2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数含答案

§ 4.1任意角三角函数1.弧度的概念与公式2.角的概念的推广3.任意角的三角函数教材研读考点突破考点一任意角考点二三角函数的定义考点三弧长与面积公式1.弧度的概念与公式在半径为r 的圆中:定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度用符号rad 表示角α的弧度数公式|α|=(弧长用l 表示)角度与弧度的换算1°=rad;1 rad=°弧长公式弧长l =①|α|·r扇形面积公式S =②lr =③|α|r 2l r 180π180π⎛⎫ ⎪⎝⎭1212教材研读2.角的概念的推广(1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)定义1)按逆时针方向旋转形成的角叫正角;按顺时针方向旋转形成的角叫负角;一条射线没有作任何旋转形成的角叫零角.2)当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合时,角的终边在第几象限,就叫第几象限角.若角的终边在坐标轴上,则这个角不属于任何一个象限.3)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的集合是④{β|β=α+k·3 60°,k∈Z}.4)终边在x轴上的角的集合是⑤{α|α=k·180°,k∈Z},终边在y轴上的角的集合是⑥{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.3.任意角的三角函数(1)定义1)设角α的终边与单位圆交于P (x ,y ),则sin α=⑦y ,cos α=⑧x ,tanα=(x ≠0).2)设α是一个任意角,α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y )(x ≠0),它与原点的距离为r (r =),那么sin α=,cos α=,tan α=.(2)三角函数线y x 22x y y r x r y x用单位圆中的有向线段表示三角函数(如图).sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT.易错防范(1)注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、三类是区间角.(2)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(3)三角函数的定义中,当P (x ,y )是单位圆上的点时,有sin α=y ,cos α=x ,tan α=,但若不是单位圆时,如圆的半径为r ,则sin α=,cos α=,tan α=.y x y r x r y x1.下列说法正确的有(B)A.第一象限的角一定是锐角B.锐角一定是第一象限的角C.终边相同的角相等D.第二象限的角大于第一象限的角2.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是(A )A. B. C.- D.-3π6π3π6π3.(教材习题改编)若θ满足sin θ<0,cos θ>0,则θ的终边在(D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设点A是单位圆上的一个定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧AP的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( C )解析如图,由题意知∠AOP =l ,0≤l ≤2π.所以P (cos l ,sin l ),则d ===2sin ,0≤l ≤2π.22(1cos )sin l l -+22cos l -2l 结合选项知选C.5.已知扇形的周长为4,则扇形面积最大时,扇形的中心角的弧度数是(A ) A.2 B.1 C. D.313解析设此扇形的半径为r ,弧长为l ,则2r +l =4,面积S =rl =r (4-2r )=-(r -1)2+1,所以当r =1时,面积最大.1212此时l =4-2r =2,=2.l r36.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+的值为0.cosα解析设角α终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则r k |.当k >0时,r ,∴sin α=-,=∴10sin α+当k <0时,r ,∴sin α,=22(3)k k +-1010310k k-310101cos α10k k 103cos α101010310k k --310101cos α10k k 10∴10sin α+综上,10sin α+=0.3cos α10103cos α任意角典例1(1)设集合M =,N=,那么( B )A.M =N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N =⌀(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )k |18045,Z 2x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭k |18045,Z 4x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭|,Z 42ππαk αk k ππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭考点突破◆探究本例(2)中,A 选项中的阴影部分用集合表示为.|22,Z 42ππx k αk k ππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭规律总结把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在象限.1-1设θ∈,且17θ的终边与θ的终边相同,则tan θ等于(D )A.-1 B. C.+1 D.1,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭222解析由题意得17θ=2k π+θ,k ∈Z,所以θ=(k ∈Z),令k =2,得θ=∈,故tan θ=1,故选D.8k π4π,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1-2已知角α是第二象限角,则角180°-α是第一象限角.三角函数的定义命题方向一利用三角函数定义求值典例2(1)已知角α的终边与单位圆交于点P ,则cos α的值为(B )A. B.- C. D.-(2)已知P (m ,2)为角α的终边上一点,且sin α=-,则tan α的值是( D )A. B.- C.1 D.-134,55⎛⎫- ⎪⎝⎭353545452m22方法指导三角函数定义的应用1.已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值,先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.2.已知角α终边所在直线方程求三角函数值,由于角的终边是射线,所以要分两种情况讨论,对于每种情况再按1的步骤求解.同类练已知角α的终边经过点(-4,3),则sin α=,cos α=-.3545解析由题意可得sin α==,cos α==-.223(4)3-+35224(4)3--+45变式练已知A (x A ,y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点,将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°,交单位圆于点B (x B ,y B ),则x A -y B 的取值范围是( C )A.