推荐中考数学第二轮复习练习专题5三角形专题_

铅垂法求三角形面积最值问题求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：()111222ABC ACD BCD S S S CD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下求CD ：根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：1233y x =+由点C 坐标（4,7）可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为（4,2），CD =5,165152ABC S =⨯⨯=．【方法总结】作以下定义：A 、B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．如图可得：=2ABC S ⨯水平宽铅垂高【解题步骤】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ；（3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标；（4）根据C 、D 坐标求得铅垂高；（5）利用公式求得三角形面积．【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：【铅垂法大全】（1）取AB 作水平宽，过点C 作铅垂高CD ．（2）取AC 作水平宽，过点B 作BD ⊥x 轴交直线AC 于点D ，BD 即对应的铅垂高，=2ABC ABD BCD S S S ⨯-=水平宽铅垂高（3）取BC 作水平宽，过点A 作铅垂高AD ．甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高．（4）取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD．（5）取AC作水平宽，过点B作铅垂高BD．（6）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD．方法突破例一、如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为m ．当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值．【分析】（1）265y x x =++，（2）取BC 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点Q ，则PQ 即为铅垂高．根据B 、C 两点坐标得B 、C 水平距离为4，根据B 、C 两点坐标得直线BC 解析式：y =x +1，设P 点坐标为（m ，m ²+6m +5），则点Q （m ，m +1），得PQ =-m ²-5m -4，考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大．当52-时，△BCP 面积最大，最大值为278．【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高．例二、在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图像下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式：21322y x x =--；一次函数解析式：1122y x =+．（2）显然，当△ACE 面积最大时，点E 并不在AC 之间．已知A （-1,0）、10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点E 坐标为213,22m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点E 作EF ⊥x 轴交直线AD 于F 点，F 点横坐标为m ，代入一次函数解析式得11,22m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭可得213222EF m m =-++考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大．既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，对坐标系中已知三点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，按铅垂法思路，可得：12233121321312ABC S x y x y x y x y x y x y =++---如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯．【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松．专项训练1．已知二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，且二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -．（1）分别求m 、n 和b 、c 的值；（2）点P 是二次函数2y x bx c =-++的图象上一动点，且点P 在x 轴上方，写出ACP ∆的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【分析】（1）把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；（2）分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．【解答】解：（1）二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，一次函数y mx n =+的图象经过点(0,1)C -，∴301m n n -+=⎧⎨=-⎩，∴131m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，二次函数2y x bx c =-++和一次函数y mx n =+的图象都经过点(3,0)A -，二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(0,3)B ，∴9303b c c --+=⎧⎨=⎩，∴23b c =-⎧⎨=⎩．（2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：113y x =--或223y x x =--+，①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 于点D ，则13|3|22PAC S PD PD ∆=⨯⨯-=，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作//PD y 轴交AC 的延长线于点D，则13|3|22PAC S PD x x PD ∆=⨯⨯+-=，点P 在抛物线上，设2(,23)P x x x --+，则1(,1)3D x x --，2215231433PD x x x x x ∴=--+++=--+，233535169(4)(2232624PAC S PD x x x ∆∴==-++=-++，即当56x =-时，PAC S ∆最大16924=．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键，2．如图，抛物线经过(2,0)A -，(4,0)B ，(0,3)C -三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 下方的抛物线上有一动点P ，使得PBC ∆的面积最大，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由PBC ∆的面积PHB PHC S S ∆∆=+，即可求解；（3）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．【解答】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得42016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得38343a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，故抛物线的表达式为233384y x x =--；（2）设直线BC 的表达式为y mx n =+，则043m n n =+⎧⎨=-⎩，解得343m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线BC 的表达式为334y x =-，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P 的坐标为233(,3)84x x x --，则点3(,3)4H x x -，则PBC ∆的面积221133334(33)3224844PHB PHC S S PH OB x x x ∆∆=+=⋅=⨯⨯--++=-+，304-<，故该抛物线开口向下，PBC ∆的面积存在最大值，此时2x =，则点P 的坐标为(2,3)-；（3）存在，理由：设点N 的坐标为(,)m n ，则233384n m m =--①，①当AC 是边时，点A 向下平移3个单位得到点C ，则点()M N 向下平移3个单位得到点()N M ，则03n -=或03n +=②，联立①②并解得23m n =⎧⎨=-⎩或13m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（不合题意的值已舍去）；②当AC 是对角线时，则由中点公式得：11(03)(0)22n -=+③，联立①③并解得23m n =⎧⎨=-⎩（不合题意的值已舍去）；综上，点N 的坐标为(2,3)-或(1-+3)或(1--3)．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -三点，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆的面积最大，求出此时P 点坐标及PBC ∆面积的最大值；（3）在y 轴上是否存在点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B 、C 坐标代入即可求解析式；（2）设P 坐标，表示出PBC ∆的面积，再求出最大面积和面积最大时P 的坐标；（3）两个直角顶点是对应点，而AOC ∆两直角边的比为14，只需BOQ ∆两直角边比也为14，两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为12()()y a x x x x =--，二次函数的图象交坐标轴于(1,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C -，11x ∴=-，23x =，124()()a x x x x -=--，解得11x =-，23x =，43a =，∴二次函数的解析式为2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--，故答案为：2448(1)(3)4333y x x x x =+-=--；（2）设直线BC 解析式为y kx b =+，将(3,0)B ，(0,4)C -代入得034k b b =+⎧⎨-=⎩，解得43b =，4c =-，BC ∴解析式是443y x =-，如答图1，过P 作//PD y 轴，交BC 于D ，点(,)P m n 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，03m ∴<<，248433n m m =--，4(,4)3D m m -，224484(4)(4)43333PD m m m m m ∴=----=-+，22211439()(4)(30)262()22322PBC B C S PD x x m m m m m ∆∴=⋅-=-+⋅-=-+=--+，3032<<，32m ∴=时，PBC S ∆最大为92，此时224843834()45333232n m m =--=⨯-⨯-=-，3(2P ∴，5)-，故答案为：3(2P ，5)-，PBC S ∆最大为92；(3(1,0)A -，(0,4)C -，(3,0)B ，∴14OA OC =，3OB =，点Q 在y 轴上，90BOQ AOC ∴∠=∠=︒，若以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，则BOQ ∠与AOC ∠对应，分两种情况：①如答图2，AOC QOB ∆∆∽，则14OQ OA OB OC ==即134OQ =，解得34OQ =，13(0,4Q ∴或23(0,)4Q -；②AOC BOQ ∆∆∽，则14OB OA OQ OC ==即314OQ =，解得12OQ =，3(0,12)Q ∴或4(0,12)Q -，综上所述，存在y 轴上的点Q ，使以O ，B ，Q 为顶点的三角形与AOC ∆相似，这样的点一共4个：13(0,4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，故答案为：存在这样的点Q ，坐标分别是：13(0,4Q 或23(0,)4Q -，3(0,12)Q 或4(0,12)Q -，【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中．4．如图1，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，先求出BC 的解析式，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，由三角形面积公式可得221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，由二次函数的性质可求解；（3）设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，先求出点A ，点M 坐标，可求MC 解析式，可得4DE MD ==，由等腰直角三角形的性质可得22MQ NQ MN ==，由两点距离公式可列222(|4|)42n n -=+，即可求解．【解答】解：（1）点(3,0)B ，点(0,3)C 在抛物线2y x bx c =-++图象上，∴9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：223y x x =-++；（2）点(3,0)B ，点(0,3)C ，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，如图，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交BC 于点G ，设点2(,23)P m m m -++，则点(,3)G m m -+，22(23)(3)3PG m m m m m ∴=-++--+=-+，221133273(3)()22228PBC S PG OB m m m ∆=⨯⨯=⨯⨯-+=--+，∴当32m =时，PBC S ∆有最大值，∴点3(2P ，154；（3）存在N 满足条件，理由如下：抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴点(1,0)A -，2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点M 为(1,4)，点M 为(1,4)，点(0,3)C ，∴直线MC 的解析式为：3y x =+，如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ MC ⊥于Q ，∴点(3,0)E -，4DE MD ∴==，45NMQ ∴∠=︒，NQ MC ⊥，45NMQ MNQ ∴∠=∠=︒，MQ NQ ∴=，MQ NQ ∴==，设点(1,)N n ，点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，NQ AN ∴=，22NQ AN ∴=，222()2MN AN ∴=，22(|4|)42n n ∴-=+，2880n n ∴+-=，4n ∴=-±，∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,4-+或(1,4--．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键．5．如图，抛物线过点(0,1)A 和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B ，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为3，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB ∆面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为31y =+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出1613181(33a a a -+=-+--，求出a 的值，则可得出答案；（2）设2(,231)P n n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则3(,1)3P n n '+，得出2733PP n n '=-+，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出7(33C ，4)3-，设(3Q ，)m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，(0,1)A ，(3B ，0)，设直线AB 的解析式为y kx m =+，∴301k m m ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得331k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为313y x =+，点F 43F ∴点纵坐标为343113=-，F ∴点的坐标为，1)3-，又点A 在抛物线上，1c ∴=，对称轴为：2b x a=-=，b ∴=-，∴解析式化为：21y ax =-+，四边形DBFE 为平行四边形．