人教版数学初一下学期第九章知识点总结

七年级数学书第九章知识点七年级数学书第九章主要涉及三角形的相关知识。

三角形是初中阶段数学学习的重点，通过本章的学习，可以深入了解三角形的性质和定理，为后续数学学习打下坚实的基础。

一、三角形的基本定义和性质1. 三角形是由三条线段围成的图形，分别称为三角形的边，三个角分别对应于三角形的每条边所在顶点处。

2. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

3. 三角形的外角和定理：一个三角形的任意一个外角等于构成它的两个内角的和，即∠D = ∠A + ∠B或∠D = ∠B + ∠C或∠D = ∠C + ∠A。

4. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则这个三角形为等腰三角形，等腰三角形的两个底角（即顶点处不相等的角）相等。

5. 等边三角形：如果三角形的三条边长度相等，则这个三角形为等边三角形，等边三角形的三个内角相等，都为60度。

二、三角形的分类和性质1. 根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

2. 根据边的长度，三角形可以分为等腰三角形和等边三角形。

3. 直角三角形的特殊性质：在直角三角形中，对于斜边上任意一点P，有PA²+PB²=AB²，其中A、B为直角边。

4. 检验三角形相等的条件：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）、AAS（角-角-边）、HL（斜边-直角边）。

三、三角形的重心、垂心和外心1. 重心：三角形的三条中线交于一点G，称为三角形的重心，它把三角形分为三个面积相等的小三角形，且重心到三边距离相等。

2. 垂心：三角形的三条高线交于一点H，称为三角形的垂心，它垂直于平面内包含该三角形的直线。

3. 外心：三角形的三条垂直平分线交于一点O，称为三角形的外心，它是垂直于三角形平面的圆心，在这个圆心上，可以作出三角形的外接圆。

四、勾股定理勾股定理是三角形中的一个著名定理，用于判断一个三角形是否为直角三角形。

第九章 不等式与不等式组一、知识网络结构二、知识要点1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。

不等式的解集可以在数轴上表示出来。

求不等式的解集的过程叫解不等式。

含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。

3、不等式的性质：①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。

用字母表示为： 如果b a >，那么c b c a ±>±； 如果b a <，那么c b c a ±<± ；如果b a ≥，那么c b c a ±≥±； 如果b a ≤，那么c b c a ±≤± 。

②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。

用字母表示为：如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321bc ac <(或cb c a <)； 如果0,>≥c b a ，那么bc ac ≥(或c b c a ≥)；如果0,>≤c b a ，那么bc ac ≤(或c b c a ≤)； ③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。

用字母表示为：如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或c b c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)； 如果0,<≥c b a ，那么bc ac ≤(或c b c a ≤)；如果0,<≤c b a ，那么bc ac ≥(或c b c a ≥)； 4、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项； ⑤系数化为1 。

不 等 实式 际及 问其 题解 集
不 等 式 的 性 质
结合实际 问题，讨 论一元一 次不等式 的解法
一元一次 不等式组
数学活动，利 用不等关系分 析问题
4
知识要点： 1. 你知道本章学习了哪些概念吗？
其中，不等式的解与不等式的解集的区别在 哪里？
5
2. 不等式有哪些性质？ 不等式的性质与等式的性质相比较， 你知道它们的异同点是什么吗？
18
某工程队计划在10天内修路6 km，施工前2天修 完1.2 km，计划发生变化，准备提前2天完成修路 任务，以后几天内平均每天至少要修路多少千米？
19
x 分析：设以后几天内平均每天至少修路 千米
原计划 改变计划后
路程 （km）
时间 （天）
6
10天内
6-1.2
（10-2-2） 天内
工作效率 （平均每天至少）
第九章 不等式与不等式组
第九章 复习小结
1
【问题1】本章学习了哪些知识？ 它们之间的联系是什么？
2
知识结构：
（1）利用不等式（组）解决问题的基本过程
实际问题
设未知数·列不等式（组）
数学问题
（一元一次不等式（组））
解 不 等 式 （组）
实际问题的解答
检验
数学问题的解 （a＞或＜b）
3
（2）本章知识的前后顺序
15
求不等式 4(x 1) 2(3x 2)
的非正的整数解.
解不等式，得x＞-4， 所以非正的整数解是：-3，-2，-1，0 .
16
求使方程组
x y m 2 4x 5y 6m 3
的
解 x 、y 都是正数的 m 的取值范围.

