016·合肥第二次质检)如图，六面体ABCDHEFG 中，四边形ABCD 为菱形，AE ，BF ，CG ，DH 都垂直于平面ABCD .若DA ＝DH ＝DB ＝4，AE ＝CG ＝3.(1)求证：EG ⊥DF ；(2)求BE 与平面EFGH 所成角的正弦值．[解] (1)证明：连接AC ，由AE 綊CG 可知四边形AEGC 为平行四边形，所以EG ∥AC ，而AC ⊥BD ，AC ⊥BF ，所以EG ⊥BD ，EG ⊥BF ，因为BD ∩BF ＝B ，所以EG ⊥平面BDHF ，又DF ⊂平面BDHF ，所以EG ⊥DF . (2)设AC ∩BD ＝O ，EG ∩HF ＝P ，由已知可得：平面ADHE ∥平面BCGF ，所以EH ∥FG ， 同理可得：EF ∥HG ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以P 为EG 的中点，O 为AC 的中点， 所以OP 綊AE ，从而OP ⊥平面ABCD ，又OA ⊥OB ，所以OA ，OB ，OP 两两垂直，由平面几何知识，得BF ＝2. 如图，建立空间直角坐标系O ­xyz ，则B (0，2，0)，E (23，0，3)，F (0，2，2)，P (0，0，3)，所以BE →＝(23，－2，3)，PE →＝(23，0，0)，PF →＝(0，2，－1)．设平面EFGH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧PE →·n ＝0PF →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝02y －z ＝0，令y ＝1，则z ＝2.所以n ＝(0，1，2)． 设BE 与平面EFGH 所成角为θ， 则sin θ＝|BE →·n ||BE →|·|n |＝4525.利用空间向量解决探索性问题 共研典例 类题通法(2016·兰州诊断考试)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC ＝4，点M 为PC 的中点，点E 为BC 边上的动点，且BEEC＝λ.(1)求证：平面ADM ⊥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得二面角P -DE -B 的余弦值为22？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．【解】 (1)证明：取PB 的中点N ，连接MN 、AN ， 因为M 是PC 的中点，所以MN ∥BC ，MN ＝12BC ＝2，又BC ∥AD ，所以MN ∥AD ，MN ＝AD ，所以四边形ADMN 为平行四边形，因为AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥平面P AB ， 所以AD ⊥AN ，所以AN ⊥MN ，因为AP ＝AB ，所以AN ⊥PB ，所以AN ⊥平面PBC ， 因为AN ⊂平面ADM ，所以平面ADM ⊥平面PBC .(2)法一：存在实数λ＝1，使得二面角P －DE －B 的余弦值为22. 因为λ＝1，所以点E 为BC 边的中点， 所以DE ∥AB ， 所以DE ⊥平面P AD ，所以∠PDA 为二面角P －DE －B 的一个平面角． 在等腰Rt △PDA 中，∠PDA ＝π4，所以二面角P －DE －B 的余弦值为22. 法二：存在符合条件的λ.以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 设E (2，t ，0)，P (0，0，2)，D (0，2，0)，B (2，0，0)， 从而PD →＝(0，2，－2)，DE →＝(2，t －2，0)， 设平面PDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PD →＝0n 1·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝02x ＋（t －2）y ＝0，令y ＝z ＝2，解得x ＝2－t ， 所以n 1＝(2－t ，2，2)，又平面DEB 即为平面xAy ，故其一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 则|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2（2－t ）2＋4＋4＝22，解得t ＝2，可知λ＝1.利用空间向量巧解探索性问题(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．[跟踪训练](2016·昆明两区七校调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，E 为BC 中点．(1)求证：C 1D ⊥D 1E ；(2)在棱AA 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ？若存在，求AM AA 1的值，若不存在，说明理由； (3)若二面角B 1－AE －D 1的大小为90°，求AD 的长．[解] (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，B 1(a ，1，1)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫a2，1，0， 所以C 1D →＝(0，－1，－1)，D 1E →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，－1， 所以C 1D →·D 1E →＝0，所以C 1D ⊥D 1E . (2)设AMAA 1＝h ，则M (a ，0，h )， 所以BM →＝(0，－1，h )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，0，AD 1→＝(－a ，0，1)， 设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n ＝－a 2x ＋y ＝0AD 1→·n ＝－ax ＋z ＝0，所以平面AD 1E 的一个法向量为n ＝(2，a ，2a )，因为BM ∥平面AD 1E ，所以BM →⊥n ，即BM →·n ＝2ah －a ＝0，所以h ＝12.即在AA 1上存在点M ，使得BM ∥平面AD 1E ，此时AM AA 1＝12.