2018-2019学年河南省郑州市八校联考高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年河南省商开九校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2009•虹口区校级模拟）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是()A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b<D ．若0a b <<，则b a a b>2．（2015•铜川模拟）ABC ∆中，1a =，b =，30A =︒，则B 等于()A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒或150︒D ．120︒3．（2015春•南平期末）已知等比数列{}n a 满足124a a +=，2312a a +=，则5(a =)A ．64B ．81C ．128D ．2434．（2016•海南校级模拟）在ABC ∆中，60A =︒，16b =，面积S =则a 等于()A ．B ．75C ．49D ．515．（2014•惠农区校级四模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若5a 、9a 、15a 成等比数列，那么公比为()A ．34B ．23C ．32D ．436．（2014•武鸣县校级模拟）在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．设a ，b ，c 都是正数，那么三个数1a b +，1b c +，1(c a+)A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于28．（2009•安徽）已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是()A ．21B ．20C ．19D ．189．数列{}n a 中，122nn na a a +=+对所有正整数n 都成立且12a =，则(n a =)A ．1n +B ．1nC ．2nD ．2n10．（2018秋•河南期中）已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，60A ∠=︒，b =，若此三角形有且只有一个，则a 的取值范围是()A．0a <<B ．6a =C．a 6a =D．0a < 11．已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，则下列描述正确的是()A ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等差数列B ．数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等比数列D ．数列{}n a 为等比数列12．（2012•南宁校级模拟）若11234(1)n n S n -=-+-+⋯+- ，173350S S S ++等于()A ．1B ．1-C ．OD ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式20x ax b -+<的解集是(2,3)，则不等式210bx ax -->的解集是．14．（2008•重庆）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S =．15．（2014•兴庆区校级一模）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为．16．（2005•山东）设x ，y 满足约束条件532120304x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是．三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．（10分）（2005•湖南）已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求角A 、B 、C 的大小．18．（12分）（2009•辽宁）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（1）求{}n a 的公比q ；（2）若133a a -=，求n S ．19．（12分）（2017春•太仆寺旗校级期末）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<．20．（12分）（2017秋•洛南县期末）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A ；（2）若a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．21．设数列{}n a 前n 的项和为n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+∈．其中m 为常数，3m ≠-且0m ≠（1）求证：{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且*11131,()(2n n b a b f b n N -===∈，2)n ，求证1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n b ．22．（12分）（2007•山东）设数列{}n a 满足21*123333()3n n na a a a n N -+++⋯+=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2018-2019学年河南省商开九校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2009•虹口区校级模拟）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是()A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b<D ．若0a b <<，则b a a b>【解答】解：A ，当0c =时，有22ac bc =故错．B若0a b <<，则2()0a ab a a b -=->，2a ab >；2()0ab b b a b -=->，2ab b >，22a ab b ∴>>故对C 若0a b <<，取2a =-，1b =-，可知11a b>，故错．D若0a b <<，取2a =-，1b =-，可知b aa b>，故错故选：B ．2．（2015•铜川模拟）ABC ∆中，1a =，b =，30A =︒，则B 等于()A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒或150︒D ．120︒【解答】解：由正弦定理可得sin sin a bA B=，∴11sin 2B =，sin B ∴=．又0B π<<，3B π∴=或23π，故选：B ．3．（2015春•南平期末）已知等比数列{}n a 满足124a a +=，2312a a +=，则5(a =)A ．64B ．81C ．128D ．243【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由124a a +=，2312a a +=，得11211412a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．所以4451381a a q ===．故选：B ．4．（2016•海南校级模拟）在ABC ∆中，60A =︒，16b =，面积S =则a 等于()A．B ．75C ．49D ．51【解答】解：1sin 82S bc A c ==⨯55c =，∴由余弦定理可知49a ==故选：C ．5．（2014•惠农区校级四模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若5a 、9a 、15a 成等比数列，那么公比为()A ．34B ．23C ．32D ．43【解答】解：依题意可知2111(8)(4)(14)a d a d a d +=++，整理得2128a d d =，解得14d a =，91518342a a d q a a d +∴===+；故选：C ．6．（2014•武鸣县校级模拟）在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于()A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：由()()3a b c b c a bc +++-=，变形得：22()3b c a bc +-=，整理得：222b c a bc +-=，∴由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==，又A 为三角形的内角，则60A =︒．故选：B ．7．（2011•青羊区校级模拟）设a ，b ，c 都是正数，那么三个数1a b +，1b c +，1(c a+)A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【解答】解：a ，b ，c 都是正数，故这三个数的和111()()(a b c b c a +++++111)2226a b c a b c=+++++++= ．当且仅当1a b c ===时，等号成立．故三个数1a b +，1b c +，1c a+中，至少有一个不小于2（否则这三个数的和小于6)．故选：D ．8．（2009•安徽）已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是()A ．21B ．20C ．19D ．18【解答】解：设{}n a 的公差为d ，由题意得135********a a a a a d a d ++=++++=，即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=，即1333a d +=，②由①②联立得139a =，2d =-，22(1)39(2)40(20)4002n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+，故当20n =时，n S 达到最大值400．故选：B ．9．（2018秋•河南期中）数列{}n a 中，122nn na a a +=+对所有正整数n 都成立且12a =，则(n a =)A ．1n +B ．1nC ．2nD ．2n【解答】解：由于数列{}n a 中，122nn na a a +=+，所以11112n n a a +=+，即11112n n a a +-=（常数），所以数列1{}na 是以1112a =为首项，12为公差的等差数列．所以111(1)222n nn a =+-=（首项符合通项），故2n a n=．故选：D ．10．（2018秋•河南期中）已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，60A ∠=︒，b =，若此三角形有且只有一个，则a 的取值范围是()A．0a <<B ．6a =C．a 6a =D．0a < 【解答】解： 在ABC ∆中，60A ∠=︒，b =∴由正弦定理可得sin 6b A =； 这样的三角形有且只有一个，6a ∴=或a 故选：C ．11．（2018秋•河南期中）已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，则下列描述正确的是()A ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等差数列B ．数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等比数列D ．数列{}n a 为等比数列【解答】解：数列{}n a 的前n 项和231n S n n =++，1n =时，115a S ==．2n 时，22131[(1)3(1)1]22n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+，上式对于1n =时不成立，舍去．因此数列{}n a 去掉首项后剩下的各项成等差数列．故选：A ．12．（2012•南宁校级模拟）若11234(1)n n S n -=-+-+⋯+- ，173350S S S ++等于()A ．1B ．1-C ．OD ．2【解答】解： 11234(1)n n S n -=-+-+⋯+- ，171234179S ∴=-+-+⋯+=，3312343317S =-+-+⋯+=，5012345025S =-+-+⋯-=-，173350917251S S S ∴++=+-=．故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2018秋•河南期中）不等式20x ax b -+<的解集是(2,3)，则不等式210bx ax -->的解集是1(,)(1,)6-∞-+∞ ．【解答】解： 不等式20x ax b -+<的解集是(2,3)，2∴和3为方程20x ax b -+=的两个根，则有2323a b +=⎧⎨⨯=⎩，解得56a b =⎧⎨=⎩，∴不等式210bx ax -->即为不等式26510x x -->，∴因式分解即可得(61)(1)0x x +->，解得16x <-或1x >，∴不等式210bx ax -->的解集是1(,(1,)6-∞-+∞ ．故答案为：1(,(1,)6-∞-+∞ ．14．（2008•重庆）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-，99S =-，则16S =72-．【解答】解：9191()992S a a =+⨯=-，又有1952a a a +=，可得，51a =-，由等差数列的性质可得，116512a a a a +=+，则1611651211()16()167222S a a a a =+⨯=+⨯=-．15．（2014•兴庆区校级一模）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为120︒．【解答】解：由2n S n =得221413a s s =-=-=，同理得35a =，47a =，3 ，5，7作为三角形的三边能构成三角形，∴可设该三角形三边为3，5，7，令该三角形最大角为θ，2223579254912352352cos θ+-+-===-⨯⨯⨯⨯则，又0180θ︒<<︒120θ∴=︒．故答案为：120︒．16．（2005•山东）设x ，y 满足约束条件532120304x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,)x y 是(2,3)．【解答】解：约束条件532120304x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 对应的平面区域如下图示：由图可知，当目标函数65z x y =+对应的直线经过点(2,3)时，目标函数65z x y =+有最大值，故答案为：(2,3)．三、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．（10分）（2005•湖南）已知在ABC ∆中，sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，求角A 、B 、C 的大小．【解答】解： 由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=sin sin sin cos sin()0A B A B A B ∴+-+=．sin sin sin cos sin cos cos sin 0A B A B A B A B ∴+--=．sin (sin cos )0B A A ∴-=．因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，从而cos sin A A =．由(0,)A π∈，知4A π=从而34B C π+=．由sin cos 20B C +=得3sin cos 2()04B B π+-=．即sin sin 20B B -=．亦即sin 2sin cos 0B B B -=．由此得1cos 2B =，3B π∴=，512C π=．18．（12分）（2009•辽宁）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，3S ，2S 成等差数列．（1）求{}n a 的公比q ；（2）若133a a -=，求n S ．【解答】解：（1）1S ，3S ，2S 成等差数列，可得3122S S S =+，可得123122()2a a a a a ++=+，即有2320a a +=，3212a q a ==-；（2）133a a -=，可得11134a a -=，解得14a =，则1(1)1n n a q S q-=-14(1())812[1()]1321()2n n --==----．19．（12分）（2017春•太仆寺旗校级期末）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<．【解答】解：当0a =时，不等式的解为{|1}x x >；当0a ≠时，分解因式1()(1)0a x x a--<当0a <时，原不等式整理得：2110a x x a a +-+>，即1(1)0x x a-->，不等式的解为{|1x x >或1}x a <；当0a >时，原不等式整理得：2110a x x a a +-+<，即1(1)0x x a --<，当01a <<时，11a <，不等式的解为1{|1}x x a <<；当1a >时，11a <，不等式的解为1{|1}x x a<<；当1a =时，不等式的解为∅．20．（12分）（2017秋•洛南县期末）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A ；（2）若a =，4b c +=，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）在ABC ∆中，1cos cos sin sin 2B C B C -= ，1cos()2B C ∴+=，又0B C π<+< ，3B C π∴+=，A B C π++= ，23A π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+- ，得222()22cos3b c bc bc π=+-- ，把4b c +=代入得：12162bc bc =-+，整理得：4bc =，则ABC ∆的面积11sin 422S bc A ==⨯⨯．21．（12分）（2013•越秀区校级模拟）设数列{}n a 前n 的项和为n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+∈．其中m 为常数，3m ≠-且0m ≠（1）求证：{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且*11131,()(2n n b a b f b n N -===∈，2)n ，求证1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求n b ．【解答】解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23n n m S ma m ++-+=+，两式相减，得1(3)2n n m a ma ++=，(3)m ≠-∴123n n a m a m +=+，{}n a ∴是等比数列．（2）由111b a ==，2()3m q f m m ==+，n N ∈且2n 时，111233()223n n n n b b f b b ---==+ 得1133n n n n b b b b --+=⇒11113n n b b --=．∴1{}nb 是1为首项13为公差的等差数列，∴112133n n n b -+=+=，故有32n b n =+．22．（12分）（2007•山东）设数列{}n a 满足21*123333()3n n n a a a a n N -+++⋯+=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】解：（1）211233333n n n a a a a -+++⋯+=，①∴当2n 时，22123113333n n n a a a a ---+++⋯+=．②①-②，得1133n n a -=，所以1(2)3n na n = ，在①中，令1n =，得113a =也满足上式．∴13n n a =．（2） n n n b a =，3n n b n ∴= ．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯+⋯+ ．③23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯+⋯+ ．④④-③，得12323(3333)n n n S n +=-+++⋯+ ，即13(13)2313n n n S n +-=-- ．∴1(21)3344n n n S +-=+．。

河南省南阳市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．归纳法2．“m=1”是“复数z=（1+mi ）（1+i ）（m ∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁4．已知复数Z 1=2+i ，Z 2=1+i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限5．已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）=2xf ′（e ）+lnx ，则f ′（e ）=（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣e ﹣1D ．﹣e6．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（ ） A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线7．观察数表（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为（ ） A ．1479B ．1992C ．2000D ．20728．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．99．点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ，点Q所在轨迹的参数方程为在（t 为参数）上，则|PQ|的最小值是（）A．2 B．C．1 D．10．在对吸烟与患肺病转这两个分类变量的独立性减压中，下列说法真确的是（）①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；②若K2的观测值满足K2≥6.635，那么在100个吸烟的人中有99人患肺病；③动独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；④从统计量中得到由99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使判断出现错误．A．①B．②③C．①④D．①②③④11．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？12．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．复数的共轭复数是．14．若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i 是纯虚数，则实数x的值是．15．观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为．16．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤）17．若复数z满足z=i（2﹣z）．（1）求z；（2）求|z﹣（2﹣i）|．18．某商品在销售过程中投入的销售时间x与销售额y的统计数据如下表：用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额．（参考公式： =， =﹣，其中，表示样本平均值）19．设a ＞0，b ＞0，a+b=1，求证： ++≥8．20．已知函数f （x ）=aln （x+1）+bx+1（1）若函数y=f （x ）在x=1处取得极值，且曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线与直线2x+y ﹣3=0平行，求a 的值； （2）若，试讨论函数y=f （x ）的单调性．21．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由． 参考公式与临界值表：K 2=．22．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c ． （1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c ”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）河南省南阳市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法【考点】F9：分析法和综合法．【分析】要证+＜2，需证＜，即证…，显然用分析法最合理．【解答】解：用分析法证明如下：要证明+＜2，需证＜，即证10+2＜20，即证＜5，即证21＜25，显然成立，故原结论成立．综合法：∵﹣=10+2﹣20=2（﹣5）＜0，故+＜2．反证法：假设+≥2，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选B．2．“m=1”是“复数z=（1+mi）（1+i）（m∈R，i为虚数单位）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合复数的有关概念即可得到结论．【解答】解：z=（1+mi）（1+i）=（1﹣m）+（m+1）i，若复数z=（1+mi）（1+i）（m∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则，即，解得m=1，∴“m=1”是“复数z=（1+mi ）（1+i ）（m ∈R ，i 为虚数单位）为纯虚数”的充要条件． 故选：C ．3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【考点】BH ：两个变量的线性相关．【分析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果．【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大， 残差平方和越小，相关性越强， 只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性， 故选D ．4．已知复数Z 1=2+i ，Z 2=1+i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z 1=2+i ，z 2=1+i 代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应的点的坐标得答案． 【解答】解：∵z 1=2+i ，z 2=1+i ，∴=，∴在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．5．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（e）+lnx，则f′（e）=（）A．1 B．﹣1 C．﹣e﹣1D．﹣e【考点】63：导数的运算．【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．【解答】解：由关系式f（x）=2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）=2f'（x）+，令x=e 得f'（e）=2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）=﹣e﹣1；故选：C．6．极坐标方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】由题中条件：“（ρ﹣1）（θ﹣π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．【解答】解：方程（ρ﹣1）（θ﹣π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．7．观察数表（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为（）A．1479 B．1992 C．2000 D．2072【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可知，该数列的周期为4，即每4个括号为一个周期，且每4个括号里共有10个数，即可求出第100个括号共有25×10=250个，再根据等差数列的定义即可求出第100个括号内为{495，497，499，501}，问题得以解决．【解答】解：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，周期为4，则第100个括号里有4个数，且每4个括号里共有10个数，故到第100个括号共有25×10=250个，且该数列是以3首项的奇数列，∴第250个奇数为3+2=501，故第100个括号内为{495，497，499，501}，其和为495+497+499+501=1992，故选：B．8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C9．点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ，点Q所在轨迹的参数方程为在（t 为参数）上，则|PQ|的最小值是（）A．2 B．C．1 D．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出极坐标方程的直角坐标方程，求出圆心坐标以及半径，通过两点的距离公式函数的性质求出|PQ|的最小值．【解答】解：点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标（1，0），半径为：1；点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是点Q与圆的圆心的距离的最小值减去1，|PQ|=﹣1=﹣1≥2﹣1=1，故选C10．在对吸烟与患肺病转这两个分类变量的独立性减压中，下列说法真确的是（）①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；②若K2的观测值满足K2≥6.635，那么在100个吸烟的人中有99人患肺病；③动独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病；④从统计量中得到由99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使判断出现错误．A．①B．②③C．①④D．①②③④【考点】2K：命题的真假判断与应用；BL：独立性检验．【分析】若k2＞6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，表示有1%的可能性使推断出现错误，不表示有99%的可能患有肺病，也不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故可得结论．【解答】解：若k2＞6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，不表示有99%的可能患有肺病，故①正确．K2的观测值满足K2≥6.635，不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确．如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，不表示有每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病，故③不正确．从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，④正确．故选：C．11．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？【考点】EF：程序框图．【分析】由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i ﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．【解答】解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B12．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c，设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴b+c=6﹣a，∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴0＜a＜1＜b＜3＜c，∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．故选：C．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．复数的共轭复数是﹣i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数===i的共轭复数是﹣i．故答案为：﹣i．14．若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i 是纯虚数，则实数x的值是 1 ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x的值．【解答】解：因为（x2﹣1）+（x2+3x+2）i 是纯虚数，x∈R所以解得：x=1故答案为：115．观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．【考点】F1：归纳推理．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；，右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13+23+33+43+53+63=212．故答案为：13+23+33+43+53+63=212．16．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 ．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．直线展开化为： =1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤）17．若复数z满足z=i（2﹣z）．（1）求z；（2）求|z﹣（2﹣i）|．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）利用复数的运算法则即可得出．（2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（1）由z=i（2﹣z），得．（2）．18．某商品在销售过程中投入的销售时间x与销售额y的统计数据如下表：用线性回归分析的方法预测该商品6月份的销售额．（参考公式： =， =﹣，其中，表示样本平均值）【考点】BK：线性回归方程．【分析】计算、，求出回归系数、，写出回归直线方程；根据线性回归方程计算x=6时的值即可．【解答】解：由已知数据可得==3，==0.5，所以（xi ﹣）（yi﹣）=（﹣2）×（﹣0.1）+（﹣1）×0+0×0.1+1×0.1+2×（﹣0.1）=0.1，（xi﹣）2=（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22=10，于是回归系数为==0.01，=﹣=0.5﹣0.01×3=0.47，∴回归直线方程为=0.01x+0.47；令x=6，得=0.01×6+0.47=0.53，即该商品6月份的销售额约为0.53万元．19．设a＞0，b＞0，a+b=1，求证： ++≥8．【考点】7F：基本不等式．【分析】化简利用即可证明．【解答】证明：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴++==≥=8．当且仅当a=b=时取等号．20．已知函数f （x ）=aln （x+1）+bx+1（1）若函数y=f （x ）在x=1处取得极值，且曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线与直线2x+y ﹣3=0平行，求a 的值； （2）若，试讨论函数y=f （x ）的单调性．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可． 【解答】解：（1）f （x ）=aln （x+1）+bx+1， ∴f ′（x ）=+b ， ∴，解得：（2），f ′（x ）=， 令f ′（x ）=0 则x=﹣2a ﹣1， ﹣2a ﹣1≤﹣1即a ≥0时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣1，+∞）递增， ﹣2a ﹣1＞﹣1即a ＜0时：令f ′（x ）＜0，解得：x ∈（﹣1，﹣2a ﹣1）， 令f ′（x ）＞0，解得：x ∈（﹣2a ﹣1，+∞），∴f （x ）在（﹣1，﹣2a ﹣1）递减，在（﹣2a ﹣1，+∞）递增．21．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2=．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）是一古典概型问题，把基本事件的总数与满足要求的个数找出来，代入古典概率的计算公式即可．（Ⅱ）由题中的数据，计算出k2与临界值比较即可得出结论【解答】解：（Ⅰ）积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为=；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为．（Ⅱ）k2=≈11.5，∵K2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．22．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，一一列举即可，而满足a+b=c 的（a，b，c）有3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求【解答】解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以P（B）=1﹣P（）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．。

