河北省石家庄二中2017届高三下学期第三次模拟考试理科

二、选择题（本大题共8小题，每小题6分，其中14～17小题只有一项符合题目要求； 18~21小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得3分，有选错的得0分）14.下列说法正确的址( )A。

伽利略研究落体运动时，为了“冲淡”重力，做了理想斜面实验B.居里夫人首先发现的天然放射现象说明原子核具有复杂结构C。

原子核发生a衰变或β衰变时产生的新核由高能级向低能级跃迁时产生γ射线D.原了核内任意两个核子之间都存在核力作用15.如图所示，a，b两条曲线分别是汽车甲、乙在同一条平直公路上运动的v-t图象。

己知在t2时刻两车相遇，下列说法正确的是（)A.t1时刻两车也相遇B。

t1时刻甲车的速度比乙大C。

甲车加速度先增大后减小。

乙车加速度先减小后增大D. t1时刻乙车在前，甲车在后16。

2016年10月17日，我国用长征二号FY11运载火衡将“神舟十一号”飞船送入预定转移轨道。

关于火箭发射.下列说法正确的是（)A.火箭刚离开发射架时，火箭处于失重状态B.火箭刚离开发射架时,火箭处于超重状态C.火箭发射时，喷出的高速气流对火药的作用力大于火箭对气流的作用力D。

火箭喷出气体的质量与火箭本身质量之比越大，火箭获得的速度越小17.汽车在平宜公路上以速度v o匀速行驶，t1时刻司机减小油门使汽车的功率立即减小一半,并保持该功率继续行驶。

到t2时刻，汽车又恢复了匀速行驶(设整个过程中汽车所受的阻力大小不变）.以下哪副图像描述了汽车速度随时间变化正确的是（)18。

己知金属钙的逸出功为3。

2 eV，氢原子的能级图如图所示,一群氢原子处于量子数n=3能级状态,则（)A。

这群氢原子可能辐射出2种频率的光B.这群氢原子可能辐射出3种频率的光C.辐射出的光中有2种频率的光能使钙发生光电效应D辐射出的光中有3种频率的光能使钙发生光电效应19。

为了验证月球围绕地球转需要的向心力与地球表面使苹果下落的力是同一性质的力，牛顿进行了著名的月一地检验。

河北省石家庄二中2017届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,选B.2. 若复数是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】对应点为,在第二象限,选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 某校为了解名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取名同学进行检査，将学生从进行编号，现已知知第组抽取的号码为，則第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C．考点：系统抽样法4. 正项等比数列中，，则的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得,选B.点睛：1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am ·an＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】A...【解析】当时，（舍）；当时，，选A.6. 斐波那契数列是数学史上一个著名的数列，定义如下：，某同学设计了一个求解斐波那契数列前项和的程序框图，那么在判断框内应分别填入的语句是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】第一次循环：，应进行循环（此时为前3项和），所以去掉A,D;直至结束循环，即，选B.7. 函数的部分图象如图所示，其中两点之间的距离为，则的递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，，即，，又，，所以，，，故选B．8. 在—次实验中，同时抛掷枚均匀的硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的方差是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛掷枚均匀的硬币次，正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率为 ,因为,所以的方差是，选A.9. 是展开式的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】展开式的常数项为，选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体最长的棱长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体为如图四面体ABCD,其中最长的棱长AC 为正方体对角线，选D.11. 已知双曲线的渐近线方程为 ，左右焦点分别为为双曲线 的一条渐近线上某一点，且 ，则双曲线的焦距为（ ）...A.B.C. D.【答案】B 【解析】由题意得，选B.12. 已知函数，则函数的零点个数是 个时，下列选项是 的取值范围的子集的是（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】当时，，当 时， ，令 则,显然是一个零点，当与相切时，；直线过点时；直线与必有一个交点当时，的根有三个，而对应的解有1,3,3个，不满足，所以舍去B；当时，的根有两个，而对应的解有1,3个,满足条件；当时，的根有三个，而对应的解有1,2,3个，不满足，所以舍去D；当时，的根可能四个，而对应的解有1,0,3，2个，不满足，所以舍去C；综上选A.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.考点：定积分的计算.14. 已知变量满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,而表示可行域内点P 到定点距离的平方减去2,所以最小值为点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15. 已知为所在平面上一点，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意得为重心,所以,即的最小值为16. 如图所示的“数阵”的特点是：毎行每列都成等差数列，则数字在图中出现的次数为 __________．【答案】【解析】共9个三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，角的对边分别为 , .（1）求角的大小；（2）若为外一点，，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得即得，.（2），由余弦定理得，将数据代入可得，利用配角公式得，最后根据三角形有界性可得四边形的面积最大值。