第九章不等式与不等式组一、知识结构图二、知识定义一、不等式1.不等式及其解集1）不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。

2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。

3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简称解集。

2.不等式的基本性质:性质 1：如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2：不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3：不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的两边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac<bc.(不等式的乘法法则）性质 4：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(不等式的加法法则)性质5：如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.(可乘性)性质6：如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0<n<1时也成立.(乘方法则)二、一元一次不等式1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。

2．解一元一次不等式的一般方法：可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出以两条不等式组成的不等式组为例，①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大”③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。

若x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。

此乃“相交取中”④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组无解。

七年级下册数学九章知识点七年级下册数学知识点众多，分为九章，每章内容涵盖了数学的不同方面。

下面将介绍这九章的主要知识点。

第一章：有理数这一章的主要内容是关于有理数的，包括有理数的概念、有理数的加减乘除等运算法则。

还有一个重点是关于绝对值的，绝对值的应用可以帮助我们更好地理解数学题目。

第二章：代数式代数式是一大重点，学生需要掌握代数式的概念、简化代数式的方法和代数式的加减乘除运算法则。

此外，还要掌握含有一元二次方程的代数式。

第三章：方程与不等式方程与不等式是一大难点，需要理解方程和不等式的概念，了解如何解方程和不等式，并掌握二元一次方程组和一元二次方程的求解方法。

第四章：图形的初步认识图形的初步认识包括平面图形和立体图形，学生需要掌握各种图形的定义、性质和判定方法。

另外，还需要掌握图形之间的关系和图形的投影方法。

第五章：运算中的应用这一章重点是运用数学知识解决实际问题，包括百分数和利率计算、速度、时间和距离的关系、合同的解决方法等。

第六章：统计与概率统计与概率中，学生需要掌握统计学的基本概念、调查方法和统计数据的处理及分析方法。

而概率则是学习基本概念和计算概率的方法，例如事件的独立性、互斥性等。

第七章：数轴与平面直角坐标系数轴与平面直角坐标系是一大重点，学生需要了解数轴上的有理数，平面直角坐标系的组成、坐标的定义和使用及如何画出直角坐标系上的图形。

第八章：线性函数学生需要掌握线性函数的概念、函数图象的特征及解决相关问题的方法。

此外还要了解“同步线”、“倾斜率”等概念。

第九章：几何变换几何变换是学生较难掌握的内容，需要了解平移、旋转、反射、对称和相似的定义、特点及其相关的定理和公式。

以上是七年级下册数学九章主要知识点的介绍，学生在学习时需要认真掌握每章内容，并用心理解运用，才能获得良好的成绩。

人教版七年级数学下册第9章。

一元一次不等式组知识点专题复习讲义一元一次不等式组知识点专题复讲义一、知识梳理1.知识结构图概念基本性质不等式的解法不等式的定义不等式的解集一元一次不等式的解法实际应用一元一次不等式组的解法二、知识点回顾1.不等式不等式是由不等号连接起来的式子。

常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”。

2.不等式的解与解集不等式的解是使不等式成立的未知数的值。

不等式的解集是一个含有未知数的不等式的解的全体。

解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

3.不等式的基本性质1) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

4.一元一次不等式一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1.系数不等于的不等式叫做一元一次不等式。

其标准形式为：ax+b＜或ax+b≤，ax+b＞或ax+b≥0(a≠0)。

5.解一元一次不等式的一般步骤1) 去分母；2) 去括号；3) 移项；4) 合并同类项；5) 化系数为1.删除格式错误的段落。

对于每段话，进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

解一元一次不等式和解一元一次方程类似。

不同的是，一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。

这是解不等式时最容易出错的地方。

例如，解不等式：-2/3x-1≤1/3解：去分母，得（3x-1）-2（3x-1）≤2（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得3x-3-6x+2≤2（注意符号，不要漏乘！）移项，得3x-6x≤2+3-1（移项要变号）合并同类项，得-3x≤4（计算要正确）系数化为1，得x≥-4/3（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）一元一次不等式组是含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组。

（三）通过课题学习，加强综合性与探究性 本章专门安排了9.4节“课题学习 利用不等关系分析比赛”，这 样设计的目的主要在于加强问题的综合性，提倡学习的探究性． 虽然课题学习选择的体育比赛是许多学生感兴趣的内容，但是这 些问题不象一般教科书中的例题或习题，而是具有一定综合性的实际 问题，对其建立数学模型有一定难度．对问题中的一些具体背景材料 （如某些体育知识），学生可能尚不熟悉，这也会影响对问题的分 析．为此，教科书作了适当的注释．为引导学生正确讨论不等关系， 培养灵活分析问题的能力，加强实践与综合运用的意识，教科书对于 课题学习中的三个问题（射击、足球和篮球比赛），在难度上是由浅 入深地安排的，在每个问题的展开上，也设计了逐步深入的问题串， 体现了为探究式学习方式服务的设计意图．
（五）关注基础知识和基本技能
本章内容包括一元一次不等式（组）的概念、 解法和应用．一元一次不等式是最基本的代数不 等式，对它的理解和掌握对于后续学习（其他的 不等式以及函数等）具有重要的基础作用．因此， 教学和学习中应注意打好基础，对本章中的基础 知识和基本技能、能力等进行及时的归纳整理， 安排必要的、适量的练习，使得学生对基础知识 留下较深刻的印象，对基本技能达到一定的掌握 程度，发展基本能力．
全章共包括四节
9.1 不等式 4课时 9.2 实际问题与一元一次不等式 3课时 9.3 一元一次不等式组 2课时 9.4课题学习 利用不等关系分析比赛 2课时 小结 2课时
不等式性质
方程解法
不等号的方向
一元一次 不等式 （组）
数轴
不 等 式 与 不 等 式 组
应用（选择方案问 题）
（二）突出数学建模思想，反映不等 式（组）与实际问题的联系

