16.3 第2课时 二次根式的混合运算

人教版初中数学八年级下册16.3.2 二次根式的混合运算同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．计算：（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将括号内化为最简二次根式，合并，再计算除法即可．【详解】故选B．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．3．化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分子分母同时乘以即可求解．【详解】解：．故选B．【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．4．估计的值在（ ）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【答案】B【分析】先根据二次根式的混合计算法则计算原式，然后对所得的结果进行估算即可得到答案．【详解】解：，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，正确根据二次根式的相关计算法则求出原式的结果是解题的关键．5．与的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．以上都不对【答案】A【分析】根据与的积为1，可得出与互为倒数，再选择即可．【详解】解：，与互为倒数，【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题时要注意观察式子的形式，灵活借助平方差公式进行运算．6．已知，，则的值为（）A．-32B．32C．D．【答案】C【分析】直接将原式变形，结合因式分解、二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：∵，，∴＝ab（a﹣b）＝（4+2）（4﹣2）（4+24+2）＝（16﹣20）×4＝﹣16．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用因式分解是解题关键．7．计算：的结果是（）A．B．6C．D．【答案】C【分析】利用平方差公式及积的乘方的法则对式子进行运算，从而可求解．【详解】解：=====【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二、填空题：8．计算：＝_____．【答案】【分析】利用二次根式的乘法法则和加减运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．9．计算：______．【答案】##【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及二次根式的混合运算法则．10．化简：_____．【答案】【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简．【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键．11．比较大小_____．【分析】利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．【详解】解：作差法可得：，∵与0的大小并不能直接观察得出，∴利用平方法比较与的大小，∵，又∵，∴，则，∴即＜0，∴，得出：，故答案为：．【点睛】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．12．已知，，则的值为_________．【答案】【分析】先把二次根式进行化简，然后把，，代入计算，即可得到答案.【详解】解：=，∵，，∴原式=；故答案为：.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.13．已知，，则ab＝_____；a2+b2＝_____．【答案】 1 14【分析】先求出a+b、ab，再利用平方差公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：∵，，∴a+b＝2+2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1．∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2＝14．故答案为：1，14．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．三、解答题：14．计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．……第一步……第二步……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】一；运用完全平方公式错误，去括号错误；；注意二次根式的化简要彻底（答案不唯一，合理即可）【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：任务一：根据题意可得第一步错误，错误的原因是运用完全平方公式错误，去括号错误；故答案为：一；运用完全平方公式错误，去括号错误；任务二：；任务三：除上述错误外，二次根式的化简要彻底．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．15．计算：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（2）首先利用平方差公式以及完全平方公式化简求出即可；（3）首先运算乘法和化简，以及进行零次幂的运算，最后再进行合并，即可求解；（4）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（5）首先绝对值运算，负指数幂运算，利用平方差公式进行化简，再进行合并，即可求解；（6）首先运算乘法和化简，再进行合并，最后进行除法运算，即可求解．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式==；（3）解：原式===；（4）解：原式===；（5）解：原式====；（6）解：原式===．【点睛】此题考查实数的运算，二次根式的混合运算，负指数幂、零次幂的运算，正确应用乘法公式是解题关键．16．先化简．再求代数式的值，其中【答案】，【分析】先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x的值代入计算即可求解．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．17．已知，求的值．【答案】【分析】先化简，然后计算的值，再根据完全平方公式变形求得代数式的值．【详解】解：∵∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．已知，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.【详解】解：当x＞0，y＞0时，=2=；当x＜0，y＜0时，=-2=-；综上所述本题答案应为：C.【点睛】二次根式的化简求值是本题的考点，分类讨论是解题的关键.2．