2015年广州一模文科数学(精美word)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+12x D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件{x+2y≤2,x+y≥0,x≤4,则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10 答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-23x+z3,z3表示直线y=-23x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=() A.3 B.2√2 C.2 D.√3答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2√3×√32,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1解析:设正品分别为A 1,A 2,A 3,次品分别为B 1,B 2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆x 225+y 2m2=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 答案:B解析:由已知a 2=25,b 2=m 2,c=4,又由a 2=b 2+c 2,可得m 2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案:A解析:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p ,q ,r ,s )|0≤p<s ≤4,0≤q<s ≤4,0≤r<s ≤4且p ,q ,r ,s ∈N },F={(t ,u ,v ,w )|0≤t<u ≤4,0≤v<w ≤4且t ,u ,v ,w ∈N },用card(X )表示集合X 中的元素个数,则card(E )+card(F )=( ) A.200 B.150 C.100 D.50 答案:A解析:E 中有序数组的要求为s 均大于p ,q ,r ,当s 取4时,p 可取0,1,2,3,q 也可取0,1,2,3,r 也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s 取3时,p ,q ,r 均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s 取2时,p ,q ,r 可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s 取1时,p ,q ,r 只能都取0,不同数组有1个,因此E 中不同元素共有64+27+8+1=100个.F 中元素要求为t<u ,v<w ,当u 取4时,t 可取0,1,2,3;当u 取3时,t 可取0,1,2;当u 取2时,t 可取0,1; 当u 取1时,t 取0,所以t ,u 的不同组合为10种.同理,v ,w 不同组合也有10种,故F 中元素个数为10×10=100,所以card(E )+card(F )=200. 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 答案:(-4,1)解析:不等式可化为x 2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x 1,x 2,…,x n 的均值x =5,则样本数据2x 1+1,2x 2+1,…,2x n +1的均值为 . 答案:11解析:由题意,y i =2x i +1(i=1,2,…,n ),则y =2x +1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b= . 答案:1解析:因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac ,即b 2=(5+2√6)(5-2√6)=1. 又b 是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t ,(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C 1的直角坐标方程为x+y=-2. 由已知得曲线C 2的普通方程为y 2=8x. 由{x +y =-2,y 2=8x ,得y 2+8y+16=0, 解得y=-4,x=2.所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 为圆O 的直径,E 为AB 延长线上一点,过E 作圆O 的切线,切点为C ,过A 作直线EC 的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2√3,则AD= .解析:由切割线定理得EC 2=EB ·EA ,即12=EB ·(EB+4),可求得EB=2. 连接OC ,则OC ⊥DE ,所以OC ∥AD ,所以EO EA=OC AD ,即46=2AD,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan (α+π4)的值;(2)求sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解:(1)tan (α+π4)=tanα+tan π41-tanαtan π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3. (2)sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-(2cos 2α-1)-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-2cos 2α=2tanαtan 2α+tanα-2 =2×222+2-2=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220+2402=230. 因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a , 由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224, 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户), 月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户), 月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为1125+15+10+5=15,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC ∥平面PDA ; (2)证明:BC ⊥PD ;(3)求点C 到平面PDA 的距离.(1)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ∥AD.因为BC ⊄平面PDA ,AD ⊂平面PDA , 所以BC ∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ⊥CD.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以BC ⊥PD.(3)解:取CD 的中点E ,连接AE 和PE.因为PD=PC ,所以PE ⊥CD.在Rt △PED 中,PE=√PD 2-DE 2=√42-32=√7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,PE ⊂平面PDC , 所以PE ⊥平面ABCD. 由(2)知BC ⊥平面PDC. 由(1)知BC ∥AD. 所以AD ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h , 因为V 三棱锥C-PDA =V 三棱锥P-ACD ,所以13S △PDA ·h=13S △ACD ·PE , 即h=S △ACD ·PE S △PDA=12×3×6×√712×3×4=3√72, 所以点C 到平面PDA 的距离是3√72. 19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1.(1)求a 4的值;(2)证明:{a n+1-12a n }为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式.(1)解:当n=2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4(1+32+54+a 4)+5(1+32)=8(1+32+54)+1, 解得a 4=78. (2)证明:因为4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n ≥2), 即4a n+2+a n =4a n+1(n ≥2).因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2, 所以4a n+2+a n =4a n+1(n ∈N *). 因为a n+2-12a n+1a n+1-12a n=4a n+2-2a n+14a n+1-2a n=4a n+1-a n -2a n+14a n+1-2a n=2a n+1-a n 2(2a n+1-a n )=12,所以数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列. (3)解:由(2)知数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列,所以a n+1-12a n =(12)n -1, 即a n+1(12)n+1−a n(12)n =4,所以数列{a n(12)n }是以a 112=2为首项,公差为4的等差数列,所以a n(12)n =2+(n-1)×4=4n-2,即a n =(4n-2)×(12)n =(2n-1)×(12)n -1. 所以数列{a n }的通项公式是a n =(2n-1)×(12)n -1. 20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0可化为(x-3)2+y 2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32,其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53. 易知x ≤3,所以53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3).(3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0),斜率为k 的直线.结合图形,(x 0-32)2+y 02=94(53<x 0≤3)表示的是一段关于x 轴对称,起点为F (53,-2√53)按逆时针方向运动到E (53,2√53)的圆弧(不含端点). 根据对称性,只需讨论在x 轴下方的圆弧. 由F (53,-2√53),则k FT =2√534-53=2√57, 而当直线L 与轨迹C 相切时,|3k 2-|√k +1=32,解得k=±34.在这里暂取k=34,因为2√57<34,所以k FT <k.结合图形,可得对于x 轴下方的圆弧,当0≤k ≤2√57或k=34时,直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-2√57≤k<0或k=-34时,直线L 与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述,当-2√57≤k ≤2√57或k=±34时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a 为实数,函数f (x )=(x-a )2+|x-a|-a (a-1). (1)若f (0)≤1,求a 的取值范围; (2)讨论f (x )的单调性;(3)当a ≥2时,讨论f (x )+4x在区间(0,+∞)内的零点个数. 解:(1)f (0)=a 2+|a|-a 2+a=|a|+a.因为f (0)≤1,所以|a|+a ≤1. 当a ≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a ≤1,所以a ≤12. 所以0<a ≤12.综上所述,a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )={x 2-(2a -1)x ,x ≥a ,x 2-(2a +1)x +2a ,x <a .对于u 1=x 2-(2a-1)x ,其图象的对称轴为x=2a -12=a-12<a ,开口向上, 所以f (x )在[a ,+∞)上单调递增;对于u 2=x 2-(2a+1)x+2a ,其图象的对称轴为x=2a+12=a+12>a ,开口向上, 所以f (x )在(-∞,a )上单调递减.综上,f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(-∞,a )上单调递减. (3)由(2)得f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减, 所以f (x )min =f (a )=a-a 2.①当a=2时,f (x )min =f (2)=-2,f (x )={x 2-3x ,x ≥2,x 2-5x +4,x <2,令f (x )+4x=0,即f (x )=-4x(x>0). 因为f (x )在(0,2)上单调递减, 所以f (x )>f (2)=-2,而y=-4x 在(0,2)上单调递增,y<f (2)=-2, 所以y=f (x )与y=-4x在(0,2)上无交点. 当x ≥2时,令f (x )=x 2-3x=-4x, 即x 3-3x 2+4=0,所以x 3-2x 2-x 2+4=0. 所以(x-2)2(x+1)=0.因为x ≥2,所以x=2,即当a=2时,f (x )+4x有一个零点x=2.②当a>2时,f (x )min =f (a )=a-a 2, 当x ∈(0,a )时,f (0)=2a>4,f (a )=a-a 2,而y=-4x在x ∈(0,a )上单调递增,当x=a 时,y=-4a.