1.示范教案(2.1.1 平面)

格一课堂教学方案章节：2.1.1 1 课时：备课人：二次备课人：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

2.1.1平面的教学设计一、教材分析本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。

平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。

这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。

二、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

三、教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识目标】1）掌握平面的概念、画法、表示方法；（（2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面；（3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。

【能力目标】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。

【情感目标】让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。

四、教学的重点难点重点：1、平面的概念及表示方法。

2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

五、教法与学法本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。

因此，1 、教法上应注意：（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性；（2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达；（3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。

2.1.1平面的教学设计一、教材分析本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1平面第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。

平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。

这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。

二、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题串为导向设计教学情境，以“平面及其基本定理”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

三、教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识目标】1）掌握平面的概念、画法、表示方法；（（2）通过联想、观察图形，用图形和符号语言表示平面；（3）准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进行共面、共线、共点问题的证明。

【能力目标】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。

【情感目标】让学生在发现中学习，增强学习的积极性，提高学生的学习兴趣。

四、教学的重点难点重点：1、平面的概念及表示方法。

2、平面的基本性质，注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

五、教法与学法本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。

因此，1 、教法上应注意：（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动了学生主动参与的积极性；（2）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体表现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰地思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达；（3）采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质，以及运用计算机多媒体等教学手段，是学生更容易地理解教学内容。

2。

１．1 平面东莞市南城中学陈立１。

内容与内容解析（1）内容《2。

1.１平面》就是人教A版《数学》必修二得第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容就是平面得描述性概念及三个公理。

（２)内容解析平面就是最基本得几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。

平面得基本性质即公理1、公理２、公理3，就是研究立体图形得理论基础,也就是进一步推理得出发点与根据。

其中公理可以用来判断直线或者点就是否在平面内；公理用来确定一个平面,判断两平面重合，或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点得问题。

平面得基本性质在高考中一般以选择与填空题型为主。

学生在第一章得学习过程中，经历了对立体图形得整体把握,这节课以学生熟知得长方体为载体，引出本节课得主要内容，拓展学生已有得平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此,本节课得教学重点就是使学生了解平面得描述性概念,了解平面得表示方法与画法;理解平面得基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间得关系。

2。

目标与目标解析(１)目标根据本节课得教学内容、特点及教学大纲对学生得要求,结合学生现有得知识水平与理解水平,确定本节课得教学目标如下:①了解平面得描述性概念;②了解平面得表示方法与基本画法；③理解公理1、公理２、公理3；④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间得关系。

⑤感知数学语言得美，激发学习兴趣.（2)目标解析通过学生熟知得正方体、生活中得实例使学生对平面有感性得、初步得认识,借助学生已有得直线得描述性概念,通过类比让学生体验获得平面得描述性概念得思维过程。

在学生了解平面得描述性概念以后，首先给出平面得表示方法，然后类比画直线得方式，从“直观性”角度给出平面得画法。

尽管平面得描述性概念、平面得表示方法与基本画法这些内容不难，但就是要让学生理解这些知识得本质还就是有一定难度,没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此,将这些内容定位为了解.平面得三个公理，就是本节课得重点内容，要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。

(人教版)高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计2.1.1 平面东莞市南城中学陈立1．内容和内容解析（1）内容《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。

（2）内容解析平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。

平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。

其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。

平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。

学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。

2．目标和目标解析（1）目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下：①了解平面的描述性概念；②了解平面的表示方法和基本画法；③理解公理1、公理2、公理3；④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。

⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。

（2）目标解析通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。

在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。

尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。

§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1 平面一、教材分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.二、教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.三、重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.四、课时安排1课时五、教学过程（一）导入新课思路1.初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形？三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。

平面内基本图形：点、线思路2.高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形？棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。

空间中基本图形：点、线、面（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念；②平面的画法与表示方法；③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示；⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性.②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图1.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图2.图1 图2平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图3)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图4）.图3 图4③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）A∈a元素与集合间的关系点A在直线a外（或直线a不经过点A）A∉a点A在平面α内（或平面α经过点A）A∈α点A在平面α外（或平面α不经过点A）A∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图5）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图5 图6请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图6）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图7）.图7公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图8），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图8公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据（三）应用示例思路1例1 如图9，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图9活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.例2：求证两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内(共面问题)已知: AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.求证:直线AB、BC、AC共面.证明：∵AB ∩AC=A ∴AB 和AC 确定一平面a,,B AB C AC BC ααα∈⊂∈⊂∴⊂Q ∴直线AB 、BC 、AC 共面于α。

必修2教案2.1.1平面第一篇：必修2教案2.1.1 平面§2.1.1 平面一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.培养学生感性认识探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.加深学生对平面概念的理解.探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面α内，记作：Aα∈. 点B在平面外，记作：Bα∉.生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.师：大家画一下.学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)和发散思想能力.探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一的平面α，使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P ∉l；如果直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα⊂，否则就说直线l在平面α外，记作lα⊄.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.” （2）过A 、B 、C 三点的平面可记作“平面ABC ”公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. （1）公理3的图形如图 （2）符号表示为： l P P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.大家回忆一下几点可以确定一条直线 生：两点可确定一条直线. 师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？ 生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上. 师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识在（2）中，αβ=，a α⊂，β⊂，a P =，b l P =.1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面．经过一条直线和一个点确定一个平面备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线.分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1CA 1C ⊂平面A 1C又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D C B Aαb adcG F EAa bcd α H K图1图2AC∩BD = M⇒M∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C = C1M⇒O∈C1M，即O、C1、M三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.。

