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第3讲圆周运动一、描述圆周运动的物理量1.线速度:描述做圆周运动的物体通过弧长的快慢,v=ΔsΔt =①2πrT。
2.角速度:描述物体绕圆心转动的快慢,ω=ΔθΔt =②2πT。
3.周期和频率:描述物体③转动的快慢 ,T=2πrv ,f=1T。
4.向心加速度:描述物体④线速度方向变化的快慢。
an =rω2=v2r=ωv=4π2T2r。
5.向心力:作用效果为产生⑤向心加速度。
Fn =man。
二、匀速圆周运动(1)大小:Fn =man=⑥ m v2r=⑦mω2r =⑧ m4π2T2r =⑨mωv =4π2mf2r。
(2)方向:始终沿半径方向指向⑩圆心 ,时刻在改变,即向心力是一个变力。
(3)作用效果:向心力产生向心加速度,只改变线速度的方向 ,不改变线速度的大小。
项目匀速圆周运动非匀速圆周运动定义线速度大小不变的圆周运动线速度大小变化的圆周运动运动特点Fn、an、v均大小不变,方向变化,ω不变Fn、an、v大小、方向均发生变化,ω发生变化向心力大小Fn=F合由F合沿半径的分力提供向心力Fn,Fn≠F合三、离心运动1.定义:做圆周运动的物体,在合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动。
2.供需关系与运动:如图所示,F为实际提供的向心力,则(1)当F=mω2r 时,物体做匀速圆周运动;(2)当 F=0 时,物体沿切线方向飞出;(3)当F<mω2r 时,物体逐渐远离圆心;(4)当F>mω2r 时,物体逐渐靠近圆心。
1.判断下列说法对错。
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。
( )(2)物体做匀速圆周运动时,其角速度是不变的。
( )(3)物体做匀速圆周运动时,其合外力是不变的。
( )(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。
( )(5)匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因。
( )(6)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动,这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。
4-3圆周运动一、选择题1．在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤．从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是()A．树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断C．树木开始倒下时，树梢的向心加速度较大，易于判断D．伐木工人的经验缺乏科学依据[答案] B[解析]树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A错误；由v＝ωr可知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，B正确；由a＝ω2r知，树梢处的向心加速度最大，方向指向树根处，但无法用向心加速度确定倒下方向，故C、D均错误．2．水平路面上转弯的汽车，向心力是()A．重力和支持力的合力B．静摩擦力C．重力、支持力、牵引力的合力D．滑动摩擦力[答案] B[解析]重力和支持力垂直于水平面，不能充当向心力，充当向心力的是静摩擦力．3．(2019·镇江模拟)如图所示，A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有()A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D．圆盘对B的摩擦力和向心力[答案] B[解析]A随B做匀速圆周运动，它所需的向心力由B对A的摩擦力来提供，因此B对A的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心，圆盘对B的摩擦力指向圆心，才能使B受到指向圆心的合力，所以只有选项B正确．4．(2019·长沙模拟)如图所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P、Q为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P，则下列说法中正确的是()A．轨道对小球做正功，小球的线速度v p>v QB．轨道对小球不做功，小球的角速度ωP<ωQC．小球的向心加速度a P>a QD．轨道对小球的压力F P>F Q[答案] B[解析]轨道对小球的支持力始终与小球运动方向垂直，轨道对小球不做功；小球从P运动到Q的过程中，重力做正功，动能增大，可判断v P<v Q；根据v＝ωr，r P>r Q可知，ωP<ωQ，A错误B正确；再利用向心加速度a＝v2/r，v P<v Q，r P>r Q，可知a P<a Q，C错误；在最高点mg＋F N＝ma，即F N＝ma－mg，因a P<a Q，所以F Q>F P，D错误．5.(2019·桂林模拟)如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是()A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周转动，乙发生滑动最终落入水中[答案] D[解析]在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为这两个小孩在同一个圆盘上运动，故角速度ω相同，设此时手上的拉力为F T，则对甲：Ff m－F T＝mω2R甲．对乙：F T＋Ff m＝mω2R乙，当松手时，F T＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中，甲所受的静摩擦变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，选项D正确．第6题图6．如图甲所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，则图乙中关于ω与θ关系的图象正确的是( )[答案] D[解析] 对小球受力分析后列牛顿第二定律方程，设绳长为L ，小球质量为m ，则mg tan θ＝m (L sin θ)ω2，得ω2＝g L cos θ，再利用极限法，根据当θ＝0°和θ＝90°时cos θ分别为1和0即可判断出ω的变化规律应为D 图．7．(2019·安徽)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图(a)所示，曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆．在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度υ0抛出，如图(b)所示，则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是( )A.v 20gB. v 20sin 2αgC.v 20cos 2αgD.v 20cos 2αg sin α[答案] C[解析] 本题考查抛体运动和圆周运动相结合的知识．以v 0初速斜抛的物体上升到最高点处即竖直分速度减到零，故P 点速度v P ＝v 0·cos α.由圆周运动知识在P 点处重力提供向心力，即mg ＝m v 2P ρ∴ρ＝v 2P /g ＝v 20cos 2αg ，故C 正确．8．(2019·鸡西模拟)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的A ．运动周期相同B ．运动的线速度相同C ．运动的角速度相同D ．向心加速度相同[答案] AC[解析]①对两球受力分析如图所示，重力和绳拉力的合力提供向心力，则F 合＝mg tan α＝m (2πT )2r ＝m v 2r ＝mω2r ＝ma n由几何关系得r ＝h tan α解得T ＝2πhg 、ω＝g h、v ＝gh tan 2α、a n ＝g tan α； ②由于两球与竖直方向的夹角不同，所以线速度和向心加速度不同，而周期和角速度相同，故A 、C 正确，B 、D 错误．二、非选择题9.如图所示，将完全相同的两个小球A 、B 用长l ＝0.8m 的细绳悬于以v ＝4m/s 向右匀速运动的小车顶部，两小球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中的张力F A 与F B 之比为________(g 取10m/s 2)．[答案] 3：1[解析] 当小车突然停止运动时，B 球立即停止，所以F B ＝mg而A 球由于惯性将做圆周运动，由牛顿第二定律得：F A －mg ＝m v 2l ，代入数值解得F A ＝3mg∴F A ：F B ＝3：110．用一根细绳，一端系住一定质量的小球，另一端固定，使小球在水平面内做匀速圆周运动．现在两个这样的装置，如图甲和乙所示．已知两球转动的角速度大小相同，绳与竖直方向的夹角分别为37°和53°.则a 、b 两球的转动半径R a 和R b 之比为________．(sin37°＝0.6；cos37°＝0.8)[答案] 9 ∶16[解析] 考查水平面内的圆周运动，绳的拉力与重力的合力提供向心力，由几何关系用绳长表示圆周运动的半径，由于角速度大小相同，由F ＝mRω2，可以求出半径之比．11.2010年11月17日广州亚运会体操男子单杠决赛中，中国小将张成龙问鼎冠军．张成龙完成了一个单臂回环动作后恰好静止在最高点，如图所示．设张成龙的重心离杠l ＝1.1m ，体重51kg.忽略摩擦力，且认为单臂回环动作是圆周运动(g ＝10m/s 2)．试求：(1)达到如图所示效果，张成龙的重心在最低点的速度大小．(2)张成龙在最高点与最低点时对杠的作用力分别是多大．[答案] (1)6.6m/s (2)510N 2550N[解析] (1)根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为v ，则mgh ＝12m v 2 h ＝2l 所以v ＝2gh ＝2gl ＝211m/s ≈6.6m/s.(2)在最高点张成龙处于静止状态，故所受杠的支持力等于其重力F N ＝mg ＝510N由牛顿第三定律，张成龙对杠的作用力为510N.在最低点做圆周运动，设杠对张成龙的作用力为F N ′则F N ′－mg ＝m v 2l故F N ′＝mg ＋m v 2l ＝2550N由牛顿第三定律知，张成龙对杠的作用力为2550N.12．(2019·淄博模拟)如图所示，在竖直平面内的34圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高， AD 为水平面，B 端在O 的正上方．一个小球自A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道，到达B 点对轨道的压力恰好为零．求：(1)释放点距A 点的竖直高度；(2)落点C 与A 点的水平距离．[答案] (1)32R (2)(2－1)R [解析] (1)小球达到B 点时对轨道的压力恰好为零，则mg ＝m v 2B R所以v B ＝gR由机械能守恒定律得mgh ＝12m v 2B ＋mgR 所以h ＝32R (2)小球从B 点到C 点做平抛运动，则R ＝12gt 2 解得t ＝2RgOC 间的距离为x ＝v B t ，解得x ＝2RAC 间的距离为d ＝x －R ＝(2－1)R .13．(2019·太原模拟)如图所示，传送带以一定速度沿水平方向匀速运动，将质量m ＝1.0kg 的小物块轻轻放在传送带上的P 点，物块运动到A 点后被水平抛出，小物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B 点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．B 、C 为圆弧的两端点，其连线水平，轨道最低点为O ，已知圆弧对应圆心角θ＝106°，圆弧半径R ＝1.0m ，A 点距水平面的高度h ＝0.8m ，小物块离开C 点后恰好能无碰撞地沿固定斜面向上滑动，经过 0.8s 小物块 第二次经过D 点，已知小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝13.(取sin53°＝0.8，g ＝10m/s 2)求： (1)小物块离开A 点时的水平速度大小；(2)小物块经过O 点时，轨道对它的支持力大小；(3)斜面上C 、D 间的距离．[答案] (1)3m/s (2)43N (3)0.98m[解析] (1)对于小物块，由A 到B 做平抛运动，在竖直方向上有v 2y ＝2gh ①在B 点时有tan θ2＝v y v A② 由①②解得v A ＝3m/s(2)小物块在B 点的速度为v B ＝v 2A ＋v 2y ＝5m/s由B 到O 由机械能守恒定律得mgR (1－sin37°)＝12m v 2O －12m v 2B 由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2O R 解得F N ＝43N(3)物块沿斜面上滑时，有mg sin53°＋μmg cos53°＝ma 1 v C ＝v B ＝5m/s小物块由C 上升到最高点的时间为t 1＝v C a 1＝0.5s 则小物块由斜面最高点回到D 点历时t 2＝0.8s －0.5s ＝0.3s小物块沿斜面下滑时，由牛顿第二定律得mg sin53°－μmg cos53°＝ma 2C 、D 间的距离为x CD ＝v C 2t 1－12a 2t 22＝0.98m.。
