25.2 旋转变换

旋转变换【中考要求】1．基本要求通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形2．略高要求能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋转角3．较高要求能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共同解决实际问题【知识点讲解】1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．2．旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和方向.3．旋转的性质：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段相等，对应角相等；（4）旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.4．简单图形的旋转作图：（1）确定旋转中心；（2）确定图形中的关键点；（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.5．旋转对称图形：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心.正n边形都是旋转对称图形,其旋转中心是它们的中心,旋转角为360n.圆的旋转角是任意角度.6．中心对称图形：当旋转角为180°时,旋转对称图形是一个中心对称图形,所以中心对称图形是旋转对称图形的特例.【重点与难点】重点：（1）掌握旋转的概念及相关的对应点、对应线段、旋转中心、旋转角度等概念（2）掌握旋转对称图形、中心对称图形的概念及性质难点：（1）图形旋转中相关概念、性质的灵活运用（2）旋转对称图形中的旋转角的确定、求法（3）学生抽象思维能力的培养【例题讲解】1、如下图所示，在图甲中，Rt △OAB 绕其直角顶点O 每次旋转90˚，旋转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC 绕O 点每次旋转120˚，旋转二次得到右边的图形．下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( )答案：D2（深圳）、图所列图形中是中心对称图形的为（ ）A B C D答案：C3、如图1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 左0︒~90︒的旋转，那么旋转时露出的△ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S 与n 关系的图象大致是（ ）答案：C4、（浙江金华）如图2是跷跷板的示意图，支柱ＯＣ与地面垂直，点Ｏ是横板ＡＢ的中点，ＡＢ可以绕着点Ｏ上下转动，当Ａ端落地时，∠ＯＡＣ＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠Ａ’OA）是（ ）A ．B ．C ．Ｄ．(C11 图1Ａ、80° Ｂ、60° Ｃ、40° Ｄ、20°答案：C5（厦门）、已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0）、A （－1，1）、B （－1，0），将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135°，则点A 、B 的对应点A 1、B 1的坐标分别是A 1（ ， ） ，B 1( ， ) .答案：A 1 (2，0)， B 1(22，22)6、如图3，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一张绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为23，则这个旋转角度为________度．答案：307、（绵阳）. 分析图4①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图4③中画出其中的阴影部分.答案：8(黑龙江)、如图5网格中有一个四边形和两个三角形.(1) 请你画出三个图形关于点O 的中心对称图形;(2) 将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数; 这个整体图形至少旋转多少度与自身重合图2图39、四边形ABCD 中，∠=∠=︒===A C CD CB AD AB 9013，，，。

课题：旋转变换、投影变换、切变变换【教学目标】1． 理解旋转变换、投影变换、切变变换的几何意义及其矩阵表示； 2． 进一步理解矩阵与变换的关系； 3． 巩固二阶矩阵与向量的乘法。

【教学过程】一．旋转变换及旋转变换矩阵将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ’的变换称为旋转变换，其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角。

以原点为旋转中心，按逆时针方向旋转θ角的旋转变换矩阵为cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；以原点为旋转中心，按顺时针方向旋转θ角的旋转变换矩阵为cos sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦。

(两者是统一的) 二．投影变换及投影变换矩阵将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换。

投影到x 轴的投影变换矩阵为1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦；投影到y 轴的投影变换矩阵为0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦；竖直方向投影到直线y ＝x 的投影变换矩阵为1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦；水平方向投影到直线y ＝x 的投影变换矩阵为0101⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

一般地，将点P(x,y)沿竖直方向投影到直线y ＝kx(k ≠0)的变换为x x T y kx ⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦：，其对应矩阵为100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；将点P(x,y)沿水平方向投影到直线y ＝kx(k ≠0)的变换为1x y T k y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦：，其对应矩阵为1001k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

三．切变变换及切变变换矩阵保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换。

沿x 轴方向的比例系数为k 的切变变换为x x ky T y y +⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦：，其对应的矩阵为101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；沿y 轴方向的比例系数为k 的切变变换为x x T y y kx ⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦：，其对应的矩阵为101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

【例题选讲】例1 求点A ()1,1绕原点按照逆时针方向旋转300后所得点的坐标。

C B B′ D′ A D
C′
探究活动
如图：能通过旋转变换由图形A得到图形B吗？如果用 两种变换呢？比如旋转变换和轴对称变幻，旋转变换 和平移变换等。请说出能将图形A变换到B的一个（或 一组）变换。如果将牌“红心3”换成“方块8”呢？用 扑克牌试一试。
A
B
1、相同：都是一种运动；运动前 后不改变图形的形状和大小 2、不同
B C D A
O