七年级下册数学九章知识点数学是一门普遍应用于各个领域的学科，也是我们在学习过程中必不可少的一门科目。

七年级下册数学中，我们将学习九章内容，这些知识点不仅帮助我们建立起数学思维，也对我们的日常生活有着重要的影响。

接下来，让我们一起来探索这些知识点吧！第一章：概率与统计在概率与统计这一章中，我们将学习到如何使用统计的方法来对数据进行分析和研究。

一方面，我们将学习如何计算概率，这对于我们在做出决策时非常重要。

另一方面，我们还将学习到如何进行数据的整理和分类，以及如何使用相应的图表来展示数据的分布规律。

第二章：二次根式在二次根式这一章中，我们将学习到如何计算二次根式的值。

我们将会了解到二次根式的化简与分解、二次根式的四则运算以及二次根式与一元二次方程的关系等等。

第三章：多边形多边形是一种简单而又复杂的几何图形。

在这一章中，我们将学习到如何辨别和描述不同类型的多边形，包括凸多边形和凹多边形，以及如何计算多边形的周长和面积。

第四章：线性方程组线性方程组是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们解决实际生活中的问题。

在这一章中，我们将学习到如何通过图像和消元法来解线性方程组，以及如何应用线性方程组来解决实际问题。

第五章：平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中描述平面上点位置的一种方法。

在这一章中，我们将学习到如何建立平面直角坐标系，如何表示点的坐标以及如何计算两点之间的距离和斜率等。

第六章：几何变换几何变换是指平面上的图形在平面上进行移动、翻转、旋转和镜像等操作。

在这一章中，我们将学习到如何用数学语言来描述几何变换，并通过一些具体的例子来理解不同类型的几何变换。

第七章：数与式数与式是数学中基础而重要的一个概念。

在这一章中，我们将学习到如何进行有理数的四则运算，如何进行整式的加减乘除运算以及如何将问题转化为数与式的关系，以便于求解。

第八章：一元一次方程与不等式一元一次方程与不等式是我们在学习数学中经常遇到的问题。

七年级下册第九章知识点第九章知识点小摘要在初中数学的学习过程中，七年级下册的第九章是一个非常重要的章节。

在这个章节中，我们将学习如何表示和计算线段的长度、角的度量以及直角三角形的性质和定理等内容。

这些知识点是我们以后学习几何和三角函数等更高级的数学概念的基础。

一、线段的长度表示和计算在数学中，我们经常会遇到需要计算线段的长度的问题。

为了表示线段的长度，我们可以使用既简单又直观的单位——厘米（cm）来衡量。

我们还会学习如何使用度量尺等工具来直接测量线段的长度，或者通过两点的坐标来计算线段的长度。

二、角的度量在几何中，我们经常需要研究角的概念。

角是由两条线段或两条射线用一个端点连接而成的形状。

我们需要学习如何度量角的大小，通常使用角度（°）作为单位。

在计算角度时，需要了解什么是度，什么是直角以及其他一些基础概念。

三、直角三角形的性质和定理直角三角形是几何中最基本的三角形之一。

直角三角形的一个角是一个直角（90°），而其他两个角的度数加起来总是等于90°。

直角三角形有很多重要的性质和定理，比如勾股定理和正弦定理等。

这些定理是解决直角三角形相关问题的有力工具。

四、应用题在学习了线段的长度表示和计算、角的度量以及直角三角形的性质和定理等知识后，我们将学习如何应用这些知识来解决实际问题。

通过解答一些应用题，我们可以更好地理解和运用这些数学概念。

五、总结通过对七年级下册第九章的知识点的学习，我们对线段的长度表示和计算、角的度量以及直角三角形的性质和定理等有了更深入的理解。

这些知识点将为我们今后学习更高级的数学概念打下坚实的基础。

在接下来的学习中，我们将继续探索更多有趣和有用的数学知识。

让我们一起努力，提高自己的数学水平！。

七年级下数学知识点第九章第九章：线性方程组在七年级下学期的数学课程中，我们学习了许多有趣且实用的数学知识点。

其中，第九章的主题是线性方程组。

线性方程组是数学中一种重要的概念，它可以解决多个未知数之间的关系问题。

接下来，让我们来探索一下线性方程组的奥秘吧！一、引入线性方程组在我们生活中，我们经常会遇到一些问题，例如：小明去超市买苹果和梨，总共花了15元；小红去买苹果和橘子，总共花了11元；而小明和小红一共买了5个苹果，2个橘子和3个梨。