[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.2211,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析设∠AOx 为α,根据三角函数的定义得x A =cos α,y B =sin(α+30°),所以x A -y B =cos α-sin(α+30°)=-sin α+cos α=sin(α+150°)∈[-1,1].3212深化练已知点A 的坐标为(4,1),将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ,则点B 的纵坐标为(D )A. B.C. D.33332532112132解析设直线OA 的倾斜角为α,B (m ,n )(m >0,n >0),则直线OB 的倾斜角为+α,因为A 所以tan α=所以tan ==即m 2=n 2,因为m 2+n 2=(4)2+12=49,所以n 2+n 2=49,所以n =或n =-(舍去),所以点B 的纵坐标为.3π31433απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭n m 13431343+-⨯1333271693271692132132命题方向二三角函数线、三角函数值的符号典例3若tan α>0,则(C)A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>0解析由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取时,cos 2α=2cos 2α-1=2×-1=-<0,D 错.故选C.3π212⎛⎫ ⎪⎝⎭12规律方法三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.同类练若sin αtan α<0,且<0,则角α是(C )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角cos tan αα解析由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,则α为第二或第三象限角,由<0可知cos α,tan α异号,则α为第三或第四象限角.综上可知,α为第三象限角.cos tan αα典例4函数y =的定义域为.3sin 2x -命题方向三三角函数线2|22,Z 33ππx k x k k ππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解析要使函数有意义,需满足sin x -≥0,由三角函数线画出图象(如图中阴影所示),所以2k π+≤x ≤2k π+,k ∈Z.323π23π规律总结(1)利用单位圆中的三角函数线,可以确定一些三角函数不等式的解集,但要注意三角函数线是有向线段;(2)当角的终边在第二,第三象限时,正切线是角的终边的反向延长线与单位圆上点A(1,0)处的切线的交点T与A连接而成的有向线段AT.同类练函数y =的定义域为(k ∈Z).2cos 1x -2,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦解析易得2cos x -1≥0,所以cos x ≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图中阴影所示).12所以x ∈(k ∈Z).2,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦典例5(2018台州质检)如图所示,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( C )22命题方向四三角函数定义中的创新解析因为P 0(,-),所以∠P 0Ox =-.因为角速度为1,所以按逆时针旋转时间t 后,得∠POP 0=t ,所以∠POx =t -.由三角函数定义,知点P 的纵坐标为2sin ,因此d =2.令t =0,则d =2224π4π4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2当t =时,d =0,故选C.4π弧长与面积公式典例6已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是(A)A.1或4B.1C.4D.8解析设扇形的弧长为l ,半径为r ,则⇒或所以扇形的圆心角的弧度数为=4或1.故选A.26,122r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩1,4r l =⎧⎨=⎩2,2,r l =⎧⎨=⎩l r方法指导扇形弧长、面积公式的使用与记忆(1)涉及扇形弧长和面积计算时,公式的呈现形式有角度制和弧度制两种,弧度制形式的公式较简捷,所以最好化为弧度制使用.(2)扇形面积公式可类比三角形面积公式来记忆.3-1已知扇形AOB (∠AOB 为圆心角)的面积为,半径为2,则△ABO 的面积为,扇形周长为4+.23π323π解析设扇形的弧长为l ,半径为r ,圆心角为α,则S 扇形AOB =lr =,又r =2,所以l =.又l =|α|·r =,所以|α|=,所以S △AOB =r 2sin 扇形周长为4+.1223π23π23π3π123π323π。

高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总 (1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、考点解析考点一 象限角及终边相同的角 例、(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 (2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 跟踪训练1．集合},4{Z k k k ∈+≤≤ππαπα中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．考点二 三角函数的定义典例、已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．跟踪训练1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15 B.3715 C.3720 D.13152．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C ．35 D ．45考点三 三角函数值符号的判定例、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断：三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0. 跟踪训练1．下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎪⎭⎫⎝⎛-322π>0 D ．sin 10<0 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限课后作业1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.},32{Z k k ∈-=ππαα B.},322{Z k k ∈+=ππαα C.},32{Z k k ∈-=ππαα D.},3{Z k k ∈-=ππαα4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A.3 B ．－5 C.5 D.3或56．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________． 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛m ,53，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．提高训练1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α 2．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．。