河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）答 案1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 13．240 1415．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．217．解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()1121,424202,4n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ．又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=---． 111111*********-1ni KT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑K ． 18．证明：（Ⅰ）因为,A B 是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为,,DB AB DB BC AB BC B ⊥⊥=I 所以DB ⊥平面ABC ,又EA DB ∥, 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AM EA A =I ,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE ==． 故())()()0,1,0,,0,1,2,0,1,1B CD E -．于是)()()()1,0,0,0,2,,BC BD CE CD =-==-=u u u r u u u r u u u r u u u v1,1设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为()(),,,,,m x y z n a b c ==u r r,由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩u v u u u vg u v u u u v g ,令1x =,得()m =u v ．由-020n CE b c n CD b c ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩v u u u vgv u u u v g ,令1a =,得1,n ⎛= ⎝⎭v , 所以cos ,0m n <>=u v v所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人； （Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且,B C 为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||XY ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3； ()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=； ()()()()()10,11,01,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123=32056010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b =由题意的离心率3c e a ==解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+, 由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩,可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0∆=,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-, 由直线PQ 过椭圆右焦点为()2,0F ,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k==---； 而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==： ()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．②由()1,FM t =u u u u v ,222326,1313km k mFP k k ⎛⎫---=⎪++⎝⎭u u u v ,则22326013mt km k FM FP k ---==+u u u u v u u u v g , 即FM PF ⊥, ∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,2,,,,x ty P x y Q x y =-+ 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣,则)2213t PQ t +=+丨丨,则PQM S =△令()23,0t mm +=＞,则PQMS =△由函数的单调性可知：y =单调递增, 故PQM S =△,当0t =时,PQM △．∴PQM △． 21．解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =； 又()()()2216ln 31,,0x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>所以,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0,y y '<单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12,x x 是()g x 的两个极值点,故12,x x 是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <Q ,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤．所以()()()()2211212121112211111lnln 0222x g x g x x x x x x x x x x e ⎛⎫-=--+<≤ ⎪⎝⎭=-+ 令()222111ln ,0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦-,()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以2212,22e k e ≤--即221222max e k e=--．22．解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=, 与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα, 同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α=g,在π4π,6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以||||OP OQ g的最大值是23．解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336,x +≤故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]0,3．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+Q ,2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22,∴x＞2,∴B=（2,+∞）,∵x2﹣4x+3＜0,∴（x﹣3）（x﹣1）＜0,解得1＜x＜3,∴A=（1,3）,∴A∩B=（2,3）,故选：D2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i,∴z+i=﹣2﹣zi,化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B3．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即可得出结论．【解答】解：由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即（﹣2cosθ,﹣2sinθ）,故选C4．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1,c＞1,∴ac＜bc,abc＞bac,∴logab＞logba,logac＞logbc,故选：B5．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时,第1次执行循环体后,x=2015,输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后,x=2013,输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后,x=2011,输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后,x=3,输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后,x=1,输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后,x=﹣1,输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后,x=﹣3,输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1,输出y=28,故选：C6．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞,小鼠打了1++=1尺长的洞,x=2+=2天,故选：A7．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中,画出f（1）＞0对应的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0,即a﹣b＞1,如图,A（1,0）,B（4,0）,C（4,3）,S△ABC=,P==,故选：B8．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2•）=,故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q （+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,求得n的最小值值,可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（,m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到,∴m=sin（2•）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q（+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=,∴应有2n﹣=,∴n=,则mn的最小值为,故选：B9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．进而得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1,1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得结论．【解答】解：依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得483．故选D11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（b,yM）,由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即a4=（c2﹣a2）c2,有e4﹣e2﹣1=0,得e=．故选B12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性,求出极值,得出方程f（x）=t的解的情况,得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间,利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=,∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时,f′（x）＞0,当1＜x＜e时,f′（x）＜0,∴f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,e）上单调递减,在（e,+∞）上单调递增,作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t,则当0＜t＜e时,方程f（x）=t有1解,当t=e时,方程f（x）=t有2解,当t＞e时,方程f（x）=t有3解,∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0,恰好有4个不相等的实数根,∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0,e）和（e,+∞）上各有一解,∴,解得e﹣1＜m＜e．故选C．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为4,求出r的值,将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx,令得18﹣r=4,解得r=4,∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240,故答案为：240．14．【考点】向量的模．【分析】求出+2,求出|+2|的解析式,根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°,sin5°）,=（cos65°,sin65°）,则+2=（cos5°+2cos65°,sin5°+2sin65°）,则|+2|===,故答案为：．15．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6,x＞t,知x＞t时,f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调,必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x,f'（x）=6x2﹣6,x＞t当6x2﹣6＞0时,即x＞1或x＜﹣1,此时f（x）=2x3﹣6x,为增函数当6x2﹣6＜0时,﹣1＜x＜1,∵x＞t,∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0,∴a≤．故a 的取值范围是（﹣∞,]． 故答案为：（﹣∞,]．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM =θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,继而可得=,问题得以解决【解答】解：设∠DBM =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =﹣2θ,∠AMB =﹣2θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,∴===,从而MA =2, 故答案为：2．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()11214242024n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ,．，又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=-+-． 111111*********-1ni nT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑K ． 18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC 是等边三角形,从而CM ⊥AB ,再由DB ⊥AB ,DB ⊥BC ,知DB ⊥平面ABC ,又EA ∥DB ,从而EA ⊥平面ABC ,进而CM ⊥EA ．由此CM ⊥平面EAM ．进而能证明CM ⊥EM ．（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角B ﹣CD ﹣E 的平面角． 【解答】证明：（Ⅰ）因为A B ，是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为DB AB DB BC AB BC B ⊥⊥=I ,, 所以DB ⊥，平面ABC ,又//EA DB , 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AM EA A =I ,所以CM ⊥平面EAM ． 因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE ==． 故())()()0,1,00,1,20,1,1B CD E -，，，．于是)()()()100,0,2BC BD CE CD =-==-=u u u r u u u r u u u r u u u v，，,1,1,设平面BCD ，与平面CDE 的法向量分别为()(),,,m x y z n a b c ==u r r,,, 由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩u v u u u vg u v u u u v g ,令1x =,得()m =u v ．由-020n CE b c n CD b c ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩v u u u v g v u u u v g ,令1a =,得1,33n ⎛= ⎝⎭v , 所以cos 0m n <>=u v v,所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数,利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人,记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值,就是概率,即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且B C，为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||XY ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3； ()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=；()()()()()10,1101,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯，121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123320560E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由b =,椭圆的离心率公式,即可求得a 和c 的值,求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,分别求得kOM ,kPQ ,即可求得kOM •为定值； ②设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式,求得S △PQM =•,根据函数的单调性即可求得△PQM 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b ==,由题意的离心率c e a ==解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+, 由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩,可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0=△,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-,由直线PQ 过椭圆右焦点为()20F ，,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==：()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．①由()1FM t =u u u u v ，,222326,1313km k mFP k k ⎛⎫---=⎪++⎝⎭u u u v ,则22326013mt km k FM FP k ---==+u u u u v u u u v g , 即FM PF ⊥, ∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,,2x ty P x y Q x y =-+，，， 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣ ,则)2213t PQ t +==+丨丨,则PQM S =△令()23,0t m m+=＞,则PQMS =△, 由函数的单调性可知：y =单调递增,故PQMS =△,当0t =时,PQM △．∴PQM △． 21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数,求出g （x1）﹣g （x2）的解析式,令h （x ）=lnx2﹣x2+,x ∈（0,],根据函数的单调性求出k 的最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 310x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>，所以，,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当6x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,0y y '<，单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12x x ，是()g x 的两个极值点,故12x x ，是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <Q ,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++-'=，令()222111ln 0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝-⎦，()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以221222e k e ≤--，即221222max e k e=--．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得：ρ=,即|OP |=,同理可得|OQ |=2sinα．求出|OP |•|OQ |=,在α∈[,]上单调递减,即可求|OP |•|OQ |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=,与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α•=,在π4π6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以||||OP OQ •的最大值是23．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a =3时,不等式即|2x ﹣3|+3≤6,可得﹣3≤2x ﹣3≤3,由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|≥2a2﹣13恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|的最小值为|1﹣a |+a ,可得|1﹣a |+a ≥2a2﹣13,分类讨论,去掉绝对值,求得a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336x +≤，故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]03,． （Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+Q2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦。

河北省石家庄市2017届高三一模考试理科数学试卷（B 卷）答 案一、选择题1~5．DDCDB 6~10．ADBDB 11~12．AB二、填空题13．0n ∃∈N ，0202n n ≥14．102415．1316．7a -＞三、解答题17．解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a b a b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈， ∴π3B =． （Ⅱ）在ABC △中由余弦定理知：222(2)22cos603c a a c +-︒=，∴2(2)932a c ac +-=， ∵222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-+≤，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号， 所以2a c +的最大值为6．18．（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB AD ADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =， 解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =，2BD =，∴222DB SD BS +=，∴SD BD ⊥，∵BD ⊄平面SAD ，SD AD D =，∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(C -， 则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(3)SC =--，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1,n =，∴121253cos ||||137n n n n θ===-．19．解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0，1，2，3，4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种， 当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =． 故41(2)246P Y ==≤． 20．解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-， 11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y m =+，由22,22,y m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m xm -=+，得221)1E m x m-=+，① 同理可得D x ，∵1m n =-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+=② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-，∴E D E Dy yx x =，∴E ，O ，D 三点共线．21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞， 由题意222'()2,111a x x a f x x x x x-+-=-=--＜， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立，则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数； ②若480a ∆=-＞，即12a ＜，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x ，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x ＜，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x ＞，所以函数()f x 单调递增，不符合题意． 综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x ＜上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x ＜有两个不等的实根1x ，2x ， 于是102a ＜＜，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-， 同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---， 令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈． []22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -＜，∴[]2ln (1)0x x --＞， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+-＞，∴'()0g x ＞，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增， 所以1()()02g x g =＞，即1221()()0f x f x x x -＞，得证． 22．解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ=+=+，且cos ϕ=sin ϕ=， 所以，当π2π2k θϕ+=+（k ∈Z ）时，l 取最大值， 此时π2π2k θϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==，sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =． 23．解：（Ⅰ）当2a -＜时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-⎧⎪=++-=----⎨⎪-+-⎩＜≤≤＞ 可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-+--=++≥， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立，所以，当2a -＜时，x 的取值范围是{}|2x a x -≤≤；当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a -＞时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。

