必修第一章14三角函数的图象和性质同步练习

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.4三角函数的图像与性质同步测试A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知函数的最小正周期为，且，则（）A . 在单调递增B . 在单调递增C . 在单调递减D . 在单调递减2. （2分） (2016高一下·三原期中) 已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为2πB . 函数f（x）在区间[0， ]上是增函数C . 函数f（x）的图象关于直线x=0对称D . 函数f（x）是奇函数3. （2分）(2018·山东模拟) 已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（）A .B .C .D .4. （2分）函数的定义域是（）.A .B .C .D .5. （2分）若,则所在的象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2018高二下·邱县期末) 已知函数，下列结论错误的是（）A . 的最小正周期为B . 在区间上是增函数C . 的图象关于点对称D . 的图象关于直线对称7. （2分） (2016高二上·山东开学考) 设a=sin（﹣1），b=cos（﹣1），c=tan（﹣1），则有（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜a＜bD . a＜c＜b8. （2分）如果函数f（x）=sin（2πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且当x=1时取得最大值，那么（）A . T=1，θ=B . T=1，θ=πC . T=2，θ=πD . T=2，θ=9. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数的最小正周期为为函数的一条对称轴，则函数的一个增区间为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·山西月考) 函数在上单调递增，则的范围是（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数，下面说法正确的是（）A . 函数的周期为B . 函数图象的一条对称轴方程为C . 函数在区间上为减函数D . 函数是偶函数12. （2分）若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A .B .C .D .13. （2分）函数y=tan（x﹣）的定义域是（）A . {x∈R|x≠kπ+，k∈Z}B . {x∈R|x≠kπ﹣，k∈Z}C . {x∈R|x≠2kπ+，k∈Z}D . {x∈R|x≠2kπ﹣，k∈Z}14. （2分）若将函数(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的最小值为（）A .B .C .D .15. （2分）函数的最小正周期为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）函数y=tan|x|的单调区间为________17. （1分）直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是________18. （1分） (2015高一下·仁怀开学考) 函数的最小正周期为________．19. （1分）求函数y= tan（5x+ ）的对称中心________．20. （1分）函数y=tan(x-)的最小正周期是________三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分）求函数y=tan(-x)的定义域、周期及单调区间.22. （5分）求函数y=|tanx|的周期和对称轴．23. （5分）已知函数f（x）=tan（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为2π．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求不等式f（x）＞﹣1的解集．24. （5分）函数y=cos4x﹣sin4x图象的一条对称轴方程是？25. （5分）已知函数y=acosx+b（a＞0）的最大值是3，最小值是﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）=bsin（ax+ ）的单调增区间．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17、答案：略18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、25-2、。