例3 ：当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前
方挡风玻璃上的雨刷器。如图是一个雨刷器的示意图，雨刷器杆 AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕点A转动90° 时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动 情况，量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是 11.5cm、35cm，他经过思考只选用了其中的部分数据就求得了结 果。你知道小明是怎样计算的吗？
轴对称 形状 不变 大小 不变 方向 改变
平移
旋转
不变
不变
不变
不变
不变
改变
如下图，在方格纸上作出“小旗子” 绕 O点按顺时针方向旋转90º 后的图案， 并简述理由。
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想到被壹个天五境の宗王给算计了,这诡异の毒素她还-有些轻敌了."啊..."冰层之中,壹个老头子,脸上全-鲜血の爬了起来,抬头看着那道银光,咬着牙大骂道："臭娘们尔!竟然还有这样の大招,你休想逃!"他知道自己这种毒の厉害,怕就-女准圣也扛不住,更别提她还只-壹位年轻の上宗王 了."你-咱の!"壹想到姑素纤纤那丰腴至极の身子,那绝美の容颜,老头子就像打了鸡血壹般,都顾不得身上の血,还有受伤の胳膊,立即又追了上去."不行...&#

课题：旋转变换教材：北京市义务教育课程改革实验教材九年级下册第25章第2节教学目标：1．使学生通过具体实例认识旋转变换，理解旋转变换的概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2．使学生经历对旋转图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力．3．通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：旋转变换的概念和基本性质，按要求作出简单平面图形旋转后的图形．教学难点：探索旋转变换的基本性质．教学方法：启发讲授，小组讨论，合作探究．教学手段：常规教学用具，计算机及课件．教学过程：教师向学生说明：在生活中，我们经常见到钟表的指针、电风扇的扇叶、车轮等，在它们的转动过程中，就包含着我们今天要学习的数学知识问题1：这些旋转现象有共同的特点吗？学生先独立思考，然后与同桌进行交流，教师适时安排课件的动画演示，引导学生观察生活中的旋转现象，抽象出数学图形的旋转变换的特点.学生回答问题后，教师引导其他学生修改、补充，总结出这些旋转现象的共同特点是“一个图形沿某个方向绕定点转动”.问题2：你能尝试叙述一下“旋转变换”的概念吗?引导学生类比“平移变换”的概念进行思考，在学生回答的基础上，修改、补充，达成共识后教师进行板书．（板书）在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换，简称旋转．问题3：你认为在旋转变换的概念中，哪些是关键的字词？学生独立思考后进行回答，在其他学生补充后，教师指出：旋转变换的概念中三个重要的关键词----定点、方向、角度是影响旋转的重要因素，并结合多媒体课件演示介绍和旋转变换有关的知识：定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角．如果图形上的点A经过旋转到点A′，那么这两个点叫做旋转的对应点．问题4：钟表的指针在转动过程中，其形状、大小是否发生改变？电风扇扇叶的转动呢？学生就问题自由发言，发表自己的看法，最后达成共识．教师结合学生的发言指出：“旋转不改变图形的形状和大小”是对概念的进一步理解和认识，并进行板书.2．探究旋转的性质教师先用多媒体课件演示一个图形的旋转过程， 请学生观察后进行思考．观 察如图1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置． 图11，总结出旋转现象的特点.通过解决问题2，抽象出旋转变换的概念.通过解决问题3，抓住旋转变换概念中的关键词，认识旋转变换概念的本质．通过解决问题4，进一步理解和认识了旋转变换概念的内涵.思 考（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？（2）如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 旋转到了什么位置？ （3）请写出图中所有的旋转的对应点． 请学生利用教师提供的教具----三角形纸板，在实物投影上一边演示操作一边回答问题，其他同学给予补充．学生明确了此图形中的“旋转中心、旋转角度和旋转的对应点”后，教师安排学生进行动手测量．测 量（1）每组对应点与旋转中心连线所成的角的度数. （2）每组对应点与旋转中心所连线段的长度. 你有什么发现吗？学生拿到下发的图形（图1），以小组为单位进行动手测量，并由各小组的代表进行汇报，师生共同总结得出：每组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，每组对应点到旋转中心的距离相等．师生达成共识后，教师继续引导学生思考：是否可以将这个结论推广到一般情况呢？学生和教师一起借助课件的演示进行观察、分析和验证.推 广（几何画板课件的演示）如图，△ABC 绕某一点O 旋转一定角度后到达△A′B′C′的位置．①观察图中对应点与旋转中心所连线段的长度的关系，每组对应点与旋转中心连线所成的角度的关系，上述结论是否成立？② 改变点O 的位置，再对△ABC 作旋转变换，上述结论是否仍然成立？在学生回答问题的基础上，教师引导学生对以上结论进行归纳.归 纳旋转的性质：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是“探究旋转的性质”是本节课的难点，采用“观察—思考—测量—推广—归纳”的模式展开教学，引导学生深层次的参与知识的形成过程，加深对旋转性质的理解．学生通过观察、分析和验证，经历从特殊到一般的认识过程，在丰富的活动中培养学生的思维能力.旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．A BCE DA三、应用知识，培养能力[例1] 如图2，△ACB 与△ADE 是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，△ACB 以某个点为旋转中心，逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合.