2017年河北省石家庄二中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（1，3） D．（2，3）2．若复数z满足=i，则|+1|=（）A．B．C．D．13．已知点M在角θ终边的延长线上，且|OM|=2，则M的坐标为（）A．（2cosθ，2sinθ） B．（﹣2cosθ，2sinθ）C．（﹣2cosθ，﹣2sinθ）D．（2cosθ，﹣2sinθ）4．若0＜a＜b＜1，c＞1，则（）A．a c＞b c B．ab c＞ba c C．log a b＜log b a D．log a c＜log b c5．根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y为28，则判断框中的条件可以是（）A．x≥0？B．x≥1？C．x≥﹣1？D．x≥﹣3？6．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？（）A．2 B．2 C．2 D．2.257．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣b，若a，b都是从[0，4]上任取的一个数，则满足f（1）＞0时的概率（）A．B．C．D．8．函数y=sin2x图象上的某点P（，m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到，则mn的最小值为（）A． B． C．D．9．如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．2+2+B．4+2+C．4+4+D．2++10．某计算器有两个数据输入口M1，M2一个数据输出口N，当M1，M2分别输入正整数1时，输出口N输出2，当M1输入正整数m1，M2输入正整数m2时，N的输出是n；当M1输入正整数m1，M2输入正整数m2+1时，N的输出是n+5；当M1输入正整数m1+1，MM2输入正整数m2时，N的输出是n+4．则当M1输入60，M2输入50时，N的输出是（）A．494 B．492 C．485 D．48311．已知直线l1与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且AB 中点M的横坐标为b，过M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知，若关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0，恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（e﹣1，e）D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知二项式展开式中，则x4项的系数为．14．已知向量=（cos5°，sin5°），=（cos65°，sin65°），则|+2|=．15．已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是．16．已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|=．三、解答题17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S n﹣4S n﹣1﹣2=0（n≥2，n∈Z）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，T n为{b n}的前n项和，求证＜2．18．已知△PDQ中，A，B分别为边PQ上的两个三等分点，BD为底边PQ上的高，AE∥DB，如图1，将△PDQ分别沿AE，DB折起，使得P，Q重合于点C．AB 中点为M，如图2．（Ⅰ）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．19．某中学高二年级开设五门大学选修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理、商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：其中选修数学学科的人数所占频率为0.6．为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析．（Ⅰ）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人，记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，右焦点为F．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l过点M（3，t）且与椭圆C有且仅有一个公共点P，过点P作直线PF交椭圆于另一个点Q．①证明：当直线OM与直线PQ的斜率k OM，k PQ均存在时，k OM k PQ为定值；②求△PQM面积的最小值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求函数y=f（x）+xf′（x）（f′（x）为f（x）的导函数）的单调递增区间；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）+x2﹣（1+b）x，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥﹣1，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别是（t是参数）和（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（α∈[，]）与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥2a2﹣13，求a的取值范围．2017年河北省石家庄二中高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（1，3） D．（2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22，∴x＞2，∴B=（2，+∞），∵x2﹣4x+3＜0，∴（x﹣3）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜3，∴A=（1，3），∴A∩B=（2，3），故选：D2．若复数z满足=i，则|+1|=（）A．B．C．D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i，∴z+i=﹣2﹣zi，化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B．3．已知点M在角θ终边的延长线上，且|OM|=2，则M的坐标为（）A．（2cosθ，2sinθ） B．（﹣2cosθ，2sinθ）C．（﹣2cosθ，﹣2sinθ）D．（2cosθ，﹣2sinθ）【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意，M的坐标为（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即可得出结论．【解答】解：由题意，M的坐标为（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即（﹣2cosθ，﹣2sinθ），故选C．4．若0＜a＜b＜1，c＞1，则（）A．a c＞b c B．ab c＞ba c C．log a b＜log b a D．log a c＜log b c【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，c＞1，∴a c＜b c，ab c＞ba c，∴log a b＞log b a，log a c＞log b c，故选：B5．根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y为28，则判断框中的条件可以是（）A．x≥0？B．x≥1？C．x≥﹣1？D．x≥﹣3？【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时，第1次执行循环体后，x=2015，输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后，x=2013，输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后，x=2011，输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后，x=3，输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后，x=1，输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后，x=﹣1，输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后，x=﹣3，输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1，输出y=28，故选：C．6．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？（）A．2 B．2 C．2 D．2.25【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺，小鼠打1+尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5．第三天，大鼠打4尺，小鼠打尺，因此第三天相遇．设第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5﹣y尺，则=，解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺，小鼠打1+尺，因此前两天两鼠共打3+1.5=4.5．第三天，大鼠打4尺，小鼠打尺，因此第三天相遇．设第三天，大鼠打y尺，小鼠打0.5﹣y尺，则=，解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞，小鼠打了1++=1尺长的洞，x=2+=2天，故选：A．7．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣b，若a，b都是从[0，4]上任取的一个数，则满足f（1）＞0时的概率（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中，画出f（1）＞0对应的区域，和a、b都是在区间[0，4]内表示的区域，计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0，即a﹣b＞1，如图，A（1，0），B（4，0），C（4，3），S△ABC=，P==，故选：B．8．函数y=sin2x 图象上的某点P （，m ）可以由函数y=cos （2x ﹣）上的某点Q 向左平移n （n ＞0）个单位长度得到，则mn 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin （2•）=，故把函数y=sin2x 图象上的点P （，），向右平移n 个单位，可得Q （+n ，），根据Q 在函数y=cos （2x ﹣）的图象上，求得n 的最小值值，可得mn 的最小值．【解答】解：函数y=sin2x 图象上的某点P （，m ）可以由函数y=cos （2x ﹣）上的某点Q 向左平移n （n ＞0）个单位长度得到，∴m=sin （2•）=．故把函数y=sin2x 图象上的点P （，），向右平移n 个单位，可得Q （+n ，），根据Q 在函数y=cos （2x ﹣）的图象上，∴m=cos [2（+n ）﹣]=cos （2n ﹣）=，∴应有 2n ﹣=，∴n=，则mn 的最小值为，故选：B ．9．如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．2+2+ B ．4+2+ C ．4+4+ D ．2++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P ﹣ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在平面PAB 内，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，连接CD ，CD ⊥AD ．进而得出． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P ﹣ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在平面PAB 内，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，连接CD ，CD ⊥AD ．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A ．10．某计算器有两个数据输入口M 1，M 2一个数据输出口N ，当M 1，M 2分别输入正整数1时，输出口N 输出2，当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2时，N 的输出是n ；当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2+1时，N 的输出是n +5；当M 1输入正整数m 1+1，MM 2输入正整数m 2时，N 的输出是n +4．则当M 1输入60，M 2输入50时，N 的输出是（ ） A ．494 B ．492 C ．485 D ．483 【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f （m 1，m 2）=f （m 1，m 2﹣1）+5×1=f （m 1，1）+5×（m 2﹣1）=f （m 1﹣1，1）+4×1+5×（m 2﹣1）=…=f （1，1）+4×（m 1﹣1）+5×f （m 1，1），将m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得结论．【解答】解：依题记f（m1，m2）=f（m1，m2﹣1）+5×1=f（m1，1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1，1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1，1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1），将m1=60，m2=50，f（1，1）=2，代入得483．故选D．11．已知直线l1与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）交于A，B两点，且AB 中点M的横坐标为b，过M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k==，化简得a2=bc，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（b，y M），由A，B代入双曲线方程，作差整理可得k==，化简得a2=bc，即a4=（c2﹣a2）c2，有e4﹣e2﹣1=0，得e=．故选B．12．