那么，我们可以用数学的方式来表示这个问题吗？二、关于线性方程组线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合。

其中，线性方程是一个以未知数为变量的方程，且未知数的次数为1次。

在这个问题中，我们可以设未知数为苹果的价格（设为x），梨的价格（设为y），橘子的价格（设为z）。

那么，我们可以得到三个方程：1）x+y=15；2）x+z=11；3）x+2y+3z=18。

这个方程组就是描述了小明和小红买水果的总花费和购买数量之间的关系。

三、解线性方程组的方法解线性方程组的方法有很多种，其中最常见的方法有代入法、消元法和高斯消元法。

下面我们就来一一介绍这些方法。

1）代入法：代入法是指将一个方程的未知数表示成另一个方程的未知数，然后代入到另一个方程中进行计算。

通过代入法，我们可以逐步消去未知数，从而求出方程组的解。

在这个问题中，我们可以先从第一个方程中将x表示成15-y，然后代入到第三个方程中，得到y+z=3。

接着，我们可以再从第二个方程中将x表示成11-z，再代入到第三个方程中，得到2y+3z=7。

这样，我们可以将三个方程转化成两个方程，通过进一步的计算得到未知数的值。

2）消元法：消元法是指通过加减运算将方程组中的某个未知数消去，从而化简成更简单的方程组。

通过反复消元计算，我们最终可以求解出未知数的值。

在这个问题中，我们可以从第一个方程中将x表示成15-y，然后代入到第二个方程中，得到(15-y)+z=11。

七年级下数学第九章知识点七年级下数学第九章主要讲解的是“一次函数”的知识点。

在学习这个章节时，我们需要先了解什么是一次函数：
一次函数是指函数y=kx+b中，k和b都是已知常数的函数，其中x是自变量，y是因变量。

接下来，我们来看一下本章的具体知识点：
一、一次函数的图像特征
一次函数的图像特征包括斜率和截距。

其中，斜率k代表的是直线与x轴的夹角的正切值。

截距b则是指这条直线与y轴的交点。

在学习一次函数时，我们需要通过解析式来求出斜率和截距的值。

这样，我们就可以根据给定的斜率和截距来画出一次函数的图像。

二、一次函数的表达式
一次函数的表达式通常有两种形式：标准形式和一般形式。

标准形式是y=kx+b，此时，斜率k和截距b都是已知的常数。

一般形式是y=ax+b，此时，a和b都是已知常数。

在解一次函数的题目时，我们通常会给出x和y的值，然后通过求解得到a、b或k、b的值，进而得到一次函数的表达式。

三、一次函数的应用
一次函数的应用范围非常广泛，我们以下面几个例子来简要介绍一下。

1、线性规划问题：在一些最大化或最小化问题中，一次函数会用到。

例如，企业决策中的生产成本和利润等问题。

2、物理学问题：在研究速度和加速度等物理方面的问题时，一次函数也会用到。

3、经济学问题：在研究价格和成本等经济方面问题时，一次函数也是非常常见的。

以上仅是一次函数的简要介绍，想要更深入了解一次函数的知识点，就需要打好数学基础，努力学习，通过不断地练习来掌握这些知识点。

七年级下第九章知识点
七年级下第九章的知识点主要集中在数学与几何学的相关内容，让学生更好地理解和掌握各种数学和几何学的概念和原理，为日
后的学习打好坚实的基础。

一、数学方面
1.有理数的概念与运算法则
①有理数的定义及表示方法；
②有理数的比较大小；
③有理数的加减乘除法则；
④有理数的四则运算复合运算；
⑤应用有理数解决实际问题。

2.代数式的概念和基本性质
①代数式的定义及表示方法；
②代数式的合并和展开；
③代数式的同类项合并和化简；
④代数式在实际问题中的应用。

3.方程和不等式的解及实际应用
①一元一次方程和不等式的定义；
②一元一次方程和不等式的解法；
③一元一次方程和不等式在实际问题的应用；
④直接比例的概念和应用。

二、几何学方面
1.三角形的概念与性质
①三角形的定义及分类；
②三角形内角和公式及其化简；
③三角形内心、外心、垂心、重心的概念与性质；
④三角形中线定理及其应用。

