2016届高考数学一轮复习5.6数列综合性问题课时作业理湘教版

2016届高考数学一轮复习 5.1数列的概念与简单表示课时作业 理湘教版一、选择题1.把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示).则第七个三角形数是( )A.27B.28C.29D.3【解析】 观察三角形数的增长规律，可以发现第一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 B2.数列{a n }满足=+1n a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤)121(12)210(2n n n n a a a a ，若a 1=25，则a 2 014=（ ）A.15B.25C.53 D.45【解析】 由已知a 2=2×25=45，a 3=2×45－1=35，a 4=2×35－1=15，a 5=2×15=25,∴数列是一个周期数列，且以4为周期，而2 014=4×503+2， ∴a 2014=a 2=45，选D. 【答案】 D3..(2014·石家庄模拟)已知数列a n ：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( ) A.2437 B.67 C.1511 D.57 【解析】通过将数列的前10项分组得到第一组有一 个数11，分子分母之和为2；第二组有两个数12，21，分子分母之和为3；第三组有三个数13，22，31，分子分母之和为4；第四组有四 个数，依此类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个 、第9个数，分子分母之和为15，所以a 99＝87，a 100＝96，故选A. 【答案】A4.(2014·湖州模拟)设函数f(x)＝ (3－a)x －3，x ≤7， ax －6，x>7，数列{an}满足an ＝f(n)，n ∈N*，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(49，3) B.[49，3) C.(1,3) D.(2,3) 【解析】∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f(n)(n ∈N*)，∴ 3－a>0， a>1， f(8)>f(7)2<a<3.【答案】D5.(2014·长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f(x ·y)＝f(x)＋f(y)，若正项数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足f(Sn ＋2)－f(an)＝f(3)(n ∈N*)，则an 为( )A.2n －1B.nC.2n －1D.⎪⎭⎫ ⎝⎛23n －1 【解析】由题意知f(S n ＋2)＝f(a n )＋f(3)(n ∈N*)， ∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)， 两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，∴a 1＝1， ∴数列{a n }是1为首项，23为公比的等比数列， ∴a n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23n －1. 【答案】D6.(2014·石家庄模拟)已知数列{an}满足：a 1＝1，a n ＋1＝2+n na a (n ∈N*).若b n ＋1＝(n －λ)(na 1＋1)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( ) A.λ>2 B.λ>3 C.λ<2D.λ<3【解析】由已知可得11+n a ＝n a 2，11+n a ＋1＝2(na 1＋1)， 11a ＋1＝2≠0， 则na 1＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1( n －1－λ)(n ≥2). b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N*).由b n ＋1>b n ，得2n(n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2， 故λ的取值范围为λ<2. 【答案】C二、填空题7.已知数列{2n-1·a n }的前n 项和S n =9-6n ，则数列{a n }的通项公式是 . 【解析】 当n =1时，20·a 1=S 1=3，∴a 1=3；当n ≥2时，2n -1·a n =S n -S n -1=-6，∴a n =-232n -.∴通项公式a n =()2313(2)2n n n -=⎧⎪⎨-⎪⎩≥. 【答案】 a n =()2313(2)2n n n -=⎧⎪⎨-⎪⎩≥.8.(2014·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为.【解析】每行的第二个数构成一个数列{a n }， 由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18， 所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…， a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得a n －a 2＝()()22332-⨯+-n n ＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)， 所以a 9＝92－2×9＋3＝66. 【答案】669.已知数列{ a n }满足m a =1(m为正整数)，=+1n a ⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时，当为偶数时，当n n n na a a a ,13,2，若1=n a ，则m 所有可能的取值为.【解析】 若a n 为偶数，则a n ＝2a n ＋1；若a n 为奇数，则311-=+n n a a .因为16=a ，反推得25=a (05=a 舍去)，44=a (314=a 舍去). 若3a 为偶数，则8243==a a ，162=a (372=a 舍去). 