BD EF ∴=，1613181(33a a a ∴-+=-+--，解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；（2）设2(,1)P n n -++，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则(,1)P n '+，2PP n '∴=-+，22172222ABP S OB PP n n ∆'==-+=--+，∴当n =ABP ∆，此时P 47)12．（3）211y y x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，0x ∴=或x =C ∴，43-，设Q ，)m ，①当AQ 为对角线时，7()3R m ∴+，R 在抛物线2(4y x =--+上，27(43m ∴+=--+，解得443m =-，443Q ∴-，37(3R -；②当AR 为对角线时，73R m ∴-，R 在抛物线2(4y x =--+上，2743m ∴-=-+，解得10m =-，Q ∴10)-，37)3R -．综上所述，443Q -，37(3R -；或Q ，10)-，37)3R -．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=，122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=，∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，OP OQ ∴==解得，1m2m =，31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -，线段PQ的中点为1(1)2-，∴112k +=-，∴1k =，∴直线l的表达式为：(1y x =-，当2m =时，点(P 1)2-，线段PQ的中点为1(2，1)-，∴112-=-，∴1k =，∴直线l的解析式为(1y x =+．综上，点P ，12-，直线l的解析式为(1y x =或点(P 1)2-，直线l 的解析式为(1y x =+．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M 、N 两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m 的方程，以及求得PQ 的中点坐标．。

最新中考数学二轮复习压轴专题：《三角形》1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图①（1）求证：∠ACN＝∠AMC（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）解：（1）∵∠BAC＝45°，∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM，∵∠NCM＝135°，∴∠ACN＝135°﹣∠ACM，∴∠ACN＝∠AMC；（2）过点N作NE⊥AC于E，∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN，∴△NEC≌△CDM（AAS）∴NE＝CD，CE＝DM；∵S1＝AC•NE，S2＝AB•CD，∴＝；（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立，理由如下：过点N作NE⊥AC于E，由（2）可得NE＝CD，CE＝DM，∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM，∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM∴AE＝BD+BP＝DP，∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP，∴△NEA≌△CDP（SAS）∴AN＝PC．2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为AE＝BD．②∠APC的度数为60°．（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为AE＝BD，AE⊥BD．解：（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE ＝S△BCD，∵∠AOC＝∠DOP，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，∴∠APB＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠APB，∴∠APC＝60°，故答案为AE＝BD，60°．（2）数学思考：：①成立，②不成立，理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，∴∠DPE＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠DPE，∴∠DPC＝60°，∴∠APC＝120°，∴①成立，②不成立；拓展应用：设AC交BD于点O．∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，∴∠ACE＝∠DCB∴△AEC≌△DBC（SAS），∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，∴∠DCO＝∠APO＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．5．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠PBC，且DB＝DA．（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC，∴∠PBD＝∠CBD＝30°，∵DB＝DA，∴∠PBD＝∠BPD＝30°；（2）如图2，连接CD，∵点D在∠PBC的平分线上，∴∠PBD＝∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵BP＝BA，∴BP＝BC，∵BD＝BD，∴△PBD≌△CBD（SAS），∴∠BPD＝∠BCD，∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD，∴△BCD≌△ACD（SSS），∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°，∴∠BPD＝30°；（3）如图3，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝30°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝30°，如图4，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝30°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝30°，如图5，连接CD，∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，∴△ACD≌△BCD（SSS）∴∠ACD＝∠BCD＝＝150°，∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，∴△PBD≌△CBD（SAS）∴∠BPD＝∠BCD＝150°，6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF +S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF +S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF +S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF ，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形DECF是矩形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵D 为AB 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ，AC ＝2CE ，同理：DF ＝AC ，∵AC ＝BC ，∴DE ＝DF ，∴四边形DECF 是正方形，∴CE ＝DF ＝CF ＝DE ，∵S △DEF ＝S △CEF ＝2＝DE •DF ＝DF 2，∴DF ＝2，∴CE ＝2，∴AC ＝2CE ＝4；（2）S △DEF +S △CEF ＝S △ABC 成立，理由如下：连接CD ；如图2所示：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴∠B ＝45°，∠DCE ＝∠ACB ＝45°，CD ⊥AB ，CD ＝AB ＝BD ，∴∠DCE ＝∠B ，∠CDB ＝90°，S △ABC ＝2S △BCD ，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDE ＝∠BDF ，在△CDE 和△BDF 中，，∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE ＝DF ．S △CDE ＝S △BDF ．∴S △DEF +S △CEF ＝S △CDE +S △CDF ＝S △BCD ＝S △ABC ；（3）不成立；S △DEF ﹣S △CEF ＝S △ABC ；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，∴S△DEF ＝S五边形DBFEC，＝S△CFE +S△DBC，＝S△CFE +S△ABC，∴S△DEF ﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF 、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°， AC＝15，则DE的长为 5 ．解：定理证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵直线n是边AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB∵OH⊥AB，∴AH＝BH；（2）如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，∴DE＝5，故答案为：5．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜边CD交AB于点E．（1）如图1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求线段BC的长；（2）如图2，作CF⊥AC，且CF＝AC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD＝2BF．解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC，∴∠BEH＝30°，∴BE＝2BH＝4，EH＝BH，∴BH＝2，EH＝2，∵∠CBD＝90°，BD＝BC，∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC，∴∠BCD＝∠BEC＝45°，∴EH＝CH＝2，∴BC＝BH+HC＝2+2；（2）如图，过点A作AM⊥BC，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝MC＝BC＝DB，∵∠DCB＝45°，AM⊥BC，∴∠DCB＝∠MNC＝45°，∴MN＝MC＝BD，∵AM∥DB，∴△CNM∽△CBD∴，∴CD＝2CN，AN＝BD，∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°，∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN，∴△ACN≌△CFB（SAS）∴BF＝CN，∴CD＝2BF9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．10．已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C 为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为AB＝2PE（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0，∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，∴m＝n＝5，∴A（5，0）、B（0，5），∴AC＝BC＝5，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵D是x轴正半轴上一点，∴点P在BC上，∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，∵C为AB的中点，∴AB＝2OC，∴AB＝2PE．故答案为：AB＝2PE．（2）成立，理由如下：∵点C为AB中点，∴∠AO C＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，∵PO＝PD，∴∠POD＝∠PDO，∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，∴∠POC＝∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC≌△DPE（AAS），∴OC＝PE，又∠AOC＝∠BAO＝45°∴OC＝AC＝AB∴AB＝2PE；（3）∵AB＝5，∴OA＝OB＝5，∵OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，∴∠APD＝∠BOP，在△POB和△DPA中，，∴△POB≌△DPA（SAS），∴PA＝OB＝5，DA＝PB，∴DA＝PB＝5﹣5，∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5，∴点D的坐标为（10﹣5，0）．11．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．12．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．13．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．小明同学对以上结论作了进一步探究．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，则：∠ABC＝30°．探究结论：（1）如图1，CE是AB边上的中线，易得结论：△ACE为等边三角形．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB边上的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，在AB边上方作等边△ADE，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想加以证明．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当点C在第一象内，且B（2，0）时，求点C 的坐标．解：探究结论（1）∵CE是AB边上的中线，∴CE＝AE＝AB，∵AC＝AB，∴AC＝CE＝AE，∴△ACE是等边三角形．故答案为：等边；（2）如图2中，结论：ED＝EB．理由：取AB的中点P，连接CP、PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＝∠PAE，∴△CAD≌△PAE（SAS），∴∠ACD＝∠APE＝90°，∴EP⊥AB，∵PA＝PB，∴EA＝EB，∵DE＝AE，∴ED＝EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH＝30°，由（2）可知，CO＝CB，∵CF⊥OB，∴OF＝FB＝1，∴可以假设C（1，n），∵OC＝BC＝AB，∴1+n2＝1+（+2）2，∴n＝2+，∴C（1，2+）．14．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC；（2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E 在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为60°﹣α（结果用含α的式子表示）．