第12课时 正切函数的性质与图象1错误! A ．xx ≠k π＋错误!，k ∈ZB ．xx ≠k π2－错误!，k ∈ZC ．xx ≠错误!＋错误!,k ∈ZD ．xx ≠k π2，k ∈Z答案 C解析由2x＋错误!≠kπ＋错误!，得x≠错误!＋错误!（k∈Z）．2．函数y＝tan x错误!≤x≤错误!，且x≠错误!的值域是________．答案(－∞，－1]∪[1,＋∞）解析∵y＝tan x在错误!，错误!，错误!，错误!上都是增函数，∴y≥tan 错误!＝1或y≤tan错误!＝－1．3．函数y＝sin x＋tan x，x∈－错误!，错误!的值域为________．答案－错误!，错误!解析∵y＝sin x和y＝tan x两函数在－错误!,错误!上都是增函数,∴x ＝－错误!时，y min＝－错误!－1，当x＝错误!时，y max＝错误!＋1．4）A．y＝tan2x B．y＝|sin x|C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!答案D解析∵y＝tan2x的最小正周期是错误!，∴排除A；又∵y＝|sin x|及y＝sin错误!＝cos2x是偶函数，∴排除B，C．故选D．5．函数y＝3tan错误!的图象的一个对称中心是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．（0，0)答案C解析因为y＝tan x的图象的对称中心为错误!，k∈Z．由错误!x＋错误!＝错误!，k∈Z，得x＝kπ－错误!,k∈Z,所以函数y＝3tan错误!的图象的对称中心是kπ－错误!，0，k∈Z．令k＝0，得－错误!，0．故选C．6错误!错误!错误!)A．a〈b〈c B．b<c<aC．c〈b<a D．a<c〈b答案D解析∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝log错误!tan70°<0．又0<sin25°〈sin30°＝错误!，∴b＝log错误!sin25°>log错误!错误!＝1,而c＝错误!cos25°∈(0，1)，∴b〉c〉a．7．(1)求函数y＝tan2x－错误!的单调区间；(2)比较tan错误!与tan错误!的大小．解(1）由于正切函数y＝tan x的单调递增区间是－错误!＋kπ，错误!＋kπ，k∈Z，故令－错误!＋kπ<2x－错误!〈错误!＋kπ，k∈Z,得－错误!＋kπ<2x<错误!＋kπ，k∈Z，即－错误!＋错误!〈x<错误!＋错误!，k∈Z．故y＝tan2x－错误!的单调递增区间是－错误!＋错误!，错误!＋错误!，k∈Z,无单调递减区间．（2）tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!，tan错误!＝tan3π＋错误!＝tan错误!,因为y＝tan x在0，错误!内单调递增,所以tan错误!〈tan错误!,即tan错误!〈tan错误!．8；④y ＝tan｜x|在x∈－错误!,错误!内的大致图象，那么由(a)到(d）对应的函数关系式应是( ）A．①②③④ B．①③④②C．③②④① D．①②④③答案D解析y＝tan（－x)＝－tan x在－错误!,错误!上是减函数，只有图象（d)符合，即(d)对应③．9．观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围．(1)tan x>1；（2）－错误!<tan x〈错误!．解（1）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝1．在区间错误!内，满足tan x〉1的区间是π4，错误!．又由正切函数的最小正周期为π，可知满足tan x〉1的x的取值范围是错误!（k∈Z）．（2）观察正切曲线（图略）,可知tan错误!＝－错误!，tan错误!＝错误!．在区间错误!内，满足－错误!<tan x〈错误!的区间是－错误!，π3．又由正切函数的最小正周期为π,可知满足－33<tan x〈错误!的x的取值范围是错误!（k∈Z)．一、选择题1．当x∈－错误!,错误!时，函数y＝tan｜x｜的图象（)A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．没有对称轴答案B解析函数y＝tan|x｜是偶函数，其图象关于y轴对称．2．函数f（x）＝tanωx－错误!与函数g（x)＝sin错误!－2x的最小正周期相同，则ω＝( ）A．±1 B．1 C．±2 D．2答案A解析由题意可得π｜ω|＝2π|－2|,解得｜ω|＝1，即ω＝±1．3．下列各式中正确的是( )A．tan735°〉tan800° B．tan1〈tan2C．tan错误!〈tan错误!D．tan错误!〈tan错误!答案D解析tan错误!＝tan错误!＝tan错误!〈tan错误!，故选D．4．y＝cos x－错误!＋tan（π＋x）是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析y＝cos x－错误!＋tan(π＋x）＝sin x＋tan x．∵y＝sin x，y＝tan x均为奇函数，∴原函数为奇函数．5．若直线x＝错误!(－1≤k≤1）与函数y＝tan2x＋错误!的图象不相交，则k＝（)A．14B．－错误!C．错误!或－错误!D．－错误!或错误!答案C解析由题意得2×错误!＋错误!＝错误!＋mπ,m∈Z，解得k＝错误!＋m，m∈Z．由于－1≤k≤1，所以k＝14或－错误!．二、填空题6．关于函数f(x）＝tan错误!，有以下命题:①函数f（x）的周期是错误!；②函数f（x)的定义域是xx∈R且x≠错误!＋错误!，k∈Z;③y＝f(x)是奇函数;④y＝f（x)的一个单调递增区间为错误!．其中，正确的命题是________．答案①解析f(x）＝tan错误!的周期T＝错误!，故①正确；定义域为错误!，故②不正确；f（x）是非奇非偶函数，故③不正确；f(x)的单调递增区间为错误!，k∈Z，故④不正确．7．函数y＝tan（cos x)的值域是________．答案[－tan1，tan1]解析由cos x∈[－1,1]，结合y＝tan x的性质求解．∵－π2<－1≤cos x≤1<错误!，∴－tan1≤tan（cos x)≤tan1．8．不等式tan错误!≥－1的解集是________．答案错误!解析由正切函数的图象,可知－错误!＋kπ≤2x＋错误!〈错误!＋kπ，k ∈Z，所以原不等式的解集为x－错误!＋错误!≤x〈错误!＋错误!，k∈Z．三、解答题9．函数f（x）＝tan（3x＋φ)图象的一个对称中心是错误!，0，其中0<φ〈错误!，试求函数f(x)的单调区间．解由于函数y＝tan x的对称中心为错误!,0，其中k∈Z．故令3x＋φ＝错误!，其中x＝错误!，即φ＝错误!－错误!．由于0〈φ<错误!,所以当k＝2时,φ＝错误!．故函数解析式为f（x）＝tan3x＋错误!．由于正切函数y＝tan x在区间kπ－错误!,kπ＋错误!(k∈Z）上为增函数．则令kπ－错误!<3x＋错误!<kπ＋错误!，解得kπ3－π4<x<错误!＋错误!，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为错误!－错误!，错误!＋错误!，k∈Z．10．设函数f(x）＝tan（ωx＋φ)错误!，已知函数y＝f(x)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为错误!，且图象关于点M错误!对称．（1)求f(x）的解析式;（2)求f（x）的单调区间;（3)求不等式－1≤f(x）≤错误!的解集．解(1）由题意，知函数f（x）的最小正周期T＝错误!，即错误!＝错误!．因为ω>0，所以ω＝2．从而f（x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x）的图象关于点M错误!对称，所以2×错误!＋φ＝错误!，k∈Z，即φ＝k π2＋错误!,k ∈Z ．因为0〈φ〈错误!,所以φ＝错误!． 故f (x ）＝tan 错误!．（2）令－π2＋k π〈2x ＋错误!<错误!＋k π，k ∈Z ,得－错误!＋k π<2x 〈k π＋错误!，k ∈Z ， 即－错误!＋错误!〈x <错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以函数f （x )的单调递增区间为－错误!＋错误!，错误!＋错误!,k ∈Z ,无单调递减区间．（3）由(1)，知f (x ）＝tan 错误!． 由－1≤tan 错误!≤ 错误!，得－错误!＋k π≤2x ＋错误!≤错误!＋k π,k ∈Z ， 即－错误!＋错误!≤x ≤错误!＋错误!，k ∈Z ． 所以不等式－1≤f （x ）≤错误!的解集为错误!．。