2.1.1平面【课标要求】1．了解平面的概念及表示方法．2．理解平面的公理1，公理2，公理3.3．会用符号语言准确表述几何对象的位置关系．【核心扫描】1．空间直线、平面的位置关系．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(易混点)【新知探究】新知导学1．平面的概念(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②(3)平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.温馨提示：(1)“平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直线”、“集合”等概念一样)；(2)平面的特征：①理想性：绝对的平直且能无限延长；②不可测度性：无大小(无限大)、无厚薄(无限薄)．2．点、线、面之间的关系(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. (2)一些文字语言与数学符号的对应关系：文字语言表达数学符号表示文字语言表达数学符号表示点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α直线l，m相交于点Al∩m＝A平面α、β相交于直线lα∩β＝l温馨提示：(1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用几何语言．例如，A ∈α读作“点A在平面α内”；a⊂α读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l读作“平面α，β相交于直线l”．(2)几何符号的用法：原则上与集合符号的含义一致，但为了方便起见，个别地方与集合符号略有差异．例如：不再用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而简记为a∩b＝A，这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合．3．平面的基本性质及作用公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据公理3如果两个不重合的平面有一个公P∈α，且P∈β⇒α∩β一是判断两个平面相交的依据；二温馨提示：(1)公理2、公理3的“有且只有”含义要理解准确，“有”是存在，“只有”表示唯一，“有且只有”是存在且唯一，与“确定”意义相同．(2)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(3)公理2及其推论是确定平面的依据，提供了把空间问题转化为平面问题的条件．【互动探究】探究点1立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有什么区别？提示(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；(2)平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，无大小，无面积，它可以无限延展，没有边界．探究点2 (1)已知l⊄α，则l∩α＝∅一定成立吗？(2)已知A∈l⊄α，则点A与平面α有什么关系？提示(1)不一定成立．当l与α平行时成立；当l与α相交时不成立．(2)A∈α或A∉α.当l∩α＝∅时，A∉α；当l∩α≠∅时，若l∩α＝A，则A∈α，否则A∉α.探究点3 “线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确，为什么？提示不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的所有点都在平面α内，∴线段上的A、B两点一定在平面α内，∴直线AB在平面α内(公理1).【题型探究】类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.[思路探索]根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系画图．解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)图(1)图(2)(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2)．[规律方法](1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【活学活用1】将下列符号语言转化为图形语言．(1)a⊂α，b∩α＝A，A∉a.(2)α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解(1)(2)类型二点线共面问题【例2】证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内．[思路探索]证明多线共面，一般先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面内．已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证明法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．[规律方法]解决点线共面问题的基本方法是纳入法和同一法：【活学活用2】已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公里2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．类型三点共线问题【例3】如图所示，在空间四边形(四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[思路探索] 证明点P在平面ABD与平面CBD的交线上证明由于EF，GH交于一点P，又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴点P在直线BD上．[规律方法]首先找出两个平面的交线，然后证明若干点都是这两个平面的公共点，根据公理3可推知这些点都在交线上，即若干点共线．【活学活用3】如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．类型四线共点问题【例4】如图所示，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．[思路探索] 由比例式可得出GE∥HF(四点共面)、GH与EF相交，再论证交点在BD上．证明因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，所以FH∥AC，从而FH∥GE.故E，F，H，G四点共面，所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点．[规律方法]证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点；然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．【活学活用4】三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点．已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行．求证：l1、l2、l3相交于一点．证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1、l2、l3相交于一点P.方法技巧分类讨论思想在立体几何中的应用分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则，证明线共面时，要对所有情形逐一讨论，最后归纳总结得出结论．【示例】两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？[思路分析]分四线共点，三线共点，无三线共点的三种情形讨论．解(1)当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或6个平面．(2)当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：①当四条直线中有三条相交于一点时，不妨设a，b，c相交于一点A，但A∉d，如图(1)所示：∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α，∵A，E∈α，A，E∈a，∴a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α.∴a，b，c，d在同一平面α内．②当四条直线中任何三条都不共点时，如图(2)所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α.设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.又H，K∈c，∴c⊂α，同理可证d⊂α.∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．综上可知：当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或6个平面．当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定一个平面．[题后反思] 分类讨论也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于认识到引起讨论的原因，确定分类的标准，多级分类讨论时，注意分类的层次.【课堂达标】1．下列命题中正确的个数是()．①一个平面长4米，宽2米；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25平方米；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面．A．0 B．1 C．2 D．3解析几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对．答案A2．下列说法正确的是()．A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面解析不共线三点确定一个平面，A错误；一条直线和此直线外一点确定一个平面，B错误；空间四边形(四个顶点不共面)不是平面图形，C错误；两条相交直线确定一个平面，D正确．答案D3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是________．解析对于不共线四点：当三点共线时确定一个平面；当三点不共线时，可确定一个平面或四个平面答案1或44．下列语句是对平面的描述：①平面是绝对平的且是无限延展的②一个平面将无限的空间分成两部分③平面可以看作空间的点的集合，它是一个无限集④平面可以用梯形、圆来表示其中正确的序号是________．解析根据平面的概念和特征①②③都是从不同的角度对平面的描述，因此都是正确的．平面可以用封闭的平面图形来表示，④也正确．答案①②③④5．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系：(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.【课堂小结】1．理解平面的特征，能正确的画出图形，用符号语言准确表示点、线、面的位置关系．2．充分认识三个公理及公理2三个推论的作用．3．掌握证明点线共面、点共线、线共点的方法.。