河南省郑州2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A．B．C．或D．或2．“x＜0”是“＜1”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件3．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，2a n=a n﹣1+a n+1（n≥2，n∈N*），当a n=298时，序号n=（）A．100 B．99 C．96 D．1014．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x25．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．16．已知等比数列{a n}的前n项和是S n，且S20=21，S30=49，则S10为（）A．7 B．9 C．63 D．7或637．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞ab C．D．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，0] C．[0，]D．[﹣2，]10．设x∈R，对于使x2﹣2x≥M恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值﹣1叫做x2﹣2x的下确界，若a，b∈R，且a+b=1，则的下确界为（）A．5 B．4 C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，b（1﹣cosC）=ccosA，b=2，则△ABC 的面积为（）A．B．2C．D．或212．设．若f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n，使得n＜α＜β＜n+1成立，则（）A． B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是．14．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则=．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=3，c=4，则=．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=3n，记数列{a n}的前n项和为S n，若∃n∈N*使得（S n+）k≥3n﹣6成立，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：x2﹣ax﹣a+≥0对任意的x∈R恒成立；命题q：关于x的不等式x2+2x+a＜0有实数解．若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记c n=（﹣1）n•b n+a n，求数列{c n}的前n项和S n．19．某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（8≤v≤40）从A港出发到距100km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh，yh．（1）作图表示满足上述条件的x，y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）（元），那么v，w分别是多少时p最小？此时需花费多少元？20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B﹣5cos（A+C）=2．（1）求角B的值；（2）若cosA=，△ABC的面积为10，求BC边上的中线长．21．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？22．设数列{a n}的前n项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=+﹣2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．河南省郑州2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A．B．C．或D．或【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理和已知的两边和其中一边的对角求得sinB的值，进而求得B．【解答】解：由正弦定理可知=∴sinB=•b=×=∵b＜a∴B＜A∴B=故选B2．“x＜0”是“＜1”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】将＜1化简为：x＜0或x＞1，再根据充分条件和必要条件的定义即可得正确答案【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，即＜0，即x（x﹣1）＞0，解得x＜0或x＞1，∴“x＜0”是“＜1”的充分比必要条件，故选：B3．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，2a n=a n﹣1+a n+1（n≥2，n∈N*），当a n=298时，序号n=（）A．100 B．99 C．96 D．101【考点】等差数列的通项公式．【分析】判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}为等差数列，∵a1=1，a2=4，∴公差d=3，∴a n=298=1+3（n﹣1），解得n=100．故选：A4．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2．故选：D．5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则由条件求得a 和d的值，可得最少的一份为a﹣2d的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则有（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．由a+a+d+a+2d=7（a﹣2d+a﹣d），得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=11．∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2，故选：C．6．已知等比数列{a n}的前n项和是S n，且S20=21，S30=49，则S10为（）A．7 B．9 C．63 D．7或63【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的求和公式，结合条件，求出q10=2，=﹣7，代入可求S10．【解答】解：由题意S20==21，S30==49，∴q10=2，=﹣7∴S10=（1﹣q10）=7故选：A．7．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A．B．a2＞ab C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．【解答】解：对于A：当a＞0＞b，不成立．对于B：当b＜a＜0时，不成立．对于C：∵a，b是非零实数，a＞b，当a＞0＞b，恒成立，当b＜a＜0时，ab＞0，则﹣ab＜0，0＞，∴，当0＜b＜a 时，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．则C对．对于D：当a=1，b=﹣时不成立，故选C．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k 的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由于满足S2016=＞0，S2017=2017a1009＜0，可得：a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵满足S2016==＞0，S2017==2017a1009＜0，∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k=1009．故选：D．9．已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，0] C．[0，]D．[﹣2，]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z由图象可知当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，由，解得A（1，3）此时z最小为z=1﹣3=﹣2，当直线y=x﹣z，z经过点B时，z取得最大值，由，可得A（，），直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大为：=，z的范围为：[﹣2，]．故选：D．10．设x∈R，对于使x2﹣2x≥M恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值﹣1叫做x2﹣2x的下确界，若a，b∈R，且a+b=1，则的下确界为（）A．5 B．4 C．D．【考点】基本不等式．【分析】由题意，问题实质就是求a+b=1时的最小值，利用基本不等式解得即可．【解答】解：因为a+b=1，则=（a+b）（）=+≥；当且仅当a=b时等号成立；故选：D．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A=，b （1﹣cosC ）=ccosA ，b=2，则△ABC的面积为（ ）A ．B ．2C ．D ．或2 【考点】正弦定理．【分析】由已知等式利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得sinBcosC=sinAcosC ，可得cosC=0，或sinB=sinA ，分类讨论，分别利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵在△ABC 中，b （1﹣cosC ）=ccosA ，可得：b=ccosA +bcosC ，∴sinB=sinCcosA +sinBcosC=sin （A +C ）=sinAcosC +cosAsinC ，可得：sinBcosC=sinAcosC ，∴cosC=0，或sinB=sinA ，∵A=，b=2，∴当cosC=0时，C=，a==2，S △ABC =ab==2，当sinB=sinA 时，可得A=B=C=，a=b=c=2，S △ABC =absinC==． 故选：D ．12．设．若f （x ）=x 2+px +q 的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n ，使得n ＜α＜β＜n +1成立，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】基本不等式；二次函数的性质．【分析】由f （x ）=x 2+px +q 的图象经过两点（α，0），（β，0），可得f （x ）=x 2+px +q=（x ﹣α）（x ﹣β），进而由min {f （n ），f （n +1）}≤和基本不等式可得答案．【解答】解：∵f （x ）=x 2+px +q 的图象经过两点（α，0），（β，0），∴f （x ）=x 2+px +q=（x ﹣α）（x ﹣β）∴f （n ）=（n ﹣α）（n ﹣β），f （n +1）=（n +1﹣α）（n +1﹣β），∴min {f （n ），f （n +1）}≤=≤==又由两个等号不能同时成立故 故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若不等式（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是1≤m＜19．【考点】函数恒成立问题．【分析】此题要分两种情况：①当m2+4m﹣5=0时，解出m的值，进行验证；②当m2+4m﹣5=0时，根据二次函数的性质，要求二次函数的开口向上，与x轴无交点，即△＜0，综合①②两种情况求出实数m 的范围．【解答】解：①当m2+4m﹣5=0时，得m=1或m=﹣5，∵m=1时，原式可化为3＞0，恒成立，符合题意当m=﹣5时，原式可化为：24x+3＞0，对一切实数x不恒成立，故舍去；∴m=1；②m2+4m﹣5≠0时即m≠1，且m≠﹣5，∵（m2+4m﹣5）x2﹣4（m﹣1）x+3＞0对一切实数x恒成立∴有解得1＜m＜19综上得1≤m＜19故答案为1≤m＜19．14．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】用等差中项凑前n项和公式把条件变为由==，而==即当n=9时，求出即可．【解答】解：由==，而==即当n=9时，===故答案为15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=3，c=4，则=﹣1．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理先求得sinC=2sinA，由余弦定理cosC=﹣，代入所求即可求解．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得：sinA：sinB：sinC=2：3：4故有：sinC=2sinA由余弦定理：cosC===﹣，∴===﹣1．故答案为：﹣1．16．已知数列{a n}的通项公式为a n=3n，记数列{a n}的前n项和为S n，若∃n∈N*使得（S n+）k≥3n﹣6成立，则实数k的取值范围是．【考点】数列与不等式的综合．【分析】利用等比数列的求和公式可得S n，代入（S n+）k≥3n﹣6，化简利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=3n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为3．∴S n==﹣，∴（S n+）k≥3n﹣6化为：k≥，∵∃n∈N*使得（S n+）k≥3n﹣6成立，∴k≥．令b n=，则b n+1﹣b n=﹣=，n≤3时，b n+1≥b n；n≥4时，b n+1＜b n．∴b1＜b2＜0＜b3=b4＞b5＞ 0∴=b1=．∴．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：x2﹣ax﹣a+≥0对任意的x∈R恒成立；命题q：关于x的不等式x2+2x+a＜0有实数解．若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】若p为真，则，解出a的范围．若q为真，不等式x2+2x+a＜0有解，△2＞0，解得a范围．由命题p∨q为真，p∧q为假，可得p，q，一真一假．【解答】解：若p为真，则，解得﹣5≤a≤1．若q为真，不等式x2+2x+a＜0有解，△2=4﹣4a＞0，解得a＜1．∵命题p∨q为真，p∧q为假，∴p，q，一真一假．（1）p真q假，则，∴a=1．（2）若p假q真，则，∴a＜﹣5，综上，a的取值范围是{a|a＜﹣5或a=1}．18．在等比数列{a n}中，公比q≠1，等差数列{b n}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记c n=（﹣1）n•b n+a n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差为d，根据b1=a1，b4=a2，b13=a3及等差、等比数列的通项公式列关于q，d的方程组解出即得q，d，再代入通项公式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S n=c1+c2+…+c n=（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）+（﹣1）n（2n+1）+3+32+…+3n，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差为d．由已知得：，b1=3，b4=3+3d，b13=3+12d，所以或q=1（舍去），所以，此时d=2，所以，，b n=2n+1；（Ⅱ）由题意得：，S n=c1+c2+…+c n=（﹣3+5）+（﹣7+9）+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）+（﹣1）n（2n+1）+3+32+…+3n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，所以，．19．某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（8≤v≤40）从A港出发到距100km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh，yh．（1）作图表示满足上述条件的x，y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）（元），那么v，w分别是多少时p最小？此时需花费多少元？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）由路程，速度，时间的关系得出x，y与v，w的关系式，由v，w得范围即可得x，y的范围，再由到达时间范围即可得到不等式组，作图即可；（2）利用线性规划知识易求．【解答】解：（1）依题意得，∴①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14②因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）∵p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y，上式表示斜率为的直线，当动直线p=131﹣3x﹣2y通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A时，p值最小．由得，即当x=10，y=4时，p最小．此时，v=25，w=30，p的最小值为93元．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B﹣5cos（A+C）=2．（1）求角B的值；（2）若cosA=，△ABC 的面积为10，求BC 边上的中线长．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos 2B +5cosB ﹣3=0，进而解得cosB ，结合B 的范围即可得解B 的值；（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC ，再根据正弦定理得到b ，c 的关系，再利用余弦定理可求BC 的值，再由三角形面积公式可求AB ，BD 的值，利用余弦定理即可得解AD 的值．【解答】解：（1）∵cos2B ﹣5cos （A +C ）=2．∴2cos 2B +5cosB ﹣3=0，解得：cosB=或﹣3（舍去），又B ∈（0，π），∴B=．（2）∵cosA=，∴可得：sinA=，∴sinC=sin （A +B ）=sinAcosB +cosAsinB=×+×=，∴=，设b=7x ，c=5x ，则在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，∴BC==8x ，∵△ABC 的面积为10=AB •BC •sinB=×5x ×8x ×，解得：x=1，∴AB=5，BC=8，AC=7，BD=4，∴在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BDcosB=25+16﹣2×5×4×=21，∴解得：AD=．21．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC 形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC ，长度为100米，另外两边AB ，AC 使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x ，AC=y （x ，y 单位均为米）．（1）求x ，y 满足的关系式（指出x ，y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；余弦定理．【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得x 2+y 2﹣2xycos120°=30000，变形可得x 2+y 2+xy=30000，分析x 、y 的取值范围即可得答案；（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，对其变形可得（x+y）2﹣30000=xy，结合基本不等式可得，解可得x+y≤200，分析可得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=BC2，所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，即x2+y2+xy=30000，…又因为x＞0，y＞0，所以．…（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x+y的最小，由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，因为，所以，…则（x+y）2≤40000，即x+y≤200，当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．…故当AB，AC边长均为100米时，所用材料长度最短为200米．…22．设数列{a n}的前n项和为S n，且{}是等差数列，已知a1=1， ++=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=+﹣2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）由（1）知，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）由题意可得，∴，∴，∴，=n，当n=1时也成立，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1∴a n=n．（2）由（1）知，∴，∵，∴．。