已知，若关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0，恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（e﹣1，e）D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性，求出极值，得出方程f（x）=t的解的情况，得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间，利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=，∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时，f′（x）＞0，当1＜x＜e时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t，则当0＜t＜e时，方程f（x）=t有1解，当t=e时，方程f（x）=t有2解，当t＞e时，方程f（x）=t有3解，∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0，恰好有4个不相等的实数根，∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0，e）和（e，+∞）上各有一解，∴，解得e﹣1＜m＜e．故选C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知二项式展开式中，则x4项的系数为240．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为4，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数=C6r（﹣2）r x，【解答】解：展开式的通项为T r+1令得18﹣r=4，解得r=4，∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240，故答案为：240．14．已知向量=（cos5°，sin5°），=（cos65°，sin65°），则|+2|=．【考点】向量的模．【分析】求出+2，求出|+2|的解析式，根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°，sin5°），=（cos65°，sin65°），则+2=（cos5°+2cos65°，sin5°+2sin65°），则|+2|===，故答案为：．15．已知函数f（x）=，无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上总是不单调，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6，x＞t，知x＞t时，f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间，从而要使无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调，必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x，f'（x）=6x2﹣6，x＞t当6x2﹣6＞0时，即x＞1或x＜﹣1，此时f（x）=2x3﹣6x，为增函数当6x2﹣6＜0时，﹣1＜x＜1，∵x＞t，∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0，∴a≤．故a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|=2．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，继而可得=，问题得以解决【解答】解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=﹣2θ，∠AMB=﹣2θ，在△CDA中，由正弦定理可得=，在△AMB中，由正弦定理可得=，∴===，从而MA=2，故答案为：2．三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，S n ﹣4S n ﹣1﹣2=0（n ≥2，n ∈Z ）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）令b n =log 2a n ，T n 为{b n }的前n 项和，求证＜2．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥3时，可得S n ﹣4S n ﹣1﹣2﹣（S n ﹣1﹣4S n ﹣2﹣2）=0（n ≥2，n ∈Z ）．∴a n =4a n ﹣1，又因为a 1=2，代入表达式可得a 2=8，满足上式．所以数列{a n }是首项为a 1=2，公比为4的等比数列，故：a n =2×4n ﹣1=22n ﹣1． （Ⅱ）证明：b n =log 2a n =2n ﹣1．T n ==n 2．n ≥2时，=＜=．≤1++…+=2﹣＜2．18．已知△PDQ 中，A ，B 分别为边PQ 上的两个三等分点，BD 为底边PQ 上的高，AE ∥DB ，如图1，将△PDQ 分别沿AE ，DB 折起，使得P ，Q 重合于点C ．AB 中点为M ，如图2． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；（Ⅱ）若直线DM 与平面ABC 所成角的正切值为2，求二面角B ﹣CD ﹣E 的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC是等边三角形，从而CM⊥AB，再由DB⊥AB，DB⊥BC，知DB⊥平面ABC，又EA∥DB，从而EA⊥平面ABC，进而CM⊥EA．由此CM ⊥平面EAM．进而能证明CM⊥EM．（Ⅱ）以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的平面角．【解答】证明：（Ⅰ）因为A，B是PQ的三等分点，所以PA=AB=BQ=CA=CB，所以△ABC是等边三角形，又因为M是AB的中点，所以CM⊥AB．因为DB⊥AB，DB⊥BC，AB∩BC=B，所以DB⊥平面ABC，又EA∥DB，所以EA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以CM⊥EA．因为AM∩EA=A，所以CM⊥平面EAM．因为EA⊂平面EAM，所以CM⊥EM．解：（Ⅱ）以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz．因为DB⊥平面ABC，所以∠DMB为直线DM与平面ABC所成角．由题意得tan，即BD=2MB，从而BD=AC．不防设AC=2，又AC+2AE，则CM=，AE=1．故B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，2），E（0，﹣1，1）．于是=（，﹣1，0），=（0，0，2），=（﹣），=（﹣，1，2），设平面BCD与平面CDE的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），由，令x=1，得=（1，，0）．由，令a=1，得=（1，﹣，），所以cos＜＞=0．所以二面角B﹣CD﹣E的平面角大小为90°．19．某中学高二年级开设五门大学选修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理、商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：其中选修数学学科的人数所占频率为0.6．为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析．（Ⅰ）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人，记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求随机变量ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数，利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人，记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值，就是概率，即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6，即，可得：x=180，又x+180+120+60+y=600，所以y=60，则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：10×=3人；选修微积分的人数为：10×=3人；选修大学物理的人数为：人；选修商务英语的人数为：人；选修文学写作的人数为：人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有种选法，且每种选法可能性都相同，令事件A：选中的3人至少两人选修线性代数，事件B：选中的3人有两人选修线性代数，事件C：选中的3人都选修线性代数，且B，C为互斥事件，P（A）=P （B）+P（C）=+=．（Ⅱ）记X为3人中选修线性代数的代数，X的可能取值为0，1，2，3，记Y 为3人中选修微积分的人数；Y的可能取值也为0，1，2，3，则随机变量ξ=|X ﹣Y|的可能取值为0，1，2，3；P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）=；P（ξ=1）=P（X=0，Y=1）+P（X=1，Y=0）+P（X=1，Y=2）+P（X=2，Y=1）=2×=，P（ξ=2）=P（X=0，Y=2）+P（X=2，Y=0）=2×=，P（ξ=3）=P（X=0，Y=3）+P（X=3，Y=0）=2×=；所以ξ的分布列为：所以Eξ=．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，右焦点为F．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l过点M（3，t）且与椭圆C有且仅有一个公共点P，过点P作直线PF交椭圆于另一个点Q．①证明：当直线OM与直线PQ的斜率k OM，k PQ均存在时，k OM k PQ为定值；②求△PQM面积的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由b=，椭圆的离心率公式，即可求得a和c的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，分别求得k OM，k PQ，即可求得k OM•为定值；=②设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式，求得S△PQM •，根据函数的单调性即可求得△PQM面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：2b=2，b=，由题意的离心率e===，解得：a2=6，则c2=a2﹣b2=4，故椭圆方程为：；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程：y=kx+m，由点M（3，t）在直线上，则t=3k+m，联立直线与椭圆方程：，可得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，又直线与椭圆只有一个公共点，故△=0，即m2=6k2+2；由韦达定理，可得P点坐标（﹣，），由直线PQ过椭圆右焦点为F（2，0），则直线PQ的斜率k PQ=k PF=；而直线OM的斜率，则k OM==：k OM•k PQ=•=•=•=﹣．②由=（1，t），=（，），则•==0，即FM⊥PF，∴三角形的面积S△PQM=丨PQ丨丨MF丨，丨MF丨=，由直线FM的斜率为t，可得直线PQ的方程：x=﹣ty+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立可得：，整理得：（3+t2）y2﹣4ty﹣2=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，则丨PQ丨=•=，则S△PQM=•，令t2+3=m，（m＞0），则S△PQM=•，由函数的单调性可知：y=，单调递增，故S△PQM=•≥，当t=0时，△PQM面积的最小值．∴△PQM面积的最小值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求函数y=f（x）+xf′（x）（f′（x）为f（x）的导函数）的单调递增区间；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）+x2﹣（1+b）x，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥﹣1，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，求出g（x1）﹣g（x2）的解析式，令h（x）=lnx2﹣x2+，x∈（0，]，根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：f′（x）=﹣2ax，f′（1）=1﹣2a=﹣1，可得：a=1；又y=f（x）+xf′（x）=lnx﹣3x2+1，所以y′=，（x＞0），当x∈（0，）时，y′＞0，y单调递增；当x∈（，+∞）时，y′＜0，y单调递减；故函数的单调增区间为（0，）．（Ⅱ）g（x）=lnx+x2﹣（1+b）x，g′（x）=，因为x1，x2是g（x）的两个极值点，故x1，x2是方程x2﹣（1+b）x+1=0的两个根，由韦达定理可知：；∵x1＜x2，可知0＜x1＜1，又x1+=1+b≥e+，令t=x+，可证t（x）在（0，1）递减，由h（x1）≥h（），从而可证0＜x1≤．所以g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（x1﹣x2）（x1+x2）=ln﹣+（0＜x1≤）令h（x）=lnx2﹣x2+，x∈（0，]，h′（x）=≤0，所以h（x）单调减，故h（x）min=h（）=﹣﹣2，所以k≤﹣﹣2，即k max=﹣﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别是（t是参数）和（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ=α（α∈[，]）与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，与直线θ=α联立可得：ρ=，即|OP|=，同理可得|OQ|=2sinα．求出|OP|•|OQ|=，在α∈[，]上单调递减，即可求|OP|•|OQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）C1的普通方程为y2=4x，C2的普通方程为x2+（y﹣1）2=1，C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，与直线θ=α联立可得：ρ=，即|OP|=，同理可得|OQ|=2sinα．所以|OP|•|OQ|=，在α∈[，]上单调递减，所以|OP|•|OQ|的最大值是8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥2a2﹣13，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3时，不等式即|2x﹣3|+3≤6，可得﹣3≤2x﹣3≤3，由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥2a2﹣13恒成立，利用绝对值三角不等式求得|2x﹣a|+a+|2x﹣1|的最小值为|1﹣a|+a，可得|1﹣a|+a≥2a2﹣13，分类讨论，去掉绝对值，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，不等式f（x）≤6，即|2x﹣3|+3≤6，故有﹣3≤2x﹣3≤3，求得0≤x≤3，即不等式f（x）≤6的解集为[0，3]．（Ⅱ）f（x）+g（x）≥2a2﹣13，即|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥2a2﹣13恒成立，∵|2x﹣a|+a+|2x﹣1|≥|2x﹣a﹣（2x﹣1）|+a=|1﹣a|+a，∴|1﹣a|+a≥2a2﹣13①．当a≤1时，①等价于1﹣a+a≥2a2﹣13，解得﹣≤a≤1；当a＞1时，①等价于a﹣1+a≥2a2﹣13，即a2﹣a﹣6≤0，解得1＜a≤3，所以a的取值范围是[﹣，3]．2017年4月11日。

