23.1 图形的旋转
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第 1 页 23.1 图形的旋转
一、根本目的
【知识与技能】
1．理解旋转及其旋转中心、旋转角、对应点的概念及应用它们解决一些实际问题．
2．通过详细实例认识旋转，探究它的根本性质．
3．理解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．
【过程与方法】
通过详细实例认识平面图形的旋转，通过提问、小组交流等方式讨论旋转的根本性质．
【情感态度与价值观】
1．通过详细实例认识平面图形的旋转，体会数学知识应用的价值，进步学生学习数学的兴趣．
2．理解数学对促进社会进步和开展人类理性精神的作用，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步进步自己的数学素养．
二、重难点目的
【教学重点】
旋转及对应点的有关概念及其应用．
【教学难点】
旋转的根本性质．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P59～P62的内容，完成下面练习．
【3 min反应】
1．观察教材P59“考虑〞，答复下列问题．
(1)教材上面的情景中的转动现象，有什么共同的特征？
解：指针、风车叶片分别绕中间点旋转．
(2)钟表的指针、秋千在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生变化呢？
解：形状、大小不变，位置发生变化．
(3)从3时到5时，时针转动了__60__°.
(4)风车每片叶轮转到与下一片原来的位置重合时，风车旋转了__60__°。
2．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的__旋转__，点O叫做__旋转中心__，转动的角叫做__旋转角__.假如图形上的点P经过旋转变为点P′，那么第 2 页 这两个点叫做这个旋转的__对应点__.
3．旋转的性质：对应点到旋转中心的间隔 __相等__；对应点与旋转中心所连线段的夹角__等于__旋转角；旋转前、后的图形__全等__.
4．如图，△OAB绕点O按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中，旋转中心是__点O__，经过旋转，点A转到__点E__，点B转到__点F__，线段OA、OB、AB分别转到__OE、OF、EF__，∠A的对应角是__∠E__，∠B的对应角是__∠F__，∠AOB的对应角是__∠EOF__.
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝14，△ABF是△ADE的旋转图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
(4)假如连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？
【互动探究】(引发学生考虑)旋转前后的两个图形，确定旋转中心、旋转角度的关键是什么？旋转的性质有哪些？
【解答】(1)旋转中心是A点．
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，
∴点B与点D是对应点，
∴∠DAB＝90°就是旋转角．
(3)∵AD＝1，DE＝14，
∴AE＝12＋142＝174.
∵对应点到旋转中心的间隔 相等且F是E的对应点，
∴AF＝AE＝174.
(4)∵∠EAF＝90°(与旋转角相等)且AF＝AE， 第 3 页 ∴△EAF是等腰直角三角形．
【互动总结】(学生总结，教师点评)旋转中心是“定点〞，只有一个；旋转角有多个，对应点(比方点F和点E)与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；旋转不改变图形的大小和形状．
【例2】如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B的对应点的位置，以及旋转后的三角形．
【互动探究】(引发学生考虑)旋转作图要满足的三要素是？
【解答】(1)连结CD；
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE上截取CB′＝CB，那么B′即为所求的B的对应点；
(4)连结DB′，那么△DB′C就是△ABC绕点C旋转后的图形．
【互动总结】(学生总结，教师点评)旋转作图时，首先必须确定旋转中心、旋转方向和旋转角，并根据对应点到旋转中心的间隔 相等找到对应点．
【活动2】 稳固练习(学生独学)
1．将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是( B )
A B C D
2．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，假设∠A＝110°，∠D＝40°，那么∠α的度数是( C )
A．35° B．45°
C．55° D．65°
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．
(1)求旋转角的大小；
(2)假设AB＝10，AC＝8，求BE的长．
解：(1)∵△EDC是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°. (2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝AB2－AC2＝6.∵△ABC绕着点C旋转得到△EDC，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC＋CE＝6＋8＝14.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，D是等边△ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段第 4 页 AE，连结CD、BE.
(1)求证：∠AEB＝∠ADC；
(2)连结DE，假设∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
【互动探究】(引发学生考虑)(1)证明角相等，可以转换为证明三角形全等；(2)要求∠BED的度数，由∠DAE＝60°，AE＝AD知△EAD为等边三角形，即∠AED＝60°，继而由∠AEB＝∠ADC＝105°可得．
【解答】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC.
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAD＋∠EAB＝∠BAD＋∠DAC，
∴∠EAB＝∠DAC.
在△EAB和△DAC中，
∵ AB＝AC，∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，
∴△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC.
(2)∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60°.
又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，
∴∠BED＝∠AEB－∠AED＝45°.
【互动总结】(学生总结，教师点评)要证明角相等和求解角的度数，利用等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的断定与性质，即可得解，纯熟掌握旋转的性质证得三角形全等是解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，教师点评) 第 5 页 图形的旋转 概念性质 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角对应线段相等，对应角相等对应点到旋转中心的间隔 相等旋转作图
请完本钱课时对应练习！