河南省郑州市八校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.的值是（ ） A. 12B. −12C.√32D. −√322.若sin(θ−π4)=23，则sin2θ=( )A. √53 B. 59 C. 19 D. ±193.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A. 2B. sin2C. 2sin1D. 2sin14.已知向量()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫==⎪⎝⎭，若b ∥a ，则锐角α为( ) （A) 30︒ B. 60︒ C. 45︒ D. 75︒5.已知tanα=3，则1+cos 2αsinαcosα+sin 2α=( )A. 38B. 916 C. 79D. 11126.对于非零向量a ⃑⃑ ,b ⃑⃑ ,c ⃑ ，下列命题正确的是（ ） A. 若a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ =a ⃑⃑ ⋅c ⃑ ，则b ⃑⃑ =c ⃑ B. 若a ⃑⃑ +b ⃑⃑ =c ⃑ ，则|a ⃑⃑ |+|b ⃑⃑ |>|c ⃑ | C. 若(a⋅b ⃑ )⋅c =0⃑ ，则a ⃑⃑ ⊥b⃑⃑ D. 若a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ >0，则a ⃑⃑ ,b ⃑⃑ 的夹角为锐角 7.若A 为三角形ABC 的一个内角，且sinA +cosA =23，则这个三角形是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 正三角形8.已知非零向量a ⃑⃑ ,b ⃑⃑ ，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃑⃑ +2b ⃑⃑ ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−5a ⃑⃑ +6b ⃑⃑ ,CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =7a ⃑⃑ −2b ⃑⃑ 则一定共线的三点是( )A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D 9.若α、β是锐角△ABC 的两个内角，则有（ ）A. sinα>sinβB. cosα>cosβC. sinα>cosβD. sinα>cosβ10.同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数.”的一个函数为( ) A. sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. cos 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C. cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭11.已知函数y=Asin(ωx +φ)+B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则（ ）A. A =4B. ω=1C. φ=π6D. B =412.若cos (α+β)=15,cos (α−β)=35，则tanα⋅tanβ= （ ）A. −√32B. √32C. −12D. 12第II 卷（非选择题）二、解答题13.设e 1⃑⃑⃑⃑ 2⃑⃑⃑⃑ 是两个相互垂直的单位向量，且a ⃑⃑ =−2e 1⃑⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑⃑ ,b ⃑⃑ =e 1⃑⃑⃑⃑ −λe 2⃑⃑⃑⃑ （Ⅰ）若a ⃑⃑ ∥b ⃑⃑ ，求λ的值； （Ⅱ）若a ⃑⃑ ⊥b ⃑⃑ ，求λ的值． 14.计算下列各式的值： （1）cosπ5+cos2π5+cos3π5+cos4π5；（2）sin420°cos330°+sin (−690°)cos (−660°)． 15.已知函数f(x)=Asin(ωx −π3),(A >0,ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为(5π12,2)和(11π12,−2)（1）求A 和ω的值 （2）已知α∈(0,π2)，且sinα=45，求f(α)的值16.已知函数f (x )=2cos 2x +2√3sinxcosx +2．（1）求函数f(x)的单调增区间； （2）先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得的图象向右平移π12个单位y=g(x)的图象，求方程g(x)=4在区间[0,π4]上所有根之和．17.如图，在平行四边形ABCD 中，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=3，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，e 1⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |,e 2⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为π3．（1）若AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =xe 1⃑⃑⃑⃑ +ye 2⃑⃑⃑⃑ ，求x 、y 的值； （2）求AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值；（3）求AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角的余弦值．18.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道（Rt △FHE ，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E,F 分别落在线段BC,AD 上．已知AB=20米，AD =10√3米，记∠BHE =θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）若sinθ+cosθ=√2，求此时管道的长度L ；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．三、填空题19.若f (x )=2sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π4，则g (x )=tan (2ωx +π8)的最小正周期为______．20.已知平面向量,a b 满足1,2a b ==， 3a b +=，则a 在b 方向上的投影等于__________． 21.已知3cos()5αβ-=，5sin 13β=-，且(0)2πα∈，，()2πβ∈-，0，则_________ .22.已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin(θ+π4)=35，则x 1x 2+y 1y 2的值为______．sin α=参考答案1.C【解析】1.原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解：sin (−600°)=sin (−720°+120°)=sin120°=sin (180°−60°)=sin60°=√32，故选：C ． 2.C【解析】2.利用诱导公式求得 sin(π4−θ)的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ的值．若sin(θ−π4)=23，则 sin(π4−θ)=−23，∴sin2θ=cos(π2−2θ)=1−2sin 2(π4−θ)=1−2⋅49=19，故选：C ． 3.C【解析】3.连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是1sin1，利用弧长公式求弧长即可． 解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为1sin1，这个圆心角所对的弧长为2×1sin1=2sin1，故选：C ． 4.C【解析】4.∵()1,sin ,sin ,12a b αα⎛⎫==⎪⎝⎭， b ∥a ， ∴21sin 2α=， 又α为锐角，∴sin 45αα==︒。

河南省郑州市2018-2019学年高二下学期期中联考理科数学试卷一、选择题：共12题1．复数的共轭复数的虚部为A. B. C.1 D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的共轭复数与四则运算.,则复数的共轭复数2+i的虚部为12．设复数的共轭复数满足,其中为虚数单位,则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查复数的共轭复数与四则运算.因为,所以,则3．已知集合,则的最大值为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题主要考查复数的四则运算与复数的模、圆的性质，考查了逻辑推理能力与计算能力.设复数,复数在复平面上对应的点为Z(x,y),由可得,则点Z(x,y)在以为圆心，以1为半径的圆上，又|OC|=2(O是原点)，所以的最大值为3.4．有如下的演绎推理:“因为对数函数当时在上是增函数;已知是对数函数,所以在上是增函数”的结论是错误的,错误的原因是A.大前提错误B.小前提错误C.大小前提都错误D.推理形式错误【答案】B【解析】本题主要考查演绎推理，考查了三段设的证明方法.因为0<x<2时，<0，无意义，故小前提错误,5．用数学归纳法证明“不等式对一切正整数恒成立”的第二步中,已经假设时不等式成立,推理成立的步骤中用到了放缩法,这个放缩过程主要是证明A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查数学归纳法，考查了逻辑推理能力与计算能力.在数学归纳法证明第二步中，假设时不等式成立,即，当时，,故答案为D.6．下列推理是归纳推理的是A.若是平面内两个定点,动点满足,则动点的轨迹是椭圆B.由,求出,猜想出数列的前项和的表达式C.由圆的面积,猜想出椭圆的面积D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】本题主要考查归纳推理，考查了逻辑推理能力.A.本选项是椭圆的定义，符合归纳推理的定义，排除A；B.由猜想数列的前项和的表达式，符合归纳推理，正确；C是类比推理，不符合题意，排除C；D是类比推理，不符合题意，排除D.7．已知函数在处的导数为12,那么A.-6B.6C.12D.-12【答案】A【解析】本题主要考查导数的定义，考查了导数的基础知识的掌握情况.由题意可知，所以8．函数的图象在点处的切线的倾斜角是A.0B.C.1D.【答案】B【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了导数公式的应用.,所以函数的图象在点处的切线的斜率是,则倾斜角为9．给出定义:设是函数的导函数,是函数的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,已知函数的拐点是,则点A.在直线上B.在直线上C.在直线上D.在直线上【答案】B【解析】本题主要考查新定义问题、函数的导数的运算，考查了导数公式与计算能力.，，则，所以，则点在直线上10．设函数在定义域内可导,图象如下图所示,则导函数的图象可能是【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的图像与性质，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.由图像可知，函数在上是减函数，此时,故排除A、C；当x>0时，函数的图像是先增，再减，最后再增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，答案为D.11．若函数,则函数在上A.存在极小值,且极小值为B.存在极小值,且极小值大于C.存在极大值,且极大值为D.存在极大值,且极大值小于【答案】B【解析】本题主要考查导数、函数的导数与极值，考查了逻辑推理能力与计算能力.,由得，由得x>e,由得0<x<e,所以函数在x=e处存在极小值,无极大值，故答案为B.12．设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数:,取函数,若对任意的,恒有,则A.的最大值为2B.的最小值为2C.的最大值为1D.的最小值为1【答案】D【解析】本题主要考查导数在研究函数中的应用.由题意可得出,又,令得,即,当时,单调递减,当时,单调递增,故当时,取到最大值.故当时,恒的最小值是1,故选D.二、填空题：共4题13．定义运算,复数满足,则复数的模为 .【答案】【解析】本题主要考查自定义运算、复数的四则运算与模.由题意可得,所以，则14．已知,…,若均为正实数),则类比以上等式,可推测的值, .【答案】41【解析】本题主要考查归纳推理，考查了逻辑推理能力.由,…可知：,则，所以，则15．已知为自然对数的底数),则 .【答案】【解析】本题主要考查定积分，考查了计算能力、导数与积分的联系.因为为自然对数的底数),所以16．若函数有极值点,且,则关于的方程的不同实数根的个数为 .【答案】3【解析】本题主要考查导数、函数的图像与性质、函数的极点与零点，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.,因为函数有极值点，则是方程的两根，即时，或，因为是方程的两根，所以令得, 令得,因此当时，函数取得极大值为, 当时，函数取得极小值为,因为，由数形结合分析可知所示方程根的个数为3个.三、解答题：共6题17．设是的共轭复数,若和均为实数,求.【答案】设,∴,∵是实数∴即又,∵是实数∴即,∴∴【解析】本题主要考查复数的四则运算、共轭复数、复数的实部与虚部，考查了计算能力. 设,由和均为实数,即可求出x、y的值，则结论易得.18．设,令.(1)写出的值,并猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)∵,∴,猜想.(2)证明:①当时,猜想显然正确；②假设时猜想正确,即,则,这说明时猜想正确,由①②知,对任意,都有.【解析】本题主要考查归纳推理、数学归纳法、数列的通项公式的求法，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意，易得的值,观察可得结论；(2) ①当时,猜想显然正确；②假设时猜想正确,即,利用化简可得结论.19．(1)在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线为参数),为参数).(I)求的普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(II)若上的点对应的参数为为上的动点,求的中点到直线距离的最大值.(2)已知函数.(I)求不等式的解集;(II)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(I,表示以为圆心,1为半径的圆,表示焦点在轴上,长轴长是8,短轴长是6的椭圆.(II)当时,,设,则,而即,故到的距离,其中,当且仅当时等号成立,故点到直线距离的最大值是.(2)(I)原不等式等价于或或,解得或或,故不等式的解集为.(II)原问题等价于恒成立,即.∵,∴,∴,即,解得或,故实数的取值范围是.【解析】(1)本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、点到直线的距离公式、三角函数. (I 分别消去参数t与，即可得到的普通方程,则结论易得；由公式化简可得直线的直角坐标方程，易得,则到的距离，结合三角函数求解，即可得出结论；(2)本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式，考查了恒成立问题与分类讨论思想.分、、三种情况去绝对值，解不等式即可得出结论；利用绝对值三角不等式求出,由题意可得,再利用对数函数的性质求解即可.20．已知函数在和处取得极值.(1)求的表达式和极值;(2)若在区间上是单调函数,求的取值范围.【答案】(1的两根为和2,∴,得,∴,∴,令,得或;令,得,所以的极大值是,极小值是.(2)由(1)知,在和上单调递增,在上单调递减,∴或或,∴或,则的取值范围是.【解析】本题主要考查导数、函数的解析式、性质与极值，考查了方程思想、分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意可知：的两根为和2,由韦达定理求出a、b的值，即可判断函数的单调性，进而求出函数的极值；(2)由(1)的结论，根据题意可得或或,求解即可得出结论.21．某店销售进价为2元/件的产品,假设该店产品每日的销售量单位:千件)与销售价格单位:元/件)满足关系式,其中.(1)若产品销售价格为4元/件,求该店每日销售产品所获得的利润;(2)试确定产品销售价格的值,使该店每日销售产品所获得的利润最大.(保留1位小数)【答案】(1)当时,,所以该店每日销售产品所获得的利润是千元);(2)设该店每日销售产品所获得的利润为千元,则,从而,故在上单调递增,在上单调递减,所以是函数在上的极大值点也是最大值点,所以当销售价格约为3.3元/件时利润最大.【解析】本题主要考查导数与函数的性质，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)根据每日的销售量单位:千件)与销售价格单位:元/件)满足关系式，求出每日的销售量，则易得结果；(2) 设该店每日销售产品所获得的利润为千元,则，求导,判断函数的单调性，即可得出结论.22．设函数.(1)讨论函数的单调性;(2)如果对于任意的,都有成立,试求的取值范围.【答案】(1)函数的定义域为,当时,,函数在上单调递增,当时,若,则,函数,函数单调递增;若,则,函数单调递减;所以在上单调递减,在上单调递增.(2)∵,所以当时,在上单调递减;当时,在上单调递增,而,所以在上的最大值是1,依题意,知当时,恒成立,即恒成立,即恒成立,令,则,当时,,所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减,故当时,,∴,即实数的取值范围是.【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了分类讨论思想、恒成立问题、逻辑推理能力与计算能力.(1),分、两种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(2),判断函数的单调性并求出的最大为1；依题意,知当时,恒成立,即恒成立,令,同理，求导并判断函数的单调性，求出的最大值，即可得出结论.。