下面比较f (a )=a-a 2与-4a 的大小.因为a-a 2-(-4a)=-(a 3-a 2-4)a =-(a -2)(a 2+a+2)a<0,所以f (a )=a-a 2<-4a.结合图象不难得当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个交点. 综上,当a=2时,f (x )+4x 有一个零点x=2; 当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个零点.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+12x D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件{x+2y≤2,x+y≥0,x≤4,则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10 答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-23x+z3,z3表示直线y=-23x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=() A.3 B.2√2 C.2 D.√3答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2√3×√32,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 ( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案:B解析:设正品分别为A 1,A 2,A 3,次品分别为B 1,B 2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P=610=0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆x 225+y 2m2=1(m>0)的左焦点为F 1(-4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 答案:B解析:由已知a 2=25,b 2=m 2,c=4,又由a 2=b 2+c 2,可得m 2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案:A解析:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p ,q ,r ,s )|0≤p<s ≤4,0≤q<s ≤4,0≤r<s ≤4且p ,q ,r ,s ∈N },F={(t ,u ,v ,w )|0≤t<u ≤4,0≤v<w ≤4且t ,u ,v ,w ∈N },用card(X )表示集合X 中的元素个数,则card(E )+card(F )=( ) A.200 B.150 C.100 D.50 答案:A解析:E 中有序数组的要求为s 均大于p ,q ,r ,当s 取4时,p 可取0,1,2,3,q 也可取0,1,2,3,r 也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s 取3时,p ,q ,r 均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s 取2时,p ,q ,r 可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s 取1时,p ,q ,r 只能都取0,不同数组有1个,因此E 中不同元素共有64+27+8+1=100个.F 中元素要求为t<u ,v<w ,当u 取4时,t 可取0,1,2,3;当u 取3时,t 可取0,1,2;当u 取2时,t 可取0,1; 当u 取1时,t 取0,所以t ,u 的不同组合为10种.同理,v ,w 不同组合也有10种,故F 中元素个数为10×10=100,所以card(E )+card(F )=200. 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x 2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示) 答案:(-4,1)解析:不等式可化为x 2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x 1,x 2,…,x n 的均值x =5,则样本数据2x 1+1,2x 2+1,…,2x n +1的均值为 . 答案:11解析:由题意,y i =2x i +1(i=1,2,…,n ),则y =2x +1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b= . 答案:1解析:因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac ,即b 2=(5+2√6)(5-2√6)=1. 又b 是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为{x =t 2,y =2√2t ,(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C 1的直角坐标方程为x+y=-2. 由已知得曲线C 2的普通方程为y 2=8x. 由{x +y =-2,y 2=8x ,得y 2+8y+16=0, 解得y=-4,x=2.所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 为圆O 的直径,E 为AB 延长线上一点,过E 作圆O 的切线,切点为C ,过A 作直线EC 的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2√3,则AD= . 答案:3解析:由切割线定理得EC 2=EB ·EA ,即12=EB ·(EB+4),可求得EB=2. 连接OC ,则OC ⊥DE ,所以OC ∥AD ,所以EO EA=OC AD ,即46=2AD,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan (α+π4)的值;(2)求sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1的值.解:(1)tan (α+π4)=tanα+tan π41-tanαtan π4=tanα+11-tanα=2+11-2=-3. (2)sin2αsin 2α+sinαcosα-cos2α-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-(2cos 2α-1)-1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα-2cos 2α=2tanαtan 2α+tanα-2 =2×222+2-2=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220+2402=230. 因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a , 由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224, 所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户), 月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户), 月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为1125+15+10+5=15,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC ∥平面PDA ; (2)证明:BC ⊥PD ;(3)求点C 到平面PDA 的距离.(1)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ∥AD.因为BC ⊄平面PDA ,AD ⊂平面PDA , 所以BC ∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD 是长方形,所以BC ⊥CD.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以BC ⊥PD.(3)解:取CD 的中点E ,连接AE 和PE.因为PD=PC ,所以PE ⊥CD.在Rt △PED 中,PE=√PD 2-DE 2=√42-32=√7.因为平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD=CD ,PE ⊂平面PDC , 所以PE ⊥平面ABCD. 由(2)知BC ⊥平面PDC. 由(1)知BC ∥AD. 所以AD ⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ,所以AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h , 因为V 三棱锥C-PDA =V 三棱锥P-ACD ,所以13S △PDA ·h=13S △ACD ·PE , 即h=S △ACD ·PE S △PDA=12×3×6×√712×3×4=3√72, 所以点C 到平面PDA 的距离是3√72. 19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1.(1)求a 4的值;(2)证明:{a n+1-12a n }为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式.(1)解:当n=2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4(1+32+54+a 4)+5(1+32)=8(1+32+54)+1, 解得a 4=78. (2)证明:因为4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1(n ≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n -S n-1=4S n+1-4S n (n ≥2), 即4a n+2+a n =4a n+1(n ≥2).因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2, 所以4a n+2+a n =4a n+1(n ∈N *). 因为a n+2-12a n+1a n+1-12a n=4a n+2-2a n+14a n+1-2a n=4a n+1-a n -2a n+14a n+1-2a n=2a n+1-a n 2(2a n+1-a n )=12,所以数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列. (3)解:由(2)知数列{a n+1-12a n }是以a 2-12a 1=1为首项,公比为12的等比数列,所以a n+1-12a n =(12)n -1, 即a n+1(12)n+1−a n(12)n =4,所以数列{a n(12)n }是以a 112=2为首项,公差为4的等差数列,所以a n(12)n =2+(n-1)×4=4n-2,即a n =(4n-2)×(12)n =(2n-1)×(12)n -1.所以数列{a n }的通项公式是a n =(2n-1)×(12)n -1. 20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B.(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0可化为(x-3)2+y 2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32, 其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53. 易知x ≤3,所以53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3). (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0),斜率为k 的直线.结合图形,(x 0-32)2+y 02=94(53<x 0≤3)表示的是一段关于x 轴对称,起点为F (53,-2√53)按逆时针方向运动到E (53,2√53)的圆弧(不含端点). 根据对称性,只需讨论在x 轴下方的圆弧. 由F (53,-2√53),则k FT =2√534-53=2√57, 而当直线L 与轨迹C 相切时,|3k 2-4k |√k +132,解得k=±34.在这里暂取k=34,因为2√57<34,所以k FT <k.结合图形,可得对于x 轴下方的圆弧,当0≤k ≤2√57或k=34时,直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-2√57≤k<0或k=-34时,直线L 与x 轴上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述,当-2√57≤k ≤2√57或k=±34时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a 为实数,函数f (x )=(x-a )2+|x-a|-a (a-1). (1)若f (0)≤1,求a 的取值范围; (2)讨论f (x )的单调性;(3)当a ≥2时,讨论f (x )+4x在区间(0,+∞)内的零点个数. 解:(1)f (0)=a 2+|a|-a 2+a=|a|+a.因为f (0)≤1,所以|a|+a ≤1. 当a ≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a ≤1,所以a ≤12.所以0<a ≤12.综上所述,a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )={x 2-(2a -1)x ,x ≥a ,x 2-(2a +1)x +2a ,x <a .对于u 1=x 2-(2a-1)x ,其图象的对称轴为x=2a -12=a-12<a ,开口向上, 所以f (x )在[a ,+∞)上单调递增;对于u 2=x 2-(2a+1)x+2a ,其图象的对称轴为x=2a+12=a+12>a ,开口向上, 所以f (x )在(-∞,a )上单调递减.综上,f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(-∞,a )上单调递减. (3)由(2)得f (x )在[a ,+∞)上单调递增,在(0,a )上单调递减, 所以f (x )min =f (a )=a-a 2.①当a=2时,f (x )min =f (2)=-2,f (x )={x 2-3x ,x ≥2,x 2-5x +4,x <2,令f (x )+4x=0,即f (x )=-4x(x>0). 因为f (x )在(0,2)上单调递减, 所以f (x )>f (2)=-2,而y=-4x 在(0,2)上单调递增,y<f (2)=-2, 所以y=f (x )与y=-4x在(0,2)上无交点. 当x ≥2时,令f (x )=x 2-3x=-4x, 即x 3-3x 2+4=0,所以x 3-2x 2-x 2+4=0. 所以(x-2)2(x+1)=0.因为x ≥2,所以x=2,即当a=2时,f (x )+4x有一个零点x=2.②当a>2时,f (x )min =f (a )=a-a 2, 当x ∈(0,a )时,f (0)=2a>4,f (a )=a-a 2,而y=-4x在x ∈(0,a )上单调递增,当x=a 时,y=-4a.下面比较f (a )=a-a 2与-4a 的大小.因为a-a 2-(-4a)=-(a 3-a 2-4)a =-(a -2)(a 2+a+2)a<0,所以f (a )=a-a 2<-4a.结合图象不难得当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个交点. 综上,当a=2时,f (x )+4x 有一个零点x=2; 当a>2时,y=f (x )与y=-4x有两个零点.。