所以32221==a a 或53121=-=a a .若3a 为奇数， 则13143=-=a a ，22=a ，41=a . 综上，得m ＝4,5,32. 【答案】 4,5,3210.已知数列{n a }中，S n 是其前n 项和，11=a ,22=a ，2121++++++=n n n n n n a a a a a a ,且121≠++n n a a ，则=++321a a a ,S 2 013= .【解析】 由2121++++++=n n n n n n a a a a a a ,得321321a a a a a a ++=,33=∴a ,6321=++∴a a a . 又432432a a a a a a ++=,4456a a +=∴,14=∴a ,再由543543a a a a a a =++，即得25=a ,从而可得36=a ，即该数列是一个周期为3的周期数列，故S 2 013=（1+2+3）×671=4 026. 【答案】 6 4 026三、解答题11.(2013·无锡模拟)设数列{b n }满足：211=b ，n n n b b b +=+21， (1)求证：11111+-=+n n n b b b ；(2)若11111121++++++=n nb b b T ，对任意的正整数n , 05log 32>--m T n 恒成立.求m 的取值范围. 【解析】(1)证明：211=b ，)1(21+=+=+n n n n n b b b b b ， ∴对任意的*N n ∈，0>n b .111)1(111+-=+=+∴n n n n n b b b b b ，即11111+-=+∴n n n b b b .(2) 111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n nb b b b b b b b b T .021>=-+n n n b b b ，n n b b >∴+1，∴数列{b n }是单调递增数列.∴数列{T n }关于n 递增. 1T T n ≥∴. 211=b ，43)1(112=+=∴b b b .321-221==∴b T . 321≥∴T .05-log 32>-m T n 恒成立. 3log 2-<∴m ，810<<∴m .12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1). (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令Tn ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛54n S n ，是否存在正整数m ，对一切正整数n ，总有T n ≤T m ？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1) 令n ＝1，由a 1＝2及na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)， ① 得a 2＝4，故a 2－a 1＝2，当n ≥2时，有(n －1)a n ＝S n －1＋n(n －1)，② ①－②，得nan ＋1－(n －1)an ＝an ＋2n. 整理得a n ＋1－a n ＝2(n ≥2). 当n ＝1时，a 2－a 1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 故an ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2) 由(1)得Sn ＝n(n ＋1)，所以Tn ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛54n (n2＋n).故Tn ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛54n ＋1(n ＋1)2＋(n ＋1)，令 Tn ≥T n ＋1， Tn ≥T n －1，即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛54n （n2＋n ）≥⎪⎭⎫ ⎝⎛54n ＋1［（n ＋1）2＋（n ＋1）］，⎪⎭⎫ ⎝⎛54n （n2＋n ）≥⎪⎭⎫ ⎝⎛54n-1［（n-1）2＋（n-1）］，即 n ≥⎪⎭⎫⎝⎛54（n ＋2），⎪⎭⎫ ⎝⎛54（n ＋1）≥n －1，解得8≤n ≤9.故T 1<T 2<…<T 8＝T 9>T 10>T 11>…故存在正整数m 对一切正整数n ，总有Tn ≤Tm ， 此时m ＝8或m ＝9.13.设数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1＝a(a ≠3)，an ＋1＝Sn ＋3n ，n ∈N*. (1)设bn ＝Sn －3n ，求数列{bn}的通项公式； (2)若an ＋1≥an ，n ∈N*，求a 的取值范围. 【解析】(1)依题意，Sn ＋1－Sn ＝an ＋1＝Sn ＋3n ， 即Sn ＋1＝2Sn ＋3n ，由此得Sn ＋1－3n ＋1＝2(Sn －3n)， 又S1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{Sn －3n}是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为bn ＝Sn －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，当n＝1时，a1＝a不适合上式，故an＝a，n＝1，2×3n－1＋(a－3)2n－2，n≥2.an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－212·32n－2＋a－3，当n≥2时，an＋1≥an12·32n－2＋a－3≥0a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是［－9，＋∞).。

=6,因此数列{Sn}是首项为

1,公比为 6 的等比数列,则 Sn=6n-1,于是当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6n-1-6n-2=5×6n-2,且 a1=1 不适合上式,因此数列{an}的通项公式
1, = 1,
为 an=
故选 C.
-2
5 × 6 , ≥ 2.