2016-2017学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．i是虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值（）A．越大 B．越小C．不变 D．可能越大也可能越小3．如a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是（）A．a＞b＞0 B．a＜b＜0C．a＞b D．a≥0，b≥0，且a≠b4．“实数a、b、c不全为0“含义是（）A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中至多有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为05．根据如下样本数据：得到了回归方程=x+，则（）A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜06．复数z=1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．的实部为﹣1 B．的虚部为﹣2i C．z•=5 D． =i7．以下是解决数学问题的思维过程的流程图，则（）A．①综合法②分析法 B．①分析法②综合法C．①综合法②反证法 D．①分析法②反证法8．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是（）大前提：若直线a⊥直线 l，且直线b⊥直线 l，则a∥b．小前提：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1．且AD⊥AA1结论：A1B1∥AD．A．推理正确 B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误9．椭圆+=1上点到直线x+2y﹣10=0的距离最小值为（）A．B．C．D．010．设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜011．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横，纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a2013+a2014+a2015等于（）A．1005 B．1006 C．1007 D．201512．在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则=+；类比此性质，如图，在四面体P﹣ABC中，若PA，PB，PC两两相垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为（）A． =++B． =++C． =++D． =++二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．执行如图的程序框图，如果输入x，y∈R，那么输出的S的最大值为．14．设z∈C，且|z+1|﹣|z﹣i|=0，则|z+i|的最小值为．15．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．16．给出下列不等式：①a，b∈R，且a2+=1，则ab≤1；②a，b∈R，且ab＜0，则≤﹣2；③a＞b＞0，m＞0，则＞；④|x+|≥4（x≠0）．其中正确不等式的序号为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．18．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．（1）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（3）请预测温差为14℃的发芽数．其中==， =﹣．19．（12分）设z是虚数，，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：u为纯虚数．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名同学从2到10进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求9号或10号概率．（参考公式：K2=其中n=a+b+c+d）独立性检验临界值21．（12分）如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：（1）BC⊥面SAB；（2）AF⊥SC．22．（12分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），曲线C1、C2交于A、B两点．（Ⅰ）若p=2且定点P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求p的值．2016-2017学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．i是虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，把要求的式子化简求得结果．【解答】解：复数===i﹣i2=1+i，故选D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值（）A．越大 B．越小C．不变 D．可能越大也可能越小【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】根据题意，由分类变量的随机变量K2的意义，分析可得答案．【解答】解：两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，随机变量K2的值越大，故选：A．【点评】本题主要考查两个分类变量相关系数的性质与应用问题，关键理解随机变量K2的意义．3．如a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是（）A．a＞b＞0 B．a＜b＜0C．a＞b D．a≥0，b≥0，且a≠b【考点】72：不等式比较大小．【分析】通过作差、利用根式的意义即可得出．【解答】解：a+b﹣（a+b）=（a﹣b）=，又a+b＞a+b，则a，b必须满足的条件是a，b≥0，a≠b．故选：D．【点评】本题考查了作差法、根式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．“实数a、b、c不全为0“含义是（）A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中至多有一个为0 D．a、b、c中至少有一个不为0【考点】21：四种命题．【分析】根据“实数a、b、c不全为0“含义，选出正确的答案即可．【解答】解：“实数a、b、c不全为0”的含义是“实数a、b、c中至少有一个不为0”．故选：D．【点评】本题考查了存在量词的应用问题，是基础题．5．根据如下样本数据：得到了回归方程=x+，则（）A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0 【考点】BK：线性回归方程．【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论．【解答】解：样本平均数=5.5， =0.25，∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，故选：A．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．6．复数z=1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．的实部为﹣1 B．的虚部为﹣2i C．z•=5 D． =i【考点】A2：复数的基本概念．【分析】计算=5，即可得出．【解答】解： =（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．以下是解决数学问题的思维过程的流程图，则（）A．①综合法②分析法 B．①分析法②综合法C．①综合法②反证法 D．①分析法②反证法【考点】EH：绘制简单实际问题的流程图．【分析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案．【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①﹣综合法，②﹣分析法，故选：A【点评】本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键．8．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是（）大前提：若直线a⊥直线 l，且直线b⊥直线 l，则a∥b．小前提：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1．且AD⊥AA1结论：A1B1∥AD．A．推理正确 B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，根据“若直线a⊥直线 l，且直线b⊥直线 l，此时a，b可能平行，可能异面，也可能相交，可知：已知前提错误．【解答】解：∵若直线a⊥直线 l，且直线b⊥直线 l，此时a，b可能平行，可能异面，也可能相交，∴大前提：若直线a⊥直线 l，且直线b⊥直线 l，则a∥b错误，故这个推理过程中，大前提出错导致推理错误，故选：B【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．9．椭圆+=1上点到直线x+2y﹣10=0的距离最小值为（）A．B．C．D．0【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设出与直线x+2y﹣10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0，联立直线方程与椭圆方程，由判别式等于0求得m值，再由两点间的距离公式得答案．【解答】解：设与直线x+2y﹣10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0，联立，得25x2+18mx+9m2﹣144=0．由（18m）2﹣100（9m2﹣144）=0，得576m2=14400，解得m=±5．当m=﹣5时，直线方程为x+2y﹣5=0，此时两直线x+2y﹣10=0与直线x+2y﹣5=0的距离d==．椭圆+=1上点到直线x+2y﹣10=0的距离最小值为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．10．设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2﹣b2+2abi，对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，真命题；对于B，z2＜0，则a=0，且b≠0，⇒z是虚数；所以B为真命题；对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题．对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题；故选C．【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．11．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横，纵坐标分别对应数列{a n}（n∈N*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a2013+a2014+a2015等于（）A．1005 B．1006 C．1007 D．2015【考点】8E：数列的求和．【分析】由题意可得：a1=1，a3=﹣1，a5=2，a7=﹣2，a9=3，a11=﹣3，…，a2=1，a4=2，a6=3，a8=4，a10=5，a12=6，…．可得a4k﹣3=k，a4k﹣1=﹣k，a2k=k．k∈N*．即可得出．【解答】解：由题意可得：a1=1，a3=﹣1，a5=2，a7=﹣2，a9=3，a11=﹣3，…，a2=1，a4=2，a6=3，a8=4，a10=5，a12=6，…．∴a4k﹣3=k，a4k﹣1=﹣k，a2k=k．k∈N*．∴a2013+a2014+a2015=a504×4﹣3+a1007×2+a504×4﹣1=504+1007﹣504=1007．故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则=+；类比此性质，如图，在四面体P﹣ABC中，若PA，PB，PC两两相垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为（）A． =++B． =++C ． =++D ．=++【考点】F3：类比推理．【分析】直角三角形的斜边上的高，可以类比到两两垂直的三棱锥的三条侧棱和过顶点向底面做垂线，垂线段的长度与三条侧棱之间的关系与三角形中的关系类似． 【解答】解：由平面类比到空间，是常见的一种类比形式，直角三角形的斜边上的高，可以类比到两两垂直的三棱锥的三条侧棱和过顶点向底面做垂线，垂线段的长度与三条侧棱之间的关系与三角形中的关系类似：=++，故选：B【点评】本题考查类比推理，是一个平面图形与空间图形之间的类比，注意两个图形中的条件的相似的地方．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．执行如图的程序框图，如果输入x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为 2 ．【考点】EF ：程序框图；7C ：简单线性规划．【分析】算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y 的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y 的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故答案为：2．【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．14．设z∈C，且|z+1|﹣|z﹣i|=0，则|z+i|的最小值为．【考点】A8：复数求模；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据题意，可得满足|z+1|﹣|z﹣i|=0的点Z几何意义为复平面内的点到（﹣1，0）与（0，1）的中垂直平分线，进而分析|z+i|的几何意义，可得答案．【解答】解：根据题意，可得满足|z+1|﹣|z﹣i|=0的点Z几何意义为复平面内的点到（﹣1，0）与（0，1）的垂直平分线：x+y=0，|z+i|的最小值，就是直线上的点与（0，﹣1）距离的最小值： =．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查复数的模的基本运算，复数模的几何意义，点到直线的距离的求法，考查计算能力．15．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．【考点】F1：归纳推理；89：等比数列的前n项和．【分析】观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n 行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．【解答】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16．给出下列不等式：①a，b∈R，且a2+=1，则ab≤1；②a，b∈R，且ab＜0，则≤﹣2；③a＞b＞0，m＞0，则＞；④|x+|≥4（x≠0）．其中正确不等式的序号为①②④．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质和不等式的性质即可判断出．【解答】解：①∵a，b∈R，且a2+=1，∴1≥2a•，∴ab≤1，当且仅当a==取等号，因此正确；②∵a，b∈R，a2+b2≥﹣2ab，且ab＜0，∴≤﹣2，当a=﹣b时取等号，正确；③a＞b＞0，m＞0，则﹣==＜0，因此＜，故不正确；④|x+|=≥4（x≠0），当且仅当|x|=2时取等号，因此正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了基本不等式的性质和不等式的性质，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2015•铜仁市模拟）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上，（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程．【分析】（1）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；（2）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．【解答】解：（1）点A（，）在直线l上，得cos（θ﹣）=a，∴a=，故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；（2）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1圆心C到直线l的距离d=＜1，所以直线l和⊙C相交．【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．18．（12分）（2017春•郑州期中）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．（1）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（3）请预测温差为14℃的发芽数．其中==，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（2）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．（3）将x=14代入（1）中所得的回归直线方程，即可得到温差为14℃的预报值．【解答】解：（1）由数据，求得=12， =27．由公式，求得=2.5， =27﹣2.5×12=﹣3∴y关于x的线性回归方程为y^=2.5x﹣3．（2）当x=10时， =2.5×10﹣3=22，|22﹣23|＜2；同样当x=8时， =2.5×8﹣3=17，|17﹣16|＜2；∴该研究所得到的回归方程是可靠的．（3）当x=14时， =2.5×14﹣3=32，即温差为14℃的发芽数约为32颗．【点评】本题可选等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，是一个综合题目．19．（12分）（2008秋•金华期末）设z是虚数，，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：u为纯虚数．【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A8：复数求模．【分析】（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）（1）∵﹣1＜ω＜2，∴，又∵y≠0，∴x2+y2=1即|z|=1∵，∴即z的实部的取值范围是（2）∵x2+y2=1，∴又∵y≠0，∴u是纯虚数．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名同学从2到10进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求9号或10号概率．（参考公式：K2=其中n=a+b+c+d）独立性检验临界值【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率值，可得两个班优秀的人数，计算表中数据，填写列联表即可；（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得K2，和临界值表比对后即可得到答案；（3）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为，∴两个班优秀的人数为×110=30，∴乙班优秀的人数为30﹣10=20，甲班非优秀的人数为110﹣（10+20+30）=50；填写2×2列联表如下；（2）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.187＜10.828，按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；（3）设抽到9号或10号为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为{x，y}，所有的基本事件有{1，1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，…，{6，6}共36种；事件A包含的基本事件有{3，6}，{4，5}，{5，4}，{6，3}，{5，5}，{4，6}，{6，4}共7个；所以P（A）=，即抽取9号或10号的概率是．【点评】本题考查了列联表、独立性检验以及列举法求古典概型的概率问题，是中档题．21．（12分）（2009秋•吉林校级期末）如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：（1）BC⊥面SAB；（2）AF⊥SC．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知中SA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得BC⊥SA，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理，我们可得BC⊥面SAB；（2）由已知中过A作SB的垂线，垂足为E，结合（1）的结论，由线面垂直的判定定理可得AE⊥面SBC，进而AE⊥SC，再由已知中，过E作SC的垂线，垂足为F，由线面垂直的判定定理可得SC⊥面AEF，最后由线面垂直的性质得到AF⊥SC．【解答】证明：（1）∵SA⊥面ABC，且BC⊂面ABC，∴BC⊥SA，又BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB．（2）∵AE⊥BC，AE⊥SB，且SB∩BC=B，∴AE⊥面SBC，∵SC⊂面SBC，故AE⊥SC．又∵AE⊥SC，EF⊥SC，且AE∩EF=E，∴SC⊥面AEF，∵AF⊂面AEF，故AF⊥SC．【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定定理和性质定理，空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握直线与直线垂直及直线与平面垂直之间的辩证关系及转化方法，是解答本题的关键．22．（12分）（2017春•郑州期中）已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），曲线C1、C2交于A、B两点．（Ⅰ）若p=2且定点P（0，﹣4），求|PA|+|PB|的值；（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求p的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．将曲线C1的参数方程（t为参数）与抛物线方程联立得： t+32=0，可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．（Ⅱ）将曲线C1的参数方程与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，可得|AB|2=|PA||PB|，可得=|t1||t2|，即=5t1t2，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px，p＞2．又已知p=2，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=4x联立得：t+32=0，由于△=﹣4×32＞0，设方程两根为t1，t2，∴t1+t2=12，t1•t2=32，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．（Ⅱ）将曲线C1的参数方程（t为参数）与y2=2px联立得：t2﹣2（4+p）t+32=0，由于△=﹣4×32=8（p2+8p）＞0，∴t1+t2=2（4+p），t1•t2=32，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，∴|AB|2=|PA||PB，∴=|t1||t2|，∴=5t1t2，∴=5×32，∴p2+8p﹣4=0，解得：p=﹣4，又p＞0，∴p=﹣4+2，∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为﹣4+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

河南省郑州市八校高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：，故选：C．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式求得的值，再利用诱导公式、二倍角公式求得的值．【详解】若，则，，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】连接圆心与弦的中点，则得到弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，利用弧长公式求弧长即可．【详解】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1，故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选：C．【点睛】本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，求出半径，熟练记忆弧长公式也是正确解题的关键．4．已知向量，若，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∥，∴，又为锐角，∴。

选C。

5．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将要求的表达式化为，再分子、分母同时除以，化为关于的式子，代入即可求解。

【详解】根据同角三角函数关系式，代入式子中化简可得分子分母同时除以，得因为代入可求得所以选D【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，“齐次式”化简的方法，属于基础题。

6．对于非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则的夹角为锐角【答案】C【解析】选项A：两边不能同时除以，应该移项，逆用向量数量积的运算律，得出结论；选项B:根据公式可以进行判断；选项C:因为是非零向量，所以，可以依据这个进行判断；选项D：两个数量积为负，可以得到两个向量的夹角为钝角或者是夹角，依此进行判断. 【详解】解：A：若，则，故A错误；B：若，则，故B错误；C：非零向量，，故C正确；D：若，则的夹角为锐角或0，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．7．若为三角形的一个内角，且，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．正三角形【答案】A【解析】利用，两边平方可得，进而判断出是钝角．【详解】解：两边平方可得：，化为，，．为钝角．这个三角形是钝角三角形．故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的平方关系和同角的正弦、余弦值的正负性，属于基础题．8．已知向量、满足，则一定共线的三点是（）A．、、B．、、C．、、D．、、【答案】A【解析】分析：由向量加法的“三角形”法则，可得，从而可得结果.详解：由向量的加法法则可得，所以，与共线，又两线段过同点，故三点一定共线，故选A.点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.9．若、是锐角的两个内角，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据锐角三角形角的关系，结合三角函数的单调性进行判断即可．【详解】解：、是锐角的两个内角，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角形的性质、三角函数的单调性是解决本题的关键．10．同时具有性质：“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】采用排除法.根据性质: ①:最小正周期为, 排除选项A和B; 对于选项C, 当时,,不是最值,所以排除选项C,故选D.11．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得．【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得函数的周期为，即当时取最大值，即故选：C．【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．12．若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由，得①由得②，由①②可求得，则，故本题的正确选项为D.【考点】三角函数恒等变换.【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为，所以只要求得即可，而余弦恒等变换中刚好有这两项，所以考虑利用和差角的余弦展开式建立一个二元一次方程组，解方程组求得，进而求得.二、填空题13．若的最小正周期为，则的最小正周期为______．【答案】【解析】试题分析：本题主要考察三角函数的周期正弦三角函数周期为，而正切函数则为.由三角函数的最小正周期可知，所以函数的最小正周期为.【考点】三角函数的周期.14．已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．【答案】【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，据此可得，在方向上的投影等于.15．已知，，且，，则______．【答案】【解析】试题分析：由，得，所以，从而，故答案为：【考点】三角恒等变形公式．16．已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为______．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，因为，所以【考点】同角三角函数关系，向量数量积三、解答题17．设是两个相互垂直的单位向量，且（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．【详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，，当时，；（Ⅱ）若，则，因为是两个相互垂直的单位向量，当时，.【点睛】本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．18．计算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）0；（2）1．【解析】（1）cos+cos+cos+cos=cos+cos+cos（π–）+cos（π–）=cos+cos–cos–cos=0；（2）原式=sin（360°+60°）cos（360°–30°）+sin（–2×360°+30°）•cos（–2×360°+60°）=sin60°cos30°+sin30°cos60°=×+×=1．19．已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为．（1）求和的值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）.. (2)。

郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共4小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60︒”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于60︒ B. 三个内角都大于60︒ C. 三个内角至多有一个大于60︒ D. 三个内角至多有两个大于60︒【答案】B 【解析】 【分析】由“至少有一个”的否定为“一个也没有”即可得解.【详解】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”． 故选：B ．【点睛】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定2.设复数z a bi =+（i 为虚数单位），,a b ∈R ，且-3a ib i i=+，则复数z 的模等于（ ）A. 10C. 5【答案】D 【解析】 【分析】 化简-3a ib i i=+为31a i bi -=-，然后，利用复数的定义求解，即可求出,a b ，进而求出复数z 的模即可 【详解】由-3a ib i i=+，得31a i bi -=-，得1,3a b =-=-，则13z a bi i =+=--，得z ==答案选D【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数的模及除法运算，属于基础题3. 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ） A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 一次三段论 【答案】C 【解析】试题分析：名不正是言不顺的充分条件，所以“名不正则言不顺”是演绎推理。