第四章 三角函数、解三角形突破点一[基本知识]1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)第二象限角大于第一象限角．( )(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．( )(3)终边在y ＝x 上的角构成的集合可表示为{ α| α＝π4＋k π，k ∈Z }.( )答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°. 答案：220°2．已知角α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝________.解析：因为角α与β的终边关于直线y ＝x 对称．所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则α＝2k π＋56π，k ∈Z.所以sin α＝sin 56π＝12.答案：123．已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．解析：由α是第二象限角可得，90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180°－(180°＋k ·360°)<180°－α<180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°<180°－α<90°－k ·360°(k ∈Z)．所以180°－α为第一象限角．答案：一象限角及终边相同的角(1)要使角β与角α的终边相同，应使角β为角α与π的偶数倍(不是整数倍)的和．(2)注意锐角(集合为{α|0°<α<90°})与第一象限角(集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z})的区别，锐角是第一象限角，仅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角．[典例感悟]1．(2019·长春普通高中一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{ α⎪⎪ α＝k π－π3，k ∈Z }.故选D.2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z)，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z)， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°3．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z.当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角． 答案：一或三[方法技巧]1．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2．求θn或nθ(n ∈N *)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k ，且k ∈Z)表示． (2)两边同除以n 或乘以n .(3)对k 进行讨论，得到θn或nθ(n ∈N *)所在的象限．[针对训练]1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与角β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，所以角α与角β的终边关于x 轴对称．2．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，综上知θ2为第二象限角．突破点二 弧度制及应用[基本知识]1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关．( ) (2)1弧度是长度等于半径长的弦所对圆心角的大小．( ) (3)60°＝π6 rad.( )答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题1．一条弦的长度等于半径，这条弦所对圆心角大小为________弧度． 解析：弦与两条半径构成等边三角形，圆心角为π3.答案：π32．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．解析：设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π3[典例感悟]1．已知扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.答案：360π2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6，所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：518[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．[针对训练]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4解析：选C 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.2．(2019·平罗月考)已知扇形的周长为20 cm ，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为________．解析：因为扇形的周长为20，所以l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ，所以扇形的面积S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，所以当半径r ＝5时，扇形的面积最大为25，此时α＝2(rad)．答案：23.(2018·湖北黄石三中阶段性检测)分别以边长为1的正方形ABCD 的顶点B ，C 为圆心，1为半径作圆弧AC ，BD ，两弧交于点E ，则曲边三角形ABE 的周长为________．解析：连接BE ，CE .因为两圆弧所在圆的半径都是1，正方形边长也是1，所以△BCE 为正三角形，所以圆心角∠EBC ，∠ECB 都是π3，∠EBA ＝π2－π3＝π6.所以弧BE 的长为π3×1＝π3，弧AE 的长为π6×1＝π6，所以曲边三角形ABE 的周长是1＋π3＋π6＝1＋π2.答案：1＋π2突破点三 任意角的三角函数[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若角θ的终边在直线y ＝2x 上，则tan α＝2.( ) (2)若sin θcos θ>0，则θ在第一象限内．( ) (3)0<α<π2，则sin α<tan α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝________. 解析：因为|OP |＝(－1)2＋22＝5(O 为坐标原点)， 所以sin α＝25＝255.答案：2552．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，且点A 在第二象限，则cos α＝________. 解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．比较大小．(填“>”、“<”或“＝”) (1)sin π4________cos π4；(2)sin π5________cos π5；(3)sin2π3________tan 2π3. 答案：(1)＝ (2)< (3)>[全析考法]考法一 三角函数值的符号判断[例1] (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角(2)(2019·沈阳重点高中期末联考)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >cD ．c >a >b[解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，c ＝tan 35°>sin 35°＝b ，∴c >b >a .故选A. [答案] (1)C (2)A [方法技巧]1．三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．考法二 三角函数的定义[例2] (1)(2018·榆林第一次测试)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若角α的终边经过点P ( 35，－45)，则cos α·tan α的值是( )A ．－45B.45 C ．－35D.35(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] (1)因为角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫35，－45，所以cos α＝35，tan α＝－43，所以cos α·tan α＝35×⎝⎛⎭⎫－43＝－45. (2)∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎫－35，45. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫－35，45 [方法技巧]三角函数定义应用策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(4)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．