（1）证明：过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥AD于点N，∴∠ANB＝∠CMB＝90°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∵∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB+∠BCM＝180°，∴∠OAB＝∠BCM，∴△ABN≌△CBM（AAS），∴BM＝BN，∴BD平分∠ADC；（2）证明：在BD上取点E，使DE＝CD，∵∠BD C＝60°∴△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∴BD﹣CD＝AD；（3）解：∵△ABC，△BEF为等边三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE∴△ABF≌CBE（SAS），∴∠DFB＝∠CEB，∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60°∴∠ADC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，由（1）得BD平分∠ADC∴∠BDE＝60°，∴∠FDB＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，∴F，E，B，D四点共圆，∴∠CEF＝∠DBF∵∠DBF＝60°﹣α．∴∠CEF＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α．15．已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，m），过B点作直线a与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且m＞2时，求点C的坐标；（用m的代数式表示）（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围：（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE、EF，当m＝3时，试求CE+EF的最小值．解：（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，∴∠BHA＝∠AOC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ABH＝∠CAO，∵点A（0，2），B（﹣2，m），∴AO＝BH＝2，OH＝m，∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°，∴△BHA≌△AOC（ASA）∴CO＝AH＝OH﹣AO＝m﹣2，∵m＞2，点C在x轴负半轴，∴点C（2﹣m，0）；（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°，∴∠CAK＝∠ABK，∵点A（0，2），B（﹣2，m），∴AO＝BK＝2，OH＝m，∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°，∴△ABK≌△CAO（AAS）∴CO＝AK＝2﹣m，∵C点的坐标（x，0），∴CO＝x＝2﹣m，∵点B是第三象限内的一个点，∴m＜0，∴2﹣m＞2，∴x＞2；（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN，∴△BEF≌△BEN（SAS）∴EF＝EN，∴CE+EF＝CE+EN，∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值，此时最小值为AC，由（1）可知：点C（2﹣m，0）；且m＝3，∴点C（﹣1，0），∴CO＝1，∴AC＝＝＝，∴CE+EF的最小值为．。

中考二轮专题复习练习题-5创新作图专题一、用三角形的有关性质作图1．如图，在△ABE中，AE＝BE，请你仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1，点C，D分别为AE，BE的中点，作出AB的垂线；（2）如图2，EF⊥AB于点F，点C为AE上任意一点，在BE上找出一点D，使ED＝EC．2．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，点E是AD的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）（1）在图1中，画出△ACD的边AC上的中线DM；（2）在图2中，若AC＝AD，画出△ACD的边CD上的高AN．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．请仅用无刻度直尺分别在下面图中按要求画出相应的点（保留画图痕迹）．（1）如图1，当点O为AC的中点时，画出BC的中点N；（2）如图2，旋转后点E恰好落在点C，点F落在AC上，点N是BC的中点，画出旋转中心O．5．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O，限用无刻度直尺完成以下作图：（1）在图1中作线段BC的中点P；（2）在图2中，在OB、OC上分别取点E、F，使EF∥BC．6．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为BC的中点，以BC为底边的等腰△BCD按如图所示位置摆放，且∠DBC＝∠ABC．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）：（1）如图①，在AB上求作一点F，使四边形BDCF为菱形；（2）如图②，过点C作线段CP，使得线段CP将△BCD的面积平分．二、用特殊四边形的性质作图7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图1中，过点E作直线EF将四边形ABCD的面积平分；（2）在图2中，DE＝DC，作∠A的平分线AM；8．如图，在矩形ABCD中，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图①，当E为AD的中点，在BC上找一点F，使得F是BC的中点；（2）如图②，当E为AD上任意一点，在BC上找一点F，使得BF＝DE．9．已知正方形ABCD如图所示，M、N在直线BC上，MB＝NC，试分别在图1、图2中仅用无刻度的直尺画出一个不同的等腰三角形OMN．10．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．11．如图，四边形ABCD是菱形，BE是AD边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）（1）在图①中，BD＝AB，作△BCD的边BC上的中线DF；（2）在图②中，BD≠AB作△ABD的边AB上的高DF．12．分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为AB 上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；（2）如图②，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为BD 上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．13．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN＝AM；（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．14．请你按照下列要求用无刻度的直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1，请你作一条直线（但不过A、B、C、D四点）将平行四边形的面积平分；（2）如图2，在平行四边形ABCD中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．15．如图，在▱ABCD中，点E为边BC上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．（1）在图1中，作EF∥AB交AD于点F；（2）在图2中，若AB＝BC，作一矩形，使得其面积等于▱ABCD的一半．16．如图，AE为菱形ABCD的高，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．（1）在图1中，过点C画出AB边上的高；（2）在图2中，过点C画出AD边上的高．三、用圆或多边形有关性质作图17．如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：（1）在图1中作出圆心O；（2）在图2中过点B作BF∥AC．18．在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请仅用无刻度的直尺作图：（1）在图1中，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；（2）在图2中，已知AD∥BC交⊙O于点D，过点A作直线将△ACB的面积平分．19．已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC＝120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法，写明答案）．（1）在图1中，已知AD＝CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角；（2）在图2中，已知AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角．20．仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．（1）在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；（2）在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线．22．如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作，（1）在图1中，画出过点A的正五边形的对称轴；（2）在图2中，画出一个以点C为顶点的72°的角．23．在如图的正方形网格中，点O在格点上，⊙O的半径与小正方形的边长相等，请利用无刻度的直尺完成作图，在图（1）中画出一个45°的圆周角，在图（2）中画出一个22.5°的圆周角．24．如图，线段AB是⊙O的直径，BC⊥CD于点C，AD⊥CD于点D，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，当线段CD与⊙O相切时，请在CD上确定一点E，连接BE，使BE平分∠ABC；（2）在图2中，当线段CD与⊙O相离时，请过点O作OF⊥CD，垂足为F．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线．26．如图（甲、乙），AB为半圆⊙O1的直径，AO1为半圆⊙O2的直径，仅用无刻度的直尺完成下列作图：（1）如图甲，C为半圆⊙O1上一点，请在半圆⊙O1找个点D，使得D恰为的中点；（2）如图乙，E为半圆⊙O2上一点，请在半圆⊙O2找个点F，使得F恰为的中点．27．如图，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝120°，以AD为直径作⊙O，与CD交于点P．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，过点C作AB边上的高CE；（2）在图2中，过点P作⊙O的切线PQ，与BC交于点Q．28．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，∠A＜90°；（2）如图2，∠A＞90°．29．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．30．如图在⊙O中，图1中△ABC内接于⊙O且∠ABC＝90°，图2中△A1BC1，内接于⊙O，AC是直径且AC∥A1C1，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出将△ABC的面积平分为两等份的弦．（2）在图2中，画出将△A1BC1的面积平分为两等份的弦．四、用网格的有关性质作图31．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格点的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，．（2）使三角形为边长都为无理数的钝角三角形且面积为4．32．在正方形网格中，点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，作线段AB的垂直平分线；（2）在图2中，作∠ABC的角平分线．33．请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．34．已知△ABC，请用无刻度直尺画图．（1）在图1中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形；（2）在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以点C为一顶点的正方形．35．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．36．如图是一个正方形网格图，图中已画了线段AB和线段EG，请使用无刻度的直尺在正方形网格中画图．（1）画一个以AB为边的正方形ABCD；（2）画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH，且面积与（1）中正方形的面积相等．37．图1，图2均为正方形网络，每个小正方形的面积均为1．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．在网格中画图，使得每个形图的顶点均在格点上．（1）画一个边长为整数的菱形，且面积等于24．（2）画一个直角三角形，使其一边长为2，且一个角为45°．38．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，请你按下列要求在网格中画图．（1）在图1中画出以AB为对角线、面积是24的平行四边形ACBD；（2）在图2中画出以AB为对角线、面积是24的矩形AEBF．（所画四边形的顶点都在小正方形的顶点上）39．在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使三角形ABC 满足如下条件．（仅用直尺作图）（1）在网格①中作一个等腰三角形ABC；（2）在网格②中作一个直角三角形ABC，使两直角边的长为无理数．40．在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是．中考二轮专题复习练习题-5创新作图专题（参考答案）1.解：（1）如图1，直线EM即为所求；（2）如图2，点D即为所求．2．解：（1）如图①，点P'为所求作的图形，（2）如图②，点P'为所求作的图形，3．解：（1）如图，DM为所作；（2）如图，AN为所作．4．解：（1）如图，点N即为所求．（2）如图，点O为所作；5．解：（1）如图1，点P为所作；（2）如图2，EF为所作．6．解：（1）如图①，点F为所作；（2）如图②，CP为所作．7．解：（1）如图1，直线EF即为所求；（2）如图2，射线AM即为所求．8．解：（1）连接AC、BD交于点O，作直线EO交BC于F，点F即为所求．（2）连接AC、BD交于点O，作直线EO交BC于F，点F即为所求．9．解：如图1、2，△OMN为所作．10．解：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．11．解：（1）如图1中，线段DF即为所求．（2）如图2中，线段DF即为所求．12．解：（1）如图①，点Q即为所求；（2）如图②，点Q即为所求．13．解：（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO 与AB的交点为点N，如图1，（2）延长MO交ADE于Q，连结CQ，则CQ为所作，如图2．14．解：（1）如图1，直线l为所作；（2）如图2，直线MN为所作．15．解：（1）如图1，F点就是所求作的点；（2）如图2，矩形EGFH就是所求作的四边形．16．解：（1）如图1所示，线段CG即为所求；（2）如图2所示，线段CG即为所求．17．解：（1）设AC交⊙O于K，连接BK，DE，BK交DE于点O，点O即为所求．（2）如图2中，作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求．18．解：（1）如图1，∠BCE为所作；（2）如图2，AF为所作．19．解：（1）如图1所示：∠ABD＝30°或∠CBD＝30°；（2）如图2所示：∠CAE＝30°．20．解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF 并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．21．解：（1）如图1所示：AM即为所求；（2）如图2所示：AN即为所求．22.解：（1）如图1，连接BD，CE，交于点F，过A、F作直线AF，则AF即为所求；（2）如图2，连接AC，则∠ACB＝36°，∠BCD＝108°，∴∠ACD＝72°．同理，连接CE，则∠BCE＝72°．23．解：（1）如图1，连接OA、OB，在优弧AB上任意找一点C，连接AC、AB ∠ACB为所求作（2）如图2，连接OA交圆O于点C，在优弧BC上任意找一点D，连接CD、BD，∠CDB为所求作24.解：（1）如图1；（2）如图2.25.解：如图①中，连接P A，P A就是∠P的平分线．如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠P的平分线．26．解：（1）如图甲所示：（2）如图乙所示：27．解：（1）如图1，CE为所；（2）如图2，PQ为所作．28．解：（1）如图1，DE为所作：（2）如图2，DE为所作：29．解：（1）如图1，EF为所作；（2）如图2，∠DBC为所作．30．解：（1）如图所示：（2）如图所示：31．解：（1）满足条件的△ABC如图所示．（2）满足条件的△DEF如图所示．32．解：（1）如图所示：直线CD即为所求；（2）如图所示：射线BD即为所求．33．解：如图所示，PQ即为所求．34．解：（1）如图1所示：平行四边形BCDE即为所求；（2）如图2所示：正方形CDEF即为所求．35．解：（1）如图1所示；（2）如图2、3所示；36．解：（1）如图所示：正方形ABCD，即为所求；（2）如图所示：菱形EFGH，即为所求．37．解：（1）菱形ABCD即为所求．（2）Rt△EFG即为所求．38．解：（1）如图1中，平行四边形ACBD即为所求．（2）如图2中，矩形AEBF即为所求．39．解：（1）∵＝5，AB＝5，∴作AC＝5，或BC＝5，△ABC如图1所示：（2）∵＝，＝2，（）2+（2）2＝5+20＝25＝AB2，∴画出△ABC和△ABC1是直角三角形，如图2所示．40．解：（1）如图1所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图2所示：以线段AB为对角线得到菱形ADBC此时面积最大，其面积为：××3＝15．当AB为正方形对角线时，最小面积为：5．答案为：15．。