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三角函数的图象与性质及其应用(30分钟50分）一、选择题(每小题3分,共18分)1。

设函数f(x)=cos(2x-π），x∈R,则f（x）是（）A。

最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C。

最小正周期为的奇函数D。

最小正周期为的偶函数【解析】选B。

因为f（x）=cos(2x—π）=cos(π—2x）=—cos2x，所以f（x)是最小正周期为π的偶函数。

【补偿训练】下列函数中，最小正周期为的是( ）A。

y=sin B。

y=tanC。

y=cos D。

y=tan【解析】选B。

A，C最小正周期为π，B最小正周期为,D最小正周期为. 2。

（2015·朔州高一检测）函数y=sin的单调增区间是（）A.（k∈Z）B。

(k∈Z）C。

（k∈Z）D。

(k∈Z)【解析】选C.y=sin=—sin，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z，所以函数y=sin的单调增区间是，k∈Z。

3。

把函数f(x）=sin的图象向右平移个单位可以得到函数g（x）的图象，则g等于( ）A.—B.C.-1 D。

1【解析】选 D.函数f(x)=sin的图象向右平移个单位,可以得到函数g （x)=f的图象，所以g(x）=sin=sin(—2x+π）=sin2x,所以g=sin=1。

三角函数的图象和性质单元复习题一、选择题 1.命题甲：“x 是第一象限角”，命题乙：“sin x 是增函数”，则命题甲是命题乙的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由x 是第一象限角推不出sin x 是增函数，如)62sin(3sin ,623ππππππ+〉+〈但；由sin x 是增函数也推不出x 是第一象限角，如sin x 在区间]0,2[π-是增函数，但]0,2[π-内的所有角都不是第一象限角.答案：D2.右图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(｜ϕ｜＜2π＝的图象，那么( ) A.ω＝1110，ϕ＝6π B.ω＝1110，ϕ＝－6πC.ω＝2，ϕ＝6πD.ω＝2，ϕ＝-6π解析：由点(0，1)在其图象上，可知1＝2sin ϕ，又｜ϕ｜＜2π，∴ϕ＝6π. 又∵1211πω＋6π＝2π⇒ω＝2. 答案：C3.已知cos x ＝94，x ∈(－2π，0)，则x 的值是( ) A.－ａrccos 94 B.π－arccos 94C.arccos 94D.2π－arccos 94解析：∵arccos 94∈(0，2π)，而x ∈(－2π，0)∴x ＝－arccos 94.答案：A4.要得到函数y ＝sin(2x －4π)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A.向左平移4πB.向右平移4πC.向左平移8π D.向右平移8π 解析：当x →x －8π时，2x →2(x －8π)＝2x －4π答案：D5.函数y ＝sin 2(ωx )－cos 2(ωx )的周期T ＝4π，那么常数ω为( ) A.21 B.2 C.41D.4 解析：∵y ＝－cos(2ωx )，T ＝ϖπ22=4π∴ω＝41.答案：C6.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝45πB.x ＝－2πC.x ＝8πD.x ＝4π解析：∵y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，∴x ＝－2π是它的一条对称轴.答案：B7.函数y ＝ｌｏｇcos1cos x 的值域是( )A.［－1，1］B.(－∞，＋∞)C.(－∞，]0D.［0，＋)∞］ 解析：由题意知0＜cos1＜1，0＜cos x ≤1,∴y ≥0. 答案：D8.如果｜x ｜≤4π，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( ) A.212- B.221- C.－212+ D.－1解析：f (x )＝(1－sin 2x )＋sin x ＝－(sin x －21)2＋45由｜sin x ｜≤22，知当sin x ＝－22时f (x )ｍｉｎ＝－(－22－21)2＋45＝221-.答案：B9.函数f (x )＝sin 25π+x ，ｇ(x )＝cos 25π+x ，则( )A.f (x )与ｇ(x )皆为奇函数B.f (x )与ｇ(x )皆为偶函数C.f (x )是奇函数，ｇ(x )是偶函数D.f (x )是偶函数，ｇ(x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ＝25π+x =sin(25π＋2x )＝cos 2xｇ(x )＝cos(2x ＋25π)＝－sin 2x答案：D10.下列函数中，图象关于原点对称的是( )A.y ＝－｜sin x ｜B.y ＝－x ·sin ｜x ｜C.y ＝sin(－｜x ｜)D.y ＝sin ｜x ｜解析：∵点(x ,y )关于原点的对称点P (－x ，－y )，把P 点坐标逐一代入选择支，知y ＝－x ·sin ｜x ｜关于原点对称.答案：B 二、填空题11.