引申探究(变条件)在本例中,若其他条件不变,将“an+1=5Sn(n≥1)”改为
以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1(n≥2),并验
证a1,求出数列{an}的通项公式.
考向2累乘法
题组(1)(2023·江苏宿迁高三月考)已知数列{an}满足
1
+1
a1= ,an+1= an(n∈N+),则
4
4
an=
.
(2)(2023·福建泉州高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足
Sn=(n+1)2an-3,则{an}的通项公式为
答案

(1)
4
6
(2)an=
(+1)(+2)
.
解析 (1)由
因此当
又
1
+1
+1
a1=4,an+1= 4 an,得

2
n≥2 时,an=a1·
1
1
.
答案 (1)A (2)an=
-1, = 1,
2·3-2 , ≥ 2
解析 (1)当n≥2时,由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,可得

高考数学一轮复习 数列求和课时跟踪检测 理 湘教版(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n－1D ．n ＋2＋2n2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011003．(2013·北京东城一模)已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．－100C ．100D ．10 2004．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n ＋18n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n n >35．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝－1n ＋12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.6.创新题对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7．(2013·江西高考)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝1n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .8．(2014·襄阳调研)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n －1，n ≥2，n ∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n .第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对一切正整数n ，点P n 在函数y ＝3x ＋134的图像上，且P n 的横坐标构成以－52为首项，－1为公差的等差数列{x n }． (1)求点P n 的坐标；(2)设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，抛物线C n的顶点为P n ，且过点D n (0，n 2＋1)．记与抛物线C n 相切于点D n 的直线的斜率为k n ，求1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ； (3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的前n 项和T n .3．已知正项数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1，故选C.2．选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3．选B f (n )＝n 2cos n π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n 为奇数n 2n 为偶数＝(－1)n ·n 2，由a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝(－1)n·n 2＋(－1)n ＋1·(n ＋1)2＝(－1)n [n 2－(n ＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.4．选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列， 且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18n >3.5．解析：由题意知，a 1＝－12，a 2＝1，a 3＝－32，a 4＝2，a 5＝－52，a 6＝3，…，所以数列{a n }的奇数项构成了首项为－12，公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得S 2 013＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1 007＋1 007×1 0062×(－1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1×1 006＋1 006×1 0052×1＝－1 0072. 答案：－1 00726．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n－2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－27．解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0， 得(a n －2n )·(a n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n . (2)由a n ＝2n ，b n ＝1n ＋1a n，得b n ＝12nn ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2n ＋1. 8．解：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)q n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4， 所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列． 