2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词课件新人教A版选修2_1

[解] (1)①可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°， 故为全称命题．
②含有存在量词“有的”，故为特称命题． ③含有全称量词“任意”，故为全称命题． ④含有存在量词“有些”，故为特称命题． ⑤若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
(2)①这是全称命题，由等比数列的定义知，等比数列中任意项
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根 [答案] C
4．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1≤0”的否定是________． [答案] ∀x∈R，x2＋x＋1>0
2．全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M 中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0， 使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题． (2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立 的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
1．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°．
A．0
B．1
C．2
D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三 角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
2．下列命题中特称命题的个数是( )
④这是特称命题，因为对任意x∈R，x2－2x＋3＝(x－1)2＋ 2≥2>0，所以不存在x0∈R，使x20－2x0＋3<0，故命题为假命题．

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类型四 全称命题与特称命题应用 [例4] 函数f(x)对一切实数x、y都有f(x＋y)－
f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0. (1)求f(0)值； (2)在(0,4)上存在实数x0，使得f(x0)＋6＝ax0成
立，求实数a取值范围．
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[解] (1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋ 1)·x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因 为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.
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思考感悟 如何判断全称命题的真假呢？ 提示：要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命 题，需要对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)成立； 如果在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立， 那么这个全称命题就是假命题．
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2．存在量词和特称命题 (1)存在量词： 短语“存在一个”“最少有一个”在逻辑中通
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[分析] 首先判断命题中含有哪种量词，进而 确定是哪种命题，然后正面推理证实或举反例 说明命题真假．
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[解] (1)是全称命题．因为∀x∈N,2x＋1 都是奇 数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在 x0∈R，使x0－1 1＝0 成立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当 m＝4，n＝3 时，使 m－n＝1 成立，所以该命题是真命题．
故所求的取值范围 a≥5.
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[点评] 全称命题真，意味着对限定集合中每 一个元素都能含有某性质，使所给语句真．所 以，当给出限定集合中任一个特殊元素时，自 然应导出“这个特殊元素含有这个性质”(这 类似于“代入”思想)．而特称命题为真，则 只需在给定集合中，找到一个元素含有某性质， 使该语句为真即可．

[变式训练] 已知命题 p：∃x0∈R，x0－2＞0，命题 q：∀x∈R， x＞x，则下列说法中正确的是( )
A．命题 p∨q 是假命题 B．命题 p∧q 是真命题 C．命题 p∨(綈 q)是假命题
D．命题 p∧(綈 q)是真命题
解析：命题 p 为真命题，如存在 x0＝3 满足 x0－2＞0， 命题 q 为假命题，则 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，由于 綈 q 为真命题，则 p∨(綈 q)为真命题，p∧(綈 q)为真命题．
3．全称命题的否定 全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈 p：∃x0∈M，
綈 p(x0)．全称命题的否定是特称命题．
4．特称命题的否定 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈 p：∀x∈M，
綈 p(x)．特称命题的否定是全称命题． 温馨提示 全称命题含有全称量词，有些全称命题中的全称量词
解析：(1)是省略了全称量词的一个全称命题，则正 确．(2)綈 p 为∀n∈N，2n≤1 000，则错误．(3)否定是“∃
x∈R，x2≥0”，则错误．(4)正确，如存在 x＝0，满足 sin 3x ＝3 sin x.
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．下列全称命题为真命题的是( ) A．所有的质数是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数 x，x2 也是无理数 D．所有的能被 5 整除的整数，其末位数字都是 5
[变式训练] 给出下列几个命题：
①至少有一个 x0，使 x2＋2x0＋1＝0 成立； ②对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 成立； ③对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 不成立； ④存在 x0，使 x20＋2x0＋1＝0 成立． 其中是全称命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

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2．归纳总结，核心必记 (1)全称量词和全称命题
全称量词 所有的、任给、每一个、对一切
符号 全称命题
∀ 含有 全称量词 的命题
形式
“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”Biblioteka 可用符号简记为 ∀x∈M，p(x)
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(2)存在量词和特称命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示 特称命题
点 P.
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[尝试解答] (1)当 x＝0 时，x3＝0，故选项 C 为假命题． (2)①因为 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉>0，所以 cos〈a，b〉>0，又
π 0≤〈a，b〉≤π，所以 0≤〈a，b〉< 2 ，即 a，b 的夹角为 零或锐角．故它是假命题． ②因为 x2＋y2＝0 时，x＝y＝0，所以不存在 x0，y0 为正实数， 使 x02＋y20＝0，故它是假命题． ③由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它 是真命题． [答案] (1)C
()
A．整数 n 是 2 和 7 的倍数
B．存在整数 n，使 n 能被 11 整除
C．x>7
D．∀x∈M，p(x)成立
解析：B 选项中有存在量词“存在”，故 B 项是特称命
题，A 和 C 不是命题，D 是全称命题．
答案：B
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2．判断下列命题是全称命题还是特称命题： (1)负数没有对数； (2)至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能被 5 整除； (3)∀x∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数； (4)∃x0∈Z，log2x0>0. 解：(1)和(3)为全称命题．(2)和(4)为特称命题．
(3)对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1；