河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）答 案1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 13．240 1415．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．217．解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()1121,424202,4n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ．又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-．()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=---． 111111*********-1ni KT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．证明：（Ⅰ）因为,A B 是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为,,DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=所以DB ⊥平面ABC ,又EA DB ∥, 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =． 故())()()0,1,0,,0,1,2,0,1,1B C D E -．于是()()()()3,1,0,0,0,2,3,,3,1,2BC BD CE CD =-==-=-1,1-设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为()(),,,,,m x y z n a b c ==,由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =． 由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos ,0m n <>=所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人； （Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且,B C 为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=； ()()()()()10,11,01,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123=32056010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b =由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=； （Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0∆=,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-, 由直线PQ 过椭圆右焦点为()2,0F ,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==： ()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．②由()1,FM t =,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,2,,,,x ty P x y Q x y =-+ 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣, 则())212213t PQ y y t ++=+丨丨,则()()3222163PQM t S t+=+△令()23,0t m m +=＞,则1326PQM S m m ⎛ =-⎝△由函数的单调性可知：y =单调递增, 故()()3222163PQM t S t+=+△,当0t =时,PQM △． ∴PQM △． 21．解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 31,,0x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>所以,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0,y y '<单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12,x x 是()g x 的两个极值点,故12,x x 是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()2211212121112211111lnln 0222x g x g x x x x x x x x x x e ⎛⎫-=--+<≤ ⎪⎝⎭=-+ 令()222111ln ,0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦-,()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以2212,22e k e ≤--即221222max e k e=--．22．解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=, 与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α=,在π4π,6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以||||OP OQ 的最大值是23．解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336,x +≤故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]0,3．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+,2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22,∴x＞2,∴B=（2,+∞）,∵x2﹣4x+3＜0,∴（x﹣3）（x﹣1）＜0,解得1＜x＜3,∴A=（1,3）,∴A∩B=（2,3）,故选：D2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i,∴z+i=﹣2﹣zi,化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B3．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即可得出结论．【解答】解：由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即（﹣2cosθ,﹣2sinθ）,故选C4．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1,c＞1,∴ac＜bc,abc＞bac,∴logab＞logba,logac＞logbc,故选：B5．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时,第1次执行循环体后,x=2015,输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后,x=2013,输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后,x=2011,输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后,x=3,输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后,x=1,输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后,x=﹣1,输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后,x=﹣3,输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1,输出y=28,故选：C6．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞,小鼠打了1++=1尺长的洞,x=2+=2天,故选：A7．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中,画出f（1）＞0对应的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0,即a﹣b＞1,如图,A（1,0）,B（4,0）,C（4,3）,S△ABC=,P==,故选：B8．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2•）=,故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q （+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,求得n的最小值值,可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（,m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到,∴m=sin（2•）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q（+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=,∴应有2n﹣=,∴n=,则mn的最小值为,故选：B9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．进而得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1,1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得结论．【解答】解：依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得483．故选D11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（b,yM）,由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即a4=（c2﹣a2）c2,有e4﹣e2﹣1=0,得e=．故选B12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性,求出极值,得出方程f（x）=t的解的情况,得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间,利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=,∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时,f′（x）＞0,当1＜x＜e时,f′（x）＜0,∴f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,e）上单调递减,在（e,+∞）上单调递增,作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t,则当0＜t＜e时,方程f（x）=t有1解,当t=e时,方程f（x）=t有2解,当t＞e时,方程f（x）=t有3解,∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0,恰好有4个不相等的实数根,∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0,e）和（e,+∞）上各有一解,∴,解得e﹣1＜m＜e．故选C．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为4,求出r的值,将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx,令得18﹣r=4,解得r=4,∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240,故答案为：240．14．【考点】向量的模．【分析】求出+2,求出|+2|的解析式,根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°,sin5°）,=（cos65°,sin65°）,则+2=（cos5°+2cos65°,sin5°+2sin65°）,则|+2|===,故答案为：．15．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6,x＞t,知x＞t时,f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调,必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x,f'（x）=6x2﹣6,x＞t当6x2﹣6＞0时,即x＞1或x＜﹣1,此时f（x）=2x3﹣6x,为增函数当6x2﹣6＜0时,﹣1＜x＜1,∵x＞t,∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0,∴a≤．故a 的取值范围是（﹣∞,]． 故答案为：（﹣∞,]．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM =θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,继而可得=,问题得以解决【解答】解：设∠DBM =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =﹣2θ,∠AMB =﹣2θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,∴===,从而MA =2, 故答案为：2．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()11214242024n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ,．，又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=-+-． 111111*********-1ni nT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC 是等边三角形,从而CM ⊥AB ,再由DB ⊥AB ,DB ⊥BC ,知DB ⊥平面ABC ,又EA ∥DB ,从而EA ⊥平面ABC ,进而CM ⊥EA ．由此CM ⊥平面EAM ．进而能证明CM ⊥EM ．（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角B ﹣CD ﹣E 的平面角． 【解答】证明：（Ⅰ）因为A B ，是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=,,所以DB ⊥，平面ABC ,又//EA DB , 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -． 因为DB⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角． 由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =． 故())()()0,1,00,1,20,1,1B C D E -，，，．于是()()()()3,100,0,23,3,1,2BC BD CE CD =-==-=，，,-1,1,-设平面BCD ，与平面CDE 的法向量分别为()(),,,m x y z n a b c ==,,, 由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =．由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos 0m n <>=,所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数,利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人,记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值,就是概率,即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且B C，为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=；()()()()()10,1101,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯，121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123320560Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由b =,椭圆的离心率公式,即可求得a 和c 的值,求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,分别求得kOM ,kPQ ,即可求得kOM •为定值； ②设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式,求得S △PQM =•,根据函数的单调性即可求得△PQM 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b ==,由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0=△,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-,由直线PQ 过椭圆右焦点为()20F ，,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==：()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．①由()1FM t =，,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,,2x ty P x y Q x y =-+，，， 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣,则)2213t PQ t +==+丨丨,则PQM S =△令()23,0t m m +=＞,则PQMS =△, 由函数的单调性可知：y =单调递增,故PQMS =≥△,当0t =时,PQM △面积的最小值．∴PQM △． 21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数,求出g （x1）﹣g （x2）的解析式,令h （x ）=lnx2﹣x2+,x ∈（0,],根据函数的单调性求出k 的最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 310x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>，所以，,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0y y '<，单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭． （Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12x x ，是()g x 的两个极值点,故12x x ，是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤． 所以()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++-'=，令()222111ln 0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝-⎦，()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以221222e k e ≤--，即221222max e k e=--．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得：ρ=,即|OP |=,同理可得|OQ |=2sinα．求出|OP |•|OQ |=,在α∈[,]上单调递减,即可求|OP |•|OQ |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=,与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α∙=,在π4π6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以||||OP OQ ∙的最大值是23．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a =3时,不等式即|2x ﹣3|+3≤6,可得﹣3≤2x ﹣3≤3,由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|≥2a2﹣13恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|的最小值为|1﹣a |+a ,可得|1﹣a |+a ≥2a2﹣13,分类讨论,去掉绝对值,求得a 的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336x +≤，故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]03,． （Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦。