函数y ＝3sin(πx ＋3)的振幅是 ，周期是 ，初相是 . 答案：3 2 312.2sin2cos cos x x xy -=的值域是 .解析：由2sin2cos cos x x x y -=＝2sin 2cos 2sin 2cos 22x x xx --＝)42sin(22sin 2cos π+=+x x x , x ≠2k π+2π＋,k ∈Z ∴y ≠±)42sin(,2π+∴x ＜1 ∴y ∈(－2，2) 答案：(-2，2)13.若函数y ＝Acos(ωx －3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A ＝ ．答案：π 514.在下列函数中：①y ＝4sin(x －3π)，②y ＝2sin(x －65π)，③y ＝2sin(x ＋6π)，④y ＝4sin(x ＋3π),⑤y ＝sin(x －613π)关于直线x ＝65π对称的函数是 (填序号).解析：∵y ＝4sin(65π－3π)＝4sin 2π＝4，y 取最大值.∴x ＝65π为它的一个对称轴.又y ＝sin(65π－613π)＝sin 23π＝－1∴x ＝65π是对称轴. 答案：①⑤15.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是 .解析：当x ∈(k π－2π，k π＋2π)时，y ＝2tan x 是增函数,当x ∈(k π－π，k π)时，y ＝cos x 是增函数,∴当x ∈(k π－2π，k π)时，y ＝2tan x 与y =cos x 均是增函数.答案：(k π-2π，k π)k ∈Z16.函数y ＝tan x 53的周期为 ，y ＝sin 22x 的周期是 ，y ＝－cos(5x＋6π)的周期 是 ．答案：35π 2π 52π17.在y ＝arcsin x 中，x ∈ ，y ∈ 的一个 .答案：［0，1］ ［0，2π］ 角 18.利用单位圆将sin2，sin3，sin4由小到大排列的顺序为 . 答案：sin4＜sin3＜sin219.由y ＝sin x 变为y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得y ＝sin(ωx ＋ϕ)；再把 坐标 原来的A 倍，就是y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(其中A ＞0).答案：|ϕ | |2ϕ| 纵 扩大到 20.y ＝(2＋cos x )(5－cos x )的最大值为 ，最小值为 .解析：∵y ＝－cos 2x ＋3cos x ＋10＝－(cos x －23)2＋449当cos x ＝－1时，y ｍｉｎ＝6 当cos x ＝1时，y ｍｉｎ＝12 答案：12 6 三、解答题21.求)1lg(tan 1cos 2+-=x x y 的定义域.解：由题意得)(322242)(4324232320tan 1tan 21cos 11tan 01tan 11cos 2Z k k x k k x k k x Z k k x k k x k x x x x x x ∈+≤〈〈〈-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠∈+〈〈-+≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-〉≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+〉+≥-πππππππππππππππ或 22.已知函数y ＝ａ－ｂcos x 的最大值是23，最小值是－21，求函数y ＝－4ａsin3ｂx 的最大值、最小值、周期、振幅、频率.解：当ｂ＞0时x y b a b a b a 3sin 21212123-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+x b a b a b a b 3sin 21212123,0⇒=⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-〈时当∴最小值是－2，最大值是2，T ＝32πA ＝－2(ｂ＞0)或2(ｂ＜0＝，f ＝π23.23.若f (x )＝A sin(x －3π)＋B ，且f (3π)＋f (2π)＝7，f (π)－f (0)＝23，求f (x ).解：由已知得：3)3sin(2)(3232232372132)0()(7)2()3()3sin()(+π-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=++⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-π=π+π+π-=x x f B A B A B A B A B f f f f B x A x f24．若⎩⎨⎧=+=θθθθcos sin cos sin y x ，试求y ＝f (x )的解析式.解：由x ＝sin θ＋cos θ⇒x 2＝1＋2sin θcos θ⇒sin θcos θ＝212-x∴y ＝f (x )＝sin θcos θ＝212-x又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋4π) 而｜sin(θ＋4π)｜≤1 ∴｜x ｜≤2， ∴y ＝f (x )＝21x 2－21，x ∈［－2，2］．。