当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ，此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．(3)p n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2，当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)，∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n＋n 2－4.又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n＋n 2－4. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)∵x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，∴y n ＝3x n ＋134＝－3n －54.∴P n ⎝⎛⎭⎪⎫－n －32，－3n －54.(2)∵C n 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ， ∴设C n 的方程为y ＝ax ＋2n ＋322－12n ＋54.把D n (0，n 2＋1)代入上式，得a ＝1， ∴C n 的方程为y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1. ∴k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3， ∴1k n －1k n＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋3 ＝110－14n ＋6. 2．解：(1)∵S n ＝3n ，∴S n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1(n ≥2)．当n ＝1时，2×31－1＝2≠S 1＝a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3. 以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝n －11＋2n －32＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n .(3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2n －2×3n －1，n ≥2.当n ≥2时，T n ＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －2)×3n －1，∴3T n ＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n －2)×3n， ∴相减得－2T n ＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－2(n －2)×3n.∴T n ＝(n －2)×3n－(3＋32＋33＋…＋3n －1)＝(n －2)×3n－3n－32＝2n －53n＋32.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，2n －53n ＋32，n ≥2.∴T n ＝2n －53n＋32(n ∈N *)．3．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列， 且{a n }，{b n }都为正项数列， ∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．可得a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6， 又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2， 解得b 1＝2，b 2＝322.∴b n ＝22(n ＋1)．(2)由(1)可得a n ＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，则1a n ＝2n ＋1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝1－2n ＋2， ∴2S n ＝2－4n ＋2，又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8n ＋2n ＋3.∴当n ＝1,2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.。

课时规范练26《素养分级练》P365基础巩固组1.(河南平顶山高三月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n +1,则a 10=( ) A.512 B.1 025 C.256 D.1 024答案:A解析:由数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n +1,得a 10=S 10-S 9=(210+1)-(29+1)=512.故选A.2.(广东佛山高三月考)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n 4a n +1(n ∈N +),则满足a n >137的n 的最大取值为( )A.7B.8C.9D.10答案:C解析:因为a 1=1,a n+1=a n4a n +1,所以1a n+1=4+1a n,即1a n+1−1a n=4.又1a 1=1,所以数列1a n是以1为首项,4为公差的等差数列,于是1a n=1+4(n-1)=4n-3,所以a n =14n -3.由a n >137,即14n -3>137,即0<4n-3<37,解得34<n<10.因为n 为正整数,所以n 的最大取值为9.故选C.3.(山东东营高三月考)在数列{a n }中,a 1=2,a n =1-1a n -1(n≥2),则a 2 022等于( ) A.-12B.12C.-1D.2答案:C解析:由a 1=2,a n =1-1a n -1(n≥2),可得a 2=1-1a 1=12,a 3=1-1a 2=-1,a 4=1-1a 3=2,a 5=1-1a 4=12,故数列{a n }为周期为3的周期数列,而=3×674,故a=a 3=-1.故选C.4.(浙江温州高三模拟)已知数列{a n }为递增数列,前n 项和S n =n 2+n+λ,则实数λ的取值范围是 ( )A.(-∞,2]B.(-∞,2)C.(-∞,0]D.(-∞,0)答案:B解析:当n≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n+λ-[(n-1)2+(n-1)+λ]=2n,可知当n≥2时,{a n }是递增数列,因此要使{a n }为递增数列只需满足a 2>a 1,即4>2+λ⇒λ<2.