2020年中考数学二轮复习：《三角形》压轴专题训练1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．（1）如图1，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿CB匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇．设点P的速度为xcm/s．则点Q的速度可以表示为cm/s（用含x的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，两点在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持原速度不变，沿B→A→C的路径匀速运动，如图2．两点在AC边上点D处再次相遇后停止运动．又知AD＝1cm．求点P原来的速度x的值．2．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2．（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值．（3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，△ABC求BC和AB的长．3．如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；＝y，求y关于x的函数关系式（不（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝20cm．动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P，点Q的速度都是2cm/s，当点P第一次到达B点时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）∠A＝度；（2）当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，求t的值；（3）当△APQ为等边三角形时，直接写出t的值．6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点C（0，6），点B在x轴负半轴上，且AB＝AC．（1）求点B的坐标；（2）如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）；①若△OME的面积为2，求t的值；②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由．7．已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．（1）如图1，∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60°，求证：∠BDC＝60°．请根据以下思维框图，写出证明过程．（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连结CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．8．定义：当点C 在线段AB 上，AC ＝nAB 时，我们称n 为点C 在线段AB 上的点值，记作d C ﹣AB ＝n ．理解：如点C 是AB 的中点时，即AC ＝AB ，则d C ﹣AB ＝；反过来，当d C﹣AB＝时，则有AC ＝AB ．因此，我们可以这样理解：d C ﹣AB ＝n “与“AC ＝nAB “具有相同的含义．应用：（1）如图1，点C 在线段AB 上，若d C ﹣AB ＝，则AC ＝ AB ；若AC ＝3BC ，则d C ﹣AB ＝ ，（2）已知线段AB ＝10cm ，点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，相向而行，当点P 到达点B 时，点P 、Q 均停止运动，设运动时间为ts ．①若点P 、Q 的运动速度均为1cm /s ，试用含t 的式子表示d P ﹣AB 和d Q ﹣AB ，并判断它们的数量关系；②若点P 、Q 的运动速度分别为1cm /s 和2cm /s ，点Q 到达点A 后立即以原速返回，则当t 为何值时，d P ﹣AB +d Q ﹣AB ＝？拓展：如图2，在三角形ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝8，点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿线段AB 匀速运动到点B ，点Q 沿线段AC ，CB 匀速运动至点B ．且点P 、Q 同时到达点B ，设d P ﹣AB ＝n ，当点Q 运动到线段CB 上时，请用含n 的式子表示d Q ﹣CB ．9．数学课上，张老师出示了如下框中的题目．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E和点F分别是边AB和AC上的点，且始终满足DE⊥DF，试确定DE与DF的大小关系．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）【特殊情况，探索结论】如图1，若点E与点A重合时，点F与点C重合，容易得到DE与DF的大小关系．请你直接写出结论：DE DF（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，若点E不与点A重合时，DE与DF的大小关系是：DE DF（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：连结AD，（请你完成剩下的解答过程）（3）【拓展结论，设计新题】在△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，点E和点F分别是直线AB和直线AC上的点，且始终满足DE⊥DF，若AB＝AC＝1，BE ＝2，求CF的长．（请你直接写出结果）10．问题提出：（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，填空：当∠ABC＝时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）．问题探究：（2）点A为线段BC外一动点，且BC＝6，AB＝3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，若直线AD与BC相交于M，过点B作BD⊥AM于D，连接CD并延长BD 至E，使得DE＝DC，过点E作EF⊥CD于F，证明：AD＝EF+BD．（2）如图2，若直线AD与CB的延长线相交于M，过点B作BD⊥AM于D，连接CD 并延长BD至E，使得DE＝DC，过点E作EF⊥CD交CD的延长线于F，探究：AD、EF、BD之间的数量关系，并证明．12．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ． （1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）13．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DF ⊥AB 于F ，DM ⊥AC 于M ，并且AF ＝15cm ，AC ＝18cm ，动点E 以3cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从点C 向点A 运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ． （1）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有S △AED ＝3S △DGC ； （2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等； （3）若，当t ＝时S △AED ＝27cm 2，求此时△BFD 的面积S △BFD ．14．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C 重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．15．已知：等边△ABC中．（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．参考答案1．解解：（1）设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x＝4÷y，∴y＝x，故答案为：x；（2）AC＝＝5，CD＝5﹣1＝4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，由题意得＝，解得：x＝（cm/s），经检验x＝是原方程的根，答：点P原来的速度为cm/s．2．解：（1）如图1，AO是BC边上的中线，∵∠ACB＝90°，∴AO2﹣OC2＝AC2，∵AB∇AC＝81，∴AO2﹣OC2＝81，∴AC2＝81，∴AC＝9；（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，在Rt△AOB中，∴＝＝6，∴AB∇AC＝AO2﹣BO2＝36﹣108＝﹣72；②如图3，取AC的中点D，连接BD，∴AC＝6，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，∴∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠ABE＝30°，∵AB＝12，∴AE＝6，∴BE＝＝＝6．∴DE＝AD+AE＝12，∴＝＝6，∴BA∇BC＝BD2﹣CD2＝＝216；（3）作BD⊥CD，如图4，∵S＝24，AC＝8，△ABC∴＝6，∵AB∇AC＝﹣64，AO是BC边上的中线，∴AO2﹣OC2＝﹣64，∴OC2﹣AO2＝64，又∵AC2＝82＝64，∴OC2﹣AO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴OA＝2×＝3，∴＝＝．∴，在Rt△BCD中，＝＝16，∴AD＝CD﹣AC＝16﹣8，∴＝＝10．3．（1）证明：如图1，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH∵∠AOB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，∵∠CDG+∠CDO＝180°，∴∠CDG＝∠CEO，在△CDG与△CEH中，∴△CDG≌△CEH（AAS），∴CD＝CE；（2）解：由（1）得△CDG≌△CEH，∴DG＝HE，由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG＝OH，∴OD+OE＝OD+OH+HE＝OG+OH＝2OH，设OH＝CH＝x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得：OH2+CH2＝OC2∴x2+x2＝32∴（舍负）∴OH＝∴OD+OE＝2OH＝；（3）解：如图，过点C作CG⊥OA于G，CH⊥OB于H，∵OC平分∠AOB，∴CG＝CH，∵∠A0B＝120°，∠DCE＝60°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，∵∠CDG+∠CDO＝180°，∴∠CDG＝∠CEO，在△CDG 与△CEH 中，∴△CDG ≌△CEH （AAS ），∴DG ＝HE ，由题易得△OCG 与△OCH 是全等的直角三角形，且OG ＝OH ，∴OD +OE ＝OD +OH +HE ＝OG +OH ＝2OH ，∴S 四边形OECD ＝S 四边形OHCG ＝2S △OCG在Rt △OCH 中，有∠COH ＝60°，OC ＝3，∴OH ＝，CH ＝∴，∴S 四边形OECD ＝2S △OCG ＝． 4．解：（1）∵∠ACB ＝90°，BC ＝4，sin ∠ABC ＝，∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴（3x ）2+16＝（5x ）2，∴x ＝1，即AC ＝3，∵BE ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，∵∠AFE ＝∠CFB ，∴∠DAC ＝∠FBC ，∴tan ∠FBC ＝tan ∠DAC ＝＝；（2）∵AG ∥BD ，∴∠AGF ＝∠CBF ，∴tan ∠AGF ＝tan ∠CBF ， ∴，，∴．∴＝．∵∠EAF＝∠CBF，∴，∴，∴S＝＝；△DAF（3）①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG＝8，BC＝4，AG∥BD，∴，∴AF＝2CF，∵AC＝3，∴AF＝2，CF＝1，∴，∴，设AE＝x，GE＝4x，∴x2+16x2＝82，解得x＝，即AE＝．同理tan∠DAC＝tan∠CBF，∴，∴AD＝＝＝．∴＝．②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴，∴，同理，∴，∴．∴DE＝AE﹣AD＝．综合以上可得DE的长为或．5．解：（1）∵AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，故答案为：60．（2）∵∠A＝60°，当∠APQ＝90°时，∠AQP＝90°﹣60°＝30°．∴QA＝2PA．即20﹣2t＝2t×2．解得．当∠AQP＝90°时，∠APQ＝90°﹣60°＝30°．∴PA＝2QA．即2（20﹣2t）＝2t．解得．∴当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，t的值为．（3）①由题意得：AP＝2t，AQ＝20﹣2t，∵∠A＝60°，∴当AQ＝AP时，△APQ为等边三角形，∴2t＝20﹣2t，解得t＝5，②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2＝20，综上，当△APQ为等边三角形时，t＝5或20．6．解：（1）∵点A（8，0）、点C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∴AC＝＝＝10．∵AB＝AC＝10，∴OB＝2，∴B（﹣2，0）．（2）作EH⊥OA于H，∵在Rt△AOC中，点E为边AC的中点，∴EO＝EA＝5，∵EH⊥OA，∴OH＝AH＝4，∴EH＝＝3．当点M在点O的左侧时，OM＝2﹣2t，∴，∴t＝；当点M在点O的右侧时，OM＝2t﹣2，∴，∴t＝；综上所述，若△OME的面积为2，t的值为或．②当点M在BO上，即0≤t＜1时，△OME为钝角三角形不能成为直角三角形；当t＝1时，点M运动到点O，△OME不构成三角形，当点M在OA上，即1≤t≤5时，如图3，当∠OME＝90°时，∵OE＝AE，∴OM＝OA，∴2t﹣2＝4，∴t＝3，M（4，0）；如图4，当∠OEM＝90°时，作EH⊥OA于H，∵OE2+EM2＝OM2，∴52+（2t﹣6）2+32＝（2t﹣2）2，∴t＝，M（，0）；综上所述，符合要求时t＝3，M（4，0）或t＝，M（，0）．7．（1）证明：在BM上取一点E，使AE＝AD．∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAE＝60°﹣∠EAC＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝120°，∴∠BDC＝120°﹣60°＝60°．（2）①在BD上取一点E，AE＝AD，如图2，∵∠ABC＝∠ADB＝30°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠ADE＝30°，∴∠BAC＝∠EAD＝120°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC＝150°﹣30°＝120°．②会变．如图3．在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，同理可得：△BAE≌△CAD，∴∠ADC＝∠E＝30°，∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝30°+30°＝60°．