(3)连接AB 1，B 1E ，设平面B 1AE 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，0，AB 1→＝(0，1，1)，则⎩⎪⎨⎪⎧AE →·m ＝－a 2x ′＋y ′＝0AB 1→·m ＝y ′＋z ′＝0，所以平面B 1AE 的一个法向量为m ＝(2，a ，－a )． 因为二面角B 1－AE －D 1的大小为90°， 所以m ⊥n ，所以m·n ＝4＋a 2－2a 2＝0，因为a >0，所以a ＝2，即AD ＝2.课时作业1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD 和C 1C 的中点，则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.13 B.25 C.35D.37B [解析] 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A (2，0，0)、E (0，1，0)、D 1(0，0，2)、F (0，2，1)．所以EA →＝(2，－1，0)，D 1F →＝(0，2，－1)， cos 〈EA →，D 1F →〉＝EA →·D 1F →|EA →||D 1F →|＝－25·5＝－25.则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为25.2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22B [解析] 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1， 则A1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)， 所以A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.3．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．[解析] 依题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0，1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →)＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→＝1＋3λ·⎝⎛⎭⎫－33＝1－λ∈[0，1]，因此DC →·AP →的取值范围是[0，1]．[答案] [0，1]4.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．[解析] 过O 作OE ∥CD 交BD 于点E ，由题意知，A ′O ⊥OC ，A ′O ⊥OE ，OE ⊥OC ，故以O 为原点，OC →，OE →，OA ′→分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A ′(0，0，3)，B (－1，0，0)，C (3，0，0)，D (3，2，0)，所以A ′B →＝(－1，0，－3)，CD →＝(0，2，0)，A ′B →·CD→＝0，所以A ′B →⊥CD →，故异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为90°.[答案] 90°5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，其棱长为2，E 为棱DD 1的中点，F 为对角线DB 的中点．(1)求证：平面CFB 1⊥平面EFB 1；(2)求异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值；(3)求直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值．[解] (1)证明：因为F 为DB 的中点，则CF ⊥BD ，又CF ⊥D 1D ，BD ∩D 1D ＝D ，所以CF ⊥平面BB 1D 1D ，因为CF ⊂平面CFB 1，所以平面CFB 1⊥平面EFB 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，B 1(2，2，2)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)．所以EF →＝(1，1，－1)，B 1C →＝(－2，0，－2)．所以异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值为|cos 〈B 1C →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－23×（－2）2＋（－2）2＝0.(3)由(1)知CF ⊥EF ，由(2)知EF ⊥B 1C ，又B 1C ∩CF ＝C ，B 1C ，CF ⊂平面B 1CA ，所以EF ⊥平面B 1CA .所以EF →是平面B 1CA 的法向量．因为FC 1→＝(－1，1，2)，所以cos 〈FC 1→，EF →〉＝EF →·FC 1→|EF →||FC 1→|＝－23， 所以直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值为23. 6.(2016·兰州市实战考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，P A ＝PB ，O 为AB 的中点，OD ⊥PC .(1)求证：OC ⊥PD ；(2)若PD 与平面P AB 所成的角为30°，求二面角D －PC －B 的余弦值．[解] (1)证明：连接OP ，因为P A ＝PB ，O 为AB 的中点，所以OP ⊥AB .因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥OD ，OP ⊥OC .因为OD ⊥PC ，所以OD ⊥平面OPC ，所以OD ⊥OC ，又OP ⊥OC ，所以OC ⊥平面OPD ，所以OC ⊥PD .(2)法一：在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，所以AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2.