言不顺是事不成的充分条件，所以“言不顺则事不成”是演绎推理。

以此类推，所以“故名不正则民无所措手足”是演绎推理 考点：推理点评：演绎推理是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理4.某同学根据一组x ，y 的样本数据，求出线性回归方程y bx a =+$$$和相关系数r ，下列说法正确的是（ ） A. y 与x 是函数关系 B. $y 与x 是函数关系C. r 只能大于0D. ｜r ｜越接近1，两个变量相关关系越弱 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程的定义进行求解即可【详解】解：由两变量x ，y 具有线性相关关系，可知y 与x 不是函数关系，故A 错误； 求出线性回归方程y b =$$x a +$，其中y $与x 是函数关系，故B 正确； 相关系数可能大于0，也可能小于0，故C 错误； |r |越接近1，两个变量相关关系越强，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查两个变量的线性相关性，是基础题．5.点 M 的直角坐标是(-，则点 M 的极坐标为（ ） A. π 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. π2,3⎛⎫-⎪⎝⎭C. 2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π2,2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z【答案】C 【解析】分析：利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，先将点M 的直角坐标是(-，之后化为极坐标即可.详解：由于222x y ρ=+，得24,2ρρ==，由cos x ρθ=，得1cos 2θ=， 结合点在第二象限，可得23πθ=，则点M 的坐标为2(2,)3π，故选C. 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径ρ和极角θ的意义，利用ρ=果.6.若关于x 的不等式｜ax ﹣3｜＜7的解集为{x ｜﹣5＜x ＜2}，则a 的值为（ ） A. ﹣4 B. 4C. ﹣2D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用37ax -<，得410ax -<<，然后把选项中的答案依次代入这个不等式，即可判断选项 【详解】由37ax -<，得到410ax -<<，分别代入选项中的答案，明显地，当2a =-时，满足37ax -<，且{}52x x -<<， 本题选C【点睛】本题考查绝对值不等式的求解问题，属于基础题7.雷达图（RadarChart ），又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart ），是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两人在能力方面的表现基本相同B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙C. 在培训与销售两个方面甲的综合表现优于乙D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙 【答案】C 【解析】 【分析】看图分析数据即可判断选项【详解】C 选项中，乙在培训与销售两个方面的综合表现优于甲 【点睛】本题考查看图做出数据分析，属于基础题8.已知111555b a⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. log a b +log b a ＞﹣2B. log a b +log b a ＞2C. log a b +log b a ≥﹣2D. log a b +log b a ≤﹣2【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性得出10b a >>>，然后利用均值不等式即可求出最值，得出正确选项【详解】由111555b a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜1，得011115555b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用指数函数的单调性得，10b a >>>，则log 0a b <，log 0b a <， 而ln ln log log ln ln a b b a b a a b +=+ln ln ln ln b a a b ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤-所以，log log 2a b b a +≤-，答案选D【点睛】本题考查指数函数的单调性问题以及不等式求最值问题，本题的难点在于利用单调关系得出参数之间的大小关系进行求解，属于基础题9.圆ρ＝5cosθ﹣的圆心坐标是（ ） A. （5，3π） B. （5，6π） C. （5，53π） D. （5，56π）【答案】C 【解析】 【分析】 利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩的极坐标定义求解即可【详解】原式可化为：25cos sin ρρθθ=-，利用极坐标定义可转化为：225x y x +=-，配方为2252522x y ⎛⎛⎫-++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为：5,2⎛ ⎝⎭，化成极坐标，得出5ρ==，53πθ= 答案选C【点睛】本题考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程的转化，属于基础题10.函数y ＝4337x x -+-的最大值为（ ） A. 5 B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅r r r r ，可设向量()4,3a =r，()3,7b x x =--r ，然后进行求解即可【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a =r，()3,7b x x =--r ，则5a =r ，2b =r ，10a b a b ⋅≤⋅=r r r r ，当且仅当a b r r P 时，即47330x x ---=时，等号成立，解得13925x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题11.执行如图所示的程序框图，如果输出的a 值大于2019，那么判断框内的条件为（ ）A. k ＜10？B. k ≥10？C. k ＜9D. k ≥9？【答案】A 【解析】【分析】根据程序框图，列出每一步的程序运算，即可求解【详解】①1,1a k==⇒条件（是）6,3a k⇒==；②6,3a k==⇒条件（是）33,5a k⇒==；③33,5a k==⇒条件（是）170,7a k⇒==；④170,7a k==⇒条件（是）857,9a k⇒==；⑤857,9a k==⇒条件（是）4294,11a k⇒==；⑥4294,11a k==⇒条件（否）⇒输出a（此时2019a>）；答案选A【点睛】本题考查程序框图的条件判别，属于基础题12.某校有A、B、C、D四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中，在被问及在哪个社团时，甲说：“我没有参加A和B社团”．乙说：“我没有参加A和D社团”．丙说：“我也没有参加A和D社团”．丁说：“如果乙不参加B社团，我就不参加A社团”．则参加B社团的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团，又由甲说知，甲参加了D社团，则丁参加了A社团，根据丁的说法知乙参加了B社团．【详解】解：有乙、丙的说法知甲和丁参加了A、D社团，又由甲说知，甲参加了D社团，则丁参加了A社团，根据丁的说法知乙参加了B社团．故选：B．【点睛】本题考查推理的相关知识，考查分析问题，解决问题的能力以及逻辑思维能力，属于基础题13.在同一平面直角坐标系中满足由曲线x 2+y 2＝1变成曲线22194x'y'+=的一个伸缩变换为（ ）A. '3'2x xy y =⎧⎨=⎩B. 1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C. '9'4x xy y =⎧⎨=⎩D.1'91'4x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，把曲线22194x'y'+=方程整理为22132x'y'⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则可得'3x x =，'2y y =，进而可以求出答案【详解】由题意得，把x 2+y 2＝1经过伸缩变换变成曲线22194x'y'+=，则可令'3x x =，'2y y =，化简得'3'2x x y y =⎧⎨=⎩，答案选A【点睛】本题考查曲线方程间的伸缩变换，属于基础题14.在矩形ABCD 中，对角线AC 分别与AB ，AD 所成的角为α，β，则sin 2α+sin 2β＝1，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面AC ，平面AB 1，平面AD 1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法正确的是（ ）①sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝1 ②sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝2 ③cos 2α1+cos 2α2+cos 2α3＝1 ④sin 2β1+sin 2β2+sin 2β3＝1 A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，分别确定各个角的三角函数值，进而判断各个命题的真假，可得答案【详解】（1）222123sin sin sin ααα++2221111222111BC DC AC AC AC AC =++=222111121BC DC AC AC ++ 222222111121AC AB AC AD AC AA AC -+-+-=()2222112132AC AB AD AA AC -++==，所以，①错，②对；（2）222123cos cos cos ααα++=2221222111A A AB AD AC AC AC ++=2221211AB AD AA AC ++=， 所以，③对（3）222123sin sin sin βββ++222111112221111CC B C D C AC AC AC =++=，所以，④对 答案选D【点睛】本题解题的关键点在于，确定各个角的三角函数值，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分） 15.已知复数z 1＝22ii-+在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB u u u r 与虚轴垂直，则z 2的虚部为_____． 【答案】45-.【解析】【分析】利用复数的运算法则得到34,55 AB a b⎛⎫=-+⎪⎝⎭u u u r，再有向量ABuu u r与虚轴垂直，可得2z的虚部【详解】1234255iz ii-==-+，设2z a bi=+，则34,55AB a b⎛⎫=-+⎪⎝⎭u u u r，又由向量ABu u u r与虚轴垂直，得到45b+=，45b=-，则2z的虚部为45-，答案是45-【点睛】本题考查复数与向量的运算法则，属于基础题16.恩格尔系数（Engel'sCoefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：若y与x之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为_____．【答案】0.26.【解析】【分析】利用相关公式，先求出y和x，再代入公式求出ˆb，最后得到ˆa的值【详解】由条件可得，0.90.70.50.30.10.55y++++==和1 1.52 2.5325x++++==，则代入公式得4520.5ˆ0.422.554b-⨯⨯==--⨯，则()0.50.42 1.3a=--⨯=，得到y与x的线性相关关系为()ˆ 1.30.4y x=+-，把 2.6x=代入，得0.26y=，答案为0.26【点睛】本题考查线性回归方程的求解与应用，考查的核心素养是数学运算与数学分析17.观察下列几个三角恒等式①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1 ②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1． 一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：_____ 【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=o则. 【解析】 【分析】观察所给的等式，发现左边都是两个角的正切的乘积形式，一共有三项，且三个角的和为定值：直角，右边的值都为常数1，由此推广到一般结论即可【详解】观察所给等式，若角α，β，γ满足90αβγ++=o，且tan α，tan β，tan γ都有意义，则tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=，故答案为：90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=o则 【点睛】本题考查归纳推理的应用，推理过程由特殊再到一般，属于基础题18.已知函数121()22x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k 的取值范围是_____． 【答案】k <-1或k >1. 【解析】 【分析】利用定义，先求出函数()f x 为单调减函数与奇函数，然后化简()()2223220f t t f k t++-<得到222t t k --<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数()f x ，定义域为R ，且()12122x x f x ---+-=+1122222xxx x+-+=+()12122x x f x +-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'0fx <，则()f x 在x ∈R 时为减函数，()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数化简得()()222322f t t f t k+-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()22g t t t =--，则有()2max g t k <，而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <- 答案：1k >或1k <-【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题三、解答题（本大题共1小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.已知i 是虚数单位，且复数z 满足（z +2）（3+i ）＝10． （Ⅰ）求z 及z 2；（Ⅱ）若z •（a +2）i 是纯虚数，求实数a 的值． 【答案】（Ⅰ）1z i =-,22.z i =-； （Ⅱ）2-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据复数的代数运算法则进行运算即可（Ⅱ）根据复数代数运算法则进行化简，再有纯虚数的定义，列出方程求出a 的值 【详解】（Ⅰ）1010(3)2213(3)(3)i z i i i i -=-=-=-++-, 22(1)2.z i i =-=-（Ⅱ）(2)(1)(2)(2)(2)z a i i a i a a i +=-+=++-， 令2+a =0，解得a =-2.【点睛】本题考查复数的代数运算法则以及纯虚数的定义，属于基础题20.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣3，圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ＝4π（ρ∈R ），设C 2，C 3的交点为A ，B ，求△C 2AB 的面积． 【答案】（Ⅰ）cos 3ρθ=-；24cos 2sin 40ρρθρθ--+=；（Ⅱ）12. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可知，利用cos ,sin x y ρθρθ==，分别代入1C ，2C ，即可求解（Ⅱ）将直线3C 的极坐标方程代入2C ，即可求出12,ρρ，进而可得弦长，继而求出三角形面积【详解】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 3ρθ=-，2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将4πθ=代入24cos 2sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=AB =由于2C 的半径为1，所以2C AB ∆的面积为12. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标系的应用，属于基础题21.已知函数f （x ）＝｜x ﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞6﹣｜2x +1｜的解集； （Ⅱ）设a ，b ∈（2，+∞），若f （a ）+（b ）＝6，求41a b+的最小值． 【答案】（Ⅰ）57.33x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或（Ⅱ）910. 【解析】 【分析】(1)根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可 (2)利用“1”的代换，结合基本不等式先求出41a b+的最小值，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可【详解】（1）2216x x -++>原不等式等价于，等价于12,1,2,2275.3,33x x x x x x ⎧><-⎧⎧⎪-≤≤⎪⎪⎪⎨⎨⎨>⎪⎪⎪><-⎩⎩⎪⎩或或 解得5733x x <->或. 所以原不等式的解集为57.33x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或(2),(2,)a b ∈+∞，()()622610f a f b a b a b +=-+-=+=即，，414111419()()(5)(510101010b a a b a b a b a b +=++⋅=++≥+= 当且仅当4,10,b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 即 20,310.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取等号. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式中“1”的代换，属于基础题22.2019年4月22日是第50个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环境的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然对人类未来的重要性．今年，自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球，守护自然资源”．某中学举办了以“珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识竞赛．赛后从该校高一和高二年级的参赛者中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩分为7组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布表：现规定，“竞赛成绩≥80分”为“优秀”“竞赛成绩＜80分”为“非优秀”（Ⅰ）请将下面的2×2列联表补充完整；优秀非优秀合计高一50高二15合计100（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”？附：独立性检验界值【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）没有99％的把握认为“竞赛成绩与年级有关”.【解析】【分析】（1）根据优秀总人数：（0.22+0.13）*100=35人，进而填写列联表即可（2）利用列联表的卡方检验的方法进行求解即可【详解】（1）优秀总人数：（0.22+0.13）*100=35人.优秀非优秀合计高一20 50 70高二15 15 30合计35 65 100（2）221002015-1550K 4.239 6.635.35657030⨯⨯⨯=≈<⨯⨯⨯（）所以，没有99％的把握认为“竞赛成绩与年级有关”【点睛】本题考查列联表的卡方检验的应用，直接根据定义求解即可，属于基础题23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为222x tty=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（为参数），曲线C的参数方程为2cosxyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（3，2π），判断点P与直线l位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【答案】（Ⅰ）点P在直线l上；.【解析】【分析】（1）把极坐标系下的点(3,)2Pπ化为直角坐标得点(0,3)，把点P代入直线l的方程260x y-+=，即可求解（2）设出点Q的坐标，代入点到直线的距离公式，求出函数的最小值即为距离的最小值【详解】（1）把极坐标系下的点(3,)2Pπ化为直角坐标得点(0,3).因为点P的直角坐标满足直线l的方程260x y-+=，所以点P在直线l上.（2）因为点Q在曲线C上，可设点Q的坐标为(2cos)αα，从而点Q到直线l的距离为d==由此得，当cos(+)13πα=-时，d【点睛】本题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及利用极坐标的定义求最值问题，属于基础题24.设函数f （x ）＝｜x +3｜+｜2x ﹣a ｜﹣1，a ∈R ．（Ⅰ）若不等式f （x ）+｜x +3｜≥3对任意的x ∈R 成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a ＞﹣6时，函数φ（x ）＝2（｜x +3｜﹣x ）﹣f （x ）有三个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）102a a ≤-≥-或； （Ⅱ）1<a <8 . 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用已知条件，得()min2624x x a++-≥，进而求解即可（Ⅱ）分类讨论去绝对值，得到相关得分段函数，进而求解即可 【详解】（Ⅰ）2624x x a ++-≥原式即恒成立， 即()min2624x x a++-≥，262(26)(2)6x x a x x a a ++-≥+--=+，所以，64a +≥， 解得102a a ≤-≥-或（Ⅱ）x 2a,(x 3),a x x 32x a 2x 1x 4a,(3x ),2a 3x 4a,(x ),2φ⎧⎪---<-⎪⎪=+---+=+--≤≤⎨⎪⎪-++>⎪⎩（）有三个零点， 即a -302φφ⎛⎫⎪⎝⎭（）＜0且＞，解得1<a <8 . 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，不等式恒成立问题和函数的零点问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题25.设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：a＞0且﹣2＜＜﹣1．【答案】见解析【解析】试题分析：先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和的范围即可．证明：f（0）＞0，∴c＞0，又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①而a+b+c=0即b=﹣a﹣c代入①式，∴3a﹣2a﹣2c+c＞0，即a﹣c＞0，∴a＞c．∴a＞c＞0．又∵a+b=﹣c＜0，∴a+b＜0．∴1+＜0，∴＜﹣1．又c=﹣a﹣b，代入①式得，3a+2b﹣a﹣b＞0，∴2a+b＞0，∴2+＞0，∴＞﹣2．故﹣2＜＜﹣1．点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．26.某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据年份编号x 1 2 3 4 5年份2014 2015 2016 2017 2018加装户数y 34 95 124 181 216（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…（x n ，y n ），其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为，1221ˆˆˆ,5ni ii nii x y nxybabx xnx ==-==--∑∑ 【答案】（Ⅰ）265户； （Ⅱ）（1）36户；（2）199元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用线性回归方程得定义，分别求出相关数据，即可求解（Ⅱ）（i ）首先判断出随机变量符合二项分布，然后利用二项分布的数学期望公式进行求解； （ii ）由频率分布直方图，结合样本估计总体的思想进行求解即可 【详解】（Ⅰ）1(12345)3,5x =++++= 1(3495124181216)130,5y =++++=122221(2)(96)(1)(35)051286450ˆ45,(2)(1)01410ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯-+-⨯-+++⨯====-+-+++-∑∑ ˆˆ130453 5.ay bx =-=-⨯=- 45 5.y x =-所以线性回归方程为$6,y265,2019x ==令.年该小区有26到5户居，民有以意向所加得截底装暖气止 （Ⅱ）（i ）由频率分布直方图知，拟报竞价不低于180元的频率为（0.09+0.07+0.02）×4=0.72， 0.72×50=36，所以拟报竞价不低于180元的户数为36户. （ii ）由题意知 1205=2169所以按竞价由高到低排列， 位于前59的居民可以竞拍成功，设竞拍成功的最低报价为x （十元）， (22)50.094(0.070.02)4.49x -⨯⨯++⨯= 19.83,199x ≈解得：所以竞拍成功的最低报价为元.【点睛】本题考查概率与统计的知识，主要考查利用图表分析数据、通过数据进行估计或决策的意识，属于中档题。