2.相似三角形的性质
①相似三角形的定义及判定方法；
②相似三角形的性质；
③在相似三角形中的应用。

3.勾股定理的解法及应用
①勾股定理的概念及证明；
②勾股定理的逆定理和推广；
③应用勾股定理解决实际问题。

以上就是七年级下第九章的知识点，对于学生来说，要掌握好这些知识点不仅仅是为了应对考试，更是为了日常的生活学习打下坚实的基础。

只要认真学习，理解掌握这些知识点，相信在未来的学习和生活中会有更好的表现。

七年级下册数学第九章知识点总结七年级下册数学第九章主要介绍了平面图形的知识，包括平面图形的认识、分类、性质等内容。

本文将对这些知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用。

一、平面图形的认识平面图形是我们生活中常见的图形，包括线段、射线、直线、角、多边形等等。

我们可以通过观察和描述来认识不同的平面图形，从而帮助解决相关的问题。

二、线段、射线和直线线段是由两个端点确定的有限直线部分，可以用两个点表示。

而射线是只有一个端点的直线部分，可以用一个点和一个箭头表示。

直线是没有端点的，可以无限延伸，用一对平行的端点表示。

三、角的认识角是由两条射线共同确定的，可以用顶点和两个端点表示。

角分为锐角、直角、钝角和平角四种类型，通过角的度数可以进行分类。

我们还介绍了角的度量，将一整圈分为360°，并学习了如何使用角规进行测量。

四、多边形的认识多边形是由线段构成的封闭图形，其中包括三角形、四边形、五边形等等。

我们对常见的多边形进行了分类，如三角形又分为等腰三角形、等边三角形等。

掌握不同多边形的性质和特点有助于解决与其相关的问题。

五、平行四边形和矩形平行四边形是具有两对对边平行的四边形，我们学习了平行四边形的性质和判定方法。

矩形是特殊的平行四边形，其四个角均为直角。

我们还学习了矩形的性质和特点，如对角线相等、对边互相平分等。

六、正方形和菱形正方形是一个特殊的矩形，其四条边和四个角均相等。

我们学习了正方形的性质和特点，如对角线相等且垂直、边长与对角线之间的关系。

菱形是具有四个边相等的平行四边形，我们掌握了菱形的性质和特点，如对角线相等且互相垂直、对边平行等。

七、平面图形的面积面积是平面图形的重要属性，我们学习了如何计算不同图形的面积。

比如，矩形的面积等于宽度乘以长度，三角形的面积等于底边乘以高除以2。

掌握这些计算方法可以在实际问题中应用，帮助我们更好地理解和解决问题。

八、相似图形相似图形是指形状相似但大小不同的图形，我们学习了如何判断和构造相似图形。

第九章不等式与不等式（组）9.4 一元一次不等式组（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念例1．解不等式组3(2)4 121.3x xxx--≤-⎧⎪+⎨>-⎪⎩【思路点拨】按照解不等式组的基本步骤进行求解就可以了．【答案与解析】解：解不等式①，得x≥1解不等式②，得x＜4所以，不等式组的解集是1≤x＜4．【总结升华】求出不等式①、②的解集后，应取其公共部分作为不等式组的解集．举一反三：【变式】解不等式组3(2)423x xa xx--<⎧⎪+⎨≥⎪⎩无解．则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．a＞1 D．a≥1 【答案】B例2. 不等式组3(2)5(4) 2 (1)562(2)1, (2)32211 (3)23x xxxx x⎧⎪++-<⎪+⎪+≥+⎨⎪++⎪-≤⎪⎩是否存在整数解？如果存在请求出它的解；如果不存在要说明理由.【思路点拨】解这类问题的第一步是分别求出各个不等式的解集；第二步借助数轴以确定不等式组的公共解集；最后看公共解集中是否存在整数解.【答案与解析】解：解不等式（1），得：x＜2；解不等式（2），得：x≥-3；解不等式（3），得：x≥-2；在数轴上分别表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：∴原不等式组的解集为：-2≤x＜2.∴原不等式组的整数解为：-2、-1、0、1.【总结升华】求不等式组的解集就是求不等式组中所有不等式解集的公共部分.对于三个以上的不等式有时不容易得到公共解集，于是常常借助数轴的直观性，这样较容易确定其解集.在数轴上表示点的位置，要注意空心圈与实心圆点的不同用法.举一反三：【变式】解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【答案】解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x ＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．例3.试确定实数a的取值范围．使不等式组123544(1)33x xax x a+⎧+>⎪⎪⎨+⎪+>++⎪⎩恰好有两个整数解．【思路点拨】先确定其解集，再判断出整数解，最后利用数轴确定a的范围．【答案与解析】解：由不等式123x x++>，去分母得3x+2(x+1)＞0，去括号，合并同类项，系数化为1后得x＞25 -．由不等式544(1)33ax x a++>++去分母得3x+5a+4＞4x+4+3a，可解得x＜2a．所以原不等式组的解集为225x a-<<，因为该不等式组恰有两个整数解：0和l，故有：1＜2a≤2，所以：12a<≤１．【总结升华】此题考查的是一元一次不等式组的解法，得出x的整数解，再根据x的取值范围求出a的值即可．举一反三：【变式】.已知a是自然数，关于x的不等式组≥⎧⎨⎩3x-4a,x-2>0的解集是x＞2，求a的值．【答案】解：解第一个不等式，得解集43ax+≥，解第二个不等式，得解集2x>，∵不等式组的解集为x＞2，∴423a+≤，即2a≤，又a为自然数，∴0a=或1或2．类型二、解特殊的一元一次不等式组例4.求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．