（3）如图，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，作CH⊥BM，如图4，∵∠BDC＝120°，∴∠CDH＝60°，∴∠DCH＝30°，∴，∴，∴如图5，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，，∴．8．解：（1）∵d C﹣AB＝，∴AC＝AB，∵AC＝3BC，∴AC＝AB，∴d C﹣AB＝，故答案为：，；（2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s，∴AP＝t（cm），AQ＝10﹣t（cm），∴d P﹣AB ＝，d Q﹣AB＝，∴d P﹣AB +d Q﹣AB＝＝1；②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，∴AP＝t（cm），AQ＝10﹣2t（cm）（t＜5），AQ＝2t﹣10（cm）（t≥5），∴d P﹣AB ＝，d Q﹣AB＝（t＜5），d Q﹣AB＝（t≥5）∵d P﹣AB +d Q﹣AB＝，∴＝，或＝∴t＝4或；拓展：设运动时间为t，∵点P、Q同时到达点B，∴点P的速度：点Q速度＝3：5，设点P的速度为3x，点Q速度为：5x，∴d P﹣AB ＝n＝，d Q﹣CB＝，∴d Q﹣CB＝＝．9．解：（1）【特殊情况，探索结论】∵∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD＝DC，即DE＝DF，故答案为：＝；（2）【特例启发，解答题目】∵∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD＝DC，AD⊥CD，∠BAD＝∠C＝45°，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，∴△ADE≌△CDF（ASA）∴DE＝DF，故答案为：＝；（3）【拓展结论，设计新题】若点E在BA的延长线上，∵AB＝AC＝1，BE＝2，∴AE＝1，∵∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD＝DC，AD⊥CD，∠BAD＝∠C＝45°，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∠DAE＝∠DCF＝135°，∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠DAE＝∠DCF＝135°，∴△ADE≌△CDF（ASA）∴AE＝CF＝1；若点E在AB的延长线上，∵∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD＝DB，AD⊥CD，∠CAD＝∠ABD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∠DBE＝∠DAF＝135°，∴∠ADF＝∠BDE，且AD＝BD，∠DBE＝∠DAF＝135°，∴△ADF≌△BDE（ASA）∴AF＝BE＝2，∴CF＝3．10．解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，∴∠ABC＝180°，故答案为：180°，a+b；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝3+6＝9；（3）①如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，∴P（2﹣，）．11．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，如图1，将△ABD逆时针方向旋转90°至△ACG，∴BD＝CG，延长GC交DE于点H，∵AD⊥BE，∠DAG＝∠AGC＝90°，AD＝AG，∴四边形ADHG为正方形，∴∠DHC＝90°，∴AD＝GH，∵DE＝DC，EF⊥CD，∠EDF＝∠CDH，∴△DEF≌△DCH（AAS），∴EF＝CH，∴AD＝GH＝GC+CH＝EF+BD；（2）AD+BD＝EF，理由如下：作CN⊥AM，∵AD⊥BE，∴∠EDF+∠ADC＝90°，∵∠DCN+∠ADC＝90°，∴∠EDF＝∠DCN，∵∠F＝∠DNC＝90°，DE＝DC，∴△DEF≌△CDN（AAS），∴EF＝DN，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠NAC＝90°，又∵∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠NAC＝∠DBA，∵AB＝AC，∴△ADB≌△CNA（AAS）．∴BD＝AN．∴AD+AN＝DN＝EF．12．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD，∴DH＝＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，故答案为：CD＝AD+BD．13．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DM⊥AC∴DF＝DM，∵动点E以3cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从点C向点A运动，∴AE＝3t，CG＝t，∵S△DGC ＝×CG×DM＝×t×DM，S△ADE＝×AE×DF＝×3t×DM，∴S △AED ＝3S △DGC ；（2）∵DF ＝DM ，AD ＝AD ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADM （HL ）∴AF ＝AG ＝15，∴CM ＝3，∵△DFE ≌△DMG ，∴EF ＝MG ，∴15﹣3t ＝|3﹣t |，∴t ＝6舍去），t ＝，∴当t ＝时，△DFE 与△DMG 全等；（3）∵t ＝，∴AE ＝cm ，∵S △AED ＝27cm 2， ∴××DF ＝27，∴DF ＝4cm ，∵△ABD 和△ACD 是等高的两个三角形， ∴＝＝， ∴＝，且AC ＝18cm ，DF ＝DM ， ∴AB ＝20cm ，∴BF ＝AB ﹣AF ＝5cm ，∴S △BFD ＝×5×4＝10cm 2．14．解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，∴AB ＝AC ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ACE ＝∠AEC ，∵∠AED ＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH＝EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH＝CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH＝AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．15．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∵点M是BC的中点，∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，∵∠AMN＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，∴AN＝3x，∴；（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，∴△AMG为等边三角形，∴AM＝AG，∴BM＝CG，∵∠AGM＝∠ABC＝60°，∴∠MGC＝∠NBM＝120°，∵MG∥BC，∴∠GMC＝∠MCB，∵∠MNB＝∠MCB，∴∠GMC＝∠MNB，∴△MGC≌△NBM（AAS），∴MG＝BN，∵△AMG为等边三角形，∴AM＝MG，∴AM＝BN；（3）如图3，过点P作PM∥CBC交AB于点M，∴△AMP为等边三角形，∴AP＝MP，∠AMP＝60°，∵P为AC的中点，∴AP＝PC，∴MP＝PC，∵∠ACB＝60°，∴∠EMP＝∠PCF＝120°，∵∠AEP＝∠PFC，∴△PCF≌△PME（AAS），∴CF＝ME，∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，又∵P为AC的中点，MP∥BC，∴MB＝，∴BF﹣BE＝BC+BC＝，∴．。

中考数学二轮复习数学全全等三角形截长补短的专项培优易错试卷练习题含答案一、全等三角形截长补短 1．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠． 感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．2．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，2请给出证明；若不成立，请说明理由．3．如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：（1）若，，则△ABC____ “高和三角形”（填“是”或“不是”）；（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论4．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．5．如图，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠<︒，D 是边BC 的中点，以AC 为边作等边三角形ACE ，且ACE △与ABC 在直线AC 的异侧，连接BE 交DA 的延长线于点F ，连接FC 交AE 于点M ．（1）求证：FB FC =； （2）求证：FEA FCA ∠=∠；（3）若8FE =，2AD =，求AF 的长．6．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．7．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是；（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD与PA，PB的数量关系是．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是．（直接写出结果），且EF交正8．如图，在正方形ABCD中，点E迕射线BC上，连接AE，作EF AE方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E在边BC的中点处时，AE________EF（填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E为边BC上的任意一点（不含点B，C），探究此时AE与EF的数量关系，并说明理由．（3）若点E是边BC延长线上的一点，探究此时AE与EF的数量关系，并说明理由．9．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD．求证：EF=BE+FD．∠EAF=1210．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．（1）若AP=78AC，BC=4，求S△ACP；（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD ＝∠ECD ， 又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ）， ∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°， ∴∠CED ＝2∠CBA ， ∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ， ∴∠CBA ＝∠BDE ， ∴DE ＝BE ， ∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ， ∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ， ∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠MAC ， ∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ）， ∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12， ∵CD ＝BC ＝12， ∴CM ＝CB ， ∴∠B ＝∠CMB ， ∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°， ∴∠B ＋∠D ＝180°； ②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ， ∵CB ＝CM ＝12， ∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3， 即BN ＝MN ＝3， 则AB ＝8+3+3=14， ∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析． 【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题． 【详解】 （1）EF ＝BE +DF ， 理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ， 在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ； 故答案为：EF ＝BE +DF ． （2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ， 在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（1）是（2）；见解析【解析】 【分析】 （1）在BC 上截取，根据，可得△ABE 为等边三角形，，问题得解；（2）在△ABC 中，在DC 上截取，由AD 是BC 边上的高且，进而证明，△ABD ≌△AED （SAS ）就可以得到结论.【详解】解：（1）如图，Rt△ABC中，，，，在BC上截取，则△ABE为等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴∵，且△ABE为等边三角形，∴∴，∴是高和三角形．（2）;证明：如上图，在△ABC中，在DC上截取．∵，∴，∵AD是BC边上的高且，∴，△ABD≌△AED（SAS），∴，，∴.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形，理解“高和三角形”的定义是解题关键.4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC ，∴△ACE ≌△CBM （AAS ），∴CE=BM=BD ，由（2）可证△HGF ≌△FEA （AAS ），∴GH=FE ，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD ．故答案为：HG=CF+BD ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）4【分析】（1）利用AD 所在直线是BC 的垂直平分线，点F 在直线AD 上即可得出结论． （2）由ACE △是等边三角形，得AC=AE=AB 推得ABF FEA ∠=∠．易证ABF ≌ACF （SSS ），ABF FCA FEA ∠=∠=∠即可，（3）延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．先证直角三角形ADC ≌PDC△（SAS ），推出AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．再证60EFC EAC ∠=∠=︒．求出，FBD 30FCD ∠=∠=︒．用ACD ∠表示30ECF ACD ∠=︒+∠．而30FCP ACD ∠=︒+∠，得ECF FCP ∠=∠．可证ECF △≌PCF （SAS ），可推得AF EF AP =-即可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，又∵点F 在直线AD 上∴FB FC =．（2）证明：∵ACE △是等边三角形，∴60EAC ACE ∠=∠=︒，AC AE =．∵AB AC =，∴AB AE =，∴ABF FEA ∠=∠．由（1）可知，FB FC =，又∵AF AF =，AB AC =，∴ABF ≌ACF （SSS ），∴ABF FCA ∠=∠，∴FEA FCA ∠=∠．（3）解：如图，延长AD 至点P 处，使DP AD ，连接CP ．∵AB AC =，D 是边BC 的中点，∴90ADC PDC ∠=∠=︒．∵ACE △是等边三角形，∴AC CE =，60EAC ∠=︒．∵AD DP =，ADC PDC ∠=∠，CD CD =，∴ADC ≌PDC △（SAS ），∴AC CP CE ==，ACD PCD ∠=∠．由（2）可知，FEA FCA ∠=∠，∵AMC FME ∠=∠，∴60EFC EAC ∠=∠=︒．由（1）可知，BF CF =， ∴()18060260BFD CFD ∠=∠=︒-︒÷=︒，∴906030FCD ∠=︒-︒=︒．∵FCA FCD ACD ∠=∠-∠，∴30FCA ACD ∠=︒-∠．∵ECF ECA FCA ∠=∠-∠，∴()303030ECF ECA ACD ECA ACD ACD ∠=∠-︒-∠=∠-︒+∠=︒+∠． ∵FCP FCD PCD ∠=∠+∠，∴30FCP ACD ∠=︒+∠，∴ECF FCP ∠=∠．∵FC FC =，CE CP =，∴ECF △≌PCF （SAS ），∴FE FP =，∴2FE FA AP AF AD =+=+，∴2822=4AF EF AD =-=-⨯．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．