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

{1,1}M =-，{2,1,0}N =-,则M N ⋂=（ ）A.{0,1}-B.{1}C.{0}D.{1,1}-2.已知i 是虚数单位，则复数2(1)i +=（ ） A.2i B.2i-C.2D.2-3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A.sin 2y x x =+ 2B.cos y x x=-1C.22x xy =+2D.sin y x x =+ 4.若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A.2B.5C.8D.10 5.设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A b c <，则b =（ ） A.3B. C.2D.6.若直线1l 与2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）12A.,l l l 与都不相交 12B.,l l l 与都相交12C.,l l l 至多与中的一条相交12D.,l l l 至少与中的一条相交7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A.0.4B.0.6C.0.8D.18.已知椭圆2221025x y m m +=>（）的左焦点为1-F （4,0），则=m （ ） A.2 B.3 C.4D.99.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD 则AD AC（ ）A.5B.4C.3D.2 10.若集合{}(,,,)|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且，{}(,,,)|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=（ ）A.200B.150C.100D.50二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11-13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 .（用区间表示） 12. 已知样本数据12,,,n x x x 的均值5x =，则样本1221,21,,21n x x x +++的均值为 .13. 若三个正数a,b,c 成等比例，其中526,526a c =+=-，则b = .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. 则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15. (几何证明选讲选做题)如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过点E 作圆O 的切线，切点为C 过点A 作直线EC 的垂线，垂足为D ，若4,23AB CE ==，则AD = .图1三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分） 已知tan 2.（1）求)4tan(πα+的值；（2）求2sin 2sinsin coscos21的值.17.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2，（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3. （1）证明：BC ∥平面PDA ； （2）证明：BC ⊥PD ；（3）求点C 到平面PDA 的距离.19.（本小题满分14分）设数列n a 的前n 项和为*,n S n N ，已知123351,,,24a a a 且当2n 时，211458nn n n S S S S .（1）求4a 的值；（2）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a a 211为等比数列； （3）求数列n a 的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B.（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a .（1）若1)0(≤f ，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2≥a 时，讨论4()f x x在区间),0(+∞内的零点个数.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）-答案1、【答案】B 【解析】}1{=⋂N M2、【答案】A 【解析】()()i i i i 221122=++=+3、【答案】D 【解析】A 为奇函数，B 和C 为偶函数，D 为非奇非偶函数4、【答案】B 【解析】由题意可做出如图所示阴影部分可行域，则目标函数23z x y =+过点（4，-1）时z 取得最大值为max 243(1)5z =⨯+⨯-=5、【答案】C 【解析】由余弦定理得，23344122cos 2222=-+=-+=b b bc a c b A ，化简得0862=+-b b ，解得42或=b ，因为b c <，2b =所以，6、【答案】D7、【答案】B 【解析】设5件产品中2件次品分别标记为A ，B ，剩余的3件合格品分别设为a ，b ，c. 则从5件产品中任取2件，共有10种情况，分别为（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ）、（a ，b ）、（a ，c ）、（b ，c ）、（A ，B ）其中，恰有一件次品的情况有6种，分别是（A ，a ）、(A ，b)、（A ，c ）、（B ，a ）、（B ，b ）、（B ，c ），则其概率为0.6106= 8、【答案】B 【解析】因为椭圆的左焦点为（-4，0），则有4=c ，且椭圆的焦点在x 轴上，所以有916252522=-=-=c m ，因为,0>m 所以3=m9、【答案】A 【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以)1,3()1,2()2,1(-=+-=+=AD AB AC ，则5)1(132=-⨯+⨯=⋅AC AD10、【答案】A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种；当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种； 当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种；当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=.当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种；当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种； 当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种；当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯= 所以()()card card F 100100200E +=+=11、【答案】（-4,1） 【解析】解不等式2340x x --+> 得14<<-x ，所以不等式的解集为（-4，1） 12、【答案】10 【解析】由题意知，当样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =时，样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为2125111x +=⨯+=13、【答案】1 【解析】由等比中项性质可得，1)62(5)625)(625(222=-=-+==ac b ，由于b 为正数，所以b=114、【答案】（2，-4） 【解析】曲线1C 的直角坐标系方程为2-=+y x ，曲线2C 的直角坐标方程为x y 82=. 联立方程⎩⎨⎧=-=+x y y x 822，解得⎩⎨⎧-==42y x ，所以1C 与2C 交点的直角坐标为（2，-4） 15、【答案】3 【解析】由切割线定理得：2CE =BE AE ，所以，BE BE （+4）=12解得：BE=2BE 或=-6(舍去)连结OC ，则OC DE AD DE OC//AD ∴⊥，⊥，OC OE 26=,3AD AE 4OC AE AD OE ⨯∴∴===16、【解析】 （1）tan tan4tan()41tan tan 4tan 11tan παπαπααα++=-+=- ∵ tan 2α= ∴21tan()34121πα++==-- （2）222222222sin sin cos cos 21sin 1sin cos (cos sin )cos sin cos cos sin sin cos 2cos sin αααααααααααααααααα+--=-+--=-+-+=-+∵sin22sin cos ααα=∴22222sin cos sin cos -2cos sin 2tan =tan 2tan 221222ααααααααα=+-+⨯==-+原式17、【解析】 （1）（0.002+0.0025+0.005+x ）⨯20=1∴0.0075x = （2）众数：230中位数：取频率直方图的面积平分线 0.0020.00950.0110.0225110.0252020.0250.02250.00250.0025202202240.0125++=⨯=∴-=⨯+=（3）[220,240):0.01252010025⨯⨯=[240,260):0.00752010015⨯⨯= [260,280):0.0052010010⨯⨯= [280,300):0.0025201005⨯⨯= 共计：55户 ∴[220,240)抽取：2511555⨯=户 18、【解析】（1）∵ 四边形ABCD 为长方形∴BC AD∵BC PDA AD PDA ⊄⊂平面，平面 ∴BC PDA 平面 （2）取DC 中点E ，连接PE∵PC=PD ∴ PE ⊥CD∵ 面PCD ⊥面ABCD ，面PCD ⋂面ABCD=CD PE ⊂面PCD ，PE ⊥CD ∴ PE ⊥面ABCD 而BC ⊂面ABCD ∴ BC ⊥PE∵ BC ⊥CD ，CD ⋂PE=E ∴ BC ⊥面PCD PD ⊂面PCD ∴ BC ⊥PD（3）由（2）得：PE 为面ABCD 的垂线∴P-ADC ΔACD 1V PE S 3=⨯⨯在等腰三角形PCD中，ACD 11S AD DC 36922∆=⨯⨯=⨯⨯=∴P-ADC 1V 93==设点C 到平面PDA 距离为h ∴C-PDA PDA 1V S 3h ∆=⨯⨯而PDA 11S AD PD 34622∆=⨯⨯=⨯⨯=∴163h =⨯⨯∴h ，即：点C 到平面PDA19、【解析】（1）令n=2,则：43123123112124444348535151244135122155481542374237837371578848S S S S S a a a S a S a a S S S a S =+-=++=++====+=+=∴=⨯+-⨯==∴=-=-=（2）211112211211121321212112114584584584444{44}5344=4-4+1=04244=042=2-42=12-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nS S S S S S S S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++-+--++-+++-+++++++++++=+⎧⎨+=+⎩∴+=+∴-+=-+∴-+-+⨯⨯∴-+∴--∴为常数列211211114-2=112-21-12=12-21{-}2n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++∴∴∴（）（）为等比数列（3）由（2）得：11{-}2n n a a +是首相为：2113-=22a a ，公比为12的等边数列111411()()22{}2,411()22=2+41()2121()()221n n n n n nn n n n na aa aan n n a n ++∴-=∴=∴-∴==-为首相公差为的等差数列（+1）=4-24-2 20、【解析】（1）2222650,34x y x x y +-+=-+=∴配方得：（）圆心坐标为（3,0）（2）由题意得：直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率为k ，则l :y kx = 设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y12122222222122212222222222222650650(1)650661161313131()30(1)6500,,364(1)5011x x x y y y y kx x y x x k x x k x x x x k k ky y k x k k y k x y xx x y k x x k k +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩=⎧⎨+-+=⎩∴+-+=∴+-+=-∴+=-=++∴+=+⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩∴=+∴-+=+-+=∴∆>-+>∴≤+<有解即29535(,3]13x k ∴=∈+（3）曲线C ：22530(,3]3x x y x -+=∈2221233()()220354303543x y k k k -+=-==--=-的两个极限值：3|04|323433[{,}44k k k k --∴=±∴∈⋃-相切时： 21、【解析】（1）222(0)||(1)||||f a a a a a a a a a a=+--=+-+=+10,21,21020,1,012a a a a a a a a R a a ≥≤≤∴≤≤<+≤∈∴<≤若即：若即：-综上所述： （2）22()()(1)()()()()(1)()x a x a a a x a f x x a x a a a x a ⎧-+---≥⎪=⎨-----<⎪⎩22(12)()()(12)2()x a x x a f x x a x a x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 对称轴分别为：12122a x a a +==+>∴(,)a -∞在区间上单调递减，,a +∞在区间（）上单调递增资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- （3）由（2）得()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，所以2min ()()f x f a a a ==-. ①当2a =时，-22()(m in==）f x f ，⎩⎨⎧<+-≥-=24523)(22x x x x x x x f ，， 当04)(=+xx f 时，即)0(4)(>-=x x x f . 因为()f x 在(0,2)上单调递减，所以()(2)2f x f >=- 令xx g 4)(-=，则)(x g 为单调递增函数，所以在区间（0，2）上，2)2()(-=<g x g ， 所以函数)(x f 与)(x g 在（0，2）无交点.当2x ≥时，令x x x x f 43)(2-=-=，化简得32340x x -+=，即()()0122=+-x x ，则解得2=x 综上所述，当2a =时，xx f 4(+）在区间()+∞,0有一个零点x=2. ②当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a => ，0)(2<-=a a a f ， 而x x g 4)(-=为单调递增函数，且当),0(a x ∈时，04)(<-=xx g 故判断函数)()(x g x f 与是否有交点，需判断2)(a a a f -=与a a g 4)(-=的大小. 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以24()f a a a a=-<-,即）a g a f ()(< 所以，当),0(a x ∈时，)()(x g x f 与有一个交点；当),(+∞∈a x 时，)(x f 与)(x g 均为单调递增函数，而04)(<-=xx g 恒成立 而令a x 2=时，02)1()2(2>=--+=a a a a a a f ，则此时，有)2()2(a g a f >，所以当),(+∞∈a x 时，)()(x g x f 与有一个交点；故当2>a 时，()y f x =与x x g 4)(-=有两个交点. 综上，当2a =时，4()f x x +有一个零点2x =； 当2>a ，4()f x x+有两个零点。

广东省广州市2015届高三1月模拟调研数学（文）试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y =，则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 3. 命题“若0x >，则20x >”的否命题是A ．若0x >，则20x ≤B ．若20x >， 则0x >C ．若0x ≤，则20x ≤D ．若20x ≤，则0x ≤4. 设向量(,1)x =a ，(4,)x =b , ⋅a b 1=-, 则实数x 的值是 A ．2- B ．1-C ．13-D ．15- 5. 函数()()1cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π6. 一算法的程序框图如图1，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为A ．1-B ．0C ．1D ．5 7. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．② ④ 8. 已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是 A ．11a b> B ．()2log 0a b ->C ．1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b-<9. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的 图1 直线与双曲线C的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PFQ 的周长为 A．3 B ．C ．3D ． 10.已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的C 值为A ．4029B ．4029-C ．8058D ．8058-二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 不等式2230x x --<的解集是 ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .13. 已知实数x ,y 满足221x y xy +-=，则x y +的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2 在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______．三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin αβ+的值.FEDCBA 17．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）18．（本小题满分14分）如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积． 图319．（本小题满分14分） 已知首项为32，公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22S -，3S ，44S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n n T b +6<.20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b+=+. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．()1,3- 1213．2 14．13 15．sin()42πρθ+=三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点， ∴sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. …………………………………………1分∴1a =-. ………………………………………………2分∴ ()sin cos f x x x =-x x ⎫=⎪⎪⎭………………………………………………3分4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分（2）解：∵45f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=. ∴sin 5α=. ………………………………………………7分 ∵ 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos α==. ………………………………………………8分∵345f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴cos β=. ………………………………………………9分 ∵ 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 10β==. ………………………………………………10分HFEDCB∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分=2=. ……………………………………………12分 17．（本小题满分12分）（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A . …………………………………1分所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． …………3分事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． …………5分 ∴42()105P A ==． …………………………………………6分 （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==． ………8分()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b--+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4a y b x =-=， …………………………………………10分 ∴y关于x的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． …………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ，∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ． ………………………………4分 （2）解: 在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ， ∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴D E BH ⊥. ………………………………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，D E ⊂平面ADEF ，ADDE D =，∴BH ⊥平面ADEF . ………………………………7分∴BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………8分在Rt △ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故BH = ………………………………9分∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴ DE AD ⊥. ………………………………10分由（1）知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，∴ AD ∥EF . …………………………………………11分 ∴DE EF ⊥. …………………………………………12分∴三棱锥B D -的体积11313336DEFV SB ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． …………………14分19．（本小题满分14分） （1）解：由题意得324224S S S =-+， …………………………………………1分即()()42430S S S S -+-=， 即()4340a a a ++=. …………………………………………2分∴4312a a =-. …………………………………………3分 ∴公比12q =-. …………………………………………4分∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分 另解：由题意得32224S S S=-+，1q ≠， …………………………………………1分∴()()()3241111121111a q a q a q qqq---=-+---. …………………………………………2分化简得2210q q --=，解得12q =-， …………………………………………4分∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分 （2）解：1313222n n n nnb n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， …………………………………………6分 ∴12312336932222n n nn T b b b b =++++=++++，① ……………………………7分()23131136322222n n n n nT +-=++++，② …………………………………………8分 ①-②得，1231133333222222n n n n T +=++++-111132231212n n n +⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⨯--13632n n ++=-， …………………………………………10分 ∴3662n nn T +=-. …………………………………………12分∴ 6662n n nT b +=-<. …………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴21b =.