【答案与解析】解：（1）根据“异号两数相乘，积为负”可得①或②，解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜；（2）根据“同号两数相乘，积为正”可得①，②，解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．类型三、一元一次不等式组的应用例5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．(1)该校初三年级共有多少人参加春游?(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．【思路点拨】本题的关键语句是：“若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人”．理解这句话，有两层不等关系．(1)租用36座客车x辆的座位数小于租用42座客车(x-1)辆的座位数．(2)租用36座客车x辆的座位数大于租用42座客车(x-2)辆的座位数+30．【答案与解析】解：(1)设租36座的车x辆．据题意得：3642(1)3642(2)30x xx x<-⎧⎨>-+⎩，解得：79 xx>⎧⎨<⎩．由题意x应取8，则春游人数为：36×8＝288(人)．(2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3200(元)，方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3080(元)，方案③：因为42×6+36×1＝288，所以租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋1×400＝3040(元) ．所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．【总结升华】本例不等关系相对隐蔽，需要在审题过程中加以挖掘．举一反三：【变式1】“向阳”中学某班计划用勤工俭学收入的66元，同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲乙丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学．已知购买的乙种纪念品比购买的甲种纪念品多2件，而购买的甲种纪念品不少于10件，且购买甲种纪念品费用不超过总费用的一半，若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案，每种方案中购买甲乙丙三种纪念品各多少件？【答案】解：设购买的甲、乙、丙三种纪念品件数分别为x 、y 、z ，由题意得：⎩⎨⎧+==++26623x y z y x 且⎪⎩⎪⎨⎧≤≥266310x x 由方程组得：⎩⎨⎧-=+=xz x y 5622解不等式组得：10≤x ≤11∵x 为整数，∴x ＝10或x ＝11当x ＝10时，y ＝12，z ＝12当x ＝11时，y ＝13，z ＝7∴可有两种方案购买．【变式2】5.12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作． 拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．(1) 设租用甲种汽车x 辆，请你设计所有可能的租车方案；(2) 若甲、乙汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．【答案】 解：（1）设租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8)x -，则：42(8)3038(8)20x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得：4 785x≤≤，∵x应为整数，∴7x=或8，∴有两种租车方案，分别为：方案1：租甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；方案2：租甲种汽车8辆，乙种汽车0辆．（2）租车费用分别为：方案1: 8000×7＋6000×1＝62000（元）；方案2：8000×:8＝64000（元）．∴方案1花费最低，所以选择方案1．【巩固练习】一、选择题1．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．若不等式组530xx m-≥⎧⎨-≥⎩有实数解．则实数m的取值范围是 ( )A．53m≤ B．53m< C．53m> D．53m≥3．若关于x的不等式组3(2)432x xx a x--<⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是 ( )A．a＜1 B．a≤l C．1 D．a≥14．关于x的不等式721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是 ( )A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤75．某班有学生48人，每人都会下象棋或者围棋，且会下象棋的人数比会下围棋的人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的人有（）A．20人 B．19人 C．11人或13人 D．20人或19人6．某城市的一种出租车起步价是7元（即在3km以内的都付7元车费），超过3km后，每增加1km加价1.2元（不足1km按1km计算），现某人付了14.2元车费，求这人乘的最大路程是（）A．10km B．9 km C．8km D．7 km二、填空题7.已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩，且10x y -<-<，则k 的取值范围是________．8．如果不等式组无解，则a 的取值范围是 ．9．如果不等式组2223x a x b ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩的解集是0≤x ＜1，那么a+b 的值为_______．