1。

4 三角函数的图象和性质一、填空题1。

函数y＝sin x－|sin x｜的值域是__________．2。

函数f(x)＝2sin错误!，x∈[－π，0］的单调递增区间是__________．3。

函数y＝2sin错误!错误!的值域是__________．4。

若函数f（x）＝sin x＋φ3（φ∈［0，2π］)是偶函数,则φ＝________．5。

若直线x＝错误!（0≤k≤1）与函数y＝tan错误!的图象不相交，则k＝__________．6。

函数y＝lg（sin x）＋错误!的定义域为__________．7. 如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点错误!中心对称,那么｜φ｜的最小值为________．8。

在平面直角坐标系xOy中,若函数f（x)＝sin错误!(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为错误!，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈错误!，则x0的值为__________．9。

将函数y＝2sin错误!(ω〉0)的图象分别向左、向右各平移错误!个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为__________．10. 已知函数f(x)＝sin错误!(x∈R)，则下列结论正确的是________．(填序号）① 函数f(x）的最小正周期为π；② 函数f（x)是偶函数；③ 函数f(x）的图象关于直线x＝错误!对称；④ 函数f(x）在区间错误!上是增函数．二、解答题11. 已知f(x）＝cos（2x＋φ)错误!，且f(错误!)＝错误!。

(1）求φ的值；(2）在给定的坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．12已知函数f(x）＝Asin（ωx＋φ),x∈R错误!的周期为π，且其图象上一个最低点为M 错误!。

（1）求f(x）的解析式；（2）当x∈错误!时，求f（x）的最值．13如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面间的距离为0。

8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB.设点B与地面间的距离为h.（1) 求h与θ之间的函数解析式;（2）设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？1.［－2,0] 解析：y＝错误!函数的值域为［－2，0］．2。