…………………………………………1分∵2222c a b c a ==+， …………………………………………2分∴24a =． …………………………………………3分 ∴椭圆C的方程为2214x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组2214x y ⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． (6)分从而()()()2228414440km k m∆=-+-=,化简得2214m k =+．① (7)分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……………9分∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ……………………………………10分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OM k k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. ……………………………………11分 ∴OM与AB不垂直. ……………………………………12分 ∴点M不是线段AB的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组2214x y ⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． (6)分从而()()()2228414440km k m∆=-+-=,化简得2214m k =+．① (7)分()228414214M km kmx k k =-=-++， …………………………………………………8分由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y,得()2221250k xkmx m +++-=.………………………………9分∴12221N x x kmx k +==-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km kmk k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分∴ 点N 与点M 不重合. ……………………………………12分∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()2ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞，∴()2bf x ax x '=-. …………………………………………1分依题意可得((1)20.f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩ …………………………………………2分解得1a b ==. …………………………………………4分（2）解：2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈， ∴ 22()mx g x m x x-'=-=. …………………………………………5分① 当0m ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,1]上单调递减，∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………6分② 当02m <≤时，2()()0m x m g x x-'=≤，则()g x 在(0,1]上单调递减,∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………7分③当2m >时，则20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；2,1x m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>，∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增. 故当2x m =时，()g x 的最小值为2g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵2(1)0g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.∴min ()0g x ≠. …………………………………………8分综上所述，存在m 满足题意，其取值范围为(,2]-∞. …………………………………………（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减,∴ (0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. …………………………………………10分∵ 120x x <<, ∴ 1201x x <<. …………………………………………11分 ∴112212ln x xx x ->. …………………………………………12分 ∴121222(ln ln )x x x x x ->-. …………………………………………13分∵ 21ln ln x x >, ∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分 证法2：设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则2222()1x x x x x xϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， …………………………………………10分∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递减∴2()()0x x ϕϕ<=. …………………………………………11分∴2(0,)x x ∈时，2222(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………120x x <<,∴221212(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………13分 21ln ln x x >,∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分。

试卷类型：A图17432109878试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2015.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =,{}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为A ．M NB ．()U M N ðC ．()U M N ðD ．()()U U M N 痧 2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数， 叶为个位数，则这组数据的中位数是A. 91B. 91.5C. 92D. 92.54．已知i 为虚数单位，复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部b 记作Im ()z ，则Im 11i ⎛⎫=⎪+⎝⎭ A ．12-B ．1-C ．12D ．15. 设抛物线:C 24y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．5C ．6D ．7侧视图正视图6. 已知△ABC的三边,,a b c所对的角分别为,,A B C,且sinsin2BAa b=, 则cos B的值为A. B.12C.12-D.7. 已知数列{}n a为等比数列，若4610a a+=，则()713392a a a a a++的值为A.10B. 20C.100D. 2008. 若直线3y x=上存在点(),x y满足约束条件40,280,,x yx yx m++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m的取值范围是A. [)1,-+∞ B. ()1,-+∞C. (],1-∞- D. (),1-∞-9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. D.10．已知圆O的圆心为坐标原点，半径为1，直线:(l y kx t k=+为常数，0)t≠与圆O 相交于,M N两点，记△MON的面积为S，则函数()S f t=的奇偶性为A．偶函数B．奇函数C．既不是偶函数，也不是奇函数D．奇偶性与k的取值有关二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11. 函数()()ln2f x x=-的定义域为.12. 已知e为自然对数的底数，则曲线2y=e x在点()1,2e处的切线斜率为.13. 已知函数()11f xx=+，点O为坐标原点, 点()(),(nA n f n n∈N*)，向量()0,1=i，图3n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201512122015cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点， BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且435f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.图4O F ED C B A 图5FE P O D B A 17．（本小题满分12分）从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:（1）求,,a b c 的值； （2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松 志愿者, 再从身高不低于175cm 的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作, 求这2名 担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm 的概率.表118.（本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求四棱锥P BFED -的体积.19.（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =, ()()1112n n n n nS n S ++-+=, n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k ，使k a ，2k S ， 4k a 成等比数列? 若存在，求k 的值； 若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程；(2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21.（本小题满分14分）已知t 为常数，且01t <<，函数()()1102t g x x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小值和函数()h x =()32f x x ax bx =-++(,a b ∈R )的零点.（1）用含a 的式子表示b ，并求出a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值和最小值.（2015广州一模）2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学文科答案欢迎加入QQ群，与学霸一起共享高考资源广东高考理科交流群：87588011广东高考文科交流群：342975160广东高考家长交流群：328265953---------------------------------2015年广州市高考模拟考试英语2015．01 本试卷共11页, 三大题, 满分135分。