10．将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子；若每人分6个，则最后一个孩子分得的橘子将少于3个，则共有_______个儿童，_______个橘子．11．对于整数a 、b 、c 、d ，规定符号a b ac bd d c =-．已知，则b+d 的值是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,（1）如果3a x =，4b x =，28c =，那么x 的取值范围是 ；（2）已知△ABC 的周长是12，若b 是最大边，则b 的取值范围是 ；（3）=--++-----++c a b b a c a c b c b a ．三、解答题13.解下列不等式组．(1) 231313(1)6x x x x-⎧+<-⎪⎨⎪-+≥-⎩(2)2121x >-（3）210 310 320xxx-≥⎧⎪+>⎨⎪-<⎩（4）2153x-+≤14.已知：关于x，y的方程组27243x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩的解是正数，且x的值小于y的值．（1）求a的范围；（2）化简|8a+11|-|10a+1|．15.某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？答案与解析一、选择题1. 【答案】D；【解析】解：不等式组变形得：，由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3，故选D.2. 【答案】A；【解析】原不等式组可化为53xx m⎧≤⎪⎨⎪≥⎩而不等式组有解，根据不等式组解集的确定方法“大小小大中间找”可知m≤53．3. 【答案】B；【解析】原不等式组可化为1,.xx a>⎧⎨<⎩根据不等式组解集的确定方法“大大小小没解了”可知a≤1．4. 【答案】D；【解析】解得原不等式组的解集为：3≤x＜m，表示在数轴上如下图，由图可得：6＜m≤7．5. 【答案】D；6. 【答案】B；【解析】设这人乘的路程为xkm，则13＜7+1.2（x-3）≤14.2，解得8＜x≤9.二、填空题7. 【答案】12＜k＜1；【解析】解出方程组，得到x，y 分别与k的关系，然后再代入不等式求解即可．8. 【答案】a≤1；【解析】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，解不等式x﹣a＜0，x＜a．∵不等式组无解，∴a≤1．9.【答案】1；【解析】由不等式22x a +≥解得x ≥4—2a ．由不等式2x-b ＜3，解得32b x +<． ∵ 0≤x ＜1，∴ 4-2a ＝0，且312b +=，∴ a ＝2，b ＝-1．∴ a+b ＝1． 10．【答案】7， 37；【解析】设有x 个儿童，则有0＜(4x+9)-6(x-1)＜3．11.【答案】3或-3 ；【解析】根据新规定的运算可知bd ＝2，所以b 、d 的值有四种情况：①b ＝2，d ＝1；②b ＝1，d ＝2；③b ＝-2，d ＝-1；④b ＝-1，d ＝-2．所以b+d 的值是3或-3．12.【答案】(1) 4＜x ＜28 (2)4＜b ＜6 (3)2a ；【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．三、解答题13.【解析】解：（1）解不等式组231313(1)6x x x x -⎧+<-⎪⎨⎪-+≥-⎩①②解不等式①，得x ＞5，解不等式②，得x ≤-4．因此，原不等式组无解．(2)把不等式121x x >-进行整理，得1021x x ->-，即1021x x ->-， 则有①10210x x ->⎧⎨->⎩或②10210x x -<⎧⎨-<⎩解不等式组①得112x <<；解不等式组②知其无解， 故原不等式的解集为112x <<. （3）解不等式组210310320x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪-<⎩①②③ 解①得：12x ≥， 解②得：13x >-， 解③得：23x <，将三个解集表示在数轴上可得公共部分为：12≤x ＜23 所以不等式组的解集为：12≤x ＜23 (4) 原不等式等价于不等式组：21532153x x -+⎧≤⎪⎪⎨-+⎪≥-⎪⎩①② 解①得：7x ≥-，解②得：8x ≤，所以不等式组的解集为：78x -≤≤14.【解析】解：（1）解方程组27243x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩，得81131023a x a y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩根据题意，得811031020381110233a a a a +⎧>⎪⎪-⎪>⎨⎪+-⎪<⎪⎩①②③ 解不等式①得118a >-．解不等式②得a ＜5，解不等式③得110a <-，①②③的解集在数轴上表示如图．∴ 上面的不等式组的解集是111810a -<<-． （2）∵ 111810a -<<-． ∴ 8a +11＞0，10a +1＜0． ∴ |8a +11|-|10a +1|＝8a +11-[-(10a +1)]＝8a +11+10a +1＝18a +12．15.【解析】解：（1）设每个气排球的价格是x 元，每个篮球的价格是y 元．根据题意得：解得：所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元．（2）设购买气排球x个，则购买篮球（50﹣x）个．根据题意得：50x+80（50﹣x）≤3200解得x≥26，又∵排球的个数小于30个，∴排球的个数可以为27，28，29，∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低，∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低．29×50+21×80=1450+1680=3130元．。