河北省石家庄市第二中学2017届高考高三模拟联考理科数学试卷答 案一、选择题（每小题5分，共60分）1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 二、填空题（每小题5分，共20分）13．240 1415．34a ≤ 16．2 三、解答题17．解：（1）当3n ≥时，可得n n 1n 1n 2n 1(42)(42)04n S S S S a a ---------=⇒= 又因为12a =，代入已知等式，可得28a =，满足上式.所以数列是首项为12a =，公比为4的等比数列，故：121242n n n a --==g . （2）212log 221n n b n -==-，213...(21)n T n n =+++-=.22211111...12nk kTn ==+++∑≤11111+++...+221223(1)n n n=-⨯⨯-⨯＜. 18．解：（1）因为A ，B 是PQ 的三等分点，所以PA AB BQ CA CB ====， 所以是等边三角形，又因为M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥.因为，AB BC B =I ，所以平面ABC ， 又EA DB ∥，所以EA ⊥平面ABC ；CM ⊂平面ABC ，所以CM EA ⊥.因为AM EA A =I ， 所以CM ⊥平面EAM . 因为EM ⊂平面EAM ， 所以CM EM ⊥.（2）以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -.因为DB ⊥平面ABC ，所以DBM ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. 由题意得tan 2DBDAB MB∠==，即BD =2MB ， 从而BD AC =.不妨设2AC =，又2AC CE =，则CM =1AE =. 故(0,1,0)B，(0C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -.于是1,0)BC =-u u u r ，(0,0,2)BD =u u u r，(1,1)CE =-u u u r，(CD =u u u r， 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =u r ，222=(,,)n x y z r， 由=0=0m BC m BD ⎧⎪⎨⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g得111020y z -==⎪⎩，令11x =，得1y所以m u r.由=0=0n CE n CD ⎧⎪⎨⎪⎩r u u u r g r u u u r g得222222020y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令21x =得2y =2z =.所以(1,n =r .所以cos ,0||||m nm n m n ==u r u u ru r r g u r r . 所以二面角B CD E --的平面角的大小为90︒.19．解：（1）因为选修数学学科人数占总人数频率为0.6，即1800.6600x+=，可得：180x =， 又180********x y ++++=，所以60y =，则根据分层抽样法：抽取10人中选修线性代数的人数为：18010=3600⨯人；选修微积分的人数为：18010=3600⨯人；选修大学物理的人数为：12010=2600⨯人；选修商务英语的人数为：6010=1600⨯人；选修文学写作的人数为：6010=1600⨯人；（1）现从10人中选3人共有310120C =种选法，且每种选法可能性相同，令事件A 选中的3人至少两人选修线性代数，事件选中的3人有两人选修线性代数，事件选中的3人都选修线性代数，且为互斥事件，()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+=. （2）记为3人中选修线性代数的人数，的可能取值为0，1，2，3，记为3人中选修微积分的人数；:B :C ,B C X X Y的可能取值也为0,1,2,3，则随机变量||x X Y =-的可能取值为0，1，2，3；111333443310101(0)(0,0)(1,1)3C C C C P P X Y P X Y C C ξ====+===+=g g ; 123233443310109(1)(0,1)(1,0)(1,2)(2,1)2220C C C C P P X Y P X Y P X Y P X Y C C ξ====+==+==+===+=g g g g ; 21343101(2)(0,2)(2,0)25C C P P X Y P X Y C ξ====+====g g ; 333101(3)(3,0)(3,0)260C P P X Y P X Y C ξ====+====g ，所以的分布列为:所以19119(3)012332056010E ξ==⨯⨯⨯+⨯+⨯=.20．解：（1）设椭圆的焦距为，由题意可得：2c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2226,2,4a b c ===，故椭圆方程为：22162x y +=. （2）①由题意可知直线的斜率存在，设直线l 的方程：y kx m =+，因为点(3,t)M 在直线上，所以3t k m =+，联立直线与椭圆方程： 由22360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩可得222(13)6360k x kmx m +++-=，又直线与椭圆有且只有一个公共点，故0D =，即2262m k =+. 由韦达定理，可得P 点坐标223(,)1313km mP k k -++.因为直线PQ 过椭圆右焦点为(2,0)F ，所以直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k==---； 而直线OM 的斜率333OM t k mk +==，所以： 233263OM PQ m k m k k km k +=---g g 2231=3263km m km k +---g 2311=333km km m =---g . ②因为(1,)FM t =u u u u r ，222326(,)1313km k mFP k k ---=++u u u r ，所以22326=013mt km k FM FP k ---=+u u u u r u u u r g ，即FM PF ⊥； Y x 2c l所以三角形PQM 的面积1||||2PQM S PQ MF =△；||MF ，由直线FM 的斜率为t ，可得直线PQ 的方程：2x ty =-+，与椭圆方程联立可得：|PQ所以PQMS =△23(3)t m m +=g，则PQM S =△故PQMS △当且仅当0t =时成立. 21．解：（1）由题意可得：1()2f x ax x'=-，(1)1f '=-，可得：1a =； 又2()()ln 31y f x xf x x x '=+=-+，所以21166(0)x y x x x x-'=-=＞；当6x ∈时，0y '＞，y 单调递增；当时)x ∈+∞，0y '＜，y单调递减；故函数的单调增区间为x ∈.（2）21()ln (1b)2g x x x x =+-+，21(1)1()(1)x b x g x x b x x -++'=+-+=，因为1x ，2x 是()g x 的两个极值点，故1x ，2x 是方程2(1)10x b x -++=的两个根，由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩，12x x Q ＜，可知101x ＜＜，又1111+=1+e+e x b x ≥， 令1t x x =+，可证t 在(0,1)递减，由11()()e h x h ≥，从而可证110ex ＜≤. 所以1121212122ln 1()()()()(1)()ln 2x g x g x x x x x b x x x -=+-+-+-1121212122ln 1=()()()()ln 2x x x x x x x x x x +-+-+- 2221121211111=ln +(0)222ex x x x x --＜≤.令222111()ln ,(0,22e h x x x x x ⎤=-+∈⎥⎦，321()h x x x x'=--422233-21(1)=0x x x x x +---=≤，所以单调减，故2min21e 1()()2e 22e h x h ==--，所以22e 1222e k --≤，即2max 2e 1222ek =--.22．解：（1）1C 的普通方程为24y x =，2C 的极坐标方程为=2sin ρθ. （2）由（1）可得1C 的极坐标方程为2sin =4cos ρθθ，与直线=a θ联立可得：24cos sin ar a=，即24cos sin a OP a =，()h x同理可得2sin OQ a =.所以8cos 8||||sin tan OP OQ ααα==g ，在ππ64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以max ||||OP OQ =g 23．（1）解：当3a =，()|23|3f x x =-+.解不等式|23|36x -+≤，得03x ≤≤， 因此，()6f x ≤的解集为{}|03x x ≤≤.（2）当x ∈R 时，()()|2||12||212|f x g x x a a x x a x a +=-++--+-+≥=|1|+a a -， 当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，2()()213f x g x a +-≥等价于2|1|+213a a a --≥.①当1a ≤时，①等价于21213a a a -+-≥，解得a ， 当1a ＞时，①等价于260a a --≤，解得13a ＜≤，所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.河北省石家庄市第二中学2017届高考高三模拟联考理科数学试卷解析1．略2．略3．略4．略5．略6．略7．略8．略9．略10．11．12．13．略14．略15．16．17．18．19．20.21．22．23．。