2015年广州市高考模拟考试数 学（文科）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：因为()21222z i i i i i =+=+=-+，所以z 对应的点的坐标是()2,1-，所以在第二象限，故选B ．考点：1、复数的乘法运算；2、复平面．2.已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y =，则MN =（ ）A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 【答案】B 【解析】试题分析：使y =必须满足0x ≥，∴{}0x x N =≥，∴{}01x x M N =≤<，故选B ．考点：1、函数的定义域；2、集合的交集运算． 3.命题“若0x >，则20x >”的否命题是（ ）A. 若0x >，则20x ≤ B. 若20x >，则0x > C. 若0x ≤，则20x ≤ D. 若20x ≤，则0x ≤ 【答案】C 【解析】试题分析：“若0x >，则20x >”的否命题是“若0x ≤，则20x ≤”，故选C ． 考点：命题的否命题．4.设向量(),1a x =，()4,b x =，1a b ⋅=-，则实数x 的值是（ ） A. 2- B. 1- C. 13-D. 15-【答案】D 【解析】试题分析：因为1a b ⋅=-，所以41x x +=-，解得15x =-，故选D ． 考点：向量数量积的坐标运算．5.函数()()1cos f x x x =的最小正周期为（ ） A ．2π B ．32π C ．π D ．2π 【答案】A 【解析】 试题分析：因为()()11cos cos 2cos 2sin 26f x x x x x x x x π⎫⎛⎫=+==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期是221ππT ==，故选A ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、辅助角公式；3、三角函数的最小正周期． 6.一算法的程序框图如图1，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．5 【答案】C 【解析】试题分析：由程序框图知：sin ,262,2x x x y x π⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩．当2x >时，122xy ==，解得：1x =-（舍去）；当2x ≤时，1sin 62y x π⎛⎫==⎪⎝⎭，解得：121x k =+（k ∈Z ）或125x k =+（k ∈Z ），当0k =时，1x =或5x =（舍去），所以输入的x 的值可能是1，故选C ． 考点：1、框图；2、分段函数． 7.用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线,γ表示平面, 给出下列命题:① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ;③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是（ ） A ．① ② B ．② ③ C ．① ④ D ．② ④ 【答案】D 【解析】试题分析：若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c 或a 与c 相交或a 与c 异面，所以①是假命题；平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题．故选D ．考点：空间点、线、面的位置关系．8.已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b> B ．()2log 0a b ->C ．1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b-<【答案】C 【解析】试题分析：由22log log a b >得：0a b >>．取2a =，1b =，代入每个选项，得：选项A ，112>，不成立；选项B ，()22log 21log 10-==，不成立；选项C ，211132⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，成立；选项D ，21221-=<，不成立．故选C ．考点：不等式的性质．9.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PF Q 的周长为（ ）A ．3 B ． C ．3D ．【答案】A 【解析】试题分析：因为2c ===，所以()2F 2,0，因为点P 的横坐标为2，所以Q x P ⊥轴，由22213y -=，解得y =所以Q P =，因为点P 、Q 在双曲线C 上，所以12F F P -P =，12QF QF -=1122F QF F QF Q P +=P +=P ==，所以△1PF Q 的周长为11F QF Q P ++P =+=，故选A ． 考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的弦长；3、焦点三角形的周长． 10.已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．4029B ．4029-C ．8058D ．8058- 【答案】D 【解析】 试题分析：因为()()()2sin 32sin 23f x f x x x x x ππ+-=+-+-+--⎡⎤⎣⎦()sin sin 24x x πππ=+--()sin sin 44x x ππ=+--=-，所以12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4029140294029480582201520152f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 考点：1、函数值；2、推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分） （一）必做题（11～13题）11.不等式2230x x --<的解集是 ． 【答案】()1,3- 【解析】试题分析：由2230x x --<，解得：13x -<<，所以不等式2230x x --<的解集是()1,3-． 考点：解一元二次不等式．12.在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 .【答案】212π+【解析】试题分析：作出可行域如图所示：不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域W 是图中正方形CD AB ，则正方形CD AB 的面积是224⨯=．从区域W 中随机取点(),x y M ，使2OM ≤，则点M 落在图中阴影部分．在R t ∆AOM中，MA =，3π∠AOM =，所以阴影部分的面积是21122122263ππ⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故所求的概率是234π=考点：1、线性规划；2、几何概型．13.已知实数x ,y 满足221x y xy +-=，则x y +的最大值为 . 【答案】2 【解析】试题分析：因为221x y xy +-=，所以221x y xy +=+，所以()2213132x y x y xy +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，即()24x y +≤，解得：22x y -≤+≤，所以x y +的最大值为2． 考点：基本不等式．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．ODEC BA【答案】13【解析】试题分析：因为直线CE 与圆O 相切于点C ，所以C CD θ∠AB =∠A =，因为AB 是圆O 的直径，所以C C B ⊥A ，在Rt C ∆AB 中，C sin θA =AB ，在Rt CD ∆A 中，Dsin CθA =A ，所以2C D D 1sin C 9θA A A =⋅==AB A AB ，故1sin 3θ=． 考点：1、弦切角；2、直径所对的圆周角．15.（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为 .【答案】sin()4πρθ+=【解析】试题分析：曲线1C :2sin ρθ=的普通方程为2220x x y -+=，曲线2C :2cos ρθ=的普通方程为2220x y y +-=，所以AB 的方程为0x y -+=，又易知AB 的垂直平分线斜率为1-，经过圆1C 的圆心()1,0，所以AB 的垂直平分线的方程为1y x =-+，即为考点：1、极坐标方程与直角坐标方程互化；2、两圆的公共弦所在直线方程．三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，34f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭求()s i n αβ+的值.【答案】（1）1a =-，32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )；（2）2． 【解析】 试题分析：（1）由4π是函数()f x 的一个零点得1a =-，代入，用辅助角公式化简，得()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数()f x 的单调递增区间；（2）先将已知条件进行化简，再利用22sin cos 1αα+=求出cos α和sin β的值，进而()sin αβ+展开，代入数值．试题解析：（1）解：∵4π是函数()f x 的一个零点， ∴ sin cos 0444f a πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. …………………………………………1分 ∴ 1a =-. ………………………………………………2分 ∴ ()sin cos f x x x =-x x ⎫=⎪⎪⎭………………………………………………3分4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ………………………………………………4分由22242k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………………………………………………5分 ∴ 函数()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). …………………6分（2）解：∵4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=.∴ sin α=. ………………………………………………7分 ∵ 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ cos 5α==. ………………………………………………8分∵34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭∴ cos β=. ………………………………………………9分 ∵ 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ sin 10β==. ……………………………………………10分 ∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …………………………………………11分=+2=. ………………………………………………12分 考点：1、函数的零点；2、辅助角公式；3、三角函数的单调性；4、诱导公式；5、同角三角函数的基本关系；6、两角和的正弦公式． 17.（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）【答案】（1）25；（2）ˆ 2.14yx =+． 【解析】试题分析：（1）利用列举法写出抽出2组数据的所有基本事件，并从中找出2组数据恰好是相邻2天数据的基本事件，利用古典概型公式求出概率；（2）先求出x 和y ，再利用参考公式算出ˆb和ˆa ，代入即可得线性回归方程． 试题解析：（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A . ………………………………1分所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． …………3分事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． …………5分∴ 42()105P A ==．…………………………………………6分（2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．………8分()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+- ˆˆ4ay bx =-=， …………………………………………10分∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14y x =+． (12)分考点：1、古典概型；2、回归直线方程． 18.（本小题满分14分）如图3，在多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，平面BCEF平面ADEF EF =，60BAD ︒∠=，2AB =，1DE EF ==．（1）求证：BC ∥EF ； （2）求三棱锥B DEF -的体积．FEDCBA【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：（1）由AD ∥BC ，可证BC ∥平面ADEF ，进而可证BC ∥EF ；（2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，先证BH ⊥平面D F A E，再算出BH =可得三棱锥B DEF -的体积．试题解析：（1）证明：∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF ， ∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分 又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF平面ADEF EF =，∴BC ∥EF ． ………………………………4分HFEDCBA（2）解: 在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ， ∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴DE BH ⊥. ………………………………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，ADDE D =，∴BH ⊥平面ADEF . ………………………………7分 ∴BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………………………8分在Rt △ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故BH = ………………………………9分 ∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴ DE AD ⊥. ………………………………10分 由（1）知，BC ∥EF ，且AD ∥BC ，∴ AD ∥EF . …………………………………………11分 ∴ DE EF ⊥. …………………………………………12分∴三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=． …………………14分考点：1、线线平行、线面平行；2、锥体的体积；3、线面垂直． 19.