2018-2019学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除2．（5分）若复数z满足iz＝2+4i，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（4，2）B．（4，﹣2）C．（2，4）D．（2，﹣4）3．（5分）曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．14．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R＝（）A．B．C．D．5．（5分）在的展开式中，含项的系数为（）A．﹣60B．160C．60D．646．（5分）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A．48种B．37种C．18种D．16种7．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．B．C．D．28．（5分）停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种B．种C．种D．种9．（5分）已知曲线y＝1﹣x2，x轴与y轴在第一象限所围成的图形面积为S，曲线y＝1﹣x2，曲线y＝3x2与y轴所围成的图形面积为S1，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）＝+ax2﹣2x+1在x∈（1，2）内存在极值点，则（）A．﹣B．a或aC．﹣D．a或a11．（5分）在二项式（+）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）＝，f′（x2）＝，则称函数y＝f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）＝x3﹣x2是区间[0，t]上的双中值函数，则实数t的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是．14．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X≤0）＝0.16，则P（2＜X ≤4）＝．15．（5分）已知函数，当x2＞x1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知，则f（x）的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且a2﹣（i﹣1）a+4b+3i＝0．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若是实数，求实数m的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：且a n＞0，n∈N*．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，并猜想{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明{a n}的通项公式．19．（12分）设f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．（Ⅰ）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（Ⅱ）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．（1）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．参考公式：（c ax+b）′＝ae ax+b（a、b为常数）22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R），（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+…+＜（n∈N，n＞1）．2018-2019学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．2．【解答】解：复数z满足iz＝2+4i，则有z＝＝＝4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选：B．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝e x﹣1+xe x﹣1＝（1+x）e x﹣1，当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．4．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R＝故选：C．【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．5．【解答】解：＝，由3﹣r＝﹣1，可得r＝4．∴含项的系数为＝60．故选：C．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．6．【解答】解：根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4＝64种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3＝27种方案；则符合条件的有64﹣27＝37种，故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3×4×4＝48种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．7．【解答】解：∵＝为纯虚数，∴，即a＝．∴＝，则|z|＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的请求法，是基础题．8．【解答】解：由题意知有5辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起则可以把4个空车位看成是一个元素，这个元素与另外5辆车共有6个元素进行全排列，共有A66种结果，故选：D．【点评】本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是四个相连的车位看做一个元素，再同其他的车进行全排列，车是有区别的．9．【解答】解：由y＝1﹣x2 ①，及y＝3x2 ②，联立得交点坐标为（，）．故阴影面积为＝＝（x﹣）|＝．故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题．10．【解答】解：由题意得：f′（x）＝x2+2ax﹣2在（1，2）内存在变号零点，分离参数a＝﹣+，y＝﹣+在（1，2）内连续且单调递减，值域是（﹣，），故y＝a和y＝﹣+有变号交点的范围是（﹣，），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．11．【解答】解：∵二项式（+）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，∴二项式的二项展开式共有9项，则n＝8．其通项为T k+1＝•（）8﹣k•（）k＝••，当r＝0，4，8时，项为有理项．展开式的9项全排列共有种，有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有•种．∴有理项都互不相邻的概率为＝．故选：D．【点评】本题考查排列组合及简单计数问题以及二项式系数的性质，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，属于中档题．12．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣x2，∴，∵函数f（x）＝x3﹣x2是区间[0，t]上的双中值函数，∴区间[0，t]上存在x1，x2（0＜x1＜x2＜t），满足f′（x1）＝f′（x2）＝，即方程3x2﹣x＝t2﹣t在区间[0，t]有两个解，令g（x）＝，对称轴x＝﹣＝＞0，则，解得．∴实数t的取值范围是（）．故选：A．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：法①设事件A表示第一次出现黑球，事件B表示第二次出现黑球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是＝P（B|A）＝＝＝＝．法②事件A发生，则取出了一个黑球，还剩1个黑球3个白球，此时事件B发生的概率为．故填：．【点评】本题考查了条件概率，可以用条件概率公式求，也可以缩小基本事件空间来求，属于基础题．14．【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，σ2），故P（X≤0）＝P（X≥4）＝0.16，所以P（2＜X≤4）＝＝＝0.34．故填：0.34．【点评】本题考查了正态分布的对称性，属于基础题．15．【解答】解：函数，可得g（x）＝xf（x）＝e x﹣ax2．x∈（0，+∞）时，当x2＞x1时，不等式恒成立⇔x∈（0，+∞）时，当x2＞x1时，不等式x1f（x1）＜x2f（x2）⇔g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∴g′（x）＝e x﹣ax≥0，可得a≤，x∈（0，+∞）．令h（x）＝，x∈（0，+∞）．h′（x）＝，可得x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值．∴a≤h（1）＝e．∴实数a的取值范围为（﹣∞，e]．故答案为：（﹣∞，e]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【解答】解：f（x）＝sin x+sin2x＝sin x（1+cos x）＝4sin cos3，又|4sin cos3|＝4≤＝，即﹣≤4sin cos3，所以﹣≤sin x+sin2x，故答案为：﹣．【点评】本题考查了三角恒等变换及四项均值不等式，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣（i﹣1）a+4b+3i＝0，得（a2+a+4b）+（﹣a+3）i＝0，则解之得a＝3，b＝﹣3．∴z＝3﹣3i；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＝3﹣3i+＝3﹣3i+＝，∵是实数，∴，即m＝18．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．18．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，，解得，又a n＞0，∴．当n＝2时，，解得，又a n＞0，∴a2＝．当n＝3时，，解得，又a n＞0，∴．猜想．……（4分）（Ⅱ）证明：1°当n＝1时，由（Ⅰ）可知a1＝成立．2°假设n＝k（k∈N*）时，成立，，∴，∵a k+1＞0，∴．所以当n＝k+1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．………………（12分）【点评】本题考查数学归纳法的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．19．【解答】解：（1）因f（x）＝a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）＝2a（x﹣5）+，（x＞0），令x＝1，得f（1）＝16a，f′（1）＝6﹣8a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a＝（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a＝8a﹣6，∴a＝．（2）由（1）得f（x）＝（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）＝（x﹣5）+＝，令f′（x）＝0，得x＝2或x＝3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x＝2时取得极大值f（2）＝+6ln2，在x＝3时取得极小值f（3）＝2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．20．【解答】解：（Ⅰ）设X为射手3次射击击中目标的总次数，则X～B（3，）．故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣＝，所以所求概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，10，20，25，40，用A i（i＝1，2，3）表示事件“第i次击中目标”，则P（ξ＝0）＝P（X＝0）＝＝，P（ξ＝10）＝P（X＝1）＝＝，，，P （ξ＝40）＝P（X＝3）＝．故ξ的分布列是：．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了二项分布，离散型随机变量的概率分布列，属于中档题．21．【解答】解：（1）由题意，该产品一年的销售量为y＝将x＝40，y＝500代入得k＝500e40故该产品一年的销售量为y＝500e40﹣x…2分故L（x）＝（x﹣30﹣a）y＝500（x﹣30﹣a）e40﹣x（35≤x≤41）…4分（2）由（1）得，L′（x）＝500[e40﹣x﹣（x﹣30﹣a）e40﹣x]＝500e40﹣x（31+a﹣x），（35≤x≤41）…5分①当2≤a≤4时，L′（x）≤500e40﹣x（31+4﹣35）＝0，当且仅当a＝4，x＝35时取等号故L（x）在[35，41]上单调递减故L（x）的最大值为L（35）＝500（5﹣a）e5…8分②当4＜a≤5时，L′（x）＞0⇔35≤x＜31+a，L′（x）＜0⇔31+a＜x≤41故L（x）在[35，31+a]上单调递增，在[31+a，41]上单调递减故L（x）的最大值为L（31+a）＝500e9﹣a…8分综上所述，当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500（5﹣a）e5万元；当4＜a≤5时，每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9﹣a万元；【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中求出函数的解析式是解答（1）的关键，利用导数法分析函数的单调性是解答（2）的关键．22．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）∴f′（x）＝﹣k，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，令f′（x）＝0，得x＝当f′（x）＞0，即1＜x＜时，函数为增函数，当f′（x）＜0，即x＞时，函数为减函数，综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，函数f（x）在（1，）为增函数，在（，+∞）为减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，当k＞0时，函数f（x）在（1，）为增函数，在（，+∞）为减函数．当x＝时，f（x）取最大值，f（）＝ln≤0∴k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞）（Ⅲ）由（Ⅱ）知k＝1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2∴＜1﹣，取x＝3，4，5…n，n+1累加得，∵＝＝＜＝∴+…+＜+++…+＝，（n∈N，n＞1）．【点评】本题考查利用导数求函数的极值，函数的恒成立问题，不等式的证明，体现了分类讨论的数学思想，不等式的放缩，是解题的难点．。

河南省一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷（文科）有解析注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知（i是虚数单位），则复数z的实部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．22．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（0，1）3．F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）A．B．C．D．4．下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数R2为（）A．0.27 B．0.85 C．0.96 D．0.55．若如图所示框图所给的程序运行结果为S=41，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k≥6 B．k≥5 C．k≤6 D．k≤56．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小8．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数y=（2a﹣1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪（，+∞）B．（﹣∞，] C．（，+∞）D．（，]9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）10．设函数f（x）=x2+3x﹣2，则=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣1011．已知函数f（x）=（e x﹣1﹣1）（x﹣1），则（）A．当x＜0，有极大值为2﹣ B．当x＜0，有极小值为2﹣C．当x＞0，有极大值为0 D．当x＞0，有极小值为012．已知函数f（x）=2x﹣e2x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1﹣e2]∪[e2﹣1，+∞）B．[1﹣e2，e2﹣1]C．（﹣∞，e﹣2﹣1]∪[1﹣e﹣2，+∞）D．[e﹣2﹣1，1﹣e﹣2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点与原点的距离是．14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．15．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为．16．给定下列命题：①“若m＞0，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．③“矩形的对角线相等”的逆命题；④全称命题“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+3≤0”其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．求双曲线16x2﹣9y2=﹣144的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．已知函数f（x）=x3﹣3x+1（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．19．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．20．禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为检验某种药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行对比试验，得到如下丢失数据的列联表：（其中c，d，M，N表示丢失的数据）．工作人员曾记得3c=d．（1）求出列联表中数据c，d，M，N的值；（2）能否在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效？下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）21．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．22．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知（i是虚数单位），则复数z的实部是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】由条件利用两个复数代数形式的除法法则化简复数z，可得复数z的实部．【解答】解： ===i，则复数z的实部是0，故选：A2．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（0，1）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0），得到抛物线y2=4x的2p=4， =1，所以焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线的方程是y2=4x，∴2p=4，得=1，∵抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0）∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．故选C3．F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】由题意可知△MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，故方程可求．【解答】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b2=3，∴椭圆方程为，故选A．4．下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数R2为（）A．0.27 B．0.85 C．0.96 D．0.5【考点】BP：回归分析．【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.97是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.96是相关指数最大的值，故选C．5．若如图所示框图所给的程序运行结果为S=41，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k≥6 B．k≥5 C．k≤6 D．k≤5【考点】EF：程序框图．【分析】根据所给的程序运行结果为S=41，执行循环语句，当计算结果S为28时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【解答】解：由题意可知输出结果为S=41，第1次循环，S=11，K=9，第2次循环，S=20，K=8，第3次循环，S=28，K=7，第4次循环，S=35，K=6，第5次循环，S=41，K=5，此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k≥6．故选A．6．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选B．7．下列说法错误的是（）A．回归直线过样本点的中心（，）B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C．在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D．对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小【考点】BS：相关系数．【分析】利用线性回归的有关知识即可判断出．【解答】解：A．回归直线过样本点的中心（，），正确；B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确；C．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确；D．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确．综上可知：只有D不正确．故选：D．8．已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数y=（2a﹣1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪（，+∞）B．（﹣∞，] C．（，+∞）D．（，]【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系先求出“p且q”为真命题的范围即可求“p且q”为假命题的范围．【解答】解：若函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=≤1，即a≤，即p：a≤，若函数y=（2a﹣1）x为减函数，则 0＜2a﹣1＜1，得＜a＜1，即q：＜a＜1，若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，则，即＜a≤，则若“p且q”为假命题，则a≤或a＞，故选：A9．设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，导函数等于﹣1求得点（x0，f（x0））的横坐标，进一步求得f（x0）的值，可得结论．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．10．设函数f（x）=x2+3x﹣2，则=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】根据导数的定义和导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=x2+3x﹣2，∴f′（x）=2x+3，∴f′（1）=2+3=5，∴=2=2f′（1）=10，故选：C．11．已知函数f（x）=（e x﹣1﹣1）（x﹣1），则（）A．当x＜0，有极大值为2﹣ B．当x＜0，有极小值为2﹣C．当x＞0，有极大值为0 D．当x＞0，有极小值为0【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．【解答】解：f（x）=（e x﹣1﹣1）（x﹣1），∴f′（x）=xe x﹣1﹣1，x＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极小值=f（1）=0，故选：D．12．已知函数f（x）=2x﹣e2x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x0∈[﹣1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，1﹣e2]∪[e2﹣1，+∞）B．[1﹣e2，e2﹣1]C．（﹣∞，e﹣2﹣1]∪[1﹣e﹣2，+∞）D．[e﹣2﹣1，1﹣e﹣2]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】利用导数求出函数f（x）的值域A，分类讨论m求得函数g（x）的值域B，把问题转化为A⊆B列不等式组求解．【解答】解：∵f′（x）=2﹣2e2x，∴f′（x）≥0在区间[﹣1，0]上恒成立，f（x）为增函数；f′（x）≤0在区间[0，1]上恒成立，f（x）为减函数．∵f（﹣1）﹣f（1）=（﹣2﹣e﹣2）﹣（2﹣e2）=e2﹣e﹣2﹣4＞0，∴f（﹣1）＞f（1），又f（0）=﹣1，则函数f（x）在区间[﹣1，1]上的值域为A=[2﹣e2，﹣1]．当m＞0时，函数g（x）在区间[﹣1，1]上的值域为B=[﹣m+1，m+1]，依题意，有A⊆B，则，解得m≥e2﹣1；当m=0时，函数g（x）在区间[﹣1，1]上的值域为B={1}，不符合题意；当m＜0时，函数g（x）在区间[﹣1，1]上的值域为B=[m+1，﹣m+1]，依题意，有A⊆B，则，解得m≤1﹣e2．综上，实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣e2]∪[e2﹣1，+∞）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点与原点的距离是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由两点间的距离公式求解．【解答】解：∵ =，∴复数对应的点的坐标为（1，﹣1），与原点的距离是．故答案为：．14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣2 ．【考点】K7：抛物线的标准方程．【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣215．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：S=×（2﹣）×4=故答案为：．16．给定下列命题：①“若m＞0，则方程x2+2x﹣m=0有实数根”的逆否命题；②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．③“矩形的对角线相等”的逆命题；④全称命题“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+3≤0”其中真命题的序号是①②④．【考点】2K：命题的真假判断与应用；25：四种命题间的逆否关系；2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①只需求△，②由原命题和逆否命题同真假，可判断逆否命题的真假，③④按要求写出命题再进行判断．【解答】解：①△=4+4m＞0，所以原命题正确，根据其逆否命题与原命题互为逆否命题，真假相同故其逆否命题是真命题，因此①正确；②x2﹣3x+2=0的两个实根是1或2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故②正确；③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④：“∀x∈R，x2+x+3＞0”的否定是“∃x∈R，有x2+x+3≤0”，是真命题；故答案为①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．求双曲线16x2﹣9y2=﹣144的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线16x2﹣9y2=﹣144可化为，可得a=4，b=3，c=5，从而可求双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．【解答】解：双曲线16x2﹣9y2=﹣144可化为，所以a=4，b=3，c=5，所以，实轴长为8，焦点坐标为（0，5）和（0，﹣5），离心率e==，渐近线方程为y=±=．18．已知函数f（x）=x3﹣3x+1（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），求出方程f′（x）=0的根，根据二次函数的图象求出f′（x）＜0、f′（x）＞0的解集，由导数与函数单调性关系求出f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）由导数的几何意义求出f′（0）：切线的斜率，由解析式求出f（0）的值，根据点斜式求出曲线在点（0，f（0））处的切线方程，再化为一般式方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得x=±1，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣1，1）上递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上递增，当x=﹣1时取到极大值是f（﹣1）=3，当x=1取到极小值f（1）=﹣1．…（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣3得，f′（0）=﹣3，∵f（0）=1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程是y﹣1=﹣3x即3x+y﹣1=0．…19．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】27：充分条件；1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．20．禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为检验某种药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行对比试验，得到如下丢失数据的列联表：（其中c，d，M，N表示丢失的数据）．工作人员曾记得3c=d．（1）求出列联表中数据c，d，M，N的值；（2）能否在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效？下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）由题意列出方程组，即可求得c和d的值及M和N的值；（2）根据列联表中的数据代入求观测值的公式，做出观测值，把所得的观测值K2同参考数据进行比较，当K2＞7.879，即可判断在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效．【解答】解：（1）由题意可知：，解得；M=25+10=35，N=15+30=45；数据c，d，M，N的值分别为：10，30，35，45；（2）K2==11.43＞7.879，∴在犯错误率不超过0.005的前提下认为药物有效．21．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：2b=2，b=，椭圆的离心率e==，则a=2c，代入a2=b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，则，令，则t≥1，由函数的单调性，即可求得△F1AB的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，…解得：，…故椭圆的标准方程为；…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），…由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理可知：，…又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R．则，…令，则t≥1，则，令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有，所以，即当t=1，即m=0时，最大，最大值为3．…22．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求b 的值；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y0）处存在公切线，分别求出导数，令f′（x0）=g′（x0），得x0=，讨论a，分a≤0，a＞0，令f（）=g（），研究方程解的个数，可构造函数，运用导数求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣﹣blnx，∴f′（x）=1+﹣，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′（1）=0，即1+1﹣b=0，∴b=2；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y0）处存在公切线，由f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，得f′（x）=，g′（x）=2x，由f′（x0）=g′（x0），得=2x0，即2x03﹣ax02+2x0﹣a=0，即（x02+1）（2x0﹣a）=0，则x0=，又函数的定义域为（0，+∞），当a≤0时，x0=≤0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y0）处不存在公切线；当a＞0时，令f（）=g（），﹣2ln﹣2=，即=ln，令h（x）=﹣ln（x＞0），h′（x）=x﹣=，则h（x）在（0，2）递减，（2，+∞）递增．且h（2）=﹣＜0，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，∴方程=ln在（0，+∞）解的个数为2．综上：当a≤0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a＞0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个．。