6．（1）BC=AC+AD ；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB 上截取CE=CA ，则由题意可得AD=DE ，∠CED=∠A ，再结合∠A=2∠B 可得DE=BE ，从而得到BC=AD+AC ；（2）在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC=BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答 ．【详解】解：（1）如图，在CB 上截取CE=CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD=DE ，∠CED=∠A ，∵∠A=2∠B ，∴∠CED=2∠B ，又∠CED=∠B+∠EDB ，∴∠B+∠EDB=2∠B ，∴∠EDB=∠B ，∴DE=BE ，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如图，在AB 上截取AE=AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴22221068CF EC EF =--=， ∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．7．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①2PC PA PB =+；理由见解析；②(21)()PC PD PA PB +=++；【灵活应用】(52)()PC PD PE PA PB ++=++．【分析】尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 的2倍，即可得到结果；②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系； 灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．【详解】尝试解决：PA+PB=PC ；证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，∴∠ACP=∠MCB ，又∵CP=CM ，AC=MC ，∴△ACP ≌△BCM ，所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，∵四边形APBC 内接于圆O ，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴∠CBM+∠CBP=180° ，∴P 、B 、M 三点共线，∴△PCM 是等边三角形，∴PM=PC ，∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB∴△BCQ ≌△BAP ，∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ，∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，∴△PBQ 是等腰直角三角形，∴PQ=2PB ， ∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；②(21)()PC PD PA PB +=++证明：在PD 上截取DH=PB ，∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB∴△ADH ≌△ABP∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，∵∠DAH+∠HAP=90°，∴∠BAP+∠HAP=90°，∴△HAP 是等腰直角三角形，∴PH=2PA ，∴PD=DH+PH=PB+2PA ，∴(21)()PC PD PA PB +=++．灵活应用：(52)()PC PD PE PA PB ++=++．证明：在PC 上截取FC=PA ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°，∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，∴△BAP ≌△BCF ，∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，∵∠CBF+∠FBA=108°，∴∠ABP+∠FBA=108°，∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，∴15+PB ，∴PC=PF+FC=152+PB+PA ， 同理可证PE=152+PA+PB ， 延长PD 至点M 使DM=PB ，∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，∴∠CDM=∠CBP又∵CD=BC ，∴△CDM ≌△CBP∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，又∵∠PCB+∠PCD=108°，∴∠MCD+∠PCD=108°，∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，∴PM=152+PC ， ∴PD=PM-DM=152+PC-PB ， ∴PC+PD+PE=PC+152+PC-PB+152+PA+PB=352+（152+PB+PA ）+152+PA=()()2525PA PB +++=()()25PA PB ++ 【点睛】本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．8．（1）=；（2）AE EF =，见解析；（3）AE EF =，见解析【分析】（1）作辅助线，AH=EC ，∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=180°-45°=135°，则△AHE ≌△ECF ； （2）作辅助线，仍然证明△AME ≌△ECF 得出结论；（3）做辅助线，仍然证明ANE ECF △≌△得出结论．【详解】解：（1）证明：取AB 的中点H ，连接EH ；∵ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE ，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE ，∴△AHE ≌△ECF ，∴AE=EF ；（2）在AB 上取一点M ，使得AM EC =，连接ME∴BM BE =∴45BME ∠=︒∴135AME ∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45DCF ∠=︒∴135ECF ∠=︒∴AME ECF ∠=∠∵90AEB BAE ∠+∠=︒，90AEB CEF ∠+∠=︒∴BAE CEF ∠=∠∴AME ECF △≌△∴AE EF =（3）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE∴BN NE =∴45N NEC ∠=∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45FEC ∠=︒∠=∠∴N FEC∵四边形ABCD是正方形∴AD BE∠=∠∴DAE BEADAE BEA即9090∠=∠∴NAE CEF△≌△∴ANE ECF=∴AE EF【点睛】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键．9．证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∠BAD．2∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．10．（1）2；（2）证明见解析；（3）∠AOB=3∠ABM，理由见解析．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC，得出AP，即可求出S△ACP；（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，则CF﹣CG=2FN，证出∠BCF=∠DCP，由ASA证明△BCF≌△DCP，得出CF=CP，证出CG=BM，由SAS证明△ABM≌△BCG，得出∠AMB=∠BGC，因此∠BMC=∠BGF，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG，得出∠BFG=∠BGF，因此∠BMC=∠CBM，即可得出结论；（3）连接AE，先证出∠BCA=2∠PAE，再证明A、D、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠DCP=∠PAE，得出∠BCF=∠PAE，证出∠BCA=2∠ABM，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形ABC是正方形，∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，∴，∴AP=78AC=78=2，∴S△ACP=12AP×CD=12；（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示：则CF﹣CG=2FN，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，在△BCF和△DCP中，ABC CDP BC DCBCF DCP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCF≌△DCP（ASA），∴CF=CP，∵CP﹣BM=2FN，∴CG=BM，∵∠ABC=90°，BM⊥CF，∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，在△ABM和△BCG中，AB BCABI CBG BM CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△BCG（SAS），∴∠AMB=∠BGC，∴∠BMC=∠BGF，∵GN=FN，BM⊥CF，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC；（3）∠AOB=3∠ABM；理由如下：连接AE，如图2所示：∵AC=AP，E是CP的中点，∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，∵∠ADC=∠AEC=90°，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠DCP=∠PAE，∴∠BCF=∠PAE，又∵∠ABM=∠BCF，∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，∴∠BCA=2∠ABM，∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，∴∠AOB=3∠ABM．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．。

备考2023年中考数学二轮复习-图形的性质_三角形_三角形的面积-填空题专训及答案三角形的面积填空题专训1、(2019绍兴.中考模拟) 如图，A．B是反比例函数y= 图象上关于原点O对称的两点，BC⊥x轴，垂足为C，连线AC过点D（0，﹣1.5）．若△ABC的面积为7，则点B的坐标为________．2、(2019宁波.中考模拟) 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD 的面积等于________．3、(2018青岛.中考模拟) 如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为________cm3．4、(2017历下.中考模拟) 如图，已知点A1、A2、A3、…、An在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3═An﹣1An=1，分别过点A1、A2、A3、…、An作x轴的垂线，交反比例函数y= （x＞0）的图象于点B1、B2、B3、…、Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2，…，若记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2，…，△BnPnBn+1的面积为Sn ，则S1+S2+…+S2017=________．5、(2019河南.中考模拟) 如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是________.6、(2017三门峡.中考模拟) 如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为________．7、(2018深圳.中考模拟) 如图，在正方形ABCD中，AD= ，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE 的面积为________.8、(2018潮南.中考模拟) 如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有________对．9、(2021深圳.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________10、(2018成都.中考模拟) 如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF，CE，AF、CE交于G，则四边形BEGF与四边形ADCG的面积的比值为________11、(2019巴中.中考真卷) 如图，反比例函数经过A、B两点，过点A 作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连结AD，已知、、．则＝________．12、(2019凤翔.中考模拟) 如图，四边形ABCD，四边形EBFG，四边形HMPN均是正方形，点E、F、P、N分别在边AB、BC、CD、AD上，点H、G、M在AC上，阴影部分的面积依次记为S1， S2，则S1：S2等于________.13、(2020乌鲁木齐.中考模拟) 如图，在矩形中，. 若将绕点旋转后，点落在延长线上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为________.14、(2019城.中考模拟) 如图，点、是函数上两点，点为一动点，作轴，轴，下列结论：① ≌ ；② ；③若，则平分；④若，则．其中正确序号是________（把你认为正确都填上）．15、(2020长兴.中考模拟) 如图，P是▱ABCD内一点，连结P与▱ABCD各顶点，▱EFGH 各顶点分别在线段BP，CP，DP，AP上，若2BE=3PE，且EF∥BC，图中阴影部分的面积为2，则▱ABCD的面积为________.16、(2020如皋.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD ＝3，CD＝2．则△ABC的面积为________．17、(2020滨州.中考模拟) 如图，两个反比例函数和的图像分别是 l1和l2.设点P在 l1上，PC⊥x轴，交 l2于点A。

第五章三角形三角形01 有关的角和边1.三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：2．三角形的边与边之间的关系：(1)三角形两边的和大于第三边；(2)三角形两边的差小于第三边；3．三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180︒;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.4.n边形内角和=(n－2)·180 ；n边形对角线个数：2)3(-nn条5.边与角的关系①在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。