（本小题满分14分）已知首项为32，公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22S -，3S ，44S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b n a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n n T b +6<.【答案】（1）13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由22S -，3S ，44S 成等差数列，得324224S S S =-+，转化可得q ，即可得数列{}n a 的通项公式；（2）先用错位相减法求出n T ，再算出n n T b +，即可比较n n T b +与6的大小关系．试题解析：（1）解：由题意得324224S S S =-+， …………………………………………1分即()()42430S S S S -+-=，即()4340a a a ++=. …………………………………………2分 ∴4312a a =-. …………………………………………3分 ∴ 公比12q =-. …………………………………………4分 ∴ 13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………5分另解：由题意得324224S S S =-+，1q ≠， …………………………………………1分 ∴()()()3241111121111a q a q a q qqq---=-+---. …………………………………………2分化简得2210q q --=，解得12q =-， …………………………………………4分 ∴13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. (5)分（2）解：1313222n n n n n b n a n -⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， …………………………………………6分∴ 12312336932222n n nnT b b b b =++++=++++， ① ……………………………7分 ()23131136322222n n n n nT +-=++++， ② …………………………………………8分①-②得，12311333322222n n n n T +=++++-111132231212n n n +⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⨯--13632n n ++=-…………………10分∴ 3662n nn T +=-. …………………………………………12分∴ 6662n n n T b +=-<. …………………………………………14分考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的性质；3、数列求和. 20.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，且经过点()0,1．圆22221:C x y a b+=+. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，问AM BM +=0是否成立？请说明理由． 【答案】（1）2214x y +=；（2）AM BM +=0不成立. 【解析】试题分析：（12a b =，由椭圆C 经过点()0,1，可得：1b =，即可得椭圆C 的方程；（2）先将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，可得()222148440k xkmx m +++-=，利用0∆=，可得2214m k =+，再求出点M 的坐标，进而可得点M 不是线段AB 的中点，即可得AM BM +=0不成立.试题解析：（1）解：∵ 椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,1，∴ 21b =. …………………………………………1分∵222c a b c a ==+， …………………………………………2分 ∴24a =． …………………………………………3分∴椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解． 由（*）得()222148440kx kmx m +++-=． ……………………………………6分从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++，22241414M M k m m y kx m m k k =+=-+=++. ……………9分 ∴ 点M 的坐标为224,1414kmm k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭. ……………………………………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，∴OMk k ⨯=2211414414m k k km k +⨯=-≠--+. ……………………………………11分∴ OM 与AB 不垂直. ……………………………………12分∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分 ∴AM BM +=0不成立. ……………………………………14分 解法2：由（1）知，圆1C 的方程为225x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，∴方程组22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．由（*）得()222148440k x kmx m +++-=． ……………………………………6分 从而()()()2228414440km km∆=-+-=,化简得2214m k =+．① …………………7分()228414214M km kmx k k =-=-++， …………………………………………………8分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,得()2221250k x kmx m +++-=.………………………………9分 ∴ 12221N x x kmx k +==-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km kmk k-=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分 ∴ 点N 与点M 不重合. ……………………………………12分 ∴ 点M 不是线段AB 的中点. ……………………………………13分∴ AM BM +=0不成立. ……………………………………14分考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线. 21.（本小题满分14分）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．【答案】（1）1,2a b ==；（2）存在，m 的取值范围为(,2]-∞；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求导()2b f x ax x '=-，进而可得(1)1(1)20f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩，即可解出a ，b 的值；（2）先对函数()g x 求导，再对m 的值进行分类讨论，即可得m 的取值范围；（3）结合（2），可证12ln x x ->，进而可证121222(ln ln )x x x x x ->-，即可证212212ln ln x x x x x -<-. 试题解析：（1）解：∵()2ln f x ax b x =-，其定义域为()0,+∞，∴()2bf x ax x '=-. …………………………………………1分依题意可得(1)1,(1)20.f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩…………………………………………2分解得1,2a b ==. …………………………………………4分 （2）解：2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈， ∴ 22()mx g x m x x-'=-=. …………………………………………5分① 当0m ≤时，()0g x '<，则()g x 在(0,1]上单调递减，∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………6分② 当02m <≤时，2()()0m x m g x x-'=≤，则()g x 在(0,1]上单调递减,∴min ()(1)0g x g ==. …………………………………………7分③当2m >时，则20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；2,1x m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>，∴()g x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,1m ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增. 故当2x m =时，()g x 的最小值为2g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵2(1)0g g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭.∴min ()0g x ≠. …………………………………………8分综上所述，存在m 满足题意，其取值范围为(,2]-∞. …………………………………………9分（3）证法1：由（2）知，当1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减,∴ (0,1)x ∈时，()(1)0g x g >=, 即12ln x x ->. …………………………………………10分∵ 120x x <<, ∴ 1201x x <<. …………………………………………11分 ∴112212ln x xx x ->. …………………………………………12分 ∴121222(ln ln )x x x x x ->-. …………………………………………13分∵ 21ln ln x x >, ∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分 证法2：设2222()2(ln ln )(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<， 则2222()1x x x x x xϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'<， …………………………………………10分∴()x ϕ在2(0,)x 上单调递减∴2()()0x x ϕϕ<=. …………………………………………11分∴2(0,)x x ∈时，2222(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………12分 120x x <<,∴221212(ln ln )x x x x x -<-. …………………………………………13分 21ln ln x x >,∴212212ln ln x x x x x -<-. …………………………………………14分考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数证明不等式.。

广东省广州市2015年高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.示为（）2. （5分）已知向量1= （ 3, 4）,若|入i|=5,则实数 入的值为（）D . ±13. （5分）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图） 叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A .91 B . 91.5 C . 92 D . 92.5 4. （5分）已知 i 为虚数单位，复数 z=a+bi (a , b€R )的虚部 b 记作Im (z ),则 Im (:J =()A.1 — B . - 1C .D .1225. （5分）设抛物线 C : y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离为4,则点P 到抛物线C 的焦点的距离是（） A. 4B . 5C . 6D . 71. （ 5分）已知全集U={1 , 2, 3, 4, 5}，集合 M={3 , 4, 5}, N=｛1 , 2, 5｝，则集合｛1 , 2｝可以表A . M A NB . ( ?U M ) A NC . M A (?U N )D . ( ?U M ) A ( ?U N )B . 1，其中茎为十位数, 6. (5分) 已知△ ABC 的三边a , b , c 所对角分别为 A , B , C ，且 —a.B S11TZ—:―，贝U cosB 的值为()b7. A .Vs 2(5分) 10 已知数列｛a n ｝为等比数列，若 a 4+a 6=10，则 C . 100a 7 ( a 1+2a 3)+a 3a 9 的值为()200& （5分）若直线y=3x 上存在点（x , y ）满足约束条件\+y+4^02K -y+8>0，则实数m 的取值范围是（）A . [ - 1, + a)B.( - 1, +a)C.( - a, - 1] D . (- a, - 1)9- （5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为「，则该椎体的俯视图可以是（）10. （5分）已知圆0的圆心为坐标原点，半径为1,直线I: y=kx+t （k为常数，t#））与圆0相交于M, N 两点，记△ MON的面积为S,则函数S=f （t）的奇偶性（）A .偶函数B .奇函数C .既不是偶函数，也不是奇函数D .奇偶性与k的取值有关二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（11〜13 题）11. （5分）函数f （x）=ln （x - 2）的定义域为.x12. （5分）已知e为自然对数的底数，则曲线y=2e在点（1, 2e）处的切线斜率为.