2020届河北省石家庄市2017级高三下学期三模考试理科综合物理试卷★祝考试顺利★(解析版)二、选择题1.物理学家密立根利用如图甲所示的电路研究金属钾的遏止电压U c 与入射光频率ν的关系,其图像如图乙所示。

已知电子的电荷量为e 。

下列说法正确的是（ ）A. 若仅增大入射光的光强,则光电子的最大初动能增大B. 若增大入射光的频率,则光电子的最大初动能保持不变C. 由U c —ν图像可知,金属钾的截止频率为0ν D. 由U c —ν图像可求出普朗克常量为11cU e νν- 【答案】D【详解】AB ．根据光电效应方程 km 0E h W ν=-可知增大入射光的频率,光电子的最大初动能增大,增大入射光的强度,光电子的最大初动能不变,故AB 错误；C ．由图可知,当遏止电压为零时金属钾的截止频率为c ν,故C 错误；D ．根据光电效应方程有km 0E h W ν=-光电子从K 到A ,根据动能定理有km 0c eU E -=- 联立解得0c Wh U e e ν=-,结合图象可知,图线的斜率 11c h k U e νν==- 解得11c U e h νν=-,故D 正确。

故选D 。

2.如图所示,六根原长均为l 的轻质细弹簧两两相连,在同一平面内六个大小相等、互成60°的恒定拉力F 作用下,形成一个稳定的正六边形．已知正六边形外接圆的半径为R,每根弹簧的劲度系数均为k,弹簧在弹性限度内,则F 的大小为（ ）A. 2k (R －l )B. k (R －l )C. k (R －2l )D. 2k (R －l )【答案】B【详解】正六边形外接圆半径为R,则弹簧的长度为R,弹簧的伸长量为：△x=R-l ,由胡克定律可知,每根弹簧的弹力为：f=k △x=k （R-l ）,两相邻弹簧夹角为120°,两相邻弹簧弹力的合力为：F 合=f=k （R-l ）,弹簧静止处于平衡状态,由平衡条件可知,每个拉力大小为：F=F 合k （R-l ）,故B 正确；ACD 错误；故选B ．3.如图所示为某种水轮机的示意图,水平管中流出的水流直接冲击水轮机上的某挡板时,水流的速度方向刚好与水轮机上该挡板的线速度方向相同,水轮机圆盘稳定转动时的角速度为ω,圆盘的半径为R ,冲击挡板时水流的速度是该挡板线速度的4倍,该挡板和圆盘圆心连线与水平方向夹角为30°,挡板长度远小于R ,不计空气阻力,则水从管口流出速度的大小为（ ）。

2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合M=，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|0≤x＜4}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数z=（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A．16 B．17 C．18 D．194．（5分）正项等比数列{a n}中，a1+a4+a7=2，a3+a6+a9=18，则{a n}的前9项和S9=（）A．14 B．26 C．30 D．295．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a）=1，则f（a）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．（5分）斐波拉契数列0，1，1，2，3，5，8…是数学史上一个著名的数列，定义如下：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N）．某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是（）A．c=a，i≤14 B．b=c，i≤14 C．c=a，i≤15 D．b=c，i≤157．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）8．（5分）在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是（）A．3 B．4 C．1 D．9．（5分）是展开式的常数项为（）A．120 B．40 C．﹣40 D．8010．（5分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体最长的棱长度为（）A．B．C．3 D．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为y=±x，左、右焦点分别为F1、F2，M为双曲线C的一条渐近线上某一点，且∠OMF2=，则双曲线C的焦距为（）A．B．16 C．8 D．12．（5分）已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣af （x）﹣的零点个数是4个时，下列选项是a的取值范围的子集的是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）=．14．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则x2+y2+2（x﹣y）的最小值为．15．（5分）已知G为△ABC所在平面上一点，且++=，∠A=60°，•=2，则||的最小值为．16．（5分）如图所示的“数阵”的特点是：毎行每列都成等差数列，则数字37在图中出现的次数为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（1）求角B的大小；（2）若A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．18．（12分）如图，以A、B、C、D、E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=，AB=2．（1）求证：DE⊥平面ABD；（2）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．19．（12分）近代统计学的发展起源于二十世纪初，它是在概率论的基础上发展起来的，统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录．近几年，雾霾来袭，对某市该年11月份的天气情况进行统计，结果如下：表一由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策．下表是一个调査机构对比以上两年11月份（该年不限行30天、次年限行30天共60天）的调查结果： 表二（1）请由表一数据求a ，b ，并求在该年11月份任取一天，估计该市是晴天的概率；（2）请用统计学原理计算若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有多少天没有雾霾？（由于不能使用计算器，所以表中数据使用时四舍五入取整数） ．20．（12分）已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C 与F 1A 的延长线，F 1F 2的延长线以及线段AF 2都相切，M （2，0）为一个切点．（1）求椭圆方程；（2）设，过F2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P，Q两点，若以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，求直线l的方程．21．（12分）已知函数p（x）=lnx﹣x+4，q（x）=．（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；（2）若关于x的不等式p（x）﹣4＜q（x）的解集中有且只有两个整数，求a 的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，若以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（1）求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程；（2）已知A，B分别为两曲线上的动点，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式讲23．已知不等式|x﹣a|+|2x﹣3|＞．（1）已知a=2，求不等式的解集；（2）已知不等式的解集为R，求a的范围．2017年河北省石家庄二中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，集合M=，则M∩N=（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|0≤x＜4}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【解答】解：M={x|x≥0}，则M∩N={x|0≤x＜4}，故选：B．2．（5分）若复数z=（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵i4=1，∴i2017=（i4）504•i═i．∴复数z====+i，则复数z在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B．3．（5分）某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A．16 B．17 C．18 D．19【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，∴系统抽样的分段间隔为=25，设第一部分随机抽取一个号码为x，则抽取的第18编号为x+17×25=443，∴x=18．故选：C．4．（5分）正项等比数列{a n}中，a1+a4+a7=2，a3+a6+a9=18，则{a n}的前9项和S9=（）A．14 B．26 C．30 D．29【解答】解：在正项等比数列{a n}中，=q2==9，则q=3，则a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=3×2=6，则{a n}的前9项和S9=a1+a4+a7+a2+a5+a8+a3+a6+a9=2+18+6=26，故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a）=1，则f（a）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：当2﹣a≥2，即a≤0时，22﹣a﹣2﹣1=1，解得a=﹣1，则f（a）=f（﹣1）=﹣log2[3﹣（﹣1）]=﹣2，当2﹣a＜2，即a＞0时，﹣log2[3﹣（2﹣a）]=1，解得a=﹣，舍去．∴f（a）=﹣2．故选：A．6．（5分）斐波拉契数列0，1，1，2，3，5，8…是数学史上一个著名的数列，定义如下：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N）．某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是（）A．c=a，i≤14 B．b=c，i≤14 C．c=a，i≤15 D．b=c，i≤15【解答】解：依题意知，程序框图中变量S为累加变量，变量a，b，c（其中c=a+b）为数列连续三项，在每一次循环中，计算出S的值后，变量b的值变为下一个连续三项的第一项a，即a=b，变量c的值为下一个连续三项的第二项b，即b=c，所以矩形框应填入b=c，又程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项，因此只需要循环12次就完成，所以判断框中应填入i≤14．故选：B．7．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）【解答】解：|AB|=5，|y A﹣y B|=4，所以|x A﹣x B|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．故选：B．8．（5分）在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是（）A．3 B．4 C．1 D．【解答】解：设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率p=（）4=，在一次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，则ξ～（16，），则Dξ=16××=3，故选：A．9．（5分）是展开式的常数项为（）A．120 B．40 C．﹣40 D．80【解答】解：==•（x2+1）•（32x10﹣80x8+80x6﹣40x4+10x2﹣1），所以其展开式的常数项为•1•80x6+•x2•（﹣40x4）=80﹣40=40．故选：B．10．（5分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体最长的棱长度为（）A．B．C．3 D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．由正方体的性质可得：这个几何体最长的棱长度为PC=2．故选：D．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为y=±x，左、右焦点分别为F1、F2，M为双曲线C的一条渐近线上某一点，且∠OMF2=，则双曲线C的焦距为（）A．B．16 C．8 D．【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为y=±x，左、右焦点分别为F1、F2，M为双曲线C的一条渐近线上某一点，∴tan∠MOF2=，∴∠MOF2=∵∠OMF2=，∴OM=csin=c，MF2=ccos=c，∴=OM•MF 2=×c×c=8，∴c=8，∴2c=16，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣af （x）﹣的零点个数是4个时，下列选项是a的取值范围的子集的是（）A．B．C．D．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：令f（x）=t，则由图象可知：当t=0时，f（x）=t有1解，当0＜t＜1或t＞2时，f（x）=t有2解，当1＜t≤2时，f（x）=t有3解，令F（x）=0得f（t）=at+，显然t=0是方程f（t）=at+的一个解，而f（x）=0只有一解，故直线y=at+直线在（1，2）上与f（x）有1个交点即可；（1）若a，显然直线y=ax+与f（x）在（1，2）上有1个交点，符合题意；（2）当a=时，直线y=at+与f（t）在（﹣∞，1）上的图象相切，且与f （x）在（1，2）上有1个交点，符合题意．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）=π+2．【解答】解：=，令y=，得x2+y2=4（y≥0），则圆x2+y2=4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，，又，∴=π+2．故答案为：π+2．14．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则x2+y2+2（x﹣y）的最小值为．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图z=x2+y2+2（x﹣y）=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，则z的几何意义是，区域内的点到点D（﹣1，1）的距离的平方减2，解得A（，）由图象可知点D到A的距离d即为z=d2﹣2最小值，则z==，故x2+y2+2（x﹣y）的最小值为，故答案为：．15．（5分）已知G为△ABC所在平面上一点，且++=，∠A=60°，•=2，则||的最小值为．【解答】解：∵++=，∴G是△ABC的重心，∴=（），∴=（2+2+2）=（AB2+AC2）+，∵=AB•AC=2，∴AB•AC=4，∴AB2+AC2≥2AB•AC=8，∴≥=．∴||≥．故答案为：．16．（5分）如图所示的“数阵”的特点是：毎行每列都成等差数列，则数字37在图中出现的次数为9．【解答】解：第i行第j列的数记为Aij．那么每一组i与j的组合就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列Aij（i=1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij=（j+1）+（i﹣1）×j=ij+1．令Aij=ij+1=37，则ij=36=22×32，∴37出现的次数为（2+1）（2+1）=9，故答案为：9．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（1）求角B的大小；（2）若A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．∴有sinA=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，则cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴则．（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，又∵，则△ABC为等腰直角三角形，，又∵，∴，当时，四边形ABCD的面积最大值，最大值为．18．（12分）如图，以A、B、C、D、E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=，AB=2．（1）求证：DE⊥平面ABD；（2）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：作DF⊥AB，交AB于F，连结CF．因为平面ABC⊥平面ABD，所以DF⊥平面ABC，又因为EC⊥平面ABC，从而DF∥EC，因为，△ABC和△ABD均为边长为2的等边三角形，所以DF=，因此DF=EC，于是四边形DECF为平行四边形，所以DE∥CF．因为△ABD是等边三角形，所以F是AB中点，而△ABC是等边三角形，因此CF⊥AB，从而CF⊥平面△ABD，又因为DE∥FC，所以DE⊥平面△ABD．（2）由（1）知BF，CF，DF两两垂直，如图建系，则．设平面BDE的法向量，由，令x=3得，平面BDE的法向量；同理可求得平面BCE的法向量，所以==，即二面角D﹣BE﹣C的余弦值为．19．（12分）近代统计学的发展起源于二十世纪初，它是在概率论的基础上发展起来的，统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、水文、天文、地震等资料的记录．近几年，雾霾来袭，对某市该年11月份的天气情况进行统计，结果如下：表一由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策．下表是一个调査机构对比以上两年11月份（该年不限行30天、次年限行30天共60天）的调查结果： 表二（1）请由表一数据求a ，b ，并求在该年11月份任取一天，估计该市是晴天的概率；（2）请用统计学原理计算若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有多少天没有雾霾？（由于不能使用计算器，所以表中数据使用时四舍五入取整数） ．【解答】解：（1）根据题意知，a=10，b=30﹣10=20， 在该年11月份任取一天，估计该市是晴天的概率为P==；（2）设限行时x 天没有雾霾，则有雾霾为30﹣x 天， 代入公式≤3，化简为：21x 2﹣440x +1500≤0，x ∈[0，30]，且x ∈N *，即（7x﹣30）（3x﹣50）≤0，解得≤x≤，所以5≤x≤16，且x∈N*；所以若没有90%的把握认为雾霾与限行有关系，则限行时有5～16天没有雾霾天气．20．（12分）已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与F1A的延长线，F1F2的延长线以及线段AF2都相切，M（2，0）为一个切点．（1）求椭圆方程；（2）设，过F2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P，Q两点，若以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆C与F1A的延长线切于点E，与线段AF2切于点D，则|AD|=|AE|，|F2D|=|F2M|，|F1E|=|F1M|，∵|AF1|+|AF2|=2a，∴|AF1|+|AD|+|DF2|=2a，∴|F1E|+|MF2|=2a，|MF1|+|MF2|=2a，∴（2﹣c）+（2+c）=2a，故a=2，由，可知，椭圆方程为；（2）由（1）可知F2（，0），设l方程为，代入椭圆方程可得，整理得：，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，∴（+）•=0，+=（x1﹣，y1）+（x2﹣，y2）=，的方向向量为（1，k），∴﹣﹣=0，，∴直线l的方程．21．（12分）已知函数p（x）=lnx﹣x+4，q（x）=．（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；（2）若关于x的不等式p（x）﹣4＜q（x）的解集中有且只有两个整数，求a 的取值范围．【解答】解：（1）由题知p'（x）=q'（x），即，当x=1£¬p'（1）=q'（1）=0，即x=1是y=p（x），y=q（x）的极值点，所以公切线的斜率为0，所以p（1）=q（1），lnl﹣1+4=ae，可得．（2）p（x）﹣4＞q（x）等价于，令，则，令φ（x）=x﹣lnx﹣1，则，即φ（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．φ（x）min=φ（1）=0，∴φ（x）≥0恒成立，所以h（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．，因为解集中有且只有两个整数．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，若以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（1）求曲线E的普通方程和椭圆C的参数方程；（2）已知A，B分别为两曲线上的动点，求|AB|的最大值．【解答】解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ得：x2+y2﹣8y+15=0，即x2+（y﹣4）2=1，椭圆C的方程为，化为参数方程为：为参数）．（2），由sinθ∈[﹣1，1]，当sinθ=﹣1时，|AB|max=6．选修4-5：不等式讲23．已知不等式|x﹣a|+|2x﹣3|＞．（1）已知a=2，求不等式的解集；（2）已知不等式的解集为R，求a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，可得|x﹣2|+|2x﹣3|＞2，当x≥2时，3x﹣5＞2，得，当时，﹣3x+5＞2，得x＜1，当时，x﹣1＞2，得：x∈∅，综上所述，不等式解集为或x＜1}．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|2x﹣3|的最小值为f（a）或，即，∴，令，则或，可得﹣3＜a ＜1或a ∈∅，综上可得，a 的取值范围是（﹣3，1）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