七年级下数学第九章知识点数学作为一门学科，在七年级下册的九章中提供了丰富的知识点，这些知识点既包括基本的数学概念，也涵盖了一些常见的应用题。

本文将从几个方面介绍这些知识点，帮助同学们更好地掌握和应用。

一、整数的乘除法整数的乘除法是本章的基础知识点，我们首先学习了正整数乘法和除法的规则，然后拓展到了负整数的乘法和除法。

在乘法中，我们学会了同号相乘得正，异号相乘得负的规则；在除法中，同号相除得正，异号相除得负。

这些规则在解实际问题时非常有用，例如温度的上升和下降、盈利和亏损等。

二、整数和分数的加减运算整数和分数的加减运算也是本章的重点内容。

我们首先学习了整数和带分数的加减法，通过找最小公倍数来计算；接着，我们学会了整数和分数的混合运算，要注意运算顺序和化简分数。

这些运算需要同学们灵活运用和转化，例如在解决混合数的问题时需要将其转化为带分数。

三、整数的乘方整数的乘方是本章的扩展内容，它将我们的数学思维推向了一个新的高度。

我们学习了自然数的乘方，并且了解了乘方的特殊性质，如乘方的乘法法则和整数指数乘方的除法法则。

了解这些性质可以帮助我们更快地计算和解决实际问题。

四、计算器的使用和思维方法在第九章，我们还学习了如何使用计算器来进行数值计算。

计算器的使用可以大大提高我们计算的准确性和效率。

但是，我们也要注意计算器使用的合理性，在计算过程中要思维敏捷，合理判断计算结果的准确性。

五、实际问题的解决除了基本的计算方法外，本章也提供了一些实际问题的解决方法。

这些问题涉及到生活中的各个方面，如气温的变化、货币兑换、车速和时间等。

学会解决这些实际问题，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

六、总结与思考通过学习第九章的知识点，我们不仅加深了对数学的理解，也提升了我们的数学思维能力。

对于我们七年级学生而言，这些知识点是我们进一步学习数学的基础，也是我们走向高年级数学的桥梁。

在今后的学习中，我们要继续巩固和应用这些知识，不断培养数学思考和解决问题的能力。

七年级下数学第9章知识点本章主要介绍面积和体积的概念和计算方法。

学生需要熟记公式和运算方法，并能灵活应用于实际问题中。

以下是本章重点内容的详细介绍：
一、平面图形的面积计算
1.长方形的面积计算公式为S=长×宽，其中S表示面积。

2.正方形的面积计算公式为S=边长×边长。

3.三角形的面积计算公式为S=（底边长×高）÷2。

4.梯形的面积计算公式为S=（上底+下底）×高÷2。

二、立体图形的体积计算
1.长方体的体积计算公式为V=长×宽×高，其中V表示体积。

2.正方体的体积计算公式为V=边长×边长×边长。

3.圆柱的体积计算公式为V=π×半径×半径×高，其中π取值3.14左右。

4.圆锥的体积计算公式为V=π×半径×半径×高÷3。

5.球体的体积计算公式为V=4÷3×π×半径×半径×半径。

三、实际应用
面积和体积计算方法可以应用于实际问题中，如：
1.在房子装修时，需要计算墙面积和地板面积，以便购买合适的瓷砖和壁纸。

2.在购买家具时，需要计算家具的体积和空间大小，以便预留合适的空间。

3.在建筑设计时，需要计算建筑物的体积和面积，以便设计出
合适的建筑方案。

本章知识点是数学学习中非常重要的一部分，学生要认真掌握，熟练运用。

掌握平面图形和立体图形的面积和体积计算方法，对
于以后的学习和生活均有很大的帮助。

初一下学期数学第九章知识点汇总读书使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。

接下来小编为大家精心准备了初一下学期数学第九章知识点，希望大家喜欢!9.1 平行四边形的性质1.平行四边形(2)平行四边形的性质,等腰梯形的性质与判定阳泉市义井中学高铁牛学好几何标志是会“证明”证明命题的一般步骤:>>>>初一数学知识点：平行四边形的性质知识点9.2 平行四边形的判定1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形2.平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等;(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分;>>>>八年级数学知识点：平行四边形的判定知识点9.3 菱形菱形的判定定理：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形(rhombus)。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

>>>>初一数学知识点：菱形知识点9.4 矩形正方形矩形的性质：①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.③矩形具有平行四边形的所有性质.>>>>八年级数学知识点：矩形正方形知识点9.5 梯形一、梯形的定义、性质及判定：1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形.两腰相等的梯形叫做等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫做直角梯形. >>>>初一数学知识点：梯形知识点9.6 多边形的内角和与外角和【n 边形内角和公式】n 边形内角和等于 (n-2)×180°.【n 边形外角和定理】n 边形的外角和等于360°.>>>>八年级数学知识点：多边形的内角和与外角和知识点9.7 平面图形的密铺1.用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.>>>>初一数学知识点：平面图形的密铺知识点9.8 中心对称的图形5.1圆1、定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合2、点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么点P在圆内，则dr;点P在圆上，则dr;点P在圆外，则dr;反之亦成立。