因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，所以∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，所以∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，所以DP ＝CP ＝2，所以△PDC 为等边三角形．设PC 的中点为M ，连接DM ，则DM ⊥PC .在Rt △CBP 中，过M 作NM ⊥PC ，交PB 于点N ，连接ND ，则∠DMN 为二面角D －PC －B 的一个平面角．由于∠CPB ＝30°，PM ＝1，故在Rt △PMN 中，MN ＝33， PN ＝233. 因为cos ∠APB ＝3＋3－42×3×3＝13， 所以AN 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋3－2×233×3×13＝3， 所以ND 2＝3＋1＝4，所以cos ∠DMN ＝⎝⎛⎭⎫332＋3－42×33×3＝－13， 即二面角D －PC －B 的余弦值为－13. 法二：取CD 的中点E ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .在矩形ABCD 中，由(1)得OD ⊥OC ，所以AB ＝2AD ，不妨设AD ＝1，则AB ＝2.因为侧面P AB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以DA ⊥平面P AB ，CB ⊥平面P AB ，△DP A ≌△CPB ，所以∠DP A 为直线PD 与平面P AB 所成的角，所以∠DP A ＝30°，∠CPB ＝30°，P A ＝PB ＝3，所以B (0，1，0)，C (1，1，0)，D (1，－1，0)，P (0，0，2)，从而PC →＝(1，1，－2)，CD →＝(0，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧PC →·n 1＝0CD →·n 1＝0得，⎩⎨⎧x 1＋y 1－2z 1＝0－2y 1＝0， 可取n 1＝(2，0，1)．同理，可取平面PCB 的一个法向量为n 2＝(0，－2，－1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－13， 所以二面角D －PC －B 的余弦值为－13.7.(2016·西安第一次质量检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求二面角E －BC －A 的余弦值．[解] (1)证明：由题意知，△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC .又平面ACD ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么EF ∥DO ，根据题意，点F 落在BO 上，因为BE 和平面ABC 所成的角为60°，所以∠EBF ＝60°，因为BE ＝2，所以EF ＝DO ＝3，所以四边形DEFO 是平行四边形，所以DE ∥OF .因为DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则B (0，3，0)，C (－1，0，0)，E (0，3－1，3)，所以BC →＝(－1，－3，0)，BE →＝(0，－1，3)，平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0n 2·BE →＝0， 所以⎩⎨⎧－x －3y ＝0－y ＋3z ＝0， 取z ＝1，所以n 2＝(－3，3，1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1313，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E －BC －A 的余弦值为1313. 8．(2016·福建省毕业班质量检测)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°.(1)证明：AB ⊥B 1C ；(2)若B 1C ＝2，求AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值．[解] (1)证明：连接AB 1，在△ABB 1中，AB ＝1， BB 1＝2，∠ABB 1＝60°，由余弦定理得，AB 21＝AB 2＋BB 21－2AB ·BB 1·cos ∠ABB 1＝3， 所以AB 1＝3，所以BB 21＝AB 2＋AB 21，所以AB 1⊥AB .又△ABC 为等腰直角三角形，且AB ＝AC ， 所以AC ⊥AB ，因为AC ∩AB 1＝A ，所以AB ⊥平面AB 1C .又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以AB ⊥B 1C .(2)因为AB 1＝3，AB ＝AC ＝1，B 1C ＝2，所以B 1C 2＝AB 21＋AC 2，所以AB 1⊥AC .如图，以A 为原点，以AB →，AC →，AB 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，所以BB 1→＝(－1，0，3)，BC →＝(－1，1，0)． 设平面BCB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧BB 1→·n ＝0BC →·n ＝0，得 ⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0－x ＋y ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝3， 所以平面BCB 1的一个法向量为n ＝(3，3，1)．因为AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC →＋BB 1→＝(0，1，0)＋(－1，0，3)＝(－1，1，3)，所以cos 〈AC 1→，n 〉＝AC 1→·n |AC 1→||n |＝35×7＝10535， 所以AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值为10535.。