河北省石家庄市第二中学2017届高三下学期零模测试理综生物试卷1．细胞自噬能快速提供燃料供应能量，或者提供材料来更新细胞组分，因此在细胞面对饥饿时，它发挥着不可或缺的作用。

在细胞自噬过程中溶酶体扮演着非常重要的角色。

下列相关叙述中，正确的是（）A．受损的线粒体功能逐渐退化，会直接影响葡萄糖的氧化分解B．溶酶体中水解酶的合成与加工需要经过核糖体、内质网和高尔基体C．当细胞养分不足时，细胞“自噬作用”一般会减弱D．人工破坏溶酶体的膜可加速细胞的自噬作用过程2．酶和ATP是与生物新陈代谢密切相关的两种物质。

下列有关酶和ATP的叙述，正确的是（）A．酶在最适温度下长期保存以保持其最高活性B．探究蛋白酶的专一性，可用双缩脲试剂检测C．有氧呼吸中A TP的合成一定伴随着氧气的消耗D．在剧烈运动时肌细胞产生ATP的速率增加3．下列关于遗传分子基础的叙述，正确的是（）A．DNA分子一条链上相邻碱基之间通过氢键连接B．核糖体通过核孔进入细胞核启动遗传信息的翻译C．T2噬菌体可利用寄主细胞内的物质大量增殖D．mRNA上碱基改变即可改变肽链中氨基酸的种类4．研究人员用野生一粒小麦与山羊草杂交获得野生二粒小麦的过程如图。

下列相关叙述中正确的是（）A．野生一粒小麦与山羊草属于同一物种，因为不存在生殖隔离B．秋水仙素通过促进染色体着丝点分裂，使染色体数目加倍C．野生二粒小麦为二倍体，其能通过减数分裂产生可育配子D．通过诱导多倍体方法可克服远缘杂交不育，培育作物新品种5．艾滋病是一种危害极大的传染病，由HIV（一种能攻击人体免疫系统的病毒）感染引起的。

下列相关叙述，正确的是（）A．HIV的遗传物质直接整合到宿主细胞的染色体中B．艾滋病患者的直接死因是各种病原体感染或恶性肿瘤C．感染HIV的机体无体液免疫应答，不能通过抗体检测来诊断D ．HIV 浓度与T 细胞浓度总是表现出明显的负相关 6．某科研小组调查了高原鼠兔有效洞穴密度对某群落中主要植物种群密度的影响，结果如下图所示。