故选B.5.(山东济南高三模拟)在数列{a n }中,a 1=5,a 2=9,若数列{a n +n 2}是等差数列,则{a n }的最大项的值为( ) A.9B.11C.454D.12答案:B解析:令b n =a n +n 2,∵a 1=5,a 2=9,∴b 2=a 2+4=13,b 1=a 1+1=6,∴数列{a n +n 2}的公差为13-6=7,则a n +n 2=6+7(n-1)=7n-1,∴a n =-n 2+7n-1=-n-722+454.又n ∈N +,∴当n=3或4时,a n 取最大值-14+454=11.故选B.6.(多选)(福建宁德高三模拟)已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n+1=na n a n+1,则下列说法正确的有 ( )A.数列1a n为等差数列B.a 3=14C.a n =2n 2-n+2D.数列{a n }的最大项的值为1 答案:BCD解析:a n -a n+1=na n a n+1,等式两边同除以a n a n+1,得1a n+1−1a n=n,因此数列1a n不是等差数列,故A 错误;又1a 2−1a 1=1,1a 3−1a 2=2,…,1a n −1a n -1=n-1,n≥2,累加可得1a 2−1a 1+1a 3−1a 2+…+1a n−1a n -1=1+2+…+n -1,即1a n−1a 1=(n -1)n 2,又a 1=1,所以1a n=(n -1)n2+1,于是a n =2n 2-n+2,n≥2,又a 1=1也满足上式,故a n =2n 2-n+2,所以a 3=14,故B,C 正确;由于n 2-n+2=n-122+74,而n ∈N +,所以数列{a n }为递减数列,其最大项为a 1=1,故D 正确.故选BCD.7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n +a n =4,则S 4= .答案:154解析:当n=1时,有2a 1=4,可得a 1=2.当n≥2时,由S n +a n =4可得S n-1+a n-1=4,两式作差得2a n -a n-1=0,所以a na n -1=12,即数列{a n }是以2为首项,12为公比的等比数列,因此S 4=2×[1-(12) 4]1-12=154.8.(湖南师大附中高三期中)已知在数列{a n }中,a 1=2,a 1+a22+a 33+…+an n=a n+1-2,则a n = .答案:2n解析:a 1+a22+a33+…+an n=a n+1-2,当n≥2时,a 1+a22+a33+…+a n -1n -1=a n -2,则a n n=a n+1-a n ,即a n+1n+1=a n n.当n=1时,a 1=a 2-2,得a 2=4,a 22=a 11满足上式.所以a n+1n+1=a n n,因此数列a nn是常数列,即a n n=a 11=2,所以a n =2n.9.(山东潍坊高三模拟)数列{a n }满足a n+1=5a n +3×5n+1,且a 1=6,则数列{a n }的通项公式为 . 答案:a n =3n-95·5n解析:因为a n+1=5a n +3×5n+1,所以a n+15n+1=a n 5n+3,即a n+15n+1−a n 5n=3,所以a n 5n是等差数列,而a 15=65,所以a n5n=65+3(n-1)=3n-95,所以a n =3n-95·5n .综合提升组10.已知等差数列{a n},其前n项和为S n,若a1=13,S5=45,则nS n的最大值为( )A.400B.405C.410D.415答案:B解析:设等差数列{a n}的公差为d,则S5=5a1+5×42d=5a1+10d=45,解得d=-2,所以S n=na1+n(n-1)d2=13n-n(n-1)=14n-n2,则nS n=14n2-n3.令b n=14n2-n3,则b n+1-b n=[14(n+1)2-(n+1)3]-(14n2-n3)=-3n2+25n+13,所以当n≤8时,b n+1-b n>0,即b1<b2<…<b9;当n≥9时,b n+1-b n<0,即b9>b10>…,所以数列{b n}中的最大项为b9=14×92-93=405.故选B.11.(安徽蚌埠高三期中)已知数列{a n}的首项a1=2,且满足a n+1=a n+12n(n∈N+).若对于任意的正整数n,存在M使得a n<M恒成立,则M的最小值是.答案:3解析:由已知得a n+1-a n=12n,∴当n=1时,a2-a1=121,当n=2时,a3-a2=122,当n=3时,a4-a3=123,……,当n=n-1时,an-a n-1=12n-1(n≥2),以上各式相加得a n-a1=121+122+123+…+12n-1=12×[1-(12)n-1]1-12=1-12n-1,n≥2.又a1=2,∴a n=3-12n-1,n≥2,又a1=2也符合上式,故a n=3-12n-1.∵12n-1>0,∴an<3.若对于任意的正整数n,存在M使得a n<M恒成立,则有M≥3,故M的最小值是3.创新应用组12.(湖南长沙高三期中)数列{a n}的前n项的和S n满足S n+1+S n=n(n∈N+),则下列选项正确的是( )A.数列{a n+1+a n}是常数列,则{a n}是递增数列B.若a1<13C.若a1=-1,则S2 022=1 013D.若a1=1,则{a n}的最小项的值为-1答案:D解析:当n=1时,S2+S1=2a1+a2=1,当n≥2时,S n+S n-1=n-1,则a n+1+a n=1,而a1+a2=1不一定成立,故{a n+1+a n}不一定是常数列,故A错误;由a n+1+a n=a n+a n-1=…=a3+a2=1,得a n+1=a n-1=a n-3=…且a n=a n-2=a n-4=…,即{a n}不是单调数列,故B错误;若a1=-1,则a2=3,a3=-2,故当n≥2时,{a n}的偶数项的值为3,奇数项的值为-2,而S=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a+a)+a=-1+1010+3=1012,故C错误;若a1=1,则a2=-1,a3=2,故当n≥2时,{a n}的偶数项的值为-1,奇数项的值为2,故{a n}的最小项的值为-1,故D正确.故选D.13.(辽宁锦州高三月考)已知数列{a n }是首项为a,公差为1的等差数列,数列{b n }满足b n =1+a n a n,若对任意的n ∈N +,都有b n ≥b 8成立,则实数a 的取值范围是 . 答案:(-8,-7)解析:因为对任意的n ∈N +,都有b n ≥b 8成立,且b n =1+a n a n=1+1a n,所以1a n≥1a 8.又数列{a n }的公差为1,所以数列{a n }为递增数列,所以{a 8<0,a 9>0,即{a +7<0,a +8>0,解得-8<a<-7,即实数a 的取值范围是(-8,-7).。