一创新型问题新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着新课程改革的深入和推进,高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小,求解此类问题，要求学生有临场阅读,提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．“新定义”问题新定义问题是指在特定情景下,用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．(1)(2016·高考全国卷丙）定义“规范01数列”{a n｝如下：｛a n}共有2m项，其中m项为0,m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2,…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4,则不同的“规范01数列”共有(）A．18个B．16个C．14个D．12个(2）已知函数y＝f（x）（x∈R）,对函数y＝g(x）(x∈I）,定义g（x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)（x∈I），y＝h（x)满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x)），(x，g（x)）关于点(x,f（x））对称．若h（x)是g(x）＝错误!关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h（x)>g（x)恒成立,则实数b的取值范围是________．【解析】（1）法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列"有00001111，00010111，00011011，00011101,00100111，00101011，00101101,00110011,00110101,01000111，01001011，01001101，01010011,01010101,共14个．法二：设a1，a2，a3,…,a k中0的个数为t,则1的个数为k－t,由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0,则错误!。

2017年高考数学（理科）冲刺（二）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（ B ）A．{﹣1，0} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}2．设复数z满足=i，则z的虚部为（ C ）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．13．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ C ）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=a2+a3+9a1，a5=32，则a1=（ C ）A．﹣ B． C．2 D．﹣25．设函数f（x）=，若f（a）＞1，则a的取值范围是（ D ）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞） B．（0，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ D ）A． B．32 C． D．7．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1=0上，则点C与坐标原点的距离为（ A ）A．B．5 C．13 D．258．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y，k分别为1，2，3，则输出的N=（ B ）A． B． C． D．9．已知M是球O的直径CD上的一点，CM=MD，CD⊥平面α，M为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（ C ）A．3π B．9π C． D．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为（ C ）A． B． C． D．11．设，是夹角为60°的两个单位向量，若=+λ与=2﹣3垂直，则λ= ．12．若，则目标函数z=x+2y的取值范围是[2，6] ．13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为5，则a= ﹣．14．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，故△ABC的面积的最大值为：．15．随机观测生产某种们零件的某工厂20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 2 0.10（30，35] 4 0.20（35，40] 5 0.25（40，45] m f m（45，50] n f n（1）确定样本频率分布表中m，n，f m和f n的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取3人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．解：（1）∵20名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，48，37，25，45，43，31，49，34，33，43，38，32，46，39，36．∴（40，50]区间内的频数m=6，（45，50]区间内的频数n=3，∴f m==0.3，f n==0.15．（2）由频率分布直方图，画出频率分布列如下图：（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35]的频率为0.2，设所取的3人中，日加工零件数落在区间（30，35]的人数为ξ，则ξ～B（3，0.2），P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.2）3=0.488．∴至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为0.488．16．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N．（1）在图中作出截面MADN，判断其形状并说明理由；（2）求直线CD与平面MADN所成角的正弦值．解：（1）∵M为SB的中点，过点M、A、D的截面MADN交SC于点N，∴N是SC中点，即取SC中点N，连结MN，DN，AM，则作出截面MADN．理由如下：∵M是SB中点，N是SC中点，∴MN∥BC，且MN=BC，∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1，∴AD∥BC，且AD=，∴MN AD，∴M、A、D、N四点共线，∴截面MADN是平行四边形．（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，C（2，2，0），D（1，0，0），B（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），A（0，0，0），=（﹣1，﹣2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），设平面MADN的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），设直线CD与平面MADN所成角为θ，则sinθ===．∴直线CD与平面MADN所成角的正弦值为．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线x+y﹣=0交C于A、B两点，线段AB的中点为（，）．（1）求C的方程；（2）在C上是否存在点P，使S△PAB=S？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知直线方程求得c值，再由“点差法”结合已知得到a2=2b2，结合隐含条件求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）求出过F1与直线x+y﹣=0平行的直线方程，与椭圆方程联立求得使S△PAB=S的点P的坐标，在验证直线x+y﹣=0的右上侧椭圆上不存在满足条件的P得答案．【解答】解：（1）由直线x+y﹣=0过F2，取y=0，得x=，即c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差可得：，化为，则，联立，解得a2=6，b2=3．∴椭圆C的方程为：；（2）如图，由（1）可得，F1（），过F1且与直线x+y﹣=0平行的直线方程为y=﹣1×（x+），即y=﹣x﹣，联立，解得或．∴椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S；再设与直线x+y﹣=0平行的直线方程为x+y=m，联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣6=0，由△=16m2﹣12（2m2﹣6）=72﹣8m2=0，解得m=±3，当m=3时，直线x+y=3与直线x+y﹣=0的距离为，而直线x+y+与直线x+y﹣=0的距离为，，∴直线x+y﹣=0的右上侧，椭圆上不存在点P，满足S△PAB=S．综上，椭圆上的两点P（0，﹣）、（）满足S△PAB=S．18．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣2时故函数在（1，+∞）上是增函数．（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负，故函数f（x）在[1，e]上是增函数．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时f'（x）=0，当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．所以此时有最值．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正，所以[f（x）]min=f（e）=a+e2．（3）由题意可化简得（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），利用导数判断其单调性求出最小值为g（1）=﹣1．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]19．已知曲线C：ρ=2cosθ，直线l：（t是参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：ρ=2cosθ，化为普通方程，然后转化为参数方程，消去参数可得直线l的普通方程．（2）（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d．则|PA|=，其中φ为锐角，且tan α=．利用正弦函数的单调性即可得出最值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ，可得ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1，曲线C的参数方程，，θ为参数．直线l：（t是参数）．消去参数t，可得：3x+4y﹣12=0．（2）曲线C上任意一点P（1+cosθ，sinθ）到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ﹣9|．则|PA|==|sin（θ+φ）﹣|，其中φ为锐角，且tan φ=．当sin（θ+φ）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+φ）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．。