考法三 三角函数线的应用[例3] 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)． [答案] ⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z) [方法技巧]利用三角函数线求解三角不等式的方法对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集．[集训冲关]1.[考法一]设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.2.[考法二]已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300°D ．60°解析：选C sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，又0°≤α<360°，所以角α为300°，故选C. 3.[考法二]在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 34.[考法三]在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cosπ4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π4[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．2弧度的角所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵π2<2<π，∴2弧度的角在第二象限．2．点P (cos 2 019°，sin 2 019°)所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 2 019°＝5×360°＋219°，即角2 019°与角219°的终边相同，219°＝180°＋39°，所以角219°在第三象限，即角2 019°也在第三象限．所以cos 2 019°<0，sin 2 019°<0，所以点P 在第三象限．3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析：选B 根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值． 4．半径为1 cm ，圆心角为150°的角所对的弧长为( ) A.23 cm B.2π3 cm C.56cm D.5π6cm 解析：选D ∵α＝150°＝56π rad ，∴l ＝α·r ＝56π cm.5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D. [B 级 保分题——准做快做达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角．2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.3．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．cos α>cos βD ．tan α>tan β解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin 2α>sin 2β>0，所以1－cos 2α>1－cos 2β，所以cos 2α<cos 2β，所以1cos 2α>1cos 2β>0，所以tan 2α>tan 2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2 019π2＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选C ∵角α的终边经过点P (3,4)，∴sin α＝45，cos α＝35.∴sin ⎝⎛⎭⎫α－2 019π2＝sin ( α－2 020π2＋π2 )＝sin ( α＋π2 )＝cos α＝35.故选C. 6．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧θR ＝6，12θR 2＝6.解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.7．终边在坐标轴上的角的集合是( ) A ．{φ|φ＝k ·360°，k ∈Z} B ．{φ|φ＝k ·180°，k ∈Z} C ．{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z} D ．{φ|φ＝k ·180°＋90°，k ∈Z}解析：选C 令k ＝4m ，k ＝4m ＋1，k ＝4m ＋2，k ＝4m ＋3，k ，m ∈Z. 分别代入选项C 进行检验：(1)若k ＝4m ，则φ＝4m ·90°＝m ·360°；(2)若k ＝4m ＋1，则φ＝(4m ＋1)·90°＝m ·360°＋90°； (3)若k ＝4m ＋2，则φ＝(4m ＋2)·90°＝m ·360°＋180°； (4)若k ＝4m ＋3，则φ＝(4m ＋3)·90°＝m ·360°＋270°.综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}．8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.解析：如图所示，设角π6的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，则以OB 为终边且在0～2π范围内的角为π3，故以OB 为终边的角的集合为{ α⎪⎪ α＝2k π＋π3，k ∈Z }.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，∴－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1. ∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.答案：－11π3，－5π3，π3，7π39．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ等于________． 解析：∵角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， ∴x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝－15.当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝15.故sin θ＋cos θ＝±15.答案：±1510．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.答案：(－2,3]11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (3a,4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.解：设r ＝|OP |＝(3a )2＋(4a )2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝4a 5a ＝45，cos α＝3a 5a ＝35，tan α＝4a 3a ＝43；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43. 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，23π，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则B ⎝⎛⎭⎫12，32，可得tan ∠AOB ＝y x ＝3，故∠AOB ＝π3；故与角α终边相同的角β的集合为{ β|β＝π3＋2k π，k ∈Z }.(3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，23π，则S 扇形OAB ＝12αr 2＝12α， 而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，23π.。