1.4.3正切函数的性质与图象课后篇巩固探究1.函数f(x)=的定义域为()A.B.C.D.解析由题意得k∈Z,所以x≠(k∈Z),选A.答案A2.若函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=()A.±1B.1C.±2D.2解析∵函数g(x)的周期为=π,∴=π,∴ω=±1.答案A3.函数y=tan的一个对称中心是()A.(0,0)B.C. D.(π,0)解析令x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是.令k=2,可得函数的一个对称中心为.答案C4.函数f(x)=tan的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.(kπ,(k+1)π),k∈Z解析因为f(x)=tan=-tan,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.所以kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故原函数的单调递减区间是,k∈Z.答案B5.在区间范围内,函数y=tan x与函数y=sin x图象交点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sin x与y=tan x在内的图象,需明确x∈时,有sin x<x<tan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明),然后利用对称性作出x∈的两函数的图象(注意正切函数的定义域),如图所示,由图象可知它们有三个交点.答案C6.函数y=tan的值域为.解析∵-≤x≤,且x≠0,∴-x≤,且-x≠.∴由y=tan x的图象知y=tan的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).答案(-∞,-1]∪[1,+∞)7.给出下列四个结论:①sin->sin-;②cos->cos-;③tan >tan ;④tan >sin .其中正确结论的序号是.解析函数y=sin x是-,0上的增函数,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos ,cos-=cos-4π-=cos ,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tan x是,π上的增函数,<π,所以tan <tan ,③不正确;易知在0,上,tan x>x>sin x,所以tan >sin ,④正确.答案①④8.已知函数y=tan ωx在内是减函数,则ω的取值范围为.解析由题意可知ω<0,又,故-1≤ω<0.答案[-1,0]9.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;②f(x)的图象关于对称;③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.其中不正确的说法的序号是.解析①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tan x 的图象,可知y=tan x关于(k∈Z)对称,令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.答案①10.导学号68254042方程-tan x=0在x∈内的根的个数为.解析分别画出y=与y=tan x在x∈内的图象,如图.易知y=与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.答案211.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.解∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.令tan x=t,则t∈[-1,1].∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.∴当t=-1,即x=-时,y min=-4,当t=1,即x=时,y max=4.故所求函数的值域为[-4,4].12.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.解y=tan-ax=tan-ax+,∵y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,∴a<0,又x∈,∴-ax∈-,-,∴-ax∈,∴解得-≤a≤6-8k(k∈Z).由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意.13.设函数f(x)=a sin kx+和φ(x)=b tan kx-,k>0,若它们的最小正周期之和为,且f=φ,f=-φ+1,求f(x),φ(x)的解析式.解f(x)=a sin kx+的最小正周期T=.φ(x)=b tan kx-的最小正周期T=.∵,∴k=2.∴f(x)=a sin2x+,φ(x)=b tan2x-,∴f=a sinπ+=-a sin =- a.φ=b tanπ-=-b tan =- b.f=a sin=a cos a.φ=b tan= b.∴化简得∴f(x)=sin2x+,φ(x)=tan2x-.。

高一数学同步练习必修4 第一章三角函数的图象及性质一、 三角函数的图象与性质A.根底梳理1．“五点法〞描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 函数性质y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域[－1,1][－1,1]R 对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称中心：(k π，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π(k ∈Z ) 对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0)(k ∈Z 无对称轴对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )周期2π 2ππ单调性单调增区间⎣⎡ 2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2(k ∈Z )；单调减区间⎣⎡ 2k π＋π2，2k π＋⎦⎤3π2(k ∈Z )单调增区间 [2k π－π，2k π](k ∈Z )；单调减区间 [2k π，2k π＋π](k ∈Z )单调增区间⎝⎛ k π－π2，k π＋⎭⎫π2(k ∈Z )奇偶性奇偶 奇B.方法与要点1、两条性质 (1)周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式． 2、三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．C.双基自测1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2k π＋π4，k ∈Z 3．k ＜－4，那么函数)1(cos 1cos 22-+-=x k x y 的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋14．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 5．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为________． D.考点解析考点一 三角函数的定义域与值域【例1－1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ③形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ④形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练1】〔1〕求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．〔2〕〔辽宁卷〕函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,那么()f x 的值域是 (A)[]1,1- (B) 2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D)21,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦(3) 〔广东卷〕当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是 ( )A. 4B. 12C.2D. 14考点二 三角函数的奇偶性与周期性【例2－1】►判断以下函数的奇偶性及周期性，假设具有周期性，那么求出其周期. 〔1〕x x f sin )(= 〔2〕x x f sin )(= 〔3〕x x f cos log )(2＝ 〔4〕)2sin(3)(+πxx f ＝求三角函数的最小正周期的一般方法：①先化为)sin(φω+=x A y ，在由公式ϖπ2=T 求之；②由周期函数的定义：)()(x f T x f =+求得③ 一般地，)sin(φω+=x y 或)cos(φω+=x y 的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半【例2－2】►设有函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πkx a x f 和()tan ,03x b kx k πϕ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，假设它们的最小正周期的和为23π，且⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛22πϕπf ，1434+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πϕπf ，求()x f 和()x ϕ的解析式。

三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________． 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z ) 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1， 则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2， 所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2， 此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )， 又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1， 则A =,1213,22)1(3=-==--b ， 又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1， 将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ， 即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2.当。