练习题一、选择题：1. 已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（）A. 5B. 7C. 8D. 102. 如图所示：AB是圆O的直径，AD=DE,AE与BD交于点C,则图中与∠BCE相等的角有（）A. 2个B. 3个C.4个D.5个3. 如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（）4. 已知△ABC中，∠B=600,∠C>∠A,且(∠C)2=(∠A)2+(∠B)2,则△ABC的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 一个等腰三角形如图所示，顶角为∠A,作∠A的三等分线AD、AE（即∠1=∠2=∠3），若BD=x，DE=y，EC=z，则有（）A. x>y>zB.x=y>zC.x=z>yD.x=y=z6.如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）7.如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC=4cm2,则S阴影等于（）A.2cm2B.1cm2C.12cm2 D.14cm28. 如图所示，将△ABC的三边AC、BA、CB分别延长至D,E,F，且AC=CD,EA=2BA,FB=3BC.若S△ABC=1，那么S△DEF的面积为（） A. 15 B. 16 C. 17 D. 189.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E 在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED BC⊥，则CE的长是( )A.10315- B.1053- C.535- D.20103-三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形10.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A.13B.12C.23D.不能确定11.如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2011个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（）A. 2011B. 2012C. 2013D. 2014二、填空题：12. 如图，点A,B是圆O上两点，AB=10,点P是圆O上的动点（P与A,B不重合），连接AP,PB,过点O分别作OE⊥AP于点E,OF⊥PB于点F,则EF=13.在△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60 ，∠B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,则边AC的长是＿＿cm14.已知△ABC的两边长a和b（a<b）,则这个三角形的周长L 的取值范是＿＿＿＿15. 如图，CE平分∠ACB,且CE⊥DB,∠DAB=∠DBA,AC=18cm，△CBD的周长为28cm，则DB=16.一个多边形截去一个角后,所得的新多边形的内角和为2520°,则原多边形有____条边。

数学中考二轮复习专题卷-三角形学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________1、（2013年四川南充3分）下列图形中，∠2＞∠1的是【】A．B．C．则D．2、如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为【】A．2 B．3 C．4 D．53、下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，44、四边形的内角和的度数为A．180°B．270°C．360°D．540°5、下列各组线段的长为边，能组成三角形的是A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cmC．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm6、如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为A．30° B．45° C．60° D．75°7、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°8、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为A．B．C．D．9、（2013年四川资阳3分）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是【】A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形10、（2013年四川南充3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是【】A．70°B．55° C．50°D．40°11、（2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【】A．3 B．4 C．5 D．612、已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm13、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为A．50°B．60°C．70°D．80°14、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为A．B．C．3 D．415、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为A．20 B．18 C．14 D．1316、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.517、如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是【】A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC18、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=A．6 B．8 C．10 D．1219、（2013年四川资阳3分）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是【】A．48 B．60 C．76 D．8020、（2013年四川攀枝花3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=【】A．30°B．35°C．40°D．50°二、填空题()21、一个六边形的内角和是 .22、如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为米。

2020年中考数学二轮复习：三角形综合练习题1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．4．如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．5．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．6．如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．8．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD 为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．9．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．11．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD+BD＝CD；（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．12．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B 重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．13．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD＝∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE＝EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AE＝，求BD的长．15．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是．（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若AB＝6，DG＝1，cos B＝，请直接写出CF的长．16．如图，在△ABC中，AB＝7.5，AC＝9，S△ABC＝．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cos A的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM＝S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．17．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．18．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．19．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM＝EM；（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．20．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD ＝CE．（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠DBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠DCB＝∠EBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC，在△DBC与△ECB中，∴△DBC≌△ECB（SAS）；（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE．4．如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝AD，∠BCD＝30°，由“SAS”可证△ABF≌△CBE，可得BF＝BE；（2）通过证明△BEF是等边三角形，可得BG＝GF，由三角形中位线定理可得AF＝2GD，AF∥DG．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°∵CD⊥AB，AC＝BC∴BD＝AD，∠BCD＝30°，∵AF⊥AC∴∠F AC＝90°∴∠F AB＝∠F AC﹣∠BAC＝30°∴∠F AB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE∴△ABF≌△CBE（SAS）∴BF＝BE（2）AF＝2GD，AF∥DG理由如下：连接EF，∵△ABF≌△CBE∴∠ABF＝∠CBE，∵∠ABE+∠EBC＝60°∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF∴BG＝FG，且BD＝AD∴AF＝2GD，AF∥DG5．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为6．【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF ＝；（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出▱ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．6．如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝，求证：△ABC是直角三角形．【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB ＝∠B，∠NAC＝∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°即可求出答案；（3）化简等式即可得到a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12，∴∠A+∠B＜∠C；（2）如图，过点B作MN∥AC，∵MN∥AC，∴∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠MBA+∠ABC+∠NBC＝180°（平角的定义），∴∠A+∠ABC+∠C＝180°（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180°；（3）∵＝，∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]，∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．8．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD 为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．【分析】（1）①根据同角的余角相等证明；②作FH⊥BC交BC的延长线于H，证明△ACD≌△DHF，根据全等三角形的性质得到DH＝AC，结合图形证明即可；（2）作FG⊥BC交BC的延长线于G，证明△ACD∽△DGF，根据相似三角形的性质得到DG＝2AC，证明结论．【解答】（1）证明：①∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵∠CDF+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠CDF；②作FH⊥BC交BC的延长线于H，则四边形FECH为矩形，∴CH＝EF，在△ACD和△DHF中，，∴△ACD≌△DHF（AAS）∴DH＝AC，∵AC＝CB，∴DH＝CB，∴DH﹣CD＝CB﹣CD，即HG＝BD，∴BD＝EF；（2）BD＝EF，理由如下：作FG⊥BC交BC的延长线于G，∵∠CAD＝∠GDF，∠ACD＝∠DGF＝90°，∴△ACD∽△DGF，∴＝＝＝2，即DG＝2AC，GF＝2CD，∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴BC＝DG，GF＝CE，∴BD＝CG，∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，∴四边形FECG为矩形，∴CG＝EF，∴BD＝EF．9．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．【分析】（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．（2）PD＝AD﹣AP＝6﹣x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠BAC＝∠DAE即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝∠CAE．（2）∵AD＝6，AP＝x，∴PD＝6﹣x当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠P AC＝90°﹣α，∵I为△APC的内心∴AI、CI分别平分∠P AC，∠PCA，∴∠IAC＝∠P AC，∠ICA＝∠PCA∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠P AC+∠PCA）＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105°∵0＜α＜90°，∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m＝105，n＝150．10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC＝，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD＝30°，∴BM＝2DM，由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，解得，DM＝，∴AM＝AD﹣DM＝﹣；（2）证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE＝AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，在△BME和△NMA中，，∴△BME≌△NMA（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．11．如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADB＝90°．（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．①求证：CD＝CE，CD⊥CE；②求证：AD+BD＝CD；（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．【分析】（1）①根据四边形的内角和得到∠DAC+∠DBC＝180°，推出∠DBC＝∠EAC，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据垂直的定义得到结论；②由已知条件得到△CDE是等腰直角三角形，求得DE＝CD，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC ＝∠ABC＝45°，求得∠CBD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到CD＝CE，∠BCD ＝∠ACE，求得∠DCE＝90°，根据线段的和差即可得到结论．