■ *13. （5分）已知函数f （ x）=二，点0为坐标原点，点A n （n, f （n））（n€N ）,向量i= （0, 1）,M+1___ j, —* COS i COS □CO S on i ce n是向量OA与i的夹角，则・J+ * J+■勿垢的值为.n sin o 1sin o 2sin y2oi5三、选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题）（一、坐标系与参数方程选做题）f x=cos B +sinO14. （5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为«o Q （ e为参数）|^y=cos - sin 巴v—2. —+和* （t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的I尸t交点的极坐标为.(二)几何证明选讲选做题15. 如图，BC是圆0的一条弦，延长BC至点E,使得BC=2CE=2，过E作圆0的切线，A为切点,四、解答题：本大题共6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (12分)已知函数f (x) =sin (x -^) +cosx.6(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若a是第一象限角，且f ( a+丄^)=—，求tan ( a-f 的值.3 5 417. (12分)从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)情况如表:(1 )求a, b, c的值；(2)按表1的身高组别进行分层抽样，从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松志愿者，再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，求这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm的概率.分组频数频率[160, 165) 50.05[165, 170) a c[170, 175) 350.35[175, 180) b0.20[180, 185]100.10合计100 1.0018. (14分)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，/ DAB=60 °点E, F分别是边CD , CB的中点,AC nEF=O.沿EF 将^CEF 翻折至U △ PEF，连接PA, PB, PD,得至U如图2 的五棱锥P-ABFED , 且PB"帀.(1)求证：BD丄平面POA;(2)求四棱锥P- BFED的体积.19. (14分)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,且满足 a 〔=l , nS n+1-( n+1) S n =一士— , n€N (1 )求a 2的值；(2) 求数列｛a n ｝的通项公式；(3) 是否存在正整数 k ，使得a k 、S 2k 、a 4k 成等比数列？若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理 由.点，点Q 满足 J ・4=0，［…卜=0，且A , B , Q 三点不共线. (1) 求椭圆C 1的方程 (2) 求点Q 的轨迹方程(3) 求△ ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标.11 - t21. (14分)已知t 为常数，且0v t v 1，函数g (x ) = (x+) (x > 0)最小值和函数 h ( x )2x------------------------- 3 2:2K-2+ ■.的最小值都是函数 f (x ) = - x +ax +bx (a , b €R )的零点.(1) 用含a 的式子表示b ,并求出a 的取值范围； (2) 求函数f (x )在区间［1 , 2］上的最大值和最小值.广东省广州市2015届高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. (5 分)已知全集 U=｛1，2，3，4，5｝，集合 M=｛3，4，5｝，N=｛1，2, 5｝，则集合｛1，2｝可以表 示为()A . M n NB . (?U M ) n NC . M n (?U N )D . ( ?U M ) n (?U N )20.( 14分)已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线* 一 y 2=1的顶点，直线x+ ■: y=0与椭圆C 1交于A 、B 两点，且点A 的坐标为(-血1),点P 是椭圆C 1上异于点A , B 的任意B考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：根据兀素之间的关系进行求解即可.解答：解：••• M={3 , 4, 5}, N={1 , 2, 5},• M Q N={5} , ( ?U M ) Q N={1 , 2},M A ( ?U N) ={3 , 4},(?U M) A (?U N) =?,故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础.2. （5分）已知向量；=（3, 4）,若|订|=5,则实数入的值为（）B. 1C. ■ D . ±1考点：向量的模.专题：平面向量及应用.分析：由|入i|= ― =5直接计算即可.解答：解：T 1= （3, 4）,•••订=（3 人4”，•••丨儿心；」「n亠3 4 5，解得”=1,从而”=±,故选：D.点评：本题考查向量的长度的计算，属基础题.=91.5.其中茎为十位数,3（5分）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图）叶为个位数，则这组数据的中位数是（）88 79 1 7 4 2 0 3A . 91 B. 91.5 C. 92 D . 92.5考点：众数、中位数、平均数.专题：概率与统计.分析：把茎叶图中的数据按照大小顺序排列，求出这组数据的中位数即可.解答：解：根据茎叶图中的数据，按照大小顺序排列为，87、88、90、91、92、93、94、97;•这组数据的中位数是2故选：B.点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目.4. （5分）已知i为虚数单位，复数z=a+bi（a，）的虚部b记作Im（z），则Im（击=（）A .-1B. - 1C. D . 1:2考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析：利用复数的运算的法则、虚部的定义即可得出.解答：解•…一…一1 -i .-:.',•'•Im(■-)=-,1+1 2故选：A .点评：本题考查了复数的运算的法则、虚部的定义，属于基础题.5. （5分）设抛物线C: y2=4x上一点P到y轴的距离为4,则点P到抛物线C的焦点的距离是（）A. 4B. 5C. 6 D . 7考点：抛物线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：由题意可得点P的横坐标为4,由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线x= - 1的距离，由此求得结果.2解答：解：由于抛物线y =4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4.2再由抛物线y =4x的准线为x= - 1,以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4-（ - 1）=5 ,故选B .点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题..B金 A S11T26. （5分）已知△ ABC的三边a, b, c所对角分别为A , B , C,且- 一，则cosB的值为（）a bC.考点：正弦定理. 专题：解三角形.分析： 由正弦定理结合已知可解得： cos ：=】，结合B 的范围，即可求得 B 的值，从而可求COSB2 2的值.s . B解答： 解：由正弦定理可得:，—::-一 ，结合已知 二亠一 2sinA sinB sinCa b故有：sin B=2s in 二 cos^=s in 二，解得： cos=,2 2 2 2 2因为：O V B V n,可得0＜卫＜卫，2 2所以[二，解得B=「：—,2 33所以 cosB=cos '=-,32故选：C .点评： 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查.7. （5分）已知数列｛a n ｝为等比数列，若 a 4+a 6=10，则a 7 （ a i +2a 3）+a 3a 9的值为（） A . 10B . 20C . 100D . 200考点： 等比数列的通项公式. 专题：等差数列与等比数列.分析： 禾U 用等比数列的性质即可得出. 解答： 解：•••数列｛a n ｝为等比数列， …a 7（ai +2a 3）+a 3a 9=a 7a i +2a 7a 3+a 3a 9=「「--「i' =：. " .■=10 =100,故选：C .点评： 本题考查了等比数列的性质，属于基础题.& （5分）若直线y=3x 上存在点（x , y ）满足约束条件' 2K - y+8＞0，则实数m 的取值范围是（）要使直线y=3x 上存在点（x , y ）满足约束条件,A . [ - 1, + a ）B . （ - 1, +1C .考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用. 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用直线 件确定m 的取值范围.解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由"，解得*x+y+4=0K= - 1，即交点坐标A (-y= _3(-a, - 1] D . (- a, - 1)y=3x 与x+y+4=0确定交点（-1, - 3）,则由条1, -3),则A 在区域内，如图所示.可得 mA 1, •••实数m 的取值范围是［-1, + ~. 故选：A点评： 本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，利用数形结合是解决此类问题的基 本方法.9. （5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为 ■',则该椎体的俯视图可以是（）考点：简单空间图形的三视图. 专题： 空间位置关系与距离.分析：由已知中锥体的正视图和侧视图， 可得锥体的高为 「，结合锥体的体积为亠，可得其底3面积为 解答：2，进而可得答案. 解：•••锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为 忑，又•••锥体的体积为一蓉 故锥体的底面面积为 2,A 中图形的面积为 4,不满足要求;B 中图形的面积为 n,不满足要求；C 中图形的面积为 2,满足要求；D 中图形的面积为 「，不满足要求；B .D .故选：C点评： 本题考查的知识点是简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题.10. （5分）已知圆0的圆心为坐标原点，半径为 1,直线I : y=kx+t （k 为常数，t #））与圆0相交 于M , N 两点，记△ MON 的面积为S ,则函数S=f （t ）的奇偶性（） A .偶函数 B .奇函数C .既不是偶函数，也不是奇函数D .奇偶性与k 的取值有关 考点： 函数奇偶性的判断.专题： 函数的性质及应用；直线与圆.分析：根据直线和圆的位置关系求出圆心到直线的距离以及弦长，求出三角函数的面积，结合函数奇偶性的定义进行判断即可.解答： 2 2解：圆的标准方程为 x +y =1，故函数f （t ）为偶函数. 故选：A .点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据条件求出三角形的面积是解决本题的关键.二、填空题：本大题共 3小题，考生作答 4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（11〜13 题） 11. （5 分）函数 f （x ） =ln （ x - 2）的定义域为（2，+8）. 考点：函数的定义域及其求法. 专题：函数的性质及应用.分析： 根据对数函数f （x ）的解析式，真数大于 0，列出不等式，求出解集即可. 解答： 解：T 函数 f （x ） =ln （x - 2）， /• x - 2> 0; 解得x > 2，•••该函数的定义域为（2，+ ^）.-.1-? ' t -，故答案为：（2, + R ）. 点评： 本题考查了对数函数定义域的应用问题，是基础题目.x 12.（5分）已知e 为自然对数的底数，则曲线 y=2e 在点（1, 2e ）处的切线斜率为 空. 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题： 导数的概念及应用.分析： 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线的斜率. 解答： 解：曲线y=2e x 的导数为：y'=2e x . 曲线y=2e x 在点（1, 2e ）处的切线斜率为：y |x=i =2e 1=2e , 故答案为：2e . 13. (5分)已知函数f ( x ) =—L ，点0为坐标原点，点 A n ( n , f (n )) ( n€N ),向量i = (0, 1), x+1 0n 是向量ST 与：的夹角，则準巳+竺电+.. + 心轴15的值为2Q15 sin e ] sin ° 2 虽口 ° 2015 2016 考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角. 专题：三角函数的求值. COS Q 1 1 分析： 由题意易得 -•=-一，进而由裂项相消法可得. sin n n n+1 解答： 解：由题意可得90°-划是直线OAn 的倾斜角， cos 9… sin （90° - 9 ）•••^―= =tan （ 90。