专题1集合与常用逻辑用语1．（2016·高考全国卷乙)设集合A＝｛x｜x2－4x＋3＜0}，B＝{x｜2x－3＞0}，则A∩B＝( )A.错误! B。

错误!C。

错误!D。

错误!2．(2016·高考全国卷甲）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x ＋1)(x－2)＜0，x∈Z},则A∪B＝( )A．｛1｝B．{1,2｝C．{0，1,2，3} D．{－1,0,1,2，3}3．（2016·高考全国卷丙)设集合S＝｛x|（x－2）（x－3）≥0｝，T＝｛x|x＞0｝，则S∩T＝( )A．[2，3］B．(－∞，2]∪［3，＋∞)C．[3，＋∞）D．(0,2]∪[3，＋∞)4．(2016·高考山东卷）设集合A＝{y｜y＝2x，x∈R}，B＝｛x|x2－1＜0}，则A∪B＝（)A．（－1，1) B．(0，1)C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）5．（2016·高考浙江卷）命题“∀x∈R,∃n∈N＊，使得n≥x2”的否定形式是（)A．∀x∈R，∃n∈N＊，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N＊，使得n<x2D．∃x∈R,∀n∈N*，使得n<x26．（2016·高考北京卷）设a,b是向量．则“｜a｜＝｜b｜”是“|a＋b｜＝|a－b｜"的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件专题2函数1．(2016·高考全国卷乙)若a＞b＞1,0＜c＜1,则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．a log b c＜b log a c D．log a c＜log b c2．（2016·高考全国卷甲）已知函数f(x）(x∈R）满足f(－x）＝2－f(x)，若函数y＝错误!与y＝f（x)图像的交点为（x1，y1)，（x2，y2),…，(x m，y m)，则错误!(x i＋y i)＝（)A．0 B．mC．2m D．4m3．(2016·高考全国卷丙)已知a＝2错误!,b＝4错误!，c＝25错误!，则( )A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b4．(2016·高考四川卷）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )（参考数据：lg 1。

课时作业1．（2016·长春七校联考）已知函数f（x)＝｜x＋3|＋｜x－1｜,其最小值为t.（1)求t的值；(2）若正实数a，b满足a＋b＝t，求证:错误!＋错误!≥错误!.[解] （1)法一：因为f（x）＝错误!根据函数f（x）的图象分析可得f（x)的最小值为4，故t＝4。