2019-2020学年郑州市高二下学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z =−1−2i(1−i)2，则|z|=( )A. 54B. √52C. 12D. 322. 已知集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|−1<x <1}，则A ∩B =( )A. {x|0≤x <1}B. {x|−1<x ≤0}C. {x|−1<x <1}D. {x|−1<x ≤2}3. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论：①； ②；③； ④当且仅当“”整数属于同一“类”．其中，正确结论的个数为．A.B.C. D.4. 设a =e 1e ,b =ln √2−13ln3,c =π13，则下列正确的是( )A. a >c >bB. c >a >bC. c >b >aD. a >b >c5. 在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )附：回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2,a ̂=y −−b ̂x−，其中x −,y −为样本平均值．A. y ̂=x +1B. y ̂=x +2C. y ̂=2x +1D. y ̂=x −16. 下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在(2500,3000)(元)月收入段应抽出的人数为()A. 25B. 30C. 35D. 408.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7−3t+(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()．A. 1+25ln5B. 8+25lnC. 4+25ln5D. 4+50ln29.统计某校1000名学生的物理测试成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是()A. 20%B. 25%C. 60%D. 80%10.执行如图所示的程序框图，若输入的k值为9，则输出的结果是A. −√22B. 0C. √22D. 111.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，其中焦点F2与抛物线y2=2px的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点F2，则椭圆的离心率为()A. √22B. √2−1C. 3−2√2D. √3−112.已知函数f(x)=x−lnx+m(m∈R)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，则下列选项中不正确的是()A. m<−1B. x1+x2≤2C. 0<x1<1D. e x1−x2=x1x2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=cosθ2+sinθ(θ∈R)的值域为______ ．14. 已知定义域为的函数f(x)满足f(1)=1，f ′(x)是f(x)的导函数，∀x ∈R ，f ′(x)<12，则不等式f(x)<x2+12的解集为_______．15. 已知函数y =f(x)在R 上为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2−2x ，则当x <0时，f(x)的解析式是______．16. 设α、β表示平面，l 表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实①l ⊥α，②l//β，③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是______ .(要求写出所有真命题)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知复数z =a 2−7a +6+(a 2−5a −6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．18. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+2t (t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ−5=0． (1)求⊙C 的参数方程； (2)求直线l 被⊙C 截得的弦长．19.近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为120次．(Ⅰ)先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(Ⅱ)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：(其中n=a+b+c+d)K2的观测值：k=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)关于商品和服务评价的2×2列联表：−|x|．20.已知函数f(x)=1x2(Ⅰ)求函数f(x)的定义域，试判断函数的奇偶性、对称性、单调性，并给予证明；(Ⅱ)求函数的零点；(Ⅲ)当x∈(0,2]时，求函数的值域．x3−ax2+3x+b(a,b∈R)．21.已知函数f(x)=13(1)当a=2，b=0时，求f(x)在[0,3]上的值域．(2)对任意的b，函数g(x)=|f(x)|−2的零点不超过4个，求a的取值范围．322.我国从2016年1月1日起统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：(1)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且视频率为概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望和方差；(2)根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z =−1−2i(1−i)2=−1−2i −2i=1+2i 2i=(1+2i)(−i)−2i 2=2−i 2=1−12i ，则|z|=√12+(−12)2=√52． 故选：B ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：集合B ={x|−1<x <1}，A ={x|x 2−2x ≤0={x|0≤x ≤2},则A ∩B ={x|0≤x ≤2}∩{x|−1<x <1}={x|0≤x <1} 故选A ．由题意求出集合A ，然后直接求出交集即可．本题是基础题，考查不等式的求法，集合的基本运算，送分题．3.答案：C解析：试题分析：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对； ②∵−3=5×(−1)+2，∴对−3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对； ④∵整数a ，b 属于同一“类”，∴整数a ，b 被5除的余数相同，从而a −b 被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a −b ∈[0]”.故④对． ∴正确结论的个数是3.故选C .. 考点：新定义．4.答案：B解析：解：∵a =e 1e ,b =ln √2−13ln3,c =π13，∴a =e 1e>e 0=1，b =ln √2−ln √33=ln(√2√33)<ln1=0，c =π13>e 1e =a >1， ∴c >a >b ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：解：∵x −=14×(1+2+3+4)=2.5，y −=14×(2+3+4+5)=3.5， ∴这组数据的样本中心点是(2.5,3.5)把样本中心点代入四个选项中，只有y ̂=x +1成立， 故选：A ．本题是选择题，根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心．本题是选择题，可以利用验证法，当然可以利用已知条件真假求解，但是计算量比较大．6.答案：B解析：解：对于①，令y =x −sinx ，则y′=1−cosx ≥0，则有函数y =x −sinx 在R 上递增，则当x >0时，x −sinx >0−0=0，则x >sinx 恒成立．则①对；对于②，命题“若x −sinx =0，则x =0”的逆命题为“若x =0，则x −sinx =0”，则②错； 对于③，命题p ∨q 为真，则p ，q 中至少有一个为真，不能推出p ∧q 为真，反之成立，则应为必要不充分条件，则③错；对于④，命题“∀x ∈R ，x −lnx >0”的否定是综上可得，其中正确的叙述共有2个．故选B．7.答案：A解析：本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率直方图的意义，先求出在(2500,3000)(元)月收入段的频率，再计算在(2500,3000)(元)月收入段应抽出的人数．解：∵在(2500,3000)(元)月收入段的频率为0.0005×500，∴抽出的人数为：0.0005×500×100=25，故选A．8.答案：C解析：令v(t)=0得t=4或t=−(舍去)，∴汽车行驶距离s==[7t−t2+25ln(1+t)]|04=28−24+25ln5=4+25ln5．9.答案：D解析：解：及格的频率为(0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8=80%故选D．10.答案：C解析：模拟程序的运行，可得程序框图是计算并输出T=cosπ4+cos2π4+⋯+cos9π4的值，根据特殊角的三角函数值即可计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解：模拟程序的运行，可得程序框图是计算并输出T=cosπ4+cos2π4+⋯+cos9π4的值．由于T=cosπ4+cos2π4+⋯+cos9π4=√22+0−√22−1−√22+0+√22+1+√22=√22．故选：C．11.答案：B解析：解：设两个曲线的交点为P，Q，如图所示，由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q关于x轴对称，由题意可得PF2⊥x轴，所以x P=p2，代入抛物线的方程可得y P=p，即P(p2,p)，又因为椭圆的焦点F2与抛物线y2=2px的焦点重合，所以c=p2，即P(c,2c)，x=c代入椭圆的方程可得y P=b2a，所以b2a=2c，整理可得a2−c2−2ac=0，即e2+2e−1=0所以可得e=√2−1，故选：B．由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q，F2三点共线，由焦点相同可得p，c之间的关系，x=c分别代入椭圆，抛物线的方程可得a，c的关系，进而曲线离心率．本题考查椭圆及抛物线的性质，属于中档题．12.答案：B解析：解：f′(x)=1−1x =x−1x，令f′(x)=0，解得x=1，故函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，如图，故f(x)min=f(1)=1+m<0，即m<−1，并且0<x1<1，故A，C正确，由于x1，x2为f(x)的零点，故有，x1−lnx1+m=0，①x2−lnx2+m=0，②两式相减得，x1−x2=ln x1x2，即e x1−x2=x1x2，故D正确，由于当m<−1时，0<x1<1，x2>1，1<2−x1<2，由①②可知，m=lnx1−x1=lnx2−x2，令g(x)=lnx−x，则g(x1)=g(x2)，g′(x)=1x −1=1−xx，所以在(0,1)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，在(1,+∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，g(x2)−g(2−x1)=g(x1)−g(2−x1)=lnx1−x1−ln(2−x1)+(2−x1)，0<x1<1，令ℎ(x)=lnx−x−ln(2−x)+2−x，0<x<1，ℎ′(x)=1x −1+12−x−1=2−x+x−2x(2−x)x(2−x)=2x2−4x+2x(2−x)=2(x−1)2x(2−x)<0，所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以g(x1)>g(2−x1)，又因为g(x)在(0,1)上单调递增，且g(x2)=g(x1)，所以x2>2−x1，即x1+x2>2，故B不正确．故选：B．求导，分析单调性得f(x)min=f(1)=1+m<0，得m<−1，并且0<x1<1，故A，C正确，由于x1，x2为f(x)的零点，故有，x1−lnx1+m=0①，x2−lnx2+m=0②，两式相减得，x1−x2=ln x1x2，得e x1−x2=x1x2，故D正确；由前面可知0<x1<1，x2>1，1<2−x1<2，由①②可知，m=lnx1−x1=lnx2−x2，令g(x)=lnx−x，则g(x1)=g(x2)，求导，得单调性g(x)单调性，g(x2)−g(2−x1)=g(x1)−g(2−x1)= lnx1−x1−ln(2−x1)+(2−x1)，0<x1<1，令ℎ(x)=lnx−x−ln(2−x)+2−x，0<x<1，求导，分析单调性，最值得ℎ(x)>=0，g(x1)>g(2−x1)结合g(x)在(0,1)上单调递增，进而得出x1+ x2>2，可判断B．本题考查导数的综合应用，不等式的性质，属于中档题．13.答案：[−√33,√3 3]解析：解：∵y=cosθ2+sinθ，∴ysinx−cosx=−2y，∴√y2+1sin(x−φ)=−2y，∴sin(x−φ)=2．∴−1≤2≤1．即4y 2y2+1≤1，解得−√33≤y≤√33．故答案为[−√33,√3 3].将式子变形为ysinx−cosx=−2y，利用辅助角公式得出sin(x−φ)=2.出不等式解出y的范围．本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．14.答案：(1,+∞)解析：本题考查了导函数的运用，对于抽象函数不等式往往利用函数的单调性处理，在判断单调性时，一般利用导数法判断．解：记函数ℎ(x)=f(x)−x2−12，则ℎ′(x)=f′(x)−12，∵∀x∈R，f′(x)<12，∴ℎ′(x)<0对x∈R都成立，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，又ℎ(1)=f(1)−12−12=0，∴f(x)<x2+12⇔ℎ(x)<0=ℎ(1)，∴x>1，故不等式f(x)<x2+12的解集为(1,+∞)．15.答案：f(x)=x 2+2x解析：解：当x <0时，−x >0， ∴f(−x)=x 2+2x ， 又f(x)是偶函数，∴当x <0时，f(x)=f(−x)=x 2+2x ． 故答案为：f(x)=x 2+2x ．根据偶函数的性质f(x)=f(−x)即可得出答案． 本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．16.答案：①②⇒③，①③⇒②解析：解：∵α、β表示平面，l 表示不在α内也不在β内的直线， ①l ⊥α，②l//β，③α⊥β，∴以①②作为条件，③作为结论，得到命题：{l ⊥αl//β⇒α⊥β，是真命题；以①③作为条件，②作为结论，得到命题：{l ⊥αα⊥β⇒l//β，是真命题； 以②③作为条件，①作为结论，得到命题：{l//αα⊥β⇒l ⊥α，是假命题． 故答案为：①②⇒③，①③⇒②．以①②作为条件，③作为结论，得到命题：{l ⊥αl//β⇒α⊥β，是真命题；以①③作为条件，②作为结论，得到命题：{l ⊥αα⊥β⇒l//β，是真命题；以②③作为条件，①作为结论，得到命题：{l//αα⊥β⇒l ⊥α，是假命题．本题考查平面的性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．17.答案：解：(1)∵z 为实数，∴虚部a 2−5a −6=0，解得a =6或−1．(2)∵z 为虚数，∴虚部a 2−5a −6≠0，解得a ≠6，且a ≠−1．(3)∵z 为纯虚数，∴{a 2−7a +6=0a 2−5a −6≠0，解得a =1． 综上可知：(1)当a =−1或6时，z 为实数； (2)当a ≠6，且a ≠−1时，z 为虚数； (3)当a =1时，z 为纯虚数．解析：利用实数、虚数、纯虚数的定义即可得出． 正确理解实数、虚数、纯虚数的定义是解题的关键．18.答案：解：(1)∵⊙C 的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ−5=0，∴⊙C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y −5=0，即x 2+(y −2)2=9， ∴⊙C 的参数方程为{x =3cosθy =2+3sinθ(θ为参数)．(2)∵直线l 的参数方程为{x =2+ty =1+2t(t 为参数)，∴直线l 的普通方程为2x −y −3=0，∴圆心到直线l 的距离d =√5=√5，∴直线l 被⊙C 截得的弦长为2√r 2−d 2=2√32−5=4．解析：(1)直接把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离d ，再利用勾股定理求出弦长．本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属基础题．19.答案：40 160 20 40 140 60解析：解：(Ι)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：…(2分)k =200×(120×20−20×40)2140×60×40×160≈9.524>7.897…(4分)故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关．….…(5分) (Ⅱ)①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.6，…(6分) X 的取值可以是0，1，2，3．其中P(X =0)=0.43=8125； P(X =1)=C 31⋅0.6⋅0.42=36125；…..(7分) P(X =2)=C 32⋅0.62⋅0.4=54125； P(X =3)=C 33⋅0.63=27125.…..(9分) X 的分布列为：…(10分)②由于X～B(3,0.6)，则E(X)=3×0.6=1.8，D(X)=3×0.4×0.6=0.72…(12分)．(Ⅰ)由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；(Ⅱ)①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.6，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B(3,0.6).求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示)；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)要使函数有意义，则x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=1x2−|−x=1x2−|x|=f(x)|则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴的对称．∵函数f(x)是偶函数，∴当x>0时，f(x)=1x2−x，设0<x1<x2，f(x1)−f(x2)=1x12−x1−1x22+x2=x22−x12x12x22+x2−x1=(x2−x1)(x1+x2+x12x22)x12x22∵0<x1<x2，∴x2−x1>0，∴f(x1)−f(x2)>0，得f(x1)>f(x2)，即f(x)在(0,+∞)上为减函数，则在(−∞,0)上为增函数．(Ⅱ)当x>0时，由f(x)=0得1x2=x.即x3=1，得x=1，由函数是偶函数，得x=−1也是函数的零点，即f(x)的零点为x=1或x=−1．(Ⅲ)当x∈(0,2]时，f(x)为减函数，∴f(x)的最小值为f(2)=14−2=−74，即函数的值域为[−74,+∞)．解析：(Ⅰ)根据函数定义域，奇偶性，对称性单调性的性质和定义分别进行判断即可．(Ⅱ)根据函数零点的定义转化求f(x)=0即可(Ⅲ)结合函数单调性和值域关系进行求解即可．本题主要考查函数性质的考查，结合函数定义域，奇偶性，单调性以及值域的性质是解决本题的关键．21.答案：解：(Ⅰ)当a=2，b=0时，f(x)=13x3−2x2+3x，求导，f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故函数f(x)在(0,1)上单调递增，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，故函数f(x)在(1,3)上单调递减，由f(0)=f(3)=0，f(1)=43，∴f(x)在[0,3]上的值域为[0,43]；(Ⅱ)由f′(x)=x2−2ax+3，则△=4a2−12，①当△≤0，即a2≤3时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，满足题意，②当△>0，即a2>3时，方程f′(x)=0有两根，设两根为x1，x2，且x1<x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，由题意可知丨f(x1)−f(x2)丨≤43，∴丨x13−x233−a(x12−x22)+3(x1−x2)丨≤43，化简得：43(a2−3) 32≤43，解得：3<a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：−2≤a≤2．a的取值范围[−2.2]．解析：(Ⅰ)当a=2，b=0时，求得f(x)，求导，利用导数求得f(x)单调区间，根据函数的单调性即可求得[0,3]上的值域；(Ⅱ)由f′(x)=x2−2ax+3，则△=4a2−12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及值域，考查分类讨论思想，属于中档题．22.答案：解：(1)由已知得该市70后“生二胎”的概率为3045=23，且X ～B(3,23)，P(X =0)=C 30(13)3=127，P(X =1)=C 31(23)(13)2=29，P(X =2)=C 32(23)2(13)=49， P(X =3)=C 33(23)3=827，其分布列如下：∴E(X)=3×23=2； (2)假设生二胎与年龄无关， K 2=100(30×10−45×15)275×25×45×55=10033≈3.030>2.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．解析：(1)由已知得该市70后“生二胎”的概率为23，且X ～B(3,23)，由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望．(2)求出K 2=3.030>2.706，从而有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查独立性检验的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．。