对于任意的正数m，n定义运算※为：，计算的结果为（ ）A．2﹣4B．3C．2D．20【答案】B【分析】根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．3．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】欲求S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，SLMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题．正方形【详解】解：如图：由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，∴HC=4cm，LM=LF=cm．∴S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF=（HL+MC）•LF=（HC-LM）•LF==cm2．故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．二、填空题：4．设实数的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．【答案】##【分析】根据题意先估算的大小，求得的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：∵实数的整数部分为a，小数部分为b，，∴；（2a+b）（2a﹣b）＝．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，平方差公式，求得的值是解题的关键．5．观察下列三个等式：①；②；③；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式________________．【答案】【分析】利用数字之间的变化规律：，，…进而得出等式的规律，求解即可．【详解】解：可化为：，可化为：，可化为：，∴用n（n为正整数且n≥2）表示以上各等式所反映的规律为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数字变化的规律性问题，分式的规律性问题，二次根式的应用等知识，根据已知数据得出数字之间的关系是解题的关键．三、解答题：6．（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为的正方形面积-边长为的正方形面积求解即可；（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得；（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，∴；【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1与图2中图形的关系是解题的关键．7．比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，，∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．8．已知且，求的值．【答案】【分析】根据完全平方公式可得，然后由题意及平方差公式可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．。

16.3 二次根式的乘法和除法（第2课时）（3种题型基础练+提升练）考查题型一 二次根式的乘法1.计算：(=______.【详解】(=-=-故答案为-.2.=__________．3=， 故答案为：3．3.__________．4a =；故答案为：4a4.(4-⋅【详解】解：原式48x =-=2x =-=5．计算：a ＞0）【详解】解：=25x a a⋅=6．计算：【详解】解：=12==．考查题型二 二次根式的除法7._____．÷2=，故答案为：2．8=______．===9_________．=123⎛÷ ⎝=x ．10．（2021·上海普陀·___． 【详解】原式255y x x y==11____．===故答案为：12_____．==．3故答案为：3．13.-【详解】解：原式=-=-=-考查题型三二次根式的乘除混合运算14.___．＝2．故答案为：2．15．（2020·上海浦东新·．16.计算：【详解】解：==203．17218．计算：()0x a a⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭【详解】()0x a a ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭=3-==19【详解】解：原式====820．=21．计算：【详解】解：=14=3=422(33()0)2ab a b a->2313ba bb a=-÷9a=-=23．计算：【详解】解：原式=(−43÷2×13)√18÷8×5429=-=1．当0x>=_________________．【详解】由二次根式的定义得：250x yyx⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，x，y∴≥，又除法运算的除数不能为0，0y∴≠，y∴>，35xy=3xy49=故答案为：942.不等式﹣x＞的解集是_____试题解析：>x∴<==即：x∴<故答案为x<3.计算：【详解】解：1548=-=2a b=-．4.计算：【详解】解：∵ ∵2333000a b a b a b⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪⎪≥⎪⎩，∵00a b >⎧⎨>⎩∵==3=5．计算：【详解】解：＝1242⎛÷÷ ⎝＝1224⎛⨯⨯ ⎝＝66.化简：80)x x >． 【详解】解：∵x ＞0∵y ＞0，∵原式8x=＝23xy＝2y7.．12=12==根据题意知：x 与y 同号=8.【详解】解：原式=21532=⨯⨯510233=⨯=9⎛⎛⨯ ⎝⎝（0x >）【答案】2158x y 【详解】解：因为0x >，所以由题意得：y>o22415451569546158xyx y⎛⎛-⎝⎝⎛⎛--⎝⎝⎛=-⨯-⎝=10.如图所示，在面积为2a的正方形ABCD中，截得直角三角形ABE，求BE的长．【答案】36a．【解析】正方形的边长为a2，则aABBE3321=⋅⋅，则36aBE=．11.，求等腰三角形的高．【答案】腰上的高为：10190【解析】由题意可得：等腰三角形的三边长为10，10，2，由2191021=⋅⋅h，解得：10190=h，即腰上的高为10190；由12h=，解得：h=12.=-【答案】x==-=，则x=化简，得：x=13.解关于x的不等式：EDCBA（11； （2）())211x x +<-．【答案】（1）2332--<x ；（2）52362+-->x ．【解析】（11>，1-+，则1x >⎝⎭， 1>，解得：x <-（2）由())211x x +-<-，得：)22x >则x >，所以5x >．14.计算．（1）（0x >）； （2）（3） 【答案】（1）1-y ；（2）a 273-；（3）a b a a ++-22．【解析】（1）1y ==-；（2）原式9327a =-；（3）原式=a b a a ++-22．。