法二：因为|x＋3｜＋｜x－1｜＝｜x＋3|＋｜1－x｜≥|x＋3＋1－x|＝4,可知f（x)min＝4,即t＝4。

法三：｜x＋3｜＋｜x－1｜表示数轴上的动点x到－3和1的距离之和,故|x＋3｜＋|x－1｜≥4，当且仅当－3≤x≤1时,取得最小值4，即t＝4。

(2）证明:由(1)得a＋b＝4，故错误!＋错误!＝1，错误!＋错误!＝错误!错误!＝错误!＋1＋错误!＋错误!≥错误!＋2错误!＝错误!＋1＝错误!，当且仅当b＝2a，即a＝错误!,b＝错误!时取等号．故错误!＋错误!≥错误!.2．（2016·高考全国卷甲）已知函数f（x）＝错误!＋错误!,M为不等式f（x）＜2的解集．(1）求M；(2)证明：当a,b∈M时,|a＋b｜＜|1＋ab｜。

［解］（1)f(x)＝错误!当x≤－错误!时，由f（x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1,所以－1＜x≤－错误!；当－错误!＜x＜错误!时,f（x）＜2恒成立；当x≥错误!时,由f(x）＜2得2x＜2，解得x＜1，所以错误!≤x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x｜－1＜x＜1}．(2）证明：由（1)知，当a,b∈M时,－1＜a＜1，－1＜b＜1,从而（a＋b）2－（1＋ab）2＝a2＋b2－a2b2－1＝（a2－1）（1－b2）＜0。

因此｜a＋b|＜｜1＋ab|.3．（2016·东北四市教研联合体)已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x－1｜－|x－2｜≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；(2)若m＞1，n＞1,且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m＋n的最小值．[解］（1)|｜x－1｜－|x－2|｜≤｜x－1－（x－2）｜＝1，所以｜x－1｜－｜x－2｜≤1,所以t的取值范围为（－∞，1］，T＝{t|t≤1}．所以log 3m ·log 3n ≥1，又m ＞1，n ＞1，所以log 3m ＞0，log 3n ＞0.又1≤log 3m ·log 3n ≤错误!错误!＝错误!（当且仅当log 3m ＝log 3n 时,取等号，此时m ＝n ),所以［log 3（mn ）]2≥4，所以log 3(mn ）≥2，mn ≥9，所以m ＋n ≥2错误!≥6，即m ＋n 的最小值为6（此时m ＝n ＝3)．4．（2016·哈尔滨四校联考)已知函数f （x ）＝|x ＋1｜,g （x )＝2｜x |＋a .(1）当a ＝－1时，解不等式f （x ）≤g (x )；(2）若存在x 0∈R ,使得f （x 0)≥错误!g （x 0)，求实数a 的取值范围． ［解] （1）当a ＝－1时,不等式f （x ）≤g （x ），即｜x ＋1|≤2｜x |－1,从而⎩⎨⎧x ≤－1，，－x －1≤－2x －1，即x ≤－1， 或错误!即－1＜x ≤－错误!，或错误!即x ≥2。

课时作业1．设集合A＝｛－1，0，2｝，集合B＝{－x|x∈A且2－x∉A｝，则B＝（)A．｛1｝ B．｛－2｝C．{－1,－2} D．｛－1,0}A [解析] 当x＝－1时,2－x＝3∉A,此时－x＝1∈B,当x＝0时，2－0＝2∈A，当x＝2时，2－2＝0∈A，所以B＝｛1｝．2．（2016·湖北七市（州）协作体联考）已知a，b为两个非零向量，设命题p：|a·b|＝｜a|｜b｜，命题q：a与b共线，则命题p是命题q成立的（)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C ［解析] ｜a·b|＝|a||b|⇔｜a|｜b||cos〈a，b〉｜＝｜a|·｜b|⇔cos〈a，b>＝±1⇔a∥b,故是充要条件,选C。

3．(2016·河南八市重点高中质检）已知全集U为R，集合A＝｛x|x2〈16}，B＝｛x｜y＝log3(x－4)}，则下列关系正确的是( ）A．A∪B＝R B．A∪(∁U B)＝RC．(∁U A)∪B＝R D．A∩(∁U B）＝AD [解析] 因为A＝｛x｜－4<x<4}，B＝{x｜x>4｝，所以∁U B ＝{x｜x≤4}，所以A∩(∁U B)＝A,故选D。