【解答】（1）证明：①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB＝360°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∵∠EAC+∠DAC＝180°，∴∠DBC＝∠EAC，∵BD＝AE，BC＝AC，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠BCD+∠DCA＝90°，∴∠ACE+∠DCA＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD⊥CE；②∵CD＝CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝CD，∵DE＝AD+AE，AE＝BD，∴DE＝AD+BD，∴AD+BD＝CD；（2）解：AD﹣BD＝CD；理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵∠ADB＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，∴△CBD≌△CAE（SAS），∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，即∠DCE＝90°，∴DE＝＝＝CD，∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，∴AD﹣BD＝CD．12．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B 重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、平行线的判定定理解答；（2）在AF上截取AF＝CD，连接EF，证明△EAF≌△EDC，根据全等三角形的性质得到EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，根据平行线的判定定理证明；（3）分图②、图③两种情况，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE＝45°，∴∠CAB＝∠ADE，∴CE∥AB；（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，理由如下：在AC上截取AF＝CD，连接EF，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴∠EAF＝∠EDC，在△EAF和△EDC中，，∴△EAF≌△EDC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，∵∠AED＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECA＝45°，∴∠ECA＝∠CAB，∴CE∥AB；（3）如图②，∠EAC＝15°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝2CD，AC＝CD，∴FC＝（﹣1）CD，∵△CEF为等腰直角三角形，∴EC＝FC＝CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝CD，∴＝＝，如图③，∠EAC＝15°，由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，∴∠ADC＝30°，∴CD＝AC，AB＝AC，延长AC至G，使AG＝CD，∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝AC﹣AC，在△EAG和△EDC中，，∴△EAG≌△EDC（SAS），∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，∴∠CEG＝90°，∴△CEG为等腰直角三角形，∴EC＝CG＝AC，∴＝，综上所述，当∠EAC＝15°时，的值为或．13．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°∵GD⊥EF，∠EFD＝60°∴FG＝1，DG＝FG＝∵BD2＝BG2+DG2，∴16＝3+（BF+1）2，∴BF＝﹣1∵EH⊥BC，∠C＝60°∴CH＝，EH＝HC＝EC∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°∴△BGD∽△BHE∴∴∴EC＝﹣1∴AE＝AC﹣EC＝7﹣14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD＝∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE＝EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AE＝，求BD的长．【分析】（1）只要证明EA＝ED，EA＝EF即可解决问题；（2）结论：BD＝CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME＝CE，连接DM．想办法证明DM＝CF，DM＝BD即可；（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD＝x，则DN＝，DE＝AE ＝，由∠B＝45°，EN⊥BN．推出EN＝BN＝x+＝，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2＝DE2，构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BAC＝90°，∴∠EAD+∠CAE＝90°，∠EDA+∠F＝90°，∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠F，∴EA＝ED，EA＝EF，∴DE＝EF．（2）解：结论：BD＝CF．理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME＝CE，连接DM．∵DE＝EF．∠DEM＝∠CEF，EM＝EC．∴△DEM≌△FEC，∴DM＝CF，∠MDE＝∠F，∴DM∥CF，∴∠BDM＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠DBM＝45°，∴BD＝DM，∴BD＝CF．（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．∵EA＝ED，EN⊥AD，∴AN＝ND，设BD＝x，则DN＝，DE＝AE＝，∵∠B＝45°，EN⊥BN．∴EN＝BN＝x+＝，在Rt△DEN中，∵DN2+NE2＝DE2，∴（）2+（）2＝（）2解得x＝1或﹣1（舍弃）∴BD＝1．15．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是AG＝CF．（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．（3）若AB＝6，DG＝1，cos B＝，请直接写出CF的长．【分析】（1）如图1，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAE＝∠B＝45°，BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图2，连接AE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAC＝120°，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，求得∠BAE＝∠B＝30°，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到AG＝CF；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD ＝3，AE＝BE，由三角函数的定义得到BE＝＝＝4，根据相似三角形的性质得到＝，过A作AH⊥BC于点H由三角函数的定义即可得到结论．②当点G在BD 上，如图4，方法同（1）．【解答】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，∵∠AFE+∠CFE＝180°，∴∠AGE＝∠CFE，∵∠GAE＝∠C＝45°，∴△AEG≌△CEF（AAS），∴AG＝CF；故答案为：AG＝CF；（2）AG＝CF，理由：如图2，连接AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠CAE＝90°，∠BAE＝∠C，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝180°，∵∠CFE+∠AFE＝180°，∴∠AGE＝∠CFE，∴△AGE∽△CFE，∴，在Rt△ACE中，∵∠C＝30°，∴＝sin C＝，∴＝，∴AG＝CF；（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝3，AE＝BE，∵cos B＝，∴BE＝＝＝4，∴AE＝BE＝4，∴∠BAE＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠BAE，∵∠GEF+∠BAC＝180°，∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，∵∠AFE+∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠AGE，∴△CFE∽△AGE，∴＝，过A作AH⊥BC于点H，∵cos B＝，cos45°＝，∵＞，∴∠B＜45°，∴E在H的左侧，∵cos B＝，∴BH＝AB＝×6＝，∵AB＝AC，∴BC＝2BH＝9，∵BE＝4，∴CE＝9﹣4＝5，∵AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，∴＝，∴CF＝2.5；②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，△CFE∽△AGE，∴＝，∵AG＝AD+DG＝3+1＝4，∴＝，∴CF＝5，综上所述，CF的长为2.5或5．16．如图，在△ABC中，AB＝7.5，AC＝9，S△ABC＝．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cos A的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM＝S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM＝S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形：①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；【解答】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S△ABC＝•AC•BE＝，∴BE＝，在Rt△ABE中，AE＝＝6，∴coaA＝＝＝．（2）如图2中，作PH⊥AC于H．∵P A＝5t，PH＝3t，AH＝4t，HQ＝AC﹣AH﹣CQ＝9﹣9t，∴PQ2＝PH2+HQ2＝9t2+（9﹣9t）2，∵S△PQM＝S△QCN，∴•PQ2＝וCQ2，∴9t2+（9﹣9t）2＝×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9＝0，解得t＝3（舍弃）或．∴当t＝时，满足S△PQM＝S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ＝∠PQH＝60°，∴PH＝HQ，∴3t＝（9﹣9t），∴t＝．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH＝QH，∴3t＝（9t﹣9），∴t＝，综上所述，当t＝s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 的边上．17．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为1；②∠AMB的度数为40°．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD ＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则＝，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC ∽△BOD，则∠AMB＝90°，，可得AC的长．【解答】解：（1）问题发现①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠ABO＝140°，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，故答案为：①1；②40°；（2）类比探究如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，∴，同理得：，∴，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）拓展延伸①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，，x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，+（x+2）2＝x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2；综上所述，AC的长为3或2．18．（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG＝NG；位置关系是MG⊥NG．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH＝90°，即：∠BHD＝90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG＝NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【解答】解：（1）连接BE，CD相交于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC+∠DBH＝∠BDC+∠ABD+∠ABE＝∠BDC+∠ABD+∠ADC＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG＝NG，MG⊥NG，故答案为：MG＝NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE相交于点H，同（1）的方法得，MG＝NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG＝NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH+∠ECH＝∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°＝90°，∴∠DHE＝90°，同（1）的方法得，MG⊥NG，∴△MGN是等腰直角三角形．19．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM＝EM；（2）若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；（2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；（3）首先证明△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，设FM＝a，则AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，推出＝，＝，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠DCB＝90°，∵DM＝MB，∴CM＝DB，EM＝DB，∴CM＝EM．（2）解：∵∠AED＝90°，∠A＝50°，∴∠ADE＝40°，∠CDE＝140°，∵CM＝DM＝ME，∴∠MCD＝∠MDC，∠MDE＝∠MED，∴∠CME＝360°﹣2×140°＝80°，∴∠EMF＝180°﹣∠CME＝100°．（3）证明：如图2中，设FM＝a．∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，∴∠DEM＝60°，∠MEF＝30°，∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，∵CN＝NM，∴MN＝a，∴＝，＝，∴＝，∴EM∥AN．（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）20．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD ＝CE．（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积．【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF＝∠CBF，进而得出∠BCF＝∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD＝3，进而求出CF＝，同理：EG＝，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，记AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，记AE与CF的交点为M，∵AC＝2，∴BC＝AC＝2，∵CE＝1，∴CD＝CE＝1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝3，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，∴S△CEF＝CE•FH＝×1×＝，由（2）知，AE⊥CF，∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．。