2018-2019学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（）A. a、b都能被5 整除B. a、b都不能被5 整除C. a、b不都能被5 整除D. a不能被5 整除2.若复数z满足iz=2+4i，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A. B. C. D.3.曲线y=xe x-1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A. 2eB. eC. 2D. 14.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R=（）A. B. C. D.5.在的展开式中，含项的系数为（）A. B. 160 C. 60 D. 646.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A. 48种B. 37种C. 18种D. 16种7.已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数的模等于（）A. B. C. D. 28.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A. 种B. 种C. 种D. 种9.已知曲线y=1-x2，x轴与y轴在第一象限所围成的图形面积为S，曲线y=1-x2，曲线y=3x2与y轴所围成的图形面积为S1，则的值为（）A.B.C.D.10.函数f（x）=+ax2-2x+1在x∈（1，2）内存在极值点，则（）A. B. 或 C. D. 或11.在二项式（+）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（）A. B. C. D.12.定义：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=，则称函数y=f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）=x3-x2是区间[0，t]上的双中值函数，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是______．14.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X≤0）=0.16，则P（2＜X≤4）=______．15.已知函数，∈，，当x2＞x1时，不等式＜恒成立，则实数a的取值范围为______．16.已知，则f（x）的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z=a+bi（a，b∈R），且a2-（i-1）a+4b+3i=0．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若是实数，求实数m的值．18.已知数列{a n}的前n项和S n满足：且a n＞0，n∈N*．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，并猜想{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明{a n}的通项公式．19.设f（x）=a（x-5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．20.某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响．（Ⅰ）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（Ⅱ）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分．用随机变量ξ表示射手射击3次后的总得分，求ξ的分布列和数学期望．21.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．（1）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．参考公式：（c ax+b）′=ae ax+b（a、b为常数）22.已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R），（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+…+＜（n∈N，n＞1）．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．2.【答案】B【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4-2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，-2），故选：B．由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4-2i，从而求得z对应的点的坐标．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x-1+xe x-1=（1+x）e x-1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x-1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查类比推理，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，如图所示：则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．5.【答案】C【解析】解：=，由3-r=-1，可得r=4．∴含项的系数为=60．故选：C．写出二项展开式的通项，然后取x的指数为-1求得r值，则含项的系数可求．本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查计数原理的运用，属于基本题.本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3×4×4=48种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．【答案】解：根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4=64种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3=27种方案；则符合条件的有64-27=37种，故选：B．7.【答案】D【解析】解：∵=为纯虚数，∴，即a=．∴=，则|z|=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的请求法，是基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意知有5辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起则可以把4个空车位看成是一个元素，这个元素与另外5辆车共有6个元素进行全排列，共有A66种结果，故选：D．有6辆汽车需要停放，若要使4个空位连在一起则可以把4个空车位看成是一个元素，这个元素与另外5辆车共有6个元素进行全排列，写出排列数，得到结果本题考查排列组合的实际应用，解题的关键是四个相连的车位看做一个元素，再同其他的车进行全排列，车是有区别的．9.【答案】A【解析】解：由y=1-x2 ①，及y=3x2 ②，联立得交点坐标为（，）．故阴影面积为==（x-）|=．故选：A．计算出两曲线的交点坐标，对x积分即可．本题考查了定积分的计算，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由题意得：f′（x）=x2+2ax-2在（1，2）内存在变号零点，分离参数a=-+，y=-+在（1，2）内连续且单调递减，值域是（-，），故y=a和y=-+有变号交点的范围是（-，），故选：C．求出函数的导数，问题转化为a=-+，求出函数y=-+在（1，2）的值域，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．11.【答案】D【解析】解：∵二项式（+）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，∴二项式的二项展开式共有9项，则n=8．其通项为T k+1=•（）8-k•（）k=••，当r=0，4，8时，项为有理项．展开式的9项全排列共有种，有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有•种．∴有理项都互不相邻的概率为=．故选：D．由二项式系数的性质得到n的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．本题考查排列组合及简单计数问题以及二项式系数的性质，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=x3-x2，∴，∵函数f（x）=x3-x2是区间[0，t]上的双中值函数，∴区间[0，t]上存在x1，x2（0＜x1＜x2＜t），满足f′（x1）=f′（x2）=，即方程3x2-x=t2-t在区间[0，t]有两个解，令g（x）=，对称轴x=-=＞0，则，解得．∴实数t的取值范围是（）．故选：A．根据题目给出的定义得到f′（x1）=f′（x2）=，即方程3x2-x=t2-t在区间[0，t]有两个解，利用二次函数的性质能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了条件概率，利用条件概率的求概率公式计算即可。

2018-2019学年河南省开封市、商丘市九校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.（1+i）（2+i）=（）A. B. C. D.2.正弦函数是奇函数，f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）=sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A. 小前提不正确B. 大前提不正确C. 结论正确D. 全不正确3.已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A. B. 0 C. 1 D. i4.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根5.为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A. 平均数B. 方差C. 回归分析D. 独立性检验6.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A. 乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩7.某品牌洗衣机专柜在国庆期间举行促销活动，茎叶图1中记录了每天的销售量（单位：台），把这些数据经过如图2所示的程序框图处理后，输出的S=（）A. 196B. 203C. 28D. 298.已知x、y取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m的值（精确到0.1）为（）A. B. C. D.9.下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A. 图1B. 图2C. 图3D. 图410.下面几种推理是类比推理的是（）A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则B. 由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质C. 某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D. 一切偶数都能被2整除，是偶数，所以能被2整除11.设复数z满足，则z在复平面内的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r=．将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若=ad-bc，则满足等式=0的复数z=_______．14.已知回归方程=4.4x+838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为______．15.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为______．16.观察下列各式：9⊙4⊙1=36043⊙4⊙5=12206⊙5⊙5=30258⊙8⊙3=64247⊙3⊙2=2106根据规律，计算（5⊙7⊙4）-（7⊙4⊙5）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知z是复数，z+2i与均为实数．（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18.针对某地区的一种传染病与饮用水进行抽样调查发现：饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．（1）作出2×2列联表（2）能否有90%的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关？19.如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：，，，≈2.646．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．20.已知：在数列{a n}中，a1=7，a n+1=，（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．21.设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2极坐标方程为ρ2=4ρsinθ-3．（Ⅰ）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P，Q分别为曲线C1，C2上的动点，求|PQ|的最大值．23.已知f（x）＝|3x＋2|．（Ⅰ）求f（x）≤1的解集；（Ⅱ）若f（x2）≥a|x|恒成立，求实数a的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：原式=2-1+3i=1+3i．故选：B．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f（x）=sin（x2+1）是奇函数，因为该函数为偶函数，故错误．故选：A．根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可．本题考查演绎推理的基本方法，属基础题．3.【答案】C【解析】解：复数z====i，∴z的虚部为1．故选：C．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5.【答案】D【解析】根据列联表可得：K2，再根据与临界值比较，检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关，故利用独立性检验的方法最有说服力．故选：D．这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据已知构建方程计算出表格中男性近视与女性近视，近视的人数，并填入表格的相应位置．根据列联表，及K2的计算公式，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算K2的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题．具体步骤：（1）采集样本数据．（2）由公式计算的K2值．（3）统计推断，当K2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当K2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．6.【答案】D【解析】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D．根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：由茎叶图可知n=7，模拟程序的运行，可得S=0，i=1满足条件i≤7，执行循环体，S=20，i=2满足条件i≤7，执行循环体，S==21，i=3满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=4满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=5满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=6满足条件i≤7，执行循环体，S==，i=7满足条件i≤7，执行循环体，S==29，i=8不满足条件i≤7，退出循环，输出S的值为29．故选：D．由茎叶图可知n=7，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=8时不满足条件i≤7，退出循环，输出S的值为29．本题主要考查了茎叶图及循环结构的程序框图的应用，模拟程序的运行正确得到每次循环时S，i的值是解题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：将代入回归方程为可得，则4m=6.7，解得m=1.675，即精确到0.1后m的值为1.7．故选：C．将代入回归方程为可得，则4m=6.7，即可得出结论．本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选：A．据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，可得结论．本题考查统计学中残差图的概念，比较基础．10.【答案】B【解析】解：A中，两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°为演绎推理；B中，由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质，为类比推理；C中，某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员，为归纳推理；D中，一切偶数都能被2整除，.2100是偶数，所以2100能被2整除，为演绎推理；故选：B．本题考查的知识点是类比推理的定义，根据归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，对答案中的四个推理进行判断，即可得到答案．本题考查的知识点是类比推理，熟练掌握归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，是解答本题的关键．11.【答案】A【解析】解：∵=，∴z在复平面内的对应点为（2，2），位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12.【答案】C【解析】解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r=．设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V=（S1+S2+S3+S4）r，∴r=．故选：C．设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．从而四面体的体积为：V=（S1+S2+S3+S4）r，由此能求出四面体的内切球半径．本题考查四面体的内切球半径的求法，考查推理的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是基础题．13.【答案】-1【解析】解：由已知可得=z（1+i）+i（1-i）=0，∴．故答案为：-1．由已知可得z（1+i）+i（1-i）=0，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．14.【答案】【解析】解：x与y的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数，又知回归方程=4.4x+838.19，即x与y的增长速度之比约为==，故答案为．解题之前要理解x与y的增长速度之比的含义，即为回归方程的斜率的倒数，回归方程的斜率已知，即可求得答案．本题主要考查线性回归方程的知识点，解答本题的关键是理解x与y的增长速度之比的含义，此题是基础题，比较简单．15.【答案】1：8【解析】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，正四面体都是等边三角形，两个正四面体高的比为1：2，则它们的体积比为1：8．故答案为：1：8．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．16.【答案】708【解析】解：观察得，9×4=36，4×1=04；3×4=12，4×5=20；…7×3=21，3×2=06由此得5⊙7⊙4=3528，7⊙4⊙5=2820∴3528-2820=708故答案为708．先观察规律得前两位相乘得前两位数，后俩数相乘得后两位．本题考查合情推理的规则的简单应用．17.【答案】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则z+2i=x+（y+2）i为实数，∴y=-2．∵==为实数，∴，解得x=4．则z=4-2i；（2）∵（z+ai）2=（4-2y+ai）2=（12+4a-a2）+8（a-2）i在第一象限，∴ ，解得2＜a＜6．【解析】（1）设z=x+yi（x，y∈R），然后代入z+2i结合已知求出y的值，再代入，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知可求出x的值，则复数z可求；（2）把z=4-2y代入（z+ai）2化简结合已知条件列出不等式组，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是中档题．18.【答案】解（1）：作出2×2列联表-（2）计算随机变量K2的观测值 5.785＞2.706，所以有90%的把握认为该地区中得传染病与饮用水有关．【解析】（1）根据题目数据作出2×2列联表（2）计算观测值k2，根据临界值表可得结论．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】解：（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据得：，，，，∴r≈．∵y与t的相关系数近似为0.99，∴y与t的相关程度非常大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系；（2）由及（1）得：，．∴y关于t的回归方程为．将2020年对应的t=9代入回归方程，得．∴预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．【解析】（1）由已知数据代入相关系数公式求得r≈0.99，可得y与t的相关程度非常大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系；（2）求出与的值，得到线性回归方程，取t=9可得，则答案可求．本题考查相关系数的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由已知，，，…（3分）猜想：a n=…（6分）（2）由两边取倒数得：⇔，⇔，…（9分）⇔数列 {}是以=为首相，以为公差的等差数列，…（12分）⇒=+（n-1）=⇔a n=…（14分）【解析】（1）由a1=7，，代入计算，可求数列的前4项，从而猜想{a n}的通项公式；用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．注意证明的步骤的应用．21.【答案】证明：（1）由，＞，＞，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b-2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．【解析】（1）由已知等式可得ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和反证法证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4y-3，即x2+（y-2）2=1．…………………………（5分）（Ⅱ）设P点的坐标为（2cosθ，sinθ）．|PQ|≤|PC2|+1=，当时，|PQ|max=．…………………………（10分）【解析】（Ⅰ）根据平方关系式可得C1的直角坐标方程，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）|PQ|的最大值为C1上的点到圆心C2的最大值加上半径．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）≤1得|3x+2|≤1，所以-1≤3x+2≤1，解得，所以，f（x）≤1的解集为，（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立，即3x2+2≥a|x|恒成立．当x=0时，a∈R；当x≠0时，．因为（当且仅当，即时等号成立），所以，即a的最大值是．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．（Ⅰ）去掉绝对值，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为，根据基本不等式的性质求出a的最大值即可．。