4．（2016·西安第一次质检)已知命题p：∃x∈R，log2（3x＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p:∀x∈R，log2（3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p:∀x∈R，log2（3x＋1）>0C．p是真命题;綈p：∀x∈R，log2(3x＋1）≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2（3x＋1)>0B ［解析] 因为3x〉0,所以3x＋1>1,则log2（3x＋1）〉0，所以p 是假命题；綈p：∀x∈R,log2（3x＋1）>0.5．已知全集U＝｛x∈Z｜0<x<10},集合A＝{1，2，3,4｝，B＝｛x｜x＝2a，a∈A}，则(∁U A）∩B＝( )A．{6，8｝B．｛2，4}C．{2，6,8} D．｛4，8｝A ［解析］法一：由已知得全集U＝｛1，2，3，4,5，6,7,8，9｝，所以∁U A＝{5,6，7，8,9｝，而B＝{2，4，6，8｝，故(∁U A)∩B ＝{6，8}，所以选A.法二：因为2,4∈A，所以2,4∉∁U A，故2，4∉(∁U A)∩B，所以排除B、C、D，所以选A.6．(2016·安徽五校第三次联考）若定义域为R的函数f(x）不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（－x）≠f(x)B．∀x∈R,f(－x）＝－f（x）C．∃x0∈R，f(－x0）≠f(x0)D．∃x0∈R，f（－x0）＝－f(x0）C ［解析] 定义域为R的偶函数的定义：∀x∈R，f（－x)＝f(x），这是一个全称命题，所以它的否定为特称命题：∃x0∈R，f（－x0)≠f （x0），故选C.7．(2016·高考天津卷）设｛a n}是首项为正数的等比数列,公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n〈0”的（) A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件C [解析] 由题意得，a n＝a1q n－1(a1〉0）,a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n －1＝a1q2n－2(1＋q）．若q〈0，因为1＋q的符号不确定,所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n〈0,即a1q2n－2(1＋q)〈0,可得q<－1〈0。

课时作业［基础达标]1．“0<a〈1”是“ax2＋2ax＋1〉0的解集是实数集R”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A ［解析] 当a＝0时，1〉0，显然成立；当a≠0时，错误!故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，等价于0≤a〈1。

因此，“0〈a<1"是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R"的充分不必要条件．2．（2016·河南六市第一次联考)若错误!〈错误!<0,则下列结论不正确的是( )A．a2〈b2B．ab〈b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>｜a＋b｜D ［解析] 由题可知b〈a<0，所以A，B，C正确，而|a｜＋|b|＝－a－b＝｜a＋b|，故D错误，选D.3．已知对任意的a,b∈R，满足a≠b且a＋b＝2，若集合A＝{x|ab 〈x〈m}非空,则m的取值范围为（）A．(－∞,1）B．（－∞，1]C．（1,＋∞）D．[1，＋∞)D [解析] 由题意可得m〉（ab）max，又ab〈错误!错误!＝1(a≠b)，所以m≥1。

4．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x｜－1〈x〈3｝，那么对于函数f(x）＝ax2＋bx＋c应有( ）A．f（5）<f(－1）〈f（2）B．f(－1）<f(5）<f(2)C．f（－1）<f（2）〈f(5) D．f（2)<f（－1)<f(5)A [解析] 由题意知a〈0，且ax2＋bx＋c＝0对应的两根分别为x1＝－1和x2＝3，f（x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝1，所以f （5)<f(－1）〈f(2)．5．(2016·河北“五校联盟"质检）已知变量x,y满足约束条件错误!，则z＝2x＋y的最大值为( )A．1 B．3C．4 D．8B [解析] 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，在可行域内平移直线y＝－2x,当其过A(1，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值为2×1＋1＝3,故选B。