卜人入州八九几市潮王学校第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2021年高考会这样考】1．考察三角函数的定义及应用．2．考察三角函数值符号确实定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这局部的高考试题大多为教材例题或者习题的变形与创新，因此学习中要立足根底，抓好对局部概念的理解．根底梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边一样的角终边与角α一样的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度〞做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的间隔为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，那么点M是点P在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或者其反向延长线相交于点T，那么tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能那么取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进展互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(A教材习题改编)以下与的终边一样的角的表达式中正确的选项是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析与的终边一样的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案C2．假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在()．A．第一或者第三象限B．第一或者第二象限C．第二或者第四象限D．第三或者第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．假设sinα＜0且tanα＞0，那么α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或者y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．角α的终边过点(－1,2)，那么cosα的值是()．A．－B.C．－D．－解析由三角函数的定义可知，r＝，cosα＝＝－.答案A5．(2021·)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，那么y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝＝－⇒y＝－8.答案－8考向一角的集合表示及象限角的断定【例1】►(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)假设角θ的终边与角的终边一样，求在[0,2π)内终边与角的终边一样的角；(3)角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．[审题视点]利用终边一样的角进展表示及判断．解(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为.(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与一样的角为，，.(3)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或者角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；∴为第一或者第三象限角．(1)相等的角终边一定一样，但终边一样的角却不一定相等，终边一样的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，那么()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析对于角α与角β的终边互为反向延长线，那么α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)．答案D考向二三角函数的定义【例2】►角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.解由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，∴m＝±，故角θ是第二或者第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝＝＝－，tan＝＝＝.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．假设角α已经给出，那么无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】(2021·课标全国)角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，那么cos2θ＝()．A．－B．－C.D.解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案B考向三弧度制的应用【例3】►半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝.(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，∴S＝S扇形－S△AOB＝50.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要纯熟地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是θ，半径是r，那么2r＋rθ＝40，S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100.当且仅当r＝20－r，即r＝10时，S max＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适宜以下条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥；(2)cosα≤－.[审题视点]作出满足sinα＝，cosα＝－的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围．解(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，那么OA与OB围成的区域(图中阴影局部)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，那么OC与OD围成的区域(图中阴影局部)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公一共的局部；(4)写出角的表达式．【训练4】求以下函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)．∴定义域为(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)，∴定义域为(k∈Z)．标准解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的间隔是r(r＝＞0)，那么sinα＝、cosα＝、tanα＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【例如】►(此题总分值是12分)(2021·月考)角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范]∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的间隔r＝，(2分)又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分)当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；(9分)当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进展分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．【试一试】角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋tanα.[尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，那么|OP1|＝5，那么sinα＝－，cosα＝，tanα＝－，故sinα＋cosα＋tanα＝－＋＋×＝－；取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，那么sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.故sinα＋cosα＋tanα＝－＋×＝－.综上，sinα＋cosα＋tanα的值是－或者－.。