（1）请指出其旋转中心与旋转角度； （2）如果再将图2作为“基本图形”绕着A 点顺时针连续旋转组合得到图3，那么图3是图2通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？ 图2学生在独立思考后发言、讨论，教师再通过激励性评价明确正误. 最后教师用动画把图3补充成一个漂亮的风车(图4)，用这个实例说明旋转与现实生活联系紧密，许多美丽的图案可以由旋转设计而成． 答案：（1）旋转中心是点A ，旋转角度是45°；（2）图3是图2绕着A 点顺时针通过3次旋转组合得到的，旋转角度分别为90°、180°、270°．图3 图4[例2] 请按照题目要求完成作图.（1）如图5，画出△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后的图形．分析：假设点B 、A 的对应点为B ′、A ′，则∠BCB ′、∠ACA ′都是旋转角，且∠ACA ′=∠BCB ′=90°，CB ′=CB ，CA ′=CA ．图5 图6 答案：见图6．（2）如图7，△ABC 绕点C 顺时针旋转后，点B 的对应点为点B ′．试确定通过例1的讲解，使学生巩固旋转的概念，并体会旋转与现实生活的紧密联系.通过例2的教学，使学生在动手画图的过程中，理解旋转的性质，掌握有关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程.第（1）小题的设计目的是使学生会按题目给出的旋转方向、旋转角度画出旋转后的三角形.点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．图7 图8答案：见图8．（3）如右图，△ABC绕点C顺时针旋转后，B的对应点为点B′．试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′，CB′=CB，CA′=CA．解：①联结CB′；②以AC为一边作∠ACF，使∠ACF=∠BCB′；③在射线CF上截取CA′= CA；④联结B′A′．右下图中的△A′B′C就是△ABC绕点C按顺时针旋转后的图形．要求学生先独立画出图形再进行小组交流，并请学生利用实物投影叙述作图过程.然后请学生结合例2进行小结：如何按要求作出简单平面图形旋转后的图形？在学生交流的基础上，教师进行评价，师生达成共识：按题目要求找到旋转中心、旋转方向、旋转角度和对应点是作图的关键.[拓展练习] 如图9，点O是六个正三角形的公共顶点，这个图案可以看作是哪个“基本图形”以点O为旋转中心经过怎样旋转组合得到的？请同学们以小组为单位进行探究，看哪个小组得到的方案最多？第（2）小题是在第（1）小题的基础上，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转中心、旋转方向和旋转角度，并画出旋转后的三角形.第（3）小题是在第（2）题的基础上，当旋转角不再是特殊角、同时没有网格背景时，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转中心、旋转方向和旋转角度，并画出旋转后的三角形．“拓展练习”是一道开放性练习，通过这道题的分析和讲解，让学生多角度地认识旋转图形的形成过程，同图9在小组讨论的基础上，请学生展示各种方案：（1）图10和图11是分别以“等边三角形”、“折线”为基本图形，以点O 为旋转中心顺时针旋转5次组合得到的，旋转角度分别为 60°、120°、180°、240°、300°．图 10 图 11（2）图12和图13是分别以“一个内角为60°的菱形”、“一个底角为60°的等腰梯形”为基本图形，以点O 为旋转中心顺时针旋转4次组合得到的，旋转角度分别为60°、120°、180°、240°．图 12 图 13 （3）其它答案：时培养学生的观察能力和动手操作能力．四、课堂小结，回顾知识1．学生自己总结，并在班上交流本节课——我学会了……使我感触最深的……我感到最困难的是……2．结合学生所述，教师给予指导：①正确理解旋转变换的概念及其基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．②生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多生活中的实际问题．知识的小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行．五、布置作业，巩固知识1．基础题：课后习题第48页第1、2、3题．2．实践题：小小设计师如下图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的“立体图形”!但是涂阴影．．．时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！第1题是基础题，加深知识的巩固；第2题是实践题，供学有余力的学生完成，让学生在坐标系中尝试画出旋转后的图形，感受图形上点的坐标与图形旋转之间的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识，为以后的教学埋下伏笔．教案设计说明（一）关于教学内容本节课是在平移变换的基础上学习旋转变换，它是数学课程标准中《空间和图形》的一个新内容．这节课充分体现了新课程所倡导的“从生活走进课程，从课程走进社会”的理念．在学习旋转变换的概念和探索它的基本性质的过程中，不仅可以使学生感受到旋转变换与实际生活的密切相关，而且使学生掌握有关画图的操作技能，增强对图形欣赏的意识，形成初步的审美能力．（二）关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程．（三）关于教学手段在教学手段方面，选择多媒体课件辅助教学的方式，直观、形象地再现图形的旋转过程．生动、有趣的多媒体课件一方面为学生在课堂教学中进行自主探究和发现新知提供了技术支持，另一方面为教师进行教学演示提供了平台，二者有机结合，协调发挥作用，使信息技术与教学内容有机整合，真正为教学服务．（四）关于教学过程为了达到教学目标，强化重点内容并突破教学中的难点，在课堂教学过程中，根据教学目标和学生的具体情况，紧密联系生活实际中的旋转实例，精心设计问题情境，使所有学生既能参与，又有一定的拓展、探索的余地，全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验．（五）关于学法指导围绕本节课所学知识，设置有现实意义的、具有挑战性的开放型问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验，学会探索，提高解决问题的能力，培养一定的创新意识和实践能力．通过课堂小结，增强学生学习过程中的反思意识，培养他们良好的学习习惯．。