课时作业 [基础达标]1．已知f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．－3A [解析] 因为f (x )＝x ＋1x －1，所以f (a )＝a ＋1a －1＝2，所以a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a－1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4，故选A. 2．(2016·石家庄教学质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |B [解析] A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．(2016·湖北七市(州)协作体联考)T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥TT ，f （x ）<T ，若f (x )＝x －ln x ，则f 3[f 2(e)]的值为( )A ．e －1B ．eC ．3D ．e ＋1C [解析] 由题意得，f (e)＝e －1<2，所以f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln 2<3，所以f 3[f 2(e)]＝3，故选C.4．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )A [解析] 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B.当x ∈(0，1)时，x －1＜0，ln x ＜0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除D ；当x ∈(1，＋∞)时，x －1＞0，ln x ＞0，所以(x －1)ln x ＞0，可排除C.选A.5．设函数f (x )＝log 2(3x －1)，则使得2f (x )>f (x ＋2)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－53，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ A [解析] 因为f (x )＝log 2(3x －1)，2f (x )>f (x ＋2)，所以2log 2(3x －1)>log 2(3x ＋5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧（3x －1）2>3x ＋53x －1>03x ＋5>0，解得x >43，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg （－x ），x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( ) A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016C [解析] 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 984)＝f (2 016－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ⎝⎛⎭⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝4，故选C. 7．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f (x )，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<0，则( )A ．f (－2)<f (1)<f (3)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (3)<f (1)<f (－2)D ．f (1)<f (－2)<f (3)B [解析] 因为∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，所以f (x )在[0，＋∞)上为减函数，因为f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，故f (3)<f (－2)<f (1)，故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |x >－1且x ≠0} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x ≤0或x >12D [解析] 因为x >0时， f (x )＝log 2x ＋a ， 所以f (4)＝2＋a ＝3， 所以a ＝1.所以不等式f (x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 2x ＋1>0，即x >12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋1>0，即－1<x ≤0，所以f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或－1<x ≤0.9．已知函数f (x )＝e |ln x |－|x －1x|，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )A [解析] 据已知关系式可得 f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x （0<x ≤1），e ln x －⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x （x >1），作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．10．(2016·重庆第一次适应性测试)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1C [解析] 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋4)．当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )；当0≤x <2时，f (x )＝2x －1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．630B ．1 260C ．2 520D ．3 780B [解析] 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数f (x )的周期为4. 当－2≤x <0时，f (x )＝log 2(－x )； 当0≤x <2时，f (x )＝2x －1.所以f (1)＝20＝1，f (2)＝f (－2)＝log 22＝1， f (3)＝f (－1)＝log 21＝0，f (4)＝f (0)＝2－1＝12.所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋1＋0＋12＝52，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504×52＝1 260，故选B.12．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值C [解析] 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|<g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值．13．(2016·西安第一次质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >03x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． [解析] 由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. [答案]10914．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x－(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．[解析] 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12.[答案] ⎣⎡⎭⎫－1，12 16．函数y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0<b <－a ，已知y ＝f (x )无零点，设函数F (x )＝f 2(x )＋f 2(－x )，则对于F (x )有如下四个说法：①定义域是[－b ，b ]；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增．其中正确的是________．[解析] 由题意可知，f 2(x )的定义域为[a ，b ]，f 2(－x )的定义域为[－b ，－a ]，所以F (x )的定义域为[－b ，b ]，①正确；又F (－x )＝F (x )，②正确；因为y ＝f (x )是定义在[a ，b ]上的增函数且无零点，所以f 2(x )>0，f 2(－x )>0，所以F (x )>0，③错误；因②正确，所以F (x )在定义域内不可能单调递增，④错误． [答案] ①②[能力提升]1．(2016·东北四市联考(二))已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若|f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x |2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)C [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以|f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x |2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.2.将边长为2的等边△P AB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，关于函数y ＝f (x )有下列说法：①f (x )的值域为[0，2]； ②f (x )是周期函数； ③f (－1.9)<f (π)<f (2 019)． 其中正确的说法个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [解析] 根据题意画出顶点P (x ，y )的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，①f (x )的值域为[0，2]，正确；②f (x )是周期函数，周期为6，②正确； ③由于f (－1.9)＝f (4.1)， f (2 019)＝f (3)； 而f (3)<f (π)<f (4.1)，所以f (－1.9)>f (π)>f (2 019)；故③不正确．3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．[解析] 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. [答案] 14．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．[解析] 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数， 且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)． [答案] (－2，0)∪(0，2)。